Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 1 of 39

2 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 2 of 39

3 Matriisit Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. Huom.: A B on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 3 of 39

4 Matriisit Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. Esimerkki Pisteet merkitsevät nollia M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 4 of 39

5 Matriisit Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. Esimerkki Pisteet merkitsevät nollia ja asteriskit mitä tahansa lukuja. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 5 of 39

6 Matriisit Gaussin-Jordanin menetelmä Jokainen matriisi saadaan alkeisoperaatioilla redusoituun porrasmuotoon käyttämällä Gaussin-Jordanin menetelmää. Määritelmä Matriisiin A aste (rank) r(a) on sen (redusoidun) porrasmatriisin porrasluku (nollarivistä eroavien rivien määrä), joka saadaan A:sta alkeisoperaatioilla. Esimerkki Saatetaan seuraava matriisi redusoituun porrasmuotoon: M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 6 of 39

7 Lineaariset yhtälöryhmät Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Lineaarinen n:n muuttujan yhtälöryhmä voidaan ratkaista seuraavalla menetelmällä: Muodostetaan yhtälöryhmän augmentoitu matriisi A. Saatetaan augmentoitu matriisi redusoituun porrasmuotoon. Lausutaan portaan aloittavat muuttujat (r(a) kpl) muiden muuttujien (n r(a) kpl) avulla. Esimerkki Ratkaistaan lineaarinen yhtälöryhmä 4x 2y + z + 4w = 3 5x + y + 4w = 2 3x + 3y 5z + 4w = 1. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 7 of 39

8 Vektoriavaruudet Määritelmä V on vektoriavaruus summan + ja skalaarilla kertomisen suhteen, jos seuraavat aksioomat toteutuvat kaikilla X, Y, Z V ja a, b K: V1 X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z V2 X + Y = Y + X V3 X + 0 = X, missä 0 on nolla-alkio V4 X + ( X ) = 0, missä X on vasta-alkio V5 a(x + Y ) = ax + ay V6 (a + b)x = ax + bx V7 a(bx ) = (ab)x V8 1X = X M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 8 of 39

9 Vektoriavaruudet Esimerkkejä Esimerkkejä vektoriavaruuksista: R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x i R} on (reaalinen) vektoriavaruus. C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x i C} on (kompleksinen) vektoriavaruus. Välillä [a, b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko C 0 [a, b] on vektoriavaruus seuraavien yhteen- ja skalaarikertolaskujen suhteen: (f + g)(x) = f (x) + g(x) (af )(x) = a f (x) Nolla-alkiona f 0 (x) = 0 ja vasta-alkiona f (x). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 14 9 of 39

10 Vektoriavaruudet Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 + c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Merkintä: U V. Lineaarikombinaatiot Olkoot v 1, v 2,..., v k vektoriavaruuden V vektoreita. Lineaarikombinaatioiden joukko L(v 1,..., v k ) = {c 1 v c k v k c 1,..., c k K}. on V :n aliavaruus. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

11 Vektoriavaruudet Lineaarinen riippumattomuus Vektorijoukko {v 1,..., v k } on lineaarisesti riippumaton tarkalleen silloin kun c 1 v c k v k = 0 c 1 = = c k = 0. Lineaarisen riippumattomuuden vastakohta on lineaarinen riippuvuus. Kanta Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B) ja B on lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

12 Vektoriavaruudet Dimensio Olkoon B vektoriavaruuden V äärellinen kanta, jossa on k vektoria. Silloin V :n dimensio on dim(v ) = k. Kantaesitys Jokaisella x V on olemassa yksikäsitteinen kantaesitys V :n kannan B = {b 1, b 2,..., b k } lineaarikombinaationa: x = x 1 b 1 + x 2 b x k b k. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

13 Vektoriavaruudet Lineaarinen riippumattomuus R n :ssä Olkoon S = {v 1, v 2,..., v k } joukko vektoriavaruudessa R n. Muodostetaan matriisi A laittamalla vektorit v i sen vaakariveiksi. Olkoon B sellainen matriisi redusoidussa porrasmuodossa, että A B. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun B:ssä on nollarivi. Lineaarikombinaatiot R n :ssä Olkoot u 1, u 2,..., u l edellä olevan matriisin B nollasta eroavat vaakarivit. Silloin L(v 1, v 2,..., v k ) = L(u 1, u 2,..., u l ). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

14 Vektoriavaruudet Esimerkki Olkoon S = {( 5, 5, 0), (1, 2, 1), (3, 5, 2)}. Koska on S lineaarisesti riippuva. Lisäksi V = L(( 5, 5, 0), (1, 2, 1), (3, 5, 2)) = L((1, 0, 1), (0, 1, 1))., Koska joukko B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} on lineaarisesti riippumaton, niin B on vektoriavaruuden V kanta. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

15 Matriisit Esimerkki (skalaarilla kertominen) ( ) A = on 2 3-matriisi, 5A = Esimerkki (yhteenlasku) ( ) A = on 2 3-matriisi ja B = matriisi. Summaa A + B ei ole määritelty. ( ) ( ) A + B T = + = ( ) ( ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

16 Matriisit Esimerkki (kertolasku) Olkoot matriisit A = ( ) ja B = ( ) Nyt ( ) ( 3) 0 1 ( 3) + ( 3) ( 1) ( 3) 4 AB = ( 3) + 2 ( 1) ( ) = ja BA ei ole määritelty, sillä B:ssä on 3 saraketta ja A:ssa on 2 riviä. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

17 Matriisit Käänteismatriisi Olkoon A n n-matriisi. Jos on olemassa sellainen n n-matriisi B, että AB = BA = I n, sanotaan, että B on A:n käänteismatriisi ja merkitään B = A 1. Jos A:lla on käänteismatriisi, sanotaan että A on säännöllinen. Muutoin A on singulaarinen. Käänteismatriisi Gaussin-Jordanin menetelmällä Muodostetaan seuraava matriisi ja saatetaan se redusoituun porrasmuotoon: ( A I ) ( I A 1 ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

18 Matriisit Esimerkki (käänteismatriisi) Olkoon A = Etsitään käänteismatriisi A 1 Gaussin-Jordanin menetelmällä: A = Siis A 1 = M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

19 Lineaarikuvaukset Määritelmä Funktio f : R n R m on lineaarinen (tai lineaarikuvaus), jos f (ax + by) = af (x) + bf (y) aina, kun x, y R n ja a ja b ovat skalaareita. Huomautus Merkitsemällä y = f (x) ja a ij = f (e j ) i saadaan y i = f (e 1 ) i x 1 + f (e 2 ) i x f (e n ) i x n = a i1 x 1 + a i2 x a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x koordinaateista. Tämä olisi voitu ottaa lineaarikuvauksen määritelmäksi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

20 Lineaarikuvaukset Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f (x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. Esimerkki Kuvaus f : R 3 R 2, f (x, y, z) = (y 2z, 5x + 5y 2z), on edellisen huomautuksen nojalla lineaarinen. Lineaarikuvauksen f matriisi voidaan lukea suoraan muuttujien kertoimista: ( ) M f = Huomaa, että matriisin sarakkeina ovat luonnollisen kannan vektoreiden kuvat f (e 1 ), f (e 2 ) ja f (e 3 ). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

21 Determinantti 2-rivinen determinantti det(a) Merk. = a c b d = ad bc 3-rivinen determinantti a b c d e f g h i = a e h f i b d g f i + c d g e h. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

22 Determinantti 4-rivinen determinantti +c a b c d e f g h i j k l m n o p e f h i j l m n p = a d f g h j k l n o p e f g i j k m n o b e g h i k l m o p M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

23 Determinantti Lause Neliömatriisin A determinantti ei muutu, mikäli Matriisin A rivi lisätään toiseen vakiolla kerrottuna tai Matriisi A transponoidaan. Lisäksi determinantilla on seuraavat ominaisuudet: Jos matriisin A kahden rivin järjestys vaihdetaan, muuttuu determinantin merkki. Jos matriisissa on nollarivi, on sen determinantti nolla. Jos matriisissa on kaksi samaa riviä, on sen determinantti nolla. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

24 Determinantti Esimerkki Lasketaan matriisin A = determinantti. Saadaan det(a) = 17. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

25 Determinantti Lause Olkoon A n n-neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit eli yhtäpitävät: A on säännöllinen eli A:n käänteismatriisi on olemassa. det(a) 0. Matriisin A vaakarivit u 1, u 2,..., u n ovat lineaarisesti riippumattomat. Matriisin A vaakarivit u 1, u 2,..., u n muodostavat R n :n kannan. Esimerkki Edellisen esimerkin matriisille A on voimassa det(a) = Joten matriisi A on säännöllinen ja sen vaakarivit muodostavat R 4 :n kannan. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

26 Ominaisarvot ja -vektorit Määritelmä Olkoon A neliömatriisi. λ C on matriisin A ominaisarvo, jos on olemassa x 0 siten, että Ax = λx. Jokaista tämän yhtälön toteuttavaa vektoria x sanotaan ominaisarvoon λ kuuluvaksi ominaisvektoriksi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

27 Ominaisarvot ja -vektorit Lause Matriisin A ominaisarvot λ ovat tarkalleen seuraavan yhtälön ratkaisut: det(a λi ) = 0. Ominaisvektorien määrittäminen Jos ominaisarvo λ on tunnettu, voidaan siihen kuuluvat ominaisvektorit x määrittää yhtälöstä Gaussin-Jordanin menetelmällä. Ax = λx M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

28 Vektoriavaruuksien geometriaa Sisätulo Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus V V R, on sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (x, x) 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus). (x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus). (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

29 Vektoriavaruuksien geometriaa Normi Olkoon V vektoriavaruus. Vektoriavaruuden normi on kuvaus V R, x x, joka toteuttaa seuraavat ehdot: Etäisyys x 0 ja x = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (positiivisuus ja epädegeneratiivisuus) ax = a x (skalaarin siirto) x + y x + y (kolmioepäyhtälö) Olkoon V vektoriavaruus. Etäisyys on funktio V V R, joka toteuttaa seuraavat ehdot: d(x, y) 0 ja d(x, y) = 0 tarkalleen silloin kun x = y d(x, y) = d(y, x) (symmetria). d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (kolmioepäyhtälö). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

30 Vektoriavaruuksien geometriaa Lause Jokainen sisätulo (x, y) indusoi normin x = (x, x). Lause Jokainen normi indusoi etäisyysfunktion d(x, y) = x y. Pistetulo Vektoreiden x = (x 1,..., x n ) ja y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään x y = x 1 y x n y n. Pistetulon indusoima pituus ja etäisyys Pistetulon indusoima normi on x = (x 1, x 2,..., x n ) = x x x 2 n. Edelleen tämä normi indusoi etäisyyden d(x, y) = x y. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

31 Vektoriavaruuksien geometriaa Vektoreiden kulma Jos θ on vektoreiden x ja y välinen kulma, niin Ortogonaalisuus cos θ = x y x y. Vektorit x ja y ovat ortogonaaliset eli kohtisuorat, jos sisätulo (x, y) = 0. Erityisesti R n :ssä pistetulo antaa vektoreiden tavanomaisen kohtisuoruuden (vrt. vektoreiden välistä kulmaa). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

32 Avaruuden R 3 geometriaa Ristitulo Ristitulo x y voidaan ajatella seuraavan determinantin avulla: x y i j k = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = i x 2 x 3 y 2 y 3 j x 1 x 3 y 1 y 3 + k x 1 x 2 y 1 y 2 = (x 2 y 3 x 3 y 2 )i (x 1 y 3 x 3 y 1 )j + (x 1 y 2 x 2 y 1 )k = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) Lause Ristitulo on kohtisuorassa alkuperäisiin vektoreihin nähden eli x (x y) = 0 ja y (x y) = 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

33 Avaruuden R 3 tasot Parametriesitys T = r + L(x, y) = {r + c 1 x + c 2 y c 1, c 2 R} Vektoreita x ja y sanotaan tason T suuntavektoreiksi ja vektoria r tason T paikkavektoriksi. Reaaliluvut c 1 ja c 2 ovat parametreja. Käyttökelpoinen tason T pisteiden generoimiseksi. Parametrimuodosta hankala selvittää, onko v T. Normaalimuoto Olkoon n R 3 tason T normaalivektori ja x 0 sen paikkavektori. T = {x 0 + x x R 3, n x = 0} = {x R 3 (x x 0 ) n = 0}. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

34 Avaruuden R 3 tasot Koordinaattimuoto Merkitsemällä n = (a, b, c), x = (x, y, z) ja x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) saadaan yhtälö (x x 0 ) n = 0 muotoon a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, ja edelleen missä d = ax 0 + by 0 + cz 0. ax + by + cz = d, Käyttökelpoinen kysymyksen v T? ratkaisemiseksi Hankala tason pisteiden generoimiseksi. Vertaamalla koordinaattimuotoja voidaan selvittää ovatko kaksi tasoa T 1 ja T 2 samat. Kolme pistettä Jos avaruuden R 3 pisteet p 1, p 2 ja p 3 eivät ole samalla suoralla, ne määrittävät tason T yksikäsitteisesti. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

35 Avaruuden R 3 tasot Esimerkki Olkoot x = (6, 1, 2) ja y = ( 3, 2, 0) tason T suuntavektoreita sekä r = (4, 2, 2) sen paikkavektori. Etsitään tason T normaalivektori n. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

36 Avaruuden R 3 suorat Parametrimuoto L = r + L(x) = {r + tx t R} Vektoria r kutsutaan suoran L paikkavektoriksi ja vektoria x sen suuntavektoriksi. Käyttökelpoinen suoran pisteiden generoimiseksi. Hankala kysymyksen v L ratkaisemiseksi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

37 Avaruuden R 3 suorat Koordinaattimuoto Merkitään r = (x 0, y 0, z 0 ) ja x = (a, b, c), jolloin saadaan koordinaattimuoto x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Kaksi pistettä Mitkä hyvänsä pisteet p 1 ja p 2 määrittävät niiden kautta kulkevan suoran yksikäsitteisesti M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

38 Differentiaaliyhtälöt Tärkeimmät DY-tyypit Separoituva DY: dy dx = y = g(x)f (y). Vakiokertoiminen lineaarinen DY: a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(x), missä a i R. 1. kertaluvun lineaarinen DY: y + a(x)y = b(x). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39

39 Differentiaaliyhtälöt Tärkeimmät DY-tyypit Eksakti DY: f (x, y) + g(x, y)y = 0, missä jollakin F (x, y) on voimassa F x = f (x, y) ja = g(x, y). F y Lineaarinen vakiokertoiminen DY-ryhmä: x 1 = a 11 x a 1n x n + f 1 (t) x 2 = a 21 x a 2x x n + f 2 (t). x n = a n1 x a nn x n + f n (t) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 39