13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

Samankaltaiset tiedostot
Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

Baltian Tie 2001 ratkaisuja

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

Insinöörimatematiikka D

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Vektorit, suorat ja tasot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

Moniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

6. Stokastiset prosessit (2)

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Ominaisarvo ja ominaisvektori

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Mat Matematiikan peruskurssi K2

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Kanoniset muunnokset

Monte Carlo -menetelmä

Insinöörimatematiikka D

Kuorielementti hum

Lähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1]

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

Pro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:

7. Menetysjärjestelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

ARITMEETTIS-GEOMETRIS-HARMONINEN KESKIARVOEPÄYHTÄLÖ

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

Sähköstaattinen energia

Ortogonaalisen kannan etsiminen

(1.1) Ae j = a k,j e k.

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

Insinöörimatematiikka IA

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Insinöörimatematiikka D

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

Transkriptio:

68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta merktsemme C( I ), ss b C( I). Ratkasuja haetaa yt fuktoavaruudesta (2) C ( I) = { x: I x jatkuvast dervotuva} Homogeese yhtälö (3) x () t = A() t x () t ratkasuavaruus o leaarkuvaukse. (4) L : C ( I) C ( I), Lx= x Ax yd el (5) H = Ker L= { C ( I) L = 0} Tämä o avaruude (2) alavaruus. x x. Lause. (Olemassaolo- ja ykskästtesyyslause) Yhtälöö () ltetyllä alkuarvoprobleemalla (6) x () t = A() t x() t + b(), t x(0)= x 0 o olemassa ykskästtee ratkasu koko välllä I jokasella x0.

69 Kute kohta osotetaa, avaruude H dmeso o. Tätä eakode kutsumme jokasta H: kataa x, x yhtälö perusjärjestelmäks. Matrsa X(t) = [x (t),...,x (t)] saotaa dfferetaalyhtälösysteem fudametaalmatrsks el perusmatrsks. Tämä o sarakkede leaarse rppumattomuude asosta käätyvä. Perusmatrs determatt (7) Wt ( ) = det Xt ( ), o systeem () Wrosk determatt. Lause 2. Wrosk determatlle o vomassa melvaltaselle kteälle t 0 I tr( A( s)) ds t0 (8) Wt () = Wt ( ) e. 0 t Todstus: Käyttäe hyväks determat omasuuksa saadaa (9) d d Wt () = det () t () t det () t () t det () t () t dt dt x x = x x + + x x = det Ax ( t) x ( t) + + det x ( t) Ax ( t). Tämä saadaa purettua auk tarkastelemalla karakterstse polyom lauseketta: ( ) p( λ) = ( ) det( λi A) = ( ) λ (tr A) λ + + ( ) deta, josta det (( λi AX ) ) = det( λi A)det X= ( λ (tr A) λ + + ( ) det A) det X ja tosaalta det ( λi A ) X = det( λx AX ) = det λx,, Ax λx Ax ( ) [ ]

= λ det X λ det A,,, + + det,,, A + + ( ) det Adet X ( ) x x2 x x x2 x Vertaamalla potess λ kertoma ja ratkasemalla esmmäse kertaluvu dfferetaalyhtälö (9) saadaa väte. Seurauksea o tulos Lause 3. Wt ( ) 0 t I Wt ( 0) 0 jossak t0 I. Nällä työvälellä saamme leaarse rppumattomuude test: Lause 4. Yhtälö (3) ratkasufuktot x,, x ovat leaarsest rppumattoma täsmällee sllo, ku de Wrosk determatt o ollasta eroava jossak väl I psteessä: Wt ( ) 0 jossak t I. 0 0 Nyt vodaa stte osottaa päätulos: Lause 5. Yhtälö (3) ratkasuavaruude H dmeso o. Ratkasufuktosta koostuva matrs Xt () = x() t x() t o yhtälö (3) perusmatrs täsmällee sllo, ku se determatt el Wrosk determatt o 0 jossak väl I psteessä (jollo se o 0 koko välllä I) ja yhtälö (3) ylee ja täydelle ratkasu o muotoa (0) x() t = cx() t + + cx(), t c, =,,. 70 Todstus: Lausee ojalla alkuarvotehtävllä () x () t = A() t x(), t x (0)= e, =,, o ykskästtee ratkasu jokasella, mssä e o : luoolle katavektor. Näde ratkasuje fudametaalmatrs ollassa X(0) = I, jote Wrosk determatt W (0) =. Ss ratkasut x,, x ovat leaarsest rppumattoma. Olkoo stte y sellae ratkasu, joka toteuttaa alkuehdo y(0) = c. Sllo myös x() t = cx() t + + cx() t o ratkasu, joka toteuttaa sama alkuehdo, koska x(0) = cx(0) + + cx(0) = ce+ + ce = c, jote ykskästtesyyde perusteella y = x. Ss vektort x,, x vrttävät alavaruude H, jote e muodostavat H: kaa.

7 Leaarse homogeese systeem x'(t)=ax(t) ylee ratkasu muodostuu ss mstä hyväsä :stä leaarsest rppumattomasta ratkasusta x,..., x de leaarkombaatoa: (2) x(t) = c x (t) +...+ c x (t). Alkuarvoprobleema melvaltae alkutla x 0 saadaa sopvlla kertomlla c yhtälöstä (3) c x (0) +...+ c x (0) =x 0. (Vektort x (0),, x (0) ovat leaarsest rppumattoma ja tä o kappaletta, jote e muodostavat avaruude kaa.) Kerroyhtälö o matrsmuodossa (4) [x (0),...,x (0)]c =x 0, mssä c=[c,...,c ] T. Kerromatrs o e-sgulaare, koska se sarakkeet ovat leaarsest rppumattoma. Ss kerroyhtälöllä o ykskästtee ratkasu c. Tästä saadaa se leaarkombaato c x (t) +...+ c x (t) kertomet, joka o alkutla x 0 määräämää ratkasu dfferetaalyhtälösysteemlle. Fudametaalmatrsa käyttäe ylee ratkasu(2) vodaa esttää muodossa (5) x(t) = X(t)c.

72 Fudametaalmatrs e ole ykskästtee, sehä raketuu valtusta :stä leaarsest rppumattomasta ratkasusta. Use kutek asetetaa ehto X(0)=I. Sllo alkuehdo x(0)=x 0 toteuttava ratkasu o (6) x(t) = X(t)x 0. Ylesest, yhtälö (4) matrsmuodosta (7) X (0) c= x 0 saadaa alkuehdo x(0)=x 0 toteuttavalle ratkasulle muoto (8) x() t = X() t X(0) x. 0

73 4. Leaarset esmmäse kertaluvu vakokertomset systeemt Seuraavassa tarkastellaa autoomste vakokertomste homogeeste dfferetaalsysteeme ratkasemsta aalyyttsest (umeers meetelm e tässä yt puututa). Systeem o muotoa () x'(t) = Ax(t) ja haettavaa o fudametaalmatrs, ja se avulla ylee ratkasu ta alkuehdo x(0)=x 0 toteuttava ratkasu. Matrs A o kokoa oleva vakomatrs (ss ajasta t rppumato) ja tlavektor x(t). Koska yt okea puole dervaatta o vakomatrs A, olemassaolo- ja ykskästtesyyslause o vomassa koko avaruudessa ( I= ). Ku = el systeem o yksulottee x'( t) = ax( t), yleseks ratkasuks at saat aemm x( t) = e c ja alkuehdo x(0) = x0 toteuttavaks ratkasuks x() t = e at x0. Osottautuu, että tämä muoto ratkasulle pätee myös korkeammssa dmesossa. Sllo a: tlalla o matrs A ja e At o matrs At (=ta) matrsarvoe fukto. Matrsekspoettfukto e A vodaa määrtellä e x : sarjakehtelmä avulla sjottamalla luvu x pakalle elömatrs A. (Katso Harjotus 6.) Mutta tässä vaheessa tyydymme ykskertasempaa tapauksee ja oletamme A: oleva reaalse dagoalsotuva matrs. Dagoalsotuvalle matrslle A o olemassa e-sgulaare matrs Q =[v,...,v ] ste, että (2) A = QDQ -, mssä lävstäjämatrs D=dag(λ,..., λ ) lävstäjällä o A: omasarvot. Tällö

74 A k = QD k Q -. Edellee tämä avulla vodaa osottaa, että vastaava pätee jokaselle polyomlle p: p(a) = Qp(D)Q -, mssä p(d) = dag(p(λ ),...,p(λ )). Kute sarjateorassa todetaa, sarjat ovat polyome (osasumme) raja-arvoja. O ss luotevaa määrtellä dagoalsotuva matrs A ekspoettfukto yhteydellä (3) e A = Qe D Q -, mssä e D = dag(exp(λ ),...,exp(λ )). Tämä määrtelmä vodaa osottaa sarjateora avulla estettävssä olevaa ylesempää määrtelmää yhteesopvaks. Alkuarvotehtävä (4) x'(t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkasuks saadaa yt vektorfukto (5) x(t) = e At x 0. Dervomalla todetaa, että kyseessä o ratkasu: x'(t) = d/dt (Qe Dt Q - )x 0 = Q(d/dte Dt )Q - x 0 = Q(De Dt )Q - x 0 = QDQ - Qe Dt Q - x 0 =Ae At x 0 =Ax(t). Koska tämä toteuttaa myös alkuehdo x(0)=x 0, o se olemassaolo- ja ykskästtesyyslausee mukaa alkuarvotehtävä ykskästtee ratkasu.

75 Näemme ss, että dagoalsotuva matrs tapauksessa ykskästtesyyslausee ojalla e At o fudametaalmatrs: (6) X(t) = e At, X(0)=I. Ylee ratkasu vodaa ss esttää myös muodossa (7) x(t) = e At c. Jos v o omasarvoa λ vastaava omasvektor, dervomalla todetaa, että x ( ) t t = e λ vo yhtälö x ( t) = Ax ( t) eräs ratkasu. Jos matrslla A o täys määrä omasvektoreta v, saadaa ästä rakeettua kata ratkasuavaruudelle, ja fudametaalmatrs Xt. ( ) Sllo ylee ratkasu saa muodo (8) x( t) = X( t) d el λ t λ t λ t 2 2 2 (9) x() t = d e v + d e v + + d e v. Tässä olevat yleset vakot evät ole samoja ku kaava (7).

76 Esm. x' = 4 x Matrs A = 4 omasarvot ovat 3 ja -, sekä vastaavat omasvektort [ 2] T ja [ -2] T. Ylee ratkasu o sllo x(t) = ce t + ce 2 2 3t 2 (muotoa 9) = e e 3t e 3t 2 2 t e t c (muotoa 8 ) 3t t ce + ce 2 = 3t 2ce 2ce 2 t (ratkasu kompoetetta).