v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

Transkriptio

1 Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä B ulos liuosta virtauksella v B Virtaus on kokoonpuristumaton joten v A v AB v B gal/min Säiliöiden tilavuudet V B 5 gal Olkoot q(t) säiliön A suolan määrä ja p(t) säiliön B suolan määrä Säiliöstä A aikayksikössä t poistuvan suolan määrä on verrannollinen siellä jäljellä olevan suolan suhteelliseen osuuteen sekä virtauksen nopeuteen: q(t + t) q(t) t q(t) v AB q(t) q(t) v AB Vastaavasti säiliön B suolan määrälle saadaan yhtälö: ṗ(t) q(t) v AB p(t) v B V B Tilaesitys: q(t) ṗ(t) v AB v AB v B VB q(t) p(t) Lineaarisen aikainvariantin systeemin tilansiirtomatriisi on q(t) p(t) Φ(t τ) e A(t τ) Matriisieksponentti lasketaan yleisesti sarjakehitelmän avulla e A I + A + A2 2! + A3 3! + Koska matriisi on valmiiksi alakolmiomuodossa voidaan laskea suoraan missä Silloin e A(t τ) exp(a(t τ)) exp(a D (t τ)) exp(a N (t τ)) A D e 5 (t τ) e 5 (t τ) exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)) A N 5 1 (t τ) 1 e 5 (t τ) 5 τ)e 5 (t τ) e 5 (t τ)

2 b) RLC-piirin tilayhtälöitä varten kirjoitetaan kirjoitetaan yhtälöt jännitteelle sekä virralle yli piirin: Tästä saadaan tilayhtälöt i L u C e u R + u L + u C Ri L + L di L dt + u C i L C du C dt R/L 1/L 1/C il u C + 1/L missä lähdejännite e tulkitaan ohjaukseksi Sijoitetaan arvot R 3Ω L 1 H ja C 5 F paikoilleen ja muodostetaan numeeriselle matriisille A ominaisarvohajotelma missä Λ Nyt voidaan laskea tilansiirtomatriisi 2 1 A V ΛV V 1 2 Φ(t τ) exp(a(t τ)) V exp(λ(t τ))v 1 e ja tulokseksi saadaan 2e Φ(t τ) 2(τ t) e τ t e τ t e 2(τ t) 2e 2(τ t) 2e τ t 2e τ t e 2(τ t)

3 2 Lineaarinen aikainvariantti systeemi 1 ẋ(t) x(t) + 1 u(t) Ax(t) + Bu(t) on täydellisesti ohjattava jos ja vain jos n mn- ohjattavuusmatriisin E B AB A 2 B A n 1 B rangi on n Miksi näin? Ajatellaan yksinkertaisuuden vuoksi diskreettiaikaista systeemiä x k+1 Ax k + Bu k missä u k R Koska lineaariseen systeemin origo voidaan valita mielivaltaisesti niin ilman yleisyyden menetystä oletetaan että x Silloin x 1 Ax + Bu Bu x 2 Ax 1 + Bu 1 ABu + Bu 1 x k k 1 (A j B)u j j Nyt siis kierroksella k voidaan systeemi ohjata mihin tahansa tilaan joka kuuluu aliavaruuteen Lisäksi todetaan että V k : span{b AB A k 1 B} V m V n m n Jotta systeemi voitaisiin ohjata mielivaltaiseen lopputilaan x f R n tulee olla V n R n joka vastaa edellä esitetty rangiehtoa Vastaavanlainen päättely yleistyy vektoriarvoiselle ohjaukselle Täsmälleen sama ehto voidaan todistaa myös jatkuva-aikaisille systeemeille Tehtävän systeemille ohjattavuusmatriisi on E 1 1 jonka rivit (tai sarakkeet) ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia Siis systeemi on täysin ohjattava Entä jos tehdään muunnos z 1 (t) x 1 (t) + αx 2 (t) z 2 (t) x 1 (t) + βx 2 (t) missä α β? Nyt siis z(t) 1 α 1 β x(t) Cx(t)

4 Koska C on kääntyvä kun α β niin voidaan kirjoittaa uusi systeemiyhtälö ż(t) Cẋ(t) CAx(t) + CBu(t) CAC 1 z(t) + CBu(t) Muodostamalla ohjattavuusmatriisi saadaan E CB CAB α 1 β 1 jonka rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia täsmälleen silloin kun α β Siis myös tämä systeemi on täydellisesti ohjattava Itse asiassa täydellisesti ohjattava systeemi pysyy täydellisesti ohjattavana aina koordinaatiston vaihdoksen x(t) Cx(t) jälkeenkin mikäli n n matriisi C on kääntyvä Tällöin ohjattavuusmatriisiksi tulee CE missä E on alkuperäisen tehtävän ohjattavuusmatriisi 3 Lineaarisen aikainvariantin differenssisysteemin x(k + 1) Ax(k) + Bu(k) ohjattavuusmatriisi on E B AB A 2 B A n 1 B kuten perusteltiin edellisessä tehtävässä Toisen kertaluvun systeemille y(k + 2) + 2y(k + 1) + 3y(k) u(k) ensimmäisen kertaluvun esitys on y(k + 2) y(k + 1) y(k + 1) y(k) + 1 u(k) Siis ohjattavuusmatriisi on E joka on täyttä rangia Systeemi on täysin ohjattava 4 Lineaarisen aikainvariantin systeemin λ 1 ẋ(t) λ 2 λ 3 λ 4 ohjattavuusmatriisiksi saadaan E x(t) + b 1 b 2 b 3 b 4 b 1 b 2 λ 1 b 1 λ 2 b 2 λ 2 1 b 1 λ 2 2b 2 λ 3 1 b 1 λ 3 2b 2 b 3 λ 3 b 3 b 4 λ 4 b 4 λ 2 3 b 3 λ 2 4b 4 λ 3 3 b 3 λ 3 4b 4 u(t) Ax(t) + Bu(t)

5 Matriisin E rivien (tai sarakkeiden) lineaarista riippuvuutta voidaan tutkia suorittamalla Gaussin eliminaatio determinantin määrittämiseksi Kerrotaan jokainen sarake λ 4 :llä ja lisätään viereiseen sarakkeeseen: b 1 λ 1 b 1 λ 2 1b 1 λ 3 1b 1 b 2 λ 2 b 2 λ 2 2 b 2 λ 3 2 b 2 b 3 λ 3 b 3 λ 2 3 b 3 λ 3 3 b 3 b 4 λ 4 b 4 λ 2 4b 4 λ 3 4b 4 b 1 (λ 1 λ 4 )b 1 (λ 1 λ 4 )λ 1 b 1 (λ 1 λ 4 )λ 2 1b 1 b 2 (λ 2 λ 4 )b 2 (λ 2 λ 4 )λ 2 b 2 (λ 1 λ 4 )λ 2 2 b 2 b 3 (λ 3 λ 4 )b 3 (λ 3 λ 4 )λ 3 b 3 (λ 1 λ 4 )λ 2 3 b 3 b 4 Jatketaan eliminaatiota vastaavasti kertomalla sarakkeita ensin λ 3 :lla ja lopuksi λ 2 :lla Saadaan eliminoitua systeemi muotoon b 1 (λ 1 λ 4 )b 1 (λ 1 λ 4 )(λ 1 λ 3 )b 1 (λ 1 λ 4 )(λ 1 λ 3 )(λ 1 λ 2 )b 1 b 2 (λ 2 λ 4 )b 2 (λ 2 λ 4 )(λ 2 λ 3 )b 2 b 3 (λ 3 λ 4 )b 3 b 4 Tästä voidaan kirjoittaa ehdot E:n sarakkeiden lineaariselle riippumattomuudelle Jos kehitetään determinantti alideterminanttien avulla niin nähdään että vinodiagonaalin alkioiden tulo on täsmälleen E:n determinantti joten sen tulee olla nollasta poikkeava Tämä toteutuu jos ja vain jos pätee ehdot b 1 b 2 b 3 b 4 λ i λ j i j Se että nämä ehdot ovat välttämättömiä nähdään suoraan matriisista E (miten?) Laskun perusteella ne ovat siis myös riittävät ehdot Jos b 1 b 2 b 3 b 4 1 niin ohjattavuusmatriisi on nk Vandermonde-matriisi Se tulee vastaan mm interpolaatiopolynomien teoriassa jossa tarvitaan myös kyseisen matriisin determinanttia Edellä olevan laskun ymmärtämisestä saattaa siis olla hyötyä myös muilla matematiikan kursseilla