Poistumislause Kandidaatintutkielma
|
|
- Eeva Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä helmikuuta 2011
2 Sisältö 1 Johdanto Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa Esitietoja Maksimaalinen ratkaisu Poistumislause Sovelluksia Lähteet
3 1 Johdanto Tässä kandidaatintutkielmassa esitetään tavallisen differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävälle y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (1.1) poistumislause, joka on eräs olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden tyyppi. Sen mukaan jossakin R n+1 :n alueessa D määritellyn funktion f toteuttaessa tietyt jatkuvuuteen liittyvät ehdot, alkuarvotehtävän (1.1) maksimaalisen ratkaisun y kuvaaja poistuu jokaisesta alueen D kompaktista joukosta K. Näin saadaan laajennettua kyseisen ratkaisun kuvaajaa yksikäsitteisesti alueen D reunalta reunalle. Luvussa 2 esitellään olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden tutkimukseen liittyvää historiaa käyttäen lähteenä Kolmogorovin ja Yushkevichin kirjaa [2, luku 2.2]. Luvussa 3 määritellään poistumislauseen todistamisessa tarvittavat käsitteet ja esitetään myöhemmissä todistuksissa tarvittava lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause, jonka todistus esitetään esimerkiksi matematiikan ja tilastotieteen laitoksen kurssilla Differentiaaliyhtälöt II, ja se löytyy myös Gyllenbergin, Olan ja Piiroisen luentomateriaalista [1, luku 4]. Luvussa 4 määritellään alkuarvotehtävän (1.1) maksimaalinen ratkaisu sekä todistetaan sen olemassaolo ja yksikäsitteisyys muutamin muutoksin Martion ja Sarvaksen kirjaan [3, luku II.1]. Luvussa 5 todistetaan poistumislause. Lisäksi määritellään differentiaaliyhtälösysteemin hyödyllinen erikoistapaus autonominen systeemi ja esitetään korollaarina poistumislause autonomisille systeemeille. Lopuksi luvussa 6 annetaan muutamia esimerkkejä poistumislauseen soveltamisesta. 2
4 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseet ovat differentiaaliyhtälöiden teorian tärkeimpiä tuloksia. Erilaisia alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden takaavia lauseita on kehitetty erilaisilla todistusmenetelmillä 1800-luvun alkupuolelta lähtien. Tuloksia on edelleen paranneltu koko 1800-luvun ajan ja niistä on johdettu hyödyllisiä seurauksia, kuten esimerkiksi poistumislause. Tässä luvussa esitellään olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden historiaa. Augustin Louis Cauchy ( ) esitti vuosina Pariisin École Polytechniquessa pitämällään luentosarjalla todistuksen alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (2.1) ratkaisun olemassaololle ja lokaalille yksikäsitteisyydelle välillä I = [x 0, X] funktioiden f ja f/ y ollessa jatkuvia. Cauchyn todistuksessa väli I jaetaan n osaväliin, joiden päätepisteet ovat x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = X. Alkuarvotehtävän (2.1) ratkaisukäyrän y-koordinaatit pystytään laskemaan näissä pisteissä. Kun annetaan välin I osavälien määrän kasvaa rajatta, jono (y n ) suppenee kohti alkuarvotehtävän (2.1) ratkaisua y ja välin I osavälien pituus lähestyy nollaa. Ratkaisun olemassaolon todistus jatkuu samankaltaisena kuin Riemannin integraalin olemassaolon todistus. Cauchy myös laajensi todistuksen koskemaan yhden differentiaaliyhtälön lisäksi usean yhtälön systeemin alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. (2.2) Cauchyn ja Niels Henrik Abelin ( ) töiden ansiosta 1830-luvun puoliväliin mennessä sarjateorian ja erityisesti potenssisarjojen tutkimus oli alkanut kehittyä. Cauchy perehtyi funktioiden esittämiseen potenssisarjojen avulla ja Torinon yliopistossa vuonna 1831 hän esitteli olemassaololauseen kompleksimuuttujan funktion potenssisarjaesitykselle sekä muita tunnettuja tuloksia. Tämän uudentyyppisen analyysin avulla Cauchy todisti vuonna 1835 alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun olemassaolon majorantteihin perustuvalla menetelmällä ja laajensi differentiaaliyhtälöiden teorian kompleksitasoon. Cauchy ei myöhemmin juurikaan palannut parantelemaan ensimmäistä todistusmenetelmäänsä luvun lopulla Rudolf Lipschitz ( ) todisti, että differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävällä (2.2) oli olemassa ratkaisu. Hän käytti samaa menetelmää kuin Cauchy oli käyttänyt ensimmäisessä todistuksessaan, vaikka ei ilmeisesti ollutkaan tietoinen Cauchyn tuloksesta. Hänen todistuksessaan oletetaan funktiolta f niin sanottuja Lipschitz-ehtoja, mikä tekee tuloksesta hieman Cauchyn todistusta yleisemmän. 3
5 Cauchyn majoranttimenetelmän takia Lipschitzin tuloksesta ei kuitenkaan oltu juurikaan kiinnostuneita, kunnes Charles Émile Picard ( ) otti sen esille. Hän sai Paul Painlevén ( ) kanssa osoitettua Cauchyn ja Lipschitzin tulokselle vuonna 1899 tärkeän seurauksen, jonka mukaan alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun kuvaaja poistuu mielivaltaisen lähelle lauseen oletukset toteuttavan alueen reunaa. Osoittautui, ettei olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen oletusten Lipschitzehdoista ole mahdollista luopua vaarantamatta alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun yksikäsitteisyyttä. Useat matemaatikot ovat kuitenkin kehittäneet lauseesta erilaisia muunnelmia. 4
6 3 Esitietoja Olkoon D R n+1 alue ja I R reaalilukuväli, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu. Välin I päätepisteissä kyse on toispuolisesta derivaatasta. Tutkitaan normaalimuotoista differentiaaliyhtälösysteemiä y 1(x) = f 1 (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)) y 2(x) = f 2 (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)). y n(x) = f n (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)), jossa y i : I R ja f i : D R, i = 1, 2,..., n. Kun merkitään y : I R n, y(x) = (y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)), ja f : D R n, f(x, y(x)) = (f 1 (x, y(x)),..., f n (x, y(x))), systeemi voidaan kirjoittaa muodossa y (x) = f(x, y(x)). Olkoon x 0 R. Asettamalla alkuehto y(x 0 ) = y 0, jossa (x 0, y 0 ) D, saadaan alkuarvotehtävä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. Määritellään seuraavaksi Lipschitz-jatkuvuuden tyyppejä, joita tarvitaan lokaalin olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen sekä poistumislauseiden oletuksissa. Määritelmä 3.1. Olkoon A R m joukko. Funktio f : A R n on Lipschitzjatkuva joukossa A, jos on olemassa sellainen positiivinen reaalilukuvakio M, että kaikilla x 1, x 2 A. f(x 1 ) f(x 2 ) M x 1 x 2 Määritelmä 3.2. Olkoon D R m alue. Funktio f : D R n on lokaalisti Lipschitzjatkuva alueessa D, jos jokaisella x D on avoin ympäristö U x, jossa funktio f on Lipschitz-jatkuva. Määritelmä 3.3. Olkoon A R n+1 joukko. Funktio f : A R n on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa A, jos on olemassa sellainen positiivinen reaalilukuvakio M, että kaikilla (x, y i ) A, i = 1, 2. f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) M y 1 y 2 5
7 Määritelmä 3.4. Olkoon D R n+1 alue. Funktio f : D R n toteuttaa lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen alueessa D, jos jokaisella z = (x, y) D on avoin ympäristö U z, jossa funktio f on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen. Esitetään vielä tulevissa todistuksissa paljon käytetty lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause alkuarvotehtävälle. Lause 3.5 (Lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause). Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Olkoon (x 0, y 0 ) D. Olemassaolo: Tällöin on olemassa sellainen positiivinen reaaliluku δ, että alkuarvotehtävällä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (3.1) on ratkaisu y : I R n välillä I = ]x 0 δ, x 0 + δ[. Yksikäsitteisyys: Olkoot y k : I k R n, k = 1, 2, kaksi alkuarvotehtävän (3.1) sellaista ratkaisua välillä I k x 0, joiden kuvaajat kulkevat D:ssä eli {(x, y k (x)) x I k } D, k = 1, 2. Tällöin y 1 (x) = y 2 (x) kaikilla x I 1 I 2 ja funktio y : I 1 I 2 R n, { y1 (x), kun x I y(x) = 1 y 2 (x), kun x I 2 \ I 1, on välillä I 1 I 2 alkuarvotehtävän (3.1) ainoa ratkaisu. 6
8 4 Maksimaalinen ratkaisu Tässä luvussa esitetään differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävän maksimaalisen ratkaisun käsite ja todistetaan sen olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Määritelmä 4.1. Funktiota y M : I M R n kutsutaan alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (4.1) maksimaaliseksi ratkaisuksi ja väliä I M R alkuarvotehtävään (4.1) liittyväksi maksimaaliseksi ratkaisuväliksi, jos y M on alkuarvotehtävän (4.1) ratkaisu ja kaikilla muilla ratkaisuilla y i : I i R n pätee I i I M. Seuraavasta lauseesta seuraa maksimaalisen ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Lause 4.2. Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Tällöin jokaista (x 0, y 0 ) D vastaa sellainen avoin väli I M, että x 0 I M, ja alkuarvotehtävällä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (4.2) on yksikäsitteinen ratkaisu y M : I M R n, jonka kuvaaja kulkee alueessa D. Jos lisäksi y i : I i R n on välillä I i alkuarvotehtävän (4.2) sellainen ratkaisu, jonka kuvaaja kulkee alueessa D, niin (a) I i I M ja (b) y M on funktion y i jatke eli y M (x) = y i (x), kun x I i. Todistus. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen 3.5 mukaan alkuarvotehtävällä (4.2) on ratkaisu jollakin välillä. Olkoot alkuarvotehtävän (4.2) kaikki ratkaisut y i : I i R, jossa x 0 I i, i J ja J on indeksijoukko. Merkitään I M = i J I i. Nyt kaikilla i J pätee I i I M. Määritellään y M : I M R n, y M (x) = y i (x), kun x I i. Lauseen 3.5 nojalla y M on hyvin määritelty ja se todella on alkuarvotehtävän (4.2) ratkaisu. Muut ratkaisut ovat selvästi sen rajoittumia. Siis I M on alkuarvotehtävän (4.2) maksimaalinen ratkaisuväli. On todistettava vielä, että väli I M on avoin. Merkitään sen päätepisteitä x = inf I M ja x + = sup I M. Jos x + I M, niin tarkastellaan alkuarvotehtävää z (x) = f(x, z(x)), z(x + ) = y M (x + ). (4.3) 7
9 Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen 3.5 mukaan on olemassa sellainen δ > 0, että alkuarvotehtävällä (4.3) on ratkaisu z välillä I + = ]x + δ, x + + δ[. Tällöin z(x) = y M (x), kun x I + I M. Funktio u: I M I + R n, { ym (x), kun x I u(x) = M z(x), kun x I + \ I M, on alkuarvotehtävän (4.2) ratkaisu ja erityisesti maksimaalisen ratkaisun y M jatke, mikä on ristiriita. Näin ollen päätepiste x + ei sisälly maksimaaliseen ratkaisuväliin I M. Jos x I M, voidaan suorittaa samanlainen tarkastelu päätepisteen x ympäristössä ja havaitaan, ettei sekään sisälly maksimaaliseen ratkaisuväliin I M. Koska x I M ja x + I M, on väli I M avoin. 8
10 5 Poistumislause Tässä luvussa todistetaan poistumislause. Lopuksi määritellään mitä tarkoitetaan autonomisella systeemillä ja esitetään poistumislause autonomisille systeemeille. Lause 5.1 (Poistumislause). Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Olkoon (x 0, y 0 ) D ja olkoon K D kompakti joukko. Olkoon funktio y : I R n alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, maksimaalinen ratkaisu, jonka ratkaisuväli on I = ]x, x + [, jossa x R { } ja x + R {+ }. Tällöin (a) on olemassa sellainen x 1 < x +, että (x, y(x)) K kaikilla x ]x 1, x + [, ja (b) on olemassa sellainen x 2 > x, että (x, y(x)) K kaikilla x ]x, x 2 [. Todistus. Todistetaan ratkaisuvälin I ylärajaa x + koskeva tapaus. Alarajaa x koskeva tapaus todistuu vastaavasti. Jos x + = +, on asia selvä. Oletetaan siis, että x + R. Tehdään vastaoletus: on olemassa sellainen jono (x k ), että x k x +, kun k +, ja (x k, y(x k )) K. Koska joukko K on kompakti, tarvittaessa siirtymällä osajonoon voidaan olettaa, että (x k, y(x k )) (x +, y + ) K, jossa y + R n. On olemassa sellainen η > 0, jolla Q = {(x, y) R n+1 x x + η, y y + η} D, ja funktio f on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa Q. Lisäksi on olemassa sellainen k, että (xk, y(x k )) (x +, y + ) < η 2. Alkuarvotehtävällä z (x) = f(x, z(x)), z(x k ) = y(x k ), on ratkaisu z: ]x k δ, x k + δ[ R n, jossa δ = min η 2, η > 0 2 max f(x, y) + 1 (x,y) Q riippuu vain η:sta, ei k:sta [1, luku 4]. Yksikäsitteisyyden nojalla funktio z on funktion y rajoittuma. Siten x + x k + δ. Voidaan kasvattaa k:ta, kunnes x k > x + δ/2. Tällöin x k + δ/2 > x + x k + δ. Tästä seuraa δ < 0, mikä on ristiriita. 9
11 Määritelmä 5.2. Olkoon D R n alue ja I R reaalilukuväli, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu. Välin I päätepisteissä kyse on toispuolisesta derivaatasta. Autonominen systeemi on differentiaaliyhtälösysteemi, joka on muotoa y (x) = f(y(x)), jossa y : I R n ja f : D R n. Olkoon x 0 R. Asettamalla alkuehto y(x 0 ) = y 0, jossa y 0 D, saadaan alkuarvotehtävä y (x) = f(y(x)), y(x 0 ) = y 0. Lauseesta 5.1 seuraa suoraan vastaava tulos myös autonomisille systeemeille. Korollaari 5.3 (Poistumislause autonomisille systeemeille). Olkoon D R n alue ja olkoon funktio f : D R n siinä lokaalisti Lipschitz-jatkuva. Olkoon K D kompakti joukko. Olkoon x 0 R ja y 0 D. Olkoon funktio y : I R n alkuarvotehtävän y (x) = f(y(x)), y(x 0 ) = y 0, maksimaalinen ratkaisu, jonka ratkaisuväli on I = ]x, x + [, jossa x R { } ja x + R {+ }. Tällöin (a) x + = + tai on olemassa sellainen x 1 < x +, että y(x) K kaikilla x ]x 1, x + [, ja (b) x = tai on olemassa sellainen x 2 > x, että y(x) K kaikilla x ]x, x 1 [. 10
12 6 Sovelluksia Tässä luvussa esitetään esimerkkejä poistumislauseen soveltamisesta autonomisessa sekä epäautonomisessa tapauksessa. Esimerkki 6.1. Tarkastellaan autonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(y(x)) = 1 y(x) 2 (6.1) y (x) = f(y(x)) = 1 y(x) 2, y(0) = y 0, (6.2) jossa 1 < y 0 < 1. Poistumislauseen 5.3 oletukset ovat voimassa koko alueessa R. Yhtälöllä (6.1) on triviaaliratkaisut y 1 ja y 1. Alkuarvotehtävällä (6.2) on maksimaalinen ratkaisu y M : I R, I = ]x, x + [, jonka kuvaaja kulkee pisteen (0, y 0 ) kautta, ja yksikäsitteisyyden nojalla se ei voi leikata triviaaliratkaisuiden ratojen kanssa, joten 1 < y M (x) < 1 kaikilla x I. Joukko K = [ 1, 1] on kompakti, ja koska y M (x) K kaikilla x I, niin poistumislauseen 5.3 mukaan x = ja x + = +. Siis I = R. Esimerkki 6.2. Tarkastellaan epäautonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)) = x sin(xy(x) 2 ) (6.3) y (x) = f(x, y(x)) = x sin(xy(x) 2 ), y(0) = y 0 > 0. (6.4) Poistumislauseen 5.1 oletukset ovat voimassa koko tasossa R 2. Yhtälöllä (6.3) on triviaaliratkaisu y 0. Olkoon y M : I R, I = ]x, x + [, alkuarvotehtävän (6.4) maksimaalinen ratkaisu. Sen kuvaaja kulkee pisteen (0, y 0 ) kautta. Koska y 0 > 0, niin yksikäsitteisyyden nojalla y M (x) > 0 kaikilla x I. 11
13 Jaetaan ongelma kahteen osaan. Olkoon ensin x 0 ja x I. Nyt y M(x) = x sin(xy M (x) 2 ) x sin(xym (x) 2 ) x, joten integraalin monotonisuuden nojalla saadaan josta saadaan y M (x) y M (0) = x 0 y M(t) dt y M (x) y 0 + x2 2, sillä y M (0) = y 0. Kun x < 0 ja x I, saadaan vastaavasti x 0 t dt = x2 2, eli y M (0) y M (x) = Nyt kaikilla x I pätee 0 x y M(t) dt y M (x) y 0 + x x t dt = x2 2 Olkoon a > 0. Joukko 0 < y M (x) y 0 + x2 2. K a = {(x, y) R 2 a x a, 0 y y 0 + x2 2 } on kompakti. Poistumislauseen 5.1 mukaan on olemassa sellainen x 1 < x +, jolla (x, y M (x)) K a kaikilla x ]x 1, x + [. Siten täytyy päteä a x 1 < x +. Voidaan kuitenkin antaa a:n kasvaa rajatta, mistä seuraa x + = +. Samaa menettelyä käyttäen saadaan x =. Siis I = R. 12
14 Esimerkki 6.3. Tarkastellaan epäautonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)) = x 2 + y(x) 2 y (x) = f(x, y(x)) = x 2 + y(x) 2, y(0) = 0. (6.5) Tätä on vaikea ratkaista suljetussa muodossa, mutta poistumislauseen 5.1 oletukset ovat voimassa koko tasossa R 2. Olkoon y M : I R, I = ]x, x + [, alkuarvotehtävän (6.5) maksimaalinen ratkaisu. Osoitetaan, että [ 1, 1] I ] 4, 4[. (6.6) Kaikilla x I \{0} pätee y M (x) = x2 +y M (x) 2 > 0, joten y M on aidosti kasvava funktio. Siten y M (x) > y M (0) = 0 kaikilla x > 0, kun x I, ja y M (x) < y M (0) = 0 kaikilla x < 0, kun x I. Erityisesti y M (x) 0, kun x 0. Olkoon x [ 1, 1] I. Nyt y M (x) = x2 + y M (x) y M (x) 2, joten y M (x) 1 + y M (x) 2 1. Tarkastellaan tapaus x [0, 1] I ensin. Tällöin x 0 y M (t) 1 + y M (t) 2 dt 13 x 0 dt
15 eli yhtäpitävästi siis eli arc tan y M (x) x, y M (x) tan x. Tapauksessa x [ 1, 0] I vastaavasti jonka kanssa on yhtäpitävää ja 0 Olkoon 0 < a 1. Joukot x y M (t) 1 + y M (t) 2 dt 0 arc tan y M (x) x, y M (x) tan x. K a = {(x, y) R 2 a x 0, tan x y 0} K + a = {(x, y) R 2 0 x a, 0 y tan x} ovat kompakteja, joten myös niiden yhdiste K a = K a K + a on kompakti. Poistumislauseen 5.1 mukaan on olemassa sellainen x 1 < x +, jolla (x, y M (x)) K a kaikilla x ]x 1, x + [. Siten a x 1 < x +, josta valitsemalla a = 1 saadaan x + > 1. Vastaavasti x < 1. Siispä [ 1, 1] I. x dt 14
16 Integraalin monotonisuudesta ja epäyhtälöstä y M (x) = x2 + y M (x) 2 x 2 seuraa, että välin [ 1, 1] päätepisteissä funktiolle y M pätee y M (1) = y M (1) y M (0) = 1 0 y M(t) dt 1 0 t 2 dt = 1 3 ja 0 0 y M ( 1) = y M ( 1) y M (0) = y M(t) dt t 2 dt = Toisaalta kaikilla x I pätee y M (x) = x2 + y M (x) 2 y M (x) 2, joten y M (x) y M (x) 2 1, kun x I \ {0}. Siten, kun x 1 ja x I, x y M (t) x y M (t) dt dt 2 1 eli joten Nyt 1 y M (x) 1 1 y M (1) 1 y M (x) x 1, c x, jossa c = y M (1) = 4. y M (x) 1 c x +, kun x c 4. Vastaava pätee, kun x 1 ja x I. Tällöin y M (x), kun x d = 1 + 1/y M ( 1) 4. Siten I ] 4, 4[, joten (6.6) on todistettu. 15
17 Lähteet [1] M. Gyllenberg, P. Ola, P. Piiroinen, Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, fi/download/attachments/ /draftversionoct2008.pdf. [2] A. N. Kolmogorov, A. P. Yushkevich, Mathematics of the 19th Century, vol. 3. Birkhäuser, ISBN [3] O. Martio, J. Sarvas, Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Gaudeamus, 2. painos, ISBN
Konvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Lisätiedotf (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotRaja-arvon määritelmä ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tapio Lind Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
LisätiedotKompleksiset sarjat ja potenssisarjat
MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot