MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

Transkriptio

1 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin suunta ja pituus yleensä muuttuvat. Jotkin vektorit kuitenkin säilyttävät suuntansa. Näitä sanotaan matriisin ominaisvektoreiksi. Määritelmä Jos n n-matriisille A pätee Ax = λx jollakin vektorilla x C n \ {} ja skalaarilla λ C, niin λ on matriisin A ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Esimerkki 2 (lasketaan luennolla 6 6 Olkoon A =, u = ja v = matriisin A ominaisvektoreita? 3 2 Esimerkki 3 (lasketaan luennolla 6 Osoita, että 7 on matriisin A = ominaisarvo Ovatko u jav Lause 4 Erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Muistetaan, että vektorit {v, v 2,..., v n } ovat lineaarisesti riippumattomat, jos mitään niistä ei voida lausua lineaarikombinaationa toisista, eli yhtälön c v + c 2 v c n v n = ainoa ratkaisu on c = c 2 =... = c n =. Todistus. Taululla, vastaoletuksesta johdetaan ristiriita. 3 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. 4 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4.

2 Huomioita reaalisia ominaisvektoreita ei aina ole olemassa ominaisvektori on määritelmän mukaan nollasta eroava ominaisarvo voi olla nolla Ax = λx A(tx = λ(tx kaikilla t R, joten ominaisvektorin x sijaan voidaan puhua x:n suuntaisesta ominaissuorasta {tx t R}. (Kulkee origon kautta. Jos matriisin A R n n ominaisarvo λ, niin vastaava ominaissuora kuvautuu itselleen ja ominaisarvo λ ilmoittaa ominaissuoran suuntaisen venytyksen. Jos λ <, niin suunnistus ominaissuoralla kääntyy, ts. venytyksen lisäksi lineaarikuvaus peilaa ominaissuoran normaalin suhteen. Jos λ =, niin kuvaus litistää ominaissuoran origoksi. 5 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisyhtälö Ax = λx on yhtäpitävästi (A λi x =, missä I on identtinen matriisi. Tälle löytyy nollasta eroava ratkaisu x täsmälleen silloin, kun det(a λi = jollekin λ R. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarikuvausta ( 2 A =. 2 Muodostetaan lineaarikuvauksen karakteristinen polynomi p(λ = det(a λi : ( ( ( 2 p(λ = det(a λi = det λ 2 6 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi = det ( ( 2 2 = ( λ 2 4. ( λ λ Haluttiin det(a λi = eli p(λ = : ( λ 2 4 = ( λ 2 = 4 ( λ = ±2 λ = tai λ = 3. ( λ 2 = det 2 λ Nämä ovat A:n ominaisarvot. Etsitään niitä vastaavat ominaisvektorit ratkaisemalla x yhtälöstä (A λi x =. 7 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Kun λ =, niin yhtälö on (A + I x =, ts. ( ( ( ( 2 x + = 2 ts. ( ( 2 2 x = 2 2 eli saadaan yhtälöpari x 2 { 2x + 2x 2 = x 2 2x + 2x 2 =. ( (, (Lineaarisesti riippuvat yhtälöt juuri kuten pitääkin, sillä halutaan ratkaisuksi ominaissuora. 8 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4.

3 Yhtälöparin ratkaisujoukko on {(x, x 2 R 2 x 2 = x }. (Suora. Vastaavasti kun λ = 3, niin ominaisyhtälö on (A 3I x = ja saadaan yhtälöpari { 2x + 2x 2 = 2x 2x 2 =. Jälleen lineaarisesti riippuvat yhtälöt; ratkaisujoukko on suora {(x, x 2 R 2 x 2 = x }. Yhteenveto: ominaisarvoa vastaava ominaissuora on {(x, x 2 R 2 x 2 = x } ja ominaisarvoa 3 vastaava ominaissuora on {(x, x 2 R 2 x 2 = x }. Ominaisvektoreita ovat näillä suorilla olevat vektorit, esim. (, ja (. Nämä tiedot kertovat lineaarikuvauksesta kaiken! x Ax Kuvassa skaalataan ominaissuorien suuntaisesti kertoimilla 3 ja. 9 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi lasketaan siis seuraavasti: Muodosta karakteristinen polynomi p(λ = det(a λi. Etsi karakteristisen polynomin nollakohdat p(λ =, nämä ovat ominaisarvot. Ratkaise kullakin ominaisarvolla λ i sitä vastaava ominaisvektori/suora yhtälöstä (A λ i I x =. Esimerkki 5 (lasketaan luennolla Määritä matriisin A = ominaisarvot ja vastaavat ominaissuorat. Piirrä kuva. Vastaus: ominaisarvot ovat, 2, ja 3, ja vastaavat ominaissuorat ovat {t 2 : t R}, {t : t R} ja {t 2 : t R}. 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4.

4 Esimerkki 6 Matriisin R = ( ominaisarvot ovat ja, sillä sen määräämä lineaarikuvaus on peilaus suoran suhteen. Esimerkki 7 Matriisilla Q = ( ei ole reaalisia ominaisvektoreita, sillä sen määräämä lineaarikuvaus on 9 asteen pyöritys. Ominaisarvot ovat i ja i. Kuten edellisessä esimerkissäkin nähtiin, reaaliselle matriisille kompleksiset ominaisarvot esiintyvät konjugaattiparina. Lause 8 Jos reaalisella matriisilla A on kompleksinen ominaisarvo λ = x + yi, jota vastaa ominaisvektori v, niin myös λ = x yi on ominaisarvo ja v on sitä vastaava ominaisvektori. Todistus. Av = λv Av = Av = (Av = (λv = λv. 3 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. 4 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Ominaisarvoille pätevät seuraavat tulokset: Matriisi A on kääntyvä, jos ja vain jos ei ole sen ominaisarvo. Jos λ on kääntyvän matriisin ominaisarvo, niin /λ on käänteismatriisin A ominaisarvo. Kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. Matriisin determinantti on yhtä kuin sen ominaisarvojen tulo: det(a = λ λ 2... λ n Matriisin A = (a ij diagonaalialkioiden summa eli jälki (engl. trace on yhtä kuin sen ominaisarvojen summa: a + a a nn = λ + λ λ n 4.2 Sovellus Markovin ketjuihin Markovin ketjuja käytetään matemaattisina malleina useissa erilaisissa biologian, talouden, kemian, fysiikan jne. tilanteissa. Malli sopii tilanteeseen, jossa samaa koetta tai mittausta toistetaan, tulos on yksi äärellisestä joukosta vaihtoehtoja ja kunkin toiston tulos riippuu vain edellisen toiston tuloksesta: Systeemin tilaa hetkellä k kuvaa vektori x k. Tiedetään, että tila seuraavalla hetkellä saadaan laskettua matriisin A avulla, eli x k+ = Ax k. Tyypillisesti matriisin A alkiot kuvaavat siirtymätodennäköisyyksiä, joten kunkin sen sarakkeen alkioiden summa on. 5 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. 6 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4.

5 Esimerkki 9 Systeemin tilaa hetkellä k kuvaa vektori x k. Tiedetään, ( että tila.95.3 seuraavalla hetkellä saadaan laskettua matriisin A =.5.97 avulla: x k+ = Ax k. Jos alussa x =.6,.4 T, niin mihin tilaan systeemi päätyy lopulta? Ratkaisu: Lasketaan A:n ominaisarvot ja ominaisvektorit: λ =, λ 2 =.92, v = 3, 5 T, v 2 =, T. Kirjoitetaan x ominaisvektoreiden kombinaationa: x =.25v +.225v 2. Tällöin x k = A k x =.25 k v k v 2.25v, kun k. Systeemi päätyy siis tilaan.25v =.375,.625 T. Esimerkki (lasketaan luennolla Erään kaupungin säätilaa voidaan kuvata yksinkertaistetusti siten, että sadepäivän jälkeen seuraavanakin päivänä sataa todennäköisyydellä.5 ja poutapäivän jälkeen on seuraavanakin päivänä poutaa todennäköisyydellä.9. Olkoon vektori x k = sateettoman sään todennäköisyys päivänä k sateisen sään todennäköisyys päivänä k Muodosta matriisi A, jonka avulla saat laskettua säävektorin seuraavalle päivälle, eli x k+ = Ax k. Miten suurella todennäköisyydellä satunnaisena päivänä sataa?. 7 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. 8 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Ratkaisu: Sateen ja aurinkoisen sään todennäköisyys päivänä k + saadaan siis päivän k todennäköisyyksistä seuraavasti:.9.5 x k+ = x..5 k Rajakäyttäytymisen k selvittämiseksi lasketaan A:n ominaisarvot ja -vektorit: λ = : λ 2 =.4: v 2 = v = ( ( 5 λ + λ 2 = Tr(A =.4 λ λ 2 = det(a =.4 λ =, λ 2 =.4 Ominaisvektorit ovat riippumattomat, joten kirjoitetaan x muodossa x = w v + w 2 v 2, jolloin saadaan x k = A k x = w k ( 5 +w 2.4 k ( ( 5 w, kun k. 9 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4.

6 Vielä pitää selvittää w. Koska alkutilan x alkioiden täytyy summautua ykköseen (tn:llä joka sataa tai paistaa, alkutilasta riippumatta saadaan ( w v + w 2 v 2 = x = x,, x,2 T 5w + w 2 = w w 2 6w = x, + x,2 = w = 6. Näin ollen ( 5 x k 6, kun k, 6 ( x, x,2 Esimerkki (lasketaan luennolla Etsi seuraavien dynaamisia systeemejä kuvaavien matriisien A ja A ominaisarvot ja ominaisvektorit. Mistä tiedetään, että matriisin A esittämä lineaarikuvaus on jo hyvin lähellä matriisin A lineaarikuvausta? A = (.6.2, A =.4.8 ( /3 /3 2/3 2/3 joten satunnaisena päivänä paistaa todennäköisyydellä 5 6 on luvassa todennäköisyydellä 6. ja sadetta 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Määritelmä 2 Polynomin det(a λi juuren kertaluku on kyseisen ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku m a (λ. Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m g (λ on sitä vastaavan ominaisavaruuden dimensio, eli lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä. Esimerkki ( 3 2 Matriisin karakteristinen polynomi on ( λ 2, joten ominaisarvon λ = algebrallinen kertaluku on m a ( = 2. Sitä vastaavat ominaisvektorit toteuttavat x 2 =, joten on vain yksi ominaissuora {(x, x R}, ja geometrinen kertaluku on siis m g ( =. Piirretään kuva esimerkin tilanteesta: x Ax Vain x -akseli pysyy siis paikallaan, toista muuttumatonta suoraa ei ole. Tässä tapauksessa ominaisarvot ja -vektorit eivät kerro kaikkea kuvauksesta! 23 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4.

7 Esimerkki 4 (lasketaan luennolla Etsi matriisin A = ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut. Ratkaisu: Lasketaan ominaisarvot karakteristisen polynomin nollakohtina: det(a λi =... = (3 λ 2 (λ + =, joten ominaisarvon λ = 3 algebrallinen kertaluku on 2 ja ominaisarvon λ = on. Lasketaan sitten ominaisvektorit: Kun λ =, yhtälö on (A + I x =, ja saadaan x 2 = ja x 3 = x, eli ominaissuora {t(,, t R}. Näin ollen geometrinen kertaluku on m g ( = m a ( =. Arvolle λ = 3 saadaan yhtälöstä (A 3I x = ehdot x 2 R ja x 3 = x, joten tätä ominaisarvoa vastaten saadaankin ominaistaso {s(,, + t(,, s, t R}. (Lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit esim. (,, ja (,,. Geometrinen kertaluku on siis m g (3 = / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Huom. Geometrinen kertaluku ei koskaan voi olla suurempi kuin algebrallinen kertaluku, m g (λ m a (λ. Huom 2. Matriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa sellainen kääntyvä matriisi S, että S AS = B. Similaaristen matriisien A ja B karakteristiset polynomit ovat samat, ja niillä on siis samat ominaisarvot. 27 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4.