Kanta ja Kannan-vaihto

Transkriptio

1 ja Kannan-vaihto

2 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V ) = L) (2) V on lineaarisesti riippumaton.

3 2 Jos vektori u L voidaan lausua kantavektoreiden lineaarikombinaationa u = c 1 v 1 + c 2 v c n v n, niin sanomme, että lineaarikombinaation kertoimet (c 1,c 2,...,c n ) ovat vektorin koordinaatit kannassa V. Koordinaateista muodostettu sarakevektori c 1 c 2. c n V = ũ V on vektorin u koordinaattivektori kannassa V.

4 3 Lause 1. Olkoon V = { v 1, v 2,..., v n } lineaariavaruuden L kanta. Silloin jokainen L:n vektori voidaan lausua tasan yhdellä tavalla kantavektoreiden lineaarikombinaationa. Perustelu: Olkoon u L, u = a 1 v 1 + a 2 v a n v n. Oletamme, että vektorilla on myös toiset koordinaatit u = b 1 v 1 + b 2 v b n v n. Silloin (a 1 b 1 ) v 1 + (a 2 b 2 ) v (a n b n ) v n = u u = 0 Koska kantavektorit muodostavat lineaarisesti riippumattoman systeemin on ylläoleva mahdollista vain, jos a k = b k kaikilla k. Siis koordinaattivektori on yksikäsitteinen.

5 4 Lause 2. Olkoon L lineaariavaruus ja olkoon V = { v 1, v 2,..., v n } L:n kanta. Olkoon lisäksi S = { s 1, s 2,..., s q } lineaarisesti riippumaton systeemi L:n vektoreita.silloin q n. Perustelu: Koska V on kanta, voidaan s 1 lausua muodossa s 1 = c i v i, jossa ainakin yksi kerroin eroaa nollasta. (Yksinkertaisuuden vuoksi oletamme nyt, että c 1 0.) Voimme nyt ratkaista v i :n v 1 = 1 c 1 s 1 n j=2 c j c 1 v j

6 5 Seuraavaksi perustelemme, että uusi vektorisysteemi V 1 = { s 1, v 2,..., v n } on L:n kanta. mypause (Uusi kanta virittää L:n): Olkoon a = n j=1 a j v j mikä tahansa L:n vektori. Silloin suoralla sijoituksella saamme ( 1 a = a 1 s 1 c 1 n j=2 c j c 1 v j ) + n j=2 a j v j joten a voidaan lausua kannan V 1 kantavektoreiden lineaarikombinaationa. Siis V 1 virittää L:n

7 6 (Uusi kanta V 1 = { s 1, v 2,..., v n } on lineaarisesti riippumaton.) On vain yksi tapa lausua vektori s 1 edellisen kannan V kantavektoreiden lineaarikombinaationa. Siinä tarvitaan vektoria v 1, joka ei ole enää käytettävissä. Siis vektoria s 1 ei voi lausua muiden V 1 :n kantavektoreiden lineaarikombinaationa. Vastaavasti jos vektori v 2 voidaan lausua muiden V 1 :n kantavektoreiden lineaarikombinaationa, niin on selvää, että s 1 on mukana nollasta eroavalla kertoimelle. v 2 = g 1 s 1 + g 3 v 3 + g 4 v g n v n, g = g 1 c 1 v 1 + (g 1 c 2 1) v 2 + n j=3 (g 1 c j + g j ) v j g 1 c 1 0 Tämä on mahdotonta, sillä V = { v 1, v 2,..., v n } on lineaarisesti riippumaton. Siis V 1 = { s 1, v 2,..., v n } on vapaa!

8 7 Edellä kuvattua menettelyä voidaan toistaa niin kauan kun uusia vektoreita riittää. Jos olisi q > n niin syntyisi tilanne, jossa (1) V n = { s 1, s 2,..., s n } on L:n kanta jolloin (2) s q voidaan lausua kantavektoreiden { s 1, s 2,..., s n } lineaarikombinaationa. Tämä on ristiriita, koska oletimme, että S = { s 1, s 2,..., s q } on lineaarisesti riippumaton. Siis q n ja todistus on valmis.

9 8 Lause 3. Olkoon L lineaariavaruus. Kaikissa L:n kannoissa on sama määrä kantavektoreita. Jos siis V = { v 1, v 2,..., v n } ja U = { u 1, u 2,..., u m } ovat kaksi L:n kantaa, niin m = n. Perustelu: Käytämme lausetta 2 ensin niin, että V on kanta ja U on lineaarisesti riippumaton. Silloin lauseen 2 mukaan m n. Toiseksi vaihdamme kantojen roolit niin, että U on kanta ja V on lineaarisesti riippumaton, joten lauseen 2 mukaan n m. Edellä sanottu on mahdollista vain jos m = n.

10 9 Määritelmä. Jos lineaariavaruuden L kannassa on n vektoria, niin sanomme, että lineaariavaruuden L dimensio on n. Esimerkki 1. Vektoriavaruuden R 3 dimensi on 3, sillä avaruuden kannassa E = 0, 1, 0, on kolme kantavektoria.

11 10 Esimerkki 2. Toisen asteen polynomi-funktiot muodostavat lineaariavaruuden, jonka dimensio on 3. Sillä voimme valita kannaksi kolmikon { P0 (x) = 1,P 1 (x) = x,p 2 (x) = x 2} Esimerkki 3. Symmetriset 2 2 matriisit {( ) a b S = a,b,c R} b c muodostavat lineaariavaruuden, jonka kanta voidaan muodostaa vektoreista {( ) ( ) ( )} ,,

12 11 Joskus joudumme vaihtamaan kantaa. Jos esimerkiksi laskemme pisteen paikkaa näytöllä, kun VR-kamera näkee valopisteen (eli siis renderöimme videokuvaa), kannattaa kantavektoreiksi valita kameran optinen akseli, kameran vasen ja kameran ylös. Erottelu-analyysissä haetan sellaiset kantavektorit, että havaintopisteet erottuvat toisistaan mahdollisimman selkeästi kantavektoreiden suunnassa. Nyt kannan vaihto tuntuu melko turhalta touhulta. Opettelemme sen silti.

13 12 Esimerkki 4: kaksi kantaa. Seuraavassa esitämme R 2 :n vektoreita kahdessa kannassa, {( ) ( )} 1 1 U = { u 1, u 2 } =,, ja 0 1 {( ) ( )} 1 3 V = { v 1, v 2 } =, 3 1 Muodostetaan kantavektoreista vastaavat matriisit ( ) ( ) U =, V =

14 13 U = { u 1, u 2 } = {( ) 1 0, ( 1 1 )}, V = { v 1, v 2 } = {( 1 3 ) ( )} 3, 1 Jos vektorin ( ) a koordinaattivektori kannassa U on b1 ã U =, niin b 2 a = b 1 u 1 + b 2 u 2 = ( )( b1 b 2 ) = Uã U Toisaalta ( ) jos vektorin a koordinaattivektori kannassa V on c1 ã V =, niin c 2 ( 1 3 a = c 1 v 1 + c 2 v 2 = 3 1 )( c1 c 2 ) = V ã V

15 14 U = { u 1, u 2 } = {( ) 1 0, ( 1 1 )}, V = { v 1, v 2 } = {( 1 3 ) ( )} 3, 1 ( ) 5 Esimerkiksi vektorin a = koordinaattivektorit 5 esimerkin kannoissa ovat ( )( ) ( ) Uã U = a ã U = U a = = U ( )( ) ( ) V ã V = a ã V = V a = = V

16 15 U = { u 1, u 2 } = {( ) 1 0, ( 1 1 )}, V = { v 1, v 2 } = {( 1 3 ) ( )} 3, 1 Esimerkin kannoille on voimassa yhtälöt (tarkista) { v1 = 2 u u 2 v 2 = 4 u 1 u 2 ( ) 2 4 siis V = U = UA 3 1 { u1 = 0.1 v v 2 u 2 = 0.4 v v 2 ( ) siis U = V = V A Matriisia A sanotaan kannan-vaihto -matriisiksi. Huomaa, että se on kantavektoreita koskevan yhtälöryhmän kerroinkaavion transpoosi!

17 16 Kannan-vaihto -matriisin avulla voimme siirtyä helposti kannasta toiseen: a = V ã V = U Aã }{{} V ã U = Aã V ã U a = Uã U = V A 1 ã }{{ U } ã V = A 1ã U ã V Jos kantavektorit tiedetään, niin kannan-vaihto -matriisia ei kannata hakea monimutkaisesti, vaan yksinkertaisesti V = UA U 1 V = A

18 17 Esimerkin tapauksessa: ( ) ( ) U =, V = ( ) 1 ( ) A = U V = ( )( ) = ( ) 2 4 = 3 1

19 18 Esimerkki 5. Vektori eri kannassa Olkoot U = { u 1, u 2 } ja V = { v 1, v 2 } kaksi R 2 :n kantaa, joille { u1 = 2 v v 2 u 2 = 3 v v 2 a) laske vektorin a = 3 u u 2 koordinaatit kannassa V. b) laske vektorin b = 4 v v 2 koordinaatit kannassa U. Ratkaisu: Huomaa, että a-kohta on hyvin yksinkertainen sijoitus ja sievennys! a = 3 u u 2 = 3(2 v v 2 ) + 4(3 v v 2 ) = 18 v v 2

20 19 { u1 = 2 v v 2 u 2 = 3 v v 2 b-kohdassa joutuu tekemään enemmän töitä. Kannanvaihtomatriisi on ( ) 2 3 A =, U = V A, UA 1 = V. 4 5 Nyt ( ) ( ) 4 b = 4 v v 2 = V = UA ( )( ) ( ) = U = U = 7 u u 2 Tarkistus: 7 u u 2 = 7(2 v v 2 ) + 6(3 v v 2 ) = 4 v v 2 OK

21 20 U = { u 1, u 2 } = {( ) 1 0, ( 1 1 )}, V = { v 1, v 2 } = {( 1 3 ) ( )} 3, 1 Esimerkki 6. Lineaarikuvauksen matriisi eri kannassa Käytämme nyt samoja kantoja kuin esimerkissä 4. Tutkimme lineaarikuvausta L : R 2 R 2, x U ỹ U, missä ( ) ỹ U = x U. }{{} =F U Kannassa V sama kuvaus toimii seuraavasti ỹ V = A 1 ỹ U = A 1 F U x U = A 1 F U A x }{{} V =F V

22 21 Esimerkin matriiseilla F V = A 1 F U A ( ) 1 ( )( ) = ( )( )( ) = ( ) 3 0 = 0 1 Kuvaus on siis helppo kannassa V.

23 22 Esimerkki 8. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y (x) + 4y (x) + 3y(x) = 0 (DY ) merkitään z(x) = y (x) z (x) = y (x) = 4y (x) 3y(x) Kaikki differentiaaliyhtälön (DY) tieto voidaan nyt kirjoittaaa kahdeksi ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi { y (x) = z(x) z (x) = 3y(x) 4z(x) ( ) ( )( ) y 0 1 y z = 3 4 z }{{} =A

24 23 Esimerkki 8B. Ominaisarvohajoitelma Kesken esimerkin 8 teemme matriiille A ominaisarvohajoitelman. Suora (helppo) lasku osoittaa, että matriisin A ominaisarvot ovat λ 1 = 1 ja λ 2 = 3. Vastaavat ominaisvektorit ovat λ 1 = 1 x 1 = ( ) 1 1 ; λ 2 = 3 x 2 = ( ) 1 3 Teemme ominaisarvoista diagonaalimatriisin D ja ominaisvektoreista neliömatriisin X seuraavasti ( ) ( ) ( ) D =, X =, X = Matriisi A voidaan nyt esittää ominaisarvohajoitelmana seuraavasti

25 24 A = X DX 1 ( ) ( )( )( ) = Nyt viimeinen matriisi-yhtälö voidaan laskemalla tarkistaa. Se on tosi. Sen totuus ei perustu sopivasti valittuihin numeroihin, vaan siihen miten A, D, ja X liittyvät toisiinsa. ( ) b1 Olkoon b = b 1 x 1 + b 2 x 2 = X. Silloin b 2 A b = A(b 1 x 1 + b 2 x 2 ) = b 1 x 1 3b 2 x 2 ( ) ( X DX 1 b = X DX 1 b1 1 0 X = X 0 3 b 2 )( b1 b 2 ) = b 1 x 1 3b 2 x 2

26 25 Jatkamme nyt n käsittelyä ( ) ( ) y y z = A z ( y z ( ) X 1 y z ) = X DX 1 ( y z ) ( ) ( ) 1 0 = X 1 y 0 3 z Otetaan käyttöön uudet funktiot { u(x) = 1.5y(x) + 0.5z(x) v(x) = 0.5y(x) 0.5z(x) { u (x) = 1.5y (x) + 0.5z (x) v (x) = 0.5y (x) 0.5z (x) ( u v ( ) u v ) ( ) = X 1 y z ( ) = X 1 y z

27 26 Uusien funktioiden avulla ratkaisu saadaan helposti ( ) ( ) ( ) X 1 y 1 0 z = X 1 y 0 3 z ( ) ( )( ) u 1 0 u v = 0 3 v { u = u u = C 1 e x v = 3v v = C 2 e 3x ( ) y = X z ( ) ( )( u 1 1 C1 e = x ) ( C1 e v 1 3 C 2 e 3x = x + C 2 e 3x ) C 1 e x 3C 2 e 3x Siis y(x) = C 1 e x + C 2 e 3x