Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Transkriptio

1 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä koskeva perustulos: Alkuarvotehtävän olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause n n Oletetaan, että funktio f: on jatkuva pisteen (x, t ) ympäristössä U I ja että derivaattamatriisi f on olemassa ja jatkuva x siellä (derivointi muuttujan x suhteen). Silloin alkuarvotehtävällä x'(t) = f(x(t),t), x(t )=x on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollakin välillä J I, t J. Jos lisäksi matriisin f alkiot ovat rajoitettuja, niin tämä ratkaisu on x olemassa koko välillä I.

2 2 Lineaariset systeemit. Seuraavassa tarkastellaan ns. autonomisten vakiokertoimisten homogeenisten differentiaalisysteemien ratkaisemista analyyttisesti (numeerisiin menetelmiin ei tässä nyt puututa). Systeemi on muotoa (1) x'(t) = Ax(t) ja haettavana on yleinen ratkaisu tai alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu. Matriisi A on kokoa n n oleva vakiomatriisi (siis ajasta t riippumaton) ja tilavektori x(t) n. Koska nyt oikean puolen derivaatta on vakiomatriisi A, olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause on voimassa koko avaruudessa (U= n, I= ). Kun n=1 eli systeemi on yksiulotteinen x'( t) = ax( t), yleiseksi ratkaisuksi at saatiin aiemmin x() t = e c ja alkuehdon x() = x toteuttavaksi ratkaisuksi x() t = e at x. Osoittautuu, että tämä muoto ratkaisuille pätee myös korkeammissa dimensioissa n. Silloin a:n tilalla on matriisi A ja e At on matriisin At (=ta) matriisiarvoinen funktio. Matriisieksponenttifunktio e A voidaan määritellä e x :n sarjakehitelmän avulla sijoittamalla luvun x paikalle neliömatriisi A (ks. sarjateorian osuus). Mutta tässä vaiheessa tyydymme yksinkertaisempaan tapaukseen ja oletamme A:n olevan reaalisen diagonalisoituvan matriisin. Diagonalisoituvalle matriisille A on olemassa ei-singulaarinen matriisi Q =[v 1,...,v n ] siten, että (2) A = QDQ -1, missä lävistäjämatriisin D=diag(λ 1,..., λ n ) lävistäjällä on A:n ominaisarvot. Aikaisemmin olemme osoittaneet, että tällöin A k = QD k Q -1.

3 3 Edelleen tämä avulla voidaan osoittaa, että vastaava pätee jokaiselle polynomille p: p(a) = Qp(D)Q -1, missä p(d) = diag(p(λ 1 ),...,p(λ n )). Kuten sarjateoriassa todetaan, sarjat ovat polynomien (osasummien) raja-arvoja. On siis luontevaa määritellä diagonalisoituvan matriisin A eksponenttifunktio yhteydellä (3) e A = Qe D Q -1, missä e D = diag(exp(λ 1 ),...,exp(λ n )). Tämä määritelmä voidaan osoittaa sarjateorian avulla esitettävissä olevaan yleisempään määritelmään yhteensopivaksi. Alkuarvotehtävän (4) x'(t) = Ax(t), x() = x ratkaisuksi saadaan nyt vektorifunktio (5) x(t) = e At x. Derivoimalla todetaan, että kyseessä on ratkaisu: x'(t) = d/dt (Qe Dt Q -1 )x = Q(d/dte Dt )Q -1 x = Q(De Dt )Q -1 x = QDQ -1 Qe Dt Q -1 x =Ae At x =Ax(t). Koska tämä toteuttaa myös alkuehdon x()=x, on se olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan alkuarvotehtävän yksikäsitteinen ratkaisu.

4 4 Lähdetään sitten toista kautta hakemaan yleistä ratkaisua. Todetaan ensin, että jos x 1,..., x k ovat lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) ratkaisuja, niin myös niiden jokainen lineaarikombinaatio x(t) = c 1 x 1 (t) c k x k (t) on sitä. (Operaattori L(x)=x'-Ax on lineaarinen.) Funktioita x 1,..., x k sanotaan välillä I lineaarisesti riippumattomiksi, jos yhtälö c 1 x 1 () t + cnxn() t = toteutuu välillä I vain, kun c = = c n =. 1 Jos funktiot x i ovat lineaarisen systeemin ratkaisuja, riippumattomuutta selvitettäessä ei kuitenkaan tarvitse tutkia jokaista t, vaan yksikin t 1 riittää. Jos nimittäin vektorit x 1 (t),..., x k (t) ovat riippuvia hetkellä t 1, niin silloin on joillakin kertoimilla c i voimassa yhtälö c 1 x 1 (t 1 ) c k x k (t 1 ) = (t 1 ) jolloin molemmilla puolilla esiintyy alkuarvotehtävän x'(t)=ax(t), x(t 1 )= ratkaisu. Ne ovat siis samat kaikilla t, joten funktiot x 1,..., x k ovat lineaarisesti riippuvia. Lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) yleinen ratkaisu muodostuu mistä hyvänsä n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta x 1,..., x n niiden lineaarikombinaationa: (6) x(t) = c 1 x 1 (t) c n x n (t). Tämä seuraa olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseesta ja siitä, että mielivaltainen alkutila x saadaan sopivilla kertoimilla c i yhtälöstä c 1 x 1 () c n x n () =x. (Vektorit x1 (),, x n () ovat lineaarisesti riippumattomia ja niitä on n n kappaletta, joten ne muodostavat avaruuden kannan.)

5 5 Kerroinyhtälö on matriisimuodossa [x 1 (),...,x n ()]c =x, missä c=[c 1,...,c n ] T. Kerroinmatriisi on ei-singulaarinen, koska sen sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Siis kerroinyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu c. Tästä saadaan sen lineaarikombinaation c 1 x 1 (t) c n x n (t) kertoimet, joka on alkutilan x määräämää ratkaisu differentiaaliyhtälösysteemille. Matriisia X(t) = [x 1 (t),...,x n (t)] sanotaan differentiaaliyhtälösysteemin fundamentaalimatriisiksi. Sitä käyttäen yleinen ratkaisu(6) voidaan esittää muodossa (7) x(t) = X(t)c. Fundamentaalimatriisi ei ole yksikäsitteinen, sehän rakentuu valituista n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta. Usein kuitenkin asetetaan ehto X()=I. Silloin alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu on (8) x(t) = X(t)x. Näemme siis, että diagonalisoituvan matriisin tapauksessa yksikäsitteisyyslauseen nojalla e At on fundamentaalimatriisi: (9) X(t) = e At, X()=I. Yleinen ratkaisu (7) voidaan siis esittää myös muodossa (1) x(t) = e At c.

6 6 Jos A on diagonalisoituva ja Q =[v 1,...,v n ] rakentuu sen lineaarisesti riippumattomista ominaisvektoreista (joita siis on täysi määrä n), niin alkuarvotehtävän ratkaisuksi saatiin x(t) = e At x = Qe Dt Q -1 x, joka voidaan kirjoittaa muotoon (11) x(t) = [exp(λ 1 t)v 1... exp(λ n t)v n ] T Q -1 x. Merkitsemällä c = Q -1 x = [c 1,...,c n ] T saadaan (12) x(t) = c 1 exp(λ 1 t)v c n exp(λ n t)v n, joka on yleisen ratkaisun (6) muotoa, jos kertoimet c i ovat mielivaltaisia ja x i (t) = exp(λ i t)v i. Jokainen tällainen x i (t) todella on ratkaisu: derivoidaan ja käytetään ominaisvektorin ominaisuutta Av i =λ i v i x'(t) = d/dt(exp(λ i t)v i ) = λ i exp(λ i t)v i =exp(λ i t)av i = A(exp(λ i t)v i ) =Ax(t). Siis yleinen ratkaisu (1) on "aukikirjoitettuna" lauseke (12). Alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu kaavasta (12) saadaan, jos c =Q -1 x eli yhtälön Qc=x ratkaisu.

7 7 Esim. 1 x' = x Matriisin A = ominaisarvot ovat 3 ja -1, sekä vastaavat ominaisvektorit [1 2] T ja [1-2] T. Yleinen ratkaisu on silloin x(t) = ce 1 t 1 + ce 2 2 3t 1 2 (muotoa 12) = e e 3t e 3t 2 2 t e t c (muotoa 7 ) 3t t ce 1 + ce 2 = 3t 2ce 1 2ce 2 t (ratkaisu komponenteittain). Edellä oletettiin, että matriisi A on diagonalisoituva. Tällainen on tilanne täsmälleen silloin, kun jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin algebrallinen. Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi: Olkoon A:n ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku 2, geometrinen kertaluku 1 ja vektori u λ:aa vastaava ominaisvektori. Silloin kaksi λ:aa vastaavaa lineaarisesti riippumatonta systeemin x' = Ax ratkaisua ovat (13) e λt u ja te λt u + e λt v. missä vektorit u ja v ratkaistaan yhtälöistä (14) (A-λI)u =, (A-λI)v = u.

8 8 (Todistetaan sijoittamalla (13) yhtälöön x' = Ax. Ensimmäinen yhtälö ilmaisee sen, että u on A:n ominaisvektori.) Edelleen, jos λ:n algebrallinen kertaluku on 3 ja geometrinen kertaluku 1, niin lineaarisesti riippuvia ratkaisuja differentiaaliyhtälösysteemille ovat (15) e λt u, te λt u + e λt v ja ½t 2 e λt u + te λt v + e λt w, missä u, v ja w ratkaistaan peräkkäin yhtälöistä (16) (A-λI)u =, (A-λI)v = u, (A-λI)w = v. Esim. 2 Ratkaistaan differentiaaliyhtälösysteemi x'(t) = x(t). 2 5 Ominaisarvot: 5 λ λ 2 = (5 λ)( λ(5 λ) 4) ( 4)(5 λ) = (5 λ)( λ 5 λ) = 2 5 λ λ = 5, λ = 1,2 3 Ominaisvektorit ominaisarvolle 5: x1+ 2x3 =, x2 =, vain yksi lineaarisesti riippumaton: esim. u =. 1 Toinen rakennettava kaavan (14) avulla (yleistetty ominaisvektori): /2 ( A 5 I) v = u ½ 1 ½ 2 1

9 9 5/2 2 x1+ 2x3 = 5/2, x2 = ½, v = ½ + s, valitaan esim. s = 1, jolloin 1 ½ v = ½. 1 4 Ominaisarvon ominaisvektoriksi saadaan vastaavasti w = 5. Siis yleinen 2 ratkaisu on kaavan (13) mukaisesti: 2 2 ½ 4 5t 5t 5t x () t = ce 1 + c2( te + e ½) + c Yleisemmät tilanteet johtavat matriisien Jordanin kanonisen muodon käyttöön. (Ks. kurssi Differentiaaliyhtälöt.)

10 1 Seuraavaksi tarkastellaan (yksinkertaisen) kompleksisen ominaisarvon λ=α+iβ tapausta. Matriisi A oletetaan reaaliseksi ja differentiaaliyhtälösysteemille haetaan nimenomaan reaalisia ratkaisuja. Reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot esiintyvät liittolukupareina λ 1,2 =α±iβ. Silloin yleensä myös vastaavat ominaisvektorit ovat kompleksivektoreita, ja reaalimatriisin tapauksessa ne ovat toistensa liittovektoreita. Suoralla sijoituksella todetaan, että jos v on vastaava ominaisvektori, niin (17) e (α+iβ)t v on systeemin ratkaisu (kompleksinen), ja sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös. Ne ovat silloin kaksi ominaisarvoon λ 1 =α+iβ liittyvää reaalista ratkaisua. Koska ominaisarvoon λ 2 =α-iβ liittyvät samat reaaliset ratkaisut, saadaan näitä kahta kompleksista ominaisarvoa vastaamaan lopulta kaksi reaalista ratkaisua (18) Re(e (α+iβ)t v) ja Im(e (α+iβ)t v). Jos merkitään v=a+ib, saadaan silloin yhtälöistä e (α+iβ)t v=e αt e iβ t v = e αt (cos(βt)+isin(βt))(a+ib) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b +i(cos(βt)b+sin(βt)a)) ratkaisujen muodoksi (19) x 1 (t) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b) ja x 2 (t) = e αt (cos(βt)b+sin(βt)a)). 2 8 Esim. 3 Tarkastellaan alkuarvotehtävää x' = 1 2 x, x()= 2 1. Kerroinmatriisin ominaisarvot ovat ±2i, ja vastaava ominaisvektori v= i 1, josta 2 2 reaaliosa a = 1 ja imaginaariosa b =. Systeemin yleinen ratkaisu on siis x(t)=c 1 (cos2t 1 -sin2t )+c 2 (cos2t +sin2t 1 ). Alkuehdot toteutuvat, kun vakioilla on arvot c 1 =1, c 2 =.

11 11 Tarkastellaan vielä epähomogeenisen yhtälön alkuarvoprobleemaa: (2) x'(t) = Ax(t) + b(t), x()=x. Tässä A on edelleen vakiomatriisi ja funktio b jatkuva. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan yksikäsitteinen ratkaisu on olemassa. Todetaan ensin yleinen yhteys homogeenisen ja epähomogeenisen lineaaristen differentiaaliyhtälösysteemien välille: Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yhtälön jokin yksityisratkaisu. Eli jos x h on homogeenisen systeemin x'=ax yleinen ratkaisu ja x p epähomogeenisen systeemin x'=ax+b yksityisratkaisu, niin epähomogeenisen systeemin yleinen ratkaisu on x=x h +x p. Haetaan vinkki ratkaisun muodolle taas yksiulotteisesta tapauksesta: Yhtälön x'( t) = ax( t) + b( t) yleinen ratkaisu on x(t)=e at c + e at e -at b(t)dt ja alkuarvoprobleeman ratkaisu alkuehdolla x() = x t x(t)=e at a( t s) x + e b() s ds. Kokeillaan siis n-ulotteiselle systeemille alkuarvotehtävän ratkaisuksi (21) x(t)=e At x + t ea(t-s) b(s) ds, joka derivoimalla ja sijoittamalla todetaan ratkaisuksi. Se on siis olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen perusteella probleeman (2) yksikäsitteinen ratkaisu. Yleinen ratkaisu saadaan korvaamalla x yleisellä vakiovektorilla c.

12 12 Esim. 4 Ratkaistaan alkuarvoprobleema x'(t) = x(t)+ 3 t t e, x()= 3 2. A:n ominaisarvot ovat -5 ja -2, vastaavat ominaisvektorit v = & 2 = 2 v 1. Silloin A:n diagonalisointi antaa eksponenttifunktion: e At 5t 1 5t 1 1 e e = 2t 2t e 2 1 = 2 1. e 3 3 Siis alkuarvotehtävän ratkaisu on kaavan (21) mukaisesti t () = At A( t s) + ( ) x t e x e b s ds 5t 1 1 t 5( t s) 1 1 e e 3 3 3s = + ds 2t 2 1 2( t s) 2 1 s 2 1 e e 3 3 e t 5t 5s 1 4s e ( e s 5 3 e ) ds 5 t e ( 4 2t t ) e 2t 2s 1 s e ( e 2 s+ 3 e ) ds = + (matriisi yhteisenä tekijänä) 5 5t t 37 5t e 5 t ( e + 3 e = 4 2t 1 1 t 1 2t ) e t 2 + 3e + 6e t 537 5t t 25 ( 12 e + 3 e 1 1 t 9 2t ) 2 1 t 2 3e 6e = t 3 2t 179 5t 5t 5 + 4e + 2e + 1e = t 3 2t 179 2t. 5t 5 + 2e + 2e 5 e

13 13 bdifferentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemeihin, jotka ovat muotoa x '(t) = f(t, x(t)), x(t) n. n n Tässä f on jatkuva funktio:. Vektorin x(t) voidaan sanoa esittävän systeemin tilaa ajanhetkellä t. Geometrisesti x muodostaa ratakäyrän n-ulotteisessa avaruudessa. Systeemin ratkaisu avoimella välillä I on tällä välillä määritelty jatkuvasti derivoituva vektoriarvoinen funktio x, joka toteuttaa yllä mainitun yhtälön tämän välin jokaisessa pisteessä. Ratkaisuja on yleensä ääretön määrä. Alkuarvotehtävässä x '(t) = f(x(t),t), x(t )=c ratkaisun määrätään kulkevan ajanhetkellä t pisteen c kautta. Edellisessä luvussa olevan lauseen mukaan ratkaisu on tällöin yksikäsitteinen. Ensimmäisen kertaluvun derivaattaan keskittyminen edellä ei ole kovin yleisyyttä rajoittavaa: Korkeampaa kertalukua olevat differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa ensimmäisen kertaluvun systeemiksi. Edellytyksenä tälle on, että esiintyvä korkein derivaatta voidaan ratkaista yhtälöstä.

14 14 Esim. 1 Muutetaan seuraava differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun systeemiksi: 2 y'''( t) - 3 y''( t) + 4 y'( t) - y( t) =. Valitaan x1( t) = y( t), x2( t) = y'( t), x3( t) = y''( t), jolloin näiden derivaatoille saadaan x '( t) = x ( t) 1 2 x '( t) = x ( t) 2 3 x '( t) = 1/2 x ( t)-2 x ( t) + 3/2 x ( t) Differentiaaliyhtälösysteemien tasapainotilat ja stabiilius. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x toteuttaa yhtälön, niin silloin vakiona sen derivaatta x'(t) ja sanomme, että systeemi on tasapainotilassa ja x on systeemin tasapainopiste. Tasapainopistettä karakterisoi siis yhtälö f(x ) =, josta systeemin tasapainopisteet voidaan ratkaista.

15 15 Esim. 2 Systeemin tasapainopisteet ovat (, nπ). f(x) = [sin(x 1 +x 2 ) exp(x 1 )-1] T Systeemi on tasapainopisteessä x stabiili, jos sen tila x(t) eroaa ajan kuluessa tasapainostaan hallitun vähän, kun poikkeama tasapainopisteestä on riittävän pieni. Eli jos systeemi lähtee poikkeutetusta alkutilasta x * ja etenee alkuarvoprobleeman x' = f(x), x() = x * ratkaisuna x(t), niin jokaista ε > kohti on olemassa δ > siten,että x * - x < δ x(t) - x < ε kaikilla t>. Tällöin sanotaan myös, että kyseinen tasapainopiste on stabiili. Voimakkaampi ominaisuus on asymptoottinen stabiilius: Systeemi on stabiili ja x(t) x, kun t. Eli kun poikkeutus tasapainopisteestä on riittävän pieni, niin systeemi palaa ajan kuluessa lopulta takaisin tasapainotilaansa raja-arvona. Globaalissa asymptoottisessa stabiiliudessa poikkeaman suuruus K saa olla mikä hyvänsä. Jos systeemi ei ole stabiili, se on epästabiili. Silloin poikkeutuksen vähäisyys ei riitä takaamaan systeemin tilan pysymistä hallituissa rajoissa. Oheinen kuva havainnollistaa stabiilin, asymptoottisesti stabiilin ja epästabiilin tasapainopisteen käsitteitä:

16 16 Avaruuden n lineaarisille systeemeille x' = Ax stabiiliuskysymykset voidaan selvittää ominaisarvojen avulla. Olkoon det(a), jolloin ainoa tasapainopiste on origo. Origo on systeemin stabiili tasapainotila täsmälleen silloin, kun sen ominaisarvojen reaaliosat ovat ja lisäksi niiden ominaisarvojen, joilla geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen, reaaliosa on <. Jos lisäksi kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin origo on globaalisti asymptoottisesti stabiili tasapainotila.

17 17 Yleisemmän lineaarisen systeemin x' = Ax + b tasapainotila on (A:n ollessa kääntyvä) yhtälön ratkaisu Ax + b = x = -A -1 b. Sen stabiiliusominaisuudet määräytyvät A:n ominaisarvoista täsmälleen kuten origon tapauksessa yllä. Siis lineaarisen systeemin x' = Ax + b (det(a) ) tasapainotila on globaalisti asymptoottisesti stabiili, jos A:n ominaisarvot λ C ovat aidosti vasemmassa puolitasossa (ei imaginääriakselilla). Jos ne ovat vasemmassa puolitasossa, mutta jokin on imaginääriakselilla, systeemi on silti stabiili. Jos jokin ominaisarvoista on aidosti oikeassa puolitasossa (Reλ>), systeemi on tasapainotilassaan epästabiili.

18 18 Epälineaarisen systeemin x' = f(x) tasapainotilan x stabiilius selvitetään tutkimalla pisteen x ympäristössä linearisoitua systeemiä f(x) = f(x ) + f '(x )(x-x ). Koska tasapainopisteessä x on f(x ) =, on linearisoitu systeemi x' = Ax +b, missä A = f '(x ) on f:n derivaatta eli Jacobin matriisi pisteessä x ja b = - f '(x )x. Jos Jacobin matriisin ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin tasapainotila x on epälineaariselle systeemille asymptoottisesti stabiili. Jos yksikin ominaisarvoista on reaaliosaltaan positiivinen, tasapainotila on epästabiili.

19 19 2 Tason lineaarisille systeemeille x' = Ax voidaan eri tilanteet tasapainotilalle luokitella seuraavasti ominaisarvojen λ 1, λ 2 avulla:

20 2