MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

Transkriptio

1 MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 1 / 17

2 Usean muuttujan vai vektorimuuttujan funktiot Funktio f : D R d R on sääntö tai yhteys (usein mutta ei suinkaan välttämättä, kaava) joka jokaiseen määrittelyjoukon D alkioon (x 1, x 2,..., x d ) liittää yksikäsitteisen arvon f (x 1, x 2,..., x d ) R. Funktion f : R d R m arvot ovat vektoreita ja vektorin f jokainen komponentti on funktio: R d R eli f 1 (x 1,..., x d ) f(x 1,..., x d ) =. f m (x 1,..., x d ) Usein voi olla hyödyllistä, että sen sijaan että käsittelemme funktiota f (x 1, x 2,..., x d ) usean muuttujan funktiona käsittelemmen sitä yhden vektorimuuttujan x funktiona f (x) missä vektorilla x on d komponenttia. Useimmiten otamme funktion argumentit pystyvektorina jolloin funktion derivaatta eli gradientti (kun funktio on reaaliarvoinen) on vaakavektori. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 2 / 17

3 Tasa-arvokäyrät Jos f (x, y) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio ja c R niin joukko { (x, y) : f (x, y) = c } on usein käyrä (tai sitten käyrien unioni) eli funktion tasa-arvokäyrä. Kuvio, jossa on piirrettynä monta tällaista tasa-arvokäyrää antaa tietynlaista informaatiota funktiosta. Funktion f (x, y) = x + 2y tasa-arvokäyrät ovat suoria kun taas funktion g(x, y) = x 2 + y 2 tasa-arvokäyrät ovat ympyröitä: c = 4 c = 1 c = 3 c = 1 c = 3 c = 1 Kolmen muuttujan tapauksessa saadaan vastaavasti tasa-arvopintoja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 3 / 17

4 Raja-arvo, määritelmä I lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y) = L jos f (x, y) L on pieni aina kun (x, y) (x 0, y 0 ) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 on riittävän pieni ja (x, y) (x 0, y 0 ). Raja-arvo, määritelmä II lim x x0 f (x) = L jos f (x) L on pieni kun x x 0 on riittävän pieni ja x x 0. Vektorin pituus Vektorin x pituus, kun sen komponentit ovat x 1, x 2,..., x d, on tässä x = x1 2 + x x d 2 sillä on normaalit pituuden ominaisuudet. Raja-arvo, määritelmä III limx x 0 x Ω mutta raja-arvot eivät riipu siitä miten vektorin pituus on määritelty kunhan f (x) = L jos jokaisella ɛ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että jos 0 < x x 0 < δ ja x Ω niin pätee f (x) L < ɛ. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 4 / 17

5 Raja-arvo, ominaisuudet Jos lim x x0 f (x) = F ja lim x x0 g(x) = G niin pätee lim x x0 ( αf (x) + βg(x) ) = αf + βg, lim x x0 f (x)g(x) = FG, f (x) lim x x0 g(x) = F G jos G 0. Tästä seuraa, että raja-arvot, joiden määrittäminen on hankalaa ja näin ollen vaativat eniten työtä, ovat ne, joissa sijotus antaa tulokseksi 0 0. Raja-arvo, kuristusperiaate Jos lim x x0 g(x) = 0 ja f (x) g(x) (kun x x 0 ) niin lim x x0 f (x) = 0. Jos lim x x0 g(x) = lim x x0 h(x) = L ja g(x) f (x) h(x) (kun x x 0 ) niin lim x x0 f (x) = L. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 5 / 17

6 Raja-arvo säteitä pitkin Jos f on yhden reaalimuuttujan funktio niin sillä on raja-arvo pisteessä t 0 jos ja vain jos oikean- ja vasemmanpuoliset raja-arvot ovat samat. Useamman muuttujan tapauksessa tilanne on osittain toinen: Jos raja-arvo lim t 0+ f (x 0 + αt, y 0 + βt) ei ole riippumaton parametrien α ja β arvoista niin raja-arvo lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y) ei ole olemassa. Jos lim t 0+ f (x 0 + αt, y 0 + βt) = L kaikilla α ja β joilla α 2 + β 2 > 0 niin tästä seuraa ainoastaan, että jos raja-arvo on olemassa niin se on L. Epäyhtälöitä ym. Jos lim x x0 f (x) = F, lim x x0 g(x) = G ja f (x) g(x) kun x x 0 niin pätee F G. Jos lim x x0 f (x) = F niin pätee lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x) = F. Jos lim x x0 g(x) = G ja g(x) G kun x x 0 niin pätee lim x x0 f ( g(x) ) = lim t G f (t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 6 / 17

7 Jatkuvat funktiot Funktio f : Ω R on jatkuva pisteessä x 0 jos x 0 Ω R d ja lim x x 0 x Ω f (x) = f (x 0 ) eli Ω on R d :n osajoukko, x 0 kuuluu joukkoon Ω, f (x 0 ) on määritelty, raja-arvo on olemassa ja se on f (x 0 ). Funktion f : Ω R on jatkuva joukossa Ω R d jos lim x x 0 x Ω f (x) = f (x 0 ) kaikilla x 0 Ω. eli jos se on jatkuva joukon Ω jokaisessa pisteessä. Jatkuvat vektoriarvoiset funktiot Funktio f : Ω R m on jatkuva pisteessä x 0 Ω, (joukossa Ω), jos jokainen komponentti on jatkuva pisteessä x 0 Ω, (joukossa Ω). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 7 / 17

8 Jatkuvien funktioiden summa, tulo ja osamäärä Jos f ja g : Ω R ovat jatkuvia joukossa Ω R d niin αf (x) + βg(x) ja f (x)g(x) ovat jatkuvia joukossa Ω, f (x) g(x) on jatkuva joukossa { x Ω : g(x) 0 }. Jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio on jatkuva Jos g : Ω g Ω f ja f : Ω f R m, missä Ω g R d ja Ω f R p, ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan niin funktio (f g)(x) = f (g(x)) on jatkuva joukossa Ω g. Huom! Jos funktio f (x, y) on jatkuva (esim. R 2 :ssa) niin funktio x f (x, y) on jatkuva kaikilla parametrin y arvoilla ja funktio y f (x, y) on jatkuva kaikilla parametrin x arvoilla. Mutta jos ainoastaan oletamme, että funktio x f (x, y) on jatkuva kaikilla y ja funktio y f (x, y) on jatkuva kaikilla x niin tästä ei välttämättä seuraa, että funktio (x, y) f (x, y) olisi jatkuva. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 8 / 17

9 Osittaisderivaatat Erilaisia merkintätapoja f (x + h, y) f (x, y) f x (x, y) = lim h 0 h f (x, y + k) f (x, y) f y (x, y) = lim k 0 k f x = f x = D xf = f 1 = D 1 f = D (1,0) f... f xy = (f x ) y = y Derivoimisjärjestyksen vaihto f x = 2 f y x = D(1,1) f. Jos f x, f y, f xy ja f yx ovat olemassa ja jatkuvia niin pätee f xy = f yx. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuuta osa2016 I 9 / 17

10 Derivaatta Funktio f : R d R on derivoituva pisteessä x jos on olemassa (rivi)vektori, joka merkitään f (x):llä siten, että f (x + h) f (x) f (x)h lim = 0. h 0 h Tässä f (x)h on 1 d-rivivektorin f (x) ja d 1-sarakevektorin h matriisitulo, ja se voidaan myös esittää pistetulon muodossa f (x) h jos ei haluta tehdä eroa rivi- ja pystyvektorien välillä. Muita usein käytettyjä derivaatan merkintöjä ovat f (x) ja Df (x). Derivaatta ja osittaisderivaatat Jos funktiolla f : R d R on jatkuvat osittaisderivaatat niin f on derivoituva ja f (x) = f (x) = Df (x) = [ f x1 (x) f x2 (x)... f xd (x) ]. Jatkuvasti derivoituva Derivoituva ja derivaatta on jatkuva G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 10 / 17

11 Vektoriarvoisen funktion derivaatta Funktio f : R d R m on derivoituva pisteessä x jos jokainen komponentti on derivoituva pisteessä x, eli on olemassa m d matriisi f (x) siten, että f(x + h) f(x) f (x)h lim = 0. h 0 h Matriisin f (x) rivivektorit ovat vektorin f komponenttien derivaatat ja f (x)(i, j) = f i (x) x j. (Tätä matriisia kutsutaan usein Jacobin matriisiksi.) Ketjusääntö Jos h(x) = f(g(x)) missä f ja g ovat derivoituvia niin pätee h (x) = f (g(x))g (x). Huomaa, että tässä oletetaan, että x, g ja f ovat sarakevektoreita (mahdollisesti vain yhdellä komponentilla) ja on tärkeätä että ketjusääntö kirjoitetaan järjestyksessä f (g)g koska jos g : R d R p ja f : R p R m niin f on m p-matriisi ja g on p d-matriisi jolloin matriisitulo f (g(x))g (x) on hyvin määritelty. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 11 / 17

12 Suunnattu derivaatta Funktion f suunnattu derivaatta pisteessä x suuntaan u on funktion t f (x + t 1 u u) derivaatta pisteessä 0 ja on näin ollen D u f (x) = f (x)u 1 ( ) u = f (x) 1 u u, ja se kertoo miten nopeasti funktio f kasvaa tai vähenee kun kuljetaan pisteestä x suuntaan u. Huomaa, että D i f (x, y, z) = f x (x, y, z), D j f (x, y, z) = f y (x, y, z) ja D k f (x, y, z) = f z (x, y, z), eli osittaisderivaatat ovat suunnatut derivaatat koordinaattiakselien (positiivisiin) suuntiin. Mihin suuntaan osoittaa gradientti? Suunnattu derivaatta D u f (x) pisteessä x on suurimmillaan kun u Df (x) (ja pienin vastakkaiseen suuntaan ) joten funktio kasvaa nopeimmin gradientin suuntaan. Suunnattu derivaatta on 0 kun u Df (x) joten gradientti on kohtisuorassa tasa-arvokäyriä (tai -pintoja) kohti. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 12 / 17

13 Lineaarinen approksimointi f (x + h) f (x) + f (x)h = f (x) + f (x) h, tai toisella tavalla esitettynä f (x + x, y + y, z + z) f (x, y, z) f x (x, y, z) x + f y (x, y, z) y + f z (x, y, z) z. Tangenttitaso Koska gradientti on kohtisuorassa tasa-arvopintoja kohti niin pinnan f (x, y, z) = c normaali pisteessä (x 0, y 0, z 0 ) on f (x 0, y 0, z 0 ) = f x (x 0, y 0, z 0 )i + f y (x 0, y 0, z 0 )j + f z (x 0, y 0, z 0 )k, ja pinnan tangenttitasolla pisteessä (x 0, y 0, z 0 ) on yhtälö f x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + f z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 13 / 17

14 Jos Lineaarinen approksimointi ja suhteelliset virheet, erikoistapaus f (x 1, x 2,..., x n ) = cx α 1 1 x α x αn n, niin lineaarisella approksimoinnilla saadaan f f = f (x 1 + x 1, x 2 + x 2,..., x n + x n ) f (x 1, x 2,..., x n ) f (x 1, x 2,..., x n ) x 1 x 2 x n α 1 + α α n, x 1 x 2 x n ja erityisesti f f α 1 x 1 x 1 + α 2 x 2 x α n x n x n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 14 / 17

15 Newtonin menetelmä: f(x) = 0 x =? Jos f(x n + x) = 0 niin pätee 0 = f(x n + x) f(x n ) + f (x n ) x x f (x n ) 1 f(x n ) ja jotta x n+1 x n + x valitsemme x n+1 = x n f (x n ) 1 f(x n ). Käänteismatriisin f (x n) 1 laskeminen ei ole välttämätöntä mutta meidän pitää ratkaista yhtälösysteemi f (x n)(x n+1 x n) = f(x n). Milloin Newtonin menetelmä suppenee? Jos f(x) on jatkuvasti derivoituvia, f(x ) = 0, f (x ) on kääntyvä matriisi ja jos x 0 x on riittävän pieni (mille voi antaa riittävä ehto) niin pätee lim n x n = x, mutta muuten ei ole takeita siitä, että menetelmä konvergoi ja vaikeus on löytää sopiva alkuarvo (ja tietää milloin pitää luovuttaa jos näyttää siltä ettei menetelmä konvergoikaan). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 15 / 17

16 Newtonin menetelmä Jos haluamme käyttää Newtonin mentelmää yhtälösysteemin x 2 + 4y 2 = 4, x 2 2x = y 1 ratkaisemiseksi niin kirjoitamme ensin systeemin muodossa f(x) = 0, missä siis f(x) = [ x 2 + 4y 2 ] 4 x 2, X = 2x y + 1 [ ] x. y Silloin ja meidän pitää laskea [ ] f 2x 8y (X) =, 2x 2 1 X n+1 = X n f (X n ) 1 f(x n ), n 0. Jos valitsemme X 0 = 3 2 ja y 0 = 1 2 niin saamme [ 3 ] [ ] 1 [ ] [ X 1 = ] [ = ] [ ] = 4 [ 7 ] G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 16 / 17

17 Newtonin menetelmä, jatk. Jos käytämme laskuihin Matlab/Octavea niin määrittelemme ensin funktion f komennolla f=@(x)[x(1)^2+4*x(2)^2-4;x(1)^2-2*x(1)-x(2)+1] ja sitten sen derivaatan f komennolla df=@(x)[2*x(1),8*x(2);2*x(1)-2,-1] Sitten valitsemme X=[1.5;0.5] ja laskemme monto kertaa X=Xdf(X)-1*f(X) (tai X= X-df(X)\f(X)) ja tuloksena saamme [ ] [ ] X 1 = X = [ ] [ ] X 3 = X 4 = X 5 = [ ] X 6 = [ ] G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 21. Yhteenveto, tammikuutaosa 2016 I 17 / 17