Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin siksi, että tällä kurssill rtkotn lukuteoreettisi ongelmi nimenomn nlyyttisin keinoin, ts. käyttäen relij erityisesti kompleksinlyysin trjomi menetelmiä. Vikkkin luseiden todistukset ovt vrsin nlyyttispinotteisi, on kuitenkin syytä pitää mielessä, että päätvoite on lukuteoreettisten ongelmien käsittelyssä; nlyysi on tässä (vin) menetelmän semss. Kurssin tvoitteet voidn ilmist kolmiosisesti: ) Todistetn lkulukuluse. ) Todistetn Dirichlet n luse. 3) Trkstelln Riemnnin ζ-funktion nollkohtien sijinti j erityisesti näiden yhteyttä lkulukuluseen virhetermiin. log, j tämä to- Kohdss ) minittu lkulukuluse väittää, että π() distetn khdell oleellisesti erilisell tvll. Ensimmäinen todistus käyttää hyväkseen kompleksinlyysiä j Wiener-Ikehrn lusett. Vrsininen todistus on lkuvlmistelujen jälkeen melko helppo se esitetään luvuss 7. Sen sijn nuo lkuvlmistelut (erityisesti Wiener-Ikehrn luseen todistus) ovt pljon vikempi. Ne esitetään luvuiss 5. j 6. Toinen (ns. lkeellinen ) todistus lkulukuluseelle on sinällään pljon vikempi kuin ensimmäinen, mutt trvittvt lkuvlmistelut ovt helpompi, erityisesti kompleksinlyysiä ei trvit eikä käytetä. Tämä toinen todistus esitetään luvuss. j sitä vrten trvittv Selbergin epäyhtälö luvuss. Kyseinen toinen todistus on myös kronologisess mielessä toinen: ensimmäisen kerrn lkulukuluse todistettiin vuonn 896 (Hdmrd j de l Vllée-Poussin) kompleksinlyysiä käyttäen. Vuonn 949 Selberg esitti ensimmäisen lkeellisen todistuksen tälle luseelle. Tässä tekstissä esitettävä todistus on lähtökohtisesti nimenomn Selbergiltä, mutt Jyväskylän yliopiston edesmennyt professori Veikko Nevnlinn on tehnyt siihen metodologisi prnnuksi väitöskirjssn vuonn 964. Edellä kohdss ) puhutn Dirichlet n luseest. Se väittää, että jos k i
j syt(m,k) =, niin kongruenssiluokss [m] k Z k on äärettömän mont lkuluku. Tämä (j itse siss vähän vhvempikin tulos) todistetn ivn luentomonisteen lopuss luvuss 5. Dirichlet n srjojen j ryhmäteorin vull. Luvuss 4. esitellään Dirichlet n srjt ne ovt kompleksisi funktiosrjoj vähän smn tpn kuin potenssisrjt. Riemnnin ζ-funktio on määritelty kurssill Lukuteori relisell välillä ], [ settmll ζ(s) = n N n kikille s >. Tämä määritelmä ljennetn steittin niin, että ζ-funktio tulee (kompleksirvoisen) määritellyksi koko t- s soss C nlyyttisenä funktion pois lukien pisteen, joss tällä ljennetull ζ-funktioll on np. Tämä ljennus tehdään luvuiss 5. j 8. Tämän jälkeen luvuss 8. ihmetellään sitä, että missäpäin tso ζ-funktion nollkohdt sijitsevt. Huomtn myös (luvut 8. j.) hämmästyttävä yhteys näiden nollkohtien sijinnin j lkulukuluseen virhetermin välillä. Luvuss 8. otetn esiin myös kuuluis Riemnnin hypoteesi, jok väittää, että kikki ζ-funktion epätrivilit nollkohdt ovt suorll {z C Re(z) = }. Riemnnin hypoteesi on nimensä mukisesti todellkin hypoteesi, eikä sen pikknspitävyydestä ole tätä kirjoitettess (joulupäivänä 4) tieto. Edellä on lyhyesti kuvttu kurssin päämääriä. Luennot lkvt kuitenkin kolmell välineellisellä luvull. Luvuss. käsitellään Stieltjes-integrli, luvuss. esitetään joitkin trvittvi tuloksi Riemnn-integrlille j luvuss 3. on suppe esitys Fourier-srjoist. Tämä Fourier-osuus on typistetty niin pieneen kuin mhdollist, jott juuri j juuri sdn myöhemmin trvittv Poissonin summkv esitettyä. Lisäksi lsketn Fourier-srjojen vull ζ-funktion trkk rvo pisteessä, mutt tämän sisi kyllä vähän helpomminkin, kuten demotehtävissä tultneen näkemään. Luvuss 4. esitetään kertuksenomisesti kurssill Lukuteori todistettuj trvittvi tuloksi j todistetn muutm uusikin (lähinnä lkeislukuteoreettinen) tulos. Luvuss 9. todistetn (tässä putuloksen toimiv) Stirlingin kv, jok nt moness pikss toimivn pproksimtion kertomfunktiolle. Luku 3. on myös putulosluku. Se on ino näistä, joss mennään lgebrn mielenkiintoisille poluille. Kyseisessä luvuss todistetn äärellisten Abelin ryhmien struktuuriluse, määritellään tällisen ryhmän krkterit j todistetn niitä koskev knoninen tulos. Kurssill (ludtur-tsost kun on kyse) trvitn esitietoj. Oletetn tunnetuksi seurvien kurssien sisällöt: - Lukuteori - Algebr ii
- Anlyysi, j 3 - Kompleksinlyysi. Mittteorin j Funktionlinlyysiinkin vähän viittn, mutt näitä ei vrsinisesti trvit. Tekstissä esiintyy neljä ti viisi eri lähdettä, joihin viittn eksplisiittisesti. Ensimmäinen on kotisivuiltni löytyvä Lukuteori :n luentomoniste, johon viittn tyyliin [Lt,.], mikä trkoitt tietysti kyseisen monisteen lusett.. Toinen lähde on niin ikään kotisivuiltni löytyvä kompleksinlyysin luentomoniste j siihen liittyvät hrjoitustehtävät rtkisuineen. Näihin viittn tyyliin [C,.] ti [C, teht..]. Vrsinisi kirjllisuusviitteitä on kksi: Apostol, Mthemticl nlysis ([A,.]) j Edwrds, Riemnn s ζ-function ([E,.]). Näistä lähde [A] on käytössä lähinnä luvuss, joss kyseinen lähde voidn korvt mittteorin tiedoill j vice vers. Lähteeseen [E] viittn luvuss 8; kohdt joiss tätä viittust käytetään, jätetään tällä kurssill todistmtt todistus löytyy sitten [E]:stä. Näitä tuloksi ei tällä kurssill (vrsinisesti) käytetä, joten mitään ukko ei näiden todistusten puuttuminen iheut. Hlukkt j kiinnostuneet konsultoikoot [E]:tä, jos hluvt tietää, miten jotkut vähän hnklmmt luseet todistetn. Merkinnöistä sen verrn, että Riemnn-integrlille on käytössä tuttu merkintä f(t)dt. Tämä sm merkintä on tvn mukn käytössä myös epäoleellisille integrleille; tällöin voi oll myös = ti b =. Tekstissä esiintyvät erikoismerkinnät f = O(g), f = o(g), f g j f g määritellään näin: f = O(g), jos suurille R + pätee f() C g() jollekin vkiolle C, f() f = o(g), jos lim g() =, f() f g, jos lim g() = j f g, jos f = O(g) j g = O(f). iii
Sisältö Stieltjes-integrli Välirvo- j konvergenssiluseit 35 3 Fourier-nlyysiä 4 4 Määritelmiä j tuloksi lkeislukuteorist 7 5 Riemnnin ζ-funktio meromorfisen funktion koko tsoss 83 6 Wiener-Ikehrn luse 6 7 Alkulukuluseen ensimmäinen todistus 5 8 Alkulukuluseen trkennus, ζ-funktion nollkohtien sijinti j Riemnnin hypoteesi 6 9 Stirlingin kv 43 Lisää ζ-funktion nollkohdist 65 Selbergin yhtälö j epäyhtälö 9 Alkulukuluseen lkeellinen todistus 7 3 Äärellistä ryhmäteori 6 4 Dirichlet n srjt 56 5 Dirichlet n luse 67 iv
Hkemisto ( G, ), 4 A(J,f,g),Y (J,f,g), 9 G(p), 9 L(z,χ), 68 S J (t,...,t n,f,g), S ϕ, 54 V f (,b), 9 Γ, Λ, 7 Li, 7 fdg, 3 fdg,+, 4 S(g), µ, 7 fdg, fdg, + fdg, 6 fdg, π, 7 ψ, 7 θ, 7 ϕ, 7 ϑ, 7 ξ, ζ-funktio, 6, 86, 94, 5 f( + ),f( ), f = O(g), iii f = o(g), iii f g, iii f g, iii m i (J,f),M i (J,f), 9 p-ryhmä, 5 lintegrli, Bonnet n välirvoluse, 38 Dirichlet n L-funktio, 68 Dirichlet n luse, 8 Dirichlet n srj, 56 ehdollisen suppenemisen vyö, 6 Eulerin funktio, 7 Eulerin luse, 73 Eulerin perite, 7 Eulerin vkio, 78 Fourier-kertoimet, 47 Fourier-srj, 47 Fubinin luse, 4 itseisen suppenemisen bskiss, 6 knoninen hjoitelm, 38 krkteri, 39 yleistetty, 55 kokonisheilhtelu, 9 kriittinen suor, 6 Lndun luse, 64 Möbiuksen funktio, 7 Möbiuksen käänteiskv, 7 Mertensin kv, 9 multipliktiivinen, 7 muuttujnvihto, 7 ortogonlireltiot, 54 osittisintegrointi, 6 Poissonin summkv, 67 Pontrjginin duliteetti, 5 rjoitetusti heilhtelev, 9 Riemnn-Lebesguen lemm, 53 Riemnn-von Mngoldtin luse, 77 Riemnnin hypoteesi, 6 Selbergin epäyhtälö, 97 Selbergin yhtälö, 93 stndrdilogritmi, 83 Stieltjes-integrli, Stieltjes-integroituv, Stirlingin kv, 55, 64, 65 struktuuriluse, 38 suor summ, 8 suppemisbskiss, 6 suppenemispuolitso, 6 Tšhebyšhevin funktio, 7 v
Tšhebyšhevin luse, 74 tyyppi, ryhmän, 34 von Mngoldtin funktio, 7 von Mngoldtin kv, 34 yläintegrli, vi
Stieltjes-integrli Kuten tunnettu, suljetull j rjoitetull välillä [, b] R määritellyn relirvoisen rjoitetun funktion f Riemnn-integrli määritellään Riemnnin summien vull. Vlitn ensin välin [,b] jko = < <... < n = b sekä kultkin osväliltä [ i, i ] jokin piste t i [ i, i ] j snotn, että n f(t i )( i i ) i= on tähän osväliin (j vlittuihin pisteisiin t i ) liittyvä Riemnnin summ. Jos näiden summien rvo lähestyy jotkin tiettyä luku I, kun osvälijko tihennetään, snotn, että f on Riemnn-integroituv välillä [,b], I on Riemnnintegrlin rvo j merkitään f(t)dt = I. Täsmällisemmin snottun vditn, että kikille ǫ > on olemss δ > siten, että n f(t i )( i i ) I < ǫ in kun i= m{ i i i =,...,n} < δ j t i [ i, i ] kikille i =,...,n. Välttämätön j riittävä ehto funktion Riemnn-integroituvuudelle on seurv: Luse. Rjoitettu funktio f : [,b] R on Riemnn-integroituv jos j vin jos f on jtkuv melkein kikkill. Todistus. Hrjoitustehtävä. Tässä käsite melkein kikkill trkoitt sitä, että f:n epäjtkuvuuspisteiden joukko E on nollmittinen eli E voidn peittää numeroituvll määrällä voimi välejä, joiden pituuksien summ on mielivltisen pieni. Riemnn-integrlin yleistys on Stieltjes-integrli, jonk määritelmä on seurvss. Määritellään kuitenkin ensin jkoihin liittyviä käsitteitä. Määritelmä. Snotn, että äärellinen jono J = ( i ) n i= on välin [,b] jko, jos =, n = b j i i kikille i =,...,n. Sen normi on J = m{ i i i =,...,n}. Jos J j J ovt välin [,b] jkoj, snotn, että J on tiheämpi kuin J, jos J sisältää kikki jon J jkopisteet. Jkojen J j J yhdiste, jot merkitään symbolill J J muodostetn luonnollisell tvll käyttämällä kikki näissä joiss esiintyvät pisteet j järjestämällä ne suuruusjärjestykseen. On selvää, että J J on tiheämpi kuin J ti J.
Kirjllisuudess esitetään usein Stieltjes-integrlin määritelmä huomutuksess.3 esitettävällä tvll. Tämä määritelmä ei kuitenkn ole sopiv tälle kurssille, vn trvitn vistuksen toisenlinen määritelmä, jok nnetn kohdss.5. Huomutus.3 (Vihtoehtoinen määritelmä) Olkoot f j g suljetull j rjoitetull välillä [, b] R määriteltyjä rjoitettuj relirvoisi funktioit. Olkoon J = ( i ) n i= välin [,b] jko. Vlitn pisteet t i [ i, i ] kikille i =,...,n j merkitään S J (t,...,t n,f,g) = n f(t i )(g( i ) g( i )). i= Snotn, että S J (t,...,t n,f,g) on jkoon J liittyvä Stieltjes-summ. Jos pisteiden t i vlinnoist riippumton relinen rj-rvo I = lim J S J(t,...,t n,f,g) on olemss, niin snotn, että f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [,b] j että I on kyseisen Stieltjes-integrlin rvo sekä merkitään f(t)dg(t) = I. Huomutus.4 Jos g(t) = t, niin huomutuksen.3 mukisell määritelmällä f(t)dg(t) = f(t)dt, missä oikell on tvllinen Riemnn-integrli. Tämä näkyy suorn määritelmistä. Nyt sitten esitetään oike määritelmä Stieltjes-integrlille. Määritelmä.5 Olkoot f j g suljetull j rjoitetull välillä [, b] R määriteltyjä rjoitettuj relirvoisi funktioit. Olkoon J välin [,b] jko. Vlitn pisteet t i [ i, i ] kikille i =,...,n j merkitään S J (t,...,t n,f,g) = n f(t i )(g( i ) g( i )). i= Snotn, että f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [, b], merkitään f S(g), jos on olemss I R siten, että kikille ǫ > on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että jokiselle jko J ǫ tiheämmälle jolle J pätee S J (t,...,t n,f,g) I < ǫ kikille vlinnoille t i [ i, i ].
Tällöin merkitään lisäksi I = f(t)dg(t) = fdg. Huomutus.6 Jos g(t) = t, niin inkin merkinnällisesti f(t)dg(t) = b f(t)dt näyttää tvlliselt Riemnn-integrlilt. Tässä on nyt kuitenkin pieni pulm, kosk Riemnn-integrli määritellään yleensä huomutuksen.3 t- voin, kun ts meillä on käytössä määritelmä.5. Tämä pulm kuitenkin häviää, kun huomtn (hrjoitustehtävä), että tpuksess g(t) = t nämä määritelmät ovt yhteneviä. Tämä siis siitä huolimtt, mitä huomutuksess. j esimerkissä. snotn. Vert myös huomutukseen.4. Huomutus.7 Herää luonnollinen kysymys: Milloin f on g:n suhteen Stieltjes-integroituv? Riemnn-integrlille vstus on luseess. j se on intuitiivisesti selvä: f on Riemnn-integroituv, jos se on riittävän siisti. Tämä intuitio ei toimi Stieltjes-integrlille. Trkstelln esimerkiksi tilnnett, joss f j g ovt porrsfunktioit, joiss on vin yksi porrs (siis hyvin siistejä); tässä määritellään f,g : [,] R { kun t f(t) = g(t) = kun < t. Tällöin f ei ole Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [, ]. Jätetään tämän trkk todistus opettviseksi hrjoitustehtäväksi. Yleisesti voi sno, että f:n j g:n mhdolliset yhteiset epäjtkuvuuskohdt iheuttvt usein ongelmi Stieltjes-integroituvuudess. Jtkoss esitetään riittäviä ehtoj tälle integroituvuudelle. Ensin kuitenkin pri esimerkkiä. Esimerkki.8 ) Jos g on vkio, niin määritelmässä.5 olevt erotukset g( i ) g( i ) ovt kikki nolli, joten S J (t,...,t n,f,g) = kikille J. Siten f S(g) j integrli on in noll, olip f mikä thns rjoitettu funktio. b) Avistuksen vähemmän trivili esimerkki sdn, kun trkstelln porrsfunktiot g : [,] R, { kun t < g(t) = kun t. Olkoon ensin f vkio, f, jolloin lskettvn on integrli dg(t). Kosk g on vkio osväleillä [,[ j [,], voidn S J :n määritelmästä unoht (vrt. )-koht) kikki ne osvälit [ i, i ], joiss i, i [,[ ti i, i 3
[,]. Silloin jäljelle jää vin yksi osväli, jolle pätee i < i j S J :n summn jää vin yksi termi, jok on S J (t,...,t n,f,g) = (g( i ) g( i )) = =. Tämä siis kikille joille, joten määritelmän.5 I on tämä luku. Siten f S(g) j fdg =. c) Trkstelln edelleen sm funktiot g j olkoon f : [,] R mielivltinen jtkuv funktio. Tässä viheess ei ole tieto integroituvuudest, mutt lähdetään rohkein mielin lskemn summ S J. Tässä käy smoin kuin b)- kohdss eli summn jää vin yksi termi, jok tällä kert on S J (t,...,t n,f,g) = f(t i )(g( i ) g( i )) = f(t i )( ) = f(t i ), missä t i [ i, ] j i < i. Kun jko tihennetään, niin i i, jolloin ehtojen i < i j i t i i nojll käy niin, että t i. Silloin f:n jtkuvuuden nojll f(t i ) f(). Siten S J (t,...,t n,f,g) f() kosk g( i ) g( i ) = jost riippumtt. Näin integroituvuus on todistettu j integrlin rvo on Esimerkki.8 b) yleistyy: fdg = f(). Luse.9 Vkiofunktio f C on Stieltjes-integroituv minkä thns rjoitetun funktion g : [, b] R suhteen j pätee Cdg = C(g(b) g()). Todistus. Tämä seur siitä, että mille thns jolle J pätee n S J (t,...,t n,f,g) = C(g( i ) g( i )) = C(g(b) g()). j= Huomutus. Jos f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen vihtoehtoisen määritelmän.3 mielessä, niin f S(g) vrsinisen määritelmän.5 mielessä. Tämän näkee suorn näitä määritelmiä vertilemll. Kyseinen hvinto merkitsee sitä, että vrsininen määritelmä on lvempi kuin huomutuksen.3 määritelmä. Tämä lvemmuus on ito, kuten seurv esimerkki osoitt. Tämä hvinto nousee yllättävän tärkeään rooliin jtkoss. Esimerkki. Olkoot f,g : [,] R, { kun f() = j g() = kun < { kun < kun. Tällöin f S(g) määritelmän.5 mielessä, mutt f ei ole Stieltjes-integroituv g:n suhteen huomutuksen.3 mielessä. Jätetään todistukset hyvin opettviseksi hrjoitustehtäväksi. Mitä on fdg? Vert esimerkkiin.8 b). 4
Huomutus. Jtkoss trvitn usein Stieltjes-integrli sellisist funktiost, jotk on määritelty relikselin välillä, mutt joiden rvot ovt kompleksilukuj. Tällisten funktioiden Stieltjes-integrlit j -integroituvuus määritellään kuten Riemnn-integrlin tpuksess eli trkstelln erikseen reli- j imginriosi. Jätetään trkn määritelmän kirjoittminen hrjoitustehtäväksi. Tämän määritelmän voi hoit myös niin, että sllii määritelmässä.5 sekä f:n että g:n oll kompleksirvoisi. Jätetään toiseksi hrjoitustehtäväksi osoitt, että nämä kksi eri määritelmää johtvt smn lopputulokseen. Seurvt luseet kertovt Stieltjes-integrlin linerisuuden kummnkin funktion suhteen. Luse.3 Olkoot f j g Stieltjes-integroituvi h:n suhteen välillä [, b] sekä α,β R. Tällöin myös αf + βg S(h) j (αf(t) + βg(t))dh(t) = α Todistus. Hrjoitustehtävä. f(t)dh(t) + β g(t)dh(t). Luse.4 Olkoon h Stieltjes-integroituv f:n j g:n suhteen välillä [, b] sekä α,β R. Tällöin h S(αf + βg) j hd(αf + βg) = α hdf + β hdg. Todistus. Tämä on hyvin smnkltinen kuin luseen.3 todistus j jätetään hrjoitustehtäväksi. Luse.5 Olkoon < c < b j f Stieltjes-integroituv g:n suhteen väleillä [,c] sekä [c,b]. Tällöin f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [,b] j Todistus. Hrjoitustehtävä. fdg = c fdg + c fdg. Huomutus.6 Luseest.5 trvitn jtkoss myös seurvnlist versiot. Jos f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen väleillä [, c] sekä [, b], niin f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen myös välillä [c, b] j luseen.5 yhtälö pätee. Vstvsti myös, jos f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen väleillä [c, b] sekä [, b], niin f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen myös välillä [, c] j luseen.5 yhtälö pätee. Jätetään näidenkin todistus hrjoitustehtäväksi, jok on hyvin smnkltinen kuin luseen.5 todistus. Seurv osittisintegrointiluse osoittutuu jtkoss rtkisevn tärkeäksi. Otetn käyttöön Riemnn-integrleille tuttu sijoitusmerkintä: / b f(t) := f(b) f(). 5
Riemnn-integrleille tuttu osittisintegrointiluse snoo, että jos F = f j G = g, niin / Gf = FG Fg. Luse.7 on tämän yleistys. Lisäksi luseess.7 pljstetn tärkeä symmetriominisuus: f S(g) g S(f). Luse.7 (Osittisintegrointi) Olkoon f Sieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [, b]. Tällöin g S(f) j pätee gdf = / b f(t)g(t) fdg. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Oletuksen nojll on olemss välin [, b] jko J ǫ siten, että jokiselle jko J ǫ tiheämmälle jolle J pätee S J(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ. () Riittää osoitt, että jokiselle tätä jko J ǫ tiheämmälle jolle J pätee / b S J(t,...,t n,g,f) f(t)g(t) + fdg < ǫ. () Olkoon J = ( i ) n i= tällinen tiheämpi jko. Stieltjes-summlle S J(t,...,t n,g,f) sdn esitys Toislt / b / b S J (t,...,t n,g,f) = n g(t i )f( i ) i= n g(t i )(f( i ) f( i )) = i= n g(t i )f( i ). (3) i= f(t)g(t) voidn esittää muodoss f(t)g(t) = f(b)g(b) f()g() = n f( i )g( i ) i= n f( i )g( i ). (4) Käyttäen jko J j ehdon () välipisteitä t i [ i, i ] voidn muodost jko J = t t... n t n n. i= 6
Eräs tätä jko vstv Stieltjes-summ on S J (,,,,,..., n, n, n,f,g) = f( )(g(t ) g( )) + f( )(g( ) g(t ))+ f( )(g(t ) g( )) + f( )(g( ) g(t )) +...+ f( n )(g(t n ) g( n )) + f( n )(g( n ) g(t n )) = n n f( i )(g( i ) g(t i )) + f( i )(g(t i ) g( i )). (5) i= i= Jko J on tiheämpi kuin J, joten se on myös tiheämpi kuin J ǫ. Silloin ehdon () j esityksen (5) nojll pätee n n f( i )(g( i ) g(t i )) + f( i )(g(t i ) g( i )) fdg < ǫ. (6) i= i= Vähentämällä esityksestä (4) esitys (3) sdn / b f(t)g(t) S J (t,...,t n,g,f) = n f( i )(g( i ) g(t i )) + i= i= jolloin ehdon (6) nojll / b f(t)g(t) S J (t,...,t n,g,f) n f( i )(g(t i ) g( i )), fdg < ǫ. Väite () seur tästä. Riemnn-integrlille pätee tuttu muuttujnvihtokv (sopivin oletuksin) d c f(h(t))h (t)dt = h(d) h(c) Tämä yleistyy Stieltjes-integrlille seurvsti. f(t)dt. Luse.8 (Muuttujnvihto) Olkoon f Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [,b] j h ksvv bijektio h : [c,d] [,b]. Silloin f h on Stieltjesintegroituv funktion g h suhteen välillä [c,d] j pätee d c (f h)d(g h) = Jos h on vähenevä bijektio, niin pätee d c (f h)d(g h) = fdg. fdg. 7
Todistus. Oletetn ensin, että h on ksvv bijektio, jolloin h(c) = j h(d) = b sekä jokist välin [c,d] jko J = ( i ) n i= vst välin [,b] jko h(j) := (h( i )) n i=. Toislt on olemss idosti ksvv käänteiskuvus h : [,b] [c,d], joten jokist välin [,b] jko J = (y i ) n i= vst välin [c,d] jko h (J ) := (h (y i )) n i=. Olkoon ǫ > mielivltinen. Riittää löytää välin [c,d] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J(t,...,t n,f h,g h) fdg < ǫ. () Oletuksen f S(g) nojll on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J (t,...,t n,f,g) fdg < ǫ. () Määritellään nyt ehdoss () kivttu välin [c,d] jko J ǫ settmll J ǫ = h (J ǫ). Riittää osoitt, että tätä tiheämmille joille pätee ehto (). Olkoon J = ( i ) n i= tällinen jko. Tällöin ilmeisesti h(j) on tiheämpi kuin J ǫ = h(h (J )) = h(j ǫ ), joten ehdon () nojll S h(j)(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ kikille vlinnoille t i. (3) Ehdon () epäyhtälö sdn nyt ikn näin: S J(t,...,t n,f h,g h) fdg = n (f h)(t i )((g h)( i ) (g h)( i )) fdg i= = n f(h(t i ))(g(h( i )) g(h( i ))) fdg i= = S i) h(j)(h(t ),...,h(t n ),f,g) fdg < ǫ, missä epäyhtälö i) seur ehdost (3). Näin väite on todistettu ksvvlle h. Vähenevälle h todistus on nloginen; knntt kuitenkin ktso todistus läpi, jolloin näkyy, mistä merkinvihdos pohjimmiltn johtuu j myös se, missä ksvvuusoletust oikestn käytettiin. 8
Jtkoss osoittutuu erittäin tärkeäksi, että tietyin edellytyksin Stieltjes-integrli voidn muunt tvlliseksi Riemnn-integrliksi, jolloin se usein voidn lske ivn konkreettisesti nlyysin kursseill opituill menetelmillä. Tästä kertoo seurv luse. Luse.9 (Yhteys Riemnn-integrliin) Olkoon f välillä [, b] Stieltjesintegroituv g:n suhteen j g jtkuv välillä [, b] sekä jtkuvsti derivoituv voimell välillä ],b[ siten, että derivtt g on rjoitettu. Tällöin fg on Riemnnintegroituv välillä [,b] j pätee fdg = f(t)g (t)dt. Huomutus. Tässä oikell on siis tvllinen Riemnn-integrli. Derivtt g pisteissä j b ei välttämättä ole määritelty, mutt hluttess niille voidn sopi joku rvo, vikkp noll. Luseen. nojll tämä ei vikut rjoitetun funktion fg Riemnn-integroituvuuteen eikä myöskään integrlin rvoon. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Huomutuksen.6 nojll riittää löytää välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J(t,...,t n,fg,id) fdg < ǫ. () Kosk Stieltjes-integroituvt funktiot ovt lähtökohtisesti rjoitettuj (ks. määritelmä), niin f on rjoitettu, j kosk toislt oletuksen mukn myös g on rjoitettu, niin on olemss M > siten, että f() M j g () M kikille [,b]. () Vlitn pisteet y j z siten, että < y < z < b sekä y < ǫ M j b z < ǫ M. (3) Kosk g on oletuksen mukn jtkuv välillä ],b[, niin se on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [y,z]. Silloin on olemss δ > siten, että g () g ( ) < ǫ 6M(z y) kun, [y,z] siten, että < δ. (4) Vlitn välin [y,z] jko J [y,z] siten, että J [y,z] < δ. Määritellään sitten välin [,b] jko J lisäämällä jkoon J [y,z] päätepisteet j b. Merkitään J = (y i ) m i=, jolloin siis y =, y = y, y m = z j y m = b. Kosk oletuksen mukn f S(g), niin on olemss välin [,b] jko J siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ. (5) 9
Nyt olln vlmiit määrittelemään ehdoss () kivttu jko J ǫ. Asetetn J ǫ := J J. Olkoon J tiheämpi kuin J ǫ ; merkitään J = ( i ) n i=. Pitää osoitt, että rvio () pätee tälle jolle J. Kosk J on tiheämpi kuin J, niin rvio (5) toimii tälle J. Silloin ehdon () rvio seur, jos osoitetn, että S J (t,...,t n,fg,id) S J (t,...,t n,f,g) < ǫ. (6) S J :n määritelmän mukn väite (6) tulee muotoon n n f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ. (7) i= i= Jko J sisältää kikki jon J pisteet, joten erityisesti y = y = k jollekin k j vstvsti z = y m = l jollekin l. Silloin väite (7) seur, jos osoitetn, että k k f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ 6, (8) i= i= l l f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ j (9) 6 i=k+ i=k+ n n f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ 6. () i=l+ i=l+ Todistetn ensin väite (9). Differentililskennn välirvoluseen nojll kikille i =,...,n on olemss ξ i [ i, i ] siten, että g( i ) g( i ) = g (ξ i )( i i ). () Silloin väite (9) tulee muotoon l f(t i )(g (t i ) g (ξ i ))( i i ) < ǫ 6. () i=k+ Kosk jko J on tiheämpi kuin J = {} J [y,z] {b} j J [y,z] < δ, niin t i ξ i i i < δ kikille i = k +,...,l. Tällöin ehdon (4) nojll g (t i ) g (ξ i ) < ǫ 6M(z y) kikille i = k +,...,l. (3)
Nyt sdn rvio l f(t i )(g (t i ) g (ξ i ))( i i ) i=k+ l i=k+ f(t i ) g (t i ) g (ξ i ) ( i i ) i) < ǫ M 6M(z y) l i=k+ ǫ ( i i ) = M 6M(z y) (z y) = ǫ 6, joten väite () pätee. Tässä epäyhtälö i) seur ehdoist () j (3). Väitteen (8) todistmiseksi rvioidn näin: k k f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) i= i= k f(t i )g (t i )( i i ) + k f(t i )(g( i ) g( i )) i= i= k f(t i ) g (t i ) ( i i ) + i= k M ( i i ) + M i= M (y ) + M k i= k f(t i ) g( i ) g( i ) i) i= g( i ) g( i ) ii) = k g (ξ i ) ( i i ) iii) k M (y ) + M ( i i ) = i= M (y ) iv) < M ǫ M = ǫ 6, joten väite (8) pätee. Tässä epäyhtälöt i) j iii) seurvt ehdost (), yhtälö ii) ehdost () j epäyhtälö iv) ehdost (3) Väitteen () todistus on nloginen. Merkintä. Jtkoss trkstelln usein funktioit, joill on hyppäysepäjtkuvuuskohti. Näitä vrten sovitn merkinnöistä. Olkoon R j oletetn että reli- ti kompleksirvoinen funktio f on määritelty (inkin) välillä ], + δ[ jollekin δ >. Tällöin merkitään f( + ) = lim + f(), mikäli kyseinen rj-rvo on olemss. Vstvsti jos f on määritelty (inkin) välillä ] δ, [ jollekin δ >, niin merkitään f( ) = lim f(), i=
mikäli tämä rj-rvo on olemss. Huomutus. f on oikelt jtkuv pisteessä jos j vin jos f( + ) = f() j vstvsti vsemmlt jtkuv pisteessä jos j vin jos f( ) = f(). Siten f on jtkuv pisteessä jos j vin jos f( ) = f() = f( + ). Huomutus. Jos tvllisess Riemnn-integrliss f(t)dt funktion f rvo vihdetn yhdessä pisteessä, niin syntyvä funktio f on edelleen Riemnnintegroituv eikä integrlin rvo muutu. Stieltjes-integrlille fdg, missä f S(g) tilnne on toinen: voi oll, että f S(g), j vikk olisikin f S(g), voi oll, että fdg fdg. Jätetään esimerkkien keksiminen hrjoitustehtäväksi. Jtkoss joudutn usein integroimn porrsfunktioiden suhteen, j täl- löin on Stieltjes-integrlin knnlt tärkeää tietää, miten porrsfunktion porrs trkkn otten oikein muodostuu, so. miten porrsfunktio hyppää kyseisessä kohdss. Tästä kertoo luse.4, ks. myös huomutus.5. Määritellään ensin täsmällisesti porrsfunktio: Määritelmä.3 Funktio f : [, b] R on porrsfunktio, jos on olemss välin [,b] jko ( i ) n i= siten, että f ] i, i[ on vkio kikille i =,...,n. Huomutus. Porrsfunktio s siis portiden sumkohdiss käyttäytyä miten vin: se voi oll oikelt ti vsemmlt jtkuv ti ei kumpkn. Luse.4 Olkoon < c < b j g : [,b] R porrsfunktio siten, että { g() kun t [,c[ g(t) = g(b) kun t [c,b]. Olkoon f : [,b] R rjoitettu funktio siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteessä c. Tällöin f S(g) j pätee fdg = f(c)(g(c + ) g(c )). Todistus. Vlitn välin [,b] jko niin, että c on eräs jkopisteistä. Tätä jko tihentämällä sdn väite kuten esimerkissä.8 c). Jätetään yksityiskohdt hrjoitustehtäväksi. Huomutus.5 Huom, että luseess.4 g on oikelt jtkuv pisteessä c. Luseen väite ei päde, jos oletetn, että myös f on oikelt (ei siis vsemmlt) jtkuv tässä pisteessä (ks. luse.7). Anlogisesti nähdään, että jos g on oikelt j f vsemmlt jtkuv pisteessä c, niin luseen väite pätee. Väite myös ilmeisesti yleistyy porrsfunktioille g, joill on usempi portit, kunhn g on sumpisteissä vsemmlt ti oikelt jtkuv j f on näissä pisteissä jtkuv vstkkisest suunnst. Jos porrsfunktioll g ei ole hyppäyskoht sumpisteessä, niin f:stä ei trvitse tässä pisteessä olett mitään, vn väite
seur, kun tulkitn g porrsfunktioksi, joll on yksi porrs vähemmän. Luse pätee myös, jos c = b (kun sovitn, että tässä tpuksess g(c + ) = g(c)), kuten helposti nähdään. Edelleen luse voidn muotoill niin, että c = (j g(c ) = g(c)). Tässä tpuksess f:stä pitää olett, että se on :ss oikelt jtkuv, mikäli g:llä on :ss hyppy. Jos hyppyä ei ole, f:stä ei trvitse olett mitään, kuten esimerkissä.8 ) nähtiin. Huomutus.6 Luse.4 ei päde, jos käytetään vihtoehtoist määritelmää.3. Tämä luse on itsesiss tärkein (j ino) syy käytetyn määritelmän vlinnlle. Seurvt kksi lusett ntvt tärkeän yhteyden Stieltjes-integrlin j äärellisten summien välille. Tämä yhteys tulee jtkoss olemn erittäin käyttökelpoinen työklu. Luse.7 Olkoon ( i ) n i= välin [,b] jko j g : [,b] R siten, että g ] i, i[ on vkio kikille i =,...,n j g on sumpisteissä i joko oikelt ti vsemmlt jtkuv, mutt päätepisteissä j b voi oll hyppäyskoht. Olkoon f : [,b] R rjoitettu funktio siten, että f on sumpisteissä i, i n, jtkuv vstkkisest suunnst kuin g; jos g:llä on hyppy :ss niin f oletetn oikelt jtkuvksi :ss j pisteessä b vstvsti. Tällöin f S(g) j fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )), i= missä sovitn erikseen, että g( ) = g() j g(b + ) = g(b). Todistus. Vlitn pisteet y,...,y n siten, että = < y < < y < <... < n < y n < n = b. Huomutust.5 käyttäen nähdään, että f S(g) j f on integroituv g:n suhteen myös kikill osväleillä [y i,y i+ ] sekä väleillä [,y ] j [y n, n ]. Lisäksi sdn fdg i) = y n fdg + i= yi+ y i fdg + n y n fdg ii) = n f( )(g( + ) g( )) + f( i )(g( + i ) f( i )) + f( n)(g( + n ) g( n )) = i= n f( i )(g( + i ) g( i )), i= missä yhtälö i) sdn soveltmll lusett.5 j yhtälö ii) seur luseest.4 sekä huomutuksest.5. Luvun R kokonisosn määritelmä j merkintä on tuttu (vikkp) kurssilt Lt, mutt kun tämä lite on jtkoss niin kovin keskeisessä semss, niin kirjtn sille oikein om määritelmä, johon lisätään kokonisosn Stieltjesintegrlien knnlt merkittävä ominisuus. 3
Merkintä.8 Jokiselle R merkitään = m{ Z } Z j snotn, että on luvun kokonisos. Heti nähdään, että kuvus on oikelt jtkuv jokisess pisteessä R. Luse.9 Jokinen äärellinen summ n i= i, missä i R voidn esittää Stieltjes-integrlin, kun vlitn rjoitettu funktio f : [,n] R siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteissä,,...,n, j f(i) = i kikille i. Tällöin pätee näet n n fd t = i. Todistus. Kosk porrsfunktio t t on merkinnän.8 mukn oikelt jtkuv hyppäyspisteissään, niin luseen.7 nojll f S( ) j n fd t = i= n f(i)( i + i ), () i= missä pitää erikseen sopi, että = = ; ylärjllhn mitään sopimisi ei trvit, kosk määritelmien mukn n + = n = n. Tällöin { i + i kun i =,...n = kun i =, joten ehdon () j f:n vlinnn perusteell n fd t = n f(i) = i= n i. Esimerkki. Luse.9 on tällä kurssill erittäin käyttökelpoinen j sitä toistuvsti käytetäänkin vert kuitenkin myös vielä prempn luseeseen.3. Näissä on oleellist funktioon f kohdistuvien vtimusten olemttomuus. On selvää, että luseen.9 ehdot täyttäviä funktioit on olemss vikk kuink pljon. Jos nyt sitten hlutn lske joku summ, niin keksitään mhdollisimmn sovelis f j lsketn summn sijst Stieltjes-integrli, mikä useimmiten tphtuu osittisintegroinnin kutt pluttmll se Riemnn-integrliksi. Lsketn esimerkinomisesti tällä tvoin vikkp tuttu summ n i= i. Tässä on i= 4
luontev vlit f(t) = t, jok toteutt luseen.9 vtimukset j n i = i= n 3 n n n n 3 i i= f(t)d t i) = / n t f (t)dt = n 3 / i+ i f(t) t n i= n n n 3 i i = n 3 i= jost sdn n t df(t) = n 3 n t t dt = n 3 i= i+ i n tidt = t df(t) ii) = n n t = n 3 i((i + ) i ) = n 3 i(i + ) = i= n i = 3 (n3 + n i= n i + n i= (n )n, i= (n )n ) = 3 (n3 + 3 n + n ) = 3 n3 + n + 6 n. Näissä lskelmiss yhtälö i) sdn osittisintegrointikvst.7 j yhtälö ii) luseest.9. Huomutus.3 Jos funktio f on Riemnn-integroituv jollkin välin [, b] sisältävällä voimell välillä, niin pätee tunnetusti +δ lim δ δ f(t)dt = f(t)dt. Vstv tulos ei kuitenkn päde välttämättä Stieltjes-integrlille, jos g:llä on hyppäyskoht välin päätepisteessä. Vikkp esimerkin.8 b) kohdss sdn dg =, mutt dg = kikille δ ],[, δ joten lim dg =. δ δ Tästä syystä otetn käyttöön seurv merkintä. Oletetn, että f S(g) jollkin välillä [,b] j että f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen myös väleillä [ δ, b], missä < δ < ǫ jollekin kiinteälle ǫ >. Tällöin merkitään fdg := lim fdg, () δ δ 5
mikäli rj-rvo () on olemss. Vstvsti määritellään myös merkinnät joiden selitys on ilmeinen. + fdg j + fdg, Huomutuksen.3 merkinnällä luse.9 sdn vieläkin käyttökelpoisempn muotoon huom, että tässä uudess muotoiluss.3 f:n ei trvitse oll edes määritelty origon lähellä. Uusi formulointi sllii tässä esimerkiksi tyyppiä f() = ti f() = log olevien funktioiden käytön. Luse.3 Olkoot,..., n R, < c < sekä f : [c,n] R rjoitettu funktio siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteissä,,...,n j f(i) = i kikille i. Tällöin pätee n n fd t = i. () Jos f on määritelty välillä [c, [, rjoitettu kikill välin [c, [ rjoitetuill osväleillä j jtkuv pisteissä n N, niin pätee fd t = n i= f(n) kikille >. () Todistus. Väitteen () todistmiseksi määritellään f myös välillä [,c[ sopimll, että se on vkio tällä välillä smntekevää mikä vkio j merkitään ljennettu funktiot symbolill f, jolloin sdn kikille c δ < n i= i i) = n fd t ii) = δ fd t + n δ fd t = δ fd t + n δ fd t iii) = n δ fd t, j väite () seur. Tässä yhtälö i) seur luseest.9, yhtälö ii) huomutuksest.6 j yhtälö iii) siitä, että t on vkio välillä [,δ], jolloin δ fd t =, kuten esimerkissä.8 ) todetn. Väite () seur tämän jälkeen siitä, että kikille pätee f(n) = f(n) = i) n n= fd t ii) = fd t + fd t iii) = fd t, missä yhtälö i) seur ehdost (), yhtälö ii) siitä, että t on vkio välillä [,], jolloin fd t =, j yhtälö iii) sdn luseest.5. Esimerkki.3 Relinen Riemnnin ζ-funktio määriteltiin kohdss [Lt, 6.]. Määritelmähän on sellinen, että kikille relisille s > setetn ζ(s) = n= 6 n s.
Tämä määrittelevä srj suppenee ylihrmonisen srjn. Trkstelln nyt tämän srjn ossummi j määritellään kiinteälle s > funktio Z s : R + R, Luseen.3 nojll sdn Z s () = n Z s () = n s = n s. n= t s d t. Tähän sovelletn osittisintegrointikv.7 j sdn Z s () = / Tässä tietysti merkintä t s t / t d t s = s trkoitt rj-rvo lim δ +. Nyt voidn sitten sovelt lusett.9 j sdn derivoimll Z s () = s + s t dt, ts+ t d t s. / δ j tässä on tvllinen Riemnn-integrli. Integroitv on noll ykkösen lpuolell, jolloin Riemnn-integrlin perusominisuuksien nojll sdn edelleen Z s () = s + s t dt. () ts+ Jos oletetn, että kvss () luku on kokonisluku, = m, niin sdn kv Z s (m) = m m s + s t dt, () ts+ jok pätee kikille m N j kikille s >. Kvn () nojll ζ-funktiolle sdn esitys ζ(s) = lim m m n= [ n s = lim m m s + s m t s t s+ dt ] i) = s t dt, (3) ts+ missä yhtälö i) seur oletuksest s >. Huom, että kvss (3) olev epäoleellinen Riemnn-integrli suppenee jo sillä perusteell, että ζ-funktion määrittelevä srj tiedetään suppenevksi. Toki tämän integrlin suppenemisen voi todist erikseenkin. Luseit.9 j.3 voidn vielä prnt j yleistää käyttökelpoisemmiksi seurvsti: 7
Luse.33 Olkoon c < = < <... < n = b j f : [c,b] R rjoitettu funktio siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteissä i. Olkoot,,..., n R. Määritellään funktio g : [c, b] R settmll g() = i i. Tässä tvn mukn tyhjän summn rvoksi sovitn noll. Tällöin f S(g) j n fdg = f( i ) i. i= Todistus. Funktio g toteutt luseen.7 vtimukset siten, että se on oikelt jtkuv sumpisteissä i. Kosk f on vsemmlt jtkuv näissä pisteissä, niin luseen.7 mukn f on integroituv g:n suhteen välillä [d,b] kikille c d. Lisäksi luseen.7 nojll kikille c d < pätee d fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )) + f(d)(g(d+ ) g(d )), () i= missä sovitn, että g(d ) = g(d) j g(b + ) = g(b). Kun c d <, niin g(d + ) = g(d) =, jolloin ehdoss () on g(d + ) g(d ) =, j sdn d fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )). () i= Ehto () pätee kikille c d <, joten fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )). i= Silloin väite seur, jos osoitetn, että g( + i ) g( i ) = i kikille i =,...,n. (3) Kun i n, niin funktion g määritelmän nojll g( + i ) g( i ) = lim y + i g(y) lim y i joten väite (3) pätee inkin näille i. Kun i = eli i =, niin g(y) = i i k k = i, k= g(+) g( ) = g() =, k= 8
joten väite (3) pätee myös tälle i. Tpuksess i = n eli i = b turvudutn sopimukseen g(b + ) = g(b), jolloin g(b + ) g(b ) = n k= n k k = n, k= j väite (3) pätee tällekin i. Jtkoss Stieltjes-integrleihin liittyvät todistukset thtovt mennä ik sotkuisiksi. Tätä sotku selventämään otetn käyttöön l- j yläsummt: Määritelmä.34 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj j J = ( i ) n i= välin [,b] jko. Merkitään kikille i =,...,n M i (J,f) = sup{f() [ i, i ]} j m i (J,f) = inf{f() [ i, i ]} sekä näiden vull A(J,f,g) = Y (J,f,g) = n m i (J,f)(g( i ) g( i )) i= n M i (J,f)(g( i ) g( i )). i= j Snotn, että A(J,f,g) on jkoon J liittyvä lsumm j Y (J,f,g) vstvsti yläsumm. Huomutus. Kosk f on rjoitettu, l- j yläsummiss trvittvt infimum j supremum ovt relisi, joten määritelmä on tältä osin järkevä. Funktion g rjoittuneisuutt ei tässä trvit, mutt kosk Stieltjes-integroinniss molemmt funktiot pysyvästi oletetn rjoitetuiksi, pidetään tämä tässä ylimääräinen oletus mukn. Vroitus. Voisi jtell, että in pätee A(J,f,g) S J (t,...,t n,f,g) Y (J,f,g), () mutt näin ei välttämättä ole, sillä kertoimen g( i ) g( i ) merkistä ei ole tieto, j jos se on negtiivinen kikille i, epäyhtälöt () kääntyvät ympäri. Erityisesti jos g on josskin ksvv j josskin vähenevä, epäyhtälöketjust () ei yleisesti voi sno mitään. Ksvvlle g si on kuitenkin kunnoss. Kirjtn se oikein luseeksi, kosk tähän rvioon jtkoss usein viittn. Luse.35 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin jokisell välin [,b] jolle J j kikille vstville pisteille t i pätee A(J,f,g) S J (t,...,t n,f,g) Y (J,f,g). 9
Todistus. Tämä seur kuten edellä todettiin siitä, että ksvvuusoletuksen nojll g( i ) g( i ) kikille jkopisteille i. Luse.36 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Olkoot J j J välin [,b] jkoj siten, että J on tiheämpi kuin J. Tällöin pätee A(J,f,g) A(J,f,g) j () Y (J,f,g) Y (J,f,g). () Todistus. Todistetn vin väite (); väitteen () todistus on nloginen j jätetään se hrjoitustehtäväksi. Jko J tiheämpi jko J on stu lisäämällä jkoon J äärellinen määrä jkopisteitä. Tehdään induktio lisättävien jkopisteiden lukumäärän suhteen. Ilmeisesti riittää todist väite tpuksess, joss lisättäviä pisteitä on vin yksi: tämä toimii sekä induktion lkuskeleen että yleisenä induktioskeleen. Olkoon siis J = ( i ) n i=, k c k j J jko, jok on stu jost J lisäämällä siihen piste c. Merkitään luettvuuden prntmiseksi m = inf{f() [ k,c]}, m = inf{f() [c, k ]} j m 3 = inf{f() [ k, k ]}. Määritelmän.34 mukn erotuksest A(J,f,g) A(J,f,g) supistuu suuri os termeistä pois, j jäljelle jää vin A(J,f,g) A(J,f,g) = m (g(c) g( k )) + m (g( k ) g(c)) m 3 (g( k ) g( k )) = (m m 3 )(g(c) g( k )) + (m m 3 )(g( k ) g(c)) i), joten väite () seur. Tässä rtkisev epäyhtälö i) seur siitä, että m,m m 3 (kosk [ k,c],[c, k ] [ k, k ]) j siitä, että g(c) g( k ),g( k ) g(c), kosk g on ksvv. Luse.37 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin kikille välin [,b] joille J j J pätee A(J,f,g) Y (J,f,g). Todistus. Merkitään J = J J, jolloin sdn A(J,f,g) i) A(J,f,g) ii) Y (J,f,g) iii) Y (J,f,g), missä epäyhtälöt i) j iii) sdn luseest.36 j epäyhtälö ii) luseest.35.
Määritelmä.38 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Funktion f ylä-stieltjes-integrli g:n suhteen määritellään settmll fdg := inf{y (J,f,g) J on välin [,b] jko}. Vstvsti funktion f l-stieltjes-integrli g:n suhteen määritellään settmll fdg := sup{a(j,f,g) J on välin [,b] jko}. Huomutus. Luseen.37 nojll määritelmän.38 infimum j supremum ovt relisi. Siten ylä- j lintegrli ovt in (relisin) olemss, vikkei olisikn f S(g). Tässä on toki huomttv, että ylä- j lintegrli määritellään vin siinä tpuksess, että g on ksvv. Luse.39 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin pätee fdg fdg. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Riittää osoitt, että fdg fdg + ǫ. () Infimumin määritelmän nojll on olemss välin [,b] jko J siten, että Y (J,f,g) < fdg + ǫ. () Luseen.37 nojll kikille joille J pätee A(J,f,g) Y (J,f,g), jolloin ehdon () nojll A(J,f,g) < fdg + ǫ kikille joille J. (3) Väite () seur ehdost (3) j lintegrlin määritelmästä. Huomutus. Luseess {.39 ei välttämättä ole yhtälöä. Esimerkkinä [, b] = kun t Q [,], g(t) = t j f(t) = kun t Q.. Tässä tpuksess ilmeisesti fdg = j fdg =. Huomutus.4 Jos f,g : [,b] R ovt rjoitettuj siten, että g on ksvv j f S(g), niin fdg fdg fdg.
Tämä seur helposti määritelmistä j luseest.35. On syytä huomt, että luseen.39 ehto seur tästä, mutt toislt luseess.39 ei ole oletettu, että f S(g). Lemm.4 Olkoot f, h, g : [, b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j olkoon < c < b. Tällöin pätee fdg = fdg + c (f + h)dg fdg + hdg c fdg + fdg, (f + h)dg j hdg. Todistus. Helppo hrjoitustehtävä. Hrjoitustehtävänä knntt smll huomt, että epäyhtälöt voivt oll itoj. Määritelmä.4 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Snotn, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen välillä [, b], jos kikille ǫ > on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. Huomutus. Luseen.35 nojll Y (J,f,g) A(J,f,g) in, joten itseisrvomerkit Riemnnin ehdoss ovt trpeettomt. Seurv luse liittää Riemnnin ehdon Stieltjes-integroituvuuteen. Luse.43 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitäviä. f S(g), () f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen j () fdg = fdg. (3) Huomutus.44 Jos jokin luseen.43 ehdoist toteutuu, niin fdg = fdg = fdg. Tämä seur huomutuksest.4 (j tietysti luseest.43). Luseen.43 todistus. Todistetn väite osoittmll, että () () (3) ().
() () Oletetn, että () pätee. Jos g() = g(b), niin g:n ksvvuuden nojll g on vkio, jolloin Y (J,f,g) = = A(J,f,g) kikille joille J j siten väite () pätee trivilisti. Voidn siis olett, että g() < g(b). Olkoon ǫ > mielivltinen. Oletuksen () nojll on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= pätee S J(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ kikille t i [ i, i ]. (4) 3 Tämä jko J ǫ on väitteessä () hettu jko. Olkoon siis J tiheämpi jko kuin J ǫ ; riittää osoitt, että Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. (5) Olkoot (jkoon J liittyen) M i (J,f) j m i (J,f) kuten määritelmässä.34. Supremumin j infimumin määritelmän nojll on ilmeistä, että M i (J,f) m i (J,f) = sup{f(t i ) f(t i) t i,t i [ i, i ]}, joten kikille i voidn vlit pisteet t i,t i [ i, i ] siten, että f(t i ) f(t i) > M i (J,f) m i (J,f) ǫ 3(g(b) g()). (6) Huom, että oletust g() < g(b) trvitn ehdoss (6). Nyt sdn tälle jolle J j vlituille pisteille t i,t i Y (J,f,g) A(J,f,g) = n M i (J,f)(g( i ) g( i )) i= n m i (J,f)(g( i ) g( i )) = i= n (M i (J,f) m i (J,f))(g( i ) g( i )) < i) i= n ( ) f(t i ) f(t ǫ i) + (g( i ) g( i )) = 3(g(b) g()) i= ( n ) (f(t i ) f(t ǫ n i))(g( i ) g( i )) + (g( i ) g( i )) = 3(g(b) g()) i= i= n n f(t i )(g( i ) g( i )) f(t i))(g( i ) g( i )) + ǫ ii) 3 i= i= n f(t i )(g( i ) g( i )) fdg + n f(t i)(g( i ) g( i )) fdg + ǫ 3 i= ǫ 3 + ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ, 3 i= iii) <
joten väite (5) seur. Tässä epäyhtälö i) sdn ehdost (6) j g:n ksvvuudest, ii) tulee kolmioepäyhtälöstä j iii) ehdost (4). () (3) Oletetn, että ehto () pätee. Olkoon ǫ > mielivltinen. Luseen.39 nojll riittää osoitt, että fdg < Oletuksen () nojll on olemss jko J siten, että Silloin fdg + ǫ. (7) Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. (8) fdg i) Y (J,f,g) ii) < A(J,f,g) + ǫ iii) fdg + ǫ, joten väite (7) pätee. Tässä epäyhtälö i) tulee yläintegrlin määritelmästä, ii) ehdost (8) j iii) lintegrlin määritelmästä. (3) () Oletetn, että ehto (3) pätee. Merkitään A := fdg = fdg. Riittää osoitt, että kikille ǫ > on olemss jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= pätee S J (t,...,t n,f,g) A < ǫ. (9) Oletuksen (3) j infimumin määritelmän nojll on olemss jko J siten, että Y (J,f,g) < Luseen.36, g:n ksvvuuden j ehdon () nojll fdg + ǫ = A + ǫ. () Y (J,f,g) < A + ǫ kikille jko J tiheämmille joille J. () Vstvsti löydetään jko J siten, että A(J,f,g) > A ǫ kikille jko J tiheämmille joille J. (3) Määritellään nyt kivttu jko J ǫ settmll J ǫ = J J. Tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= sdn A ǫ i) < A(J,f,g) ii) S J (t,...,t n,f,g) iii) Y (J,f,g) iv) < A + ǫ, 4
joten väite (9) pätee. Tässä epäyhtälöt i) j iv) seurvt ehdoist (3) j (), sillä J on tiheämpi kuin J j J. Epäyhtälöt ii) j iii) seurvt luseest.35 j g:n ksvvuudest. Tvlliselle Riemnn-integrlille pätee tunnetusti rvio f(t)dt h(t)dt, jos f(t) h(t) kikille t. Stieltjes-integrleille vstv epäyhtälö ei välttämättä päde. Itse siss, jos g on vähenevä, epäyhtälö kääntyy ympäri. Ksvvlle g tämä kuitenkin pätee: Luse.45 Olkoot f,g,h : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f(t) h(t) kikille t [,b] sekä f,h S(g). Tällöin pätee Todistus. Hrjoitustehtävä. fdg hdg. Seurvkin, Riemnn-integrlille tuttu rvio pätee vin ksvvlle g. Luse.46 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f S(g). Tällöin f S(g) j pätee rvio fdg f dg. Todistus. Todistetn ensin väite f S(g). Olkoon J = ( i ) n i= väin [,b] mielivltinen jko j olkoot M i (J,f) sekä m i (J,f) kuten määritelmässä.34. Ilmeisesti supremumin j infimumin määritelmien nojll kikille i =,...,n pätee M i (J,f) m i (J,f) = sup{f(t) f(s) t,s [ i, i ]} j () M i (J, f ) m i (J, f ) = sup{ f(t) f(s) t,s [ i, i ]}. () Kolmioepäyhtälön mukn f(t) f(s) f(t) f(s) kikille t, s, jolloin ehtojen () j () nojll M i (J, f ) m i (J, f ) M i (J,f) m i (J,f) kikille i =,...,n. (3) Kosk g on ksvv, niin ehdost (3) sdn kertomll luvuill g( i ) g( i ) j summmll yli i:n ehto n M i (J, f )(g( i ) g( i )) i= n M i (J,f)(g( i ) g( i )) i= n m i (J, f )(g( i ) g( i )) i= n m i (J,f)(g( i ) g( i )) i= Y (J, f,g) A(J, f,g) Y (J,f,g) A(J,f,g). (4) eli 5
Ehto (4) pätee siis kikille joille J. Oletuksen f S(g) nojll kikille ǫ > on olemss jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. Silloin ehdon (4) mukn näille joille J pätee myös Y (J, f,g) A(J, f,g) < ǫ. Näin on nähty, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen, j väite f S(g) seur luseest.43. Luseen väite fdg f dg sdn nyt seurvsti. Kosk f f, niin luseen.45 nojll sdn ensin fdg f dg. (4) Toislt myös f f, jolloin luseiden.3 j.45 nojll sdn fdg = Väite seur ehdoist (4) j (5). ( f)dg f dg. (5) Jtkoss trvitn luseen.46 tpist rviot myös vähenevälle g. Tällinen on seurvss luseess. Luse.47 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on vähenevä j f S(g). Tällöin f S(g) j pätee rvio fdg f dg. Todistus. Kosk g on vähenevä, niin g on ksvv. Väite f S(g) seur tällöin luseist.46 j.4. Vrsininen epäyhtälö sdn rvioist i) fdg = fd( g) = ii) b fd( g) f d( g) iii) = f dg, missä yhtälöt i) j iii) seurvt luseest.4 j epäyhtälö ii) luseest.46 funktion g ksvvuuden nojll. Luse.48 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f S(g). Tällöin myös f S(g). 6
Todistus. Olkoon J = ( i ) n i= välin [,b] mielivltinen jko j olkoot M i(j,f) sekä m i (J,f) kuten määritelmässä.34. Tällöin kikille i =,...,n M i (J,f ) = sup{f (t) t [ i, i ]} = sup{ f (t) t [ i, i ]} = (sup{ f (t) t [ i, i ]}) = M i (J, f ) () j vstvsti m i (J,f ) = m i (J, f ). () Kosk f on rjoitettu välillä [,b], niin on olemss M > siten, että Jokiselle jolle J sdn nyt rvio f() M kikille [,b]. (3) M i (J,f ) m i (J,f ) i) = M i (J, f ) m i (J, f ) = (M i (J, f ) + m i (J, f ))(M i (J, f ) m i (J, f )) (4) M i (J, f )(M i (J, f ) m i (J, f )) ii) M(M i (J, f ) m i (J, f )). missä yhtälö i) sdn ehdoist () j () sekä epäyhtälö ii) ehdost (3) j g:n ksvvuudest. Kosk g on ksvv, niin rviost (4) sdn smn tpn kuin luseen.46 todistuksen ehdoss (3) rvio Y (J,f,g) A(J,f,g) M(Y (J,f,g) A(J,f,g)). (5) Oletuksen f S(g) j luseen.43 nojll kikille ǫ > on olemss jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ M. Näille joille J pätee silloin ehdon (5) nojll Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. Näin on nähty, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen, j väite f S(g) seur luseest.43. Luse.49 Olkoot f,g,h : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f,h S(g). Tällöin myös f h S(g). Todistus. Kosk f h = ((f + h) f h ), niin väite seur luseist.3 j.48. 7
Luse.5 Olkoon f jtkuv j g ksvv välillä [,b]. Tällöin f S(g). Huomutus. On tärkeää huomt, että luseess.5 ei vdit g:n jtkuvuutt. Todistus. Jos g() = g(b), niin g on ksvvuusoletuksen nojll vkio, jolloin väite on trivili. Voidn siis olett, että g(b) g() >. () Luseen.43 nojll riittää osoitt, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen. Olkoon tätä vrten ǫ > mielivltinen. Pitää löytää jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. () Kosk f on jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b], niin se on tsisesti jtkuv. Silloin ehdon () perusteell on olemss δ siten, että f() f(y) < Vlitn hluttu jko J ǫ niin, että ǫ (g(b) g()) J ǫ < δ. kun y < δ. (3) Tämä on toimiv vlint, sillä kun J = ( i ) n i= on tiheämpi kuin J ǫ, niin myös J < δ j siten i i < δ kikille i =,...,n. (4) Kuten luseen.46 todistuksen kohdss () M i (J,f) m i (J,f) = sup{f(t) f(s) t,s [ i, i ]}, jolloin ehtojen (3) j (4) nojll M i (J,f) m i (J,f) ǫ (g(b) g()) kikille i =,...,n. (5) Kosk g on ksvv, niin ehdost (5) sdn kertomll luvuill g( i ) g( i ) j summmll yli i:n ehto Y (J,f,g) A(J,f,g) = ǫ (g(b) g()) i= n (M i (J,f) m i (J,f))(g( i ) g( i )) i) i= n ǫ (g( i ) g( i )) = (g(b) g()) (g(b) g()) = ǫ < ǫ, joten väite () pätee. Tässä epäyhtälö i) seur ehdost (5). 8
Määritelmä.5 Olkoon f : [, b] R kuvus. Snotn, että f on rjoitetusti heilhtelev, jos on olemss vkio M R siten, että n f( i ) f( i ) M i= kikille välin [,b] joille ( i ) n i=. Snotn, että { n } V f (,b) = sup f( i ) f( i ) ( i ) n i= on välin [,b] jko i= on funktion f kokonisheilhtelu välillä [,b]. Huomutus. f on siis rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] jos j vin jos kokonisheilhtelulle pätee V f (,b) <. Huomutus. Jtkoss käsitellään usein kompleksirvoisi funktioit. Siitä syystä joudutn lventmn määritelmää.5. Jos f : [, b] C on kompleksirvoinen, snotn, että f on rjoitetusti heilhtelev, jos sen reli- j imginrios ovt rjoitetusti heilhtelevi. Toinen, yhtäpitävä (hrj. teht.) tp määritellä tämä käsite kompleksirvoisille funktioille on käyttää määritelmää.5, joss olev itseisrvo on kompleksinen itseisrvo. Huomutus.5 Rjoitetusti heilhtelev funktio on rjoitettu, sillä helposti nähdään, että f() f() + V f (,) f() + V f (,b) kikille [,b]. Toislt tietenkään kikki rjoitetut funktiot eivät ole rjoitetusti heilhtelevi, esimerkkinä f : [,] R, { kun Q f() = kun R \ Q, kuten myös helposti nähdään. Luse.53 Ksvv ti vähenevä funktio f : [,b] R on rjoitetusti heilhtelev. Todistus. Tämä on helppo: ksvvlle f pätee V f (,b) = f(b) f() j vstvsti vähenevälle f pätee V f (,b) = f() f(b). Luse.54 Porrsfunktio on rjoitetusti heilhtelev. Todistus. Helppo hrjoitustehtävä. Tämähän perustuu oleellisesti siihen, että porrsfunktioll on portit vin äärellinen määrä, vert huomutuksen.5 esimerkkifunktioon, jok ei ole porrsfunktio. Huomutus. Luse.54 on yksinkertisuudestn huolimtt tärkeä tulos jtkoss, sillä monet lukuteoreettiset funktiot (ti inkin niiden rjoittumt väleille [,b]) ovt nimenomn porrsfunktioit. 9
Luse.55 Khden rjoitetusti heilhtelevn funktion summ, erotus j tulo ovt rjoitetusti heilhtelevi. Todistus. Summlle j erotukselle tämä on helppo hrjoitustehtävä. Tulolle on vrmn viisint todist ensin, että jos f on rjoitetusti heilhtelev, niin myös f on rjoitetusti heilhtelev. Tämä menee helposti käyttäen esitystä f ( i ) f ( i ) = (f( i )+f( i ))(f( i ) f( i )) j f:n rjoittuneisuutt. Yleiseen tuloon f g päästään tämän jälkeen käyttäen esitystä f g = ((f + g) f g ). Huomutus.56 Suljetull j rjoitetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv, j voisi jtell, että tästä seurisi helposti rjoitetusti heilhtelevuus. Näin ei kuitenkn ole, vn on olemss jtkuvi funktioit jop derivoituvi, jotk eivät ole rjoitetusti heilhtelevi. Jätetään esimerkin keksiminen hrjoitustehtäväksi. Seurvn luseen ehdot tkvt kuitenkin rjoitetun heilhtelun. Luse.57 Olkoon f : [,b] R derivoituv välillä [,b] j oletetn, että derivtt on rjoitettu. Tällöin f on rjoitetusti heilhtelev välillä [,b]. Todistus. Tämä sdn helposti differentililskennn välirvoluseest. Jätetään yksityiskohdt hrjoitustehtäväksi. Luse.58 Olkoon f : [, b] R rjoitetusti heilhtelev j c [, b]. Tällöin pätee V f (,b) = V f (,c) + V f (c,b). Todistus. Hrjoitustehtävä. Tämä ei ole ihn trivili, vn tässä pitää vrmn todist epäyhtälö molempiin suuntiin. Luse.59 Olkoon f : [, b] R rjoitetusti heilhtelev. Määritellään kuvus V : [,b] R settmll V () = V f (,). Tällöin V on ksvv. Lisäksi myös V f on ksvv. Todistus. Kun < y b, niin luseen.58 nojll V (y) V () = V f (,y) V f (,) = V f (,y), joten V :n ksvvuus seur. Lisäksi (V (y) f(y)) (V () f()) = V (y) V () (f(y) f()) = V f (,y) V f (,) (f(y) f()) = V f (,y) (f(y) f()) i), joten jälkimmäinenkin väite seur. Tässä epäyhtälö i) seur siitä, että suorn kokonisheilhtelun määritelmän nojll on f(y) f() f(y) f() V f (,y). Seurv luse nt yksinkertisen j hyvin käyttökelpoisen krkteristion rjoitetusti heilhteleville funktioille. 3
Luse.6 Kuvus f : [,b] R on rjoitetusti heilhtelev jos j vin jos se voidn esittää khden ksvvn kuvuksen g, h : [, b] R erotuksen, f = g h. Todistus. Jos f on rjoitetusti heilhtelev, niin vlitn V kuten luseess.59, jolloin kyseisen luseen perusteell f = V (V f) on hluttu esitys. Jos kääntäen f:llä on esitys f = g h, missä g j h ovt ksvvi, niin f on rjoitetusti heilhtelev luseiden.53 j.55 nojll. Luse.6 Olkoon f jtkuv j g rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Tällöin f S(g). Todistus. Luseen.6 nojll rjoitetusti heilhtelev g voidn esittää khden ksvvn funktion erotuksen. Väite seur tällöin luseist.5 j.4. Luseest.6 sdn näppärästi myös käänteinen tulos: Seurus.6 Olkoon f rjoitetusti heilhtelev j g jtkuv välillä [,b]. Tällöin f S(g). Todistus. Tämä seur välittömästi luseist.6 j.7. Seurus.63 Rjoitetusti heilhtelev funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv. Todistus. Väite seur luseest.6 j huomutuksest.6, kosk g(t) = t on jtkuv. Luse.64 Olkoon g välillä [,b] rjoitetusti heilhtelev j f S(g). Tällöin f on g:n suhteen Stieltjes-integroituv jokisell osvälillä [c,d] [,b]. Todistus. Luseen.6 nojll g voidn esittää khden ksvvn funktion erotuksen, joten luseen.4 nojll riittää todist väite ksvvlle g. Oletetn siis, että g on ksvv. Huomutuksen.6 nojll riittää osoitt, että f on g:n suhteen Stieltjesintegroituv väleillä [,c] j [,d], mihin riittää osoitt, että f on g:n suhteen Stieltjes-integroituv väleillä [, e] jokiselle e [, b]. Olkoon tätä vrten e [, b] mielivltinen. Olkoon [,b] mielivltinen j J välin [,] jko. Merkitään K(J,) = Y (J,f,g) A(J,f,g). Olkoon ǫ > mielivltinen. Kosk g on ksvv, niin luseen.43 nojll riittää osoitt, että on olemss välin [,e] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee K(J,e) < ǫ. () 3
Kosk oletuksen mukn f S(g) välillä [,b], niin on olemss välin [,b] jko J siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee K(J,b) < ǫ. () Piste e voidn trvittess lisätä jkoon J, joten voidn olett, että e J. Määritellään nyt kivttu välin [,e] jko J ǫ settmll J ǫ = J [,e]. Huom, että oletuksen e J nojll tämä on todell välin [,e] jko. Tämä J ǫ toteutt ehdon (), sillä jos J on tätä tiheämpi jko, niin J = J J on välin [,b] jko, jok on tiheämpi kuin J, j silloin ehdon () nojll K(J,b) < ǫ. Siten väite () seur, jos osoitetn, että K(J,e) K(J,b). (3) Olkoon J = ( i ) n i= jolloin n = e j tehtyjen vlintojen mukn J = ( i ) n+m i= jollekin m. Silloin sdn K(J,e) = n M i (J,f)(g( i ) g( i )) i= n m i (J,f)(g( i ) g( i )) = i= n (M i (J,f) m i (J,f))(g( i ) g( i )) i) i= n+m (M i (J,f) m i (J,f))(g( i ) g( i )) = i= n+m n+m M i (J,f)(g( i ) g( i )) m i (J,f)(g( i ) g( i )) = K(J,b), i= i= joten väite (3) pätee. Tässä epäyhtälö i) seur siitä, että summn lisättävät termit ovt positiivisi: M i (J,f) m i (J,f) määritelmän.34 mukn j g( i ) g( i ) g:n ksvvuuden nojll. Seurv luse kertoo, miten tulon suhteen integroidn. Luse.65 Olkoot f, g, h : [, b] R rjoitettuj siten, että g on jtkuv j f on rjoitetusti heilhtelev sekä f S(gh), fg S(h) j fh S(g). Tällöin pätee fd(gh) = fgdh + fhdg. 3
Huomutus. Jos h j g ovt jtkuvsti derivoituvi, niin luseen.9 nojll luseen.65 väite seur tulon derivoimissäännöstä: f(t)d(gh(t)) = f(t)g(t)dh(t) + f(t)(g(t)h (t) + g (t)h(t))dt = f(t)h(t)dg(t). Tässä luseess.65 ei kuitenkn derivoituvuudest ole tieto. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Riittää osoitt, että fd(gh) fgdh Kosk f S(gh), niin osittisintegrointiluseen.7 nojll fd(gh) = joten väite () tulee muotoon / b f(t)g(t)h(t) / b f(t)g(t)h(t) ghdf fhdg < ǫ. () fgdh ghdf, fhdg < ǫ. () Kosk fg S(h), niin on olemss välin [,b] jko J siten, että kikille tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= pätee n fgdh f( i )g( i )(h( i ) h( i )) < ǫ 4. (3) i= Vstvsti kosk fh S(g), niin on olemss välin [,b] jko J siten, että kikille tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= pätee n fhdg f( i )h( i )(g( i ) g( i )) < ǫ 4. (4) i= Merkitään J 3 = J J, jolloin ehdot (3) j (4) tulevt voimn tätä jko tiheämmille joille J, j lskemll ehdot yhteen sdn rvio fgdh + fhdg ( n f( i )g( i )(h( i ) h( i )) + i= ) n ǫ f( i )h( i )(g( i ) g( i )) <, i= 33
jok siis pätee kikille jko J 3 tiheämmille joille J = ( i ) n i=. Silloin väite () seur, jos osoitetn, että / b f(t)g(t)h(t) ghdf (5) ( n ) n ǫ f( i )g( i )(h( i ) h( i )) + f( i )h( i )(g( i ) g( i )) < i= jollekin jko J 3 tiheämmälle jolle J. i= Hlutun ehdon (5) summi voidn lske: n f( i )g( i )(h( i ) h( i )) + i= n f( i )g( i )h( i ) i= n f( i )h( i )(g( i ) g( i )) = i= n f( i )g( i )h( i )+ i= n f( i )h( i )g( i ) i= n f( i )h( i )g( i ) i= n f( i )g( i )h( i ) i= n f( i )h( i )g( i ) = i= n f( i )g( i )h( i )+ i= n f( i )h( i )g( i ) = i= n f( i )h( i )g( i ) i= n f( i )g( i )h( i ) + i= n g( i )h( i )(f( i ) f( i )) + i= / b / b f(t)g(t)h(t). f(t)g(t)h(t) = Tällöin ehto (5) voidn kirjoitt muotoon n ghdf + g( i )h( i )(f( i ) f( i )) < ǫ i= jollekin jko J 3 tiheämmälle jolle J. Kosk g on oletuksen mukn jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b], niin se on tsisesti jtkuv. Kun tähän yhdistetään muut luseen oletukset, niin on olemss M > siten, että h() M kikille, (7) f:n kokonisheilhtelu V f on äärellinen j (8) on olemss δ > siten, että ǫ g() g(y) < kun y < δ. (9) 4M(V f + ) (6) 34
Kosk oletuksen mukn f S(gh), niin osittisintegrointiluseen nojll gh S(f), joten on olemss jko J 4 siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee n ghdf h( i )g( i )(f( i ) f( i )) < ǫ 4. () i= Jko J 4 trvittess tihentämällä voidn olett, että J 4 < δ. Vlitn nyt J = J 3 J 4, jolloin inkin J on tiheämpi kuin J 3, joten riittää osoitt, että ehto (6) pätee tälle J. J on tiheämpi kuin J 4, joten ehto () pätee. Silloin ehto (6) seur, jos osoitetn, että n n g( i )h( i )(f( i ) f( i )) h( i )g( i )(f( i ) f( i )) < ǫ 4 i= i= i= tälle vlitulle J. Tämä ehto sdn lskemll: n n h( i )g( i )(f( i ) f( i )) g( i )h( i )(f( i ) f( i )) i= i= n h( i ) g( i ) g( i ) f( i ) f( i ) ii) M n i= g( i ) g( i ) f( i ) f( i ) iii) ǫ M 4M(V f + ) n i= f( i ) f( i ) iv) ǫ 4(V f + ) V f < ǫ 4, joten väite (6) seur. Tässä epäyhtälö i) tulee kolmioepäyhtälöstä, ii) seur ehdost (7), iii) ehdost (9) j siitä, että J J 4 < δ. Lopult epäyhtälö iv) seur kokonisheilhtelun määritelmästä j ehdost (8). Välirvo- j konvergenssiluseit Riemnn-integrleille pätee tuttu välirvoluse, jok snoo, että välillä [, b] jtkuvlle funktiolle f pätee f(t)dt = f(c)(b ) jollekin c [,b]. Tässä luvuss yleistetään tämä Stieltjes-integrleille j todistetn useit jtkoss trvittvi muunnelmi tästä stndrdivälirvoluseest. Luse. Olkoon g ksvv j f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss c [,b] siten, että fdg = f(c)(g(b) g()). i) 35
Todistus. Luseen.5 mukn f S(g), joten väite on mielekäs. Jos g on vkio, niin väitetyn yhtälön molemmt puolet ovt nolli, joten se pätee trivilisti. Voidn siis olett, että g ei ole vkio, jolloin ksvvuuden nojll g(b) g() >. () Jtkuvn funktion f svutt mksimins j miniminsä välillä [,b]; merkitään M = m{f(t) t [,b]} j m = min{f(t) t [,b]}. Vkiofunktiot ovt integroituvi, j nyt sdn rvio m(g(b) g()) i) = mdg ii) fdg iii) Mdg iv) = M(g(b) g()), () missä yhtälöt i) j iv) sdn luseest.9; epäyhtälöt ii) j iii) seurvt luseest.45 j g:n ksvvuudest. Ehtojen () j () nojll m g(b) g() f(t)dg(t) M. (3) Jtkuvn funktion f svutt kikki minimi- j mksimirvons väliset rvot, joten ehdon (3) nojll on olemss c [,b] siten, että Väite seur tästä. f(c) = g(b) g() f(t)dg(t). Osittisintegroinnill välirvoluseest sdn seurvnlinen muotoilu. Luse. Olkoon g jtkuv j f ksvv välillä [, b]. Tällöin on olemss c [,b] siten, että fdg = f() c dg + f(b) Todistus. Luseiden.5 j.7 nojll f S(g), j kosk vkiofunktio on in integroituv, niin väitteen kikki kolme integrli ovt olemss, j väite on siten mielekäs. Osittisintegrointiluseen.7 nojll sdn fdg = / b f(t)g(t) c dg. gdf. () Välirvoluseen. oletukset toteutuvt integrliss gdf, joten sdn gdf = g(c)(f(b) f()) jollekin c [,b]. () 36
Yhdistämällä ehdot () j () nähdään, että fdg = f(b)g(b) f()g() g(c)(f(b) f()) = f()(g(c) g()) + f(b)(g(b) g(c)). (3) Luseen.9 nojll g(c) g() = c joten väite seur ehdost (3). dg(t) j g(b) g(c) = c dg(t), Luseen. vull sdn seurv välirvoluseen viritys Riemnn-integrleille. Plutetn ensin mieleen toispuolisten rj-rvojen f(c + ) j f(c ) merkintäsopimus.. Luse.3 Olkoon g jtkuv j f ksvv välillä [,b]. Olkoot A,B R siten, että A f( + ) f(b ) B. Silloin on olemss c [,b], jolle pätee f(t)g(t)dt = A c g(t)dt + B c g(t)dt. Huomutus. Tässä on syytä huomt, että f:n ksvvuuden nojll rj-rvot f( + ) = lim t + f(t) j f(b ) = lim t b f(t) ovt olemss j pätee f() f( + ) f(b ) f(b). Todistus. Kosk g on jtkuv, niin se on tunnetusti (ti luseen. nojll) Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b], joten väitteen oiken puolen integrlit ovt mielekkäitä. Vsemmn puolen integrli on myös olemss, sillä tunnetusti (ti luseen. nojll) Riemnn-integroituvien funktioiden tulo on Riemnn-integroituv, j tässä f:n sekä g:n integroituvuus tiedetään: toinen on jtkuv j toinen rjoitetusti heilhtelev, ks. luse.63. Merkitään kikille [, b] h() = g(t)dt. Kosk g on jtkuv, niin tunnetusti h on derivoituv j pätee h () = g() kikille [,b]. () Ehdoss () puhutn tietysti toispuolisest derivtst päätepisteissä. Erityisesti h on jtkuv välillä [,b]. Kosk f on oletuksen mukn ksvv, niin välirvoluseen. nojll sdn fdh = f() c dh + f(b) c dh jollekin c [,b]. () 37
Ehdon () j luseen.9 sekä derivtn h jtkuvuuden perusteell c c dh = dh = Tällöin ehdon () nojll c c h (t)dt = g(t)dt. fdh = f() c c g(t)dt j vstvsti g(t)dt + f(b) c g(t)dt. (3) Ehto (3) todist väitteen siinä erikoistpuksess, että A = f() j B = f(b). Yleistä tpust vrten määritellään funktio f settmll f(t) kun t ],b[ f(t) = A kun t = B kun t = b. Tällöin f on oletuksen A f( + ) f(b ) B nojll ksvv, j silloin ehto (3) pätee funktiolle f. Väite seur tästä. Luse.4 (Bonnet) Olkoon g jtkuv sekä f ksvv j positiivinen välillä [,b]. Olkoon B R siten, että f(b ) B. Silloin on olemss c [,b] siten, että f(t)g(t)dt = B g(t)dt. Todistus. Kosk f on positiivinen, niin f( + ), j silloin luseess.3 voidn vlit A =. Väite seur tästä. Seurvksi oletetn, että f n f j ihmetellään, että millä ehdoll pätee f n (t)dt c f(t)dt, edellyttäen tietysti, että sinomiset integrlit ovt olemss. Näin ei suinkn in käy, edes porrsfunktioille. Jos esimerkiksi määritellään f n : [,] R { kun = ti f n () = n kun < < n, j f niin f n f pisteittäin, mutt f n(t)dt = kikille n j f(t)dt =, joten f n(t)dt f(t)dt. Anlyysin kursseill todistetn helppo lkeistulos: 38
Luse.5 Olkoon (f n ) jono välillä [,b] määriteltyjä Riemnn-integroituvi funktioit siten, että f n f tsisesti. Tällöin myös f on Riemnn-integroituv j pätee lim n f n (t)dt = f(t)dt. Mittteoriss todistetn tähän konvergenssikysymykseen liittyviä monimutkisempi luseit Lebesgue-integrlille. Lebesgue-integrli ei ole ivn sm si kuin Riemnn-integrli, eikä tällä kurssill lähdetä Lebesgue-teori sen enempää selvittämään. Näistä Lebesgue-integrli koskevist tuloksist voidn kuitenkin joht tuloksi Riemnn-integrlille. Esitetään tässä ilmn todistuksi ne konvergenssitulokset, joit jtkoss trvitn. Todistukset löytynevät mittteorin luennoist; tässä on nnettu viittus lähteeseen [A]. Luse.6 Olkoon (f n ) jono välillä [,b] Riemnn-integroituvi funktioit j oletetn, että f n f pisteittäin välillä [,b]. Oletetn, että rjfunktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tämän lisäksi oletetn, että on olemss vkio M siten, että f n () M kikille n N j kikille [,b]. Tällöin pätee lim n f n (t)dt = f(t)dt. Todistus. [A,. j.9]. Jtkoss trvitn vstv konvergenssitulost myös epäoleellisille Riemnnintegrleille. Tässä tilnne on vähän hnklmpi j vditn enemmän oletuksi. Tulos on seurv. Luse.7 Olkoon < b. Oletetn, että (f n ) on jono välillä ],b[ määriteltyjä funktioit siten, että f n f pisteittäin välillä ],b[. Oletetn, että epäoleelliset Riemnn-integrlit f(t)dt, f(t) dt f n (t)dt, f n (t) dt ovt olemss kikille n. Tämän lisäksi oletetn, että on olemss välillä ], b[ määritelty funktio g siten, että epäoleellinen Riemnn-integrli g(t)dt on olemss j lisäksi pätee f n () g() kikille n N j kikille ],b[. Tällöin pätee lim n f n (t)dt = f(t)dt. 39
Todistus. [A,.33 j.3]. Luse.7 on vhv tulos, mutt se ei ivn jok pikkn sovi. Seurv viritelmää joudutn käyttämään Wiener-Ikehrn luseen todistuksess. Luse.8 Olkoon (f n ) on jono välillä [, [ määriteltyjä positiivirvoisi funktioit siten, että (f n ()) on ksvv kikille [, [ j f n () f() pisteittäin välillä [, [. Oletetn, että epäoleellinen Riemnn-integrli f n (t)dt on olemss kikille n j että f on Riemnn-integroituv jokisell rjoitetull välillä [,], >. Oletetn lisäksi, että rj-rvo lim n f n (t)dt R on olemss. Tällöin myös epäoleellinen Riemnn-integrli f(t)dt on olemss j pätee lim n Todistus. [A,.33 j.4]. f n (t)dt = f(t)dt. Luseen.7 lisäksi trvitn vstv tulost funktiosrjoille. Funktiosrj on tietysti ossummiens rj-rvo, joten luseest.7 voidn helposti joht ehto sille, milloin vrmuudell on ( ) b f n (t) dt = f n (t))dt. n N n N Luseest.7 johdettu ehto ei kuitenkn ole kovin käyttökelpoinen tämän kurssin trkoituksiin, joten esitetään tässä kätevämpi ehto. Luse.9 Olkoon < b. Oletetn, että (f n ) on jono välillä ],b[ määriteltyjä funktioit siten, että srj f n () suppenee kikille ],b[. n N Oletetn, että epäoleelliset Riemnn-integrlit f n (t)dt j Oletetn lisäksi, että f n (t) dt ovt olemss kikille n N. srj n N f n (t) dt suppenee j epäoleellinen Riemnn-integrli f n (t) dt on olemss. n N 4
Tällöin epäoleellinen Riemnn-integrli ( ) f n (t) dt = n N n N Todistus. [A,.33 j.6]. f n (t)dt. ( ) f n (t) dt on olemss j pätee n N Integrlilskennn kurssilt tuttu Fubinin luse snoo seurv: Luse. Olkoon f : [, b] [c, d] R jtkuv melkein kikkill j oletetn, että kuvus [,b] R, f(,y) on Riemnn-integroituv kikille y [c,d] sekä vstvsti kuvus [c,d] R, y f(,y) on Riemnn-integroituv kikille [,b]. Tällöin pätee d c f(,y)dyd = d j erityisesti yhtälön () ulommt integrlit ovt olemss. c f(,y)ddy, () Todistus. Ks. esim. Purmonen, Integrlilskent, luse 3.. Tässä käsite melkein kikkill trkoitt sitä, että f:n epäjtkuvuuspisteiden joukko voidn peittää numeroituvll määrällä voimi neliöitä, joiden yhteenlskettu pintl on mielivltisen pieni. Vert luseen. todistuksen vstvn yksiulotteiseen määritelmään. Jtkoss trvitn Fubinin lusett myös epäoleellisille Riemnn-integrleille. Seurv muotoilu on käyttökelpoisin. Luse. Olkoon f : [, [ [, [ R + jtkuv siten, että integrlit suppenevt. Tällöin pätee f(, y)ddy j f(,y)dyd Todistus. [A, 5.8 j.33]. f(,y)ddy = f(, y)dyd. Huomutus. Wiener-Ikehrn luseen todistuksess trvitn myös erästä Fubinin luseen versiot, mutt ei esitetä siitä tässä mitään yleistä tulost, vn pltn tpuskohtisesti sin ivn konkreettisill funktioill, kunhn sinne sti päästään. 4
3 Fourier-nlyysiä Tässä luvuss esitetään joitkin lkeismääritelmiä j -tuloksi Fourier-integrleist j Fourier-srjoist. Nämä ovt tämän kurssin knnlt puvälineitä, eikä tässä yritetäkään päästä kovin suureen yleisyyteen, vn todistetn vin sen verrn kuin trvitn. Tämä trkoitt erityisesti sitä, että esiintyviin funktioihin voidn kohdist melko voimkkit oletuksi, kosk lukuteoreettisiss sovelluksiss tvttvt funktiot ovt suhteellisen siistejä. Oletetn tässä luvuss pysyvästi (ellei muut minit), että kikki trksteltvt funktiot ovt rjoitetusti heilhtelevi sinomisell välillä. Kompleksirvoiselle funktiolle rjoitetusti heilhtelevuus määritellään (esimerkiksi) niin, että sen reli- j imginriost vditn rjoitetusti heilhteleviksi. Olkoon [,b] R jokin kiinteä väli, jonk pituus on π. Trkstelln välillä [, b] rjoitetusti heilhtelevien kompleksirvoisten funktioiden muodostm (luonnollist) vektorivruutt L. Tässä siis summ j sklrill kertominen määritellään ilmeisellä tvll. Tähän vruuten syntyy sisätulo, kun määritellään (f g) = f(t)g(t)dt kikille f, g L, () missä merkintä g(t) trkoitt kompleksikonjugtti. Kosk f j g ovt rjoitetusti heilhtelevi, niin luseen.55 nojll f g on rjoitetusti heilhtelev, jolloin luseen.63 nojll f g on Riemnn-integroituv j määritelmä () on tältä osin mielekäs. Relirvoiselle g ei määritelmän () konjugoinnill tietenkään ole merkitystä. Sisätulo nt tvnomiseen tpn normin vruuteen L, kun setetn f = (f f). Huomutus. Syntynyt normi ei kuitenkn ole oike normi, kosk ehto f = f = ei toteudu. Smst syystä sisätulo ei ole oike sisätulo. Tästä pulmst päästää tvnomiseen tpn (kuten L p -vruuksiss) smstmll ne funktiot f,g L, joille pätee f g =. Tämän suppen esityksen knnlt sill ei ole merkitystä, joten tätä smstust ei ruvet nyt sen enempää nlysoimn. Toki smstuksen voi jtkoss pitää mielessä, mutt stviin tuloksiin se ei oleellisesti vikut, j puhutn jtkoss normist j sisätulost vruudess L sen enempää murehtimtt. Vektorivruus L on ääretönulotteinen, eikä sinne ole kovin helppo nt Hmelknt, mutt jonkinlinen knnntpinen (trkemmin snottun Schuderknt) syntyy joukost S = {ϕ,ϕ,ϕ,...}, missä π kun n = ϕ n () = cos(k) π kun n = k jollekin k sin(k) π kun n = k jollekin k. Luse 3. Joukko S on ortonormli sisätulon (f g) suhteen. 4
Todistus. Suor lsku. Jos trkstelln euklidisen vruuden R n stndrdiknt {e,...,e n }, missä e = (,,...,),...,e n = (,,...,) j stndrdisisätulo ( y) = n i= iy i, niin jokiselle = (,..., n ) R n koordintit i sdn kvst i = ( e i ), jolloin = n ( e i )e i. i= Vstv kuvio vruudess L ei ivn toimi, kosk S ei ole Hmel-knt eli jokist funktiot f L ei voi äärellisenä linerikombintion funktioist ϕ i esittää. Jos kuitenkin yritetään pproksimoid f:ää äärellisellä summll n (f ϕ i )ϕ i, () i= niin huomtn, että jotin tämänsuuntist syntyy. Arvio () on näet prs muoto n i= iϕ i olev pproksimtio f:lle, mitä on olemss. Tämän snoo luse 3.3; huom, että luseess 3.3 on oleellist vin se, että S on ortonormli merkityksellisiä eivät ole itse funktiot ϕ i. Lusett ennen trvitn lemm. Lemm 3. Olkoon {ψ,ψ,...,ψ n } ortonormli joukko vruudess L sekä f L. Olkoot d,d,...,d n mielivltisi kompleksilukuj. Tällöin pätee f n d i ψ i = f i= n (f ψ i ) + i= n (f ψ i ) d i. Todistus. Normin määritelmästä sdn ensin sisätulon linerisuutt käyttäen f n d n ψ i = (f i= i= n d n ψ i f i= i= i= n d i ψ i ) = i= n n n (f f) (f d i ψ i ) ( d i ψ i f) + ( d i ψ i i= n d i ψ i ). () Kosk sisätulolle pätee (g λh) = λ(g h) kikille g,h L j λ C, niin summss () on linerisuuden nojll (f n d i ψ i ) = i= i= n d i (f ψ i ). () Kosk sisätulolle pätee (g h) = (h g) kikille g,h L, niin ehdon () nojll ( n d i ψ i f) = (f i= n d i ψ i ) = i= i= n d i (f ψ i ) = i= n d i (f ψ i ). (3) i= 43
Summn () viimeiselle jäsenelle sdn ( n d i ψ i i= n j= n d i ψ i ) = i= d j d j (ψ j ψ j ) ii) = n j= k= n d j d k (ψ j ψ k ) = i) n d j, (4) j= missä yhtälöt i) j ii) seurvt joukon {ψ,ψ,...,ψ n } ortonormlisuudest. Yhdistämällä ehdot (), (), (3) j (4) sdn f n d n ψ i = f i= f f n (f ψ i ) + i= n (f ψ i ) + i= n d i (f ψ i ) i= n d i (f ψ i ) + i= n (d i (f ψ i ))(d i (f ψ i )) = i= n (f ψ i ) d i, i= n d i = i= joten väite pätee. Luse 3.3 Olkoon {ψ,ψ,...,ψ n } ortonormli joukko vruudess L sekä f L. Olkoot d,d,...,d n mielivltisi kompleksilukuj. Tällöin pätee f n (f ψ i )ψ i f i= n d i ψ i. Todistus. Kun lemmss 3. vlitn d i = (f ψ i ) kikille i =,...,n, niin nähdään, että f n (f ψ i )ψ i = f i= i= n (f ψ i ). i= Tämän perusteell väite seur, jos osoitetn, että f n (f ψ i ) f i= n d i ψ i. () Kun käytetään uudelleen lemm 3., tällä kert väitteen () oiken puoleen, niin väite () tulee muotoon f n (f ψ i ) f i= i= n (f ψ i ) + i= n (f ψ i ) d i, mikä onkin trivili väite, kosk n i= (f ψ i) d i on positiivinen. i= 44
Luse 3.4 (Besselin epäyhtälö) Olkoon {ψ,ψ,ψ,...} ortonormli joukko vruudess L sekä f L. Tällöin relilukusrj n= (f ψ n) suppenee j pätee (f ψ n ) f. n= Todistus. Kun lemmss 3. vlitn d i = (f ψ i ) kikille i =,...,n, niin nähdään, että f Silloin kikille n pätee n (f ψ i )ψ i = f i= n (f ψ i ) = f f i= n (f ψ i ). i= n (f ψ i )ψ i f, i= j väite seur. Huomutus. Seurv lusett vrten on ehkä syytä muistutt, että kosk sisätulovruudess L on määritelty normi, niin siellä on määritelty myös srjn suppenemisen käsite: g n = g n= lim m g n g =. () m n= Snotn jtkoss, että srj n= g n suppenee normin mielessä kohti funktiot g L, jos ehdon () yhtäpitävät väitteet toteutuvt. Jtkoss trkstelln myös relilukusrjoj n= g n(), [ π,π]. Jos tällinen srj suppenee kohti reliluku g() (relisen metriikn mielessä), niin snotn, että srj n= g n suppenee pisteessä. Luse 3.5 (Prsevlin yhtälö) Olkoon {ψ,ψ,ψ,...} ortonormli joukko vruudess L sekä f L. Jos summ n= (f ψ n)ψ n suppenee normin mielessä kohti funktiot f eli pätee niin (f ψ n )ψ n = f, () n= (f ψ n ) = f. () n= Tämä pätee myös kääntäen: jos ehto () pätee, niin ehto () seur. 45
Todistus. Kun lemmss 3. vlitn d i = (f ψ i ) kikille i =,...,n, niin nähdään, että f n (f ψ i )ψ i = f i= n (f ψ i ). i= Väitteen molemmt suunnt seurvt tästä. Huomutus. Prsevlin yhtälö (tässä muodossn) on yleistys R n :n vstvst tuloksest: jos {e,...,e n } on ortonormli (euklidisen sisätulon suhteen) knt R n :ssä niin kikille R n pätee n ( e i )e i = j i= n ( e i ) =. i= Siirrytään lopultkin sitten vrsinisiin Fourier-nlyysin sioihin. Avruuden L määritelmässä on trksteltu jotkin väliä [, b] R, jost ei ole muut oletettu kuin että sen pituus on π. Tätäkään oletust ei ole muuss trvittu kuin luseen 3. todistuksess. Jtkoss kiinnitetään (pysyvästi) tämä väli olemn [ π, π]. Kirjllisuudess näkee tässä käytettävän myös väliä [, π], mutt sill ei ole mitään oleellist merkitystä. Avruudess L tunnetn siis eräs ortonormli joukko S = {ϕ,ϕ,ϕ,...}, ks. luse 3. j määritelmä 3.6. Tälle joukolle S voidn trkstell Besselin epäyhtälössä ti Prsevlin yhtälössä olevi summi (f ϕ n ) n= j (f ϕ n )ϕ n (). n= Näistä summisthn ensimmäisen suppeneminen tiedetään luseest 3.4, mutt jälkimmäisestä ei ole tieto muut kuin se, mitä Prsevlin luseess snotn. Jtkoss mietitään sitä mille f L jälkimmäinen summ suppenee pisteittäin, j jos suppenee, niin suppeneeko kohti pistettä f(). Toislt voidn osoitt, että (ks. esim. Stromberg: An introduction to clssicl rel nlysis, 8.), että jälkimmäinen summ suppenee normin mielessä in kohti funktiot f L. Kirjllisuudess on esimerkkejä, joiss tämä srj ei suppene, eikä inkn kohti funktiot f, mutt näissä esimerkeissä f on monimutkisempi funktio niin, että f L. On tärkeää huomt, että tämä normin mielessä suppeneminen ei implikoi pisteittäistä suppenemist. Jtkoss selvitetään (se mitä pystytään) nimenomn pisteittäistä konvergenssi. Näissä summiss olevi kertoimi kutsutn f:n Fourier-kertoimiksi j jälkimmäistä summ f:n Fourier-srjksi suppenee se ti ei. Trkk määritelmä on syytä kirjoitt muistutetn vielä siitä, että trksteltv (integroimis)väli on [ π,π]: 46
Määritelmä 3.6 Olkoon S = {ϕ,ϕ,ϕ,...} L, missä π kun n = ϕ n () = cos(k) π kun n = k jollekin k sin(k) π kun n = k jollekin k, jolloin S on luseen 3. nojll ortonormli joukko. Olkoon lisäksi f L. Snotn, että kompleksiluvut (f ϕ n ), n =,,,... ovt f:n Fourier-kertoimet j funktiosrj sen Fourier-srj. (f ϕ n )ϕ n n= Huomutus 3.7 Usein on tpn kirjoitt f:n Fourier-srj muodoss + ( k cos(k) + b k sin(k)), () k= missä kertoimet k j b k sdn kvoist k = π π π f(t)cos(kt)dt j b k = π π π f(t) sin(kt)dt. () Tässä on tietystikin syytä trkist, että srj on sm kuin määritelmässä 3.6. Kun n =, pätee (f ϕ )ϕ () = π π π π π π f(t) dt = π π joten homm toimii inkin indeksillä n =. Kun n on prillinen, n = k sdn (f ϕ n )ϕ n () = ϕ n () cos(k) π π π π π f(t)ϕ (t)dt = π π f(t)ϕ n (t)dt = cos(k) π f(t)cos(kt) dt = k cos(k), j vstvsti prittomlle n, n = k + sdn (f ϕ n )ϕ n () = b k sin(k), f(t)dt =, π π f(t) cos(kt) π dt = 47
joten smoj srjoj ovt; tosin lievästi eri tvll indeksoituj, mutt se ei vikut mhdolliseen suppenemiseen, kuten jtkoss helposti nähdään. Myös kolms yleisesti käytössä olev esitystp tällä Fourier-srjll on. Kosk cos z = (eiz + e iz ) j sin z = i (eiz e iz ) kikille z C, niin srj () tulee inkin formlisti muotoon + k= k= ( k (eik + e ik ) + b ) k i (eik e ik ) + ( ( k + b k i )eik + ( k b ) k i )e ik = k= + ( k + b k i )eik + ( k b k i )e ik = + ( k + b k i )eik + k= k= c k e ik, k= k= = ( k b k i )eik = missä k + b k i kun k c k = kun n = k b k i kun k ( k ib k ) kun k = kun n = ( k + ib k ) kun k. (3) Ehdoss () on luvut k j b k määritelty vin positiivisille k. Määritelmä voidn ivn smll tvll sett myös negtiivisille k, siis k = π jolloin π π f(t)cos(kt)dt j b k = π π π b =, b k = b k j k = k kikille k. f(t) sin(kt)dt kikille k Z, (4) Tällöin lukujen k,b k j c k välinen yhteys (3) voidn kirjoitt vähän kätevämmin muodoss c k = ( k ib k ) kikille k Z. (5) 48
Tämän yhteyden voi ilmist myös yhtälöprin { k = c k + c k b k = i(c k c k ), jonk verifioiminen jääköön hrjoitustehtäväksi. Nämä k :t, b k :t j c k :t ovt vkiintuneet symbolein käytettäväksi Fourier-srjn kertoimin. Pyritään tässä Fourier-srjoj käsittelevässä luvuss välttämään näiden käyttöä missään muuss merkityksessä, joten inkin peritteess ne ovt in nnetun funktion Fourier-kertoimi, jotk liittyvät toisiins ylläkuvtull tvll. Lemm 3.8 Olkoon f L j k,b k,c k kikille k Z kuten huomutuksen 3.7 ehdoiss (4) j (5). Tällöin kikille k pätee c k = π π π f(t)e ikt dt. Todistus. Kosk e ikt = cos( kt) + isin( kt) = cos(kt) isin(kt), niin π π f(t)e ikt dt = π π π( ( k ib k )) ii) = πc k, f(t)cos(kt)dt i π π f(t)sin(kt)dt = π k iπb k i) = jost väite seur. Tässä yhtälö i) tulee huomutuksen 3.7 merkinnästä (4) j yhtälö ii) smn huomutuksen ehdost (5). Määritelmässä 3.6 käytettiin ortonormli joukko S; itse siss muit konkreettisi ortonormlej joukkoj L:ssä ei ole esiintynytkään. Seurvss lemmss on sellinen. Lemm 3.9 Määritellään kikille n Z vruuden L lkiot ψ n settmll ψ n () = ein π kikille [ π,π]. Tällöin joukko T = {ψ n n Z} on ortonormli. Todistus. Todetn ensin ortogonlisuus. Olkoon n m, jolloin (ψ n ψ m ) = π π π ψ n (t)ψ m (t)dt = / π π π e int π e imt π dt = e i(n m)t dt = i) π π π π i(n m) ei(n m)t = π i(n m) (ei(n m)π e i(n m)( π) ) = π i(n m) e i(n m) (e (n m)iπ ) = i(n m) e i(n m) ( ) =, 49
joten ortogonlisuus on selvää. Yllä yhtälö i) seur siitä, että n m. Trkistetn vielä normeerus. Tämä on smnkltinen lsku kuin yllä, mutt nyt m = n, joten sdn j tämäkin toimii. (ψ n ψ n ) = π Lemm 3. Olkoon f L j c k = π π π π π e i(n n)t dt = π dt =, π π f(t)e ikt dt kikille k Z. Olkoot vielä ψ n () = ein π kikille [ π,π] kuten lemmss 3.9. Tällöin pätee (f ψ k ) = πc k kikille k Z. Todistus. Tämä seur suorn määritelmistä. Huomutus 3. Määritelmän 3.6 j huomutuksen 3.7 mukisesti funktion f L Fourier-srjll on kolme esitystp: (f ϕ n )ϕ n () = () n= + ( k cos k + b k sin k) = () k= c k e ik. (3) k= Näistä srjoist on todettu huomutuksess 3.7, että niissä on inkin smt termit, kun srj (3) indeksoidn khteen muuhun srjn sopivsti. Kosk on tvoitteen, että srjt suppenisivt, on syytä vertill hiemn näiden srjojen mhdollist suppenemist joko normin suhteen ti pisteittäin. Srjn () oslt nämä suppenemiskäsitteet ovt selviä, kuten ennen Prsevlin yhtälöä todettiin. Summn () suppenemiset määritellään smoin, mutt nyt tässä termit lsketn yhteen lievästi toisess järjestyksessä. Kuten huomutuksen 3.7 merkinnöistä j lskelmist ilmenee, niin muutos on seurv. Jos lkuperäinen srj () on α + α + α + α 3 + α 4 + α 5 +..., niin srj () on α + (α + α ) + (α 3 + α 4 ) + (α 5 + α 6 ) +... Tällinen muutos voisi vikutt suppenemiseen (esimerkkinä relilukusrj + + +...), mutt ei se tässä vikut, kosk lim k k cos(k) = j lim k b k sin(k) = tsisesti, kuten lemmst 3.3 ilmenee. Jätetään hrjoitustehtäväksi osoitt, 5
että srjt suppenevt täsmälleen yhtä ik puhutnp sitten suppenemisest normin suhteen ti pisteittäin. Srj (3) on vähän ongelmllisempi, kosk siinä on tvlln kksi päätä joiss suppenemisen pitäisi tphtu. Kuten huomutuksen 3.7 merkinnöistä j lskelmist myös ilmenee, niin srj (3) on muodostettu niin, että N k= N c k e ik = N + ( k cos k + b k sink) kikille N N. k= Kun nyt hlutn srjojen yhtikinen suppeneminen, niin on syytä sopi, että srj (3) suppenee jos on olemss rj-rvo lim N N k= N c k e ik. Tämä rj-rvo on joko reliluku (jos puhutn pisteittäisestä suppenemisest) ti vruuden L funktio (jos puhutn suppenemisest normin suhteen). Jätetään hrjoitustehtäväksi vrmistu siitä, että näin määriteltynä srj (3) suppenee täsmälleen yhtä ik srjojen () j () knss j vieläpä kohti sm pistettä ti funktiot. Tällöin voidn sno, että f:n Fourier-srj suppenee millä trkoitetn sitä, että nämä kikki kolme srj suppenevt joko pisteittäin ti normin suhteen. Luse 3. Olkoon f L j c k = π π π f(t)e ikt dt kikille k Z. Oletetn, että f:n Fourier-srj suppenee normin mielessä kohti funktiot f. Tällöin pätee π π c k = f(t) dt. k= Huomutus. Tässä väitteen kksipäinen summ määritellään huomutuksen 3. suuntviivojen mukisesti eli k= c k = lim N N k= N c k. Huomutus. Kuten ikisemmin sivull 46 todettiin, luseen 3. suppenemisvtimus toteutuu kikille f L, joten myös luseen väite pätee kikille f L. Tällä kurssill sitä ei kuitenkn oll tietävinään, kosk todistust ei ole esitetty eikä tull esittämään. Todistus. Väite seur Prsevlin yhtälöstä 3.5 sekä lemmoist 3.8, 3.9 j 3.. Huomutuksess 3. hluttiin, että lim k b k sin(k) = j lim k k cos(k) = kikille [ π,π]. Tämä sdn seurvst. π 5
Lemm 3.3 Olkoon f L j k,b k,c k, missä k Z kuten huomutuksen 3.7 ehdoiss (4) j (5). Tällöin pätee lim k =, k () lim k = k j () lim k =. k (3) Todistus. Kosk joukko {ϕ,ϕ,ϕ,...} on ortonormli, niin luseen 3.4 nojll srj n= (f ϕ n) suppenee, jolloin sen termit konvergoivt nolln, j siten pätee myös lim (f ϕ n) =. (4) n Toislt k = π π π π π π f(t)cos(kt) dt = π π π f(t)ϕ k (t)dt = π (f ϕ k ), f(t) cos(kt) π dt = jolloin väite () seur ehdost (4). Vstvsti nähdään, että väite () pätee. Väite (3) seur tämän jälkeen huomutuksen 3.7 ehdost (3). Huom, että kyseisen huomutuksen ehto (4) ei ole tässä hyvä käyttää, kosk nyt ei (välittömästi) tiedetä lukujen k j b k käytöksestä negtiivisille k. Lemmst 3.3 sdn ilmiseksi jtkoss käyttökelpoinen erikoistpus myöhemmin esitettävästä Riemnn-Lebesguen lemmst: Luse 3.4 Olkoon f L. Tällöin pätee lim π k π π lim k π π lim k π f(t)cos(kt)dt =, f(t)sin(kt)dt = f(t)e ikt dt =. Todistus. Tämä seur huomutuksen 3.7 ehdost (), lemmst 3.8 j lemmst 3.3. Vrsininen Riemnn-Lebesguen lemm on seurvn putuloksen yleistys. Luse 3.5 Olkoon [, b] R rjoitettu väli j f Riemnn-integroituv välillä [,b]. Olkoon β R kiinteä. Tällöin pätee lim α j f(t)sin(αt + β)dt =. 5
Todistus. Todistetn väite ensin siinä tpuksess, että f on vkio, f C. Tällöin sdn suorn integroimll rvio (voidn olett, että α > ) f(t)sin(αt + β)dt = C / b α cos(αt + β) = C C cos(α + β) cos(bα + β) α α, jost väite seur. Seurvksi oletetn, että f on porrsfunktio. Tällöin on olemss välin [,b] jko ( i ) n i= siten, että kullkin voimell osvälillä I k = ] k, k [ f on vkio C k. Tällöin lim α n lim α k= f(t)sin(αt + β)dt = lim n α k= C k sin(αt + β)dt = i), I k I k C k sin(αt + β)dt = joten väite pätee. Tässä yhtälö i) seur todistuksen lkuosst, kosk n on tässä kiinteä. Trkstelln sitten yleistä funktiot f. Olkoon ǫ > mielivltinen. Kosk f on oletuksen mukn Riemnn-integroituv, on olemss porrsfunktio P siten, että f(t) P(t) dt < ǫ. () Todistuksen lkuosn nojll on olemss M > siten, että P(t)sin(αt + β)dt < ǫ kun α M. () Tällöin kikille α M sdn f(t)sin(αt + β)dt (f(t) P(t))sin(αt + β)dt + P(t)sin(αt + β)dt f(t) P(t)sin(αt + β) dt + ǫ f(t) P(t) dt + ǫ i) < ii) < ǫ + ǫ = ǫ, joten väite seur. Tässä epäyhtälö i) seur ehdost () j epäyhtälö ii) ehdost (). Vrsininen Riemnn-Lebesguen lemm snoo seurv. 53
Luse 3.6 Olkoon I R rjoitettu ti rjoittmton väli j f Riemnnintegroituv jokisell rjoitetull välillä [, b] I. Oletetn lisäksi, että (mhdollisesti epäoleellinen) Riemnn-integrli f(t) dt on olemss. Olkoon β R. Tällöin pätee I lim α I f(t)sin(αt + β)dt =. Todistus. Tässä välin I yli otettu integrli voi oll epäoleellinen molemmist päistä, mutt jkmll väli keskeltä khti j trkstelemll l- j yläpäätä erikseen (nämä ovt ilmeisesti nlogisi tpuksi), voidn olett, että I on muoto I = [,c[, missä joko c = ti c R. Kosk oletuksen nojll f on Riemnn-integroituv jokisell rjoitetull välillä [,b] I, niin funktion t sin(αt + β) jtkuvuuden j luseen. nojll myös f(t) sin(αt + β) on Riemnn-integroituv jokisell rjoitetull välillä [,b] I. Silloin luseen väite on mielekäs j se voidn kirjoitt muotoon lim lim α b c f(t)sin(αt + β)dt =. () Ensimmäinen kysymys kuuluu, että onko väitteen () sisempää rj-rvo olemss. Tämän rj-rvon olemssolo seur R:n täydellisyydestä, jos osoitetn, että kikille ǫ > on olemss b < c siten, että f(t)sin(αt + β)dt < ǫ kikille b ]b,c[. () b Kosk sin(αt + β) kikille t, niin väite () seur integrlin I f(t) dt = c f(t) dt oletetust suppenemisest. Tämän trkstelun nojll voidn merkitä kiinteälle α L α = lim b c Tällöin väite () tulee muotoon f(t)sin(αt + β)dt = c Olkoon tätä vrten ǫ >. Riittää osoitt, että f(t)sin(αt + β)dt R. lim L α =. (3) α L α < ǫ suurille α. (4) 54
Kosk c f(t) dt suppenee, niin voidn vlit b siten, että jolloin myös c b c b f(t) dt < ǫ, c f(t)sin(αt + β)dt f(t) dt < ǫ. (5) Lemmn 3.5 nojll riittävän suurille α pätee f(t)sin(αt + β)dt < ǫ. (6) Ehtojen (5) j (6) nojll suurille α pätee c L α = f(t)sin(αt + β)dt f(t)sin(αt + β)dt + c f(t)sin(αt + β)dt < ǫ, b b jolloin väite (4) seur. Luseen 3.4 tuloksen minittiin olevn Riemnn-Lebesguen lemmn 3.6 erikoistpus. Seurv tulos, jok puolestn on yleistys luseest 3.4, osoitt tämän. Seurus 3.7 Olkoon I R rjoitettu ti rjoittmton väli j f Riemnnintegroituv jokisell rjoitetull välillä [,b] I. Oletetn lisäksi, että (epäoleellinen) Riemnn-integrli f(t) dt on olemss. Tällöin pätee lim I α lim α lim α I I I f(t)cos(αt)dt =, () f(t)sin(αt)dt = j () f(t)e iαt dt =. (3) Todistus. Väite () seur, kun vlitn Riemnn-Lebesguen lemmss β =. Vstvsti väite () seur, kun vlitn β = π, jolloin sin(αt + β) = cos(αt). Väite (3) seur tämän jälkeen yhtälöstä e iαt = cos(αt) + isin(αt). 55
Lemm 3.8 Olkoon f : R C Riemnn-integroituv jokisell välillä [, b] R siten, että epäoleelliset integrlit Tällöin pätee f(t) dt j f(t) f( t) dt t ovt olemss. lim α f(t) cos(αt) dt = t Todistus. Kosk kiinteälle α R kuvus { cos(αt) g(t) = t dt kun t kun t = f(t) f( t) dt. t on jtkuv j rjoitettu, niin integrlin f(t) dt suppenemisen nojll myös integrlit f(t) cos(αt) dt suppenevt kikille α, t j väite on siten mielekäs. Näille integrleille sdn f(t) cos(αt) dt = t f( t) cos(αt) dt + t (f(t) f( t)) cos(αt) f(t) f( t) dt t t f(t) cos(αt) dt + t dt = f(t) f( t) t f(t) cos(αt) dt = t f(t) cos(αt) dt = i) t cos(αt)dt, () missä yhtälössä i) tehdään muuttujnvihto t t. Yhtälöketjun () viimeinen termi f(t) f( t) t cos(αt)dt konvergoi luseen oletusten j luseen 3.7 nojll nolln, kun α, jolloin väite seur. Huomutus 3.9 Jos f : [,b] R on rjoitetusti heilhtelev välillä [,b] (missä < b), niin on olemss reliset rj-rvot f( + ) j f(b ). Tämä seur luseest.6, jonk mukn rjoitetusti heilhtelev funktio voidn esittää khden ksvvn funktion erotuksen. Tällöin riittää huomt, että toispuolisten rj-rvojen olemssolo koskev väite pätee ksvvlle f. Kosk f on rjoitetusti heilhtelevn rjoitettu, niin ilmeisesti ksvvlle f pätee f( + ) = inf{f() ],b]} R j f(b ) = sup{f() [,b[} R. Huom kuitenkin, että voi oll f( + ) f() j f(b ) f(b). 56
Luse 3. Olkoon b > j f : [,b] C rjoitetusti heilhtelev. Tällöin pätee b lim f(t) sin(αt) dt = f( + ). α π t Todistus. Kosk f on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] j kiinteälle α kuvus { sin(αt) g(t) = t kun t α kun t = on jtkuv j rjoitettu välillä [,b], niin funktio t f(t) sin(αt) t on Riemnnintegroituv välillä [, b], j väitteen vsen puoli on siten mielekäs. Huomutuksen 3.9 nojll myös väitteen oike puoli on määritelty, j on jokin kompleksiluku. Huomutuksess 3.9 toki puhutn relirvoisest f, mutt tehtyjen sopimuksien mukn riittää trkstell erikseen f:n reli- j imginrios. Silloin voidn olett, että tämän luseen 3. f on relirvoinen. Luseen.6 nojll rjoitetusti heilhtelev relirvoinen f voidn esittää khden ksvvn funktion erotuksen: f = f f. Jos väite pätee ksvville funktioille, niin ilmeisesti väite seur myös f:lle, sillä f( + ) = f ( + ) f ( + ) j f(t) sin(αt) dt = t f (t) sin(αt) dt t f (t) sin(αt) dt. t Siten riittää todist väite ksvville funktioille eli voidn olett, että f on ksvv. Voidn olett myös, että α >, kosk rjnkäynnissä α. Olkoon c ],b[. Kosk (relirvoiselle f) f( + ) on jokin reliluku, niin väitteen vsemmn puolen integrli voidn kirjoitt muotoon Merkitään tässä f(t) sin(αt) dt = t c f( + ) c (f(t) f( + )) sin(αt) dt+ t c sin(αt) dt + t I (α,c) = (f(t) f( + )) sin(αt) dt, t c I (α,c) = f( + sin(αt) ) dt j t I 3 (α,c) = c f(t) sin(αt) dt, t c f(t) sin(αt) dt. t 57
jolloin väite tulee muotoon lim α (I (α,c) + I (α,c) + I 3 (α,c)) = π f(+ ). () Olkoon ǫ > mielivltinen. Väite () seur, jos osoitetn, että on olemss c ],b[ j A > siten, että kikille α > A pätee I (α,c) ǫ 3, () I 3 (α,c) ǫ 3 j (3) I (α,c) π f(+ ) ǫ 3. (4) Integrli sin t t dt suppenee; itse siss kompleksinlyysin keinoin voidn lske jop tämän integrlin rvo, jok on π, ks. [C, tehtävä 9.9]. Kuvus T : sin t t dt on jtkuv j kosk siis lim T() = π, niin T on rjoitettu välillä [, [. Silloin kikille,y myös T() T(y) T() + T(y) pysyy rjoitettun. Tämä merkitsee sitä, että on olemss vkio M > siten, että y sint dt t M kikille y. (5) Kosk muuttujnvihdoll s = αt nähdään, että y sin(αt) dt = t αy α sins s α α ds = αy α sins s ds, niin ehdon (5) nojll y sin(αt) dt t M kikille y j α >. (6) Vlitn nyt ehdoiss (), (3) j (4) trvittv c niin, että f(c) f( + ) < ǫ 3M, (7) missä M on kuten ehdoss (6). Vlint (7) on mhdollinen, kosk lim + f() = f( + ) R, kuten edellä todettiin. Kosk f on tehdyn oletuksen mukn ksvv, niin f(c) f( + ) f(c ) f( + ) j myös f f( + ) on ksvv sekä f(t) f( + ) kikille t [,c]. Kosk lisäksi kuvus t g(t) ks. todistuksen lku on jtkuv niin voidn sovelt Bonnetin välirvolusett.4, jonk mukn c j siten (f(t) f( + )) sin(αt) t dt = (f(c) f( + )) c I (α,c) = (f(c) f( + )) d 58 c d sin(αt) dt jollekin d [,c], t sin(αt) dt jollekin d [,c]. (8) t
Ehdon (8) vull sdn väite () (tämä pätee kikille α): c I (α,c) = f(c) f( + ) sin(αt) i) dt t ǫ 3M M = ǫ 3, missä epäyhtälö i) sdn ehdoist (7) j (6). d Väitteitä (3) j (4) vrten täytyy α:nkin kohdist jotin oletuksi. Kosk c >, niin funktio t f(t) t on integroituv välillä [c, b], j silloin luseen 3.7 nojll lim I 3(α,c) = lim α α jolloin on olemss A siten, että c f(t) sin(αt) dt =, t I 3 (α,c) < ǫ 3 kun α A. (9) Integrlin I (α,c) rviointi vrten trvitn tieto, johon jo edellä viitttiin: Tämän vull sdn lim I (α,c) = lim α α f(+ ) f( + ) c sin s ii) ds = f( + ) π s, sin t dt = π t. () sin(αt) αc dt = i) lim t α f(+ ) sin s ds = () s missä yhtälö i) sdn muuttujnvihdoll s = αt j yhtälö ii) tulee ehdost (). Ehdon () nojll on olemss A siten, että I (α,c) π f(+ ) < ǫ 3 kun α A. () Kun vlitn A = m{a,a }, niin väitteet (3) j (4) seurvt ehdoist (9) j (). Huomutuksess 3.7 esitettiin nnetun funktion f L Fourier-srj muodoss + ( k cos(k) + b k sin(k)), k= missä kertoimet k j b k sdn ehdoist π k = f(t)cos(kt)dt j b k = π π π 59 π π f(t) sin(kt)dt.
Seurvss luseess nnetn esitys tämän Fourier-srjn ossummille. Kyseisen esityksen vull päästään jtkoss sitten kiinni srjn mhdolliseen suppenemiseen. Luse 3. Olkoon f : R R periodinen, periodin π, j oletetn, että f [ π,π] L. Merkitään kikille R j n N D n () = n + cos(k) j () k= S n () = n + ( k cos(k) + b k sin(k)), () k= missä luvut k j b k ovt funktion f [ π,π] Fourier-kertoimet. Tällöin kikille R j n N pätee S n () = π π f( + t) + f( t) D n (t)dt. Todistus. Tässä siis sovitun merkintätvn mukisesti k = π π Tällöin määritelmän () mukn S n () = π n (( π k= π π π f(t) π π π π ( π f(t)cos(kt)dt j b k = π π π f(t) sin(kt)dt. f(t)dt+ (3) ) f(t) cos(kt)dt ( π ) ) cos(k) + f(t) sin(kt)dt sin(k) = π π ) n + (cos(kt) cos(k) + sin(kt) sin(k)) k= Kosinin yhteenlskukvn mukn pätee dt. cos(kt)cos(k) + sin(kt)sin(k) = cos k(t ), jolloin ehdoist (3) j () sdn S n () = ( π n ) f(t) π + cos k(t ) dt = π π k= π π f(t)d n (t )dt. (4) Integrliss (4) tehdään muuttujnvihto u = t, jolloin sdn esitys S n () = π π π f( + u)d n (u)du. (5) 6
Oletuksen mukn f on π-periodinen, j kosk D n on selvästi sitä myös, niin f(+u)d n (u) on u:n suhteen π-periodinen. Silloin integrliss (5) on yhdentekevää, mikä π:n pituinen integroimisväli on kyseessä, joten sdn (esimerkiksi) π S n () = f( + u)d n (u)du = π π f( + u)d n (u)du + π f( + u)d n (u)du. (6) π π π Määritelmän () nojll pätee ilmeisesti D n ( u) = D n (u), jolloin muuttujnvihdoll v = u sdn ehdon (6) keskimmäiselle integrlille π Tällöin ehdon (6) nojll f( + u)d n (u)du = π f( v)d n (v)dv. π S n () = f( v)d n (v)dv + π π π f( + t) + f( t) D n (t)dt, π j väite seur. π f( + u)d n (u)du = Huomutus 3. Kosk luseen 3. mukn f:n Fourier-srjn ossummlle pätee esitys S n () = π π f( + t) + f( t) D n (t)dt, niin Fourier-srj konvergoi pisteessä täsmälleen silloin kun rj-rvo lim n π π f( + t) + f( t) D n (t)dt on olemss. Tämän rj-rvon tutkimiseksi on hyvä esittää termi vähän toisenlisess muodoss. D n () = n + cos(k) k= Lemm 3.3 Kikille R j n N pätee D n () = n + cos(k) = k= { sin[(n+ )] sin kun mπ, m Z n + kun = mπ, m Z. 6
Todistus. Kun = mπ jollekin m Z, niin väite pätee trivilisti. Voidn siis olett, että mπ kikille m Z. Tällöin e i, j geometrisen srjn summkvst sdn ensin n e ik = ei e i(n+) e i, k= jost edelleen sopivsti lventmll j kv siny = i (eiy e iy ) käyttäen n k= e ik = ein e in e i e i e i(n+) sin(n = ) sin e i(n+). () Kosk e iy = cos y + isin y, niin kvn () reliosille sdn n k= cos(k) = sin(n ) sin Tämän nojll väite voidn kirjoitt muotoon + sin(n ) sin cos[(n + ) ] = sin[(n + )] sin cos[(n + ) ]. sin + sin(n )cos[(n + ) ] = sin[(n + )] ti merkitsemällä y = sin y + sin(ny)cos[(n + )y] = sin[(n + )y]. () Kosinin yhteenlskukvst sdn väitteen () vsemmlle puolelle esitys sin y + sin(ny)cos[(n + )y] = (3) ti sin y + sin(ny)(cos(ny)cos y sin(ny)sin y) = sin y + sin(ny)cos(ny)cos y sin(ny)sin(ny)sin y = sin y + sin(ny)cos(ny)cos y sin (ny)sin y. Vstvsti väitteen () oikelle puolelle sdn sinin j kosinin yhteenlskukvoist sin[(n + )y] = sin(ny)cos y + cos(ny)sin y = (4) sin(ny)cos(ny)cos y + (cos (ny) sin (ny))sin y. Vertmll esityksiä (3) j (4) nähdään, että väite () seur, jos osoitetn, että sin (ny) = cos (ny) sin (ny). Tämä seur kvst cos (ny) + sin (ny) =. Seurvss luseess esitetään riittävä ehto nnetun funktion f Fourier-srjn suppenemiselle. On syytä huomt, että luse ei suinkn tk sitä, että Fouriersrj pisteessä suppenisi kohti pistettä f(), mikä tässä tietysti olisi tvoitteen. 6
Luse 3.4 Olkoon f : R R periodinen, periodin π j oletetn, että f [ π,π] L. Tällöin f:n Fourier-srj pisteessä [ π,π] suppenee kohti (jotin) luku d R jos j vin jos jollekin ρ ],π] rj-rvo ρ lim n π f( + t) + f( t) sin[(n + )t] dt =: d R t on olemss. Jos nämä rj-rvot ovt olemss, niin pätee d = d. Todistus. Luseen 3. j huomutuksen 3. nojll f:n Fourier-srj pisteessä suppenee kohti luku d jos j vin jos lim n π π f( + t) + f( t) D n (t)dt = d. Lemmn 3.3 nojll tämä joht siihen, että f:n Fourier-srj pisteessä suppenee kohti luku d jos j vin jos lim n π π f( + t) + f( t) Osoitetn seurvksi, että (huom ero ehtoon ()) sin[(n + )t] sin t dt = d. () f:n Fourier-srj pisteessä suppenee kohti luku d jos j vin jos lim n π π f( + t) + f( t) Väite () seur ehdost (), jos osoitetn, että sin[(n + )t] dt = d. () t lim n π π ( sin t t ) f( + t) + f( t) sin[(n + )t]dt =. (3) Väite (3) seur Riemnn-Lebesguen lemmst 3.6, jos integrli π ( sin t ) f( + t) + f( t) t dt suppenee. Tässä suppenemisess ei ole mitään ongelm, kosk f L j funktio g, { sin g(t) = t t kun t ],π] kun t = on jtkuv välillä [,π]. Näin väite () on todistettu. Seurvksi huomtn, että kikille ρ ],π] pätee π lim n π ρ f( + t) + f( t) 63 sin[(n + )t] dt =. (4) t
Tämä seur myös Riemnn-Lebesguen lemmst, sillä integrli π f( + t) + f( t) t dt ρ on melko trivilisti olemss f:n periodisuuden j ehdon f [ π,π] L nojll. Luseen väite sdn (kokonisuudessn) yhdistämällä ehdot () j (4). Luse 3.5 Olkoon f : R R periodinen, periodin π, j oletetn, että f [ π,π] L. Tällöin jokiselle [ π,π] f:n Fourier-srj pisteessä konvergoi kohti luku s() = f(+ ) + f( ) R. Huomutus. Kuten huomutuksess 3.9 todettiin, oiken- j vsemmnpuoliset rj-rvot f( + ) j f( ) ovt (relisin) olemss kikille [ π,π], kosk f on periodinen j rjoitetusti heilhtelev välillä [ π, π], joten väite on järkevä. Todistus. Kosk f [ π,π] on rjoitetusti heilhtelev, niin periodisuuden nojll f on rjoitetusti heilhtelev jokisell välillä [ b, + b]. Silloin ilmeisesti funktio f( + t) + f( t) g(t) = on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] kikille b >. Tämän hvinnon j luseen 3. nojll Tällöin myös eli lim α π lim n π g(t) sin(αt) dt = g( + ). t g(t) sin[(n + )t] dt = g( + ) t b lim n π f( + t) + f( t) f( + t) + f( t) lim g(t) = lim = s(). t + t Väite seur tästä j luseest 3.4. sin[(n + )t] dt = g( + ) = t Nyt olln siinä pisteessä, että voidn esittää tämän suppen Fourier-srjoj koskevn esityksen päätulos. Kirjtn tulokseen huolellisesti kikki merkinnät, niin siihen on helppo viitt. 64
Luse 3.6 Olkoon f : R R π-periodinen j oletetn, että f [ π,π] on rjoitetusti heilhtelev. Oletetn lisäksi, että f on jtkuv pisteessä [ π, π]. Tällöin f:n Fourier-srj pisteessä konvergoi kohti luku f(), ts. pätee missä f() = + ( k cos(k) + b k sin(k)) ti yhtäpitävästi f() = k= k= c k e ik = lim k = π b k = π c k = π n n k= n π π π π π π Todistus. Jtkuvuusoletuksen nojll pätee c k e ik, f(t) cos(kt)dt, f(t) sin(kt)dt f(t)e ikt dt. j f( + t) + f( t) f() = lim. t Tällöin f:n Fourier-srj konvergoi kohti luku f() luseen 3.5 nojll. Väitteen muut ost (jos niitä on) seurvt huomutuksest 3.7 j lemmst 3.8. Huomutus. Jos f on jtkuv koko välillä [ π, π], niin voidn melko helposti osoitt [A,.6], että luseen 3.6 oletuksin f:n Fourier-srj suppenee kohti funktiot f jop tsisesti, jolloin se erityisesti suppenee f:ää kohti vruudess L eli normin mielessä. Tämähän pätee vähemminkin oletuksin, kuten sivull 46 todettiin, mutt yleinen todistus tälle fktlle on vikempi; se vtii tuekseen mm. Riesz-Fischerin luseen, jok ei päde tässä meidän vruudessmme L todistust vrten on ensin vruutt L suurennettv, jott sdn Riesz-Fischer toimimn. Esimerkki 3.7 Trkstelln välillä [ π,π] määriteltyä funktiot f() = j jtketn se π-periodiseksi funktioksi f : R R luonnollisell tvll settmll f() = f( πk) kun [(π )k,(π + )k[ jollekin k Z. Tämä funktio on periodisuuden lisäksi selvästi rjoitetusti heilhtelev j jtkuv välillä [ π, π]. Tällöin luseen 3.6 nojll f:n Fourier-srj suppenee pisteittäin välillä [ π, π] kohti funktiot f eli kikille [ π, π] pätee f() = + ( n cos(n) + b n sin(n)), n= 65
missä n = π b n = π π π π π f(t) cos(nt)dt f(t) sin(nt)dt. j Nämä kertoimet n j b n voidn lske. Ensin = π t dt = π π π 3, () j yleisesti, kun n, osittisintegroinnill sdn n = π t cos(nt)dt = ( / π t π ) π π π π n sin(nt) π n sin(nt)tdt = π π n sin(nt)tdt = ( / π πn t( π π n cos(nt)) ) n cos(nt)dt = π πn ( )n π / π πn π sin(nt) = 4( )n n j vstvsti b n = π t sin(nt)dt = ( / π π π π π t ( π n cos(nt)) ) π n cos(nt)tdt = π cos(nt)tdt = ( / π π ) πn πn π n sin(nt)t n sin(nt)dt = πn π π π sin(nt)dt = πn / π Siten kikille [ π, π] pätee π cos(nt) =. π n = + ( n cos(n) + b n sin(n)) = π 3 + 4( ) n n cos(n). () n= Tämä esitys ei kuitenkn ole nyt vrsininen tvoite. Soveltmll kv () pisteessä = π sdn π = π 3 + n= 4( ) n n jost sdn edelleen cos(nπ) = π 3 + n= n= 4( ) n n n= n = 4 (π π 3 ) = π 6. π ( ) n = π 3 + 4 n, n= 66
Syntynyt kv on tämän esimerkin tvoite j päämäärä. Kv osoittutuu rtkisevn tärkeäksi jtkoss; sehän liittyy Riemnnin ζ-funktioon (esimerkki.3) j kertoo, että ζ() = π 6. Seurv luse on myös tärkeä jtkoss. Se tunnetn nimellä Poissonin summkv. Luse 3.8 Olkoon f : R R jtkuv, positiivirvoinen funktio, jok on ksvv välillä ],] j vähenevä välillä [, [. Oletetn lisäksi, että epäoleellinen Riemnn-integrli f(t)dt on olemss. Tällöin pätee m= f(m) = missä molemmt srjt suppenevt. n= f(t)e πint dt, Huomutus. Tässä oiken puolen kksipäisen srjn n= f(t)de πint dt N suppeneminen trkoitt sitä, että rj-rvo lim N n= N f(t)de πint dt on olemss. Vsemmll olev myös kksipäinen srj m= f(m) on sen sijn positiiviterminen, joten se suppenee (jos suppenee) itseisesti, j summusjärjestyksellä ei ole merkitystä. Todistus. Määritellään funktio F : R R settmll F() = m= f(m + ) kikille R. () Osoitetn ensin, että srj () suppenee kikille j että konvergenssi on tsist välillä [,]. Kun, niin f:n vähenevyyden j positiivisuuden nojll sdn kikille N rvio N f(m + ) = m= f() + N m= m m N f(m + ) f() + m= f(t)dt = f() + N N f(m) m= f(t)dt f() + f(t)dt. () Kosk integrli f(t)dt suppenee, niin soveltmll rviot () tpuksess = j mjornttiperitett nähdään, että srj f(m) suppenee. m= 67
Kosk tämän srjn termit eivät riipu pisteestä, niin rvion () j Weierstrssin M-testin ([C,.7]) nojll srj f(m + ) suppenee tsisesti välillä [, [. (3) m= Vstvsti nähdään f:n ksvvuutt välillä ],] käyttäen, että srj m= f(m + ) suppenee tsisesti välillä ], ]. (4) Huom, että tässä voidn suppenemisväli venyttää pisteeseen + sti, kosk m + kikille m j. Ehtojen (3) j (4) nojll srj m= f(m + ) suppenee tsisesti välillä [, ]. (5) Ehto (5) tk väitteessä olevn srjn suppenemisen, kun vlitn =. Toislt ehto (5) tk srjn () suppenemisen jokisess pisteessä. Tämä johtuu siitä, että jokiselle pätee [,], joten ehdon (5) nojll srj m= f(m + ) suppenee. (6) Kosk kuvus Z Z, m m on bijektio, niin srj (6) on srj () uudelleenjärjestettynä. Kosk kyseessä on positiiviterminen srj, niin uudelleenjärjestys ei vikut srjn summn, jolloin srjn () suppeneminen seur ehdost (6) j sen summ on sm kuin srjn (6) summ. Smll tvll nähdään, että F on periodinen, periodin. Tämä seur siitä, että kikille pätee F( + ) = m= f(m + + ) = m= f(m + ) = F(). Kosk f on jtkuv, niin kikki kuvukset f(m + ) ovt jtkuvi. Silloin ehdon (5) nojll F on jtkuv välillä [, ], mistä periodisuuden nojll nähdään, että F on jtkuv koko R:ssä. (7) Osoitetn seurvksi, että F on rjoitetusti heilhtelev jokisell rjoitetull välillä. (8) Periodisuuden nojll riittää osoitt, että F on rjoitetusti heilhtelev välillä [, ]. (9) 68
Välillä [, ] kuvukset f(m + ) ovt väheneviä kikille m, joten niiden summ f(m + ) on vähenevä välillä [, ], j siten m= m= f(m + ) on ksvv välillä [, ]. () Vstvsti välillä [, ] kuvukset f(m+) ovt ksvvi kikille m, joten niiden summ Kosk m= F() = f(m + ) on ksvv välillä [, ]. () m= f(m + ) f(m + ), niin ehtojen () j () nojll välillä [, ] kuvus F on esitettävissä khden ksvvn funktion erotuksen, jolloin luseen.6 nojll F on rjoitetusti heilhtelev välillä [, ]. Silloin väitteen (9) todistmiseksi riittää osoitt, että F on rjoitetusti heilhtelev myös välillä [,]. Tämän todistus on nloginen edellisen knss. Tässä huomtn, että m= m= m= f(m + ) on vähenevä välillä [,] j f(m + ) on ksvv välillä [,], jonk jälkeen rjoitettu heilhtelevuus seur kuten edellä. Näin väite (9) seur, jolloin myös väite (8) on todistettu. Määritellään nyt funktio G : R R settmll G() = F( ) kikille R. π Kosk F on -periodinen, niin ilmeisesti G on π-periodinen. Ehdon (7) nojll G on jtkuv j ehdon (8) nojll G on rjoitetusti heilhtelev välillä [ π,π]. Tällöin luseen 3.6 nojll G:n Fourier-srj pisteessä [ π, π] suppenee kohti luku G() kikille eli pätee G() = c k = π k= π π c k e ik, missä G(t)e ikt dt. 69
Kosk F() = G(π), niin tällöin kikille F() = c k = π k= π π c k e πik, missä () F( t π )e ikt dt i) = Tässä yhtälö i) syntyy muuttujnvihdoll s = t π. Ehdoist () j (3) sdn c k = m= m+ m= F(s)e πiks ds = m m= f(s + m)e πiks ds ii) = f(t)e πikt dt = m= F(s)e πiks ds. (3) f(s + m)e πiks ds i) = (4) f(t)e πikt dt, f(s + m)e πik(s+m) ds iii) = missä yhtälön i) integroinnin j summuksen järjestyksenvihto perustuu tsiseen suppenemiseen eli ehtoon (5) (ks. luse.5), yhtälö ii) perustuu siihen, että e πikm = kun m Z j yhtälössä iii) tehdään muuttujnvihtoj t = s + m. Kvoist (), () j (4) sdn kikille [ π,π] m= f(m + ) = F() = k= c k e πik = k= ( ) f(t)e πikt dt e πik. Luseen väite seur tästä, kun vlitn =. 4 Määritelmiä j tuloksi lkeislukuteorist Tähän lukuun on kerätty niitä kurssill Lt esitettyjä tuloksi, joit jtkoss trvitn. Todistuksien oslt noudtetn khtlist linj: osss luseist ei ole mitään minint todistuksest j toisiss on nnettu todistus. Todistuksettomien todistus löytyy lukuteorin kkkoskurssin luentomonisteest, j niissä luseiss, joiss todistus on mukn, on väite todistettu eri tvll kuin iemmin pääsääntöisesti Stieltjes-integrlej sovelten. Muutmi luseit löytyy myös kkkoskurssin hrjoitustehtävistä j titp tässä oll jokunen lievästi uusikin tulos. Lemm 4. Olkoon ( n ) jono kompleksilukuj siten, että srj n suppenee. n= 7
Tällöin tulo Lisäksi pätee ( + n ) suppenee. n= ( + n ) = + n = jollekin n. n= Määritelmä 4. Snotn, että mikä thns funktio f : N C on lukuteoreettinen. Jos lukuteoreettiselle funktiolle f pätee f(mn) = f(m)f(n) in kun syt(m,n) =, niin snotn, että f on multipliktiivinen. Jos pätee f(mn) = f(m)f(n) kikille m,n, niin snotn, että f on täydellisesti multipliktiivinen. Luse 4.3 (Multipliktiivisen funktion rj-rvoluse) Olkoon f multipliktiivinen lukuteoreettinen funktio, joll on seurv ominisuus: Tällöin pätee Kikille ǫ > on olemss c R siten, että f(p m ) < ǫ kikille p P j m N, joille pätee p m > c. lim f(n) =. n Luse 4.4 (Eulerin perite) Olkoon f täydellisesti multipliktiivinen funktio siten, että srj f(n) suppenee. Silloin pätee n N n N f(n) = p P f(p). Luse 4.5 Olkoon f multipliktiivinen funktio siten, että srj f(n) () n N suppenee. Olkoon P kiinteä lkuluku j merkitään B P = {n n j kikille n:n lkutekijöille p pätee p > P }. Silloin pätee + ( f(n) = + ) f(p n ). n B P n N p P p>p 7
Määritelmä 4.6 Möbiuksen funktio µ määritellään settmll kun n = ( ) k kun n ei sisällä neliötekijää j µ(n) = k on n:n lkutekijöiden lukumäärä kun n sisältää neliötekijän. Von Mngoldtin funktio Λ määritellään settmll { log p kun n = p α joillekin p P j α N Λ(n) = muuten. Eulerin funktio ϕ määritellään settmll ϕ(n) = #{d n syt(d,n) = }. Seurvt funktiot määritellään joukoss R + siis muullkin kuin kokonislukupisteissä. On ehkä syytä muistutt siitä käytännöstä, että tyhjän summn rvoksi sovitn in noll. Määritelmä 4.7 Alkulukujen esiintymistiheyttä mittv π-funktio määritellään settmll kikille R + π() = #{p P p }. Tšhebyšhevin ψ- j ϑ-funktiot määritellään settmll kikille R + ψ() = n Λ(n) j ϑ() = p P p log p. Luse 4.8 (Möbiuksen. käänteiskv) Olkoot f j g lukuteoreettisi funktioit sekä µ Möbiuksen funktio. Tällöin ehdot f(n) = d n g(d) kikille n j () g(n) = d n µ(d)f( n ) kikille n () d ovt ekvivlenttej. Luse 4.9 (Möbiuksen. käänteiskv) Olkoot f,g : R + C mielivltisi kuvuksi. Olkoon µ Möbiuksen funktio. Silloin ehdot f() = g( ) kikille j () n n g() = n µ(n)f( ) kikille () n ovt ekvivlenttej. 7
Luse 4. µ(d) = d n { kun n = kun n. Luse 4. Olkoon n = k i= p αi i, luvun n lkulukuesitys. Silloin pätee d n µ(d) d ϕ(n) = n missä α i kikille i = k ( ) j p i i= k ( ). p i i= Luse 4. (Euler) Kikille n j k, joille syt(n, k) =, pätee n ϕ(k) (mod k). Riemnnin ζ-funktio ζ(s) = n= n s missä s R, s > määriteltiin esimerkissä.3, joss sille stiin vihtoehtoinen esitystp Stieltjesintegrlin vull. Käänteisluvulle ζ(s) tunnetn seurv esitys: Luse 4.3 Luse 4.4 ζ(s) = µ(n) n s kikille s >. n= Λ(d) = log n. d n Luse 4.5 Luse 4.6 Lemm 4.7 µ(d)log n d = Λ(n). d n µ(d)log d = Λ(n). d n ψ() = p P p log log p. log p 73
Luse 4.8 Lemm 4.9 Luse 4. (Tšhebyšhevin luse) ϑ() ψ() ϑ() + log. log 4 ψ() kikille. log ψ() ϑ(). Luse 4. ψ() ϑ(). Lemm 4. Kikille > pätee ϑ(t) t log t dt = o( log ). Huomutus. Lemmss 4. ei integrlin lrjehdoll > ole muut merkitystä kuin se, että näin väistetään logritmin nollkoht t =. Integroitv funktio toki voitisiin jtk myös ykköseen, kosk ϑ(t) = kikille t <. Todistus. Tšhebyšhevin luseen nojll jolloin j riittää osoitt, että ϑ(t) = O(t), ϑ(t) t log t dt = O(t) t log t dt = lim Tämä sdn seurvst rviost. log log log t dt = log dt + log log log log + log 4 log = log O() log t log t dt = o( log ) eli log log dt =. t log t dt + log dt = log log log + 4 log. dt = O( log t dt), log t dt log + log log 74
Lemm 4.3 Olkoon f : R + R + jtkuvsti derivoituv. Tällöin kikille > pätee f(n) = f()( ) + f() n ( t t)f (t)dt + f(t)dt. Todistus. Huomtn ensin, että osittisintegrointiluseen nojll pätee Silloin sdn f(n) = i) n f() f() tf (t)dt = f() f() fd t ii) = f() lim t f(t) t t f (t)dt = f() t f (t)dt + f()( ) + f() f(t)dt. () t f (t)dt iv) = tf (t)dt f() + f() + ( t t)f (t)dt + f(t)dt, t df iii) = f(t)dt = missä yhtälö i) sdn luseest.3, yhtälössä ii) tehdään osittisintegrointi, yhtälössä iii) käytetään lusett.9 j yhtälössä iv) ehto (). Seurvksi oletetn, että lemmn 4.3 f on ksvv. Silloin sdn seurv. Luse 4.4 Olkoon f : R + R + jtkuvsti derivoituv j ksvv. Silloin pätee f(n) = f(t)dt + O(f( + )). n Todistus. Voidn olett, että tässä koko jn >. Lemmn 4.3 nojll riittää osoitt, että f()( ) = O(f( + )), () f() = O(f( + )) j () ( t t)f (t)dt = O(f( + )). (3) Kosk f on ksvv j positiivinen sekä +, niin f() f( + ) kikille. Lisäksi kikille, joten f()( ) f( + ) f() kikille, f( + ) 75
j silloin väite () pätee. Kosk f on ksvv j positiivinen sekä +, niin f() f( + ) kikille, jolloin myös väite () seur. Väitettä (3) vrten huomtn, että ( t t)f i) (t)dt = (t t )f (t)dt ii) f (t)dt = f() f(), (4) missä yhtälö i) seur siitä, että f:n ksvvuuden nojll derivtt f on positiivinen j t t on negtiivinen. Epäyhtälö ii) sdn f :n positiivisuudest j siitä, että t t. Ehdon (4) nojll väite (3) seur, jos osoitetn, että f() f() = O(f( + )). (5) Väite (5) seur f:n ksvvuudest smn tpn kuin väitteet () j () yllä. Esimerkki 4.5 ) Summlle n n sdn luseen 4.4 nojll symptoottinen rvio (tässä siis f() = ) n = n t dt + O( + ) = + O(). Tällä tuloksell nyt ei tietenkään kovin suurt uutisrvo ole, kosk summ ostn lske ihn trkknkin: n = n n= = ( + ) = +. Tässä esimerkissä ilmenee kuitenkin se yleisperite, että näissä symptoottisiss rvoiss keskitytään nimenomn siihen johtvn eli nopeimmin ksvvn termiin, jok rvioon tulee kikki muu on epäoleellisemp. Virhetermiä rvioidn siis vin O-tsoll, yksityiskohtisiin kertoimiin ti esityksiin ei mennä. b) Vstvsti summlle n log n sdn symptoottisesti osittisintegrointi käyttäen log n = n / t log t log t dt + O(log( + )) = t d log t + O(log( + )) = log + + O(log( + )) = log + O(log ). 76
Huomutus. Esimerkin 4.5 sekä )- että b)-kohdss kirjoitettiin ik huolettomsti O(f( + )) = O(f()). Näille esimerkissä oleville funktioille tämä toki pätee (kuten helposti nähdään), mutt yleisesti tämä ei toimi. Tästä on esimerkkinä myöhemmin esiteltävä Γ-funktio, jok on jtkuvsti derivoituv, ksvv j s pisteissä n N rvon n!. Silloin osmäärä ei pysy rjoitettun, kun ksv. Γ( + ) Γ() Seurvksi lemmn 4.3 tilnteess oletetn ksvvuuden sijst, että f on vähenevä j lim f() =. Luse 4.6 Olkoon f : R + R + jtkuvsti derivoituv j vähenevä sekä lim f() =. Silloin on olemss f:stä riippuv vkio k siten, että pätee f(n) = n Todistus. Osoitetn ensin, että integrli f(t)dt + k + O(f( )). ( t t)f (t)dt suppenee. Kosk f:n vähenevyyden nojll f (t) j t t, niin mjornttiperitteen nojll riittää osoitt, että integrli f (t)dt suppenee. Tämä suppeneminen seur siitä, että f (t)dt = lim f (t)dt = lim f() f() i) = f(), missä yhtälössä i) käytetään oletust lim f() =. Merkitään nyt k := f() ( t t)f (t)dt R, j osoitetn, että luseen väite pätee tälle k. Lemmn 4.3 mukn väite seur, jos osoitetn, että f()( ) + f() ( t t)f (t)dt = k + O(f( )). () Luvun k määritelmän mukn väite () voidn kirjoitt muotoon f()( ) + ( t t)f (t)dt = O(f( )). () 77
Smn tpn kuin luseen 4.4 todistuksen kohdss () nähdään helposti tällä kert f:n vähenevyyttä käyttäen, että f()( ) = O(f( )), joten väite () seur, jos osoitetn, että Kosk ( t t)f (t)dt = O(f( )). (3) ( t t)f (t)dt ( t t)f (t) dt f (t)dt = f() lim t f(t) = f(), f (t) dt i) = (missä yhtälö i) perustuu siihen, että vähenevän funktion f derivtt on negtiivinen), niin väite (3) seur, jos osoitetn, että f() = O(f( )). Tämä seur välittömästi f:n vähenevyydestä j positiivisuudest. Esimerkki 4.7 Luseest 4.6 sdn summlle n n symptoottinen rvio = log + k + O( n ) = log + k + O( ), n missä k on vkio. Tässä ensiintyvä k on niin snottu Eulerin vkio, j sitä merkitään usein symbolill γ. Luseen 4.6 todistuksest näkyy myös vkion γ trkk rvo, jok on t t γ = t dt (.577...). Eulerin vkiost voi luke lisää osoitteest en.wikipedi.org/wiki/euler-mscheroni constnt. Luse 4.8 Kikille pätee π() = log t dϑ. Todistus. Määritellään jono ( n ) settmll { log p kun n = p P n = muuten. 78
ϑ-funktion määritelmän nojll ϑ() = n Välillä ], [ voidn määritellä jtkuv funktio f(t) = log t. Luseen.33 j ehdon () nojll kikille > pätee log t dϑ = n n. () f(n) n, joten väite tulee f:n määritelmää käyttäen muotoon Jonon ( n ) määritelmän nojll n π() = n log n n. () log n n = log p log p = = π(), p p joten väite () pätee. Seurv luse on merkittävä skel lkulukuluseen suuntn. Tulos on kuitenkin vielä pljon heikompi kuin tvoitteen olev lkulukuluse, jok snoo, että π() Luse 4.9 log. Todistus. Pitää osoitt, että Osoitetn ensin putuloksen, että π() log. π() = O( ) log j () = O(π()). log () Kosk log t dt = 3 log t dt = O( ). (3) log dt + O() = log t 3 log t dt + O( log ), 79
niin väitteen (3) todistmiseksi riittää osoitt, että Osittisintegroimll sdn 3 / log t dt = t 3 log t Tästä sdn edelleen rvio 3 j tästä edelleen log t dt log + 3 3 log t dt = O( ). (4) log 3 ( log 3 ) 3 / td( log t ) = t 3 log t + (log t) dt log t dt 3 log + log 3 3 (log t) dt. log t dt, log. (5) Väite (4) seur ehdost (5), jos kerroin log 3 on positiivinen. Näin on, kosk e < 3, joten = log e < log 3 j siten log 3 <. Tässä muuten näkyy syy siihen, miksi tuoss yllä piti viht integroinnin lrj kkkosest kolmoseen. Todistetn sitten väite (). π() i) = ϑ() log + O() log + O( log ), ii) dϑ = log t / ϑ(t) log t ϑ(t)d( log t ) iii) = ϑ() ϑ(t) dt t(log t) log + log ( O() log t dt = O( log ) + O ϑ(t) t log t ) log t dt dt iv) = missä yhtälö i) sdn luseest 4.8, yhtälö ii) on Stieltjes-osittisintegrointi, yhtälö iii) tulee luseest.9, yhtälö iv) seur Tšhebyšhevin luseest j yhtälö v) ehdost (4). Näin väite () on todistettu. Pitää vielä todist väite (). Ensin rvioidn ϑ() = p log p p v) = log = log p = π()log. Tästä sdn ϑ() π(). (6) log 8
Tšhebyšhevin luseen nojll on olemss vkio C > siten, että ϑ() suurille. Tämän nojll ehdost (6) sdn rvio C jost väite () seur. Seurus 4.3 Todistus. Luseen 4.9 nojll π() lim = lim Cπ() suurille, log π() lim =. O( log ) = lim O( log ) =. ϑ() C eli Alkulukuluse voidn esittää useiss keskenään ekvivlenteiss muodoiss. Seurvss luseess on eräs näistä formultioist tosin tämä muotoilu esitettiin jo kurssill Lt, mutt tässä uudess todistuksess on ehkä vähän eri näkökulm. Tämän luentomonisteen knnlt esitys on rtkisevn tärkeä, sillä myöhemmin tulln todistmn lkulukuluse sillä tvll, että osoitetn luseen 4.3 vihtoehtoisen muotoilun () pätevän. Todistetn ensin lemm, joll on sellisennkin merkitystä. Lemm 4.3 Olkoon f : R + R Riemnn-integroituv jokisell välillä [,], > j oletetn, että lim f() =. Tällöin pätee lim f(t)dt =. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Oletuksen nojll on olemss m > siten, että f() < ǫ kun m. () Merkitään M = m f(t)dt j vlitn m siten, että Kun, niin sdn f(t)dt m f(t)dt + M + m f(t) dt ii) M + M < ǫ. () m m f(t) dt i) = ǫ iii) dt < ǫ + ǫ m j väite seur. Tässä yhtälö i) sdn M:n määritelmästä, epäyhtälö ii) ehdost () j epäyhtälö iii) ehdost (). Lemmn 4.3 j luseen 4.3 vull sdn hluttu tulos: < ǫ, 8
Luse 4.3 Alkulukuluse eli väite on yhtäpitävää väitteen knss. π() log () ϑ() () Todistus. Määritellään ensin lukuteoreettinen funktio α settmll { kun n on lkuluku α(n) = muuten. Tällöin funktioiden ϑ j π määritelmien mukn ϑ() = n log(n)α(n) j (3) π() = n α(n). (4) Silloin kikille sdn ϑ():lle esitys ϑ() i) = n / log(n)α(n) ii) = log(t)π(t) log()π() log(t)dπ(t) iii) = (5) π(t)d log(t) iv) = log()π() π(t)d log(t) = v) π(t) dt, t missä yhtälö i) on ehto (3), yhtälö ii) sdn ehdost (4) j luseest.33, yhtälö iii) on osittisintegrointi, yhtälö iv) seur siitä, että π(t) = kikille t < j yhtälö v) sdn luseest.9. Ehdost (5) sdn kikille ϑ() π() log Lemmn 4.3 j luseen 4.3 nojll joten ehdon (6) perusteell lim lim ( ϑ() = π(t) dt =, t ) π() =. log 8 π(t) dt. (6) t
Tällöin on selvää, että ϑ() lim = lim π() =, log mikä merkitsee sitä, että ehdot () j () ovt yhtäpitäviä. Huomutus 4.33 Kosk luseen 4. mukn ψ() ϑ(), niin luseen 4.3 mukn myös ehto ψ() on yhtäpitävää lkulukuluseen knss. Aivn tämän kurssin viimeisessä viheess trvitn kurssill Lt todistettu lkulukujen lukumäärää selvittävää tulost: Luse 4.34 Srj hjntuu. p P 5 Riemnnin ζ-funktio meromorfisen funktion koko tsoss Tässä luvuss sovitn, että z = + iy on koko jn kompleksiluku, jonk relios on j imginrios y. Tästä ei enää jtkoss erikseen minit, vn merkintä z = + iy trkoitt in sitä, että j y ovt relisi. Relisille s > on iemmin määritelty Riemnnin ζ-funktio settmll ζ(s) = n= p n s kikille s >. () Vstv määritelmä voidn esittää myös kompleksisille z settmll ζ(z) = n z kun Re(z) >. () n= Srjss () on yleinen kompleksinen potenssi n z, jonk määrittelyssä on lieviä ongelmi. Määritelmähän on yleisesti sellinen, että w z = e z log w, (3) missä log on jokin vlittu kompleksisen logritmin hr. Tässä on tpn käyttää stndrdilogritmi, jok määritellään kompleksitsoss, jost on poistettu negtiivinen relikseli, settmll npkoordinttej j tvllist relist logritmi (joll on ehkä vähän hämäävästi sm merkintä) käyttäen log w = log r + iϕ, kun w = re iϕ, r >, π < ϕ < π. (4) Tämä logritmi on tämän kurssin jn pysyvästi käytössä j merkintä log trkoitt nimenomn stndrdilogritmi myös ilmn eri minint. Jos jostkin syystä täytyy käyttää jotin muut logritmi, siitä kerrotn erikseen j käytetään mhdollisesti jotin muut merkintätp. 83
Huomutus 5. Stndrdilogritmi (4) yhtyy tvlliseen reliseen logritmiin positiivisell relikselill eli kun w R +, jolloin myös tämän vull määriteltävä kompleksinen potenssiinkorotus (3) yhtyy tvlliseen reliseen potenssiinkorotukseen, kun w on relinen j positiivinen. Toislt kikille z C on määritelty kokonislukupotenssiin korotus z k = } z {{ z }, k N. k kpl Nyt tämän uuden potenssiinkorotusmerkinnän olisi syytä yhtyä tähän silloin, kun z on stndrdilogritmin määrittelylueess G. Näin toki onkin. Tämä seur siitä, että funktio z z k on nlyyttinen G:ssä käytetäänpä kump tulkint thns. Reliselle j positiiviselle z nämä tulkinnt tunnetusti yhtyvät, joten väite seur nlyyttisen jtkmisen peritteest [C,7.9]. Siten määritelmä () yhtyy määritelmään () positiivisell relikselill, eli määritelmä () ljent määritelmän () määrittelyluett inkin niihin pisteisiin z, joille summ () suppenee. Suppenemislue selviää seurvst luseest. Kirjtn ensin kuitenkin esille pri pikku lemm, joit jtkoss trvitn lukemttomi kertoj. Lemm 5. Kikille z C j kikille relisille r > pätee r z = r Re(z). Todistus. Merkitään z = + iy. Väitteen todistus on suor lsku: r z = e z log r = e (+iy) log r = e log r+iy log r = e log r e iy log r = e log r e iy log r i) = e log r ii) = e log r = r = r Re(z), missä yhtälö i) perustuu siihen, että r on relinen, jolloin myös y log r on relinen. Yhtälö ii) perustuu myös r:n relisuuteen: sen nojll log r on relinen, j silloin e log r on relinen j positiivinen. Lemm 5.3 Kikille stndrdilogritmin määrittelylueeseen kuuluville pisteille w, kikille z C j kikille k N pätee (w z ) k = w zk. Huomutus. Tässä w z ei välttämättä kuulu stndrdilogritmin määrittelylueeseen, joten potenssin (w z ) k määrittelyssä käytetään tvnomist kokonislukupotenssin määritelmää (w z ) k = w z w z, jok on tietysti määritelty kikille w z C. Todistus. Määritelmistä j eksponenttifunktion ominisuuksist sdn (w z ) k = w z w z = e z log w e z log w = e z log w+...+z log w = e kz log w = w kz. 84
Huomutus. Lemmss 5.3 ei välttämättä päde (w k ) z = w zk ; jätetään vstesimerkin keksiminen hrjoitustehtäväksi. Tämähän merkitsee sitä, että ei vrsinkn päde yleisesti (w z ) z = w zz eli lemmss 5.3 vtimus siitä, että k on kokonisluku, on oleellinen. Jos w on relinen, niin pätee myös (w k ) z = w zk : Lemm 5.4 Kikille r >, kikille z C j kikille k R pätee Todistus. Tässä sdn (r k ) z = r zk. (r k ) z = e z log rk i) = e zk log r = r zk, missä yhtälö i) on relisen logritmin ominisuus; onhn r k relinen j positiivinen, jolloin stndrdilogritmi on tvllinen relinen logritmi. Käänteisluvun potenssille sdn seurv. Lemm 5.5 Kikille stndrdilogritmin määrittelylueeseen kuuluville pisteille w j kikille z C pätee ( w )z = w z. Todistus. Jos w = re iϕ, r >, π < ϕ < π on w:n npkoordinttiesitys, niin jolloin w = r e iϕ, ( w )z = e z log w = e z(log r iϕ) = e z( log r iϕ) = e z(log r+iϕ) = e z log w i) = e z log w = w z, missä yhtälö i) on eksponenttifunktion ominisuus. Luse 5.6 Summ n= suppenee itseisesti puolitsoss {z Re(z) > } j lisäksi suppeneminen on tsist jokisess puolitsoss {z Re(z) > }, missä >. n z Todistus. Riittää osoitt, että relinen srj n= n z 85
suppenee tsisesti jokisess puolitsoss {z Re(z) > }, missä >. Kiinnitetään tätä vrten > j merkitään H = {z Re(z) > }. Puolitsoss H sdn itseisrvosrjn jäännöstermille R m (z) = rvio i) ii) R m (z) = n z = n n=m+ n=m+ n=m n=m+ n z n =: R m, () missä yhtälö i) sdn lemmst 5. j epäyhtälö ii) siitä, että z H, jolloin >. Arvioss () ei rvio R m riipu pisteestä z H j lisäksi R m oletuksen > nojll, jolloin väite seur. Jtkoss tulee vähän merkinnällisiä kömpelyyksiä näistä erilisist puolitsoist, joit jo luseess 5.6 esiintyi. Sen vuoksi otetn käyttöön seurv merkintä. Merkintä 5.7 Jokiselle R merkitään symbolill H voint puolitso H = {z C Re(z) > }. Luseen 5.6 nojll voidn siis relinen ζ-funktion määritelmä ljent puolitsoon H käyttäen määritelmää () sivull 8. Kosk tämä ζ on tällä kurssill hyvin keskeinen funktio j on tärkeää tietää, minkälist määritelmää kulloinkin käytetään, kirjtn tämä jo edellä snottu muodolliseksi määritelmäksi: Määritelmä 5.8 Puolitsoss H Riemnnin ζ-funktio määritellään settmll ζ(z) = n z kikille z H. n= Luse 5.9 ζ-funktio on nlyyttinen puolitsoss H. Todistus. Logritmi on nlyyttinen määrittelylueessn, joten kiinteälle n kuvus z n z on nlyyttinen puolitsoss H. Silloin myös ζ:n määrittelevän summn äärelliset ossummt ovt nlyyttisiä puolitsoss H. ζ N (z) = Luseen 5.6 nojll ζ(z) on näiden ossummien loklisti tsinen rj-rvo lueess H, joten väite seur luseest [C, 8.]. Luse 5. Kikille z H pätee ζ(z) = p P N n= n z p z p z. 86
Todistus. Tämä todistettiin relisille z H Eulerin peritteen nojll kurssill Lt. Sm rgumentti toimii tässäkin. Huomtn ensin, että kuvus n n on täydellisesti multipliktiivinen myös z ei-reliselle z H. Tämä johtuu siitä, että kikille m,n N pätee (mn) z = e z log(mn) = i) e z(log m+log n) z log m+z log n ii) = e = e z log m e z log n = m z n z, missä yhtälö i) seur relisen logritmin ominisuuksist j yhtälö ii) kompleksisen eksponenttifunktion ominisuuksist, ks. [C, 4. )]. Silloin Eulerin perite eli luse 4.4 toimii, j sen nojll sdn kikille z H ζ(z) = p P p z = p p z. z p P Trivilisti relisell ζ-funktioll ei ole nollkohti. Jtko jtellen on tärkeää huomt, ettei niitä ole myöskään tällä uudell, puolitsoss H määritellyllä ζ-funktioll. Luse 5. ζ(z) kikille z H. Todistus. Kiinnitetään z = + iy, >. Kosk >, niin >, j silloin voidn vlit (riittävän suuri) lkuluku P siten, että Väite seur, jos osoitetn, että p P Luseen 5. nojll väite () tulee muotoon p P p>p <. () ( )P p z p z p z p z ζ(z). () p P p z p z eli p z p z. (3) Geometrisen srjn summkvst j lemmst 5.3 sdn yhtälö p z p z = p z = 87 k= p zk,
jolloin väite (3) tulee lemmoj 5.4 j 5.5 käyttäen edelleen muotoon ( + ( ) ) z p k. (4) p>p k N Merkitään B P = {n n j kikille n:n lkutekijöille p pätee p > P }. Soveltmll lusett 4.5 multipliktiiviseen funktioon n ( n )z nähdään lusett 5.6 käyttäen, että + n z = ( + ( ) ) z p k, n B P p>p k N joten väite (4) seur, jos osoitetn, että + >. (5) n z n B P Kolmioepäyhtälön vull nähdään, että + n z n B P joten väitteeseen (5) riittää osoitt, että n z, n B P n z <. (6) n B P Lemmn 5. mukn n z = n, joten väite (6) tulee muotoon <. (7) n n B P Joukon B P määritelmän mukn on ilmeistä, että B P N \ {,...,P }, joten n B P n Toislt relisen kuvuksen kikille n P + pätee jolloin n=p+ n P n n n n n=p+ n. (8) vähenevyyden nojll on ilmeistä, että t dt, t dt = ( )P 88 i) <, (9)
missä epäyhtälö i) tulee vlinnst (). Väite (7) seur nyt ehdoist (8) j (9). Luseen 5. nojll ζ-funktio ei siis s rvo määrittelylueessn H. Siten jokisell z H voidn määritellä jokin logritmin hr josskin pisteen ζ(z) ympäristössä. Tässä voi käyttää stndrdilogritmi ellei sitten stu käymään niin, että ζ(z) on negtiivisell relikselill, jolloin logritmi on vlittv toisin. Tähän pltn koht, mutt ensin todistetn pieni lemm. Lemm 5. Kikille z H pätee log( p z ) = p p ( ep p m= j () mpzm log( p z ) ) = ζ(z), () missä log on stndrdilogritmi. Todistus. Kun z = + iy H, niin j edelleen p z = p < p, Re( p z ) = Re( p z ) p z > =, (3) joten p z on oikess puolitsoss H, j siten stndrdilogritmi log( p z ) on inkin määritelty. Lisäksi kompleksinlyysin tietojen mukn [C, teht. 7.6] kiekoss B(,) sdn Tylor-srj log( w) = n= Tällöin ehdon (3) sekä lemmojen 5.3 j 5.5 nojll log( p z ) = m= w n n. (4) mp zm kikille z H. (5) Srj (5) suppenee tsisesti puolitsoss H ehdon (3) nojll, sillä srj (4) suppenee tsisesti kiekoss B(, ). Väite () seur ehdost (5), jos osoitetn, että srj ( ) mp zm suppenee joukoss H. (6) p m= 89
Osoitetn smn tien, että srj (6) suppenee tsisesti jokisess puolitsoss H, missä > on kiinteä. Väite (6) seur selvästi tästä. Ensin sdn srjn (5) tunnetun suppenemisen j lemmn 5. nojll rvio mp zm m= joten riittää osoitt, että srj ( p m= m= p m kikille z H, ) p m suppenee. Kosk H, niin tämä väite seur ehdost (5) jos osoitetn, että Tämä nähdään näin: lim P p P log lim P p P log lim p log( p ) i) = lim P p P log( ) suppenee. p P log ( ) = log lim p ( p ) log(ζ( )) = log ζ( ). P ( p ) ii) = (7) p P ( ) = p p P = log ( p ( ) p ) iii) Tässä ehto i) sdn reliselle logritmille tunnetusti pätevästä ehdost log(b) = log + log b; tämä kvhn ei yleisesti päde kompleksiselle logritmille. Yhtälö ii) seur relisen logritmin jtkuvuudest j yhtälö iii) luseest 5.. Näin on todistettu pitsi ehto (6) (j siten ehto ()), myös srjn (6) tsinen suppeneminen jokisess puolitsoss H, >. Kosk srj (5) suppenee tsisesti (koko) puolitsoss H j funktiot z mp ovt nlyyttisiä H zm :ssä, niin srjn (6) summ on nlyyttinen joukoss H, ks. [C, 8.] huom, että tätä lusett pitää käyttää tässä kksi kert. Merkitään f(z) = ( ) mp zm kikille z H. p n= Tällöin siis f on nlyyttinen H :ssä, j jo todistetun ehdon () nojll = f(z) = p log( p z ) kikille z H. (8) 9
Ehdon (7) lskelmt toimivt mille thns >, joten ehtojen (8) j (7) nojll f() = log ζ() kikille R, >, j tällöin e f() = e log ζ() = ζ() kikille R, >. (9) Ehdon (9) molemmt funktiot z e f(z) j z ζ(z) ovt nlyyttisiä yhtenäisessä joukoss H, j kosk ne ehdon (9) perusteell yhtyvät joukoss, joll on ksutumispiste lueess H, niin kompleksinlyysin tietojen perusteell (ks. [C, 7.9]) e f(z) = ζ(z) kikille z H. Väite () seur tästä j ehdost (8). Huomutus 5.3 Jos merkitään f(z) = p log( p z ) = p m= mp zm kikille z H, niin lemmn 5. todistuksess nähtiin, että f on loklisti tsisesti suppenevn srjn summn nlyyttinen j e f(z) = ζ(z) kikille z H. () Kosk kiinteälle z H pätee luseen 5. mukn ζ(z), niin riittävän pienessä ζ(z):n ympäristössä U voidn määritellä nlyyttinen logritmi merkitään sitä symbolill log. Kosk ζ on jtkuv, niin se kuv pienen z:n kiekkoympäristön V joukkoon U, jolloin log ζ on määritelty j nlyyttinen V :ssä. Kosk ep log = id, niin joukoss V pätee ehdon () nojll e log (ζ(w)) = ζ(w) = e f(w), j tällöin eksponenttifunktion jksollisuuden j jtkuvuuden nojll yhtenäisessä joukoss V pätee log (ζ(w)) = f(w) + kπi jollekin kiinteälle k Z. () Kosk ζ-funktio on nlyyttinen, niin voidn puhu myös sen derivtst ζ, jok siis on määritelty (tässä viheess) kikille z H. Tälle sdn seurv kv. Lemm 5.4 ζ (z) ζ(z) = p P m N log p p mz kikille z H. 9
Todistus. Olkoon z H kiinteä. Huomutuksen 5.3 mukn z:n ympäristössä V pätee log (ζ(w)) = + kπi. () mpwm p m= Edelleen huomutuksen 5.3 mukn ehdoss () olev (kksois-)srj suppenee loklisti tsisesti lueess H, joten se voidn kompleksinlyysin kurssin tietojen perusteell (ks. [C 4.]) derivoid termeittäin pisteessä z. Näiden termien derivtt ovt d dz ( mp zm ) = d m dz e zm log p = m ( mlog p p ) = log pzm p mz. Kosk jokisen logritmin hrn derivtt on z, niin derivoimll yhtälö () puolittin sdn kikille z H ζ (z) ζ(z) = d dz p m= ( p log p p zm, m= ) mp zm = p m= ( ) d dz mp zm = joten väite seur. Lemmn 5.4 vull sdn yhteys Tšhebyšhevin funktion ψ j Riemnnin ζ-funktion välille: Luse 5.5 Kikille z H pätee ζ (z) ζ(z) = z ψ(t) dt. tz+ Todistus. Kiinnitetään z H. Muistutetn ensin mieleen von Mngoldtin funktio Λ määritelmästä 4.6: { log p kun n = p α joillekin p P j α N Λ(n) = muuten. Muistutetn myös siitä, että ψ on Λ:n summfunktio eli Λ(n) = ψ(). () n Suorn Λ:n määritelmän perusteell sdn n N Λ(n) n z = p P m N log p i) (p m ) z = p P m N log p, () pmz 9
missä yhtälö i) tulee lemmst 5.4. Nyt sdn ζ (z) ζ(z) / t z i) = p P ψ(t) ψ(t) d dt m N log p ii) p mz = Λ(n) n z n N ψ(t)d ( t z ( ) v) t z = ) dt vii) = z iii) = ψ(t) t ψ(t)d z+ dt, iv) dψ(t) = tz ) ( t z joten väite pätee. Tässä yhtälö i) tulee lemmst 5.4 j yhtälö ii) ehdost (). Yhtälö iii) seur ehdost () j luseest.33. Yhtälössä iv) on tehty osittisintegrointi. Yhtälö v) perustelln lempn. Yhtälö vi) perustuu luseeseen.9 j lopult yhtälö vii) siihen, että funktion t t derivtt (t:n suhteen) z on z t kikille z H z+. Pitää vielä perustell yhtälö v), jok on koko yhtälöketjun keskeisin pikk. Se on myös epätrivili, kosk siinä trvitn Tšhebyšhevin lusett. Kyse on siis sijoituksen / ψ(t) t z lskemisest. Alrjll tulee noll, sillä ψ(t) = kikille t <. Ylärjll tulee myös noll, sillä kiinteälle z = + iy H pätee lim ψ(t) t t z = lim ψ(t) ψ(t) viii) i) t t = lim t t t = lim O() t t =, missä yhtälö viii) sdn Tšhebyšhevin luseest j yhtälö i) perustuu siihen, että pisteen z H relioslle pätee >. Luse 5.6 Kikille z H pätee ζ(z) = Todistus. Kikille z H sdn ζ(z) = n N z / t d z i) n z = ) ( t z iv) = z t z z z z z ii) d t = tz / t v) dt = z tz+ t t z t t dt. tz+ ( ) t d t z dt z t t vi) dt = z tz+ z z t z vi) = iii) = t t dt = tz+ t t dt, tz+ joten väite pätee. Tässä yhtälö i) tulee luseest.3 j yhtälö ii) on osittisintegrointi. 93
Yhtälössä iii) on lskettu sijoitus, jonk rvo on noll. Alrjll tulee noll, kosk t = kikille < t <. Ylärjll tulee myös noll, kosk t t z t z = t, kun t, sillä > kikille z = + iy H. Yhtälö iv) sdn smoin perustein kuin luseen 5.5 todistuksen yhtälöt vi) j vii). Yhtälö v) perustuu triviliin esitykseen t = t (t t ) j siihen, että t t = z+ t, kuten helposti nähdään. z Yhtälössä vi) on ts lskettu sijoitus. Ylärjll tulee jälleen noll, kosk t z = t, kun t, sillä < kikille z = + iy H, mutt tällä kert lrjll sdn z z, kosk z = kikille z H. Luseess 5.6 todistettiin, että väitetty esitys pätee kikille z H. Tämähän pitää sisällään sen, että esityksessä olev integrli t t dt tz+ suppenee kikille z H. Jtkoss on rtkisevn tärkeää, että tämä integrli suppenee suuremmsskin joukoss, nimittäin puolitsoss H, kuten seurv lemm snoo. Lemm 5.7 Integrli suppenee kikille z H. t t dt tz+ Todistus. Kosk t t t z+ t z+ = niin väite seur, jos t Re(z)+ kikille t [, [, dt () tre(z)+ suppenee. Integrli () tunnetusti suppenee, jos Re(z) + >, j näinhän puolitson H pisteille z on. Nyt voidn esittää tvoiteltu ζ-funktion määrittelyjoukon ljennus koko puolitsoon H pois lukien piste z = seurvsti. Määritelmä 5.8 Joukoss H \ {} määritellään Riemnnin ζ-funktio settmll kikille z H \ {} ζ(z) = z z z t t dt. tz+ 94
Huomutus 5.9 Lemmn 5.7 nojll määritelmä 5.8 on järkevä. Pisteessä z = määritelmää ei nnet, mutt tämä ei johdu määritelmässä olevst integrlist, vn funktiost z z z, joll on np pisteessä z =. Erityisen tärkeään merkitykseen tässä määritelmässä nousee luse 5.6, jonk mukn määritelmä 5.8 yhtyy ikisempn puolitsoss H nnettuun määritelmään 5.8 kun määritelmässä 5.8 on z H H \ {}. Näin on stu ikn ito ζ-funktion määrittelyjoukon ljennus. Huom, että ζ-funktion lunperin eli kohdss 5.8 määrittelevä srj ζ(z) = n N ei edelleenkään suppene joukoss H \H, mutt eihän se mitään hitt: tässä joukoss (pois lukien piste z = ) voidn käyttää määritelmää 5.8. Luseess 5.9 todettiin, että ζ-funktio on nlyyttinen joukoss H, joten voidn kysyä, onko määritelmän 5.8 ljennus nlyyttinen. Kyllä se on. Lemm 5. tk tämän. Todistetn sitä ennen kuitenkin pri teknistä pulemm. Lemm 5. Olkoon V C rjoitettu joukko j m R, m >. Tällöin jokiselle ǫ > löytyy δ > siten, että ) t w s w < ǫ j b) e t t z e s s z < ǫ n z kikille w,z V j kikille t,s [,m], joille t s < δ. Todistus. ) Kosk t w s w = e w log t e w log s, niin väite seur eksponenttifunktion jtkuvuudest, jos osoitetn, että kikille ǫ > on olemss δ > siten, että w log t w log s < ǫ () kikille w V j kikille t,s [,m], joille t s < δ. Väite () on ilmeinen, kosk V on rjoitettu j relinen logritmi on tsisesti jtkuv välillä [,m]. b) Kikille kikille t,s [,m] j z V pätee e t t z e s s z e t (t z s z ) + (e t e s )s z t z s z + e t e s s z = t z s z + e t e s e (z ) log s t z s z + e t e s e (Re(z) ) log m. () 95
Esityksessä () termi e (Re(z) ) log m pysyy rjoitettun, kosk V on rjoitettu. Kosk relinen kuvus u u u on tsisesti jtkuv välillä [,m], niin e t e s on mielivltisen pieni, kun t s on riittävän pieni. Silloin myös e t e s e (Re(z) ) log m on mielivltisen pieni, kun t s on riittävän pieni. Esityksessä () termi s on myös mielivltisen pieni, kun t s z on riittävän pieni. Tämän näkee soveltmll )-koht rjoitettuun joukkoon W = {w w V }. t z Väite seur näistä huomioist. Lemm 5. Olkoon V C rjoitettu joukko j m R, m >. Tällöin jokiselle ǫ > löytyy δ > siten, että t t t z+ s s s z+ < ǫ kikille z V j kikille t,s [,m], joille t = s j t s < δ. Todistus. Olkoon ǫ > nnettu. Lemmn 5. nojll on olemss δ,δ > siten, että t z s z < ǫ kikille z V, t,s [,m], t s < δ j t z+ s z+ < ǫ m kikille z V, t,s [,m], t s < δ. Vlitn sitten δ = min{δ,δ }. Tämä on väitteeseen kelpv δ. Sen todistmiseksi olkoon z V mielivltinen sekä t,s [,m], t = s j t s < δ. Merkitään k = t = s, jolloin k m. Tällöin sdn t t t z+ s s s z+ = t z k t z+ s z + k s z+ t z s z + k t z+ s z+ < ǫ + k ǫ m ǫ + m ǫ m = ǫ, joten väite pätee. Lemm 5. Kuvus f : H C, on nlyyttinen. f(z) = t t dt tz+ 96
Todistus. Olkoon z H mielivltinen. Olkoon V pisteen z kiekkoympäristö siten, että V H. Riittää osoitt, että f on nlyyttinen joukoss V. Tässä on iden konstruoid jono nlyyttisiä kuvuksi f n : V C siten, että f n f tsisesti joukoss V, jolloin väite seur. Kuvusten f n konstruoimiseksi kiinnitetään n j merkitään g(z,t) = t t t z+ kikille z H, t [, [. Kosk V H, niin on olemss > siten, että Re(z) kikille z V. Tämän nojll kikille m j kikille z V pätee g(z, t)dt t t t z+ dt t z+ dt m m m m t + dt. Kosk integrli dt suppenee, niin tällöin (kiinteälle n) voidn vlit t + m n siten, että g(z,t)dt kikille z V. () m n n Lemmn 5. nojll on olemss δ n > siten, että t t t z+ s s s z+ < () nm n kikille z V j kikille t,s [,m n ], joille t = s j t s < δ n. Jetn nyt väli [,m n [ osväleihin I,...,I nk, I j = [ j,b j [, = < b = < b,...,b nk = nk < b nk = m n siten, että kunkin osvälin pituus l(i j ) = b j j on korkeintn δ n j näillä väleillä ei ole kokonislukuj sisäpisteinä. Hluttu funktio f n määritellään settmll f n (z) = n k j= l(i j ) g(z, j). Kiinteälle j kuvus z g(z, j ) on selvästi nlyyttinen, joten f n on nlyyttisten funktioiden äärellisenä summn nlyyttinen. Siten riittää osoitt, että f n f tsisesti joukoss V. (3) Olkoon tätä vrten ǫ > mielivltinen. Vlitn n niin suureksi, että < n. (4) ǫ 97
Väite (3) seur, jos osoitetn, että tälle n pätee f n (z) f(z) < ǫ kikille z V. (5) Olkoon siis z V mielivltinen. Tälle sdn n k f n (z) f(z) = l(i j= j ) g(z, j) g(z, t)dt = ( n k l(i j= j ) g(z, n k ) j) g(z,t)dt g(z,t)dt j= I j m n ( n k l(i j= j ) g(z, n k ) j) g(z,t)dt j= I j + i) g(z,t)dt m n ( n k l(i j= j ) g(z, n k ) j) g(z,t)dt j= I j + ii) = n ( n k ) ( n k ) g(z, j )dt g(z,t)dt j= I j j= I j + n = n k (g(z, j ) g(z,t))dt j= I j + n k n g(z, j ) g(z,t) dt + j= I j n = n k j j j= I j z+ t t t j z+ dt + iii) n k dt + n j= I j nm n n = n k b j j dt + I j nm n n = m n + nm n n iv) < ǫ, n j= joten väite (5) pätee. Tässä epäyhtälö i) sdn ehdost () j yhtälössä ii) integroidn funktiot, jok on t:n suhteen vkio. Epäyhtälö iii) tulee ehdost (), sillä tässä j j t ovt smll osvälillä I j, jonk pituus on korkeintn δ n. Lisäksi välillä I j ei ole kokonislukuj sisäpisteinä, jolloin j = t, pitsi ehkä kun t = b j, joten ehdon () vtimukset täyttyvät melkein kikille t [ j,b j ]. Epäyhtälö iv) tulee ehdost (6). Luse 5.3 Riemnnin ζ-funktio on nlyyttinen oikess puolitsoss H lukuunottmtt np pisteessä z =. Lisäksi tämän nvn kertluku on j ζ:n residy siinä on. Todistus. Väitteen lkuos seur suorn määritelmästä 5.8 j lemmst 5.. Loppuos tulee nvn kertluvun määritelmästä j siitä, että lemmn 5. mukn lim(z )ζ(z) = lim z + lim(z ) z z z 98 t t dt = + =. tz+
Jtkoss erityisen kiinnostuksen kohteen ovt ζ-funktion nollkohdt. Luseess 5. todettiin, että nollkohti ei ole puolitsoss H. Kun määrittelyjoukko on nyt ljennettu lueeksi H \ {}, voidn kysyä, syntyykö tälle ljennetulle funktiolle nollkohti. Kyllä niitä syntyy, mutt ei synny puolitson H reunlle. Tämän jälkimmäisen väitteen todist seurv luse. Luse 5.4 (Hdmrd) Riemnnin ζ-funktiolle pätee Todistus. Tehdään ntiteesi: ζ( + iy) kikille y R \ {}. ζ( + iy ) = jollekin y R \ {}. (AT) Merkitään f(z) = mp zm kikille z H. p m= Huomutuksen 5.3 mukn f on nlyyttinen j Kosk kikille z = + iy H on niin e f(z) = ζ(z) kikille z H. () p zm = e mz log p = e m log p e imy log p = p m (cos(my log p) + isin(my log p)), f(z) = p p m= m= mp zm = p cos(my log p) mp m i p m= m= (cos(my log p) isin(my log p)) = mpm sin(my log p) mp m kikille z = + iy H. Siten ehdon () nojll kikille z = + iy H j kikille n N pätee ζ n (z) = (e f(z) ) n = e nf(z) = ( ep n ) ( cos(my log p) mp m ep in p m= p ( ep n ) ( cos(my log p) mp m = ep n p p m= Tällöin kikille z = + iy H sdn m= m= ) sin(my log p) mp m = ) cos(my log p) mp m. ζ 3 () ζ 4 ( + iy) ζ( + iy) = ( ) 3cos + 4cos(my log p) + cos(my log p) ep ep p ( p m= mp m ) ( + cos(my log p)), () m= mp m i) = 99
(+cos(my log p)) mp m missä yhtälö i) perustuu trigonometriseen kvn cos(t) = cos t. Summss p m= summttvt ovt positiivisi, joten summkin on positiivinen, j silloin ehdon () nojll ζ 3 () ζ 4 ( + iy) ζ( + iy) kikille z = + iy H. (3) Olkoon nyt y ntiteesin (AT) mukinen luku. Ehdon (3) nojll ζ 3 () ζ 4 ( + iy ) ζ( + iy ) kikille >. (4) Antiteesin nojll ζ:ll on nollkoht pisteessä + iy. Nollkohdn kertluku ei ole tiedoss, mutt se on inkin. Silloin funktioll ζ 4 on inkin kertluku 4 olev nollkoht pisteessä + iy. Tämä merkitsee sitä, että pisteen + iy josskin ympäristössä pätee ζ 4 (z) = (z ( + iy )) 4 g(z) jollekin nlyyttiselle g. (5) Luseen 5.3 nojll ζ:ll on ensimmäisen kertluvun np pisteessä. Silloin funktioll ζ 3 on täsmälleen kertluku 3 olev np pisteessä, mikä merkitsee sitä, että josskin pisteen punkteertuss ympäristössä pätee ζ 3 (z) = h(z) (z ) 3 jollekin koko ympäristössä nlyyttiselle h. (6) Nyt ehtojen (5) j (6) perusteell sdn lim ζ3 () ζ 4 ( + iy ) ζ( + iy ) = + h() lim + 3 ( )4 g( + iy ) ζ( + iy ) = lim + h()g( + iy )ζ( + iy ) =. Tämä on kuitenkin mhdotont ehdon (4) nojll. Syntynyt ristiriit kt ntiteesin j todist väitteen. Jtkoss on trkoitus ljent ζ-funktion määritelmä nlyyttisenä koko tsoon, pois lukien nppiste z =. Tätä vrten otetn käyttöön ns. Γ-funktio, jok on kertomfunktion ljennus, kuten luseess 5.9 nähdään. Määritelmää vrten trvitn lemm. Lemm 5.5 Epäoleellinen Riemnn-integrli on olemss kikille z H. e t t z dt
Todistus. Kosk e t t z = e t t Re(z), niin riittää osoitt, että integrli e t t dt suppenee kikille relisille >. Kosk eksponenttikuvus e t ksv ylivoimisesti nopemmin kuin (mikään) potenssiinkorotus t + kiinteälle, niin on olemss M siten, että e t t + kikille t M. Silloin kikille t M pätee e t t t t = t, j sdn rvio M e t t dt joten integrli M e t t dt suppenee. Siten riittää osoitt, että M M e t t dt dt R, t suppenee. Kosk e t, kun t +, niin suppeneminen seur, jos M t dt suppenee. Tämä integrli suppenee tunnetusti, kun >, j näinhän nyt on, kosk >. Nyt voidn sett Γ-funktion määritelmä: Määritelmä 5.6 Määritellään kikille z H Γ(z) = e t t z dt. Luse 5.7 Γ-funktio on nlyyttinen puolitsoss H. Todistus. Tämä sujuu oleellisesti smll tvll kuin lemmn 5. todistus. Tässä kiinnitetään z H j pisteen z kiekkoympäristö V siten, että V H. Riittää osoitt, että Γ on nlyyttinen joukoss V. Määritellään g(z,t) = e t t z kikille z H, t [, [. Kosk V on rjoitettu, niin on olemss vkio c > siten, että Re(z) c kikille z V. Silloin kikille m j kikille z V pätee g(z, t)dt e t t z dt m m e t t Re(z) dt e t t c dt. () m m
Lemmn 5.5 nojll integrli m e t t c dt suppenee, jolloin ehdon () nojll (kiinteälle n) voidn vlit m n siten, että g(z,t)dt kikille z V. () m n n Lemmn 5. b) nojll on olemss δ n > siten, että g(z,t) g(z,s) < nm n (3) kikille z V j kikille t,s [,m n ], joille t s < δ n. Jetn väli [,m n [ osväleihin I,...,I nk, I j = [ j,b j [, = < b = < b,...,b nk = nk < b nk = m n siten, että kunkin osvälin pituus l(i j ) = b j j on korkeintn δ n. Määritellään funktio f n settmll f n (z) = n k j= l(i j ) g(z, j). Kiinteälle j kuvus z g(z, j ) on selvästi nlyyttinen kiekoss V H, joten f n on nlyyttisten funktioiden äärellisenä summn nlyyttinen V :ssä. Siten riittää osoitt, että f n Γ tsisesti joukoss V. (4) Olkoon tätä vrten ǫ > mielivltinen. Vlitn n niin suureksi, että Väite (4) seur, jos osoitetn, että tälle n pätee < n. (5) ǫ f n (z) f(z) < ǫ kikille z V. (6)
Olkoon siis z V mielivltinen. Tälle sdn n k f n (z) f(z) = l(i j= j ) g(z, j) g(z, t)dt = ( n k l(i j= j ) g(z, n k ) j) g(z,t)dt g(z,t)dt j= I j m n ( n k l(i j= j ) g(z, n k ) j) g(z,t)dt j= I j + i) g(z,t)dt m n ( n k l(i j= j ) g(z, n k ) j) g(z,t)dt j= I j + ii) = n ( n k ) ( n k ) g(z, j )dt g(z,t)dt j= I j j= I j + n = n k (g(z, j ) g(z,t))dt j= I j + n k n g(z, j ) g(z,t) dt + j= I j n n k dt + nk I j nm n n = b j j dt + I j nm n n = m n + nm n n n j= j= iii) iv) < ǫ, joten väite (6) pätee. Tässä epäyhtälö i) sdn ehdost () j yhtälössä ii) integroidn funktiot, jok on t:n suhteen vkio. Epäyhtälö iii) tulee ehdost (3), sillä tässä j j t ovt smll osvälillä I j, jonk pituus on korkeintn δ n. Epäyhtälö iv) tulee ehdost (5). Seurv skel Γ-funktion määrittelyssä on ljent määrittelyjoukko koko tsoon pois lukien negtiiviset kokonisluvut eli pisteet,,,... Todistetn ensin lemm. Lemm 5.8 Kikille z H j kikille n N pätee z(z + ) (z + n )Γ(z) = Γ(z + n). Todistus. Tehdään induktio n:n suhteen kiinteälle z. Kun n =, väite on zγ(z) = Γ(z + ). Γ-funktion määritelmästä sdn osittisintegroinnill Γ(z + ) = + z e t t z dt = / e t t z e t zt z dt = e t t z dt = zγ(z), () 3
joten väite pätee, kun n =. Oletetn sitten induktiivisesti, että se pätee n:lle; induktioväitteenä on Tämä sdn seurvsti. z(z + ) (z + n)γ(z) = Γ(z + n + ). Γ(z + n + ) = Γ(z + + n) i) = (z + ) (z + + n )Γ(z + ) ii) = (z + ) (z + n)zγ(z) = z(z + ) (z + n)γ(z), joten induktioväite seur. Tässä yhtälö i) sdn soveltmll induktio-oletust pisteeseen z + H j yhtälö ii) tulee ehdost (). Edellä oli puhett siitä, että Γ-funktio on kertomfunktion yleistys. Tämä voidn nyt todist. Luse 5.9 Kikille n N {} pätee Γ(n + ) = n!. Todistus. Kun n =, väite on suor lsku: Γ( + ) = e t = / e t =. Kun n =, väite sdn määritelmästä osittisintegroimll: Γ( + ) = Γ() = / e t = =! e t tdt = / e t t e t dt = () Kun n, väite todistetn helpoll induktioll ehto () j lemm 5.8 käyttäen. Nyt ljennetn Γ-funktion määrittelyjoukko. Määritelmä 5.3 Olkoon z = + iy C \ {,,,...}. Vlitn n N siten, että n + > j setetn Γ(z) = Γ(z + n). z(z + ) (z + n ) Huomutus 5.3 Määritelmässä 5.3 on huomttv pri seikk. Ensinnäkin oletuksen z C \ {,,,...} nojll z(z + ) (z + n ), joten määritelmässä tehtävä jkolsku on mielekäs. Toiseksi n:n vlinnn perusteell z+n H, joten määritelmän 5.3 Γ(z+n) on jo iemmin määritelty. Kolmnneksi tässä tulee nyt määriteltyä uudestn Γ(z) niille z, jotk sttuvt olemn puolitsoss H. Lemmn 5.8 nojll tämä ei tuot ongelmi: uusi määritelmä 4
on sm kuin vnh. Neljänneksi tässä näyttäisi olevn vkv ongelm, jok johtuu siitä, että määritelmässä vlittu n ei ole yksikäsitteinen. Tämäkin ongelm poistuu seurvll trkstelull. Olkoot n j m vlittu niin, että n + > j m + >. Pitää osoitt, että z(z + ) (z + n ) Γ(z + n) = Γ(z + m). () z(z + ) (z + m ) Merkintöjä trvittess vihtmll voidn olett, että n < m. Tällöin sdn Γ(z + m) = z(z + ) (z + m ) z(z + ) (z + n )(z + n) (z + m ) Γ(z + n + (m n)) = i) z(z + ) (z + n )(z + n) (z + m ) (z + n)(z + n + ) (z + n + m n )Γ(z + n) = Γ(z + n), z(z + ) (z + n ) joten väite () pätee. Tässä yhtälö i) tulee lemmst 5.8. Luse 5.3 Γ-funktio on nlyyttinen koko tsoss pois lukien pisteet,,,..., joiss sillä on np kertluku. Lisäksi Γ:n residy pisteessä n on res(γ, n) = ( )n n! kikille n N {}. Todistus. Luseen 5.7 j määritelmän 5.3 nojll nlyyttisyys muull kuin näissä erikoispisteissä on selvää. Pisteen z = n punkteertuss ympäristössä B = B( n,) \ { n} pätee Γ(z) = Joukoss B { n} kuvus g(z) = on nlyyttinen, j kosk Γ(z + m) jollekin m n +. z(z + ) (z + m ) Γ(z + m) z(z + ) (z + n )(z + n + ) (z + m ) Γ(z) = g(z) kikille z B, z + n 5
niin piste z = n on joko Γ:n poistuv erikoispiste ti np, jonk kertluku on. Silloin riittää todist residyä koskev väite. Residyn s rj-rvon: res(γ, n) = lim (z + n)γ(z) = lim g(z) = z n z n lim Γ(z + m) = z n z(z + ) (z + n )(z + n + ) (z + m ) ( n)( n + ) ( ) ( n + m ) Γ( n + m) = i) ( )n ( ) n (m n )! =, ( n)!(m n )! n! joten väite seur. Tässä yhtälö i) sdn luseest 5.9. Γ-funktio on eräässä mielessä symmetrinen imginrikselin suuntisen suorn l = { + iy y R} suhteen. Tämän snoo luse 5.34. Sitä vrten trvitn pieni lemm. Lemm 5.33 Kikille relisille ], [ pätee t + t dt = π sin(π). Todistus. Muuttujnvihdoll s = log t sdn t + t dt = e s s + e s es ds = e s ds. () + es Yhtälön () jälkimmäinen integrli on lskettu lähteessä [C, tehtävä 4.]; sen rvo on, joten väite seur. π sin(π) Luse 5.34 Kikille z C \ Z pätee Γ(z)Γ( z) = π sin(πz). () Todistus. Kompleksinlyysistä tiedetään, että kompleksisen sinin inot nollkohdt ovt relikselill pisteissä nπ, n Z. Tällöin väitteen oike puoli on nlyyttinen funktio lueess D := C \ Z. Luseen 5.3 nojll myös väitteen vsen puoli on nlyyttinen lueess D. Kosk D on yhtenäinen j relisell välillä ], [ on ksutumispisteitä lueess D, niin nlyyttisen jtkmisen peritteen (ks. [C, 7.9]) nojll riittää osoitt, että yhtälö () pätee kikille relisille ],[. 6
Olkoon siis ],[ kiinteä. Lskemll sdn Γ()Γ( ) = e t t Γ( )dt = ( ) e t t e ut (ut) tdu dt = e t(u+) u dtdu = u u + du = u ( )+ iii) du = u + e t t ( ( / u (u + ) e t(u+) π sin(π( )) = ) e s s ds dt = i) e t(u+) u dudt ii) = ) du = π sin(π), joten väite pätee. Tässä yhtälö i) sdn muuttujnvihdost u = s t. Yhtälö ii) perustuu luseeseen.. Yhtälö iii) tulee lemmst 5.33, sillä oletuksen ],[ nojll myös ],[. Luse 5.35 Γ(z) kikille z C \ {,,,...}. Todistus. Väite seur luseest 5.34 lukuunottmtt pisteitä z N. Näille väite seur luseest 5.9. Luse 5.36 Funktio f(z) = { Γ(z) on nlyyttinen koko tsoss. kun z C \ {,,,...} kun z {,,,...} Todistus. Väite seur luseist 5.3 j 5.35. Huomutus 5.37 Luseen 5.36 mukisesti Γ on kokoninen funktio, joll on nollkohdt pisteissä,,,..., mutt ei missään muull. Kosk luseen 5.3 perusteell Γ:ll on näissä pisteissä yksinkertinen np, niin Γ :n nollkohdt ovt yksinkertisi. Huomutus 5.38 Luseen 5.34 vull sdn lskettu Γ-funktion rvo pisteessä z = : Γ( π ) = sin( π ) = π. Merkintä 5.39 Merkitään kikille relisille > θ() = n= e πn. Huomutus 5.4 Jokiselle > srj θ() voidn kirjoitt myös muotoon θ() = n= e πn +. Tämä srj suppenee jokisell >, mikä seur epäoleellisen Riemnn-integrlin e πt dt suppenemisest. Lisäksi srjn 7
suppeneminen on tsist jokisell välillä [, [, >, mikä puolestn johtuu positiivisten funktioiden e πn vähenevyydestä. Tällöin rjfunktio eli θ on jtkuv jokisell välillä [, [, > j siten jtkuv koko välillä ], [. Jtkoss käytetään myös merkintää jolloin yllä todetun perusteell θ() = e πn, n= θ() = θ() + ti θ() = (θ() ) kikille R +. Lemm 5.4 Kikille R pätee e πt e πit dt = e π. Todistus. Tämä on kompleksinlyysin hrjoitustehtävä. Tässä positiiviselle integroidn nlyyttistä funktiot f(z) = e πz vstpäivään pitkin ylemmässä puolitsoss olev suorkidett, jonk kärjet ovt (suurelle R R) pisteissä R,R + i, R + i, R. Cuchyn luseen nojll tämä integrli on noll. Helposti nähdään, että integrlit pitkin pystysivuj konvergoivt nolln, kun R ksv. Välin [ R,R] yli otettu integrli konvergoi kohti ykköstä j ylälidn integrli oikelt vsemmlle on R R R e π(+i) d = e π e π e πi d. Lskemll nämä tiedot yhteen sdn väite. Negtiiviselle vstv kuvio hoidetn pitkin lemmss puolitsoss olev suorkidett, jonk kärjet ovt (tässäkin tpuksess) pisteissä R, R + i, R + i, R. Jätetään yksityiskohdt hrjoitustehtäviksi. Ehto f(t)dt = seur tässä tpuksess muuttujnvihdoll helposti lähteestä [C, teht. 5.4]. Luse 5.4 Kikille > pätee R θ() = θ( ). Todistus. Olkoon > kiinteä. Merkitään kikille t R f(t) = e πt. Tämä f toteutt Poissonin summkvn eli luseen 3.8 vtimukset, jolloin kyseisen kvn mukn sdn m= f(m) = n= 8 f(t)e πint dt,
j silloin θ() = m= n= n= e πm = n= e π(t ) e πi(t ) n dt i) = n π e = θ( ), e πt e πint dt = n= e πs e πis n ds ii) = joten väite pätee. Tässä yhtälö i) tulee muuttujnvihdost s = t j yhtälö ii) seur lemmst 5.4. Funktio θ on suorn määritelmänsä mukn positiivinen koko määrittelyjoukossn R +. Jtkoss trvitn rvioit funktion käytöksestä origon lähellä j toislt äärettömyydessä. Riittävät ehdot trjo seurv lemm. Lemm 5.43 On olemss vkio C > siten, että θ() Ce π kikille j () θ() C kikille <. () Todistus. Kikille sdn θ() = e πn = e πn + = e πn n= e πn = n= n= n= ( e π ) n = e π e π = e π e π n= e π e π, joten väite () pätee, kun vlitn C = e π. Kun <, niin sdn θ() i) = θ( ) ii) C e π < C, joten myös väite () pätee. Tässä yhtälö i) sdn luseest 5.4 j epäyhtälö ii) kohdst (), sillä. Seurv luse liittää yhteen funktiot Γ, ζ j θ. Luse 5.44 Kikille z H pätee π z Γ( z )ζ(z) = t z (θ(t) )dt. 9
Todistus. Tämä on suor lsku: n= π z t z (θ(t) )dt i) = ( s πn ) z e s πn n z n= iv) ds = t z n= e s s z ds vi) = π z n= n= e πnt dt ii) = n= s z e s π z n z ds v) = n z Γ( z ) vii) = π z Γ( z )ζ(z), t z e πnt dt iii) = missä yhtälö i) perustuu θ:n määritelmään j huomutukseen 5.4, yhtälö ii) vtii vähän ljemmn perustelun, jok nnetn lempn. Yhtälössä iii) tehdään muuttujnvihto s = πn t kullekin n. Yhtälö iv) perustuu siihen, että reliluvun kompleksisikin potenssej voi määritelmää sekä lemmoj 5.3, 5.4 j 5.5 käyttäen käsitellä kuin relisi vstvi j yhtälö v) on trivili. Yhtälö vi) on Γ-funktion määritelmä pisteessä z H, j vstvsti yhtälö vii) on ζ-funktion määritelmä, sillä oletuksen mukn z H. Toistiseksi perustelemttomss yhtälössä ii) väitetään siis, että t z e πnt dt = n= n= t z e πnt dt eli että tässä yhtälössä voidn summuksen j integroinnin järjestystä viht. Luseen.9 nojll summuksen j integroinnin järjestyksen voi viht, mikäli t z e πnt on integroituv välillä ], [ kikille n, () t z e πn t dt on olemss j () n= summ t z e πnt dt suppenee. (3) n= Väitteessä () integroitv on jtkuv, joten ongelmi voi ilmetä vi ylä- ti lpäässä. Yläpäässä eli äärettömyyttä lähestyttäessä niitä ei ole, mikä nähdään helposti smn tpn kuin Γ-funktion määritelmän yhteydessä lemmss 5.5. Alpäässä eli origon lähellä tilnteen pelst oletus z H, jolloin Re( z ) > j tämän perusteell Re( z ) >. Kosk lisäksi t z e πnt = t Re( z ) e πnt, j e πnt kun t, niin integroituvuus nolln sti seur, kosk integrli ǫ tα dt suppenee in kun α >. Näin väite () on perusteltu. Väitteen () perustelu on smnkltinen jtkuvuus seur huomutuksest 5.4. Tässä sdn lisäksi pu lemmst 5.43. Kyseisen lemmn kohdn
() perusteell sdn integrlin () suppeneminen yläpäässä, j lpäässä voidn käyttää lemmn 5.43 koht (), jonk nojll nolln lähellä t z e πnt dt t Re( z ) C = C t Re( z 3 ), t n= n= jolloin integroituvuus seur, sillä ehdon z H nojll pätee Re( z 3 ) >. Väitteessä (3) merkitään = R(z), jolloin väite (3) tulee muotoon n= summ n= t e πnt dt suppenee. (4) Srjn (4) suppenemisen näkee (j jop sen summn voi lske) toistmll edellä olevt yhtälöt iii) vii), tällä kert H muuttujn z pikll. Määritellään puolitsoss H vielä yksi kummllinen funktio näiden kikkien muiden jtkoksi. Määritelmä 5.45 Määritellään puolitsoss H funktio ξ settmll ξ(z) = π z Γ( z )ζ(z) kikille z H. Huomutus 5.46 ξ-funktion määritelmä ei ole ivn htust tempistu (vikk stt siltä näyttää), sillä se on luseen 5.44 väitteessä esiintyvä funktio. Kosk luseen 5.3 perusteell Γ on nlyyttinen puolitsoss H j ζ on luseen 5.9 mukn nlyyttinen H :ssä, niin ξ on nlyyttinen H :ssä. Lemm 5.47 Olkoon θ kuten huomutuksess 5.4 eli θ(t) = (θ(t) ) kikille t R +. Tällöin kikille z H pätee ξ(z) = z z + (t z z + t ) θ(t)dt. Todistus. Funktiolle θ sdn lusett 5.4 käyttäen esitys θ(t) = (θ(t) ) = ( θ( t t ) ) = ( ( θ( ) + ) ) = () t t t θ( t ) + t kikille t R +.
Väite sdn lskemll kikille z H ξ(z) = π z z Γ( )ζ(z) = i) / t z ( t θ( t ) + t z 3 dt z z z + z z + z z + z z + t z t t z d + / z t z θ(t)dt = t z θ(t)dt + ) dt + t z + t z 3 θ( t )dt + s z + 3 θ(s)s ds + t z 3 θ( t )dt + t z θ(t)dt = t z 3 θ( t )dt + t z θ(t)dt iv) = t z θ(t)dt = s z θ(s)ds + t z θ(t)dt = (t z z + t ) θ(t)dt, t z θ(t)dt = t z θ(t)dt iii) = t z θ(t)dt ii) = joten väite pätee. Tässä yhtälö i) seur luseest 5.44 j θ-funktion määritelmästä. Yhtälö ii) tulee ehdost (), j yhtälö iii) seur siitä, että z H, jolloin Re( z ) > Re( z ) >, j tällä perusteell lim t + t z = lim t + t z =. Yhtälö iv) syntyy muuttujnvihdoll s = t. Lemm 5.48 ξ(z) kikille z H. Todistus. Kosk π z in, niin väite seur määritelmästä 5.45 sekä luseist 5.35 j 5.. Nyt ljennetn puolitsoss H määritelty funktio ξ lähes koko tsoss määritellyksi funktioksi käyttäen lemmn 5.47 esitystä. Määritelmä on siis seurv. Määritelmä 5.49 Määritellään funktio ξ : C \ {, } C settmll ξ(z) = z z + (t z z + t ) θ(t)dt kikille z C \ {,}. Huomutus. Lemmn 5.47 mukn tämä uusi ξ:n määritelmä ei poikke vnhst määritelmästä 5.45 kun z H, joten nyt on onnistuttu idosti ljentmn ξ:n määrittelyjoukko. Tämä edellyttää tietysti sitä, että määritelmä 5.49 on järkevä siinä mielessä, että siinä olev integrli suppenee. Tämä näkyy lemmn 5.47 todistuksest: kikki siinä olevt integrlit suppenevt kikille z C. Näiden integrlien suppeneminen johtuu pohjimmiltn luseen 5.44 todistuksen ehdost (), joss osoitettiin (oleellisesti), että lemmn 5.47 todistuksess olev ensimmäinen integrli suppenee, jolloin kikki muutkin suppenevt. Määritelmän 5.49 integrlin suppeneminen sdn tosin myös seurvst lemmst.
Lemm 5.5 Kuvus z (t z z + t ) θ(t)dt, missä θ(t) = (θ(t) ), on nlyyttinen koko tsoss. Todistus. Kikille n N kuvus F : C [,n] C, F(z,t) = (t z + t z ) θ(t) toteutt luseen [C, 6.3] ehdot (jtkuvuus t:n suhteen sdn huomutuksen 5.4 perusteell), joten kuvukset f n (z) = n (t z + t z ) θ(t)dt ovt nlyyttisiä koko tsoss. Silloin väite seur, jos f n (z) (t z z + t ) θ(t)dt loklisti tsisesti C:ssä. () Väite seur, jos osoitetn, että konvergenssi () on tsist jokisess joukoss Riittää osoitt, että n n V (,b) = {z C < Re(z) < b,,b R}. t z θ(t) dt j () t z θ(t) dt ; molemmt tsisesti joukoss V (,b). (3) Kosk kikille z V (,b) j kikille t pätee t z = t Re(z) < t, niin väite () seur, jos osoitetn, että n t θ(t) dt. (4) Lemmn 5.43 ehdon () nojll väite (4) seur, jos osoitetn, että n t e πt dt. (5) Tämä on selvää, sillä n voidn vlit niin suureksi, että t < e t kikille t [n, [, jolloin väite (5) seur siitä, että n e ( π)t dt = / n π e( π)t = π e( π)n. 3
Väite (3) todistetn vstvsti käyttäen rviot t z = t Re(z) < t b kikille z V (,b). Huom erityisesti, että luku voi oll negtiivinen väitteessä (4); juuri tämähän tässä lemmss on oleellist eli että integrli toimii niin kuin pitääkin myös puolitson H ulkopuolell. Luse 5.5 ξ-funktio on nlyyttinen koko tsoss C lukuunottmtt pisteitä j, joiss sillä on yksinkertinen np. Lisäksi ξ-funktio on symmetrinen suorn l = { + iy y R} suhteen, ts. kikille z C \ {,} pätee ξ(z) = ξ( z). () Edelleen ξ(z) kikille z C \ {,}, joille Re(z) ti Re(z). Todistus. Kosk kikille z C \ {,} j kikille t pätee ( z) z = z z t z + t z = t z + t z, niin väite () seur suorn määritelmästä 5.49. Funktion ξ nlyyttisyys joukoss C \ {,} seur määritelmästä 5.49 j lemmst 5.5. Pisteet j ovt määritelmän 5.49 perusteell yksinkertisi npoj, jos nlyyttiselle (ks. lemm 5.5) funktiolle pätee Kosk selvästi f(z) = f() = f() = (t z z + t ) θ(t)dt f() j f(). () niin väite () seur j tämä si on selvä. j ( (t + t ) e )dt πn >, Vielä pitäisi nähdä, että ξ(z), kun Re(z) ti Re(z), z,. Ehdon () nojll riittää osoitt, että ξ(z), kun Re(z), z. Funktio ξ on nlyyttinen j siten jtkuv tällisess pisteessä z, joten lkuperäisen määritelmän 5.45 mukn ξ(z) = lim π w w Γ( w z w H n= )ζ(w) = i) π z z Γ( )ζ(z) ii), missä yhtälö i) seur Γ- j ζ-funktioiden jtkuvuudest pisteessä z H \ {} (luseet 5.3 j 5.) sekä yhtälö ii) luseist 5., 5.4 j 5.35. 4
Huomutus 5.5 Kosk luseiden 5.3 j 5. nojll funktio π z Γ( z )ζ(z) on nlyyttinen joukoss H \ {} j joukoss H pätee määritelmän 5.45 mukn ξ(z) = π z Γ( z )ζ(z), niin nlyyttisen jtkmisen peritteen nojll on oltv ξ(z) = π z z Γ( )ζ(z) kikille z H \ {}. Tämän nojll nähdään myös, että ξ:llä on yksinkertinen np pisteessä, mikä johtuu siitä, että π Γ( ) j luseen 5.3 mukn ζ:ll on yksinkertinen np pisteessä. Luseen 5.5 symmetrisyysehdon () nojll tällöin ξ:llä on yksinkertinen np myös pisteessä. Nyt voidn (lopultkin) esittää kun tvoiteltu ζ-funktion ljennettu määritelmä koko tsoss, pois lukien piste. Määritelmä 5.53 Määritellään kikille z C \ {} ζ(z) = π z ξ(z) Γ( z ). Huomutus 5.54 Luseiden 5.5 j 5.36 nojll määritelmä 5.53 nt nlyyttisen funktion lueess C\{} pitsi mhdollisesti pisteessä, joss funktioll ξ on np. Tämä np on luseen 5.5 mukn yksinkertinen j huomutuksen 5.37 nojll funktioll Γ on yksinkertinen nollkoht pisteessä, joten nämä supistvt toisens j määritelmän 5.53 mukinen ζ on nlyyttinen myös pisteessä. Huomutuksen 5.5 nojll tämä uusi ζ-funktion määritelmä ljent joukoss H \ {} nnettu määritelmää 5.8. Luse 5.55 ζ-funktioll on yksinkertinen nollkoht pisteissä k, k N. Kikki muut nollkohdt ovt lueess A = {z < Re(z) < }. Lisäksi lueess A olevt nollkohdt sijitsevt symmetrisesti suorn l = {z Re(z) = } suhteen: z A on nollkoht jos j vin jos z on nollkoht. Määritelmä 5.56 Snotn, että luseen 5.55 lue A = {z < Re(z) < } on ζ-funktion kriittinen vyö. Tässä vyössä A olevt ζ:n nollkohdt ovt epätrivilej, muut eli pisteissä, 4, 6,... olevt nollkohdt ovt trivilej. Luseen 5.55 todistus. Määritelmän 5.53 mukn ζ(z) = π z ξ(z) Γ( z ) kikille z C \ {}. Kosk π z kikille z, niin ζ(z):n nollkohdt ovt joko ξ(z):n ti Γ( z ):n nollkohdiss. Γ :n nollkohdt ovt luseen 5.36 mukn pisteissä,,,..., joten funktion z Γ( z ) nollkohdt ovt pisteissä,, 4,... Nämä nollkohdt ovt huomutuksen 5.37 perusteell kikki yksinkertisi. Näistä kuitenkn piste 5
ei tuot ζ:n nollkoht, kosk siinä ξ:llä on luseen 5.5 nojll yksinkertinen np, jok kumo Γ :n yksinkertisen nollkohdn, kuten huomutuksess 5.54 todetn erityisesti tämä kumominen trkoitt sitä, että tähän pisteeseen ei synny sen enempää ζ:n np kuin nollkohtkn. Loput mhdollisist funktion Γ( z ) nollkohdist, 4,... eli pisteet k, k N ovt todell ζ:n nollkohti, kosk näissä pisteissä ξ(z) luseen 5.5 nojll. Lisäksi nämä nollkohdt ovt yksinkertisi, kosk ne ovt funktion z Γ( z ) yksinkertisi nollkohti kuten edellä todettiin. Muut mhdolliset ζ:n nollkohdt ovt siis ξ:n nollkohti, j ne sijitsevt kriittisessä vyössä A luseen 5.5 nojll. Pitää vielä todist näiden kriittisessä vyössä olevien nollkohtien symmetrinen sijinti suorn l = {z Re(z) = } suhteen. Tämä seur välittömästi siitä, että luseiden 5.3 j 5.35 nojll Γ( z ) kriittisessä vyössä A, joten ζ:n epätrivilit nollkohdt ovt täsmälleen funktion ξ vyössä A olevt nollkohdt. Nämä sijitsevt symmetrisesti suorn l suhteen, kosk koko funktio ξ on luseen 5.5 nojll symmetrinen tämän suorn suhteen. Huomutus 5.57 Luseen 5.57 todistuksest voidn luke, että ζ:n epätrivilit nollkohdt ovt myös ξ:n nollkohti. Lisäksi näillä nollkohdill on sm kertluku sekä ζ:n että ξ:n nollkohtin, mikä johtuu siitä, että ne eivät ole funktion Γ( z ) nollkohti, kuten myös luseen 5.57 todistuksest näkyy. Toislt 5.57:n todistuksest voidn luke myös se, että kikki ξ:n nollkohdt ovt myös ζ:n nollkohti. Lisäksi ne ovt nimenomn epätrivilej nollkohti luseen 5.5 perusteell. Yhteenveton: kikki ξ:n nollkohdt ovt ζ:n epätrivilej nollkohti j kääntäen. Lisäksi nollkohdn kertluku säilyy tulkitnp se ξ:n ti ζ:n nollkohdksi. 6 Wiener-Ikehrn luse Seurv luse on jtkoss keskeinen. Luse on todistukseltn vrsin vike j pitkä, joten tämä koko luku on nimetty sen mukn. Luse 6. (Wiener-Ikehr) Olkoon f : [, [ [, [ ksvv kuvus siten, että epäoleellinen Riemnn-integrli F(z) = f(t)e zt dt 6
suppenee kikille z H. Oletetn lisäksi, että on olemss voin joukko D C siten, että H D j nlyyttinen kuvus F : D \ {} C siten, että F H = F. Oletetn vielä, että funktioll F on yksinkertinen np pisteessä j että F:n residy pisteessä on. Tällöin pätee Todistus. Merkitään kikille lim e f() =. g() = e f(). Osoitetn ensin, että kikille λ > pätee lim u λu g(u t λ )sin t t dt = π. () Tässä väite () pitää sisällään myös sen väitteen, että siinä olevt integrlit λu g(u t t λ )sin t dt suppenevt kikille λ >. Kikkein ensimmäisenä pitää huomt, että kun t ],λu], niin u t λ, jolloin g(u t λ ) on määritelty j tässä suhteess väite () on järkevä. Kosk kikille z H pätee e (z )t dt = niin kikille z H sdn F(z) z = / (z ) e (z )t = z, f(t)e zt dt (f(t)e t )e (z )t dt = Määritellään kuvus G : D \ {} C settmll e (z )t dt = (g(t) )e (z )t dt. () G(z) = F(z) z kikille z D \ {}. Kosk puolitsoss H pätee F(z) = F(z), niin ehdon () nojll G(z) = F(z) z = F(z) z = (g(t) )e (z )t dt kikille z H. (3) 7
Kosk oletuksen mukn F:llä on yksinkertinen np pisteessä j residy siinä on, niin määrittelemällä G() = voidn G ljent koko D:ssä määritellyksi nlyyttiseksi kuvukseksi. Merkitään smll symbolill G myös tätä ljennettu kuvust. Määritellään edelleen kikille ǫ > j y R G ǫ (y) = G( + ǫ + iy). Kosk + ǫ + iy H, niin ehdon (3) nojll G ǫ (y) = G( + ǫ + iy) = (g(t) )e (ǫ+iy)t dt kikille z H. (4) Trkstelln seurvksi melko htust vetäistyn näköistä integrli (tässä λ, ǫ j u ovt mielivltisi idosti positiivisi vkioit) Huomtn ensin, että I(λ,u,ǫ) = λ λ G ǫ (t)( t λ )eiut dt. lim ǫ + I(λ,u,ǫ) = λ λ G( + it)( t λ )eiut dt. (5) Väite (5) seur luseest.5, jos osoitetn, että G ǫ (t) G( + it) tsisesti välillä [ λ,λ] kun ǫ +. Kosk G ǫ (t) = G( + ǫ + it), niin tämä väite tulee muotoon G( + ǫ + it) G( + it) tsisesti välillä [ λ,λ], kun ǫ +. (6) Kosk G on nlyyttinen lueess D [, + ǫ] [ λ,λ], niin sen (jtkuv) derivtt on rjoitettu kompktiss joukoss [, + ǫ] [ λ, λ]. Silloin väite (6) sdn siitä, että konveksiss joukoss nlyyttiselle kuvukselle h pätee (ks. [C, 5.8]) h(z) h(z ) = h (w)dw m{ h (w) w J} l(j) = m{ h (w) w J} z z, J missä J on pisteiden z j z välinen jntie. Näin väite (5) on perusteltu. Ehdon (4) nojll integrli I(λ,u,ǫ) voidn kirjoitt muotoon I(λ,u,ǫ) = λ λ (g(s) )e (ǫ+it)s ( t λ )eiut dsdt. (7) Fubinin luseen. j luseen.5 nojll kksoisintegrliss (7) voidn integroimisjärjestystä viht, mikäli epäoleelliset integrlit (g(s) )e (ǫ+it)s ( t λ )eiut ds = ( t λ )eiut 8 (g(s) )e (ǫ+it)s ds
suppenevt tsisesti t:n suhteen välillä [ λ, λ], mikä tässä trkoitt sitä, että kikille δ > on olemss M > siten, että t ( (g(s) )e (ǫ+it)s ds < δ kikille t [ λ,λ]. (8) λ )eiut M Kosk ( t λ )eiut pysyy rjoitettun kun t [ λ,λ], niin väite (8) seur, jos osoitetn, että kikille δ > on olemss M > siten, että M (g(s) )e (ǫ+it)s ds < δ kikille t [ λ,λ]. (9) Väite (9) seur, jos osoitetn, että kikille δ > on olemss M > siten, että M M Kosk e (ǫ+it)s = e ǫs, niin M g(s)e (ǫ+it)s ds < δ kikille t [ λ,λ] j () e (ǫ+it)s ds < δ kikille t [ λ,λ]. () e (ǫ+it)s ds M e ǫs ds = / M ǫ e ǫs = ǫ e ǫm, niin väite () on selvä, kosk ǫ >. Väitettä () vrten osoitetn ensin, että kikille v > (j relisille ) pätee lim f() =. () ev Kosk oletuksen (erityisesti f:n positiivisuuden j ksvvuuden) perusteell kikille w > j kikille > pätee joten F(w) = f() / f(t)e wt dt w e wt = f() e w w, f(t)e wt dt f()e wt dt = f() wf(w)e w kikille w >, >. (3) Väitettä () vrten kiinnitetään nyt v > j vlitn w siten, että < w < v. Tällöin ehdon (3) nojll j väite () seur. f() e v wf(w)e(w v), kun, 9
Tällöin seur myös väite (), sillä ehdon () nojll voidn vlit M > siten, että f(s) e δ kun s M. Tälle M sdn g:n määritelmän mukn rvio ǫs M joten väite () pätee. g(s)e (ǫ+it)s ds = M e s f(s)e ǫs ds = M δe s < δ, Näin on osoitettu, että integrliss (7) voidn integroimisjärjestystä viht, joten sdn I(λ,u,ǫ) = λ λ (g(s) )e ǫs λ λ Ehdon (4) sisempi integrli voidn lske. λ λ / λ λ λ eit(u s) ( t λ )dt i) = i(u s) eit(u s) ( t λ λ λ λ λ (g(s) )e (ǫ+it)s ( t λ )eiut dtds = eit(u s) ( t )dtds. (4) λ λ λ ) λ i(u s) eit(u s) d( t λ ) = i(u s) eit(u s) d( t λ ) i(u s) eit(u s) dt + λ e it(u s) e it(u s) λ i(u s) / λ λ(u s) cos(u s)t = sin (λ(u s)) λ(u s), dt iii) = λ i(u s) eit(u s) d( t λ ) = λ λ λ i(u s) eit(u s) d( t λ ) = i(u s) eit(u s) dt ii) = sin(u s)t dt = u s iv) ( cos(λ(u s)) = λ(u s) missä yhtälö i) on osittisintegrointi, yhtälössä ii) tehdään integrliin λ muuttujnvihto t t, yhtälö iii) perustuu tunnettuun kvn sin = i (ei e i ) j yhtälö iv) kvn cos = sin. Esitetyn lskun perusteell integrli (4) tulee muotoon I(λ,u,ǫ) = (g(s) )e ǫs sin (λ(u s)) λ(u s) ds. (5)
Merkitään I (λ,u,ǫ) = I (λ,u,ǫ) = jolloin ehdon (5) mukn Kosk integrlit g(s)e ǫs sin (λ(u s)) λ(u s) ds j e ǫs sin (λ(u s)) λ(u s) ds, I(λ,u,ǫ) = I (λ,u,ǫ) I (λ,u,ǫ). (6) e ǫs sin (λ(u s)) λ(u s) ds suppenevt kikille ǫ j integroitv funktio on positiivinen, niin luseen.7 nojll nähdään, että lim I (λ,u,ǫ) = lim e ǫs sin (λ(u s)) ǫ + ǫ + λ(u s) ds = Ehtojen (5), (6) j (7) nojll myös sin (λ(u s)) λ(u s) ds. (7) relinen rj-rvo lim ǫ + I (λ,u,ǫ) on olemss. (8) Kosk f on oletuksen mukn positiivinen, niin määritelmänsä nojll myös g on positiivinen, joten integrleiss I (λ,u,ǫ) integroitvt funktiot ksvvt, kun ǫ +. Silloin ehdon (8) nojll voidn sovelt tällä kert lusett.8 j sdn lim I (λ,u,ǫ) = ǫ + lim g(s)e ǫs sin (λ(u s)) ǫ + λ(u s) ds = g(s) sin (λ(u s)) λ(u s) ds. (9) Erityisesti luseen.8 nojll ehdoss (9) integrli g(s) sin (λ(u s)) λ(u s) ds suppenee. () Kun ehdon () integrliin tehdään muuttujnvihto t = λ(u s), niin nähdään, että λu g(u t t λ )sin t dt suppenee. () Tämä pätee kikille λ,u >, joten väitteen () yhteydessä esitetty suppenemisongelm on rtkistu.
Ehtoj (5), (6), (7) j (9) käyttämällä sdn yhtälö λ λ G( + it)( t λ )eiut dt = () g(s) sin (λ(u s)) λ(u s) ds sin (λ(u s)) λ(u s) ds. Yhtälö () pätee kikille u >. Kun u, konvergoi yhtälön () vsen puoli Riemnn-Lebesguen lemmn (luse 3.7) nojll nolln, joten sdn ( lim u g(s) sin (λ(u s)) λ(u s) ds Muuttujnvihdoll t = λ(u s) nähdään, että lim u sin ) (λ(u s)) λ(u s) ds =. (3) sin (λ(u s)) λu sin t sin t λ(u s) ds = lim u t dt = t dt = i) π, (4) missä yhtälö i) on kompleksinlyysin hrjoitustehtävä; lsku löytyy lähteestä [C, teht. 4.5]. Ehtojen (3) j (4) nojll lim u g(s) sin (λ(u s)) λ(u s) ds = π. Tehdään tähänkin muuttujnvihto t = λ(u s), jolloin sdn lim u λu eli väite () on lopultkin todistettu. g(u t λ )sin t t dt = π, Lähdetään sitten todistmn luseen vrsinist väitettä lim e f() =, jok funktion g määritelmän mukisesti voidn kirjoitt muotoon Väite (5) seur, jos osoitetn, että lim g() =. (5) lim sup g() j (6) lim inf g(). (7) Todistetn ensin väite (6). Olkoot tätä vrten, λ > mielivltisi. Kikille u λ pätee g(u t λ )sin t t dt i) λu g(u t λ )sin t t dt, (8)
missä epäyhtälö i) seur siitä, että g(u t t λ )sin t kikille t. Ehtojen () j (8) nojll lim sup u λu lim sup u g(u t t λ )sin t dt g(u t λ )sin t t dt = π kikille,λ >. (9) Kosk oletuksen mukn f(t) = e t g(t) on ksvv välillä [, [, niin funktio t e u t λ g(u t λ ) on vähenevä välillä ],λu]. Tällöin e u λ g(u λ ) eu t λ g(u t λ ) kikille t [,] kun u λ. Tämän j g:n positiivisuuden perusteell g(u λ ) e t t λ g(u λ ) e t λ g(u λ ) kikille t [,] kun u λ, jost edelleen e λ g(u λ ) g(u t λ ) kikille t [,] kun u λ. (3) Ehtojen (9) j (3) nojll sdn ( lim sup e λ g(u u λ ) ( e λ sin ) t t dt π kikille,λ > sin ) t t dt lim sup g(u ) π kikille,λ >. (3) u λ Kiinteille,λ > pätee lim sup u g(u λ ) = lim sup u g(u), jolloin ehdon (3) mukn ( e λ sin ) t t dt lim sup g(u) π kikille,λ >. (3) u Vlitn ehdoss (3) j λ siten, että,λ j λ (tämähän on selvästi mhdollist monell eri tvll), jolloin sdn rvio Kun muistetn, että niin väite (6) seur. ( sin ) t t dt lim sup g(u) π. (33) u sin t t dt = π, eli 3
Väitettä (7) vrten huomtn ensin, että g on rjoitettu. Tämä johtuu siitä, että ehdon (6) nojll on olemss M > siten, että g() kun M. Toislt välillä [,M] on f:n ksvvuuden j positiivisuuden nojll g() = e f() f(m), joten g() m{f(m),} kikille [, [. Merkitään C = m{f(m),}, jolloin siis g() C kikille [, [. (34) Olkoot ts, λ > mielivltisi. Smoin perustein kuin ehto (3) ( ) sdn myös ehto Kikille u λ pätee g(u t λ ) e λ g(u + λ ) kikille t [,] kun u λ. (35) λu g(u t λ )sin t t dt i) C sin t t dt + C sin t t dt + e λ g(u + λ ) g(u t t λ )sin t dt + sin t t dt + C sin t t dt ii) C sin t t dt, (36) missä epäyhtälö i) sdn ehdost (34) j epäyhtälö ii) ehdost (35). Ehtojen () j (36) nojll π C sin t t dt + e λ lim inf u g(u + λ ) C sin t t dt+ (37) sin t t dt. Kiinteille,λ > pätee lim inf u g(u + λ ) = lim inf u g(u), jolloin ehdon (36) mukn π C sin t t dt + C sin t t dt + e λ lim inf g(u) sin t u t dt. (38) Ehto (38) pätee kikille,λ >. Vlitn siinä (kuten edellä ehdon (3) yhteydessä) j λ siten, että,λ j λ, jolloin sdn rvio π + lim inf u g(u) sin t t dt + = lim inf g(u) π. u Väite (7) seur tästä. Näin koko luse on todistettu. 4
7 Alkulukuluseen ensimmäinen todistus Wiener-Ikehrn luseen vull voidn melko helposti todist lkulukuluse; tämä todistus on tämän lyhyen luvun sisältö. Luse 7. (Alkulukuluse) π() log. Todistus. Luseen 4.3 nojll riittää osoitt, että ψ(), () missä ψ on Tšhebyšhevin funktio. Trkstelln funktiot Ψ(z) = ζ (z) zζ(z). Huomutuksen 5.54 nojll Ψ on nlyyttinen voimess joukoss D = {z C z, j ζ(z) }. Luseen 5.55 nojll D sisältää suljetun puolitson H pois lukien pisteen. Luseen 5.5 nojll voimess puolitsoss H pätee ψ(t) Ψ(z) = dt, tz+ jok yhtälö muuttujnvihdoll s = log t sdn muotoon Osoitetn, että Ψ(z) = ψ(e s )e zs ds. () funktioll Ψ on pisteessä yksinkertinen np residyllä. (3) Tämä seur melko suorn siitä, että ζ-funktioll on luseen 5.3 mukn yksinkertinen np pisteessä. Tällöin siis pisteen punkteertuss ympäristössä U \ {} pätee ζ(z) = h(z) () z jollekin koko ympäristössä U nlyyttiselle h, jolle h(z) kikille z U. Derivoimll yhtälö () sdn Tämän perusteell ζ (z) = h (z)(z ) h(z) (z ) kikille z U \ {}. Ψ(z) = h (z)(z ) h(z) (z ) zh(z) z = h (z)(z ) h(z) z(z )h(z) = h (z) zh(z) + z(z ). 5
Tässä funktio h (z) zh(z) on nlyyttinen koko U:ss j trivilisti funktioll z(z ) on pisteessä yksinkertinen np residyllä, joten väite (3) seur. Nyt ehtojen (3) j () (sekä joukko D koskevien huomioiden) nojll Wiener- Ikehrn luseen oletukset ovt kunnoss funktiolle f() = ψ(e ), jok trivilisti on ksvv. Tällöin kyseinen luse kertoo, että lim e f() = eli f() = eli lim lim e ψ(e ) = eli e ψ() lim = eli ψ(). 8 Alkulukuluseen trkennus, ζ-funktion nollkohtien sijinti j Riemnnin hypoteesi Alkulukuluse j ζ-funktion nollkohdt ovt läheisessä yhteydessä keskenään. Alkulukuluseen esitetyssä todistuksess (luse 7.) oli ivn oleellist, että ζ- funktioll ei ole nollkohti suljetuss puolitsoss H. Tämä voidn todist myös kääntäen: jos lkulukuluse pätee, niin ζ-funktioll ei ole nollkohti suljetuss puolitsoss H. Jätetään todistus hrjoitustehtäväksi. Tämä ei suinkn ole ino lkululusett j ζ-funktion nollkohti yhdistävä ilmiö. Tässä luvuss trkstelln lähemmin tätä melko hämmästyttävää yhteyttä lkulukuluseen j Riemnnin ζ-funktion nollkohtien sijinnin välillä. Aloitetn näistä nollkohdist. Luseen 5.55 j määritelmän 5.57 mukn ζ- funktioll on trivilit nollkohdt pisteissä k, k N j kikki muut eli epätrivilit nollkohdt sijitsevt kriittisessä vyössä {z C < Re(z) < }. Lusess 8.5 nähdään, että epätrivilit nollkohdt sijitsevt symmetrisesti relikselin sekä suorn l = {z Re(z) = } suhteen. Kuuluis Riemnnin hypoteesi snoo, että kikki epätrivilit nollkohdt sijitsevt kriittisellä suorll l = {z C Re(z) = }. Tämä on hyvin kuuluis väite ti olettmus, eikä sitä ole onnistuttu ikmoisist ponnisteluist huolimtt todistmn. Näitä epätrivilej nollkohti on löydetty erilisten lskelmien vull lukuisi itse siss on osoitettu, että nollkohti on ääretön määrä, mutt kikki löydetyt ovt tällä kriittisellä suorll, joten mitään ei ole todistettu puoleen eikä toiseen. 6
Tässä on minio tilisuus päästä kuuluisksi: todist, että Riemnnin hypoteesi pätee ti kehitä joku epätrivili nollkoht, jok ei ole suorll l. Nollkohtiin pltn trkemmin tuonnempn, mutt esitetään ensin lkulukuluseelle vihtoehtoinen, ekvivlentti muotoilu. Otetn ensin käyttöön ts uusi merkintä. Merkintä 8. Merkitään kikille Li() = log t dt. Tämä on stndrdimerkintä, j snotn, että Li on logritminen integrli. Luse 8. Alkulukuluse on yhtäpitävää ehdon knss. π() Li() = o( log ) () Todistus. Osoitetn ensin, että log t dt = o( ). () log Väite () sdn rviost log + log t dt = log t dt + log t dt log dt + log dt log = O( ) + 4 log log = o( log ) + o( log ) = o( log ). Seurvksi osoitetn, että Li() log. (3) Tämä sdn lskemll (tässä C on vkio) Li() = / log t dt = i) log + C + o( log ) log t t log, t d( log t ) ii) = log + C + log t dt iii) = missä yhtälö i) seur osittisintegrointiluseest.7, yhtälö ii) luseest.9 j yhtälö iii) ehdost (). Nyt olln vlmiit todistmn vrsininen väite. 7
Jos oletetn, että lkulukuluse pätee eli niin π() ( π() Li() lim = lim log π() lim lim log Li() log missä yhtälö i) seur ehdoist (4) j (3). Ehto () seur ehdost (5). log, (4) π() log i) = =, Jos kääntäen oletetn, että ehto () pätee, niin π() lim = lim log π() Li() log ) Li() log = (5) Li() i) + lim = + =, log joten lkulukuluse seur. Tässä yhtälö i) sdn ehdoist () j (3). Luse 8.3 π() Li() log. Todistus. Kosk lkulukuluse pätee (kuten on todistettu), niin luseen 8. todistuksen ehto (4) pätee. Toislt pätee myös kyseisen todistuksen ehto (3). Silloin väite seur reltion trnsitiivisuudest. Kosk lkulukuluse pätee, niin luseen 8. mukn Li() pproksimoi luku π() jollkin trkkuudell. Tässä pproksimoinniss syntyvä bsoluuttinen virhe on siis π() log t dt. Luseen 8. mukn bsoluuttinen virhe on muoto o( log ). Kosk tässä log ksv :n ksvess, puhutn usein suhteellisest virheestä, joll trkoitetn erotust π() Li(). Toisin kuin bsoluuttinen virhe, suhteellinen virhe pienenee :n ksvess: Luse 8.4 Suhteelliselle virheelle pätee π() Li() = o(). 8
Todistus. π() Li() = o() π() lim Li() = π() Li() lim = Li() π() Li() log lim log Li() = i) =, joten väite pätee. Tässä ekvivlenssi i) seur luseest 8., lkulukuluseest j luseest 8.3. Luseen 8.4 mukn suhteellinen virhe lähestyy noll :n ksvess. Nyt voidn kysyä, voidnko tätä suhteellisen virhervion nolln konvergointi nopeutt. Vstus on, että kyllä voidn. On osoitettu, että ( ) π() Li() = O sopivlle positiiviselle vkiolle C. () e C log Tämän rvion todisti de l Vllée Poussin vuonn 896. Todistus ei ole kovin vike, mutt sivuutetn se tässä, ks. esim. [E, ss. 8-84]. Jätetään hrjoitustehtäväksi osoitt, että rvio () on todellkin prempi kuin luseen 8.4 ntm virhervio. Hyvin kiinnostvksi osoittutuu kysymys virherviost π() Li() = O( ) jollekin β R. On selvää, että jos tämä pätee jollekin β, β niin se pätee myös β: pienemmille eksponenteille. Kosk rvio (suorn lkulukuluseen nojll) pätee, kun β =, niin se pätee kikille negtiivisille β j voidn kysyä, päteekö π() Li() = O( ) jollekin β >. () β Arviot () ei kuitenkn ole todistettu oikeksi (eikä vääräksi). Jätetään hrjoitustehtäväksi osoitt, että rvio () on (ti premminkin olisi, jos se vrmsti pätisi) trkempi kuin rvio () (j siten myös trkempi kuin luseen 8.4 ntm rvio). Nyt tulln sitten suhteellisen virhervion π() Li() j Riemnnin ζ-funktion nollkohtien väliseen yhteyteen. Seurv luse on ensimmäinen hvinto. Luse 8.5 Olkoon < α < 4. Oletetn, että suhteelliselle virheelle pätee ( ) π() Li() = O. α 9
Tällöin ζ-funktion epätrivilit nollkohdt ovt vyössä {z C α Re(z) + α}. Huomutus. Luse 8.5 on hyvin spekultiivinen: ei tiedetä, päteekö virheelle nnettu rvio, eikä myöskään tiedetä, päteekö nollkohtien sijinti koskev väite. Todistus. Osoitetn ensin, että kikille c j kikille c pätee = log Li() missä C on :stä riippumton vkio. c Li(t) dt + C, () t Väite () sdn lskemll: Li(t) log Li() dt = i) log t d Li(t) + log c Li(c) ii) = c t c log t log t dt + C = dt + C = + C, c c joten väite () pätee. Tässä yhtälö i) tulee osittisintegrointikvst j yhtälö ii) luseest.9, kosk funktion Li määritelmän perusteell sen derivtt pisteessä t on t. Osoitetn sitten, että kikille c j kikille c pätee ϑ() = c log t dπ + C () missä ϑ on Tšhebyšhevin funktio j tässäkin C on :stä riippumton vkio. Jos määritellään lukuteoreettinen funktio g settmll { kun n on lkuluku g(n) = muuten, niin π on g:n summfunktio eli π() = n g(n). Tällöin log t dπ = i) c c n log n g(n) = n log n g(n) n<c log n g(n) ii) = ϑ() C, eli väite () pätee. Tässä yhtälö i) tulee luseest.33 j logritmin jtkuvuudest. Yhtälö ii) on ϑ-funktion määritelmä. Ehdoist () j () sdn kikille 3
c j kikille c Li(t) ϑ() = log t dπ log Li() + dt + C = i) (3) c c t / π(t) Li(t) c log t π(t) dt log Li() + dt + C = c t c t π(t) Li(t) log (π() Li()) dt + C, t c missä yhtälö i) sdn osittisintegroimll käyttäen lusett.9. Oletuksen j luseen 8.3 nojll pätee suurille π() Li() = π() Li() Li() log log C log +α C log +α (4) C jollekin vkiolle C. Kosk ehdoss (4) log, kun, niin on olemss c > siten, että π() Li() +α kikille c. (5) Yhdistämällä ehdot (3) j (5) sdn rvio Kosk ϑ() log +α + c t +α dt + C = (6) / log +α + c + +α + C = log +α + C +α + C αt kikille c joillekin :stä riippumttomille vkioille C,C. niin rvion (6) perusteell log +α + C +α + C + 3 α suurille, ϑ() + 3 α suurille. (7) Olkoon ψ (toinen) Tšhebyšhevin funktio. Suorn määritelmien nojll pätee ϑ() ψ() kikille. (8) Merkitsemällä m = log log nähtiin luseen [Lt, 8.9] todistuksen kohdss (3), että ψ() = ϑ() + ϑ( ) +... + ϑ( m ), j silloin funktion ϑ ksvvuuden nojll ψ() = ϑ() + (m )ϑ( ) ϑ() + log log ϑ( ). (9) 3
Luseen [Lt, 8.9] todistuksen kohdss (4) nähtiin, että joten Tällöin ehdon (9) nojll Nyt sdn rvio ϑ( ) log( ) = log, ϑ( ) + α suurille. ψ() ϑ() + +α suurille. () ψ() ψ() ϑ() + ϑ() i) +α + + 3 α +α suurille, () missä epäyhtälö i) tulee ehdoist () j (7). Puolitsoss H pätee luseen 5.5 mukn Puolitsoss H pätee myös ζ (z) ζ(z) = z / t z dt = z + t z+ = i) = z t z dt t z dt, z t z dt = z = + z t z dt, ψ(t) dt. () tz+ z + =, joten (3) z jost edelleen j tästä ehdon (3) nojll t dt. (4) tz+ Tässä yhtälö i) perustuu siihen, että Re( z + ) <, kosk z H. Vähentämällä yhtälöt () j (4) toisistn sdn esitys ζ (z) ζ() z = + z t z+ (ψ(t) t)dt kikille z H. (5) Ehdon (5) integrliss t (ψ(t) t)dt pätee ehdon () nojll z+ (ψ(t) t) tz+ t t Re(z)+ +α, (6) joten integrli suppenee kikille z, joille pätee + α Re(z) < eli + α < Re(z). 3
Osoitetn seurvksi, että funktio g(z) = + z t z+ (ψ(t) t)dt on nlyyttinen puolitsoss H +α. (7) Tämä voidn tehdä smnlisell rgumentill kuin lemmn 5.5 todistus. Määritellään ensin funktiot g m (z) = m (ψ(t) t)dt tz+ j todetn, että nämä ovt luseen [C, 6.3] nojll nlyyttisiä koko tsoss. Tässä on lievä ongelm (jot lemmss 5.5 ei ole), kosk ψ ei ole jtkuv, mutt ongelm poistuu, kun jetn integroimisväli kokonislukujotuksell osiin; tällisill väleillähän ψ on vkio pitsi ehkä välin loppupisteessä. Tämä yksittäinen hyppäyspiste voidn integroitess unoht eli määritellä ψ siinä pisteessä jtkuvksi tämä ei vikut Riemnn-integrlin rvoon. Tämän jälkeen luse [C, 6.3] toimii näillä osväleillä j kiinteälle m funktio g m on nlyyttinen nlyyttisten funktioiden äärellisenä summn. Tämän jälkeen riittää todet, että g m g loklisti tsisesti puolitsoss H +α. Tähän riittää osoitt, että suppeneminen on tsist puolitsoss H, kun > + α. Kun z H, niin ehdon (6) nojll sdn rvio (joss merkitään b := + + α < ) M M (ψ(t) t)dt tz+ dt M t t Re(z)+ +α dt M t b dt = b + Mb+, kun M, j tsinen suppeneminen seur, joten väite (7) on todistettu. Luseen 5.3 nojll funktio ζ (z) ζ(z) z t + t +α dt on myös nlyyttinen puolitsoss H +α pois lukien funktion ζ mhdolliset nollkohdt tässä lueess. Huom, että ζ:n nppisteessä z = funktioll ζ (z) ζ(z) z on poistuv erikoispiste. Merkitään N = {z H +α ζ(z) = }. Kosk yhtälö (5) pätee puolitsoss H, niin nlyyttisen jtkmisen peritteen nojll se pätee myös voimess j yhtenäisessä joukoss H +α \ N eli ζ (z) ζ(z) z = + z t z+ (ψ(t) t)dt kikille z H +α \ N. (8) 33
Joukon N jokisess pisteessä funktioll ζ ζ on yksinkertinen np. Tämä on yleisempi ilmiö: jos nlyyttisellä funktioll f on nollkoht kertluku n, niin derivtll on tässä pisteessä nollkoht kertluku n, jolloin osmäärällä f f on np kertluku. Toislt N:n pisteet ovt eristettyjä, joten jokiselle N:n pisteelle w voidn vlit ympäristö B(w, ǫ) siten, että B(w, ǫ) \ {w} H +α \ N. Tällöin ehdon (8) nojll ζ (z) ζ(z) z = + z (ψ(t) t)dt kikille z B(w,ǫ). (9) tz+ Tämä on mhdotont, kosk yhtälön (9) vsemmn puolen funktioll on np pisteessä w j yhtälön oike puoli on nlyyttinen koko kiekoss B(w,ǫ). Siten joukoss N ei voi oll pisteitä linkn, joten kikki epätrivilit ζ:n nollkohdt ovt joukoss {z C Re(z) + α}. Tällöin, kosk epätrivilit nollkohdt sijitsevt luseen 5.55 nojll symmetrisesti suorn {z C Re(z) = } suhteen, kikki nämä nollkohdt ovt lueess {z C α Re(z) + α} j väite on todistettu. Seurv lusett ei todistet. Todistus on melko monimutkinen j löytyy teoksest [E, ss. 5-54]. Tässä luseess nnetn yhteys kikkien ζ-funktion epätrivilien nollkohtien j Tšhebyšhevin funktion ψ välille. Tulos tunnetn nimellä von Mngoldtin kv. Luse 8.6 Olkoon N kikkien ζ-funktion epätrivilien nollkohtien joukko. Tällöin kikille > pätee ψ() = ρ N ρ ρ + n n ζ () ζ(). n N Todistuksest. Tässä ei mennä yksityiskohtiin, vn esitetään jonkinlinen yleinen perite, mistä tämä melko omituisen näköinen tulos seur. Kiinnitetään >. Määritellään (kiinteästä pisteestä riippuv) nlyyttinen funktio F settmll F(z) = ζ (z) πi ζ(z) z z. Vlitn jokin > j integroidn funktio F pitkin vertiklist suor l = { + is < s < }. On melko helppo nähdä lusett 5.5 käyttäen, että F(z)dz = ψ(). () l 34
Toislt integrointi voidn suoritt myös niin, että integroidn ensin pitkin suorkidetietä, jonk kärjet ovt pisteissä +im, M +im, M im, im j nnetn sitten M. M pitää tässä vlit niin, että tielle ei stu F:n npoj itse siss M:n vlinnss pitää huolehti siitä, että ei mennä edes kovin lähelle npoj; tämä onnistuu lusett 8.8 sovelten. Silloin käy niin, että ehdon () nojll suorkiteen oikenpuoleisen pystysivun yli otettu integrli lähestyy luku ψ(), mutt muitten sivujen yli otettujen integrlien summ pinuu nolln. Residyluse kertoo, että kiinteälle M suorkiteen yli otettu integrli sdn summn suorkiteen sisällä olevien F:n npojen residyistä, j kun M ksv, niin ψ() sdn kikkien puolitsoss {z C Re(z) < } olevien npojen residyistä. F:n tässä puolitsoss olevt nvt ovt trklleen ζ:n nollkohdt sekä pisteet z = j z =. Epätrivilit ζ:n nollkohdt tuottvt summn ρ N ρ ρ, trivilit ζ:n nollkohdt tuottvt summn n N n n, piste z = tuott luvun ζ () ζ() j piste z = tuott luvun. Siinähän se sitten onkin. Oikesti todistus on pljon vikempi, mutt ehkä tuost näkyy premmin se, miten nämä nollkohdt sdn peliin, j mistä väitteen ihmeellinen summ oikestn syntyy. Myös seurv luse jätetään todistmtt, todistus löytyy lähteestä [E, ss. 7-74]. Luse 8.7 Tšhebyšhevin funktiolle ψ pätee ψ(t)dt = ρ N ρ+ ρ(ρ + ) n N n+ n(n ) ζ () ζ() ζ ( ) ζ( ). Todistuksest. Voisi jtell, että luse 8.7 seurisi luseest 8.6 kylmästi integroimll luseen 8.6 esitys. Näinhän lopputulos melkein onkin, mutt ei ivn. Tässä on ongelmn se, että ψ on epäjtkuv funktio, jonk epäjtkuvuuskohdt ovt hyppäyksiä, j tällinen funktio ei voi oll minkään funktion derivtt, joten ψ:llä ei primitiiviä ole. Tämä konkretisoituu, jos hlu integroid luseen 8.6 esityksen summi: ei niitä noin vin termeittäin integroid. Oike todistus tälle tulokselle on itse siss hyvin smnkltinen kuin luseen 8.6 todistus. Tässä käytetään funktion F semst sen primitiiviä eli funktiot Tälle pätee G(z) = ζ (z) πi ζ(z) z+ z(z + ). l G(z)dz = ψ(t)dt. G:lle syntyy F:n npojen lisäksi np myös pisteeseen z =, jok tuott termin ζ ( ) ζ( ). Muiss pisteissä eli F:n nvoiss tphtuu residyissä lievää muutost luseen 8.6 todistukseen verrttun, mikä johtuu tietysti siitä, että G on eri funktio kuin F. 35
Seurvn luseeseen 8.8 viitttiin edellä, mutt sitä trvitn myös luseen 8.9 todistuksess. Tämä luse 8.8 seur luseest., jonk todistus on vrsin monimutkinen j se esitetään iknn eli myöhemmin tosin luse 8.8 sdn trkkn otten seurusluseest.3. Lusett 8.8 ei todistet vielä tässä. Nyt pitää tietysti sitten oll trkkn, että lusett 8.9 (ti lusett 8.8 ti näiden seuruksi) ei käytetä millään tvll hyväksi luseen.8 todistuksess. Toki on huomttv, että luseen 8.9 todistuksess käytetään myös todistmtont lusett 8.7. Luse 8.8 Olkoon N ζ-funktion epätrivilien nollkohtien joukko. Merkitään kikille M > N M = {z N M Im(z) M + }. Tällöin pätee #N M = O(log M). Kosk lkulukuluse todistetusti pätee, niin luseen 4.3 mukn ψ() eli ψ() lim =. Nyt sdn todistettu tähän symptoottiseen ehtoon ψ() liittyvä suhteellinen virhervio (vrt. luse 8.4) jos sdn. Tässä on erittäin tärkeää huomt, että luseess oletetn Riemnnin hypoteesin pätevän; j tämän pätemisestähän ei ole mitään tieto. Luse 8.9 Oletetn, että Riemnnin hypoteesi pätee. Tällöin symptoottisen rvion ψ() suhteelliselle virheelle ψ() pätee ( ψ() log ) = O. Todistus. Olkoon > mielivltinen. Arvioidn ensin rvo ψ() ylhäältä. ψ() i) + ψ(t)dt = + ψ(t)dt ψ(t)dt ii) = () 36
( + ) ( + ) ρ+ ( + ) n+ ζ () ρ(ρ + ) n(n ) ζ() ( + ) ζ ( ) ζ( ) ρ N n N ρ+ ρ(ρ + ) n+ n(n ) ζ () ζ() ζ ( ) ζ( ) ρ N n N ( + ) + ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) + ρ N ( + ) n+ n(n ) + n+ n(n ) + ζ () ζ() n N n N + ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) + C, ρ N missä C on :stä riippumton vkio. Tässä epäyhtälö i) tulee yksinkertisesti siitä, että ψ on ksvv j yhtälö ii) sdn luseest 8.7. Luseen 8.8 nojll on olemss M > e + j vkio C siten, että joukoss {z C m Im(z) m + } olevien ζ-funktion nollkohtien lukumäärä on korkeintn C log m kikille m M, ts. #{z N m Im(z) m + } C log m kikille m M. () Olkoon nyt > M kiinteä. Kosk oletuksen mukn Riemnnin hypoteesi pätee(!), niin ζ-funktion epätrivilit nollkohdt ovt kikki kriittisellä suorll l = {z C Re(z) = }, j nollkohtien joukko N voidn jk kolmeen pistevierseen osn N = {ρ N ρ = + iυ, υ M}, N = {ρ N ρ = + iυ, M < υ } j N 3 = {ρ N ρ = + iυ, < υ }. Tällöin ehdon () summ voidn kirjoitt muotoon ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) = ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) + (3) ρ N ρ N ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) + ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ). ρ N ρ N 3 Näitä ossummi ρ N j voidn rvioid. Ensin huomtn, että kosk nlyyttisen funktion ζ nollkohdill ei voi oll ksutumispistettä, joukko N 37
on äärellinen. Lisäksi oletuksen mukn Riemnnin hypoteesi pätee, joten kikki N :n pisteet ovt kriittisellä suorll, j siten ρ kikille ρ N. Silloin sdn ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) = + ρ t ρ dt + t ρ dt = ρ N ρ N + t Re(ρ) dt = ρ N ρ N + t dt ρ N ( + ) dt #N () = C3, (4) ρ N missä C 3 on :stä riippumton vkio. Summn ρ N rviointi vrten jetn vielä N osiin vlitsemll ensin k siten, että M + k < M + k + j sitten setetn N j = {ρ N ρ = + iυ, M + j < υ M + j +, j =,...,k}. Tällöin sdn ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) = ρ ρ N ρ N ρ + ρ () = ρ N C C ρ N t Re(ρ) dt = ρ N ρ k j= ρ N j k log(m + j) M + j j= M log t t + + ρ = ii) C t ρ dt ρ ρ N + t dt ρ N ρ ( + ) k j= k j= #N j M+j M+j M + j i) log t dt t t ρ dt = / log t dt = C C 4 log, (5) M missä C 4 on :stä riippumton vkio. Tässä epäyhtälö i) tulee ehdost () j epäyhtälö ii) funktion log t t vähenevyydestä välillä [e, [. (Tätä vrten vlittiin M > e +.) Lopuksi rvioidn vielä summ ρ N 3. Tätä vrten jetn myös N 3 osiin merkitsemällä kikille j N N j 3 = {ρ N 3 ρ = + iυ, + j < υ + j}. 38
Tällöin sdn ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) ( + )ρ+ + ρ+ = ρ(ρ + ) ρ N 3 ρ N 3 ( + )Re(ρ+) + Re(ρ+) i) = 3 ( + ) + 3 ρ(ρ + ) ρ(ρ + ) ρ N 3 ρ N 3 ρ N 3 () 3 ii) () 3 ρ(ρ + ) ( + j ) #N j 3 j N j N j N ρ N j 3 ρ N j 3 () 3 C log( + j ) ( + j ) = C () 3 j N C () 3 C () 3 C 4() 3 j= log log( + j) ( + j) C () 3 log t t dt = C () 3 j= / +j +j j N log t t 3 () ρ(ρ + ) = () 3 iii) ( + j ) log( + j ) ( + j ) log t t dt = C () 3 log( ) + = C 5 log, (6) missä C 5 on :stä riippumton vkio. Tässä yhtälö i) tulee siitä, että nollkohdt ρ ovt Riemnnin hypoteesin nojll kriittisellä suorll, yhtälö ii) sdn siitä, että joukon N j 3 nollkohdille ρ pätee ρ + > ρ > Im(ρ) + j j epäyhtälö iii) seur luseest 8.8. Yhdistämällä ehdot (3), (4), (5) j (6) sdn rvio ( + ) ρ+ ρ+ ρ(ρ + ) (7) ρ N C 3 + C4 (log ) + C 5 log C6 log, missä C 6 on :stä riippumton vkio j > M. Ehtojen () j (7) nojll sdn ylärvio ψ() + C 6 log + C kun > M. (8) Vstvll tvll sdn ehdon (8) sijst l-rvio. Ehdoss () sdn ψ() ψ(t)dt ρ ( ) ρ+ ρ(ρ + ) + C 7 (9) ρ N jollekin vkiolle C 7. Ehdoss (4) sdn ρ+ ( ) ρ+ ρ(ρ + ) C 8 () ρ N 39
jollekin vkiolle C 8, ehdoss (5) sdn ρ+ ( ) ρ+ ρ(ρ + ) C 9 log () ρ N jollekin vkiolle C 9 j ehdoss (6) sdn ρ+ ( ) ρ+ ρ(ρ + ) C log () ρ N 3 jollekin vkiolle C. Yhdistämällä rviot (9), (), () j () sdn ehdon (8) vstkppleeksi l-rvio jolloin ψ() C log + C 7 kun > M, ψ() C log + C 3 kun > M, (3) missä C j C 3 ovt :stä riippumttomi vkioit. Ehtojen (8) j (3) nojll jolloin väite seur. ψ() = ψ() C log + C 3 C 4 log = C 4 log suurille, Huomutuksen 4.33 mukn pätee ϑ() myös toiselle Tšhebyšhevin funktiolle ϑ. Luseen 8.9 vstine ϑ:lle pätee myös: Luse 8. Oletetn, että Riemnnin hypoteesi pätee. Tällöin symptoottisen rvion ϑ() suhteelliselle virheelle ϑ() pätee ( ϑ() log ) = O. Todistus. Kosk ϑ() j luseen 8.9 nojll ψ() ϑ() ψ() = = O ϑ() ψ() + ψ() ( log ), niin riittää osoitt, että ( log ) = O ϑ() ψ() = O( log ). () Luseen 8.5 todistuksen kohdiss (8) j (9) nähtiin, että eli ϑ() ψ() ϑ() + log log ϑ( ), 4
joten ϑ() ψ() log log ϑ( ), j silloin väite () seur, jos osoitetn, että log log ϑ( ) = O( log ). () Itse siss sdn väitettä () kovempikin ehto eli log log ϑ( ) = o( log ), sillä log log lim ϑ( ( ) log = log lim log ϑ( ) ) i) = log =, missä yhtälö i) seur lkulukuluseest j huomutuksest 4.33. Luseen 8.3 mukn pätee symptoottinen rvio π() Li(). Luseen 8. vull tämän rvion suhteelliselle virheelle sdn (spekultiivisesti) seurv (vert luseeseen 8.4; huom myös, että tämä virhervio on prempi kuin luseiss 8.9 j 8.): Luse 8. Oletetn, että Riemnnin hypoteesi pätee. Tällöin symptoottisen rvion π() Li() suhteelliselle virheelle π() Li() pätee ( ) π() log Li() = O. Todistus. Luseen 8. nojll on olemss vkio C siten, että kikille > pätee ϑ() C log Luseen 4.8 nojll kikille pätee j kosk määritelmän mukn eli ϑ() C log. () π() = Li() = log t dϑ, log t dt, 4
niin kikille 3 sdn π() Li() = / ϑ(t) t log t ϑ() + C + log ϑ() log + d(ϑ(t) t) log t (ϑ(t) t)d( log t ) = (ϑ(t) t) t log t dt ϑ(t) t t log t dt + C i) = () ii) C log + C log t t log t log t dt + C C log + C dt + C t / C log + C t + C = C log + C3 + C4 C 5 log, missä C i :t ovt :stä riippumttomi vkioit j yhtälö i) tulee osittisintegroinnist sekä epäyhtälö ii) ehdost (). Luseen 8.3 nojll suurille pätee. (3) Li() Vrsininen väite sdn nyt seurvst rviost, jok pätee suurille. π() π() Li() i) = C 5 log = Li() Li() Li() C 5 log Li() ii) log C 5. Tässä epäyhtälö i) sdn ehdost () j epäyhtälö ii) ehdost (3). Nyt sdn tämän luvun tvoitteen ollut ekvivlentti ehto Riemnnin hypoteesille j lkulukuluseen formultion π() Li() suhteelliselle virherviolle. Luse 8. Riemnnin hypoteesi pätee jos j vin jos symptoottisen rvion π() Li() suhteelliselle virheelle π() Li() pätee π() Li() = O( +α ) kikille α >. () 4
Huomutus. Tässä luseess kiinnostvi ovt nimenomn hyvin pienet α > : jos väite pätee jollekin α >, niin se pätee trivilisti kikille α > α. Todistus. Kosk ilmeisesti log = O( +α ) kikille α >, niin väitteen suunt seur luseest 8.. Jos kääntäen oletetn, että ehto () pätee, niin luseen 8.5 nojll ζ:n epätrivilit nollkohdt sijitsevt vyössä {z C α Im(z) + α} kikille α >, () jolloin ne välttämättä ovt kriittisellä suorll {z C Im(z) = } eli Riemnnin hypoteesi pätee. Huomutus 8.3 Luseen 8. ehtoj () ti () ei ole todistettu oikeksi millekään < α <. Toislt on osoitettu (de l Vllée-Poussin), että on olemss vkio c > siten, että nollkohti ei ole lueess D = {z C Re(z) > c log( Im(z) + ) }, mutt tämä ei ut, kosk D:n komplementti ei sisälly mihinkään ehdon () vyöhön, kuten geometrinen hvinto helposti osoitt. 9 Stirlingin kv Tässä luvuss todistetn Stirlingin kv, jok nt rvion Γ-funktion symptoottisest käyttäytymisestä. Ensin trvitn putuloksi. Lemm 9. Olkoot,m R, > j < m <. Tällöin joukoss H \ {} pätee ( ) e zt t m dt = z m Γ(m + ) + O. z Todistus. Osoitetn ensin, että kuvus z e zt t m dt on nlyyttinen koko tsoss C. () Kosk m <, niin integrli e zt t m dt on epäoleellinen Riemnn-integrli lpäästään, joten väite () ei seur suorn luseest [C, 6.3], vn trvitn vähän suppenemistrksteluj. Ensin huomtn, että kikille n N funktiot f n (z) = n 43 e zt t m dt
ovt kyseisen luseen [C, 6.3] nojll nlyyttisiä koko tsoss, joten riittää osoitt, että f n (z) e zt t m dt loklisti tsisesti C:ssä, mihin riittää se, että epäoleellinen integrli e zt t m dt suppenee loklisti tsisesti koko tsoss. Väitetty loklisti tsinen suppeneminen johtuu siitä, että jos ǫ > on nnettu, niin kikille z,w, joille z w < η, Re(z),Re(w) > A (kiinteille η >, A R) j kikille δ > pätee välirvoepäyhtälön nojll jolloin e zt e wt δe A z w < δe A η kikille t [,δ] δ δe A η e zt t m dt / δ δ e wt t m dt δ m + tm+ = i) δ m+ e A η m + < ǫ, e zt e wt t m dt kun δ on riittävän pieni. Tässä yhtälö i) sdn oletuksest < m, jonk mukn m + >. Näin väite () on todistettu. Osoitetn seurvksi, että kuvus z e zt t m dt on nlyyttinen puolitsoss H j jtkuv joukoss H \ {}. () Tätä vrten osoitetn ensin, että epäoleellinen integrli e zt t m dt suppenee loklisti tsisesti joukoss H \ {}. (3) Tämä seur siitä, että kikille z H, z > r sdn rvio e zt t m i) ( dt = t m d ) M M z e zt ii) = / M z e zt t m / M z e zt d(t m ) M z e zt t m + M z e zt d(t m iii) ) = / M z e zt t m + m e zt t m iv) dt z = z e zm M m + m e zt t m dt z z e Re(z)M M m + m z r Mm + m r / M M M m tm dt vi) e Re(z)t t m dt v) r Mm + m r = r Mm + m r M M t m dt = m Mm = r Mm, (4) missä yhtälö i) sdn luseest.9, yhtälö ii) on osittisintegrointi j yhtälö iii) tulee myös luseest.9. Yhtälö iv) seur siitä, että lim t e zt t m = lim e Re(z)t t m =, t 44
kosk Re(z) j siten e Re(z)t, j lisäksi m <, jolloin t m, kun t. Epäyhtälössä v) käytetään oletuksi Re(z) j z > r j yhtälö vi) seur siitä, että m <. Kosk rvion (4) ylärj toimii kikille z H, z > r, j lisäksi ehdon m < nojll ylärj konvergoi nolln, niin väite (3) on todistettu. Luseen [C, 6.3] nojll kuvukset g n (z) = n e zt t m dt ovt nlyyttisiä kikille n j ehdon (3) nojll konvergoivt puolitsoss H loklisti tsisesti kohti funktiot e zt t m dt, jolloin ehdoss () väitetty nlyyttisyys seur. Ehdon () jtkuvuusväite puolitsoss H seur tietysti heti tästä nlyyttisyydestä. Jtkuvuus ulottuu kuitenkin reunlle (pois lukien origon) sti, sillä funktiot g n ovt nlyyttisiä koko tsoss j siten myös jtkuvi koko tsoss. Jtkuvien funktioiden loklisti tsinen rj-rvo on jtkuv, joten ehdon () jtkuvuusväite seur (sekin) ehdost (3). Ehtojen () j () nojll kuvus f(z) = e zt t m dt = e zt t m dt + e zt t m dt (5) on nlyyttinen puolitsoss H j jtkuv joukoss H \ {}. Trkstelln kuvust (5) relisell z:n rvoll; olkoon z = R +. Tällöin integrliss (5) voidn tehdä muuttujnvihto s = t, jonk vull sdn esitys f() = e s s m m ds = m e s s m ds = i) m Γ(m + ), (6) missä yhtälö i) tulee Γ-funktion määritelmästä. Ehto (6) pätee siis positiivisille j relisille. Kosk Γ on nlyyttinen koko tsoss, niin f:n nlyyttisyyden j nlyyttisen jtkmisen peritteen nojll ehto (6) pätee koko puolitsoss H j edelleen jtkuvuuden nojll myös tämän puolitson reunll, pois lukien pisteen =, ts. siis f(z) = z m Γ(m + ) kikille z H \ {}. Tällöin kikille z H \ {} sdn e zt t m dt = z m Γ(m + ) e zt t m dt e zt t m dt = e zt t m dt. (7) 45
Ehdon (7) nojll luseen väite seur, jos osoitetn, että ( ) e zt t m dt = O eli että z z e zt t m dt C jollekin C suurille z. (8) Arviost (4) voidn poimi ostuloksen rvio e zt t m dt z e Re(z) m + m z joten väite (8) seur, jos osoitetn, että e Re(z) m + m e Re(z)t t m dt, e Re(z)t t m dt C jollekin C suurille z. (9) Kosk tässä siis z H, niin Re(z) j kosk lisäksi > j < m <, niin sdn rvio e Re(z) m + m e Re(z)t t m dt m + e Re(z)t t m dt m + t m dt = m + / m tm dt = m m m, eli C = m m m toimii ehdoss (9). Lemmn 9. erikoistpuksen sdn seurv. Lemm 9. Olkoon R, >. Tällöin joukoss H \ {} pätee ( ) e zt t dt = z π + O. z Todistus. Väite seur lemmst 9., kun m =, j huomutuksest 5.38, jonk mukn Γ( ) = π. Lemm 9.3 Olkoot < b R j f,g : [,b] R funktioit, jotk ovt äärettömän mont kert derivoituvi, päätepisteissä toispuoleisesti. Oletetn lisäksi, että f (t) > kikille t [,b] j että f:llä on minimikoht pisteessä t ],b[. Olkoon R, >. Tällöin pätee symptoottinen rvio missä e f(t) g(t)dt = e f(t) ( A A = g(t ) π. (f (t )) + O( ) ), 46
Todistus. Riittää todist väite tpuksess f(t ) =, sillä yleisessä tpuksess voidn merkitä h(t) = f(t) f(t ), jolloin h(t ) = j h (t ) = f (t ), jolloin tämän erikoistpuksen nojll sdn e f(t) g(t)dt = e h(t) f(t) g(t)dt = e f(t) e h(t) g(t)dt = ( A e f(t) + O( ) ), j väite seur myös yleisessä tpuksess. Oletetn siis, että jolloin väite tulee muotoon f(t ) =, () e f(t) g(t)dt = A + O( ). () Huomtn ensin (lkeisnlyysistä), että minimikohdss t pätee f (t ) =, jolloin oletuksen f (t) > kikille t [,b] nojll f (t) < kun t < t j f (t) > kun t > t. Siten f on idosti vähenevä välillä [,t ] j idosti ksvv välillä [t,b]. Lisäksi derivtt f on ksvv koko välillä [,b]. Vlitn < < t < b < b. Tällöin e f(t) g(t)dt e f(t) g(t) dt < i) e f( ) g(t) dt = O ( e f( ) ) ii) = O( ), e f( ) g(t) dt = (3) missä epäyhtälö i) johtuu f:n vähenevyydestä välillä [,t ] j symptoottinen rvio ii) johtuu siitä, että derivtn ksvvuuden nojll f( ) < f(t ) =. Vstvsti nähdään, että e f(t) g(t)dt = O( ). (4) b Ehtojen (3) j (4) nojll väite () seur, jos osoitetn, että e f(t) g(t)dt = A + O( ) joillekin < < t < b < b. (5) Funktion f Tylorin polynomi kertluku pisteessä t nt esityksen f(t) = f(t ) + f (t )(t t ) + f (t )(t t ) + R (t), (6) missä jäännöstermille R (t) on olemss vkio C siten, että R (t) C t t 3 kikille t [,b ]. (7) 47
Kosk f on äärettömän mont kert derivoituv, niin esityksen (6) perusteell myös R on äärettömän mont kert derivoituv. Tällöin myös funktio u(t) = R (t) (t t ) on derivoituv, inkin pisteissä t t. Myös pisteessä t = t u:ll on derivtt, sillä Lgrngen jäännöstermiesityksen nojll sdn erotusosmäärälle u u(t) f (3) (ξ t ) (t ) = lim = lim t t t t t t 3! = f(3) (t ), 6 missä ξ t on pisteiden t j t välissä. Lisäksi pisteissä t t derivtt u (t) voidn lske käyttäen R (t):lle ehdost (6) stv esitystä. Sivuutetn nämä yksinkertiset lskut; lopputulemksi sdn L Hospitlin ehto käyttäen, että u on jtkuvsti derivoituv; myös pisteessä t. Ehdon (7) j u:n määritelmän nojll pätee u(t) C t t kikille t [,b ]. (8) Kosk oletuksen mukn f (t ) =, niin ehtojen () j (6) nojll f(t) (t t ) = f (t ) + u(t). (9) Kosk oletuksen mukn f (t ), niin voidn määritellä jtkuvsti derivoituv funktio ϕ settmll Tällöin ehdon (8) nojll j ehdon (9) mukn ϕ(t) = + f (t ) u(t). ϕ(t) C t t kun t t on pieni, () f(t) (t t ) = f (t )ϕ(t). () Ehdon () nojll ϕ on positiivinen josskin t :n ympäristössä, joten tässä ympäristössä voidn määritellä kuvus s settmll s(t) = (t t ) ϕ(t). Kosk ϕ on jtkuvsti derivoituv, niin myös s on jtkuvsti derivoituv j suorn lskemll sdn s (t) = ϕ(t) + (t t ) ϕ(t) ϕ (t). () 48
Derivtlle s pätee esityksen () j ehdon () nojll s (t ) =, joten jtkuvuuden nojll s on positiivinen j siten s on idosti ksvv josskin pisteen t ympäristössä eli pisteen t sisältävällä välillä [,b ] [,b]. Kosk s(t ) =, niin s( ) < < s(b ). Kosk s on jtkuv, niin ilmeisesti pisteet j b voidn vlit niin, että s( ) = s(b ). Osoitetn, että juuri nämä j b ovt sopivi ehdoss (5) eli että ehto (5) pätee näille,b. Kosk s on ksvv välillä [,b ], niin ehdon (5) integrliss voidn tehdä muuttujnvihto Ehdon () nojll ds dt = s (t) = ϕ(t) + e f(t) g(t)dt s = s(t) = (t t ) ϕ(t). (t t ) ϕ(t) ϕ (t) = ϕ(t) + (t t )ϕ (t) ϕ(t), jolloin käänteiskuvukselle t = t(s) sdn dt ϕ(t) ds = t (s) = ϕ(t) + (t t )ϕ (t). (3) Osoitetn seurvksi, että t (s) C 3 s kikille s [s( ),s(b )] (4) Kosk t on jtkuv, niin väitteen (4) todistmiseksi riittää osoitt, että t (s) lim C 3. s s 49
Tämä nähdään seurvsti. Huom, että kosk s(t ) = j s on idosti ksvv, niin s = s(t) jos j vin jos t t. t (s) i) lim = lim s s s lim s lim t t ϕ(t) ϕ(t)+ (t t)ϕ (t) ϕ(t)+ (t t)ϕ (t) ϕ(t) ϕ(t)+ (t t)ϕ (t) ϕ(t)+ (t t)ϕ (t) s ϕ(t) ϕ(t) + t t = lim (t t )ϕ (t) ϕ(t) t t (ϕ(t) + (t t )ϕ (t))(t t ) ϕ(t) ϕ(t) ϕ(t) (ϕ(t) + (t t )ϕ (t))(t t ) ϕ(t) + lim (t t )ϕ (t) t t (ϕ(t) + (t t )ϕ (t))(t t ) ϕ(t) = lim ϕ(t) lim t t t t t t ϕ(t) + (t t )ϕ (t) + ϕ (t) lim t t (ϕ(t) + (t t )ϕ (t)) ϕ(t) = lim ϕ(t) t t t t ϕ(t ) + ϕ (t ) ϕ(t ) ϕ(t ) iii) = lim ϕ(t) + t t t t ϕ (t ) = lim t t ii) = ϕ(t) ( + ϕ(t))(t t ) + C iv) C t t lim t t + ϕ(t)(t t ) + C C = lim t t + ϕ(t) + C v) = C + C = C 3, joten väite (4) seur. Tässä yhtälö i) sdn ehdost (3) j ii) tulee s:n määritelmästä. Yhtälöt iii) j v) seurvt siitä, että ϕ(t ) = ehdon () mukn. Epäyhtälö iv) sdn myös ehdost (). Seurvksi osoitetn, että lemmn väitteessä olevlle funktiolle g pätee g t(s) g(t ) C 4 s kikille s [s( ),s(b )]. (5) Tämän todistmiseksi riittää nähdä, että Tämän näkee seurvsti. g t(s) g(t ) lim C 4. s s g t(s) g(t ) g(t(s)) g(t ) i) g (ξ)(t(s) t ) lim = lim = lim = s s s s s s g t(s) t() ii) (t ) lim = g t (η)(s ) (t ) lim = g (t ) t () = C 4, s s s s 5
missä yhtälöt i) j ii) sdn välirvoluseest; tässä ξ on pisteiden t(s) j t välissä sekä η on s:n j :n välissä. Näiden lkuvlmistelujen jälkeen tehdään sitten lopultkin suunniteltu muuttujnvihto t s(t) ehdon (5) integrliss. Merkitään α = s(b ) j muistetn pisteiden j b vlinnst, että s( ) = s(b ), jolloin siis s( ) = α <. Tällöin sdn yhtälöketju missä e f(t) g(t)dt = i) α α α α α α e f (t ) (t t ) ϕ(t) g(t)dt = e f (t ) (t(s) t ) ϕ(t(s)) g t(s)t (s)ds ii) = e f (t ) s (g(t ) + g t(s) g(t ))( + t (s) )ds e f (t ) α s g(t )ds + e f (t ) s h(s)ds, (6) α h(s) = g(t )(t (s) ) + (g t(s) g(t )) + (g t(s) g(t ))(t (s) ). Tässä yhtälö i) tulee ehdost () j yhtälö ii) sdn s:n määritelmästä. Arvioidn sitten ehdon (6) integrlej. Ensimmäiselle sdn muuttujnvihdoll u = s eli s = u seurv. α α g(t ) e f (t ) s g(t )ds = g(t ) α α e f (t ) u s (u)du = g(t ) e f (t ) s ds = α ( g(t ) f ) (t ) π + O( ) = π g(t ) f (t ) A e f (t ) u u du i) = + O( ) = + O( ), (7) missä luku A on väitteen eli ehdon () mukinen. Tässä yhtälö i) seur lemmst 9., sillä f (t ) >, jolloin f (t ) on positiivisell relikselill j siten oikess puolitsoss. Tvoitteen on siis todist ehdon (5) rvio. Ehtojen (6) j (7) nojll tähän päästään, jos osoitetn, että α α e f (t ) s h(s)ds = O( ). (8) 5
Kosk ehtojen (4) j (5) sekä h:n määritelmän nojll h(s) C s jollekin vkiolle C, niin väite (8) seur, jos osoitetn, että α α α e f (t ) s s ds = O( ) eli e f (t ) s sds = O( ). (9) Tehdään tähänkin muuttujnvihto u = s, jolloin sdn α / α e f (t ) s sds = f (t ) f (t ) = O( ), α e f (t ) u = e f (t ) u us (u)du = ( f (t ) α e f (t ) α j väite (9) seur. Silloin koko lemm on todistettu. e f (t ) u du = ) f (t ) Huomutus. Lemmn 9.3 todistust trkstelemll hvitn, että :llä ei noiss lskuiss ole juurikn rooli. Voidn kysyä päteekö lemmn väite relisen :n sijst mielivltiselle kompleksiselle z, jolloin symptoottinen virhetermi täytyy tietysti kirjoitt muotoon O( z ). Vstus on, että ei päde. Tämä johtuu (muun muss) siitä, että ehdoss (7) trvittiin sitä tieto, että f (t ) on positiivisell relikselill j siten oikess puolitsoss, jott lemm 9. voitiin käyttää. Nyt jos z sttuu olemn vsemmss puolitsoss, niin myös z f (t ) on vsemmss puolitsoss, jolloin lemm 9. ei toimi, j (lemmn 9.3 ljennuksen) todistus ktuu ehtoon (7). Sen sijn jos z on oikess puolitsoss, niin myös z f (t ) on oikess puolitsoss, jolloin lemm 9. toimii sellisenn, j ehto (7) sdn perusteltu. Toimiiko koko lemm 9.3 sitten, jos oletetn, että :n korvv z on oikess puolitsoss? Nyt vstus on, että toimii. Lemmn todistust trkkn läpikäyden löydetään vin kksi (ti oikestn kolme) koht, joss trvitn tieto :n relisuudest. Näistä toinen on todistuksen viimeisen ehdon (9) perustelu, joss on epäyhtälö ( f (t ) e f (t ) α f (t ) ) f (t ), jok ei ole mielekäs, jos on kompleksiluku. Toinen koht, joss :n relisuutt trvitn, on lemmn 9.3 todistuksen ehdon (3) perustelu j erityisesti siinä olevt epäyhtälöt, jotk ovt vstvll tvll mielettömiä kompleksiselle z. Sm ongelm syntyy ehdon (4) perusteluiss, vikkkn trvittvi epäyhtälöitä ei ole kirjoitettu näkyviin. Nämä ongelmt voidn selvittää, j sdn tulos, jok yleistää lemmn 9.3. 5
Lemm 9.4 Olkoot < b R j f,g : [,b] R funktioit, jotk ovt äärettömän mont kert derivoituvi, päätepisteissä toispuoleisesti. Oletetn lisäksi, että f (t) > kikille t [,b] j että f:llä on minimikoht pisteessä t ],b[. Olkoon z H \ {}. Tällöin pätee symptoottinen rvio missä e zf(t) g(t)dt = e zf(t) ( A z A = g(t ) π. (f (t )) + O( ) z ), Todistus. Kuten lemm edeltävässä trksteluss todettiin, riittää todet oikeiksi lemmn 9.3 todistuksen kohdt (3), (4) j (9). Aloitetn kohdst (3). Tässä siis < < t j väitetään, että e zf(t) g(t)dt = O( ). (3 ) z Kosk f (t) > kikille t [,b], niin f on idosti ksvv, j kosk f (t ) =, niin on olemss vkio c > siten, että f (t) c kikille t [, ]. () Lisäksi g:n, g :n, f :n j f :n jtkuvuuden nojll on olemss vkio c 3 > siten, että m{ g(t), g (t), f (t), f (t) } c 3 kikille t [, ]. () Väitteen (3 ) integrlille sdn z z e zf(t) g(t)dt i) = z / / zf(t) g(t) e f (t) + z zf(t) g(t) e f (t) + z ( d e zf(t)) g(t) f (t) ( g(t) e zf(t) d f (t) ii) = (3) ) iii) = e zf(t) g (t)f (t) g(t)f (t) (f (t)) dt, missä yhtälöt i) j iii) seurvt luseest.9 j yhtälö ii) osittisintegrointiluseest. Esityksen (3) nojll väite (3 ) seur, jos osoitetn, että on olemss vkiot C j C siten, että / C j (4) e zf(t) g (t)f (t) g(t)f (t) (f (t)) dt C. (5) zf(t) g(t) e f (t) 53
Kosk lemmn 9.3 todistuksess tehdyn oletuksen f(t ) = nojll f(t) kikille t [, ] j kosk Re(z), niin Re( zf(t)) kikille t [, ]. Silloin e zf(t) = e Re( zf(t)) kikille t [, ], joten väitteet (4) j (5) seurvt, jos osoitetn, että joillekin C 3,C 4 pätee g(t) f (t) C 3 j (6) g (t)f (t) g(t)f (t) (f (t)) dt C 4 kikille t [, ]. (7) Väitteet (6) j (7) seurvt ehdoist () j (). Näin on osoitettu, että lemmn 9.3 todistuksen ehto (3) pätee myös tässä tpuksess eli kun z H \{}. Aivn nlogisesti osoitetn, että myös lemmn 9.3 todistuksen ehto (4) pätee tälliselle z, joten jäljelle jää ehto (9) eli tässä tpuksess väite α e z f (t ) s sds = O( ). (9 ) z Smn tpn kuin ehdoss (3) sdn osittisintegroimll α e z f (t ) s sds = zf (t ) / α zf e z f (t ) s, (t ) α d ( e z f (t ) s ) ds = joten väite (9 ) seur, jos osoitetn, että on olemss vkio C siten, että f (t ) f (t ) e z s C kikille s [,α]. (4) Ehto (4) seur siitä, että e z f (t ) s = e Re( z f (t ) s ) e =, kosk z on oikess puolitsoss j f (t ). Nyt voidn todist tämän luvun otsikkon olev Stirlingin kv. Sitä vrten määritellään kikille ϕ [,π[ sektori S ϕ settmll S ϕ = {re iϕ C r > j ϕ ϕ }. Huom, että kun ϕ =, niin S ϕ on positiivinen relikseli R +, j kun ϕ = π, niin S ϕ = H \ {}. Sektori S π ei määritellä, mutt kun ϕ π, niin sektori S ϕ ksv kohti koko tso, jost on poistettu negtiivinen relikseli j origo. 54
Sektoriss S ϕ voidn määritellä (jtkuvn) stndrdilogritmi, j nimenomn sitä käytetään Stirlingin kvn väitteessä; myös neliöjuuren z määritelmä perustuu tähän logritmiin. Luse 9.5 (Stirlingin kv) Olkoon ϕ [,π[ kiinteä. Sektoriss S ϕ pätee symptoottisesti ( ( )) π Γ(z) = e z log z e z + O suurille z. z z ( ) Huomutus. Stirlingin kvn virhetermiä O voidn prnt muotoon z ( ) O, mutt vlittu esitys riittää tämän kurssin trkoituksiin. z Todistus. Todistetn väite ensin sektoriss S π = H \ {}. Kikille R + pätee Γ() i) = e t t dt = e t+ log t ii) dt = t e log e e (s log s ) s ds, e t t t dt = e t e log t dt = () t s+ log(s) e s ds = e s+(log s+log ) s ds = missä yhtälö i) on Γ-funktion määritelmä j yhtälö ii) sdn muuttujnvihdoll s = t. Ehdon () nojll integrli e (t log t ) t dt suppenee kikille R +. Osoitetn seurvksi, että integrli e z(t log t ) t dt suppenee kikille z H. () Merkintöjen yksinkertistmiseksi kirjoitetn f(t) = t log t kikille t >. Olkoon z H kiinteä. Väitteen () todistmiseksi riittää osoitt, että integrlit e zf(t) dt j (3) t e zf(t) dt (4) t 55
suppenevt. Integrli (3) vrten huomtn, että kun m ], [, niin f (t) = t kikille t [m, [, jolloin osittisintegroinnill sdn m z m ( z z e zf(t) t dt = z / m e zf(t) f (t)t + z e zf( ) ( ) ( e zf( ) ( ) z e zf( ) + z d(e zf(t) ) f (t)t = (5) e zf(t) d( m f (t)t ) = ) e zf(m) ( m )m + z ) + z e zf(m) ( m )m m e zf(m) z m m m e zf(t) (t ) dt. e zf(t) d( ( t )t) = e zf(t) d( t ) = Kosk f(m) + kun m + j ehdon z H nojll Re(z) <, niin Re(z)f(m) kun m +. Silloin e zf(m) = e Re(z)f(m) kun m +, (6) j siten ehdon (5) nojll integrlin (3) suppeneminen seur, jos osoitetn, että integrli e zf(t) dt suppenee. (7) (t ) Kosk f (t) = t < kikille t ], [, niin f on vähenevä j siten ehdon z H nojll t e Re(z)f(t) on ksvv välillä ], [. Silloin kikille m ], [ sdn rvio m e zf(t) (t ) dt = e Re(z)f(t) m e Re(z)f( ) m Väite (7) seur tästä. (t ) dt e Re(z)f( ) dt (8) (t ) 4dt = e Re(z)f( ). Näin on osoitettu integrlin (3) suppeneminen puolitsoss H. Osoitetn sitten, että integrli (3) suppenee loklisti tsisesti H :ss. Olkoon tätä vrten w H j ǫ > kiinteitä. Riittää löytää r > siten, että B(w,r) H j kikille z B(w,r) pätee m e zf(t) t dt < ǫ, kun m > on riittävän pieni. (9) 56
Vlitn r > niin, että r < w, jolloin B(w,r) H. Riittää osoitt, että ehto (9) pätee tälle r. Kuten ehdoiss (5) j (6) nähdään, että m e zf(t) t dt = z Tässä kikille z B(w,r) pätee m e zf(m) z m e zf(t) (t ) dt. z m e zf(m) z e zf(m) i) 4 w ere( zf(m)) 4 w ere( (w+r)f(m)) < ǫ kun m on riittävän pieni. () Yllä epäyhtälö i) seur siitä, että z B(w,r) B(w, w w ), jolloin z >. Toislt kikille z B(w,r) pätee m e zf(t) z (t ) dt z z m kun m < (t ) dt w m m e zf(t) i) dt (t ) (t ) dt w 4m < ǫ, on riittävän pieni. () Tässä epäyhtälö i) seur siitä, että e zf(t) = e Re( z)f(m) kikille < t < m <. Väite (9) seur ehdoist () j (). Näin integrlin (3) suppeneminen on tyhjentävästi selvitetty j pitää vielä tehdä sm kuvio integrlille (4). Vstvll tvll kuin ehdoss (5) sdn osittisintegroinnill kikille M > M z e zf(t) dt = () t M e zf(m) z e zf() M e zf(t) z (t ) dt. Suurille M pätee f(m) = M log M M, jolloin z M e zf(m) = z j silloin M e Re(z)f(M) z M e Re(z) M suurille M, lim M z M e zf(m) =, (3) 57
kosk Re(z) >. Tämä merkitsee ehdon () perusteell sitä, että ingrlin (4) suppeneminen seur, jos osoitetn, että integrli e zf(t) dt (4) (t ) suppenee. Kosk f (t) = t [, [, j silloin > kikille t [, [, niin f on ksvv välillä e zf(t) = e Re(z)f(t) e Re(z)f() kikille t [, [. (5) Tällöin integrlin (4) suppeneminen seur siitä, että integrli suppenee. (t ) dt Näin on osoitettu integrlin (4) suppeneminen voimess puolitsoss H. Osoitetn sitten, että (myös) integrli (4) suppenee loklisti tsisesti H :ss. Olkoot tätä vrten w H j ǫ > kiinteitä. Riittää löytää r > siten, että B(w,r) H j kikille z B(w,r) pätee e zf(t) t dt < ǫ kun M > on riittävän suuri. (6) M Kuten ehdoiss () j (3) nähdään, että M e zf(t) t dt = z M e zf(m) z M e zf(t) dt. (7) (t ) Ehdon (3) perusteell z M e zf(m) < ǫ riittävän suurille M, jolloin ehdon (7) nojll väite (5) seur, jos osoitetn, että e zf(t) z (t ) dt < ǫ kun M on riittävän suuri. (8) M Väite (8) seur rviost (5) j siitä, että integrli Näin myös integrlin (4) suppeneminen on tyhjentävästi selvitetty. (t ) dt suppenee. Yhteenveton voidn todet, että väite () pätee. Lisäksi integrli () suppenee loklisti tsisesti joukoss H. Tällöin luseen [C, 6.3] nojll kuvus z e zf(t) t dt on nlyyttinen voimess puolitsoss H. Kosk myös kuvus z e z log z e z on stndrdilogritmin nlyyttisyyden nojll nlyyttinen H :ss, niin kuvus h(z) := e z log z e z e zf(t) t dt 58
on nlyyttinen voimess puolitsoss H. Ehdon () nojll Γ() = h() kikille R, >. (9) Kosk myös Γ on nlyyttinen lueess H, niin nlyyttisen jtkmisen peritteen j ehdon (9) nojll Γ(z) = h(z) kikille z H. Tällöin lemmn väitetty symptoottinen rvio pätee joukoss H, jos osoitetn, että e zf(t) ( ( )) π t dt = + O suurille z, z H z z eli e zf(t) ( ) π t dt = + O suurille z, z H z. () z Väite () seur, jos osoitetn, että Ehtojen (5) j (6) nojll e zf(t) ( ) t dt = O, () z e zf(t) π t dt = + O z e zf(t) t dt = O ( z e zf(t) t dt = z e zf( ) z joten väite () seur, jos osoitetn, että Kosk ( ) z j () ). (3) e zf(t) (t ) dt, e zf( ) = O() j (4) e zf(t) (t ) dt = O() suurille z, z H. (5) e zf( ) = e Re(z)f( ) j rvion (8) mukn e zf(t) (t ) dt e Re(z)f( ) kikille z H, niin molemmt väitteet (4) j (5) seurvt, jos osoitetn, että e Re(z)f( ) = O() suurille z, z H. (6) 59
Kosk f (t) = t, niin f on vähenevä välillä ],[ j ksvv välillä ], [. Pisteessä t = on f:n minimikoht, j kosk f() = log =, niin f on kikkill positiivinen. Tällöin kikille z H pätee Re(z)f( ) <, joten kikille z H pätee e Re(z)f( ), j väite (6) seur. Näin on osoitettu oikeksi rvio (). Todistetn seurvksi (vstvll tvll) oikeksi rvio (3). Ehtojen () j (3) nojll e zf(t) t dt = z e zf() z e zf(t) (t ) dt, joten väite (3) seur ehdon (4) vull, jos osoitetn, että e zf(t) (t ) dt = O() suurille z, z H. (7) Arvion (5) j integrlin (t ) dt suppenemisen nojll väite (7) seur, jos osoitetn, että e Re(z)f() = O(). Tämä seur f:n positiivisuuden nojll smll perusteell kuin ehto (6). Vielä pitää todist väite (). Tähän käytetään lemm 9.4. Nyt f(t) = t log t toteutt lemmn 9.4 vtimukset välillä [,], kun t = j g(t) = t. Kosk f(t ) = f() =, niin lemmn 9.4 mukn e zf(t) t dt = A z + O( z ) suurille z, z H, (8) missä A = g(t ) π = g() π (f (t )) (f ()) Väite () seur ehdoist (8) j (9). = π = π. (9) Näin on todistettu, että väitteen symptoottinen rvio pätee voimess oikess puolitsoss H. Tällöin väitteen rvio pätee myös sektoriss S π = H \ {}, sillä jo todistetun osn nojll on olemss M > j C > siten, että kikille z H, z > M pätee Γ(z) e z log z e z π z C. (3) z Kosk ehdon (3) vsen puoli on jtkuv, niin rvio (3) pätee myös joukon {z H z > M} reunll eli joukoss {z H z M}, jolloin ehto (3) 6
seur myös näille z, j väitteen rvio pätee sektoriss S π. Pitää vielä yleistää tämä sektoriin S ϕ, missä π < ϕ < π. Kosk luseen väite pätee sektoriss S π, niin riittää trkstell sektorin S ϕ niitä pisteitä z, joille Re(z) <. Oletetn siis jtkoss, että Re(z) <, jolloin z R. Lemmn 5.8 nojll Γ(z + ) = zγ(z) kikille z H. Anlyyttisen jtkmisen peritteen nojll tämä pätee kikille z C \ {,,,...} eli Tämän nojll Γ(z + ) = zγ(z) kikille z C \ {,,,...}. Γ( z) = zγ( z) kikille z S ϕ \ R. (3) Toislt luseen 5.34 mukn Γ(z)Γ( z) = π sin(πz) kikille z C \ Z, joten ehdon (3) j luseen 5.35 nojll Γ( z) = Γ( z) z = π sin(πz)γ(z) z π = z sin(πz)γ(z) kikille z S ϕ \ R. (3) Stndrdilogritmille log (jok on määritelty sektoriss S ϕ ) pätee määritelmänsä mukisesti { log z iπ kun Im(z) > log( z) = log z + iπ kun Im(z) <. Tällöin Lisäksi (e z log( z) e z ) = ( z) = e log( z) = { e log z e i π kun Im(z) > e log z e i π kun Im(z) < = { iz kun Im(z) > +iz kun Im(z) <. { e z log z e ziπ e z kun Im(z) > e z log z e ziπ e z kun Im(z) <. (33) { e (log z iπ) kun Im(z) > e (log z+iπ) kun Im(z) < = (34) { ie log z kun Im(z) > +ie log z kun Im(z) < 6
Kikille z S ϕ, Re(z) < sdn nyt Γ(z) = i) π ii) π = z sin(πz)γ( z) z sin(πz)e z log( z) e z π ( z) πe z log z e ±ziπ e z z i (eiπz e iπz ) πe z log z e z z ±iz ±e ±ziπ e iπz e iπz ( ( + O ( + O z z )) = ( ( + O z )) iii) = ), (35) missä yhtälö i) seur ehdost (3), yhtälö ii) siitä, että z on oikess puolitsoss, joss väite on jo todistettu, j yhtälö iii) sdn ehdoist (33) j (34) sekä yhtälöstä sinw = i (eiw e iw ), jok pätee kikille w. Esityksen (35) nojll väite seur, jos osoitetn, että ±e ±ziπ ( ) e iπz e iπz = + O j (36) z ( ) ( ) = + O suurille z, z S z ϕ, Re(z) <. (37) + O z Väite (36) tulee ylemmässä puolitsoss muotoon e ziπ ( ) e iπz e iπz = O eli z z e iπz e iπz = O() e iπz eli z e iπz = O() suurille z, z S ϕ, Re(z) <, Im(z) >. (38) Merkitään A + := {z z S ϕ, Re(z) <, Im(z) > }. Väite (38) seur, jos osoitetn, että Merkitään Tällöin kikille z A + pätee Im(z) z lim z, z A + z e iπz =. (39) c := sinϕ >. = cos(arg(z) π ) = sin Arg(z) c eli Im(z) c z. (4) 6
Väite (39) sdn rviost z e iπz = z e iπz i) z e iπz = z e Re( iπz) = z ii) z iii), kun z, e Im(πz) e cπ z missä epäyhtälö ii) sdn ehdost (4), sillä myös πz A +. Ehto iii) seur siitä, että cπ >. Epäyhtälö i) pätee, kun e iπz >. Kosk ehdon (4) nojll e iπz = e Im(πz) e cπ z, niin ehto i) pätee suurille z. Näin on nähty, että väite (36) pätee ylemmässä puolitsoss. Alemmss puolitsoss perustelu on nloginen, kuten seurvst näkyy. Väite (36) tulee lemmss puolitsoss muotoon e ziπ ( ) e iπz e iπz = O eli z Merkitään z e iπz e iπz = O() e iπz eli z e iπz = O() suurille z, z S ϕ, Re(z) <. (4) A := {z z S ϕ, Re(z) <, Im(z) < }. Väite (4) seur, jos osoitetn, että Kikille z A pätee lim z, z A Im(z) z Väite (4) sdn rviost z e iπz = z e iπz z e iπz =. (4) = sinarg(z) c eli Im(z) c z. (43) i) z e iπz = z e Re(iπz) = z ii) z iii), kun z, e Im(πz) e cπ z missä epäyhtälö ii) sdn ehdost (43), sillä myös πz A. Ehto iii) seur siitä, että cπ >. Epäyhtälö i) pätee, kun e iπz >. Kosk ehdon (43) 63
nojll e iπz = e Im(πz) e cπ z, niin ehto i) pätee suurille z. Näin on nähty, että väite (36) pätee myös lemmss puolitsoss, j siten koko väite (36) on selvä. Jäljelle jää vielä ehto (37). ( ) Tässähän siis tiedetään, että (jokin) virhetermi h on muoto + O, z ( ) j väitetään, että h on sm muoto. Oletuksen h(z) = + O nojll jollekin vkiolle C pätee z h(z) C z suurille z, S ϕ, Re(z) <. (44) Pitää osoitt, että jollekin vkiolle C pätee h(z) C z suurille z, S ϕ, Re(z) <. (45) Kosk h(z) h(z) =, h(z) niin väite (45) seur oletuksest (44), jos osoitetn, että Kosk oletuksen (44) nojll niin väite (46) seur. h(z) suurille z, S ϕ, Re(z) <. (46) h(z) kun z, z S ϕ, Re(z) <, Näin luseen väite eli Stirlingin kv on kokonisuudessn todistettu. Huomutus 9.6 Stirlingin kv esitetään usein muodoss Γ(z) πz z e z eli Γ(z) πz z e z kun z, z S ϕ. Tämä muotoilu seur luseen 9.5 muotoilust (mutt ei kääntäen!), sillä kun 64
z S ϕ, niin ( ( )) e z log z e z π + O Γ(z) lim z πz z e = z z = z πz z e ( ( )) z e z log z + O e z log z z z z lim = lim z z e z log z z lim z ( + O lim z z z ( + O ( e z log z e ) log z z =. z )) = lim z z ( + O ( ( + O z )) = e (z ( ) log )) z Huomutus 9.7 Kosk luseen 5.9 mukn Γ(n + ) = n! kikille n N, niin huomutuksen 9.6 nojll sdn moness pikss muullkin kuin tällä kurssill hyödyllinen symptoottinen rvio kertomfunktiolle: π(n + ) n+ n! e n+. Lisää ζ-funktion nollkohdist Luseess 5.55 nähtiin, että ζ-funktioll on nollkohdt pisteissä n, n N. Nämä ovt määritelmän 5.57 mukn trivilit nollkohdt. Kikki muut eli epätrivilit nollkohdt ovt kriittisessä vyössä {z < Re(z) < } j sijitsevt symmetrisesti suorn l = {z Re(z) = } suhteen eli z on epätrivili nollkoht jos j vin jos z on epätrivili nollkoht. Koko funktio ζ ei kuitenkn ole symmetrinen suorn l suhteen, mikä seur jo yllä snotust. Relikselin suhteen kikki nollkohdt sijitsevt myös symmetrisesti: z on nollkoht jos j vin jos z on nollkoht. Lisäksi koko funktio ζ on symmetrinen relikselin suhteen. Nämä väitteet todistetn luseiss. j.. Luse. Riemnnin ζ-funktio smoin kuin sen määrittelyssä käytetty ξ- funktio ovt relirvoisi relikselill pois lukien nppisteen j ξ:stä puhuttess myös nppisteen. Lisäksi nämä molemmt funktiot ovt symmetrisiä relikselin suhteen, ts. ζ(z) = ζ(z) kikille z C \ {} j ξ(z) = ξ(z) kikille z C \ {,}. Todistus. Määritelmän 5.53 mukn ζ(z) = π z z ξ(z) Γ( z ) kikille z C \ {}, z = 65
joten ensimmäisen väitteen todistmiseksi riittää jtkuvuuden nojll osoitt, että ξ() R j () Γ() R \ {} kikille R \ Z. () Määritelmän 5.49 mukn kikille R \ {, } pätee ξ() = + (t + t ) θ(t)dt. Tällöin väite () seur, jos θ(t) R kikille t. Tämä seur siitä, että huomutuksen/määritelmän 5.4 mukn θ(t) = n= e πn t kikille t R +, jolloin selvästi θ(t) R kikille t R +. Näin väite () on todistettu. Väitteen () todistmiseksi muistetn, että määritelmän 5.3 mukn Γ() = Γ( + n) ( + ) ( + n ) kikille R \ Z j kikille n N, joille + n >, joten väite () seur, jos osoitetn, että Γ() R \ {} kikille relisille H. (3) Luseen 5.35 nojll Γ() kikille H, joten väite (3) seur, jos osoitetn, että Γ() R kikille relisille H. (4) Määritelmän 5.6 mukn kikille H pätee Γ() = e t dt, joten väite (4) seur, kosk e t R kikille t j relisille. Luseen jälkimmäinen väite seur Schwrzin peiliperitteest ([C, tehtävät 34 j 35]) j luseen lkuosst. Luse. Riemnnin ζ-funktion kikki nollkohdt sijitsevt symmetrisesti relikselin suhteen eli ζ(z) = jos j vin jos ζ(z) =. Todistus. Väite seur suorn luseest.. 66
Huomutus.3 Luseen. mukisesti ζ:n kriittisessä vyössä olevt nollkohdt sijitsevt symmetrisesti relikselin suhteen. Näillä symmetrisillä nollkohdill on tämän lisäksi sm kertluku, ts. jos, < Re() <, on nollkoht kertluku k, niin on myös nollkoht, joll on tämä sm kertluku k. Tämä johtuu siitä, että :n ympäristössä U pätee ζ(z) = n=k α n(z n ) n, missä k. Tällöin :n ympäristössä U pätee ζ(z) i) = ζ(z) ii) = α n (z n ) n = n=k α n (z n ) n, jolloin on nollkoht kertluku k, kosk α n. Tässä yhtälö i) seur luseest. j yhtälö ii) siitä, että z U kun z U. Osoitetn seurvss, että ζ-funktioll ei ole relisi nollkohti kriittisessä vyössä {z < Re(z) < }. Todistetn ensin pieni lemm. Lemm.4 Puolitsoss H pätee Todistus. Tämä on suor lsku: ( z )ζ(z) = ( z )ζ(z) = ζ(z) z ζ(z) i) = n= n= n z z n z n= n= n prillinen n z = n= n z = n= n z n= n priton n= n z n= n=k ( ) n n z. n z z z n z = n= n prillinen n= n= n z = n z n= n z = n= (n) z = ( ) n n z, missä yhtälö i) sdn määritelmästä 5.8, jok toimii puolitsoss H. Luse.5 Kikille relisille, < <, pätee ζ(). Todistus. Osoitetn ensin, että lemmn.4 srj ( ) n n= n z () suppenee puolitsoss H. (Puolitsoss H srjn () suppeneminen seur lemmst.4.) Osoitetn smll vivll, että srjn () suppeneminen on loklisti tsist puolitsoss H. Olkoon siis z H kiinteä. Merkitään r = Re(z). 67
Riittää osoitt, että srj () suppenee tsisesti vyössä V r = {w H r < Re(w) < 4r}. Kosk Re(w) > r kikille w V r, niin srjn () termit konvergoivt tsisesti nolln vyössä V r. Tällöin srjn tsinen suppeneminen V r :ssä seur, jos osoitetn, että srj ( (n ) w ) (n) w suppenee tsisesti vyössä V r. () n= Väitteen () todistmiseksi riittää löytää srjlle (n ) w (n) w (3) n= suppenev mjorntti, jonk termit eivät riipu pisteestä w V r. Tätä vrten rvioidn srjn (3) termejä. Kikille n N j w V r sdn seurv: (n ) w / n (n) w = n n t w = d( t w ) n = w dt tw+ w n n dt w tre(w)+ n n n n (n ) r+ dt 4r (n ) r+, joten hluttu srjn (3) mjorntti on löytynyt, jos srj n= 4r (n ) r+ (4) suppenee. Srjn (4) suppeneminen seur ylihrmonisen srjn suppenemisest j siitä, että r + = Re(z) + >, kosk z H. Näin srjn () loklisti tsinen suppeneminen puolitsoss H on todistettu. Kosk srjn () ossummt ovt nlyyttisiä funktioit koko C:ssä, niin srjn summ on nlyyttinen suppenemislueessn, eli jos merkitään niin Kosk lemmn.4 mukn h(z) = n= ( ) n n z, h on nlyyttinen puolitsoss H. (5) ( z )ζ(z) = h(z) puolitsoss H (6) j ( z )ζ(z) on luseen 5.3 nojll nlyyttinen (inkin) lueess H \{}, niin nlyyttisen jtkmisen peritteen sekä ehtojen (5) j (6) nojll ( z )ζ(z) = h(z) lueess H \ {}. (7) 68
Ehdon (7) nojll sdn ( )ζ() = ( ) n n= n kikille relisille < <. (8) Ehdon (8) nojll luseen väite seur, jos osoitetn, että ( ) n n= n kikille ],[. (9) Ehdon (9) relinen srj on vuorottelev j sen termit konvergoivt itseisrvoltn monotonisesti nolln. Kosk lisäksi srjn ensimmäinen termi on negtiivinen j kikki termit nollst erovi, niin sen ossummien jonolle (S n ) pätee S < S 3 < < S n+ < < ( ) n n= Kosk S = + < kikille < <, niin ehdon () nojll j väite (9) seur. ( ) n n= n < < S n < < S. () n < kikille < <, () Huomutus.6 Luseen.5 todistuksest nähdään, että ζ() on relinen j negtiivinen kikille ],[. Tämä johtuu siitä, että on negtiivinen, jolloin luseen.5 todistuksen ehdon (8) nojll ζ(z) j ( ) n n= n ovt smnmerkkisiä j silloin ne ovt luseen.5 todistuksen ehdon () nojll molemmt negtiivisi. Jtkoss trvitn seurvn khden luseen ntmi ksvurvioit ζ :lle. Luse.7 On olemss vkio C siten, että kikille z C, joille Re(z) j Im(z), pätee ζ(z) C log Im(z). Todistus. Määritelmän 5.8 mukn ζ(z) = z z z t t t z+ dt kikille z H \ {}. () Luseen.3 nojll kikille j kikille z C pätee n n z = t z d t. 69
Kosk funktio t on vkio välillä [, ], niin integroimisväliä voidn vähän pidentää, j tämä summesitys sdn muotoon n n n z = t z d t. Kun z, niin tästä sdn osittisintegroimll j lusett.9 käyttäen esitys n z = z + z t dt. () tz+ Tällöin kikille z H \ {} j pätee ζ(z) n z z z z z z z z z z z z z z z z z i) n z = z z z t t dt + z tz+ t t dt z tz+ t t dt z tz+ t t / t z+ dt z t t z dt + tz+ t t t z+ dt + t t dt tz+ z z t t dt z tz+ t dt tz+ z = dt tz z = (z )tz z = (z ) z z z z = (z ) z + z z = t dt = tz+ t dt tz+ z = t t t z+ dt + + (z )z z, (3) 7
missä yhtälö i) sdn ehdoist () j (). Ehdon (3) nojll sdn kikille z H \ {} j rvio ζ(z) n z + z t t dt tz+ + (z ) z + z n n n n z + z + z nre(z) n t t t z+ dt + z z + z t Re(z)+ dt + z Re(z) + Re(z) = / n + z Re(z) Re(z)t + Re(z) z + Re(z) = Re(z) n n + z Re(z) Re(z) + Re(z) z +. (4) Re(z) Re(z) Kosk kikille z C pätee Im(z) = Im(z ) z, niin z Im(z) kikille z H. (5) Lisäksi kikille z C, joille Re(z) j Im(z) pätee z = Re(z) + Im(z) Re(z) + Re(z)Im(z) + Im(z) = Re(z) + Im(z). (6) Ehtojen (4), (5) j (6) nojll kikille z H, Im(z) > j pätee ζ(z) n + z Re(z) Re(z) + Re(z) z + Re(z) Re(z) n Re(z) + Im(z) + nre(z) Re(z) + Re(z) Im(z) +. (7) Re(z) Re(z) n Kun Re(z), niin Re(z) + Im(z) Re(z) = + Im(z) Re(z) + Im(z), jolloin ehdon (7) nojll kikille j kikille z C, joille Re(z) j Im(z) > pätee ζ(z) n n n + ( + Im(z)) Re(z) + Re(z) Im(z) + Re(z) = Re(z) n + ( + Im(z)) Re(z) +. (8) Re(z) Im(z)Re(z) 7
Ehdost (8) sdn kikille j kikille z C, joille Re(z) j Im(z) ζ(z) n n + ( + Im(z)) + Im(z). (9) Kosk kikille pätee tunnetusti (ti integrlirvioll) n log +, n niin ehdon (9) nojll kikille j kikille z H, joille Im(z) > pätee ζ(z) log + + ( + Im(z)) + Im(z). () Jos Im(z), niin ehdoss () voidn vlit = Im(z), jolloin sdn kikille z C, joille Re(z) j Im(z) > ζ(z) log Im(z) + + ( + Im(z)) Im(z) + Im(z) = () log Im(z) + + (3 + Im(z)) Im(z) log Im(z) + 5, missä epäyhtälö i) seur oletuksest Im(z) >. = log Im(z) + + 3 Im(z) Luseen väitteessä hluttiin vkiot C siten, että kikille z, joille Re(z) j Im(z) pätee ζ(z) C log Im(z). () Tässä siis vkio C ei s riippu pisteestä z. Vlitn nyt C := + 5 log, jok ei mitenkään riipu pisteestä z. Riittää osoitt, että tämä C:n vlint toimii väitteessä (). Tämä näkyy rviost ζ(z) i) log Im(z) + 5 ii) = log Im(z) + (C )log iii) log Im(z) + (C )log Im(z) = C log Im(z), missä epäyhtälö i) seur ehdost (), yhtälö C:n vlinnst j epäyhtälö iii) siitä, että Im(z). Luse.8 Jokiselle reliluvulle δ ], [ on olemss vin luvust δ riippuv vkio C(δ) siten, että kikille z C, joille Re(z) δ j Im(z), pätee ζ(z) C(δ)Im(z) δ. i) 7
Todistus. Luseen.7 todistuksen ehdon (7) nojll kikille z C, joille Re(z) δ j Im(z) j kikille pätee ζ(z) Re(z) + Im(z) + nre(z) Re(z) + Re(z) Im(z) + Re(z) = Re(z) n Im(z) + ( + nre(z) Re(z) ) + Re(z) Im(z) +. () Re(z) Re(z) n Tästä sdn edelleen kyseisille z j rvio ζ(z) i) n n / δ δ δ n t n t n Im(z) + ( + δ δ Im(z) dt + ( + δ δ Im(z) dt + ( + δ δ t δ δ ) δ + ii) Im(z) δ () ) δ + Im(z) δ = ) δ + Im(z) δ = Im(z) + ( + ) δ δ + Im(z) δ = Im(z) + ( + ) δ δ + iii) Im(z) δ δ + 3Im(z) δ δ + Im(z) δ iv) δ δ + 3Im(z) δ δ + δ, missä epäyhtälö i) perustuu ehtoon () j siihen, että Re(z) δ. Epäyhtälö ii) tulee siitä, että ehdon δ > nojll kuvus t on ksvv. Epäyhtälö iii) t δ sdn ehdoist δ < j Im(z), jost ehdost seur myös epäyhtälö iv). Kosk rvio () pätee kikille z C, joille Re(z) δ j Im(z) j kikille, niin siinä voidn vlit := Im(z), jolloin sdn ζ(z) Im(z) δ ( δ + 3 δ + ), jok epäyhtälö siis pätee kikille z C, joille Re(z) δ j Im(z). Väite seur tällöin vlinnll C(δ) = δ + 3 δ +. Jtkoss trvitn vielä seurv puhtsti kompleksinlyysin piiriin kuuluv putulost. Se kertoo oleellisesti otten, että kuink mont nollkoht kiekoss nlyyttisellä kuvuksell ( ) voi oll kiekon keskipisteen lähellä. Lemm.9 Olkoon f nlyyttinen lueess D C j oletetn, että D sisältää suljetun kiekon B(z,R). Olkoon < r < R j oletetn, että f:llä on kertluvut huomioiden inkin n nollkoht kiekoss B(z,r), mutt z ei ole 73
nollkoht eli f(z ). Merkitään M = m{ f(z) z z = R}. Tällöin pätee ( ) n R M r f(z ). Todistus. Voidn olett, että z =, sillä tästä erikoistpuksest päästään yleiseen tilnteeseen yksinkertisell koordintiston siirroll. Tällöin siis oletuksen mukn f(). Olkoot,..., n B(,r) oletuksen mukiset f:n nollkohdt lueteltuin niin, että k-kertinen nollkoht esiintyy jonoss,..., n k-kert. Tällöin siis voi oll i = j vikk i j. Toislt voi oll myös niin, että f:llä on muitkin nollkohti kuin i :t kiekoss B(,r). Origo ei siis kuitenkn ole nollkoht, joten Merkitään kikille (mhdollisille) z < i r kikille i =,...,n. () T(z) = n i= R(z i ) R i z. T on määritelty kikille z joille R i z kikille i. Näissä määrittelemättömyyspisteissä pätee R = i z, jost ehdon () nojll sdn z = R i R r = RR r > R. () Funktio T on selvästi nlyyttinen voimess määrittelyjoukossn, merkitään sitä symbolill G. Ehdon () nojll pätee B(,R) G. (3) Funktio f on siis määritelty voimess joukoss D j funktio T voimess joukoss G, joille oletusten j ehdon (3) nojll pätee B(,R) D G. (4) Selvästi jokinen i B(,r) on funktion T nollkoht, j kosk f:n nollkohdt i on lueteltu kertlukuns mukisesti, niin ilmeisesti jokisen i kertluku on sm sekä T:n että f:n nollkohtn. Toislt T:llä ei ole muit nollkohti kuin pisteet i (vikk f:llä muit nollkohti voikin oll). Tällöin joukoss D G \ {,..., n } voidn määritellä nlyyttinen funktio g settmll g(z) = f(z) T(z) kikille z D G \ {,..., n }. Pisteissä i funktiot g ei siis ole määritelty, mutt kosk nämä pisteet ovt sekä f:n että T:n sm kertluku olevi nollkohti, niin i :t ovt g:n poistuvi erikoispisteitä. Tämä trkoitt sitä, että g voidn jtk näihin pisteisiin 74
nlyyttiseksi funktioksi; täsmällisemmin snottun on olemss joukoss D G nlyyttinen funktio g siten, että g(z) = g(z) = f(z) T(z) kikille z D G \ {,..., n }. (5) Kosk g on nlyyttinen joukoss D G, niin ehdon (4) j mksimiperitteen nojll itseisrvon g(z) mksimi kiekoss B(, R) svutetn tämän kiekon reunll, ts. m{ g(z) z R} = m{ g(z) z = R}. (6) Kosk,..., n B(,r) B(,R), niin reunll B(,R) pätee ehdon (5) nojll g(z) = f(z) kikille z B(,R). (7) T(z) Jott ehto (7) päästään käyttämään hyväksi, trkstelln funktiot T(z) kiekon reunll eli kun z = R. Näille z sdn T(z) i) = n i= n i= n i= Rz i n R i z = R (z i )(z i ) (R i z)(r i z) = (8) i= R ( z + i z i z i ) ii) R 4 + z i R i z R = z i R 4 + R i R z i R z i R 4 + R i R i z R z i = n i= R (R + i z i z i ) R 4 + R i R i z R z i = n =, missä yhtälö i) tulee T:n määritelmästä j yhtälö ii) oletuksest z = R. Ehdon (8) mukn siis T(z) = kikille z B(, R), jolloin ehdon (7) perusteell i= g(z) = f(z) kikille z B(, R). (9) Luvun M määritelmän mukn (kun z = ) on M = m{ f(z) z = R}, jolloin ehdon (9) nojll jost edelleen ehto (6) käyttäen Ehdon () nojll sdn erityisesti m{ g(z) z = R} = M, m{ g(z) z R} = M. () g() M. () 75
Kosk D G \ {,..., n }, niin ehtojen () j (5) perusteell Nyt sdn rvio f() i) n M T() = M i= n r ( r ) n M R = M, R i= f() M. () T() R( i ) R i n = M i= R i R = M n i= i R ii) (3) missä epäyhtälö i) seur ehdost () j epäyhtälö ii) ehdost (). Kosk todistuksen luss tehdyn oletuksen mukn z =, niin lemmn väite tulee muotoon ( ) n R M r f(). Tämä seur välittömästi ehdost (3). Merkintä. Merkitään kikille T > symbolill N(T) suljetuss suorkiteess S T = {z Re(z), Im(z) T } olevien ζ-funktion nollkohtien lukumäärää kertluvut huomioon otten. Täsmällisemmin snottun huomtn ensin, että jokisess tällisess suorkiteess on vin äärellinen määrä ζ:n nollkohti. Tämä johtuu siitä, että jos nollkohti olisi ääretön määrä kompktiss joukoss S T, niin niillä olisi ksutumispiste S T :ssä. Ksutumispiste ei voi oll pisteessä, sillä siinä on ζ:n np, j silloin lim z ζ(z) =. Muullkn ksutumispistettä ei voi oll, sillä ζ on nlyyttinen joukoss C\{}, j nollst erovn nlyyttisen funktion nollkohdt eivät voi ksutu määrittelylueeseen. Nyt kun tiedetään, että S T :ssä on korkeintn äärellinen määrä nollkohti, niin niitä joko ei ole linkn ti ne voidn luetell; olkoot tässä tpuksess S T :ssä olevien ζ:n nollkohtien joukko {,..., n }. Oletetn lisäksi, että tässä joukoss ovt nimenomn kikki S T :ssä olevt ζ:n nollkohdt j että ne ovt eri pisteitä eli i j kun i j. Jokisell nollkohdll on jokin kertluku; olkoon k i N nollkohdn i kertluku, i =,...,n. Nyt olln vlmiit settmn luvun N(T) trkk määritelmä: N(T) =, jos suorkiteess S(T) ei ole nollkohti linkn j n N(T) = k i, jos nollkohtien joukko on {,..., n } kuten yllä. i= Nyt sdn keskeinen tulos, jok kertoo N(T):n symptoottisest käyttäytymisestä. 76
Luse. (Riemnn-von Mngoldt) Olkoon T > j N(T) kuten merkinnässä.. Tällöin pätee N(T) = T π (log T ) + O(log T). π Huomutus. Luseest. seur heti, että ζ-funktioll on nollkohti kriittisessä vyössä vikkkn yhtään nollkoht ei ole tähän mennessä esitetty. Lisäksi nollkohti on ääretön määrä. Tämän todistmiseksi riittää ilmeisesti osoitt, että N(T) kun T. Luseest. seur, että on olemss T:stä riippumton vkio C siten, että Silloin suurille T pätee N(T) T π (log T ) C log T suurille T. π N(T) T π (log T π ) C log T = T (log T log(πe)) C log T = π T π log T T log(πe) C log T, π jolloin väite N(T) kun T seur, kosk selvästi T π log T T π log(πe) C log T kun T. Luseen. todistus. Voidn ensinnäkin olett, että jnll J T = {z Im(z) = T, Re(z) } ei ole linkn nollkohti. Tämä ei ole ivn trivili hvinto, j se vtii perustelun. Oletetn, että väite on todistettu kikille niille T, joille jnll J T ei nollkohti ole, j osoitetn, että silloin väite pätee kikille T >. Merkitään tätä vrten symbolill T niitä lukuj T >, joille jnll J T nollkohti ei ole j symbolill T niitä lukuj T >, joille jnll J T nollkoht ti nollkohti on. Oletus on siis se, että väite on todistettu niille T >, joille T T ; pitäisi todist se myös kun T T. Nyt siis tiedetään, että on olemss T:stä riippumton vkio C siten, että N(T) T π (log T π ) C log T suurille T T. () Voidn olett, että C. Riittää osoitt, että N(T) T π (log T π ) C log T suurille T T. () Olkoon siis T T niin suuri, että ehto () pätee kikille T T, joille T > T. Voidn lisäksi olett, että T e. 77
Kikille ǫ > kompktiss joukoss K ǫ = {z Re(z), T Im(z) T + ǫ} on vin äärellisen mont ζ:n nollkoht, jolloin ǫ > voidn vlit niin pieneksi, että kikki joukoss K ǫ olevt nollkohdt ovt jnll J T. Silloin suorn määritelmän mukn N(T) = N(T + δ) kikille < δ ǫ. (3) Lisäksi T + δ T kikille < δ ǫ, jolloin ehto () pätee kikille näille δ. Vlitn nyt < δ ǫ niin pieneksi, että Tällöin sdn rvio T + δ π (log T + δ π ) T π (log T ) + j π (4) log(t + δ) log(t) +. (5) N(T) T π (log T π ) i) = N(T + δ) T π (log T π ) N(T + δ) T + δ π (log T + δ + δ ) + T π π (log T + δ π ) T π (log T ii) ) π C log(t + δ) + T + δ π (log T + δ π ) T π (log T iii) ) C log(t + δ) + iv) π C(log(T) + ) + = C log T + C + v) C log T + C vi) C log T + C log T = C log T, j väite () seur. Yllä yhtälö i) seur ehdost (3). Epäyhtälö ii) seur ehdost () j siitä että T +δ T. Epäyhtälö iii) seur ehdost (4) j epäyhtälö iv) ehdost (5). Epäyhtälö v) sdn oletuksest C j epäyhtälö vi) oletuksest T e. Näin siis todistuksen lun oletuksen T T järkevyys on perusteltu. Oletetn myös, että T 3. Merkinnän. mukisesti N(T) trkoitt suorkiteess S T = {z Re(z), Im(z) T } olevien ζ:n nollkohtien lukumäärää, kertluvut huomioiden. Liitetään suorkiteeseen S(T) sen peilikuv relikselin suhteen, jolloin syntyy suorkide S T = {z Re(z), T Im(z) T }. Merkitään symbolill Ñ(T) suorkiteess S T olevien ζ:n nollkohtien lukumäärää kertluvut huomioiden. Kosk luseen 5.55 perusteell nämä kikki nollkohdt ovt kriittisessä vyössä j toislt relikselill ei ole luseen.5 perusteell nollkohti, niin huomutuksen.3 nojll Ñ(T) = N(T). (6) 78
Olkoot z, w C. Merkitään symbolill J(z, w) jntietä pisteestä z pisteeseen w. Tämä voidn prmetrisoid (esimerkiksi) sopimll, että J(z,w)(t) = ( t)z + tw kikille t [,]. Trkstelln sitten seurvi khdeks jntietä: J = J(, + it), J = J( + it, + it), J 3 = J( + it, + it), J 4 = J( + it, ), J 5 = J(, it), J 6 = J( it, it), J 7 = J( it, it) j J 8 = J( it,). Ilmeisesti nämä jntiet voidn yhdistää; merkitään J = J J J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 8, jolloin ilmeisesti J on tie, jonk kuvjoukko on suorkiteen S T reun vstpäivään kierrettynä. Kosk T T, niin ζ:n symmetriominisuuden (luse.) sekä luseen 5.55 nojll J:n kuvjoukoss ei ole ζ:n nollkohti eikä npoj. ζ:n ino np on pisteessä j J:n kierrosluku tämän nppisteen suhteen on ilmeisesti +. Kosk nvn kertluku on lusen 5.3 mukn myös, niin rgumentin peritteen (ks. [C, 3.]) nojll pätee πi J ζ (z) dz = Ñ(T). (7) ζ(z) Tätä integrli on vähän hnkl käsitellä, joten helpotetn tilnnett j käytetään huomutust 5.57, jonk mukn funktioill ζ j ξ on suorkiteess S T täsmälleen smt nollkohdt myös kertluvultn. Toislt ξ:llä on luseen 5.5 nojll S T :ssä täsmälleen kksi np pisteissä j, j nämä nvt ovt yksinkertisi. Silloin kvn (7) sijst sdnkin kv πi J jost edelleen kv (6) käyttäen sdn ξ (z) dz = Ñ(T), ξ(z) N(T) = 4πi J 79 ξ (z) dz +. (8) ξ(z)
ξ (z) 4πi J ξ(z) dz on myös relinen dz on puhtsti imginrinen. Silloin kv (8) voidn kirjoitt Kvss (8) N(T) j ovt relilukuj, jolloin ξ (z) ξ(z) eli J myöhempää käyttöä vrten mukvmpn muotoon N(T) = ( 4π Im ξ ) (z) ξ(z) dz +. (9) Kvss (9) olev integrli voidn kirjoitt muotoon J J k= ξ (z) 8 ξ(z) dz = ξ (z) dz. () J k ξ(z) Tässä summss sdn esimerkiksi ξ (z) T J 5 ξ(z) dz = ξ ( it) d ξ( it) dt ( it)dt = i) T ξ ( + it) T ξ( + it) ( i)dt = ξ ( + it) d ξ (z) ( + it)dt = ξ( + it) dt J ξ(z) dz, missä yhtälö i) sdn luseen 5.5 symmetriehdost ξ(z) = ξ( z), jonk nojll heti ξ( it) = ξ( + it). Derivtlle pätee ξ ( it) = ξ ( + it), minkä näkee ketjusääntöä käyttäen seurvsti: Merkitään g(z) = z, jolloin symmetriehdon nojll ξ = ξ g. Silloin ξ (z) = ξ (g(z))g (z) = ξ ( z), j väite ξ ( it) = ξ ( + it) seur. Vstvll tvll käyttäen ehto ξ(z) = ξ( z) nähdään, että ξ (z) J 6 ξ(z) dz = ξ (z) J ξ(z) dz, ξ (z) J 7 ξ(z) dz = ξ (z) J 3 ξ(z) dz j ξ (z) J 8 ξ(z) dz = ξ (z) dz. () J 4 ξ(z) Tällöin ehtojen (9) j () nojll N(T) = π Luseen. nojll pätee Tällä perusteell pätee myös 4 k= ( ξ ) (z) Im J k ξ(z) dz +. () ξ(z) = ξ(z) kikille z C \ {,}. (3) ξ (z) = ξ (z) kikille z C \ {,}. (4) 8
Väite (4) vtii ehkä vähän trkemmn perustelun. Tässä voi käyttää (relist) ketjusääntöä j Cuchy-Riemnn-yhtälöitä, mutt helpoint lienee trkstell erotusosmäärää: ξ ξ(z + h) ξ(z) ξ(z + h) ξ(z) (z) = lim = lim h h h h ( ) ξ(z + h) ξ(z) ξ(z + h) ξ(z) lim = lim h h h h ξ(z + h) ξ(z) = lim h h i) = ξ(z + h) ξ(z) = lim = ξ h h (z), missä yhtälö i) perustuu ehtoon (3). Ehtojen (3) j (4) vull sdn ξ (z) T J 8 ξ(z) dz = i) ξ ( it) d T ii) ξ ( it)dt = ( + it) ξ( it) dt ξ( + it) ( i)dt = T ξ ( + it) ξ( + it) idt = ξ (z) J ξ(z) dz, missä yhtälön i) oikell puolell olev miinusmerkki selittyy tien J 8 suunnll: sen lkupiste on it j loppupiste. Yhtälö ii) sdn ehdoist (3) j (4). Näin siis on nähty, että J 8 ξ (z) ξ(z) dz = Tämä merkitsee sitä, että ( ξ ) (z) Im J 8 ξ(z) dz J ξ (z) ξ(z) dz. ( ξ ) (z) = Im J ξ(z) dz. (5) Ehto (5) seur siitä trivilist seikst, että jos kompleksiluvuille v = + ib j w = c+id pätee v = w, niin +ib = c+id, jolloin b = d eli Im(v) = Im(w). Ehtojen () j (5) nojll ( ξ ) (z) Im J 4 ξ(z) dz ( ξ ) (z) = Im J ξ(z) dz. (6) Vstvll tvll voidn osoitt, että ( ξ ) ( (z) Im J 3 ξ(z) dz ξ ) (z) = Im J ξ(z) dz. (7) Ehtojen (), (6) j (7) nojll N(T) = π k= Määritelmän 5.53 mukn ( ξ ) (z) Im J k ξ(z) dz + = π ( Im ξ ) (z) J J ξ(z) dz +. (8) ξ(z) = π z z Γ( )ζ(z) kikille z C \ {,}. 8
Tästä sdn tulon derivoimissääntöä käyttäen j muisten, että d dz (π z ) = d dz (e z log π) = log π π z, ξ (z) ξ(z) = log π + Γ ( z ) Γ( z ) + ζ (z) ζ(z) kikille z C \ {,}. (9) Ehtojen (8) j (9) nojll N(T) = () ( ) π Im log π J J dz + π ( Im Γ ( z ) ) Γ( z ) dz + π ( Im ζ ) (z) J J ζ(z) dz. J J Esityksen () ensimmäinen integrli on helppo lske. Kuvus z log π z on integroitvn funktion primitiivi, j kosk integroimistien lkupiste on J () = j loppupiste on J () = + it, niin log π J J log π dz = ( log π + it) = 3log π + i log π 4 T. Kun tämä sijoitetn kvn (), niin sdn N(T) = () log π π T + ( π Im Γ ( z ) ) Γ( z ) dz + π ( Im ζ ) (z) J J ζ(z) dz. J J Arvioidn sitten esityksen () keskimmäistä termiä eli integrli J J Γ ( z ) Γ( z ) dz. Funktion Γ Γ primitiivi on logritmi log Γ, jok voidn yhdesti yhtenäisessä lueess H määritellä, kosk Γ on luseiden 5.3 j 5.35 nojll nlyyttinen j nollst erov lueess H. Tämä logritmihn määritellään tieintegrlin z Γ (z) γ z Γ(z) dz pitkin mitä thns H :n tietä γ z, jonk lkupiste on (esimerkiksi) = Γ() j loppupiste z, ks. [C, 8.8]. Tämä logritmi voi oll ik konstiks, kosk Γ:st ei pljon tiedetä oikestn tästä logritmist tiedetään vin sen verrn, että log Γ() = j tietysti se, että e log Γ(z) = Γ(z) kikille z H. Tämä on tvoitellun rvioinnin knnlt ph puute, j kierretään se määrittelemällä logritmi toisin, jolloin rviointikin mhdollistuu. Käytetään tätä vrten Stirlingin kv eli lusett 9.5, jonk mukn puolitsoss H pätee symptoottisesti Γ(z) = e z log z e z π z ( ( )) + O. () z 8
( Kun z on riittävän suuri, on Stirlingin kvn muoto + O z ) olev virhetermi kiekoss B(, ). Tässä kiekoss voidn käyttää stndrdilogritmi, eli ( ( )) log + O määritellään stndrdilogritmin suurille z. z Kun z G, niin myös π G, j voidn sopi, että z ( ) π log määritellään stndrdilogritmin, kun z H. z Kosk trivilisti funktion e z log z e z = e z(log z ) eräs logritmi on z(log z ), niin voidn sopi, että log ( e z log z e z) = z(log z ), kun z H. Näiden sopimusten jälkeen voidn määritellä suurille z, z H ( ) ( ( )) π log Γ(z) = z(log z ) + log + log + O. (3) z z Tämä näin määritelty log Γ on selvästi nlyyttinen j todellkin Γ:n logritmi eli pätee e log Γ(z) = Γ(z), kuten määritelmistä j Stirlingin kvst () nähdään. Tämän logritmin määritelmä toimii siis vin suurille z, vikkp kun z > R, mutt määritelmä voidn ljent koko lueeseen H soveltmll tuot yllä puhuttu tieintegrlikonstruktiot seurvsti. Kiinnitetään ensin jokin piste w > R, joss log Γ(w) on jo määritelty. Vlitn jokin tie γ pisteestä pisteeseen w. Tällöin Γ (z) γ Γ(z) dz = log Γ(w) + kπi jollekin k Z tämä johtuu siitä, että integrli nt jonkin logritmin j logritmin rvot ovt πi:n kokonisi monikertoj ville yksikäsitteisesti määrättyjä. Tämän jälkeen jokiselle z H vlitn jokin pisteestä pisteeseen z johtv tie α j määritellään log Γ(z) = Γ α Γ kπi. Tämä uusi määritelmä on riippumton vlitust tiestä lueen G yhdesti yhtenäisyyden nojll. Lisäksi määritelmä yhtyy vnhn lueess A = {z z > R} H, sillä jos z A, niin kntpiste w voidn yhdistää pisteeseen z lueess A kulkevll tiellä β, jolloin yhdistetty tie γ β yhdistää pisteet j z, j sdn Γ log Γ(z) = Γ kπi = Γ Γ + Γ Γ kπi = γ β log Γ(w) + kπi + log Γ(z) log Γ(w) kπi = log Γ(z). γ β 83
Näin siis log Γ on määritelty nlyyttisenä puolitsoss H siten että se toteutt ehdon (3) suurille z. On huomttv, että log Γ() = k πi jollekin k Z. log Γ(z) on funktion Γ (z) Γ(z) primitiivi, joten log Γ( z ) on funktion Γ ( z ) Γ( z ) primitiivi lueess H. Kosk tien J J jälki pysyy lueess H, niin Γ ( z ) J J Γ( z dz = (4) ) log Γ( ( + it)) log Γ( ) = log Γ( 4 + it ) k πi. Vlitn kvss (4) niin suureksi, että ehto (3) toimii, jolloin sdn log Γ( 4 + it ) = (5) ( ( ) ( ( )) π 4 + it )(log( 4 + it ) ) + log ( 4 + i T ) + log + O 4 + i T. Trkstelln kvss (5) olevi stndrdilogritmej. Ensin sdn stndrdilogritmin määritelmästä log( 4 + it ) = log(it ( + )) = (6) it log(i T ) + log( + it ) = log T + iπ + log( + it ). Edelleen määritelmän j ehdon (6) mukn ( ) π log ( 4 + i T ) = log π log( 4 + it ) = (7) log π log T + iπ 4 + log( + it ) = log T + log( + it ) + O(). Suurille z sdn logritmin Tylor-srjst rvio log( + z ) ( ) n = z z n (n + ) z n = z. Tällöin n= log( + z ) = O( ) kun z, z j siten ehdon (5) viimeiselle logritmille pätee ( ( )) log + O 4 + i T = O( ). (8) T n= 84
Lisäksi log( + it ) = O( ). (39) T Yhdistämällä kvt (4) (3) sdn J J Γ ( z ) Γ( z ) dz = log Γ( 4 + it ) + O() = (3) ( 4 + it )(log T + iπ + O( T )) log T + O() = i T log T πt 4 it + O(log T). Kun ehto (3) sijoitetn kvn (), niin sdn N(T) = (3) log π π T + (i π Im T log T πt4 ) it + O(log T) + ( ) π Im = J J ζ (z) ζ(z) dz log π π T + T π log T T π + ( π Im ζ ) (z) J J ζ(z) dz + O(log T) = T π (log T log π) T π + ( π Im ζ ) (z) J J ζ(z) dz + O(log T) = T π log T π T π + ( ) π Im + O(log T). J J ζ (z) ζ(z) dz Ehdon (3) nojll luseen väite seur, jos osoitetn, että ( ζ ) (z) Im J J ζ(z) dz = O(log T). (33) Tämä ehdon (33) integrli näyttää melko smnkltiselt kuin ehdoss (7), jost lähdettiin liikkeelle, joten voisi epäillä, että tässä on nyt tehty jonkinlinen kehä j ihn turh työtä. Näin ei toki ole; väite (33) on ivn eri väite kuin ehdost (7) stisiin j sitä pitsi j tämä on nyt oleellist ehdon (33) integroimistie J J on ivn eri tie kuin ehdon (7) tie J. Merkitään symbolill m niiden tien J J jäljessä (eli kuvjoukoss) olevien pisteiden lukumäärää tien päätepisteet pois lukien, joille pätee Re(ζ(z)) =. Osoitetn ensin, että m on korkeintn äärellinen. (34) Tätä vrten huomtn ensin, että jnn J jäljessä ei tällisi pisteitä ole linkn. Tämä huomio vtii perustelun. 85
Ensinnäkin jnn J jälki on joukko { + iy y T }. Näille pisteille pätee ( ) ( ) Re(ζ( + iy)) = Re n +iy = + Re n +iy (35) n= n= n +iy n +iy = n 4 n n= n 3 4 n=3 n t dt 3 4 n= n= t dt = 3 / 4 joten Re(ζ( + iy)) kikille z { + iy < y T }. n=3 t = 3 4 = 4, Näin on nähty, että m on jnn J jäljessä pois lukien jnn päätepisteet olevien funktion Re(ζ(z)) nollkohtien lukumäärä. Jnn J jälki (pois lukien päätepisteet) on joukko { + it < < }. Määritellään funktio g settmll Relisille, < < pätee g(z) = (ζ(z + it) + ζ(z it)). g() = (ζ( + it) + ζ( it)) = (ζ( + it) + ζ( + it)) i) = (ζ( + it) + ζ( + it)) = Re(ζ( + it)), missä yhtälö i) seur luseest.. Siten funktion Re(ζ(z)) joukoss { + it < < } olevien nollkohtien joukko on yhtä mhtv (bijektion + it välityksellä) funktion g välillä ],[ olevien relisten nollkohtien knss. Kosk ζ on nlyyttinen joukoss C \ {}, niin g on nlyyttinen joukoss C \ { ± it }. Kosk ζ, niin myös g, j silloin nlyyttisen funktion g nollkohdt eivät voi ksntu joukoss C \ { ± it }. Erityisesti g:n nollkohdt eivät voi ksntu relikselille, mikä merkitsee sitä, että välillä ],[ olevien g:n nollkohtien joukko on korkeintn äärellinen. Yllä snotun nojll tämä merkitsee sitä, että funktion Re(ζ(z)) joukoss { + it < < } olevien nollkohtien joukko on korkeintn äärellinen. Edelleen yllä snotun nojll väite (34) seur tästä. Kun nyt väite (34) on todistettu, niin voidn todet, että nämä m pistettä eli tien J J jäljessä olevt pisteet tien päätepisteet pois lukien, joille pätee Re(ζ(z)) =, jkvt tien J J m + osn S,...,S m+, joist kullkin 86
jtkuvuuden perusteell päätepisteitä lukuunottmtt, Re(ζ(z)) > ti Re(ζ(z)) <. Huom, että tämä pätee myös kun m =. Lisäksi nämä m jkopistettä ovt, kuten edellä todettiin, kikki jnn J jäljessä. Trkstelln nyt yhtä tällist os S i, i =,...,m+. Olkoon S i : [,] C myös tämän osn prmetrisointi. Suorn tieintegrlin määritelmän nojll ζ (z) S i ζ(z) dz = dz. (36) ζ S i z Olkoot jokiselle i =,...,m + i j b i tien ζ S i lku- j loppupisteet, tässä järjestyksessä. Tällöinhän kikki i :t j b i :t (pisteet j mhdollisesti b m+ pois lukien) ovt imginrikselill. Lisäksi jokisen tien ζ S i jälki sijitsee kokonn joko suljetuss oikess ti ti vsemmss puolitsoss. Olkoon edelleen Y i, i =,...,m pisteitä i j b i yhdistävä puoliympyrätie, jonk jälki on smss puolitsoss kuin tien ζ S i jälki. Y j Y m+ vlitn nekin ympyrän kriksi, jotk yhdistävät pisteet j b (jok on imginrikselill) j vstvsti m+ (jok on imginrikselill) j b m+ j joiden jäljet ovt smss suljetuss puolitsoss kuin tien ζ S j vstvsti tien ζ S m+ jälki. Kikille i =,...,m+ on geometrisesti ilmeistä, että tiet ζ S i j Y i ovt YPPhomotooppisi (ks. [C, 8.]) lueess C \ {}, sillä niiden jäljet ovt smss suljetuss puolitsoss j lisäksi tehtyjen vlintojen perusteell ζ S i ei kulje origon kutt, j silloin myös i,b i, joten ympyrän kri Y i ei myöskään kulje origon kutt. Silloin Cuchyn luseen (ks. [C, 8.]) nojll pätee ζ S i z dz = dz. (37) Y i z Jokiselle i voidn vlit nlyyttinen logritmin hr Log i, jonk määrittelylue sisältää ympyrän kren Y i jäljen. Tälle logritmille (niin kuin kikille logritmin hroille) pätee Log i (z) = log z + iarg i (z) jollekin jtkuvlle rgumentille Arg i. Logritmin hr on funktion z primitiivi, joten / Y i z dz = bi Log i (z) = log b i log i + i(arg i (b i ) Arg i ( i )). (38) i Kosk kikille i =,...,m i j b i ovt imginrikselill, niin { π jos i j b i ovt eri puolill origo Arg i (b i ) Arg i ( i ) = jos i j b i ovt smll puolell origo. (39) Lisäksi ympyrän kret Y j Y m+ ovt korkeintn puoliympyrän pituisi, joten Arg (b ) Arg ( ) π j Arg m+ (b m+ ) Arg m+ ( m+ ) π. 87
Tällöin ehdon (39) perusteell Arg i (b i ) Arg i ( i ) π kikille i =,...,m +, jolloin ehdon (38) mukn ( ) Im Y i z dz = Arg i (b i ) Arg i ( i ) π kikille i =,...,m +. (4) Nyt voidn esittää lustv rvio, jost myöhemmin sdn hluttu ehto (33). Pätee näet ( ) ( Im ζ (z) m+ J J ζ(z) dz ) = Im ζ (z) i= S i ζ(z) dz i) = (4) ( m+ ) ( Im m+ i= ζ S i z dz ii) ) = Im i= Y i z dz m+ ( ) Im Y i z dz iii) m+ π = (m + )π, i= i= missä yhtälö i) seur ehdost (36) j yhtälö ii) ehdost (37). Epäyhtälö iii) sdn rviost (4). Ehdon (4) perusteell väite (33) j siten koko luseen väite seur, jos osoitetn, että m = O(log T). (4) Tässä siis m ei ole mikään vkio, vn se on tien J J jäljessä olevien funktion Re(ζ(z)) nollkohtien lukumäärä. Tämä riippuu tietysti luvust T, kosk tie J J riippuu T:stä. Edellä todettiin, että tien J jäljessä näitä nollkohti ei ole linkn. Lisäksi todettiin, että m on funktion g T (z) = (ζ(z + it) + ζ(z it)) relikselin välillä ],[ olevien nollkohtien lukumäärä. Silloin riittää osoitt, että funktion g T kiekoss B(, 3 ) olevien nollkohtien lukumäärä toteutt ehdon (4). Merkitään tässä kiekoss olevien g T :n nollkohtien lukumäärää kertluvut tällä kert huomioon otten symbolill m. Silloin väite (4) seur, jos osoitetn, että m = O(log T). (43) Funktio g T on nlyyttinen joukoss C\{±iT }. Kun T on suuri, g T on nlyyttinen lueess, jok sisältää suljetun kiekon B(, 7 4 ). Trkstelln g T:n käytöstä tässä kiekoss. 88
Kiekon keskipisteessä pätee g T (), mikä jo todettiin: tämä pistehän on tien J jäljessä, joss nollkohti ei ole. Itse siss pätee ehdon (35) nojll g T () 4. (44) Sovelletn sitten lusett.8 luvulle δ = 4, jolloin löydetään vkio C siten että ζ(z) C Im(z) 3 4 kikille z, joille Re(z) 4 j Im(z). (45) Tällöin kikille z, jotk ovt kiekon B(, 7 4 ) kehällä eli ympyrällä {z z = 7 4 } pätee suurille T g T (z) = (ζ(z + it) + ζ(z it)) ζ(z + it) + ζ(z it)) i) = ζ(z + it) + ζ(z + it) = ζ(z + it) + ii) ζ(z + it) (46) C (Im(z) + T) 3 4 + C ( Im(z) + T) 3 4 C(Im(z) + T) 3 4 iii) C( + T) 3 4, missä yhtälö i) seur luseest.. Epäyhtälö ii) tulee ehdost (45) (suurille T), joille ehdon (45) vtimukset toteutuvt, kosk ympyrällä {z z = 7 4 } pätee Re(z) 4. Epäyhtälö iii) seur siitä, että ympyrällä {z z = 7 4 } pätee Im(z) 4. Nyt sovelletn lemm.9 kiekkoihin B(, 7 4 ) j B(, 3 ) sekä funktioon g T. Kyseisen lemmn mukn ( 7 )m 4 3 m{ g T(z) : z = 7 4 }. g T () Tästä sdn ehtojen (44) j (46) nojll jost edelleen Tämän nojll j väite (43) seur. ( ) m 7 6 C( + T) 3 4 4 ( ) m 7 T suurille T. 6 m log 7 log T suurille T, 6, Toistiseksi todistmttomn luseen 8.8 yhteydessä kipiltiin tieto siitä, montko ζ-funktion nollkoht on neliössä {z < Re(z) <, T < Im(z) < T +}. Seurv luse vst tähän todistuksen ker. 89
Luse.3 Olkoon N(T) kuten merkinnässä. j h > kiinteä. Tällöin pätee N(T + h) N(T) = O(log T). Todistus. Määritellään funktio f : R + R settmll f(t) = t π log( t π ) t π kikille t R +. Tällöin f on derivoituv j f (t) = π log t t π + π t Relisen välirvoluseen nojll π π π = π log t π kikille t. f(t + h) f(t) = hf (ξ) = h π log ξ t π jollekin ξ t [t,t + h]. () Nyt sdn N(T + h) N(T) i) = f(t + h) + O(log(T + h)) f(t) + O(log T) ii) = f(t + h) f(t) + O(log T) iii) = h π log ξ T iv) + O(log T) = O(log T), π joten väite pätee. Tässä yhtälö i) seur luseest. j f:n määritelmästä. Yhtälö ii) seur siitä, että kiinteälle h pätee ilmeisesti O(log(T + h)) = O(log T). Yhtälö iii) tulee ehdost () j yhtälö iv) seur siitä, että ξ T [T,T + h] kiinteälle h, jolloin log ξ T = O(log T). Selbergin yhtälö j epäyhtälö Plutetn ensin mieliin (ks. määritelmä 4.6) Möbiuksen funktio µ j von Mngoldtin funktio Λ, jotk määriteltiin settmll kikille n N kun n = ( ) k kun n ei sisällä neliötekijää j µ(n) = k on n:n lkutekijöiden lukumäärä kun n sisältää neliötekijän j { log p kun n = p α joillekin p P j α N Λ(n) = muuten. Plutetn mieliin myös Möbiuksen toinen käänteiskv (luse 4.9), jonk mukn mielivltisille kuvuksille f,g : R + C ehdot f() = g( ) kikille j n n g() = n µ(n)f( n ) kikille 9
ovt ekvivlenttej. Seurv luse on tämän käänteiskvn muunnelm. Luse. (Iseki-Ttuzw) Olkoon f : [, [ C mielivltinen kuvus j määritellään g : [, [ C settmll g() = n f( )log kikille. n Tällöin kikille pätee f()log + n f( n )Λ(n) = n µ(n)g( n ). Todistus. Tämä on suorviivinen lsku: n µ(n)g( n ) i) = n µ(n) m n (k,d) k,d k µ(d)f( k )log d = k f( mn )log n = f( k ) d k µ(d)log d = k f( k ) µ(d)(log k + log k d ) = d k f( k )log µ(d) + f( k k ) µ(d)log k d k k d k d k f( )log + k f( k ) d k µ(d)log k d (n,m) n,nm iii) = µ(n)f( mn )log ii) = n iv) = f()log() + k f( k )Λ(k), joten väite pätee. Tässä yhtälö i) seur g:n määritelmästä j yhtälössä ii) tehdään summeerusindeksien vihto: k := mn j d := n. Yhtälö iii) perustuu luseeseen 4. j yhtälö iv) luseeseen 4.5. Selbergin kv vrten muistetn vielä Tšhebyšhevin ψ-funktion määritelmä: kikille ψ() = n Λ(n). Selbergin kvn todistuksess käytetään Mertensin kv, jok todistetn ensin. Luse. (Mertens) n Λ(n) n = log + O(). 9
Huomutus.3 Kosk ψ-funktion määritelmän j luseen.33 nojll n Λ(n) n = t dψ = t dψ, missä jälkimmäinen yhtälö seur siitä, että ψ() = kikille, niin Mertensin kvn ehto voidn esittää myös yhtäpitävässä muodoss dψ = log + O(). t Mertensin kvn todistus. Merkitään kikille L() = n log n. Osoitetn ensin, että kikille pätee ψ() = L( n )µ(n). () n Kv () voidn lske oikeksi seurvsti. n L( n )µ(n) = n µ(n) m n (k,d) k,d k µ(d)log k d = k log m = µ(d)log k d d k (n,m) n,nm µ(n)log m = ii) = Λ(k) iii) = ψ(), k (n,m) nm µ(n)log m i) = missä yhtälö i) perustuu summeerusindeksien vihtoon k := mn j d := n. Yhtälö ii) sdn luseest 4. j yhtälö iii) ψ-funktion määritelmästä. Sovelletn nyt Möbiuksen. käänteiskv ehtoon (), jolloin sdn kikille ehto L() = ψ( ). () n n Seurvksi osoitetn, että L() = dψ(t) + O(ψ()). (3) t 9
Väite (3) voidn perustell seurvll lskelmll. L() = i) ψ( n ) ii) = ψ( / iii) )d t = ψ( n t t ) t t dψ( t ) iv) = + t dψ( t ) v) = t dψ(t) + t dψ(t) + O + + + s dψ(s) = s dψ(s) + ( t vi) )dψ(t) = t ( ) viii) dψ(t) = + t dψ(t) + ( s s )dψ(s) = dψ(t) + O(ψ()), t ( t t vii) )dψ(t) = eli väite (3) pätee. Tässä yhtälö i) on ehto (). Yhtälö ii) seur luseest.9, sillä kuvus t ψ( t ) on vsemmlt jtkuv, kosk ψ on oikelt jtkuv kikiss pisteissä. Yhtälö iii) on osittisintegrointi. Yhtälö iv) seur siitä, että ψ() = j =. Yhtälö v) sdn vähenevällä muuttujnvihdoll s = t, ks. luse.8. Yhtälö vi) perustuu siihen, että ψ on vkio välillä [,+δ] pienelle δ >. Yhtälö vii) seur siitä, että luseen.44 j ψ:n ksvvuuden nojll ( t t )dψ(t) t t dψ(t) dψ(t). Yhtälö viii) seur luseest.7, jonk mukn Nyt sdn ehto dψ(t) = / t dψ = i) L() + O(ψ()) log + O(log ) log + O() + O(ψ()) ψ(t) = ψ() ψ() = ψ(). ii) n = log n + O(ψ()) iii) = + O(ψ()) O(log ) = log + + O(ψ()) iv) = log + O() + O() = log + O(), joten huomutuksen.3 perusteell Mertensin kv on todistettu. Tässä rvio i) sdn ehdost (3), yhtälössä ii) käytetään L:n määritelmää j rvio iii) sdn esimerkistä 4.5 b). Arvio iv) sdn Tšhebyšhevin luseest 4.. Luse.4 (Selbergin yhtälö) ψ()log + ψ( )Λ(n) = log + O(). n n = 93
Huomutus.5 Kosk määritelmänsä mukn Tšhebyšhevin ψ-funktio on Λ:n summfunktio, niin luseen.33 nojll (kosk ψ(t) = kikille t < j kuvus t ψ( t ) on vsemmlt jtkuv) ψ( n )Λ(n) = ψ( t )dψ(t). n Toislt tälle summlle sdn myös esitys n ψ( n )Λ(n) = Λ(n) Λ(m) = n m n (n,m) n,nm Λ(n)Λ(m) = (n,m) nm Λ(n)Λ(m). Silloin Selbergin yhtälölle sdn kksi vihtoehtoist, yhtäpitävää esitystp ψ()log + ψ( )dψ(t) = log + O() ti t ψ()log + Λ(n)Λ(m) = log + O(). (n,m) nm Selbergin yhtälön todistus. Olkoon ensin kikille f() j g() = n f( n )log = log n = log, jolloin luseen. nojll f()log + n f( n )Λ(n) = n µ(n) g( n ) eli log + n Λ(n) = n µ(n) n log( n ). Silloin ψ-funktion määritelmän j Tšhebyšhevin luseen 4. nojll sdn rvio µ(n) n log( ) = log + ψ() = log + O() = O(). () n n Merkitään sitten kikille f() = ψ() j g() = n f( )log, n jolloin ts lusett. käyttäen f()log + n f( n )Λ(n) = n µ(n)g( ). () n 94
Kosk ψ on Λ:n summfunktio, niin kv () voidn luseen.33 nojll kirjoitt muotoon (vrt. huomutus.5) f()log + f( t )dψ(t) = µ(n)g( ). (3) n n Esimerkeissä 4.5 b) j 4.7 osoitettiin, että log = log + O(log ) j (4) n n n = log γ + O( ), (5) missä γ on Eulerin vkio. Mertensin kvn (luse.) todistuksen kohdss () osoitettiin, että log = ψ( n ), n joten ehdon (4) nojll n n ψ( ) = log + O(log ). (6) n Ehdon () funktiolle g sdn nyt seurv esitys: g() = i) f( ii) )log = log ψ( n n ) iii) = (7) n n n n log (log + O(log ) (log γ + O( ) )) = log ( + O(log ) + γ + O()) = (γ )log + O(log ), missä yhtälö i) on g:n j vstvsti yhtälö ii) on f:n määritelmä. Yhtälö iii) seur ehdoist (6) j (4). Arvio (7) voidn kirjoitt myös muotoon g() = (γ ) log + O(log ), (8) kosk ilmeisesti (γ )( )log = O(log ). Trkstelln sitten rvioss (8) olev virhetermiä. Merkitään tätä virhetermiä symbolill h, jolloin siis h() = O(log ). Tämä merkitsee sitä, että on olemss vkiot M j C siten, että h() C log kun M. (9) Ehdon (8) nojll h() = g() (γ ) log, j kosk määritelmänsä nojll ilmeisesti g on rjoitettu välillä [, M], niin myös h on rjoitettu tällä välillä eli on olemss vkio C siten, että h() C kun [,M]. () 95
Yhdistetään nyt kvt () j (7) (j h:n määritelmä). Tällöin sdn f()log + n f( n )Λ(n) = (γ ) n µ(n) n log n + n µ(n)h( ). () n Ehtojen () j () nojll pätee f()log + n f( n )Λ(n) = O() + n µ(n)h( ). () n Arvioidn kvn () jäännöstermiä seurvsti: µ(n)h( n ) n µ(n)h( n ) i) h( n ) = n n h( n ) + h( n n ) ii) ( C log ) + n M M <n n M ) + C = n C log n + C C n n C log + C C log + C n / + log ( n ( log ) + C iii) C log + C n log C ( ) C log + C log + ( t ) t + C O(log ) + O() + O(log ) + C C + ( ) log dt + O() = v) C t + ( ( + ) C log + / + log C M <n + ( ) log dt + C = t log ) + C + ( t ) dt + C = ( t ) t + C + ( log ) dt + C iv) t ( ) log dt + C = t dt + O() = O() + O(log ) + O() + O() + O() = O(). (3) Tässä epäyhtälö i) seur siitä, että µ(n) kikille n, epäyhtälö ii) sdn ehdoist (9) j (), epäyhtälö iii) perustuu siihen, että kuvus t log ( ) t on vähenevä, j epäyhtälö iv) sekä yhtälö v) ovt osittisintegrointej. Yhdistämällä ehdot () j (3) sdn f()log + f( )Λ(n) = O(). (4) n n Nyt muistetn f:n määritelmä f() = ψ(), jolloin ehdon (4) nojll ψ()log + n ψ( n )Λ(n) = log + n Λ(n) n + O(). (5) 96
Mertensin kvn (luse 4.) nojll jolloin ehdon (5) mukn n Λ(n) n = log + O(), ψ()log + ψ( )Λ(n) = log + log + O() = log + O(). n n Tämä on Selbergin yhtälön väite. Selbergin yhtälön jälkeen todistetn selvästi vikempi Selbergin epäyhtälö. Sen todistuksess trvitn seurv pikku lemm, jonk todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Lemm.6 Olkoot,b,c,,b,c R siten, että c,c >. Tällöin pätee b b c c c c + b c b c. Luse.7 (Selbergin epäyhtälö) Merkitään kikille R + Tällöin pätee ρ() log ρ() = ψ(). ρ( ) dt + O(log log ). t Todistus. Määritellään luksi pufunktioit merkitsemällä kikille η() = ω() = ψ(t) dt, t ψ( t )dψ(t), S() = ψ()log + ω() η() j R() = S() log +. Funktion ω määritelmässä on syytä huomt, että kyseisen Stieltjes-integrlin olemssolo ei ole ivn itsestään selvää, vikk kovin yksinkertisist funktiost kyse onkin. Integrlin olemssolo seur luseest.7, sillä ψ on oikelt jtkuv porrsfunktio j kuvus t ψ( t ) on vsemmlt jtkuv. Kosk Tšhebyšhevin luseen 4. nojll ψ(t) t = O(), niin ψ(t) dt = O(). () t 97
Edelleen pätee S() i) = ψ()log + ψ()log + log + O(), ψ( t )dψ(t) + ψ(t) dt ii) = () t ψ( iii) )dψ(t) + O() = log + O() + O() = t missä yhtälö i) tulee suorn määritelmistä, yhtälö ii) seur ehdost () j yhtälö iii) Selbergin yhtälön huomutuksen.5 mukisest vihtoehtoisest muotoilust. Funktion R määritelmän j ehdon () nojll Lisäksi trivilisti pätee R() = O(). (3) R() = j (4) R() lim + log ψ()log + lim + i) = (5) ψ( t )dψ(t) log ψ(t) t dt log + log + iii) lim = + lim = + =, + log + log missä yhtälö i) seur määritelmistä j yhtälö ii) siitä, että ψ() =, kun <. Yhtälö iii) sdn vikkp L Hospitlin säännöstä. Lisäksi pätee ρ( t )dψ(t) = i) ψ( t )dψ(t) ii) dψ(t) = (6) t iii) ψ()log + log dψ(t) + O() = t ψ()log + log (log + O()) + O() = ψ()log + log + O() iv) = ρ()log + O(), missä yhtälöt i) j iv) tulevt funktion ρ määritelmästä, yhtälö ii) huomutuksen.5 Selbergin yhtälön vihtoehtoisest muotoilust j yhtälö iv) Mertensin kvn vihtoehtoisest muotoilust eli huomutuksest.3. Kiinnitetään jokin d ],[. Kosk ψ on vkio (eli noll) välillä [,[, niin ehto (6) voidn esittää myös muodoss ρ()log = d ii) = ρ( )dψ(t) + O(). (7) t 98
Trkoitus on nyt lske integrli d ρ( t ) ds(t). (8) log t (Vlint d > selittyy tästä: näin estetään nimittäjää menemästä nolln.) Suorn S:n määritelmästä j luseest.4 sdn (mikäli lrivin integrlit ovt olemss) d d ρ( t ) ds(t) = (9) log t ρ( t ) ρ( t d(ψ(t)log t) + ) log t d log t dω(t) ρ( t ) d log t dη(t). Trkstelln ensin esityksen (9) ensimmäistä integrli d ρ( t ) d(ψ(t)log t). () log t Kosk log on jtkuv integroimisvälillä j ψ on jtkuv pitsi äärellisen moness pisteessä, joiss se on oikelt jtkuv, sekä ρ( t ) log t on jtkuv pitsi äärellisen moness pisteessä, joiss se on vsemmlt jtkuv, niin integrli () toteutt luseen.65 ehdot. Jätetään tämän trkk todistus hrjoitustehtäväksi; tässä ei ole ongelmi muull kuin ψ:n epäjtkuvuuskohdiss, kosk ρ( t ) log t on selvästi rjoitetusti heilhtelev, ks. luse.6. Nämäkin ψ:n hyppäyspisteiden iheuttmt ongelmt poistuvt helposti integroitvn funktion vsemmlt jtkuvuutt käyttäen. Uskotn siis, että luseen.65 oletukset toteutuvt, jolloin kyseisen luseen nojll sdn d ρ( t ) d(ψ(t)log t) = log t d ρ( t ) ψ(t)d(log t) + log t Lusett.9 käyttäen tästä sdn edelleen d ρ( t ) d(ψ(t)log t) = log t d ρ( t ) log t ψ(t) dt + t d d ρ( t )dψ(t). ρ( )dψ(t). () t Trkstelln sitten esityksen (9) oiken puolen jälkimmäistä integrli d ρ( t ) dη(t). () log t Määritelmänsä mukn η(t) = t ψ(s) s ds. Ilmeisesti η on jtkuv, mutt se ei ole derivoituv ψ:n epäjtkuvuuspisteissä. Näitä on kuitenkin vin äärellinen määrä, joten ploittelemll integrli sopiviin osiin voidn sovelt lusett.9, jonk mukn ρ( t ) log t dη(t) = ρ( t ) d log t dη (t)dt, d 99
missä η (t):lle nnetn epäderivoituvuuskohdiss jokin (mielivltinen) rvo. Muiss pisteissä on η (t) = ψ(t), t joten ρ( t ) d log t dη(t) = ρ( t ) ψ(t) dt. (3) d log t t Esityksen (9) oiken puolen keskimmäinen integrli d ρ( t ) log t dω(t) on olemss, kosk ψ:n oikelt jtkuvuuden nojll ilmeisesti myös ω on oikelt jtkuv j integroitv funktio on vsemmlt jtkuv sekä rjoitetusti heilhtelev. Jätetään tämänkin trkk todistus hrjoitustehtäväksi, jok vrmn hoituu smll vivll kuin tuo edellinenkin, esityksen (9) ensimmäiseen integrliin liittyvä hrjoitustehtävä. Tämän hvinnon sekä ehtojen (9), () j (3) nojll d d d ρ( t ) ds(t) = (4) log t ρ( t ) ψ(t) dt + ρ( log t t d t )dψ(t) + ρ( t ) d log t dω(t) ρ( t ) ψ(t) dt = d log t t ρ( t )dψ(t) + d ρ( t ) log t dω(t). Funktion R:n määritelmän j ehdon (4) sekä luseiden.4 j.9 nojll sdn d d d d ρ( t ) log t dr(t) = ρ( t ) log t ds(t) + ρ( t ) log t ds(t) d d ρ( t )dψ(t) + d d ρ( t ) d(s(t) t log t + t ) = (5) log t ρ( t ) ( log t + )dt = log t ρ( t )dt = ρ( t ) log t dω(t) d ρ( t )dt. Yleensähän näissä lskuiss kikki funktiot ovt positiivisi, mutt ρ ei välttämättä ole: sen merkistä on melko vike sno yleisesti mitään. Siksipä ρ j ρ ovt eri funktioit. Trkstelemll yllä esitettyjä kvn (5) johtneit lskelmi hvitn, että funktioll ρ ei niissä ole suurtkn rooli: ino ominisuus, jot oleellisesti käytetään on se, että kuvus t ρ( t ) on vsemmlt jtkuv. Tämä sm ominisuus on tietysti myös funktioll ρ, joten toistmll yllä esitetty sdn nlogisesti yhtälö d ρ( t ) log t dr(t) = d ρ( t ) dψ(t) + d ρ( t ) log t dω(t) d ρ( ) dt. (6) t
Yhdistämällä ehdot (7) j (5) syntyy rvio ρ( t ρ()log = ) d log t dr(t) + ρ( t ) d log t dω(t) d ρ( )dt + O(). (7) t Osoitetn seurvksi, että kvn (7) jälkimmäiselle integrlille pätee Tätä vrten todistetn ensin vähän helpompi väite d ρ( )dt = O(). (8) t ρ( )dt = O(). (9) t Mertensin kvn vihtoehtoisen muotoilun (huomutus.3) perusteell sdn ensin dψ(t) = log + O(). () t Toislt osittisintegroimll j lusett.9 käyttäen sdn / t dψ(t) = ψ(t) t jolloin ehdon () nojll + ψ(t) ψ() dt = t + ψ(t) t dt, ψ(t) ψ() dt = log + O(). () t Kosk Tšhebyšhevin luseen 4. nojll ψ() = O(), niin ehdon () perusteell ψ(t) dt = log + O(). () t Nyt sdn ρ( ( t )dt = i) ρ(s) ii) ψ(s) ) ds = s s ds s ds iii) = (log + O() log ) = O() = O(), j väite (9) pätee. Tässä yhtälö i) syntyy muuttujnvihdoll s = t, yhtälö ii) tulee funktion ρ määritelmästä j yhtälö iii) ehdost (). Ehdon (9) nojll väite (8) seur, jos osoitetn, että d ρ( )dt = O(). () t
Kosk ρ:n määritelmän mukn ρ( t ) = ψ( t ) t j d t dt = log d = O(), niin väite () seur, jos osoitetn, että d ψ( )dt = O(). (3) t Kosk Tšhebyšhevin luseen 4. nojll ψ(s) = O(s), niin on olemss vkiot M j C siten, että ψ( t ) C kun M. (4) t t Kun dm, niin t d M kikille t [,d], j silloin ehdon (4) nojll d ψ( t )dt C d dt = C log d, t jolloin väite (3) seur. Silloin seur myös ehto (), joten väite (8) on todistettu. Ehtojen (7) j (8) nojll pätee ρ()log = d ρ( t ) log t dr(t) + Lskemll yhteen kvt (7) j (5) sdn d ρ( t ) dω(t) + O(). (5) log t ρ()log = (6) d ρ( t )dψ(t) d ρ( t ) log t dr(t) + Kvn (6) j tvllisen kolmioepäyhtälön nojll d ρ( t ) dω(t) + O(). log t ρ() log (7) ρ( t )dψ(t) + ρ( t ) log t dω(t) + ρ( t ) log t dr(t) + O(). d d Trivilisti ψ on ksvv j kosk se on lisäksi ei-negtiivinen, seur ω:n määritelmästä j Stieltjes-integrlien perusominisuuksist, että myös ω on ksvv. Tällöin luseen.46 nojll ρ( d t )dψ(t) ρ( d t ) dψ(t) j ρ( t ) log t dω(t) ρ( t ) log t dω(t). Näiden rvioiden j ehdon (7) nojll d d ρ() log (8) ( ρ( t ) dψ(t) + ρ( t ) ) log t dω(t) + ρ( t ) log t dr(t) + O(). d d d d
Ehdon (6) nojll d ρ( t ) dψ(t) + jolloin epäyhtälön (8) perusteell d ρ( t ) log t dω(t) = ρ( t ) d log t dr(t) + d ρ( t ) dt, ρ() log (9) ρ( t ) log t dr(t) + ρ( t ) dt + ρ( t ) log t dr(t) + O(). d d Kosk O() = O( log log ), niin ehdon (9) perusteell Selbergin epäyhtälön väite seur, jos osoitetn, että ρ( t ) dr(t) = O(log log ) j (3) d log t ρ( t ) log t dr(t) = O(log log ). (3) d Todistetn ensin vähän helpompi väite (3). Tälle sdn rvio ρ( t ) d log t dr(t) i) / = ρ( t ) ( ρ( d log t R(t) t R(t)d ) ) ii) d log t / ρ( t ) d log t R(t) ( ρ( + t R(t)d ) ) iii) d log t ρ() log R() + ρ( d ) log d R(d) ( ρ( + t R(t)d ) ) iv) = d log t R() log + R(d) ( ρ( log d ρ( d ) + t R(t)d ) ), (3) log t missä yhtälö i) on osittisintegrointi j epäyhtälöt ii) sekä iii) tvllisi kolmioepäyhtälöitä. Yhtälö iv) seur siitä, että suorn ρ:n määritelmän mukn ρ() =. d d Ehdon (3) nojll Toislt R() log = O( ) = O(). (33) log ρ( d ) = ψ( d ) d ψ( d ) + d i) = O( d ) + = O(), (34) d missä yhtälö i) seur Tšhebyšhevin luseest 4.. Kosk O() = O( log log ), niin ehtojen (3), (33) j (34) perusteell väite (3) seur, jos osoitetn, että ( ρ( t R(t)d ) ) = O(log log ). (35) log t d 3
Kosk ρ:n määritelmän mukn ρ( t ) = ψ( t ) t, niin luseen.4 j kolmioepäyhtälön nojll d d ( ρ( t R(t)d ) ) = log t ( ψ( t R(t)d ) ) + log t d d ( ψ( R(t)d log t t ) R(t)d ( t log t ) ). d ( ) t R(t)d log t Silloin väite (35) seur, jos osoitetn, että ( ψ( t R(t)d ) ) = O(log log ) j (36) d log t ( ) R(t)d = O(log log ). (37) t log t d d t log t on Todistetn tässäkin ensin helpompi väite (37). Kosk funktio t ksvv välillä [d,], niin luseiden.4 j.46 nojll ( ) ( ) R(t)d = d t log t R(t)d (38) d t log t ( ) R(t) d. t log t Ehdon (3) mukn R() = O(), j kosk ilmeisesti R on rjoitettu kikill rjoitetuill väleillä [d, M], niin on olemss :stä riippumton vkio C siten, että R(t) Ct kikille t [d,]. (39) Silloin luseen.45 j funktion t d ( ) R(t) d t log t t log t C ksvvuuden nojll d ( ) t d. (4) t log t Ehtojen (38) j (4) nojll väite (37) seur, jos osoitetn, että ( ) t d = O(log log ). (4) t log t d Väite (4) sdn lskettu oikeksi seurvsti. ( ) / i) t d = t d t log t d t log t + d t log t dt = log + log d + dt = O() + t log t t log t dt = / d d log(log t) + O() = log log + O() = O(log log ). d 4
Tässä yhtälö i) sdn osittisintegroinnist. Näin väite (37) on todistettu j seurvksi todistetn väite (36). Kosk ψ on ksvv, niin kiinteälle kuvus t ψ( t ) on vähenevä, j silloin t ψ( t ) log t on myös vähenevä j siten t ψ( t ) log t on ksvv välillä [d, ]. Silloin luseiden.4 j.46 nojll (kuten ehdoss (38)) d d ( ψ( t R(t)d ) ) = log t ( ψ( t R(t) d ) ). log t d d ( ψ( t R(t)d ) log t d ) (4) Ehdon (39) nojll sdn (kuten ehdoss (4)) ( ψ( t R(t) d ) ) ( ψ( t C td ) ). (43) log t log t Ehtojen (4) j (43) nojll väite (36) seur, jos osoitetn, että ( ψ( t t d ) ) = O(log log ). (44) log t d Väite (44) sdn lskettu oikeksi seurvsti. ( ψ( t t d ) ) i) / = d log t t ψ( t ) d log t + d dψ( d ) log d + ψ( t ) log t dt iii) C log d + C C / d d d ψ( t ) log t dt ii) = t log t dt = log(log t) + O() = C(log log + O()) + O() = Clog log + O() = O(log log ), missä yhtälö i) on osittisintegrointi, yhtälö ii) seur siitä, että ψ() =, j epäyhtälö iii) tulee ehdost (39). Näin väite (36) on todistettu. Kosk väite (37) todistettiin jo edellä, väite (35) j siten myös väite (3) on todistettu. Koko luseen väitteen todistmiseksi riittää siten todist väite (3). Tässä voidn loitt kuten väitteen (3) todistuksess j vstvll tvll sdn rvio ρ( t ) d log t dr(t) R() log + R(d) log d ρ( d ) + d ( ρ( R(t)d t ) log t ). (3 ) 5
Ehdot (33) j (34) pätevät edelleen, j nyt väite (3) seur ehdon (3 ) nojll, jos osoitetn, että ( ρ( t R(t)d ) ) = O(log log ). (35 ) log t i= d Tätä ei suorn voi purk väitteiksi (36) j (37), kosk itseisrvo tuott hnkluuksi huom, että funktion t ρ( t ) merkistä ei ole selvää käsitystä. Nyt täytyykin plt lkeisiin eli Stieltjes-integrlin määritelmään. Olkoon J = (y i ) n i= välin [d,] jko j ξ i [y i,y i ], i =,...,n. Silloin sdn rvio ( n ρ( y R(ξ i ) i+ ) ρ( ) y i ) n log y i= i+ log y i ρ( y R(ξ i ) i+ ) ρ( y i ) i) log y i= i+ log y i n ψ( y C ξ i+ ) y i+ i ψ( y i ) y i ii) log y i= i+ log y i ( n ψ( y C ξ i+ ) i ψ( ) y i ) log y i= i+ log y i + y i+ y i = (45) log y i+ log y i n ψ( y C ξ i+ ) i ψ( y i ) n log y i= i+ log y i + C y ξ i+ y i i iii) = log y i= i+ log y i ( n ψ( y C ξ i+ ) i ψ( ) ( y i ) n y + C ξ i+ i ) y i, log y i+ log y i log y i+ log y i missä epäyhtälö i) seur ehdost (39), epäyhtälö ii) lemmst.6 j yhtälö iii) siitä, että kuvukset t t log t j t ψ( t ) log t ovt väheneviä. Arvio (45) pätee kikille välin [d, ] joille. Kun jko tihennetään, lähestyy rvion (45) vsen pää Stieltjes-integrlin määritelmän mukn luku ( ρ( t R(t)d ) ) log t j oike pää luku C d d i= ( ψ( t td ) ) + C log t d ( td t ) log t Arvion (45) epäyhtälö säilyy tässä rjnkäynnissä, joten sdn rvio ( ρ( t R(t)d ) ) ( ψ( t C t d ) ) ( ) t + C t d. log t log t log t d Tällöin väite (35 ) seur ehdoist (44) j (4). d ). d Näin Selbergin epäyhtälö on kokonisuudessn todistettu. 6
Alkulukuluseen lkeellinen todistus Tässä luvuss todistetn lkulukuluse ilmn kompleksinlyysiä Selbergin epäyhtälön vull. Tämän koko luvun sisältö on kyseinen todistus. Alkulukulusehn voidn ehkä yksinkertisimmilln esittää huomutuksen 4.33 mukisesti muodoss ψ() eli ψ() lim =. () Merkitään kuten Selbergin epäyhtälössä ρ() = ψ(). Tällöin väite () ρ() voidn esittää muodoss lim = eli lkulukuluseen eräs muoto on ρ() = o(), jok vielä voidn (tktisist syistä) esittää muodoss ρ(e ) = o(e ). () Merkitään kikille R + r() = ρ(e )e, jolloin väite () eli lkulukuluse tulee muotoon Selbergin epäyhtälön eli luseen.6 mukn pätee ρ() log r() = o(). (3) ρ( ) dt + O(log log ). t Merkitään tässä ξ = log, jolloin Selbergin epäyhtälö s muodon ρ(e ξ ) ξ e ξ ρ( eξ t ) dt + O(eξ log ξ). Tehdään vielä yllä olevss integrliss muuttujnvihto τ = log t, jolloin Selbergin epäyhtälö tulee muotoon ρ(e ξ ) ξ ξ ρ(e ξ ) e ξ ξ r(ξ) ξ r(ξ) ξ ξ ξ ρ(e ξ τ ) e τ dτ + O(e ξ log ξ) ξ eli ρ(e ξ τ ) e τ ξ dτ + O( log ξ ) eli ξ r(ξ τ) dτ + O( log ξ ) eli (muuttujnvihdoll s = ξ τ) ξ r(s) ds + O( log ξ ). (4) ξ Mertensin kvn vihtoehtoisen muotoilun (huomutus.3) mukn pätee dψ(t) = log + O(). t 7
Kosk ρ:n määritelmän mukn ψ(t) = ρ(t) + t, niin tämä tulee luseen.4 nojll muotoon t dρ(t) + dt = log + O(), t jok supistuu edelleen kvksi Tästä sdn osittisintegroimll / t ρ(t) + dρ(t) = O(). t ρ(t) dt = O(). (5) t Tšhebyšhevin luseen 4. nojll ρ() = ψ() = O(), jolloin / j ehto (5) sdn edelleen muotoon ρ(t) = O(), t ρ(t) dt = O(). t Tehdään tässä muuttujnvihto s = log t, jolloin sdn log log log ρ(e s ) e s es ds = O() ρ(e s )e s ds = O() r(s)ds = O() eli eli eli r(s)ds = O(). (6) Ehto (6) ei välttämättä trkoit sitä, että integrli r(s)ds suppenisi, mutt kosk integrlin lpäässä ei selvästikään ole suppenemisongelmi, niin ehdon (6) nojll on kuitenkin mhdollist vlit vkio C siten, että r(s)ds C kikille < b <. (7) Kosk ψ on porrsfunktio, joll on hyppäyskohti vin lkulukupisteissä, niin ρ on määritelmänsä ρ() = ψ() nojll ploittin jtkuv j vähenevä lkulukupisteiden välissä; lkulukupisteissä ρ hyppää ylöspäin. Tällöin funktioll r() = ρ(e )e = ψ(e )e on vstv ominisuus: sillä on numeroituv määrä epäjtkuvuuskohti, joiss se hyppää ylöspäin; muull r on jtkuv j 8
vähenevä. Hyppäyspisteissä r (smoin kuin ρ j ψ) on oikelt jtkuv. Tällöin on ilmeistä, että voidn muodost äärellinen ti ääretön idosti ksvv jono ( n ), jok sisältää täsmälleen kikki funktion r merkinvihtokohdt, ts. ne pisteet n, joille löytyy ympäristö ] n δ, n + δ[ joss pätee [r(y) < j r(z) > ] ti [r(y) > j r(z) < ] kikille y ] n δ, n [ j z ] n, n + δ[. Funktion r ploittisen vähenevyyden nojll r voi viht merkkiään negtiivisest positiiviseen vin hyppäyskohdissn. Välttämättähän merkki ei näissä pisteissä vihdu, mutt jos vihtuu, vihtuu nimen omn näin päin. Siten r:n merkki voi vihtu positiivisest negtiiviseen vin jtkuvuuspisteissä. Oletetn ensin, että jono ( n ) on ylhäältä rjoitettu. (Äärellisessä tpuksesshn se sitä tietysti on, mutt nyt on huomttv, että ei ole mitään tieto näiden merkinvihtokohtien ( n ) lukumäärästä.) Olkoon n K kikille n j merkitään D = K r(t) dt R. Tällöin r ei vihd merkkiään pisteen K yläpuolell j sdn kikille K r(t) dt = K r(t) dt + K r(t) dt = D + K i) r(t)dt D + C, (8) missä epäyhtälö i) tulee ehdost (7). Ehtojen (4) j (8) nojll sdn rvio r() D + C joten lkulukuluseen muotoilu (3) pätee. + O( log ) = O(log ) = o(), Näin si on selvä, jos ( n ) on ylhäältä rjoitettu, joten voidn olett, että lim n n =. Tehdään ntiteesi: väite (3) ei päde. Tällöin Kiinnitetään jokin λ siten, että λ := lim sup r() >. < λ < min{λ,}. (9) Trkstelln yksittäistä väliä [ n, n+ ]. Tällä välillä r ei siis vihd merkkiään j sillä on vin äärellisen mont hyppäyskoht, joiden välillä r on vähenevä. Tällöin on ilmeistä, että väli [ n, n+ ] voidn jk äärellisen moneen osväliin, joist kullkin on joko r() λ ti vstvsti r() > λ. Olkoot A n,...,a n i n [ n, n+ ] ne osvälit, joiss r() λ 9
j vstvsti B n,...,b n l n [ n, n+ ] ne osvälit, joiss r() > λ. Merkitään vielä symbolill A n välien A n i yhteenlskettu pituutt j vstvsti symbolill B n välien Bl n yhteenlskettu pituutt. Tällöin pätee Lisäksi sdn rvio l n l n λ B n = λ dt = λ dt i) j= Bl n j j= Bl n j l n iii) l n r(t)dt r(t)dt + Bl n j Bl n j j= i= A n + B n = n+ n. () i n j= l n r(t) dt ii) = () Bl n j r(t)dt A n i j = n+ iv) r(t)dt C, n missä epäyhtälö i) seur siitä, että λ < r(t) väleillä Bl n j j yhtälö ii) siitä, että r ei vihd merkkiään koko välillä ] n, n+ [. Smst syystä r on smnmerkkinen sekä väleillä Bl n j että A n i j, jolloin epäyhtälö iii) seur. Epäyhtälö iv) tulee ehdost (7). j= Osoitetn seurvksi, että { A n n+ n kun log( + λ ) > n+ n log( + λ ) kun log( + λ ) n+ n. () Kuten edellä todettiin, r voi viht merkkiään negtiivisest positiiviseen vin hyppäyskohdissn (joiss r on oikelt jtkuv) j positiivisest negtiiviseen vin jtkuvuuspisteissä. Kosk molemmiss pisteissä n j n+ merkki vihtuu, niin toinen näistä on jtkuvuuspiste j toinen hyppäyspiste. Trkstelln väitteen () todistmiseksi ensin tpust, joss n+ on jtkuvuuspiste. Tällöin siis merkki vihtuu pisteessä n+ positiivisest negtiiviseen j r( n+ ) = j (3) r() kikille [ n, n+ [. (4) Kosk r() = ψ(e )e, niin ehdon (3) nojll ψ(e n+ ) = e n+. (5) Olkoon sitten [ n, n+ ] niin lähellä välin päätepistettä n+, että n+ log( + λ ). (6)
Tälliselle sdn rvio i) r() = ψ(e )e ii) = ψ(e )e ψ(e n+ )e n+ iii) (7) ψ(e n+ )e ψ(e n+ )e n+ = ψ(e n+ )(e e n+ ) iv) = e n+ (e e n+ ) = e n+ v) λ, missä epäyhtälö i) seur ehdost (4), yhtälö ii) ehdost (5), epäyhtälö iii) ψ:n ksvvuudest, yhtälö iv) ts ehdost (5) j epäyhtälö v) ehdost (6). Epäyhtälöketju (7) merkitsee sitä, että kikki ehdon (6) toteuttvt pisteet ovt välillä A n i n, jolloin [ n+ log( + λ ), n+ ] [ n, n+ ] A n i n. (8) Jos nyt log( + λ ) n+ n, niin [ n+ log( + λ ), n+ ] [ n, n+ ], j silloin ehdon (8) nojll [ n+ log( + λ ), n+ ] A n i n, jost edelleen luvun A n määritelmää käyttäen A n log( + λ ). Tämä merkitsee sitä, että väitteen () lempi ehto on todistettu (jos n+ on jtkuvuuspiste). Toislt ts jos log( + λ ) n+ n, niin ehdon (8) nojll [ n, n+ ] A n i n, jolloin i n = j A n :n määritelmän nojll A n = n+ n, eli myös väitteen () ylempi ehto on todistettu (jos n+ on jtkuvuuspiste). Näin on nähty väitteen () pikknspitävyys siinä tpuksess, että n+ on jtkuvuuspiste. Riittää siis trkstell tpust, joss n on jtkuvuuspiste. Tässä tpuksess sdn ehtojen (3), (4) j (5) sijst ehdot r( n ) =, r() kikille [ n, n+ [ j (9) ψ(e n ) = e n. () Olkoon sitten ehto (6) vstten [ n, n+ ] siten, että Oletuksen < λ < (ehto (9)) nojll log( + λ ) < log( + λ ) log( λ ) = log n log( + λ ). () λ = log( λ ). ()
Ehtojen () j () perusteell Tälliselle sdn rvio n log( + λ ) > log( λ ). (3) i) r() = ψ(e )e ii) = ψ(e )e ψ(e n )e n iii) (4) ψ(e n )e ψ(e n )e n = ψ(e n )(e e n ) iv) = e n (e e n ) = e n v) λ, missä epäyhtälö i) seur ehdost (9), yhtälö ii) ehdost (), epäyhtälö iii) ψ:n ksvvuudest, yhtälö iv) ts ehdost () j epäyhtälö v) ehdost (3). Epäyhtälöketju (4) merkitsee sitä, että kikki ehdon () toteuttvt pisteet toteuttvt myös ehdon r() λ j ovt siten välillä A n, jolloin [ n, n + log( + λ )] [ n, n+ ] A n. (5) Jos nyt log(+λ ) n+ n, niin [ n, n +log(+λ )] [ n, n+ ], j silloin ehdon (5) nojll [ n, n + log( + λ )] A n, jost edelleen luvun A n määritelmää käyttäen A n log( + λ ). Tämä merkitsee sitä, että väitteen () lempi ehto on todistettu myös silloin, kun n on jtkuvuuspiste. Toislt ts jos log( + λ ) n+ n, niin ehdon (5) nojll [ n, n+ ] A n, jolloin A n :n määritelmän nojll A n = n+ n, eli myös väitteen () ylempi ehto on todistettu, kun n on jtkuvuuspiste. Näin on nähty väitteen () pikknspitävyys molemmiss eli kikiss tpuksiss. Ehto () voidn kirjoitt myös muodoss { A n n+ n kun log( + λ ) > n+ n log(+λ ) n+ n ( n+ n ) kun log( + λ (6) ) n+ n ti A n m n ( n+ n ) eräälle n:stä riippuvlle vkiolle m n.
Tässä jälkimmäinen ehto on kovin epämääräinen m n :n oslt, mutt ehto on tässä vin mllin seurvlle täsmällisemmälle j pljon vhvemmlle väitteelle, jok kuuluu seurvsti: on olemss kiinteä vkio < m < siten, että A n m( n+ n ) kikille n. (7) Tämä väite (7) pitää todist. Ehdon (6) nojll mikä thns < m < kelp, jos välin [ n, n+ ] pituus n+ n on korkeintn log(+λ ). Voidn siis olett, että log( + λ ) < n+ n. (8) Ehtojen () j () nojll pätee jolloin λ ( n+ n A n ) C, n+ n C λ An j edelleen ( ) C λ ( n+ n ) = n+ n C ( n+ n ) λ An. (9) Vlitn nyt ehdoss (7) kipiltu vkio m settmll m = λ log( + λ ) C + λ log( + λ ), jolloin < m < ; tämähän on väitteen (7) knnlt merkityksellistä. Pitää siis osoitt, että A n m( n+ n ). (3) Ehdon (9) nojll väite (3) seur, jos osoitetn, että m C λ ( n+ n ). (3) Välin [ n, n+ ] pituudelle pätee oletuksen (8) nojll joko log( + λ ) < n+ n log( + λ ) + C λ ti (3) log( + λ ) + C λ < n+ n. (33) 3
Trkstelln ensin tpust (3). Tässä vihtoehdoss väitteen (3) todistmiseksi riittää ehtojen (6) j (8) nojll osoitt, että m log( + λ ) eli n+ n λ log( + λ ) C + λ log( + λ ) log( + λ ) n+ n λ C + λ log( + λ ) n+ n eli eli n+ n C λ + log( + λ ). (34) Väite (34) sdn suorn oletuksest (3). Näin tämä tpus (3) on selvä, j riittää todist väite (3) tpuksess (33). Tässä vihtoehdoss turvudutn ehtoon (3), jonk perusteell riittää osoitt, että Tämän s seurvsti: C λ ( n+ n ) λ log( + λ ) C + λ log( + λ ), λ log( + λ ) C + λ log( + λ ) C λ ( n+ n ). (35) i) C λ (log( + λ ) + C λ ) = C λ log( + λ ) + C = missä epäyhtälö i) sdn ehdost (33). Näin väite (3) eli väite (7) on todistettu. Kosk r() = ψ(e )e, niin Tšhebyšhevin luseen 4. nojll r() = O(), joten λ = lim sup r() on reliluku, ei siis. Olkoon sitten ǫ > mielivltinen. Kosk λ R, niin on olemss ǫ R + siten, että r() λ + ǫ kikille ǫ. (36) Olkoon ǫ. Merkinvihtopisteiden n muodostm jono on idosti ksvv j tehdyn oletuksen mukn rjoittmton, joten voidn vlit m = min{ n n ǫ } k = m{ n n }. j 4
Oletetn, että on niin suuri, että m k. Tällöin sdn m m m r(t) dt = m r(t) dt + k n=m n+ n r(t) dt + r(t) dt i) k k r(t) dt + (A n λ + ( n+ n A n )(λ + ǫ)) + r(t) dt ii) = n=m k k r(t) dt + (A n λ + ( n+ n A n )(λ + ǫ)) + r(t)dt k n=m k r(t) dt + (A n λ + ( n+ n A n )(λ + ǫ)) + C iv) = n=m k (A n λ + ( n+ n A n )(λ + ǫ)) + O() = n=m k ( n+ n )(λ + ǫ) n=m k ( n+ n )(λ + ǫ) n=m k n=m k n=m A n (λ + ǫ λ ) + O() v) m( n+ n )(λ + ǫ λ ) + O() = (λ + ǫ)( k m ) m(λ + ǫ λ )( k m ) + O() vi) (λ + ǫ m(λ + ǫ λ )) + O(), (37) missä epäyhtälö i) seur lukujen A n määritelmästä j ehdost (36), yhtälö ii) seur siitä, että r ei k :n vlinnn nojll vihd merkkiään välillä [ k,], epäyhtälö iii) tulee ehdost (7), yhtälö iv) seur siitä, että m on kiinteä :stä riippumton luku (se, mikä tässä :stä riippuu on k), epäyhtälö v) tulee ehdost (7) j siitä, että λ + ǫ λ > j lopult epäyhtälö vi) seur m :n j k :n vlinnst. Yhdistämällä ehdot (4) j (37) sdn ehto r() ((λ + ǫ m(λ + ǫ λ )) + O()) + O( log ) = (38) λ + ǫ m(λ + ǫ λ ) + O( log ). Kosk λ = lim sup r() R, niin ehdon (38) j lim sup:n määritelmän mukn λ λ + ǫ m(λ + ǫ λ ) + O( log ), jolloin ehdon lim log = nojll on oltv λ λ + ǫ m(λ + ǫ λ ), iii) 5
j siten m(λ λ ) ǫ( m). (39) Tässä vlittiin mielivltinen ǫ >, j päädyttiin ehtoon (39) kiinteille m,λ j λ. Siten ehto (39) pätee kikille ǫ >. Tällöin on oltv m(λ λ ). Tämä on kuitenkin mhdotont, kosk m > j λ < λ. Tämä ristiriit kt ikoj sitten eli ehdon (9) pikkeill tehdyn ntiteesin, joten väite (3) seur. 3 Äärellistä ryhmäteori Tässä esityksessä trkstelln vin kommuttiivisi eli Abelin ryhmiä, jotk ovt lisäksi äärellisiä, j trkoituksen on selvittää tällisten ryhmien rkenne täydellisesti. Aloitetn merkinnöillä. Merkintä 3. Olkoon (G,+) Abelin ryhmä. Additiivisesti merkityn lskutoimituksen + neutrlilkiot merkitään tvnomiseen tpn symbolill. Alkion g G käänteis- eli vst-lkion symboli on g j kokonisen monikerrn symbolin käytetään merkintää ng = g+...+g, missä summttvi on n kpplett. Negtiiviselle n merkintä on ng = ( g) +... + ( g) = ( ng). Ryhmän G liryhmälle H käytetään merkintää H G. Alkion g G virittämä syklinen liryhmä on g := {ng n Z} G. Merkitään symbolill #G ryhmän G kertluku eli lkioiden lukumäärää. Kikille g G merkitään symbolill #g lkion g virittämän syklisen liryhmän kertluku. Ryhmien isomorfisuutt merkitään symbolill =. Ryhmähomomorfismin f ydintä merkitään symbolill Ker(f). Abelin ryhmän kikki liryhmät ovt normlej, joten tekijäryhmä G/H on hyvin määritelty kikille H G. G/H on myös Abelin ryhmä, j sen lkioit eli tekijäluokki merkitään (yleensä) symbolill [g] := {g + h h H} kikille g G. Jos H G j H G, niin merkitään H + H = {h + h G h H j h H }. On ilmeistä, että H + H G. (Huom kuitenkin, että tämä vtii kommuttiivisuutt ei-kommuttiivisess tpuksess summst ei välttämättä tule liryhmää.) Jos (G,+ ),...,(G n,+ n ) ovt Abelin ryhmiä, niin niiden tuloryhmä on n ( G i, ), i= 6
missä n i= G i = G... G n j lskutoimitus määritellään settmll (g,...,g n ) (g,...,g n) = (g + g,...,g n + n g n) n kikille (g,...,g n ),(g,...,g n) G i. On selvää, että myös tuloryhmä on Abelin ryhmä. Lemm 3. Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j H G. Tällöin H:n kertluku jk G:n kertluvun. Lisäksi pätee #(G/H) = #G #H. Todistus. Algebrn peruskurssill tämä Lgrngen luseeksi kutsuttu tulos todistetn. Lemm 3.3 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j g G. Tällöin pätee ) #g #G, i= b) #g = min{n N ng = } j c) kikille k Z pätee ehto kg = #g k. Todistus. Nämäkin perusfktt todistetn lgebrn peruskurssill. Lemm 3.4 Olkoot (G,+) j (G,+ ) Abelin ryhmiä j f : G G homomorfismi. Tällöin Ker(f) G, f(g) G j pätee G/Ker(f) = f(g). Todistus. Tämä perusisomorfiluse on sekin lgebrn peruskurssin stndrdiklusto. Lemm 3.5 Olkoon (G, +) Abelin ryhmä j H, K G. Tällöin H K H, K H + K j (H + K)/K = H/(H K). Todistus. Tätä ei ihn in lgebrn peruskurssill todistet, mutt todistus on helppo. Kuvus f : H (H + K)/K, f(h) = [h + ] on surjektiivinen homomorfismi j sen ydin on H K, jolloin väite seur lemmst 3.4. Määritelmä 3.6 Olkoon (G,+) Abelin ryhmä j H,H G. Snotn, että G on liryhmiensä H j H suor summ, merkitään G = H H, jos pätee G = H + H j H H = {}. 7
Suorn summn käsite ljennetn koskemn usempikin liryhmiä kuin vin kht. Todistetn ensin kuitenkin pieni lemm. Lemm 3.7 Olkoon (G,+) Abelin ryhmä j H,H G. Tällöin G = H H jos j vin jos jokinen G:n lkio g voidn yksikäsitteisellä tvll esittää muodoss g = h + h, missä h H j h H. Todistus. Kosk suorn määritelmän mukn oletus G = H H implikoi ehdon G = H +H, niin riittää osoitt esityksen g = h +h yksikäsitteisyys. Olkoon siis g = h + h = h + h, missä h,h H j h,h H. Pitää osoitt, että h = h j h = h. Oletuksen g = h +h = h +h nojll h h = h h. Kosk h h H j h h H, niin h h = h h H H. Kosk oletuksen G = H H perusteell H H = {}, niin tällöin h h = h h =, jost väite h = h j h = h seur. Ehto G = H + H seur trivilisti summesityksen olemssolost, joten riittää osoitt, että H H = {}. Neutrlilkio on trivilisti näissä molemmiss liryhmissä, joten riittää todist ehto H H =. Jos H H, niin :llä on esitys = +, missä H j H sekä toislt esitys = +, missä H j H. Tämän esityksen oletetun yksikäsitteisyyden nojll on oltv =. Lemmn 3.7 nojll on luontev yleistää suorn summn määritelmä usemmille liryhmille: Määritelmä 3.8 Olkoon (G,+) Abelin ryhmä j H,...,H n ryhmän G liryhmiä. Snotn, että G on näiden liryhmien suor summ, merkitään G = H H n, jos jokinen G:n lkio g voidn esittää yksikäsitteisellä tvll summn g = h +... + h n, missä h i H i kikille i =,...,n. Huomutus 3.9 Määritelmä 3.8 toimii peritteess myös jos n = : G = H. Myös G:n liryhmälle H käytetään merkintää H = H H n, jos H i H kikille i j H on liryhmiensä H i suor summ määritelmän 3.8 mielessä. Huom kuitenkin, että khden liryhmän suorn summn määritelmää ei voi yleistää (ti ei inkn yleensä sd sm lopputulost) usemmlle liryhmälle niin, että määritelmässä korvttisiin summesityksen yksikäsitteisyysvtimus ehdoll H i H j = {} kun i j. Tämä ehto kuitenkin seur määritelmästä 3.8 kuten helposti nähdään. Lemm 3. Olkoon (G,+) Abelin ryhmä j H,...,H n ryhmän G liryhmiä siten, että H H n = G. Tällöin pätee G n = H i. i= 8
Myös kääntäen: jos G,...,G n ovt Abelin ryhmiä siten, että G = n G i, i= niin on olemss liryhmät H,...,H n G siten, että H i = Gi kikille i j H H n = G. Todistus. Ensimmäistä väitettä vrten huomtn ensin, että kuvus f : n i= H i G, f(h,...,h n ) = h +...+h n on homomorfismi. Tämä seur välittömästi tuloryhmän lskutoimituksen määritelmästä j G:n kommuttiivisuudest. Homomorfismi f on surjektio, mikä seur siitä, että G on liryhmiensä H i summ. Lisäksi f on injektio, mikä tulee siitä, että summ on suor. Siten f on isomorfismi, j ensimmäinen väite pätee. Jälkimmäistä väitettä vrten olkoon g : n lään jokiselle i upotuskuvus h i : G i n i= G i G isomorfismi. Määriteli= G i settmll h i () = (,...,,,...,). Tällöin h i on selvästi monomorfismi. Silloin g h i : G i G on isomorfismi kuvlleen. Merkitään H i = g(h i (G i )) G, jolloin siis H i = Gi kikille i. Kosk g on surjektio j homomorfismi, niin ilmeisesti G = H +... + H n, joten riittää huomt, että summ on suor. Tämä seur helposti siitä, että g on monomorfismi. Lemm 3. Olkoon (G,+) Abelin ryhmä j olkoot H,...,H n ryhmän G liryhmiä siten, että H H n = H. Olkoot lisäksi kikille i =,...,n K i,...,k i m i ryhmän H i liryhmiä siten, että Tällöin pätee K i K i m i = H i. K K m K n K n m n = G. Todistus. Helppo hrjoitustehtävä. Määritelmä 3. Olkoon (G, +) Abelin ryhmä j p lkuluku. Merkitään symbolill G(p) joukko G(p) = {g G #g = p n jollekin n N {}} G. Lemm 3.3 Olkoon (G,+) Abelin ryhmä j p lkuluku. Tällöin G(p) G. 9
Todistus. Kosk # = = p, niin G(p). Kosk selvästi #( ) = # kikille G, niin G(p) sisältää lkioidens vst-lkiot. Silloin riittää osoitt, että G(p) on vk yhteenlskun suhteen. Olkoot siis,y G(p), jolloin # = p n j #y = p m joillekin m,n. Tällöin Summlle + y sdn p n = = p m y. () p n+m ( + y) i) = p n+m + p n+m y = p m (p n ) + p n (p m y) ii) = () p m + p n = + =, missä yhtälö i) perustuu yhteenlskun kommuttiivisuuteen j yhtälö ii) ehtoon (). Ehto () merkitsee lemmn 3.3 c) nojll sitä, että #( + y) p m+n. (3) Kosk p on lkuluku, niin luvun p m+n inot positiiviset tekijät ovt p:n potenssej, joten ehdon (3) nojll #( + y) on p:n potenssi eli + y G(p). Lemm 3.4 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä, jonk kertluku on n. Oletetn, että n on jollinen lkuluvull p. Tällöin ryhmässä G on lkio, jonk kertluku on p. Todistus. Tehdään induktio G:n kertluvun n suhteen. Kun n =, on myös p = j G = {,g}, missä #g = eli väite pätee. Oletetn sitten induktiivisesti, että väite pätee kikille ryhmille, joiden kertluku on idosti pienempi kuin n j oletetn, että p n jollekin lkuluvulle p. G:ssä on inkin yksi ito liryhmä eli {}. Kosk G on äärellinen, voidn tällöin vlit kooltn mksimlinen G:n ito liryhmä H. Huom, että näitä mksimlisi liryhmiä voi oll useit, mutt vlitn jokin tällinen H. Kosk H on ito, niin #H < #G = n, joten induktio-oletuksen nojll väite pätee H:lle. Silloin, jos p #H, niin H:ss on kertluku p olev lkio. Väite seur tästä, kosk H G. Voidn siis olett, että p #H. () Kosk H on ito liryhmä, voidn vlit g G \ H. Tällöin H H + g. () Kosk H + g G, niin ehdon () j H:n mksimlisuuden nojll on oltv H + g = G. (3)
Lemmn 3.5 nojll pätee jolloin lemmn 3. perusteell (H + g )/ g = H/(H g ), #(H + g ) # g Kosk #G = n, niin ehtojen (3) j (4) nojll = #H #(H g ). (4) n # g = #H #(H g ). (5) #H #(H g ). Kosk ehdon () mukn p #H, niin p ei j myöskään kokonisluku Kosk toislt p n, niin ehdon (5) nojll p välttämättä jk myös luvun # g. Merkitään m = # g = #g, (6) jolloin siis m/p on kokonisluku. Siten voidn määritellä monikert h := m p g G. Riittää osoitt, että #h = p. Ehdon (6) j lemmn 3.3 b) nojll ph = mg =. Silloin lemmn 3.3 b) nojll riittää osoitt, että kh kikille k =,...,p. (7) Kun k =,...,p, niin k m p < m, jolloin ehdon (6) j lemmn 3.3 b) nojll kh = k m p g, j väite (7) seur. Lemm 3.5 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä, jonk kertluku on n. Olkoon luvun n lkulukuesitys muoto n = p... p k k, missä p i :t ovt eri lkulukuj j i kikille i =,...,k. Tällöin pätee G(p i ) {} #G(p i ) = p li j jollekin l i kikille i =,...,k. Todistus. Väite G(p i ) {} seur suorn G(p i ):n määritelmästä j lemmst 3.4. Jälkimmäistä väitettä vrten tehdään ntiteesi: #G(p i ) ei ole p i :n positiivinen potenssi. Kosk siis G(p i ) {}, niin #G(p i ), j silloin luvull #G(p i ) on lkulukuesitys, joss ntiteesin nojll esiintyy jokin lkuluku p j p i. Tällöin lemmn 3.4 nojll ryhmässä (ks. lemm 3.3) G(p i ) on jokin lkio, jonk kertluku on p j. Tämä on kuitenkin mhdotont, kosk G(p i ):n määritelmän mukn kikkien G(p i ):n lkioiden kertluku on p i :n potenssi. Tämä ristiriit kt ntiteesin j todist väitteen.
Lemm 3.6 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä, jonk kertluku on n. Olkoon n = mk, missä m, k N siten, että syt(m, k) =. Merkitään G m = { G # m} j G k = { G # k}. Tällöin G m,g k G j pätee G = G m G k. Todistus. Osoitetn ensin, että G m G. Kuten lemmn 3.3 todistuksess riittää osoitt, että G m on vk yhteenlskun suhteen. Olkoot siis,y G m. Tällöin lemmn 3.3 c) nojll Summlle + y sdn silloin m = = my. m( + y) i) = m + my = + =, () missä yhtälö i) perustuu yhteenlskun kommuttiivisuuteen. Ehto () merkitsee lemmn 3.3 c) nojll sitä, että #( + y) m, jolloin G m :n määritelmän mukn + y G m. Siten G m G j vstvsti tietysti G k G. Lähdetään sitten todistmn vrsinist väitettä. Osoitetn ensin, että G = G m + G k. () Olkoon G mielivltinen. Pitää löytää G m j b G k siten, että = +b. Kosk oletuksen mukn syt(m, k) =, niin lkeislukuteoriss todistetun Bezout n luseen nojll on olemss s,t Z siten, että Tällöin sm + tk =. = = (sm + kt) = sm + kt, (3) joten kivttu summesitys on löytynyt, jos osoitetn, että Ensinnäkin sm G k j kt G n. (4) k(sm) = (km)s i) = n(s) ii) =, (5) missä yhtälö i) seur siitä, että oletuksen mukn n = mk j yhtälö ii) sdn lemmn 3.3 ehdoist ) j c), kosk n = #G. Ehdon (5) j lemmn 3.3
ehdon c) nojll #(sm) k, jolloin G k :n määritelmän perusteell sm G k. Vstvsti nähdään, että kt G n, joten väite (4) j siten myös väite () on todistettu. Pitää vielä määritelmän 3.6 mukisesti osoitt, että G m G k = {}. (6) Olkoon tätä vrten G m G k. Tällöin G m :n j G k :n määritelmän perusteell jolloin syt:n määritelmän mukn # m j # k, # syt(m,k). (7) Kosk oletuksen mukn syt(m,k) =, niin, ehdon (7) nojll #, j silloin on oltv # =. (8) Aino G:n lkio, jonk kertluku on on neutrlilkio, joten ehdon (8) nojll = j väite (6) seur. Nyt voidn todist perustulos, jok kertoo, miten jokinen äärellinen Abelin ryhmä voidn esittää tiettyjen liryhmiensä suorn summn. Luse 3.7 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä, jonk kertluku on n. Olkoon luvun n lkulukuesitys muoto n = p... p k k, missä p i :t ovt eri lkulukuj j i kikille i =,...,k. Tällöin pätee G = G(p ) G(p k ). Todistus. Lemmn 3.6 nojll G(p i ) G kikille i, joten väite on mielekäs. Tehdään induktio n:n esityksessä olevien lkulukujen lukumäärän k suhteen. Kun k =, niin #G = p on lkulukupotenssi, jolloin lemmn 3.3 ) nojll jokisen G:n lkion kertluku on myös p :n potenssi. Siten G(p) = G, j väite seur, vrt. huomutus 3.9. Oletetn sitten induktiivisesti, että k j että väite pätee, kun G:n kertluvun lkulukuesityksessä on korkeintn k eri lkuluku. Merkitään m = p... p k k j s = p k k sekä G m = { G # m} j G s = { G # s}. Tällöin n = ms j syt(m,s) =, jolloin lemmn 3.6 nojll G = G m G s. () 3
Lemmn 3.3 c) sekä liryhmän G(p k ) j luvun s määritelmän nojll on selvää, että G s = G(p k ). Tällöin väite seur ehdost () j lemmst 3., jos osoitetn, että G m = G(p ) G(p k ). () Väite () seur induktio-oletuksest, jos osoitetn, että #G m = p b... pb k k joillekin b,...,b k. (3) Väite (3) seur, jos osoitetn, että luvull #G m ei ole muit lkulukutekijöitä kuin p,...,p k. Tehdään ntiteesi: on olemss lkuluku p p,...,p k siten, että p #G m. Tällöin lemmn 3.4 nojll ryhmässä G m on jokin lkio, jonk kertluku on p. Toislt G m :n määritelmän mukn tämän lkion kertluku eli p jk luvun m. Tämä on mhdotont, kosk m = p... p k k, joten sen inot lkulukutekijät ovt p,...,p k. Tämä kt ntiteesin, joten väite (3) j siten koko luse on todistettu. Lemm 3.8 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä, jonk kertluku on n. Olkoon luvun n lkulukuesitys muoto n = p... p k k, missä p i :t ovt eri lkulukuj j i kikille i =,...,k. Tällöin pätee #G(p i ) = p i i kikille i =,...,k. Todistus. Luseen 3.7 j lemmn 3. nojll G = k G(p i ). () i= Yleisesti äärellisen tulojoukon lkioiden lukumäärälle pätee ilmeisesti #( k i= A i) = k i= #(A i) (tämä on helppo todist induktioll), jolloin ehdost () sdn k p... p k k = n = #G = #G(p i ). () Lemmn 3.5 mukn jokinen #G(p i ) on p i :n potenssi, jolloin ehdon () j kokonisluvun lkulukuesityksen yksikäsitteisyyden nojll väite seur. Esimerkki 3.9 Trkstelln ryhmää (Z 6,+), jonk lkioit eli kongruenssiluokki [k] 6 merkitään yksinkertisuuden vuoksi symboleill k. Luvun 6 lkulukuesitys on 6 = 3, Z 6 () = {,3} j Z 6 (3) = {,,4}, joten #Z 6 () = j #Z 6 (3) = 3, kuten lemmn 3.8 mukn pitääkin. Lisäksi luseest 3.7 i= 4
sdn esitys Z 6 = {,3} {,,4}. Vstv trkstelu voidn suoritt myös ryhmälle Z 36. Tässä #Z 36 = 36 = 3, Z 36 () = {,9,8,7} j Z 36 (3) = {,4,8,,6,,4,8,3}, joten luseen 3.7 nojll Z 36 = {,9,8,7} {,4,8,,6,,4,8,3}. Määritelmä 3. Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä j p lkuluku. Snotn, että G on p-ryhmä, jos #G = p k jollekin k. Huomutus 3. Lgrngen luseen nojll jokinen p-ryhmän liryhmä on p-ryhmä. Erityisesti silloin p-ryhmän jokisen lkion kertluku on p:n potenssi, joten p-ryhmälle G pätee G = G(p). Lisäksi lemmn 3. nojll jokinen p- ryhmän tekijäryhmä on p-ryhmä. Esimerkki 3. Äärellisen Abelin ryhmän (G,+) liryhmät G(p i ) ovt p i - ryhmiä. Kikki mhdollisi kertlukuj olevi p-ryhmiä on olemss: ryhmät (Z p k,+) kikille p j k ntvt tästä esimerkkejä. Nämä konkreettiset esimerkkiryhmät (Z p k,+) ovt syklisiä, mutt kikki p-ryhmät eivät ole syklisiä. Tästä on esimerkkinä jäännösluokkrenkn (Z 6,+, ) yksiköiden (eli kertolskun suhteen kääntyvien lkioiden) muodostm multipliktiivinen ryhmä (Z 6, ), jok on -ryhmä, kosk Z 6 = {,3,5,7,9,,3,5}, joten #Z 6 = 8 = 3. Tämä ei ole syklinen ryhmä, kosk sen lkioiden kertluvut ovt, ti 4, kuten lkiot läpi käymällä hvitn. Luseess 3.7 hvittiin, että äärellinen Abelin ryhmä voidn esittää p- ryhmien suorn summn. Jtkoss tutkitn, mitä näille p-ryhmille tässä suhteess kuuluu. Tulln hvitsemn, että jokinen p-ryhmä voidn esittää syklisten liryhmien suorn summn. Tämä yhdistettynä luseen 3.7 ntmn tietoon j lemmn 3. nt äärellisten Abelin ryhmien struktuuriluseen: jokinen äärellinen Abelin ryhmä voidn esittää suorn summn syklisistä ryhmistä. Ennen struktuuriluseen todistust trvitn muutmi lemmoj. Lemm 3.3 Olkoot (G,+) j (G,+ ) äärellisiä Abelin ryhmiä. Olkoot lisäksi H,...,H n,h G j H,...,H n,h G siten, että H = H +... + H n j H = H... H n. Olkoon f : G G homomorfismi siten, että rjoittumkuvus f Hi G on monomorfismi f Hi : H i H i kikille i =,...,n. Tällöin pätee H = H... H n. Todistus. Oletuksen H = H +... + H n nojll riittää osoitt, että jokisen lkion h H summesitys h = h +...+h n, h i H i, on yksikäsitteinen. Olkoon siis myös h = k +... + k n, missä k i H i kikille i. Tällöin f(h ) +... + f(h n ) = f(h +... + h n ) = f(h) = f(k +... + k n ) = f(k ) +... + f(k n ). () 5
Kosk oletuksen nojll f(h i ) H i, niin f(h i ),f(k i ) H i kikille i. () Kosk oletuksen mukn H... H n, niin ehtojen () j () perusteell f(h i ) = f(k i ) kikille i j silloin myös f Hi (h i ) = f Hi (k i ) kikille i. (3) Kosk kuvukset f Hi ovt oletuksen mukn injektioit, niin ehdon (3) nojll h i = k i kikille i, j väite seur. Jtkoss tvoitellun struktuuriluseen todistuksess trvitn tieto syklisen ryhmän virittäjistä. Seurv lemm sisältyy joskus myös lgebrn peruskurssiin, mutt todistettkoon se nyt myös tässä. Lemm 3.4 Olkoon (G, +) äärellinen syklinen ryhmä, jonk kertluku on n j olkoon g G (jokin) virittäjä. Olkoon t N siten, että syt(t, n) =. Tällöin myös tg G on G:n virittäjä. Todistus. Olkoon G mielivltinen. Riittää osoitt, että tg eli että = k(tg) jollekin k Z. () Oletuksen syt(t, n) = j Bezout n luseen nojll on olemss, b Z siten, että n + bt =. () Kosk g virittää ryhmän (G,+), niin on olemss m Z siten, että Tällöin = mg. = mg i) = m(n + bt)g = (m)(ng) + (mbt)g ii) = (m) + (mbt)g = (mbt)g, joten ehto () toimii vlinnll k = mbt. Tässä yhtälö i) tulee ehdost () j yhtälö ii) lemmn 3.3 kohdist ) j c) sekä siitä, että #G = n. Seurvn lemmn muotoiluss on syytä pitää mielessä huomutus 3., jonk mukn p-ryhmän jokisen lkion kertluku on p:n jokin potenssi. Lemm 3.5 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin p-ryhmä j g G\{}. Olkoon k siten, että p k g j olkoon #(p k g) = p m. Tällöin pätee #g = p m+k. 6
Todistus. Kosk #(p k g) = p m, niin p m (p k g) = eli p m+k g =. () Kosk g j huomutuksen 3. mukn g:n kertluku on p:n potenssi, niin lemmn 3.3 j ehdon () nojll riittää osoitt, että Oletetn tätä vrten, että Riittää osoitt, että p l g kikille l m + k. () Ei voi oll l k, sillä tässä tpuksess stisiin p l g = jollekin l. (3) l m + k. (4) p k g = p k l (p l g) i) = p k l =, mikä on vstoin oletust. Tässä yhtälö i) tulee ehdost (3). Tällöin väitteen (4) todistmiseksi voidn tehdä ntiteesi muodoss k < l < m + k. Antiteesin nojll l k >, jolloin p l k on kokonisluku, j sdn (AT) p l k (p k g) = p l g i) =, (5) missä ts yhtälö i) tulee ehdost (3). Ehto (5) merkitsee lemmn 3.3 b) nojll sitä, että #(p k g) p l k. (6) Antiteesin mukn l k < m, jolloin ehdon (6) nojll #(p k g) < p m. Tämä on vstoin oletust, joten ntiteesi ktuu j väite (4) pätee. Tämä todist koko lemmn. Lemm 3.6 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä, H G j α G/H. Tällöin jokiselle tekijäluokn α lkiolle α G pätee Todistus. Helppo hrjoitustehtävä. # #α. Seurv lemm vrten on syytä huomt, että jokisest äärellisestä ryhmästä voidn vlit lkio, jonk kertluku on suurin. Syklisessä ryhmässä virittäjä on tällinen j epäsyklisessä tpuksess kyse on yksinkertisesti siitä, että äärellisestä luonnollisten lukujen joukost voidn in vlit mksimi. On myös syytä muist huomutus 3., jonk muk jokinen p-ryhmän tekijäryhmä on p-ryhmä j siten jokisen tekijäryhmän lkion kertluku on p:n potenssi. 7
Lemm 3.7 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin p-ryhmä j olkoon g G sellinen lkio, jonk kertluku on suurin. Olkoon α G/ g j #α = p s jollekin s. Tällöin tekijäluokss α G on lkio α siten, että # = p s. Todistus. Käytetään tekijäluokille tvnomist merkintää [] G/ g, missä G j [] = [y] jos j vin jos y g. Kikki tekijäluokt ovt epätyhjiä, joten voidn vlit jokin b α G, jolloin α = [b]. Lisäksi [p s b] = p s [b] = p s α i) =, () missä yhtälö i) seur oletuksest #α = p s. Ehto () merkitsee sitä, että p s b g eli p s b = ng jollekin n {,,...,#g }. () Ehdoss () on kksi mhdollisuutt: n = ti n #g. Vihtoehdoss n = vlitn luseen väitteessä kipiltu α settmll Tällöin pitää osoitt, että := b. #b = p s. (3) Kosk nyt n =, niin ehdon () nojll p s b =, jolloin väite (3) seur lemmst 3.3 b), jos osoitetn, että kb kikille k < p s. (4) Oletetn väitettä (4) vrten, että kb = jollekin k. Pitää osoitt, että Kosk k p s. (5) kα = k[b] = [kb] = [], niin oletuksen k, ehdon #α = p s j lemmn 3.3 b) nojll väite (5) seur. Näin ehdon () vihtoehto n = on käsitelty, joten voidn olett, että n #g. Tällöin n voidn esittää muodoss n = p k t, missä k, t j p t. (6) Ehdon (6) perusteell syt(p, t) =, j kosk p-ryhmän G liryhmän g kertluku on huomutuksen 3. mukn p:n potenssi, merkitään p r = #g, (7) 8
niin myös syt(# g,t) =. (8) Lemmn 3.4 j ehdon (8) nojll tg on ryhmän g virittäjä eli pätee jolloin ehdon (7) nojll g = tg, Kosk n #g, niin ehtojen (6) j (7) perusteell jolloin Merkitään Osoitetn, että Kosk ehtojen (6) j (7) perusteell #(tg) = #g = p r. (9) p k n < #g = p r, k < r eli r k. () c := ng. #c = p r k. () p r k c = p r k ng = p r k p k tg = p r tg = t(p r g) = t =, niin väite () seur lemmst 3.3 b) j ehdost (), jos osoitetn, että lc kikille l =,...,p r k. () Olkoon tätä vrten l {,...,p r k }. Silloin ehdon (6) mukn lc = lng = lp k (tg) i), missä ehto i) seur siitä, että l p r k, jolloin p k lp k < p r, j toislt ehdon (9) nojll #(tg) = p r. Näin väite () j siten myös väite () on todistettu. Osoitetn seurvksi, että #b = p s+r k. (3) Kosk c = ng, niin ehdon () nojll c = p s b, j silloin ehdon () mukn #p s b = p r k. (4) Ehtojen (4) j () nojll p s b, jolloin lemmn 3.5 j ehdon (4) nojll väite (3) seur. 9
Luseen mksimlisuusoletuksen j ehtojen (7) sekä (3) nojll Ehtojen () j (5) perusteell Merkitään jolloin b = p k s tg g, j siten s + r k r eli s k. (5) p s b = ng = p k tg = p s p k s tg. (6) := b p k s tg, [b] = α. (7) Tämä on nyt väitteessä tvoiteltu, minkä todistmiseksi riittää ehdon (7) nojll osoitt, että # = p s. (8) Kosk ehdon (6) nojll niin p s = p s (b p k s tg) = p s b p s p k s tg =, # p s, joten väite (8) seur, jos osoitetn, että # p s. (9) Kosk α j #α = p s, niin väite (9) seur lemmst 3.6. Luse 3.8 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin p-ryhmä. Tällöin G voidn esittää syklisten liryhmien suorn summn. Todistus. Todistetn väite induktioll G:n kertluvun suhteen. Jos #G = p, niin G on syklinen, j väite pätee. Oletetn sitten, että #G = p u, u j että väite pätee kikille äärellisille Abelin p-ryhmille, joiden kertluku on korkeintn p u. Jos G on syklinen, niin väite pätee. Oletetn siis, että G ei ole syklinen. Olkoon g G lkio, jonk kertluku on suurin, #g = p r, r. () Lemmn 3. nojll #(G/ g ) = p u r, 3
joten G/ g on äärellinen Abelin p-ryhmä, jonk kertluku on korkeintn p u. Tällöin induktio-oletuksen nojll G/ g voidn esittää syklisten liryhmiensä suorn summn; olkoon tämä esitys G/ g = H... H s, () missä H i = [h i ] G/ g jollekin h i G, i =,...,s. Merkinnässä () symboli [h i ] trkoitt tvnomiseen tpn lkion h i G määräämää tekijäluokk tekijäryhmässä G/ g. Olkoon #[h i ] = r i, i =,...,s. Nyt sovelletn lemm.37. Kosk g on vlittu kertluvultn mksimliseksi G:n lkioksi, niin lemmn.37 mukn tekijäluokkien [h i ] edustjt h i voidn vlit niin, että #h i = #[h i ] = r i, kikille i =,...,s. (3) Voidn siis olett, että ehto (3) pätee. Induktioväite seur, jos osoitetn, että G = g h... h s. (4) Olkoon π : G G/ g tekijäkuvus, π() = []. Kosk π on homomorfismi, niin ilmeisesti pätee π( h i ) = [h i ] kikille i, erityisesti π hi : h i [h i ] on surjektio kikille i. (5) Ehdon (3) nojll ehdon (5) surjektio on myös injektio, j silloin Merkitään π hi : h i [h i ] on isomorfismi kikille i. (6) H = h +... + h s G. Ehtojen () j (6) sekä lemmn 3.3 nojll H = h... h s. (7) Ehdon (7) j lemmn 3. perusteell väite (4) seur, jos osoitetn, että Väitteen (8) todistmiseksi riittää osoitt, että G = g H. (8) G = g + H j (9) g H = {}. () 3
Väitettä (9) vrten olkoon G mielivltinen. Tällöin π() G/ g, joten ehdon () nojll Tällöin j siten π() = n [h ] +... + n s [h n ] joillekin n,...,n s Z. Kosk n h +... + n s h s H j [] = [n h +... + n s h s ] G/ g, (n h +... + n s h s ) g. () = (n h +... + n s h s ) + (n h +... + n s h s ), niin väite (9) seur ehdost (). Väitteen () todistmiseksi olkoon g H, jolloin ehto (7) käyttäen sdn esitykset Esityksen () perusteell jolloin esityksen (3) mukn = ng jollekin n Z j () = n h +... + n s h s joillekin n,...,n s Z. (3) [] = π() = [] G/ g, n [h ] +... + n s [h s ] = [n h +... + n s h s ] = [] = []. (4) Ehtojen () j (4) nojll n =... = n s =. Tällöin esityksen (3) nojll myös =, j väite () seur. Esimerkki 3.9 Esimerkissä 3. trksteltiin epäsyklistä Abelin -ryhmää (Z 6, ), jonk kertluku on 8 = 3. Luseen 3.8 perusteell se voidn esittää joidenkin syklisten liryhmiensä suorn summn. Tälliset sykliset liryhmät löytää näin pienestä ryhmästä helposti kokeilemll ti rvmll, mutt tässä voidn käyttää myös metodi, jok toimii in. Imitoidn luseen 3.8 todistust. Siinähän vlittiin ensin lkio, jonk kertluku on mksimlinen. Tässä ryhmässähän mksimlinen kertluku on 4, jok on esimerkiksi lkioll 3 Z 6. Silloin luseen 3.8 todistuksen mukn Z 6 = 3 H jollekin H Z 6. Tässä H = Z 6 / 3. Kosk # 3 = 4, niin 3
#H = #(Z 6 / 3 ) =, joten H on jo vlmiiksi syklinen eikä sitä trvitse enää hjoitt. Aliryhmä H löytyy, kun löydetään sen virittäjä. H:n virittäjä (eli tässä tpuksess ino nollst erov lkio) löytyy edelleen luseen 3.8 todistuksen mukisesti kivmll tekijäryhmän Z 6 / 3 virittäjäluokst lkio, joll on sm kertluku kuin tällä virittäjällä. Kosk 3 = {,3,9,}, niin tässä tpuksess tekijäryhmän virittäjäluokk (eli ino nollst erov luokk) on minkä thns muun kuin tämän liryhmän lkion luokk eli vikkp [5] = {5,7,3,5} Z 6 / 3. Tämän luokn kertluku tiedetään siis kkkoseksi (j voidn toki lskekin: [5] = [5] = [9] = []), joten tämän luokn [5] edustjksi pitää vlit lkio Z 6, jonk kertluku on täsmälleen. Tässä siis [5] = {5, 7, 3, 5}. Lemmn 3.7 mukn tästä luokst on löydyttävä kertluku olev lkio, j näinhän si tietysti onkin: 7 j 5 ovt kelvollisi. (Huom, että khdelle muulle lkiolle 5 j 3 kertluku on 4, eivätkä ne toimi tässä.) Siten sdn (vikkp) esitys Z 6 = 3 7. Tämän voi tietysti trkist; on vin muistettv, että nyt ryhmälskutoimitus ryhmässä Z 6 on esitetty multipliktiivisesti, joten merkinnät vähän muuttuvt. Pitää osoitt, että jokinen Z 6 voidn esittää muodoss = yz, missä y 3 = {,3,9,} j z 7 = {,7}. Tämän näkee helposti käymällä läpi ryhmän Z 6 = {,3,5,7,9,,3,5} lkiot. Summn suoruusvtimus tulee (tässä khden liryhmän tpuksess) muotoon 3 7 = {}, j pätee trivilisti. Huom, että jos luokn [5] edustjksi vlittisiin esimerkiksi 5, niin toivottu tulost ei synny, kuten edellä todettiin miksei? Lemm 3.3 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin p-ryhmä, jok on esitetty syklisten liryhmien suorn summn muodoss G = g... g s. Olkoon #G = p r j #g i = p ri, i =,...,s. Tällöin pätee r = r +... + r s. Todistus. Lemmn 3. perusteell g... g s = g... g s, joten oletuksen mukn G = g... g s. Kosk krteesisen tulojoukon lkioiden lukumäärä on tulon tekijäjoukkojen lkioiden lukumäärien tulo, niin tällöin p r = #G = #( g... g s ) = #g... #g s = p r... p rs, jost väite seur. Esimerkki 3.3 Esimerkissä 3.9 esitettiin ryhmä Z 6 muodoss Z 6 = 3 7. Tässä kertluvut menevät lemmn 3.3 ennustmll tvll: #Z 6 = 3, # 3 = j # 7 =. 33
Määritelmä 3.3 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin p-ryhmä, jok on esitetty syklisten liryhmien suorn summn muodoss G = g... g s, missä #g i = p ri, i =,...,s j r r... r s. Tällöin snotn, että (G, +) on tyyppiä (p r,p r,...,p rs ). Huomutus 3.33 Luseen 3.8 mukn jokisell äärellisellä Abelin p-ryhmällä on tyyppi. Luseess 3.36 osoitetn, että se on yksikäsitteinen. Esimerkki 3.34 (Z 8,+) on syklisenä ryhmänä tyyppiä ( 3 ) = (8). Esimerkin 3.9 mukn (Z 6, ) on tyyppiä (4,). Tuloryhmä (Z,+) (Z,+) (Z,+) on tyyppiä (,,). Muuntyyppisiä kertluku 8 olevi Abelin ryhmiä ei sitten olekn, mikä seur lemmst 3.3, jonk mukn tyypille ( r, r,..., rs ) pätee r +...+r s = 3, jolloin ehdon r... r s kyseeseen tulevt vin vihtoehdot s =,r = 3; s =,r =,r = j s = 3,r =,r =,r 3 =. Itse siss tässä ovt isomorfi ville kikki kertluku 8 olevt Abelin ryhmät. Tämä todistetn luseess 3.35. Voi kysyä myös, onko kikki mhdollisi tyyppejä olevi Abelin p-ryhmiä olemss, ts. jos luvut r... r s on nnettu, onko olemss Abelin p- ryhmää, jonk tyyppi olisi (p r,p r,...,p rs ). Vstus tähän on helppo: (Z p r,+) (Z p r,+)... (Z p rs,+) on tällinen lemmn 3. nojll. Luse 3.35 Sm tyyppiä olevt Abelin p-ryhmät ovt keskenään isomorfisi. Myös kääntäen: keskenään isomorfisill Abelin p-ryhmillä on sm tyyppi. Todistus. Jos (G,+) j (G,+) ovt molemmt tyyppiä (p r,p r,...,p rs ), niin on olemss esitykset G = g... g s j () G = g... g s, Tällöin kuvus f : G G, missä #g i = p ri = #g i kikille i =,...,s. f(n g +... + n s g s) = n g +... + n s g s kikille n,...,n s Z on ilmeisesti hyvin määritelty isomorfismi. Jos kääntäen oletetn, että f : G G on isomorfismi j G on tyyppiä 34
(p r,p r,...,p rs ), niin G :llä on esitys (), missä #g i = pri kikille i =,...,s. Tällöin G :ll on ilmeisesti esitys G = f(g )... f(g s), missä #f(g i ) = p ri kikille i =,...,s. Tämä merkitsee sitä, että G on tyyppiä (p r,p r,...,p rs ). Huom, että luse 3.35 ei vielä merkitse sitä, että ryhmän tyyppi olisi yksikäsitteinen. Yksikäsitteisyys todistetn seurvss luseess. Luse 3.36 Abelin p-ryhmän tyyppi on yksikäsitteisesti määrätty. Todistus. Olkoon (G,+) Abelin p-ryhmä, jok on tyyppiä (p r,p r,...,p rs ) j toislt tyyppiä (p t,p t,...,p tm ). Pitää osoitt, että s = m j () r i = t i kikille i =,...,s = m. () Tehdään induktio G:n kertluvun p n eksponentin n suhteen. Kun n =, G on syklinen ryhmä tyyppiä (p). Lemmn 3.3 nojll r +... + r s = j t +... + t m =, joten s = m = j r = t =, joten väite pätee. Oletetn sitten induktiivisesti, että väite pätee kikille Abelin p-ryhmille, joiden kertluku on korkeintn p n. Kuvus f : G G, f() = p on G:n kommuttiivisuuden nojll homomorfismi, joten sen kuvjoukko f(g) on ryhmä eli pätee f(g) = {p G} =: pg G. Jos r i = kikille i =,...,s j t i = kikille i =,...,m, niin lemmn 3.3 nojll s = n = m, jolloin molemmt ehdot () j () pätevät. Voidn siis olett, että inkin jokin eksponenteist r i ti t i on ykköstä idosti suurempi. Merkintöjä trvittess vihtmll voidn olett, että r, jolloin määritelmän 3.3 mukn on olemss l s siten, että r i kun i l j r i = kun i > l. (3) Huom, että tässä voi oll l = s, jolloin r i kikille i. Osoitetn seurvksi, että f(g) on tyyppiä (p r,p r,...,p r l ). (4) Kosk G on tyyppiä (p r,p r,...,p rs ), niin on olemss g,...,g s G siten, että G = g... g s j (5) #g i = p ri kikille i =,...,s. (6) 35
Väite (4) seur, jos osoitetn, että f(g) = pg... pg l j (7) #(pg i ) = p ri kikille i =,...,l. (8) Väite (8) seur ehdost (6), sillä sen perusteell selvästi p ri (pg i ) = p ri g i on pienin pg i :n positiivinen monikert, jok on. Väitteen (7) todistmiseksi osoitetn ensin, että f(g) = pg +... + pg l. (9) Tätä vrten olkoon f(g) mielivltinen. Silloin on olemss y G siten, että = f(y) = py. () Ehdon (5) nojll y:llä on esitys y = n g +... + n s g s, missä n i Z kikille i. Tällöin ehdon () j G:n kommuttiivisuuden perusteell = py = pn g +... + pn s g s = () n (pg ) +... + n l (pg l ) + n l+ (pg l+ ) +... + n s (pg s ). Kun i > l, niin ehtojen (3) j (6) nojll #g i = p, jolloin Ehtojen () j () nojll jolloin väite (9) seur. pg i = kikille l + i s. () = (pn )g +... + (pn l )g l, Väitteen (7) todistmiseksi pitää vielä osoitt, että kyseinen summ on suor. Olkoon siis n (pg ) +... + n l (pg l ) = m (pg ) +... + m l (pg l ) joillekin n i,m i Z. (3) Pitää osoitt, että Ehdon (3) nojll n i = m i kikille i =,...,l. (4) (n p)g +... + (n l p)g l + g l+ +... + g s = (m p)g +... + (m l p)g l + g l+ +... + g s, jolloin ehdon (5) nojll n i p = m i p kikille i =,...,l. 36
Väite (4) seur tästä. Näin myös väite (7) on todistettu. Kosk väite (8) hvittiin oikeksi jo edellä, niin väite (4) on todistettu. Pltn todistuksen lkuun, joss G oli (myös) tyyppiä (p t,p t,...,p tm ). Jos tässä t i = kikille i =,...,m, niin ilmeisesti f on nollkuvus. Sitä se ei kuitenkn voi oll, kosk ehdon (3) perusteell r, j silloin ehdon (8) mukn pg {}, joten ehdon (7) nojll myös f(g) {}. Siten on oltv t i jollekin i, j kosk t... t m, niin t j smll tvll kuin edellä tyypille (p r,p r,...,p rs ) ehdoss (3) on olemss l m siten, että t i kun i l j t i = kun i > l. (5) Kosk siis G on tyyppiä (p t,p t,...,p tm ), niin on olemss g,...,g m G siten, että G = g... g m j (6) #g i = p ti kikille i =,...,m. (7) Aivn nlogisesti ehtojen (7) j (8) knss nähdään ehtoj (5), (6) j (7) käyttäen, että f(g) = pg... pg l j (8) #(pg i) = p ti kikille i =,...,l. (9) Nyt tilnne on se, että f(g) on Abelin p-ryhmä, jok on ehtojen (7), (8), (8) j (9) nojll tyyppiä (p r,p r,...,p r l ) j toislt tyyppiä (p t,p t,...,p t l ). Lemmn 3.3 nojll #f(g) = p (r )... (r l ) < p r... r l = p r... r l r l+... r s = #G, joten voidn sovelt induktio-oletust p-ryhmään f(g). Sen mukn f(g):n tyyppi on yksikäsitteinen, joten eli Tällöin (trivilisti) (p r,p r,...,p r l ) = (p t,p t,...,p t l ) l = l j () r i = t i kikille i =,...,l = l. r i = t i kikille i =,...,l = l. () Tämä merkitsee ehtojen (3) j (5) nojll sitä, että molemmt väitteet () j () seurvt, jos todistetn väite (). 37
Lemmn 3.3 nojll s m r i = n = t i, i= i= jolloin ehtojen (), (3), (5) j () nojll s m = eli s l = m l. i=l+ i=l+ Väite () seur tästä. Kokomll nämä kikki esitetyt tulokset yhteen voidn lopultkin esittää äärellisten Abelin ryhmien struktuuriluse: Luse 3.37 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä, jonk kertluku on n. Olkoon luvun n lkulukuesitys Tällöin n = p... p k k, missä p <... < p k j i kikille i. G = G(p )... G(p k ), #G(p i ) = p i i kikille i j G(p i ) on tyyppiä (p bi i,pbi s i i,...,pbi i ), missä s i, b i j j b i +... + b i s i = i kikille i. Todistus. Tämä seur luseest 3.7, lemmoist 3.8 j 3.3 sekä huomutuksest 3.33. Huomutus 3.38 Luseiden 3.35 j 3.36 nojll struktuuriluseen 3.37 ntm G:n knoninen hjoitelm on isomorfi ville yksikäsitteinen. Esimerkki 3.39 Olkoon (G, +) Abelin ryhmä, jonk kertluku on. Mitäpä G:stä voidn sno? Kosk = 5, niin luseen 3.37 mukn ensinnäkin G = G() G(5) j #G() = 4 sekä #G(5) = 5. Lisäksi G(5) on välttämättä tyyppiä (5) eli se on syklinen j siten isomorfinen ryhmän (Z 5,+) knss. Ryhmän G() tyyppi on (4) ti (,). Ensimmäisessä tpuksess se on syklinen j siten isomorfinen ryhmän (Z 4,+) knss. Jälkimmäisessä vihtoehdoss G() on isomorfinen tuloryhmän (Z,+) (Z,+) knss. Tästä nähdään, että isomorfi ville kertluku olevi Abelin ryhmiä on vin kksi: G = Z 4 Z 5 ti G = Z Z Z 5. 38
Huom, että nyt ei puhut epäkommuttiivisist ryhmistä mitään. Epäkommuttiivisi kertluku olevi ryhmiä on isomorfi ville 3. Pienille kertluvuille näiden eri ryhmien lukumäärä tunnetn; Wikipedist näitä löytyy hkusnll finite groups. Tosin tuon struktuuriluseen jälkeen kertluku olevien kommuttiivisten ryhmien lukumäärä ostn melko helposti lske, j mikä tärkeintä, niiden struktuurit eli rkenteet tunnetn täydellisesti. Hrjoitustehtävä. Tunnetusti (Z,+) on kertluku olev Abelin ryhmä, j näyttäisi, että se puuttuu esimerkin 3.39 khden ryhmän luettelost, joss väitetään olevn kikki kertluku olevt Abelin ryhmät. Ei se kuitenkn puutu. Kumpi nnetuist ryhmistä on siis isomorfinen ryhmän (Z,+) knss? Hrjoitustehtävä. Määrää kikki kertluku olevt Abelin ryhmät. Hrjoitustehtävä. Määrää ryhmän (Z 75, ) knoninen hjoitelm. Kuten tunnettu, kompleksitson yksikköympyrä S = {z C z = } on kompleksisen kertolskun suhteen ryhmä. Mielivltisest (mhdollisesti äärellisestä) Abelin ryhmästä (G, +) sdn (jotin) informtiot kuvmll G homomorfisesti ryhmälle (S, ). Asetetn ensin määritelmä. Määritelmä 3.4 Olkoon (G, +) Abelin ryhmä j (S, ) kompleksitson yksikköympyrä kertolskull vrustettun. Snotn, että homomorfismi χ : (G, +) (S, ) on ryhmän (G, +) krkteri. Huomutus 3.4 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä, #G = n j χ ryhmän G krkteri. Olkoot ǫ n,k = e k n πi S, k =,...,n ykkösen n:nnet juuret. Tällöin kikille g G pätee χ(g) {ǫ n,,ǫ n,,...,ǫ n,n }. Tämä johtuu lemmst 3.3, jonk mukn ng =, j silloin χ:n homomorfisuuden nojll (χ(g)) n = χ(ng) = χ() =, joten χ(g) on jokin ykkösen n:s juuri. Luse 3.4 Olkoon (G,+) Abelin ryhmä. Tällöin G:n krkterien joukko vrustettun lskutoimituksell on ryhmä. (χ χ )(g) := χ (g) χ (g) 39
Todistus. Huomtn ensin, että krkterien joukko on in epätyhjä, kosk χ on homomorfismi G S. Tämä kuvus toimii myös neutrlilkion. Kertolskun ssositiivisuus seur kompleksisen kertolskun ssositiivisuudest. Krkterin χ käänteislkio on kuvus χ : G S χ (g) = (χ(g)) S. Tämä on selvää muilt osin, pitsi ehkä homomorfisuuden knnlt. Tämäkin on melko trivili: χ (g+h) = (χ(g+h)) = (χ(g) χ(h)) = χ(g) χ(h) = χ (g) χ (h), eikä muut trvitkn. Määritelmä 3.43 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä. Merkitään symbolill ( G, ) sen krkterien (lemmn 3.4 mukisesti) muodostm ryhmää. Esimerkki 3.44 Määrätään ryhmän (Z 8, ) kikki krkterit. Kirjoitetn lyhyesti (eli ilmn hksulkuj) Z 8 = {,3,5,7}. Tässä on neutrlilkio, joten se kuvutuu in pisteeksi S. Muut pisteet kuvutuvt huomutuksen 3.4 mukn pisteille ± ti ±i. Toislt näiden kikkien muiden pisteiden 3, 5, 7 kertluku on, joten kuvpisteen kertluku on korkeintn (homomorfismi ei voi nost kertluku), j siten nämä voivt kuvutu vin pisteille ±. Kosk 3 5 = 7, niin pisteiden 3 j 5 kuvutuminen määrää koko krkterin. Tästä seur, että mhdollisi krkterej on korkeintn neljä: χ, χ () =, χ (3) =,χ (5) =,χ (7) =, χ 3 () =, χ 3 (3) =,χ 3 (5) =,χ 3 (7) = χ 4 () =, χ 4 (3) =,χ 4 (5) =,χ 4 (7) =. j On helppo trkist, että nämä kikki neljä kuvust χ,χ,χ 3,χ 4 myös ovt krkterej. Tässä on syytä pnn merkille, että sekä ryhmä (Z 8, ) että ryhmä ( Z 8, ) ovt isomorfisi Kleinin neliryhmän Z Z knss, joten ne ovt keskenään isomorfisi. Tämä ei ole sttum, vn osoitus yleisemmästä ilmiöstä kuten luseess 3.54 tulln näkemään. Ensimmäinen skel luseen 3.54 todistuksess on seurv. Lemm 3.45 Olkoon (G,+) äärellinen syklinen ryhmä. Tällöin pätee #G = # G. Todistus. Olkoon G = g j merkitään n = #G = #g, jolloin G = {,g,...,(n )g}. () 4
Jos χ G, niin kikille m pätee χ:n homomorfisuuden nojll χ(mg) = (χ(g)) m, jolloin ehdon () nojll virittäjän g kuvutuminen määrää koko krkterin χ. Toislt huomutuksen 3.4 nojll g kuvutuu jollekin ykkösen n:nnelle juurelle ǫ n,k, k =,,...,n. Tämä merkitsee sitä, että krktereit voi oll korkeintn n kpplett eli pätee # G #G. () Kosk juuret ǫ n,k ovt kikki eri lukuj, niin lemmn väite seur ehdost (), jos osoitetn, että kikille k =,,...,n on olemss krkteri χ k siten, että χ k (g) = ǫ n,k. Tämä on helppo, sillä jokiselle k =,,...,n voidn määritellä kuvus χ k : G S settmll χ k (mg) = ǫ m n,k kikille m Z. Tämä on hyvin määritelty kuvus, sillä jos mg = m g, niin ehdon n = #g nojll m = m + ln jollekin l Z, j silloin ǫ m n,k = ǫ m+ln n,k = ǫ m n,k (ǫ n n,k) l = ǫ m n,k l = ǫ m n,k. Lisäksi selvästi χ k kuv g:n pisteeksi ǫ n,k kuten pitääkin, joten riittää huomt, että se on homomorfismi. Tämä on selvää: χ k (mg + m g) = χ k ((m + m )g) = ǫ m+m n,k = ǫ m n,k ǫ m n,k = χ k (mg) χ k (m g) kikille m,m. Lemm 3.46 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j H G. Olkoon χ H kiinteä. Tällöin H:n krkteri χ eli homomorfismi χ : H S voidn ljent G:n krkteriksi eli homomorfismiksi χ : G S täsmälleen liryhmän H G indeksin ilmoittmll tvll. Täsmällisemmin snottun #{χ G χ H = χ} = #G #H. Todistus. Tehdään induktio liryhmän H indeksin eli luvun [G : H] = #G #H suhteen. Kun indeksi on, väite pätee trivilisti, sillä siinä tpuksess H = G. Oletetn sitten, että [G : H] j että väite pätee kikille liryhmille H G, joille [G : H ] < [G : H]. Kosk [G : H], niin H G j voidn vlit g G \ H. Merkitään H = H + g. 4
Tällöin ilmeisesti H < H G, joten [G : H ] = #G #H < #G #H = [G : H]. () Kosk lemmn 3.3 nojll (#G) g = H, niin kg H inkin jollekin k j voidn vlit n = min{k kg H}. Osoitetn seurvksi, että Väitteen () todistmiseksi riittää osoitt, että [H : H] = n. () #(H /H) = n. (3) Merkitään tvnomiseen tpn symbolill [] lkion H määräämää tekijäluokk tekijäryhmässä H /H. Tällöin siis H /H = {[] H }. Kosk H = H + g, niin jokisell H on esitys Silloin = h + mg, missä h H j m Z. (4) H /H = {[mg] m Z}. (5) Kosk luvun n vlinnn nojll ng H, niin ehtojen (4) j (5) nojll H /H = {[mg] m =,...,n }. (6) Ehdon (6) luokt ovt eri luokki, kosk jos [mg] = [m g] joillekin m < m n, niin [(m m)g] = [], j silloin (m m)g H sekä m m n, mikä on vstoin luvun n vlint n = min{k kg H}. Tällä perusteell väite (3) seur ehdost (6) j silloin myös väite () on todistettu. Ljennetn nyt nnettu ryhmän H krkteri χ ryhmän H krkteriksi χ. Kosk jokisess tällisess ljennuksess χ H = χ, niin χ :n rvot H:ss on kiinnitetty, jolloin ehdon (4) j χ :n homomorfisuuden perusteell pisteen g kuvutuminen määrää ljennuskuvuksen χ täysin. Mitä rvoj χ (g) sitten voi sd? Kosk χ on homomorfismi, niin on oltv (χ (g)) n = χ (ng). (7) Luvun n määritelmän nojll ng H, jolloin χ(ng) on määritelty, j kosk on trkoitus ljent kuvust χ : H S, niin ehdon (7) nojll on oltv (χ (g)) n = χ(ng). (8) 4
Kirjoitetn luku χ(ng) S npkoordinttimuodoss χ(ng) = e iϕ jollekin ϕ R. (9) Ehdon (8) nojll χ (g) on luvun χ(ng) S n:s juuri, jolloin esityksen (9) perusteell χ (g) = ǫ n,k e iϕ n jollekin k =,,...,n. () Kuvpisteellä χ (g) on ehdon () nojll korkeintn n mhdollist rvo. Kosk kuten edellä todettiin χ (g) määrää ljennuksen χ täysin, pätee tällöin #{χ H χ H = χ} n. () Osoitetn, että epäyhtälössä () on itse siss yhtälö. Tämä väite seur epäyhtälöstä (), jos onnistutn konstruoimn krkterit χ k H, k =,,...,n siten, että χ k H = χ j χ k (g) = ǫ n,k e iϕ n kikille k =,,...,n. () Ehto () tekee ehdost () yhtälön, kosk ehdoss () olevt kompleksiluvut ǫ n,k e iϕ n ovt kikki eri lukuj. Määritellään tälliset hlutut krkterit seurvsti. Käytetään määritelmään ehdon (4) esitystä. Kirjoitetn H muodoss = h + mg, missä h H j m Z. Tämän jälkeen määritellään ( ) m χ k () = χ(h) ǫ n,k e iϕ n kikille k =,,...,n. (3) Nyt on huolellisesti trkistettv, että määritelmä (3) on hyvin setettu: tässähän on ilmeinen ongelm, kosk pisteen esitys = h + mg ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Olkoon tätä vrten :ll jokin toinen esitys = h + m g, missä h H j m Z. Pitää siis osoitt, että ( ) m ( ) m χ(h) ǫ n,k e i ϕ n = χ(h ) ǫ n,k e i ϕ n. (4) Kosk h + mg = = h + m g, niin (m m)g = h h H, jolloin luvun n määritelmän nojll nähdään helposti, että Tästä sdn j edelleen ( χ(h ) ǫ n,k e i ϕ n ) m χ(h lng) ǫ m n,k e i mϕ n χ(h) ǫ m n,k e i mϕ n χ(h) ǫ m n,k e i mϕ n m m = ln jollekin l Z. (5) h = h (m m)g = h lng, (6) i) = χ(h ) ǫ m+ln n,k e i (m+ln)ϕ ii) n = χ(h ) ǫ m n,k e i mϕ n e ilϕ iii) = e ilϕ iv) = χ(h) χ( lng) ǫ m n,k e i mϕ n e ilϕ v) = (χ(ng)) l e ilϕ = χ(h) ǫ m n,k e i mϕ n = χ(h) ǫn,k e i mϕ n = χ(h) (ǫ n,k e i ϕ n ) m, ((χ(ng)) e iϕ ) l vi) = 43
joten väite (4) seur. Tässä yhtälö i) seur ehdost (5), yhtälö ii) siitä, että ǫ n n,k = j yhtälö iii) ehdost (6). Yhtälö iv) seur siitä, että χ on homomorfismi huom, että ng H j siten myös lng H, joten tässä on järkeä. Yhtälössä v) käytetään myös χ:n homomorfisuutt. Yhtälö vi) tulee ehdost (9). Näin on osoitettu, että määritelmä (3) on hyvin setettu kikille k, ts. on onnistuneesti stu ikn kuvukset χ k : H S. Osoitetn, että nämä kuvukset ovt homomorfismej. Kun, H, niin vlitn niille esitykset = h + mg j = h + m g, missä h,h H j m,m Z. (7) Tällöin määritelmän (3) mukn kikille k =,...,n sdn ( ) χ k ( + ) = i) χ k ((h + h ) + (m + m )g) ii) m+m = χ(h + h ) ǫ n,k e i ϕ iii) n = ( ) m+m χ(h) χ(h ) ǫ n,k e i ϕ ( ) m ( ) m n = χ(h) ǫ n,k e i ϕ n χ(h ) ǫ n,k e i ϕ iv) n = χ k () χ k ( ), joten jokinen χ k on homomorfismi. Tässä yhtälö i) tulee ehdost (7), yhtälö ii) määritelmästä (3) j siitä, että h+h H j m+m Z. Yhtälö iii) seur χ:n homomorfisuudest j yhtälö iv) määritelmästä (3) sekä ehdost (7). Näin on nähty, että χ k H kikille k =,,...,n. Osoitetn seurvksi, että ehto () pätee näille χ k. Kun h H, niin h on muoto h = h + g, jolloin määritelmän (3) mukn ( ) χ k (h) = χ(h) ǫ n,k e i ϕ n = χ(h), joten inkin väitteen () ensimmäinen ehto pätee. Jälkimmäinen ehto χ k H = χ χ k (g) = ǫ n,k e i ϕ n pätee myös, sillä pisteellä g on esitys g = +g, missä H, jolloin määritelmän (3) mukn ( ) χ k (h) = χ() ǫ n,k e i ϕ i) n = ǫ n,k e i ϕ n, missä yhtälö i) seur siitä, että χ on homomorfismi, jolloin χ() =. Näin väite () on todistettu. Kuten tämän väitteen yhteydessä todettiin, ehto () iheutt sen, että ehdoss () on yhtälö eli pätee #{χ H χ H = χ} = n. (8) 44
Ehdon () j induktio-oletuksen nojll jokiselle χ H pätee #{ χ G χ H = χ } = [G : H ]. (9) Ehdon (8) nojll χ voidn siis ljent H :n krkteriksi χ täsmälleen n:llä eri tvll. Ehtojen () j (9) sekä induktio-oletuksen nojll kukin näistä krktereist χ voidn edelleen ljent koko G:n krkteriksi täsmälleen [G : H ] tvll. On ilmeistä, että nämä edelleenljennukset tuottvt kikki eri χ:n ljennuksen j toislt muit χ:n ljennuksi koko G:n krkteriksi ei ole. Silloin näitä χ:n ljennuksi koko G:n krkteriksi on täsmälleen n [G : H ] kpplett, joten #{χ G χ H = χ} = n [G : H ] i) = [H : H] [G : H ] ii) = #H #H #G #H = #G #H, j väite seur. Tässä yhtälö i) tulee ehdost () j yhtälö ii) liryhmän indeksin määritelmästä. Nyt voidn yleistää lemm 3.45: Lemm 3.47 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j ( G, ) sen krkteriryhmä. Tällöin pätee #G = # G. Todistus. Trkstelln trivili liryhmää H = {} G j trivili H:n krkteri χ. Tälle pätee ilmeisesti jolloin #G = #G #H {χ G χ H = χ} = G, i) = #{χ G χ H = χ} = # G, joten väite pätee. Tässä yhtälö i) seur lemmst 3.46. Lemm 3.48 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j g G \ {}. Tällöin on olemss G:n krkteri χ G siten, että χ(g). Todistus. Merkitään n = #g. Kosk g, niin n. Kosk {ǫ n,,ǫ n,,...,ǫ n,n } S on syklinen ryhmä kertluku n, niin {ǫ n,,ǫ n,,...,ǫ n,n } = g, jolloin on olemss isomorfismi ϕ : g {ǫ n,,ǫ n,,...,ǫ n,n }. Kosk g j ϕ on monomorfismi, niin ϕ(g) ǫ n, =. () Homomorfismi ϕ on ryhmän g krkteri. Lemmn 3.46 nojll ϕ voidn ljent koko ryhmän G krkteriksi χ. Ehdon () nojll χ toteutt hlutun ehdon χ(g). 45
Lemm 3.49 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j g,g G siten, että g g. Tällöin on olemss χ G siten, että χ(g ) χ(g ). Todistus. Kosk g g, niin g g. Tällöin lemmn 3.48 nojll on olemss χ G siten, että χ(g g ), jolloin χ:n homomorfisuuden nojll χ(g g ) = χ(g )(χ(g )), jost epäyhtälöstä väite seur. Lemm 3.5 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä, H G j g G \ H. Tällöin on olemss χ G siten, että χ H j χ(g). Todistus. Trkstelln tekijäryhmää G/H j merkitään symbolill [] lkion G määräämää tekijäluokk [] G/H. Olkoon π : G G/H tekijäkuvus π() = []. Kosk g G \ H, niin [g] []. Tällöin lemmn 3.48 nojll on olemss ryhmän G/H krkteri χ siten, että Määritellään hluttu krkteri χ G settmll χ ([g]). () χ = χ π. Tämä on todellkin ryhmän G krkteri, kosk π : G G/H j χ : G/H S ovt homomorfismej. Lisäksi kikille h H pätee joten hlutusti χ H, sekä χ(h) = χ (π(h)) = χ () =, χ(g) = χ (π(g)) = χ ([g]) ehdon () nojll. Lemm 3.5 Olkoon (G,+) äärellinen syklinen ryhmä j ( G, ) sen krkteriryhmä. Tällöin pätee G = G. 46
Todistus. Kosk sm kertluku olevt sykliset ryhmät ovt in isomorfisi keskenään, riittää luseen 3.47 nojll osoitt, että G on syklinen. Merkitään n = #G j olkoon g syklisen ryhmän G virittäjä. Merkitään ts ǫ n,k = e k n πi S, k =,,...,n. Määritellään kuvus χ : G S settmll χ() = ǫ r n, kun G on muoto = rg, r Z. Pitää osoitt, että tämä on hyvin määritelty kuvus. Ensinnäkin, kosk g on ryhmän G virittäjä, jokisell G on muoto = rg olev esitys jollekin r Z, joten määritelmä on tässä suhteess järkevä. Pitää tietysti vielä osoitt, että määritelmä ei riipu vlitust esityksestä. Olkoon siis = rg = sg joillekin r,s Z. Pitää osoitt, että ǫ r n, = ǫ s n,. () Kosk #g = n j (r s)g =, niin r s = kn jollekin k Z. Tällöin ǫ r n, = ǫ s+kn n, = ǫ s n, (ǫ n n,) k = ǫ s n, k = ǫ s n,, joten väite () pätee. Näin on nähty, että χ : G S on hyvin määritelty kuvus. Se on myös homomorfismi, sillä kikille r,s Z pätee χ(rg + sr) = χ((r + s)g) = ǫ r+s n, = ǫr n, ǫ s n, = χ(rg) χ(sg). Siten χ on ryhmän G krkteri eli χ G. Riittää osoitt, että χ = G. () Kosk siis χ G, niin trivilisti χ G, joten väite () seur, jos osoitetn, että G χ. (3) Väitettä (3) vrten olkoon ψ G mielivltinen. Riittää osoitt, että Kosk #G = n, niin huomutuksen 3.4 mukn ψ = k χ jollekin k Z. (4) ψ(g) = ǫ n,k jollkin k =,,...,n. (5) Osoitetn, että ehdon (5) k toimii myös ehdoss (4). Kosk G = g, niin riittää osoitt, että ψ(rg) = (k χ)(rg) kikille r Z. Tämän näkee seurvsti. ψ(rg) i) = (ψ(g)) r ii) = ǫ r n,k = (ǫ k n,) r = (ǫ r n,) k iii) = (χ(rg)) k iv) = (k χ)(rg), missä yhtälö i) seur siitä, että ψ on homomorfismi, yhtälö ii) tulee ehdost (5), yhtälö iii) on χ:n määritelmä j yhtälö iv) seur ryhmän G lskutoimituksen määritelmästä. 47
Lemm 3.5 Olkoot (G, +) j (H, +) äärellisiä Abelin ryhmiä. Tällöin pätee G H = G H. Huomutus. Tässä G:n j H:n lskutoimitust on merkitty yksinkertisuuden vuoksi smll symbolill, mutt kummsskin ryhmässä on tietysti om lskutoimituksens, joill ei lähtökohtisesti ole mitään tekemistä keskenään. Tuloryhmät määritellään kuten merkinnässä 3.. Todistus. Määritellään kuvukset ϕ G : G G H j ϕ H : H G H settmll ϕ G (g) = (g,) j ϕ H (h) = (,h) kikille g G j h H. Selvästi ϕ G j ϕ H ovt monomorfismej. Määritellään sitten kikille χ G H kuvukset χ G : G S j χ H : H S settmll χ G = χ ϕ G j χ H = χ ϕ H. Kosk ϕ G, ϕ H j χ ovt homomorfismej, myös χ G j χ H ovt homomorfismej. Tällöin siis χ G G j χ H H, joten voidn määritellä kuvus f : G H G H settmll f(χ) = (χ G,χ H ) kikille χ G H. Kosk χ selvästi määrää homomorfismit χ G j χ H yksikäsitteisesti, kuvus f on hyvin määritelty. Osoitetn, että se on homomorfismi. Tätä vrten pitää muist tuloryhmän G H lskutoimitus merkitään sitäkin symbolill : (α,β) (α,β ) = (α α,β β ). Olkoot χ,χ G H. Pitää osoitt, että f(χ χ ) = f(χ) f(χ ) eli ((χ χ ) G,(χ χ ) H ) = (χ G,χ H ) (χ G,χ H) eli ((χ χ ) ϕ G,(χ χ ) ϕ H ) = (χ ϕ G,χ ϕ H ) (χ ϕ G,χ ϕ H ) eli ((χ χ ) ϕ G,(χ χ ) ϕ H ) = ((χ ϕ G ) (χ ϕ G ),(χ ϕ H ) (χ ϕ H )) eli (χ χ ) ϕ G = (χ ϕ G ) (χ ϕ G ) j () (χ χ ) ϕ H = (χ ϕ H ) (χ ϕ H ). () Väitteen () todistmiseksi pitää nähdä, että (χ χ ) ϕ G (g) = ((χ ϕ G ) (χ ϕ G ))(g) kikille g G. (3) Kuvuksen ϕ G j lskutoimituksen määritelmän mukn väite (3) tulee muotoon χ(g,) χ (g,) = χ(g,) χ (g,), 48
j tässähän nyt ei sitten enää todistmist olekn. Vstvsti nähdään, että väite () pätee. Näin on nähty, että f on homomorfismi, joten väite seur, jos osoitetn, että f on bijektio. Lemmn 3.47 nojll #( G H) = #(G H) = (#G) (#H) = (# G) (# H) = #( G H), joten f:n bijektiivisyys seur, jos osoitetn, että se on injektio. Kosk f on homomorfismi, sen injektiivisyys seur, jos osoitetn, että sen ydin on trivili eli pätee Ker(f) = {χ }, missä χ. (4) Olkoon tätä vrten χ Ker(f). Kosk tuloryhmän G H neutrlilkio on (χ G,,χ H, ), missä χ G, on ryhmän G neutrlilkio j vstvsti χ H, on ryhmän H neutrlilkio eli χ G, joukoss G j χ H, joukoss H, niin f:n määritelmän j oletuksen χ Ker(f) nojll eli Ehdon (5) nojll j vstvsti ehdon (6) nojll (χ ϕ G,χ ϕ H ) = f(χ) = (χ G,,χ H, ) χ ϕ G = χ G, j (5) χ ϕ H = χ H,. (6) χ(g,) = kikille g G (7) χ(,h) = kikille h H. (8) Kikille (g,h) G H sdn ehtojen (6) j (7) sekä χ:n homomorfisuuden nojll χ(g,h) = χ((g,) + (,h)) = χ(g,) χ(,h) = = = χ (g,h), joten χ = χ, j väite (4) seur. Lemm 3.53 Olkoot (G i,+), i =,...,n (n ) äärellisiä Abelin ryhmiä. Tällöin pätee (G... G n ) f = G... G n. Todistus. Tämä seur helpoll induktioll lemmst 3.5. Alkuskel eli tpus n = on selvä, j yleinen skel menee näin: (G... G n ) f = ((G... G n ) G n ) f = (G... G n ) f G n = ( G... G n ) G n = G... G n. Nyt voidn todist tässä luvuss tvoiteltu tulos: 49
Luse 3.54 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j ( G, ) sen krkteriryhmä. Tällöin pätee G = G. Todistus. Struktuuriluseen 3.37 nojll G voidn esittää suorn summn syklisistä liryhmistään G,...,G n. Tällöin lemmn 3. mukn Silloin lemmn 3.53 nojll G = G... G n. () G = G... G n. () Kosk ryhmät G i ovt syklisiä, niin lemmn 3.5 mukn G i = Gi kikille i =,...,n, jolloin lemm 3. uudelleen käyttäen G... G n = G... G n. (3) Väite seur yhdistämällä ehdot (), (3) j (). Huomutus 3.55 Luseen 3.54 mukisesti äärelliselle Abelin ryhmälle G pätee G = G. Ei kuitenkn ole olemss (inkn yleisesti) mitään luonnollist ti knonist isomorfismi ϕ : G G edes syklisessä tpuksess. Lemmn 3.5 todistuksess tällinen isomorfismi konstruoitiin, mutt sen määritelmässä ensin vlittiin ryhmän G virittäjä. Jos virittäjän vlint vihdetn, isomorfismi muuttuu. Nämä G:n virittäjät ovt keskenään täysin ts-rvoisi, joten syntyvät isomorfismit ovt myös keskenään yhtä hyviä ti yhtä luonnollisi. Kosk G = G j G = G, niin G = G, j näiden ryhmien välillä on luonnollinen, knoninen isomorfismi, jok liittää lkioon g G sen määräämän evlutiokuvuksen G S, χ χ(g). Tämä kuvus on nimeltään Pontrjginin duliteetti. Seurvss luseess todistetn, että kyseessä on todellkin isomorfismi. Luse 3.56 Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä. Määritellään kikille g G kuvus ϕ g : G S settmll ϕ g (χ) = χ(g) kikille χ G. Määritellään edelleen kuvus ψ : G G settmll ψ(g) = ϕ g kikille g G. Tällöin ψ : G G on hyvin määritelty isomorfismi. 5
Todistus. Aino ongelm ψ:n määrittelyssä on se, että ψ kuv oiken pikkn eli että todellkin ψ(g) = ϕ g G kikille g G. () Väitteen () todistmiseksi kiinnitetään g G. Pitää osoitt, että ϕ g G eli ϕ g on homomorfismi G S. Selvästi ϕ g on inkin kuvus G S, joten riittää osoitt, että se on homomorfismi. Tämän näkee seurvsti. Olkoot χ,χ G. Silloin joten si on selvä. ϕ g (χ χ ) = (χ χ )(g) = χ(g) χ (g) = ϕ g (χ) ϕ g (χ ), Riittää siis osoitt, että ψ on isomorfismi. Osoitetn ensin, että se on homomorfismi. Olkoot g,g G. Pitää osoitt, että ψ(g + g ) = ψ(g) ψ(g ) ψ(g + g )(χ) = (ψ(g) ψ(g ))(χ) kikille χ G ψ(g + g )(χ) = ψ(g)(χ) ψ(g )(χ) kikille χ G eli ϕ g+g (χ) = ϕ g (χ) ϕ g (χ) kikille χ G χ(g + g ) = χ(g) χ(g ) kikille χ G. () Ehto () seur välittömästi siitä, että G:n lkiot χ ovt homomorfismej. Näin on nähty, että ψ on homomorfismi, joten riittää osoitt, että se on bijektio. Kosk lemmn 3.47 mukn #G = # G = # G, niin riittää osoitt, että ψ on injektio. Kosk se on homomorfismi, riittää osoitt, että sen ydin on trivili, ts. että Olkoon ehto (3) vrten g Ker(ψ) eli missä η on ryhmän G neutrlilkio eli Ker(ψ) = {} G. (3) eli eli eli ψ(g) = η, (4) η (χ) = kikille χ G. (5) Pitää osoitt, että g =. (6) 5
Tehdään ntiteesi: g G \ {}. Antiteesin j lemmn 3.48 nojll on olemss χ G siten, että Toislt pätee χ(g). (7) χ(g) i) = ϕ g (χ) ii) = ψ(g)(χ) iii) = η (χ) iv) =, mikä on vstoin ehto (7). Tämä ristiriit kt ntiteesin, joten väite (6) on todistettu. Tässä yhtälö i) tulee ϕ g :n määritelmästä, yhtälö ii) ψ:n määritelmästä, yhtälö iii) ehdost (4) j yhtälö iv) ehdost (5). Seurvn lemmn todistuksess trvitn pientä pulemm: Lemm 3.57 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j g G kiinteä. Tällöin kuvus s g : G G, on bijektio. s g () = g + kikille G Todistus. Selvästi kuvus s g on s g :n käänteiskuvus. Lemm 3.58 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j χ G kiinteä. Olkoon lisäksi χ ryhmän G neutrlilkio eli χ. Tällöin pätee { #G jos χ = χ χ(g) = muuten. g G Huomutus. Lemmn 3.58 muotoiluss olevss summss lsketn yhteen kompleksilukuj. Tässä ei siis summt G:n lkioit eikä krkterej vn krkterien rvoj, jotk ovt yksikköympyrällä S C. Todistus. Jos χ = χ, niin väite pätee selvästi. Voidn siis olett, että χ χ. Tällöin χ, joten on olemss g G siten, että Tälle pätee χ(g ) g G χ(g) = g G χ(g ). () χ(g ) χ(g) i) = g G χ(g + g) ii) = g Gχ(g), () missä yhtälö i) seur χ:n homomorfisuudest j yhtälö ii) lemmst 3.57: kun g käy läpi G:n lkiot, niin g + g käy läpi täsmälleen smt lkiot toki mhdollisesti eri järjestyksessä. Lemmn väite seur ehdoist () j (). Dulinen tulos lemmlle 3.58 on seurv. 5
Lemm 3.59 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j g G kiinteä. Tällöin pätee { #G jos g = χ(g) = muuten. χ e G Todistus. Olkoon ψ : G G Pontrjginin duliteetti, ts. luseen 3.56 mukinen isomorfismi, jolle pätee ψ(g)(χ) = χ(g) kikille g G j χ G. Olkoon lisäksi η ryhmän G neutrlilkio. Tällöin = χ Gχ(g) { ψ(g)(χ) i) # = G { jos ψ(g) = η ii) #G jos g = = muuten muuten, e χ G e missä yhtälö i) sdn soveltmll lemm 3.58 ryhmään G, j yhtälö ii) seur lemmst 3.47 j siitä, että ψ on isomorfismi. Määritelmä 3.6 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j χ G. Määritellään χ:n konjugttikrkteri χ : G S settmll χ(g) = χ(g) S kikille g G. Huomutus 3.6 Määritelmässä 3.6 merkintä χ(g) trkoitt tvllist kompleksikonjugointi. On selvää, että konjugttikrkteri on myös ryhmän G krkteri. Itse siss χ on χ:n käänteislkio ryhmässä G, mikä johtuu siitä, että z z = kikille z S. Lisäksi smst syystä homomorfisuuden nojll χ(g) = χ( g) kikille g G. Konjugttikrktereit käyttäen lemmt 3.58 j 3.59 voidn muotoill uudelleen: Luse 3.6 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j χ,χ G. Tällöin pätee { #G jos χ = χ χ (g) χ (g) = muuten. g G Todistus. Tämä seur huomutuksest 3.6 soveltmll lemm 3.58 krkteriin χ = χ χ. Luse 3.63 Olkoon (G,+) äärellinen Abelin ryhmä j g,g G. Tällöin pätee { #G jos g = g χ(g ) χ(g ) = muuten. χ e G 53
Todistus. Tämä seur huomutuksest 3.6 soveltmll lemm 3.59 lkioon g = g g G. Huomutus 3.64 Luseiden 3.6 j 3.63 tuloksi kutsutn ortogonlireltioiksi. Syy nimitykseen ilmenee seurvst esimerkistä. Esimerkki 3.65 Relisen vruuden R n euklidisen sisätulon (,..., n ) (y,...,y n ) = n k= ny n ljennus kompleksisen vruuden C n hermiittiseksi sisätuloksi on määritelmä n (z,...,z n ) (w,...,w n ) = z n w n kikille (z,...,z n ),(w,...,w n ) C n. k= Snotn, että vektorit (z,...,z n ),(w,...,w n ) C n ovt ortogonlisi, mikäli (z,...,z n ) (w,...,w n ) =. Jos nyt G on äärellinen Abelin ryhmä, #G = n, niin lemmn 3.47 nojll myös # G = n. Olkoon G = {g,...,g n } j G = {χ,...,χ n }. Tällöin voidn muodost kompleksinen (n n)-mtriisi χ (g )... χ (g n )....... χ n (g )... χ n (g n ) Luseiden 3.63 j 3.64 nojll tämän mtriisin rivit j srkkeet (jotk ovt vektoreit vruudess C n ) ovt ortogonlisi hermiittisen sisätulon mielessä. Jtkoss tulln trkstelemn summi n n l (mod k) f(n), missä f on lukuteoreettinen funktio j k,l N, syt(k,l) =. Tälliset summt ovt hnkli käsiteltäviä j krkterien vull ne sdn helpompn muotoon. Seurv luse on perusse j myöhemmin näihin pltn. Tätä lusett vrten plutetn mieliin Eulerin funktio ϕ, ks. määritelmä 4.6. Muistetn myös renkn Z k yksiköiden ryhmä (Z k, ), jok on äärellinen Abelin ryhmä j #Z k = ϕ(k). Merkitään symbolill [] k (ti vin []) lkion Z tekijäluokk renkss Z k. Tällöinhän siis. Z k = {[] k syt(k,) = }. Tässä täytyy vielä vähän ljent ryhmän Z k krkterin käsitettä. Sehän on lähtökohtisesti määritelty vin kyseisen ryhmän lkioille, mutt sovitn mukvuussyistä, että ljennetn kikille χ Z k määritelmä koko renkseen Z k sopimll, että χ([]) = kun [] Z k \ Z k. 54
Huom, että tämä ljennettu kuvus ei tietenkään mikään homomorfismi enää ole. Homomorfisuuden puute iheutt joskus vähän ongelmi, mutt niistä yleensä selvitään, kun pltn määritelmään, jok ei todellkn ole mikään kovin monimutkinen. Snotn yksinkertisuuden vuoksi tällist ljennettu krkterin käsitettä yleistetyksi krkteriksi modulo k. Merkintöjen selkeyttämiseksi käytetään sille kuitenkin sm merkintää χ kuin lkuperäiselle krkterille χ Z k ; onhn selvää, että krkteri määrää yksikäsitteisesti ljennuksens j myös kääntäen: ljennus määrää yksikäsitteisesti krkterin, kosk ljennusjoukko Z k \ Z k ei riipu käytetystä krkterist. Luse 3.66 Olkoon f lukuteoreettinen funktio j k, l siten, että syt(k,l) =. Tällöin kikille R + pätee f(n) = χ([l] ) χ([n])f(n). ϕ(k) n n n l (mod k) χ f Z k Huomutus. Oletuksen syt(k,l) = nojll [l] Z k, joten väitteessä esiintyvä käänteislkio [l] Z k on olemss (j yksikäsitteinen), joten χ:n rvo tässä pisteessä on tvnomiseen tpn määritelty. Sen sijn [n] ei välttämättä ole yksikkö, joten tälle trvitn (ehkä) edellä määriteltyä ljennettu määritelmää, jonk mukn χ([n]) =, kun [n] Z k. Todistus. Konjugttikrkterille χ Z k pätee huomutuksen 3.6 nojll (nythän tässä trksteltvn ryhmän Z k lskutoimitust merkitään multipliktiivisesti) χ([l]) = χ([l] ), jolloin luseen 3.63 nojll luokille [n] Z k pätee χ([n]) χ([l] ) = { #Z k = ϕ(k) kun [n] = [l] χ([n]) χ([l]) = muuten. χ f Z k χ f Z k Ehto () pätee myös kun [n] Z k \ Z k, sillä siinä tpuksess yhtälön () molemmt puolet ovt tehtyjen oletusten j sopimusten mukn nolli. Silloin ehdon () nojll sdn kikille n ehto ϕ(k) χ f Z k χ([n])χ([l] ) = { kun [n] = [l] muuten. () () 55
Ehdon () nojll n n l (mod k) ϕ(k) χ f Z k f(n) = n [n]=[l] f(n) = χ([n])χ([l] ) f(n) = ϕ(k) n χ([l] ) n χ([n])f(n), χ f Z k eli väite pätee. 4 Dirichlet n srjt Riemnnin ζ-funktio määriteltiin puolitsoss H settmll ζ(z) = n= n z. Tässä luvuss trkstelln yleisemmin srjoj S(z) = n= n n z, missä ( n ) jokin kiinteä kompleksilukujono. Tällisi srjoj snotn Dirichlet n srjoiksi. Kuten rvt stt, Dirichlet n srjn suppeneminen riippuu oleellisesti nnetust jonost ( n ). Riemnnin ζ-funktion tpuksess siis n j suppeneminen tphtuu puolitsoss H. Jos ts esimerkiksi n = n!, niin srj S(z) suppenee kikkill. Tpuksess n = n! srj S(z) puolestn hjntuu kikkill. Jätetään nämä todistukset hrjoitustehtäviksi. Seurv luse on keskeinen Dirichlet n srjojen teoriss. Luse 4. Oletetn, että Dirichlet n srj n n= n z suppenee pisteessä z C. Tällöin kyseinen srj suppenee tsisesti jokisess z -kärkisessä suljetuss sektoriss A = {z C π + θ Arg(z z ) π θ} {z }, missä < θ < π. Todistus. Siirretään ensin merkintöjen yksinkertistmiseksi piste z origoon kuvuksell z z z. Tämä siirto vtii perustelun. Merkitään sitä vrten (kiinteälle θ) b n = n n z kikille n j à = {w C π + θ Arg(w) π θ} {}. 56
Pitää nähdä, että n= n= n n z suppenee pisteessä z = z b n suppenee pisteessä w = nw j n= n= n n z suppenee tsisesti joukoss A b n suppenee tsisesti joukoss Ã. nw Nämä molemmt väitteet seurvt siitä, että z A w = z z à j n n z = nn z n z z = b n kikille n. nw Oletetn siis, että z =. Tällöin luseen oletuksen nojll srj n suppenee. () n= Pitää siis osoitt, että kiinteälle θ ], π [ summ n= n suppenee tsisesti joukoss nz A = {z C π + θ Arg(z) π θ} {}. suppenee origoss, niin riittää osoit- Kosk ehdon () mukn summ t, että summ n= n= n n z n suppenee tsisesti joukoss nz B = {z C π + θ Arg(z) π θ}. () Olkoon ǫ > kiinteä. Väitteen () todistmiseksi riittää osoitt, että on olemss n siten, että N n n z ǫ sin θ kikille z B j kikille n < M < N. (3) n=m 57
Merkitään kikille n jolloin ehdon () nojll Tällöin on olemss n siten, että R n = k=n+ lim R n =. n k, (4) R n < ǫ kikille n n. (5) Osoitetn, että ehdon (5) n toimii myös väitteessä (3). Olkoon tätä vrten n M < N. Väitteen (3) summlle sdn määritelmän (4) j ehdon () nojll esitys N n=m N n=m N n n z = n=m N R n (n + ) z R n R n n z = n=m Kikille z B pätee (n + ) z n z = z z n+ n N R n n z n=m R n n z = R M M z + d = z Re(z)+ n+ n Re(z) ( N n=m z+ d N n=m R n n z = (6) ( Rn (n + ) z R ) ) n n z R N (N + ) z. n+ z n z+ d = ), ( n Re(z) (n + ) Re(z) jolloin oletuksen n < M < N sekä ehtojen (5) j (6) nojll N n n z R M N ( M z + R n (n + ) z + ) n z + R N (N + ) z n=m ǫ M z + ǫ z Re(z) ǫ ǫ z + MRe(z) Re(z) ǫ ǫ z + MRe(z) Re(z) N n=m n=m ( n Re(z) (n + ) Re(z) N n=m ( n Re(z) ( M Re(z) ǫ ǫ z + MRe(z) Re(z) M + Re(z) ǫ ǫ z + MRe(z) Re(z) M Re(z) (n + ) Re(z) (N + ) Re(z) ǫ (N + ) Re(z) ) + ) + ǫ (N + ) z = ) + ǫ (N + ) Re(z) = ǫ (N + ) = Re(z) ) i) ( z Re(z) ii) ǫ + ǫ z iii) ǫ z Re(z) Re(z), (7) 58
missä epäyhtälö i) seur siitä, että joukoss B pätee z Re(z) >, jolloin z Re(z) <, epäyhtälö ii) seur siitä, että M j Re(z) > sekä epäyhtälö iii) jälleen ehdost z Re(z) >. Kosk joukoss B pätee niin rvion (7) nojll j väite (3) seur. z Re(z) = cos(arg(z)) cos( π θ) = sin θ, N n n z n=m ǫ sinθ, Seurus 4. Jos Dirichlet n srj n n= n z suppenee pisteessä z C, niin se suppenee loklisti tsisesti puolitsoss H Re(z). Lisäksi kuvus z on nlyyttinen puolitsoss H Re(z) j srj voidn derivoid termeittäin. n= Todistus. Tämä seur välittömästi luseest 4. j siitä, että loklisti tsisesti suppenevn nlyyttisten funktioiden muodostmn jonon rj-rvo on nlyyttinen j sen derivtt on jonon funktioiden derivttojen rj-rvo. n n z Huomutus 4.3 Olkoon A kuten luseess 4.. Merkitään f(z) = n= n n z kikille z A. Kosk jtkuvien funktioiden tsinen rj-rvo on jtkuv, niin luseen 4. nojll lim f(z) = f(z ). z z z A Huomutus 4.4 Jos Dirichlet n srj n n= n z suppenee pisteessä z C, niin se suppenee luseen 4. mukisesti koko puolitsoss H Re(z). Kääntäen, jos srj n n= n z ei suppene pisteessä z C, niin se ei luseen 4. nojll voi supet missään pisteessä z, jolle Re(z) < Re(z ). Tämä merkitsee sitä, että Dirichlet n srjlle S(z) = n= on trklleen kolme vihtoehto: n n z S(z) suppenee koko tsoss C, () S(z) ei suppene missään ti () S(z) suppenee josskin puolitsoss H j ei suppene vsemmss puolitsoss C \ H. (3) 59
Esimerkki 4.5 Huomutuksen 4.4 kikki kolme vihtoehto ovt mhdollisi: jos n = n!, niin joudutn vihtoehtoon (), jos n = n!, niin joudutn vihtoehtoon (), kun ts tpus n joht tpukseen (3) kyseessähän on tällöin Riemnnin ζ-funktion lkuperäinen määritelmä, jok suppenee puolitsoss H, mutt ei suppene puolitsoss C \ H. On tietysti selvää, että vihtoehdon (3) relios voi oll mikä thns. Määritelmä 4.6 Jos Dirichlet n srj S(z) = n n= n z suppenee josskin puolitsoss H j ei suppene puolitsoss C \ H, niin snotn, että H on srjn S(z) suppenemispuolitso. Suor {z Re(z) = } on tällöin srjn S(z) kriittinen suor j luku R on srjn S(z) suppemisbskiss. Sovitn erikseen, että jos srj S(z) ei suppene linkn, niin suppenemisbskiss on + j jos S(z) suppenee kikkill, niin suppenemisbskiss on. Huomutus 4.7 Dirichlet n srj S(z) = n n= n z suppenee siis in suppenemispuolitsossn niin kuin terminologin knnlt luonnollist onkin. Sen sijn kriittisen suorn pisteissä S(z) voi supet ti oll suppenemtt. Tilnne on tässä suhteess smnkltinen kuin nlyyttisen funktion potenssisrjesityksellä: sehän suppenee suppenemiskiekossn, hjntuu sen ulkopuolell j kiekon reunll esitys voi supet ti hjntu. Vert kuitenkin esimerkkiin 4.8 j sitä edeltävään huomutukseen. Esimerkki 4.8 Riemnnin ζ-funktion lkuperäisen määritelmän srjn n z n= suppenemisbskiss on, mikä on jo ennlt tiedoss. Srjn ( ) n S(z) = n= suppenemisbskiss on. Tämä vtii perustelun. Origoss srj ei selvästikään suppene, joten suppenemisbskiss on inkin. Silloin huomutuksen 4.4 perusteell riittää osoitt, että S() suppenee kikille relisille >. Tämä on selvää, kosk kyseessä on tällöin vuorottelev (relinen) srj, jonk termien itseisrvot konvergoivt monotonisesti nolln. Huomutus 4.9 Seuruksess 4. todettiin määritelmän 4.6 terminologi käyttäen, että jos Dirichlet n srj S(z) suppenee josskin kriittisen suorns pisteessä, niin S(z) on nlyyttinen suppenemispuolitsossn j voidn derivoid termeittäin. Tämä väite pätee, vikk S(z) ei suppenisi linkn kriittisellä suorlln näinhän on lit vikkp esimerkin 4.8 summlle S(z). Tämä nlyyttisyys voidn perustell ivn smoin kuin seuruksess 4., joss tosin detljit ohitettiin. Riittää osoitt, että srj suppenee loklisti tsisesti eli nnetun pisteen josskin pienessä ympäristössä U. Tämä onnistuu, kun vlitn vertiklinen pusuor (jonk pisteissä srj suppenee) suppenemissuorn j U:n välistä j käytetään lusett 4.. Jätetään yksityiskohdt hrjoitustehtäväksi. n z 6
Lemm 4. Trkstelln Dirichlet n srjoj S(z) = S(z) = n= n= j n n. Olkoot niiden suppenemisbskisst j ã vstvss järjes- z tyksessä. Tällöin pätee ã. Huomutus. Väitteessä noudtetn sitä tvnmukist sopimust, että < < kikille R. Todistus. Jos ã = +, niin väite pätee. Voidn siis olett, että ã { } {R}. Tässä tpuksess huomutuksen 4.9 nojll srj S() suppenee kikille R, > ã. Huomutuksen 4.4 nojll riittää osoitt, että Kun R, niin jolloin srj srj S() suppenee kikille R, > ã. () n n n = n n= = n n, n= n n = S() suppenee, kun > ã. Väite () seur tällöin siitä, että itseisesti suppenev srj suppenee. Määritelmä 4. Olkoon S(z) = n n= n z Dirichlet n srj. Snotn, että srjn S(z) itseisen suppenemisen bskiss on srjn S(z) = suppenemisbskiss. Huomutus 4. Jos ã on srjn S(z) itseisen suppenemisen bskiss, niin S(z) suppenee itseisesti kikille z, joille Re(z) > ã. Tämä johtuu siitä, että näille z pätee n n = n z, () nre(z) n= j tässä jälkimmäinen srj suppenee oletuksen Re(z) > j määritelmän 4.6 nojll. Kääntäen S(z) ei suppene itseisesti, kun Re(z) < ã, mikä seur myös ehdost () j siitä, että itseisesti suppenev srj suppenee. Määritelmä 4.3 Trkstelln Dirichlet n srjoj S(z) = n n= n z j S(z) = n n= n. Olkoot niiden suppenemisbskisst j ã vstvss järjestyksessä. Tällöin lemmn 4. nojll pätee ã. Tämä merkitsee huomu- z tuksien 4.4 j 4. nojll sitä, että vyössä n= {z < Re(z) < ã} srj S(z) suppenee, mutt ei suppene itseisesti. Snotn, että tämä joukko {z < Re(z) < ã} on srjn S(z) ehdollisen suppenemisen vyö. n n z n= n n z 6
Huomutus 4.4 Ehdollisen suppenemisen vyö voi oll tyhjä; voi näet oll = ã. Tämän osoitt esimerkki, joss n :t ovt positiivisi relilukuj. Toislt tässä vyössä voi oll = ti ã = +. Näissä tpuksiss vyö on välttämättä tyhjä eli pätee myös ã = ti = +, vstvsti. Tämän snoo lemm 4.7. Esimerkki 4.5 Srjn S(z) = ( ) n n= suppenemisbskiss on j itseisen suppenemisen bskiss, kuten esimerkissä 4.8 todettiin. Silloin srjn S(z) ehdollisen suppenemisen vyö on {z < Re(z) < }. Huomutus 4.6 Seurvss luseess todetn, että Dirichlet n srjn ehdollisen suppenemisen vyö on leveydeltään korkeintn, joten esimerkissä 4.5 olln tässä suhteess ääritilnteess. Lemm 4.7 Dirichlet n srjn S(z) = ehdollisen suppenemisen vyö on leveydeltään korkeintn, ts. jos on sen suppenemisbskiss j ã itseisen suppenemisen bskiss, niin pätee n= ã. Huomutus. Lemm 4.7 toimii myös tpuksiss ã = + j/ti =, kun sovitn tuo vähennyslsku niin, että + = + kikille < + j b ( ) = + kikille b >. Todistus. Huomutuksen 4.4 nojll riittää osoitt, että jokiselle reliselle b pätee n z n n z S(b) suppenee n= n n b++ǫ suppenee kikille ǫ >. () Huom, että ehto () hoit myös tpukset ã = + j/ti =. Oletetn siis, että reliselle b srj S(b) suppenee. Tällöin srjn termit konvergoivt nolln eli pätee n lim n n b = lim n =. () n n b 6
Ehdon () nojll jono ( n ) on rjoitettu eli on olemss K siten, että n b n n b = n n b K kikille n. (3) Ehdon (3) nojll sdn rvio n n b++ǫ = n n b Kosk ǫ >, niin srj n +ǫ n= K n +ǫ kikille n. (4) n +ǫ suppenee ylihrmonisen srjn. Tällöin srjn n= n n b++ǫ suppeneminen seur ehdost (4) j mjornttiperitteest. Dirichlet n srj S(z) määrää kuten huomutuksess 4.9 todettiin nlyyttisen funktion suppenemispuolitsossn. Voidn kysyä, onko mhdollist jtk tätä nlyyttistä funktiot nlyyttisesti yli kriittisen suorn. Näinhän Riemnnin ζ-funktion määrittelyssä nimenomn tehtiin, eli jtkminen onnistui. Tosin kriittisen suorn pisteessä z = tuli vähän ongelm, kosk siihen ilmestyi np. Jos verrtn tilnnett nlyyttisen funktion potenssisrjesitykseen j kysytään, voiko funktiot jtk nlyyttisesti suppenemiskiekon ulkopuolelle, niin vstus on kielteinen. Usein tietysti joisskin pisteissä jtko on olemss, mutt globliss mielessä ei; ts. suppenemiskiekon reunll on in jokin piste, jonk ympäristössä jtko ei ole. Näinhän näyttäisi käyvän Dirichlet n srjoillekin kriittisellä suorll, kuten tuo ζ-funktion nvn ilmestyminen nt iheen ounstell. Tämä on kuitenkin väärää ounstelu, kuten seurv esimerkki osoitt. Esimerkki 4.8 Trkstelln Dirichlet n srj S(z) = n= ( ) n n z, jonk kriittinen suor on l = {z Re(z) = } kuten esimerkissä 4.5 todettiin. Osoitetn, että oikess puolitsoss nlyyttisellä funktioll S on nlyyttinen jtko kriittisen suorn l jokisen pisteen johonkin ympäristöön. 63
Srj S(z) suppenee itseisesti kun Re(z) >, jolloin näille z sen termit voidn uudelleenjärjestää seurvsti: S(z) = ζ(z) Siis n= n= ( ) n n z = n= n priton n z n= n prillinen n z = n= (n) z = ζ(z) z = ζ(z) z nz n= n z n= n= n prillinen n z = n z = ( z )ζ(z). S(z) = ( z )ζ(z) kikille z H. () Pisteessä z = funktioll ζ on np, mutt S on nlyyttinen puolitsoss H, joten pisteessä z = S on jtkuv. Tämä merkitsee ehdon () nojll sitä, että lim ( z z )ζ(z) = lim S(z) = S(), z joten funktioll ( z )ζ(z) on poistuv erikoispiste pisteessä. Kosk kikkill muull tämä funktio on nlyyttinen, syntyy koko tsoss määritelty nlyyttinen funktio F, kun setetn { ( z )ζ(z) kun z F(z) = S() kun z =. Ehdon () nojll F(z) = S(z) kikille z H, j kosk molemmt funktiot ovt nlyyttisiä puolitsoss H, niin nlyyttisen jtkmisen peritteen nojll F(z) = S(z) kikille z H. () Kosk siis F on nlyyttinen koko tsoss, niin ehdon () nojll se on kivttu S:n nlyyttinen jtko yli kriittisen suorn. Huom, että tässä tehtiin pljon enemmänkin kuin oli trkoitus: ei inostn stu ljennettu S:ää jokisen reunpisteen ympäristöön, vn hoidettiin koko homm globlisti, kokonisell funktioll. Edellisen esimerkin vloss voi ihmetellä, että mistäs se ζ-funktion np nimenomn ykköseen oikein putkhti ζ:n määrittelevä srjhn ei suppene missään kriittisen suorn pisteissä, j muiden suorn pisteiden kuin ykkösen ympäristöön nlyyttinen jtkminen onnistuu kuten ζ-funktion globli määritelmä osoitt. Ei se np nimenomn ykköseen ihn sttumlt tule. Asi selvittää seurv Lndun luse. Luse 4.9 Oletetn, että Dirichlet n srjn S(z) = n= n n z 64
kertoimet n ovt kikki relisi j positiivisi eli n kikille n. Oletetn lisäksi, että srjn suppenemisbskiss on relinen, ts. ±. Tällöin suppenemispuolitsossn H nlyyttistä funktiot S ei voi jtk nlyyttisesti kriittisen suorn (inon) relisen pisteen R mihinkään voimeen ympäristöön. Todistus. Smll tvll kuin luseen 4. todistuksess huomtn ensin, että piste voidn siirtää origoon kuvuksell z w = z. Luseen 4. todistuksen lun trkstelujen mukisesti on selvää, että siirretyn srjn konvergenssibskiss on. Yhtä selvää on myös se, että siirretty srj voidn jtk origon ympäristöön jos j vin jos srj S(z) voidn jtk :n ympäristöön. Se, mikä tässä siirross on ehkä vähemmän selvää, mutt rtkisevn tärkeää (vrt. esimerkki 4.8), on, että siirretyn srjn kertoimet ovt myös relisi j positiivisi. Nehän nimittäin ovt (ks. luseen 4. todistus) lukuj b n = n n, j homm hoituu, kosk on relinen positiivinen ti ei, kosk n :t ovt relisi j positiivisi. Voidn siis olett, että =. Tällöin S:n suppenemispuolitso on H. Tehdään ntiteesi: S:llä on jokin nlyyttinen jtko pisteen johonkin ympäristöön B(, r). Tällöin S:llä on nlyyttinen jtko F johonkin -keskiseen j ρ-säteiseen kiekkoon, missä ρ >, ts. on olemss ρ > j kiekoss B(,ρ) nlyyttinen F siten, että F(z) = S(z) kikille z H B(,ρ). () Kosk F on nlyyttinen kiekoss B(, ρ), niin sillä on tässä kiekoss suppenev potenssisrjesitys F (n) () F(z) = (z ) n. () n! Ehdon () nojll n= F (n) () = S (n) (), (3) j derivtt S (n) () voidn lske käyttäen lusett 4.. Kosk S(z) = n n z = z log n n e j n= n= d dz e z log n = log ne z log n = z n log n, niin S (z) = n= Tästä nähdään helpoll induktioll, että S (k) (z) = n= n n z ( log n) kikille z H. n n z ( log n)k kikille z H j kikille k. 65
Erityisesti S (k) () = n n ( log n)k kikille k. (4) n= Ehtojen (), (3) j (4) nojll m F(z) = n! m ( log m)n (z ) n kikille z B(,ρ). (5) n= m= Kosk ρ >, niin voidn kiinnittää relinen ρ < <, jolloin B(,ρ) j ehdon (5) nojll m F() = n! m ( log m)n ( ) n = n= m= m n! m (log m)n ( ) n. (6) n= m= Suppenev kksoissrj (6) on reli- j positiivikertoiminen, jolloin se suppenee itseisesti j siinä voidn summeerusjärjestystä viht, j sdn m F() = m n! (log m)n ( ) n. (7) m= n= Merkitään kikille m j kikille z C G m (z) = e ( z) log m, jolloin G m on koko tsoss nlyyttinen funktio j helpoll induktioll nähdään, että G (n) m (z) = ( log m) n G m (z) kikille n. Silloin G m :lle sdn pisteessä koko tsoss suppenev potenssisrjesitys G (n) m () G m (z) = (z ) n ( log m) n G m () = (z ) n = n! n! n= n= ( log m) n (z ) n (log m) n = ( z) n. (8) n! n! n= n= Ehto (8) pätee erityisesti kun z =, jolloin ehdot (7) j (8) yhdistämällä j G m :n määritelmä muisten nähdään, että m F() = m G m m() = m e( ) log m m m = m m = m. (9) m= m= Erityisesti siis ehdon (9) srj m= suppenee pisteessä <. Tämä on mhdotont, kosk srjn S(z) suppenemisbskiss on. Syntynyt ristiriit kt ntiteesin j todist väitteen. m m m= m= 66
5 Dirichlet n luse Tässä luvuss todistetn kuuluis Dirichlet n luse, jok snoo, että jos m, n N siten, että syt(m,n) =, niin on olemss äärettömän mont lkuluku p, joille pätee p m (mod n). Oletus syt(m,n) = on tässä tietysti välttämätön: esimerkiksi kovin mont lkuluku p, jolle pätee p (mod 4), ei ole olemss. Ehdon riittävyys on siis luseen oleellinen sisältö. Todistuksess käytetään hyväksi prin edellisen luvun trksteluj: krktereit j Dirichlet n srjoj. Plutetn ensin mieleen krkterit. Luvuss 3 määriteltiin Abelin ryhmän (G, +) krkterit, jotk ovt homomorfismej χ : G S, missä S on kompleksitson yksikköympyrä, joss ryhmälskutoimituksen on kompleksinen kertolsku. G:n krkterien joukko merkittiin symbolill G. Luseen 3.66 yhteydessä ljennettiin multipliktiivisen ryhmän Z k krkterin käsitettä niin, että χ Z k tuli määritellyksi koko joukoss Z k sopimuksell χ([]) = kun [] Z k \ Z k. Tätä ljennettu krkteri kutsuttiin yleistetyksi krkteriksi modulo k. Seurvss trkstelln tyyppiä χ([n]) n z n= olevi Dirichlet n srjoj, missä χ on yleistetty krkteri modulo k jollekin k. Ensimmäinen hvinto on seurv. Lemm 5. Olkoon k j χ yleistetty krkteri modulo k sekä [n] luvun n N kongruenssiluokk modulo k. Tällöin Dirichlet n srj χ([n]) n z n= suppenee loklisti tsisesti puolitsoss H. Huomutus. Lemmss 5. ei väitetä, että kyseisen srjn suppenemisbskiss olisi ; lemmn tuloksest seur, että se on korkeintn. Todistus. Kosk Riemnnin ζ-funktion määrittelevä srj suppenee itseisesti puolitsoss H j χ([n]) kikille n, niin trksteltvn srjn (itseinen) suppeneminen H :ssä seur mjornttiperitteest. Suppenemisen lokli tsisuus seur tämän jälkeen luseest 4.. Määritelmä 5. Olkoon k j χ yleistetty krkteri modulo k sekä [n] luvun n N kongruenssiluokk modulo k. Lemmn 5. nojll Dirichlet n srj χ([n]) L(z,χ) = n z n= 67
määrää kiinteälle χ nlyyttisen funktion z L(z, χ) (inkin) puolitsoss H. Snotn, että tämä funktio L(z,χ) on Dirichlet n L-funktio modulo k. Lemmn 5. jälkeisen huomutuksen nojll srjn L(z,χ) suppenemisbskisslle pätee. Seurv lemm snoo tästä lisää. Lemm 5.3 Olkoon L(z, χ) Dirichlet n L-funktio modulo k. Tällöin srjn L(z, χ) suppenemisbskisslle pätee j sen itseisen suppenemisen bskisslle b pätee b =. Todistus. Kosk in b j toislt luseen 4.7 nojll väite seur ehdost b =, niin riittää todist jälkimmäinen väite b =. Smll tvll kuin lemmn 5. todistuksess nähdään mjornttiperitteen nojll, että srj L(z,χ) suppenee itseisesti puolitsoss H. Silloin b j riittää osoitt, että b. Tämä johtuu siitä, että kun z on relinen z = ],[, niin srj L(z,χ) ei suppene itseisesti. () Väite () seur siitä, että itseisrvosrjll on hjntuv minorntti. Tämä ts johtuu siitä, että χ([mk + ]) = kikille m, jolloin inkin sdn minornttisrj m= (mk + ) = m= χ([mk + ]) (mk + ) joten väitteen () todistmiseksi riittää osoitt, että n= χ([n]) n, srj m= (mk + ) hjntuu kun ],[. () Väite () sdn todistettu Stieltjes-integrlien vull: y (mk + ) = / y (tk + ) d t = t (tk + ) m y y (yk + ) + y y t d (tk + ) = k y i) t dt (tk + ) + (yk + ), kun y, missä ehto () seur siitä, että <. 68
Huomutus 5.4 Dirichlet n L-funktio modulo k eli L(z,χ) riippuu vlitust krkterist χ. Näiden eri krktereiden (j siten myös yleistettyjen krktereiden) lukumäärä tunnetn lemmst 3.45; sehän on # Z k = #Z k = ϕ(k), missä ϕ on Eulerin funktio. Seurvss trkstelln srjojen L(z, χ) suppenemist eli suppenemisbskiss eri krktereille χ. Osoittutuu, että oleellinen ero tulee ryhmän Z k neutrlilkion j toislt muiden krktereiden välillä. Ryhmän Z k neutrlilkio on kuvus χ : Z k S, χ, mutt kun tämä ljennetn yleistetyksi krkteriksi, niin syntyy (hyvin määritelty) kuvus χ : Z k C, { kun syt(n,k) = χ ([n]) = muuten. Trkstelln ensin tpust, joss funktion L(z, χ) määritelmässä käytetty krkteri χ ei ole neutrlilkio. Todistetn tätä vrten luksi pieni lemm relisten srjojen suppenemisest. Lemm 5.5 Olkoot ( n ) j (b n ) relilukujonoj siten, että N n C kikille N jollekin vkiolle C j () Tällöin srj n= jono (b n ) on vähenevä j konvergoi nolln. () n b n n= suppenee. Todistus. Riittää osoitt, että srjn ossummien jono on Cuchy-jono eli että kiinteälle ǫ > löytyy n siten, että k n b n < ǫ kikille n m k. (3) n=m Merkitään kikille R + Oletuksen () nojll A() = n. n A() C kikille. (4) Oletuksen () nojll voidn vlit vähenevä, jtkuv funktio f : R + R siten, että f(n) = b n kikille n. (5) 69
Ehdon (3) summlle sdn Stieltjes-integrointi käyttäen rvio k k / n b n = f(t)da(t) n=m m = k k f(t)a(t) A(t)df(t) m m k i) f(k)a(k) f(m)a(k ) + A(t)df(t) m k ii) k C(b k + b m ) + A(t)d( f(t)) C(b m k + b m ) + A(t) d( f(t)) iii) m k / k C(b k + b m ) + C d( f(t)) = C(b k + b m ) + C ( f(t)) = m m C(b k + b m ) + C( b k + b m ) = Cb m, missä epäyhtälö i) tulee ehdoist (4) j (5), epäyhtälö ii) luseest.46 j siitä, että f on f:n vähenevyyden nojll ksvv. Epäyhtälö iii) seur sekin f:n ksvvuudest tällä kert trvitn lisäksi lusett.45 j ehto (4). Oletuksen () nojll Cb m < ǫ kun m on riittävän suuri, j väite (3) seur. Lemmss 5.5 jono ( n ) on relinen, mutt lemm yleistyy myös kompleksiselle jonolle ( n ): Seurus 5.6 Olkoot ( n ) kompleksilukujono j (b n ) relilukujono siten, että N n C kikille N jollekin vkiolle C j () Tällöin srj n= jono (b n ) on vähenevä j konvergoi nolln. n b n n= suppenee. Todistus. Riittää osoitt, että reliset srjt Re( n )b n j Im( n )b n n= n= suppenevt. Nämä väitteet seurvt lemmst 5.5, jos kikille N on olemss vkio C siten, että N Re( n ) C j n= N Im( n ) C. n= 7
Nämä molemmt ehdot seurvt oletuksest (), kosk ( N N ) Im( n ) = Im N n n C, n= n= n= j vstvsti relioslle. Lemm 5.7 Olkoon L(z,χ) Dirichlet n L-funktio modulo k siten, että krkteri χ ei ole ryhmän Z k neutrlilkio. Tällöin srjn L(z,χ) suppenemisbskisslle pätee =. Huomutus. Jos k =, niin lemm 5.7 ei sno mitään, kosk ryhmässä Z ei ole muut kuin neutrlilkio. Jos k = 3 ti k = 4, näitä muit lkioit on tsn yksi. Knntt vertill näissä tpuksiss funktioit L(z,χ) keskenään j näitä myös esimerkin 4.8 summn. Todistus. Lemmn 5.3 j huomutuksen 4.4 nojll väite seur, jos osoitetn, että L(,χ) = n= χ([n]) n suppenee kikille relisille >. () Kosk kikille relisille > jono ( n ) on relinen, vähenevä j konvergoi nolln, niin väite () seur luseest 5.6, jos osoitetn, että on olemss C siten, että N χ([n]) C kikille N. () n= Ehdoss () kivtuksi vkioksi C käy C = k. Tämä todistmiseksi olkoon N N mielivltinen. Pitää osoitt, että N χ([n]) k. (3) n= Luku N voidn esittää muodoss N = qk + r jollekin q j r < k. Tällöin N χ([n]) = n= k k qk qk+r χ([n]) + χ([n]) +... + χ([n]) + χ([n]) = n= n=k+ n=(q )k+ n=qk+ 7
k qk+r q χ([n]) + χ([n]) n= n=qk+ qk+r q + χ([n]) = n=qk+ i) = qk+r n=qk+ q χ(g) + g Z k χ([n]) qk+r n=qk+ qk+r n=qk+ χ([n]) χ([n]) ii) = qk+r n=qk+ = r < k, j väite (3) seur. Tässä yhtälö i) tulee siitä, että yleistetyn krkterin määritelmän mukn χ([n]) = kun [n] Z k \ Z k. Yhtälö ii) seur luseest 3.58, kosk χ ei ole neutrlilkio. Lemmn 5.7 tulos muuttuu (kuten lemmst 5. näkyy), jos χ on neutrlilkio: suppenemisbskissksi tulee tällöin =. Ennen tämän todistmist osoitetn, että puolitsoss H funktio L(z,χ) on nollst erov, on sitten χ neutrlilkio ti ei. Ensin trvitn pri pulemm: Lemm 5.8 Olkoon L(z,χ) Dirichlet n L-funktio modulo k. Kikille z H pätee L(z,χ) = ( χ([p]) ) p z. p P Todistus. Lemmn 5.3 nojll srj L(z, χ) suppenee itseisesti kikille z H. Silloin väite seur Eulerin peritteest (luse 4.4), jos osoitetn, että kiinteälle z lukuteoreettinen funktio f(n) = χ([n]) n z on täydellisesti multipliktiivinen. Pitää siis osoitt, että f(mn) = f(m)f(n) kikille m,n N. () Kosk relisille j positiivisille m,n pätee (mn) z = e z log(mn) = e z(log m+log n) = e z log m e z log n = m z n z, niin väite () seur, jos osoitetn, että χ([mn]) = χ([m])χ([n]) kikille m,n N. () Jos syt(m, k) > ti syt(n, k) >, niin myös syt(mn, k) >, jolloin yleistetyn krkterin määritelmän nojll väitteen () molemmt puolet ovt nolli, j väite pätee. Voidn siis olett, että syt(m,k) = j syt(n,k) =, jolloin [m],[n] Z k. Tällöin, kosk krkteri χ on homomorfismi kuvuksen χ : Z k ehto χ([m] [n]) = χ([m])χ([n]). Väite () seur tästä. S, sdn 7
Luse 5.9 Olkoon L(z,χ) Dirichlet n L-funktio modulo k. Tällöin L(z,χ) kikille z H. Todistus. Lemmn 5.8 nojll kikille z H pätee L(z,χ) = ( χ([p]) ) p z = = p P p P χ([p]) p z χ([p]) p + χ([p]) ( ) χ([p]) z p z p = + z. () p P χ([p]) p z p P χ([p]) p z Silloin väite seur lemmst 4., jos osoitetn, että kikille z H χ([p]) p z p P χ([p]) suppenee j () p z + χ([p]) p z χ([p]) p z kikille p P. (3) Huom, että lemmss 4. summ j tulo lsketn yli koko N:n, mutt se ei iheut tässä ongelmi, kosk summn () voidn lisätä ei-lkulukujen kohdille nolli, jotk sitten tuloss () muuttuvt ykkösiksi. Määritelmien mukn näillä ei ole vikutust summn/tuloon. Väitteen () todistmiseksi etsitään suppenev mjornttisrj. Kosk kikille p P j z H pätee χ([p]) p z χ([p]) = χ([p]) p z χ([p]) = χ([p]) p z χ([p]) p z = p Re(z), p z niin riittää osoitt, että srj p P Tähän riittää se, että n p Re(z) suppenee kikille z H. n Re(z) suppenee kikille z H. (4) Kosk kikille z H niin suurille n n Re(z) lim =, n n Re(z) n Re(z) n Re(z), 73
jolloin väite (4) seur, jos n n Re(z) suppenee kikille z H. (5) Väite (5) seur siitä, että ylihrmoninen srj suppenee. Näin väite () on todistettu. Väite (3) voidn kirjoitt muotoon j tämä on trivili väite. χ([p]) p z χ([p]) p z, Seurvksi ktsotn, miten lemm 5.7 muuttuu, kun χ on neutrlilkio. Lemm 5. Olkoon L(z, χ) Dirichlet n L-funktio modulo k siten, että krkteri χ on ryhmän Z k ) Srjn L(z,χ) suppenemisbskisslle pätee neutrlilkio. Tällöin seurvt ehdot ovt voimss. =. b) L(z,χ) voidn jtk puolitsoss H meromorfiseksi funktioksi L(z,χ), joll on täsmälleen yksi np pisteessä z =. Tämä np on yksinkertinen j residylle pätee res(l(z,χ),) = ϕ(k), missä ϕ on Eulerin funktio. k Todistus. ) Kun χ on ryhmän Z k neutrlilkio, niin { jos syt(n,k) = χ([n]) = jos syt(n,k) >. Silloin lemmn 5.8 nojll L(z,χ) = ( χ([p]) ) p z = p P p P p k ( ) p z ( p ) z p P p P p k ( p z ) i) = () ii) = ( ) p z ( p ) z. p P p P p k Tässä yhtälöissä i) j ii) on huomttv, että tulo ( ) p P p on äärellinen, joten sen suhteen ei mitään suppenemistrksteluj trvit. Luseen z p k 5. 74
mukn p P ( p z ) = ζ(z) kikille z H, jolloin yhtälön () nojll L(z,χ) = ζ(z) ( p ) z p P p k kikille z H. () Lemmn 5.3 nojll srjn L(z,χ) suppenemisbskisslle pätee, joten voidn tehdä ntiteesi: <. Kosk luseen 4. nojll L(z,χ) on nlyyttinen puolitsoss H, niin se on ntiteesin perusteell jtkuv pisteessä z =, j siten ehdon () nojll lim z z H ζ(z) p P p k p P p k ( p ) z Kosk ehdon (3) äärelliselle tulolle pätee lim ( p ) z z = p P p k niin ehdon (3) mukn lim ζ(z) = L(,χ) z z H p P p k = L(,χ) C. (3) ( ) C \ {}, p ( p ) C. Tämä on kuitenkin mhdotont, kosk ζ-funktioll on luseen 5.3 mukn np pisteessä z =. Antiteesi on näin nurin j )-kohdn väite pätee. b) Luseen 5.3 perusteell ζ-funktioll on puolitsoss H täsmälleen yksi np pisteessä z =. Tämä np on yksinkertinen j residy on res(ζ(z),) =. (4) Kosk äärellinen tulo ( p z ) t(z) := p P p k 75
on nlyyttinen H :ss, niin ehdon () perusteell hluttu ljennus L(z,χ) syntyy määrittelemällä L(z,χ) = ζ(z) t(z) kikille z H. Tällä on täsmälleen sm np kuin ζ:ll j kertlukukin on sm eli. Residylle sdn ehdon (4) perusteell res(l(z,χ),) = res(ζ(z),) t() = ( ) i) = ϕ(k) p k, p P p k missä yhtälö i) seur luseest 4.. Merkintä 5. Merkitään jtkoss L(z,χ) = L(z,χ), missä L(z,χ) on luseen 5. mukinen funktion L(z,χ) jtko puolitsoon H. Tällöin siis L(z, χ) ei enää ole lkuperäisen määritelmän mukinen summ, kun < Re(z). Sen sijn L(z,χ) on meromorfinen puolitsoss H. Sen ino np on pisteessä z = j tämä np on yksinkertinen. Kun χ on ryhmän Z k neutrlilkio, niin funktion L(z,χ) ljennuksell on siis np pisteessä z =. Toislt jos χ ei ole neutrlilkio, niin lemmn 5.7 mukn L(z,χ) on jtkuv pisteessä z =, j silloin L(,χ) C. Dirichlet n luseen todistuksess trvitn tieto L(, χ). Todistetn tämä seurvksi. Lemm 5. Olkoon L(z,χ ) Dirichlet n L-funktio modulo k siten, että krkteri χ ei ole ryhmän Z k neutrlilkio. Silloin L(,χ ). Todistus. Olkoon krkteri χ ryhmän Z k neutrlilkio. Tehdään ntiteesi: L(,χ ) =. Trkstelln funktiot (ks. merkintä 5.) T(z) = L(z,χ ) L(z,χ). χ Z f k \{χ} Lemmn 3.47 perusteell tulo χ Z f L(z,χ) on äärellinen, joten mitään k \{χ} suppenemisongelmi ei ole. Lemmn 5.7 j huomutuksen 4.9 mukn kyseinen tulo on nlyyttinen puolitsoss H. Lemmn 5. b) nojll L(z,χ ) on nlyyttinen joukoss H \ {} j pisteessä sillä on yksinkertinen np. 76
Antiteesin perusteell tuloll χ Z f L(z,χ) on nollkoht pisteessä. Tämän nollkohdn kertluku ei ole tiedoss, mutt se on inkin, kuten nlyyt- k \{χ} tisellä funktioll yleensäkin. Silloin tulon χ Z f L(z,χ) pisteessä olev k \{χ} nollkoht tpp tuloss T(z) funktion L(z,χ ) yksinkertisen nvn, mikä merkitsee sitä, että T(z) on nlyyttinen puolitsoss H. () Kiinnitetään (tilpäisesti) jokin (yleistetty) krkteri χ Z k myös χ = χ ti χ = χ. tässä voi oll Tunnetusti stndrdilogritmille pätee kiekoss B(,) potenssisrjesitys jolloin n= log( + w) = log( w) = n= ( ) n w n, n n= n wn kikille w B(,). Tämä merkitsee sitä, että kikille w B(,) ( ) ep n wn = e log( w) = e = log( w) w = ( w). () Kikille z H j kikille lkuluvuille p pätee χ([p]) p z = χ([p]) <, p Re(z) pre(z) jolloin ehdon () nojll ( ( ) ) n χ([p]) ep n p z = n= n= ( χ([p]) ) p z kikille z H j p P. (3) Kosk χ on yleistetty krkteri modulo k, niin χ([p n ]) = χ([p] n ) = (χ(p)) n riippumtt siitä, onko p luvun k tekijä vi ei. Silloin ehdon (3) nojll ( ) χ([p n ( ]) ep n p nz = χ([p]) ) p z kikille kikille z H j p P. (4) Trkstelln summ p P n= χ([p n ]) n p nz. (5) 77
Summ (5) suppenee itseisesti j loklisti tsisesti puolitsoss H, sillä kikille z H χ([p n ]) n p nz (p n ) Re(z) m, Re(z) p P n= p P n= m N j tämä mjornttisrj suppenee loklisti tsisesti puolitsoss H ylihrmonisen srjn. Numeroidn lkuluvut ksvvss järjestyksessä eli p =,p = 3,p 3 = 5 j niin edelleen. Tällöin suppenevlle summlle (5) sdn ep n p P n= ( m lim ep m lim m m i= i= n= χ([p n ]) p nz n ( χ([p i]) p z i = ep ( lim ) χ([p n i ]) = lim p nz i ) = p P m i= n= m i= ( χ([p]) p z m n ( m ep ), ) χ([p n i ]) p nz = (6) i n= n ) χ([p n i ]) i) p nz = i missä yhtälö i) seur ehdost (4). Puolitsoss H pätee lemmn 5.8 nojll L(z,χ) = p P jolloin ehdon (6) mukn L(z,χ) = ep p P n= n ( χ([p]) ) p z, Ehto (7) pätee siis jokiselle χ Z k, joten sen nojll ep χ f Z k χ Z f p P n= k n χ([p n ]) p nz χ([p n ]) p nz kikille z H. (7) = ep p P n= χ f Z k L(z,χ) = T(z) kikille z H. n χ([p n ]) p nz = (8) Ehdon (8) itseisesti suppenevss summss voidn summeerusjärjestystä viht j sdn χ Z f p P n= k χ([p n ]) n p nz = p P n= np nz χ f Z k χ([p n ]). (9) 78
Yleistetyn krkterin määritelmän nojll χ([p n ]) = jos p k. Toislt, jos p k, niin [p n ] Z k, jolloin lemmn 3.58 nojll { χ([p n #Z k ]) = = ϕ(k) kun [pn ] = [] muuten. χ f Z k Silloin yhtälö (9) tulee muotoon χ Z f p P n= k χ([p n ]) n p nz = p P n= p n (mod k) ϕ(k) n Määritellään relilukujono ( m ) settmll { ϕ(k) m = n kun m = p n (mod k) jollekin n muuten, jolloin ehdon () mukn Merkitään χ Z f p P n= k Q(z) = χ([p n ]) n p nz = m= m= (p n ) z. () m m z kikille z H. () m m z kikille z H. () Ehdoss () on Dirichlet n srj, jonk kertoimet ovt relisi j positiivisi. Srj () suppenee itseisesti inkin puolitsoss H. Lisäksi ehtojen (), (), (), (9) j (8) nojll pätee e Q(z) = T(z) kikille z H. (3) Eksponenttifunktion srjkehitelmää j ehto (3) käyttäen sdn esitys T(z) = + Q(z) + (Q(z)) + 6 (Q(z))3 +... kikille z H. (4) Oletetn, että b n n z j c n n z ovt Dirichlet n srjoj, jotk suppenevt itseisesti pisteessä z j kertoimet b n,c n ovt relisi j positiivisi. Tällöin niiden tulosrj suppenee itseisesti pisteessä z j tulosrjlle pätee ( ) ( ) b n c n n z n z = b i c j (ij) z. (5) n= n= n= i+j=n Itseisen suppenemisen nojll srjn (5) termit voidn järjestää uudelleen niin, että tuloksen on oletuksen b n,c n nojll esitys ( ) ( ) b n c n d n n z n z = n z missä d n = b m c n R j d m n kikille n. n= n= n= m n 79
Tämä merkitsee sitä, että khden positiivikertomisen Dirichlet n srjn tulosrj on myös positiivikertoiminen Dirichlet n srj j suppenee itseisesti inkin niissä pisteissä, joiss nnetut srjt suppenevt itseisesti. Induktiivisesti nähdään edelleen, että äärellisen monen positiivikertoimisen Dirichlet n srjn tulo on edelleen positiivikertoiminen Dirichlet n srj, jok suppenee itseisesti inkin siellä, missä kikki nnetut srjt suppenevt itseisesti. Tämän nojll erityisesti positiivikertoimisen Dirichlet n srjn positiivinen potenssi on positiivikertoiminen Dirichlet n srj, jok suppenee itseisesti inkin siellä, missä lkuperäinen srj suppenee itseisesti. Yllä todetun nojll esityksessä (4) olevt termit (Q(z)) n ovt kikki Dirichlet n srjoj, joiden kertoimet ovt relisi j positiivisi j jotk suppenevt itseisesti, jos Q(z) suppenee itseisesti. Kosk eksponenttifunktion srjkehitelmä suppenee itseisesti kikkill, niin srj (4) suppenee itseisesti, jos Q(z) suppenee itseisesti. Srjss (4) termit (Q(z)) n ovt siis positiivikertoimisi Dirichlet n srjoj, joten T(z) voidn kirjoitt muotoon T(z) = + n= r n n z + n= s n n z + 6 n= t n n z +..., missä r n,s n,t n,.... Kosk tämä suppenee itseisesti, niin tässäkin voidn viht summeerusjärjestystä, jolloin sdn esitys T(z) = n= v n n z, missä v n R j v n kikille n. (6) Nyt siis srjn Q(z) itseinen suppeneminen iheutt srjn (6) itseisen suppenemisen. Kosk Q(z):n kertoimet ovt relisi j ei-negtiivisi, niin Q(z):n suppenemisbskiss on sm kuin sen itseisen suppenemisen bskiss. Olkoon α srjn Q(z) suppenemisbskiss j vstvsti β srjn (6) suppenemisbskiss. Edellä snotun nojll pätee β α. (7) Toislt, jos srj (6) suppenee jollekin reliselle z, niin se suppenee itseisesti (kosk senkin kertoimet ovt relisi j positiivisi). Silloin srjn (6) summeerusjärjestystä voidn ts viht (tkisin lkuperäiseen) j sdn esitys (4). Tämä relinen j positiivikertoiminen srj suppenee siis itseisesti, joten sen jokinen ossumm suppenee erityisesti Q(z). Tämä tk sen, että α β, jolloin ehdon (7) nojll sdn β = α. (8) Trkstelln sitten srjn Q(z) suppenemisbskiss α j funktion Q rvo (mikäli sellinen on olemss) pisteessä z = ϕ(k) R, missä ϕ on Eulerin 8
funktio. Tässä pisteessä sdn Q(z) = p P p k m= m m z i) = ϕ(k) p P p = p p, p P p P p k n= p n (mod k) np nz ii) ϕ(k) p P p k ϕ(k)p ϕ(k)z iii) = (9) missä yhtälö i) tulee ehdoist (), () j (). Epäyhtälö ii) johtuu siitä, että kun p k j n = ϕ(k), niin p n (mod k) Eulerin luseen nojll. Siten kikki summn p P termit ovt mukn summss ϕ(k)p ϕ(k)z p P n= p k p n (mod k) np nz, jolloin epäyhtälö ii) seur, kosk muut tämän jälkimmäisen summn termit ovt relisi j positiivisi kuten tietysti kikki muukin tässä on relist, jolloin epäyhtälö ylipäätään on mielekäs. Yhtälö iii) tulee vlinnst z = ϕ(k). Kosk srj p P p hjntuu luseen 4.34 nojll j summ p P p k p on äärellinen, niin rvion (9) nojll Q(z) hjntuu pisteessä z = ϕ(k) R. Tämä merkitsee sitä, että Q(z):n suppenemisbskisslle pätee α ϕ(k), jolloin ehdon (7) mukn myös srjn (6) suppenemisbskisslle sdn β ϕ(k) >. Kosk srjn (6) kertoimet ovt relisi j ei-negtiivisi, niin luseen 4.9 nojll srjll ei ole nlyyttistä jtko pisteen β > ympäristöön. Sellinen sillä nyt kuitenkin on, kuten ehdoist (6) j () nähdään. Syntynyt ristiriit kt ntiteesin j todist väitteen. Nyt voidn todist tämän luvun päätulos eli Dirichlet n luse. Luse 5.3 Olkoon k j N siten, että syt(k,) =. Tällöin on olemss äärettömän mont lkuluku p, joille pätee p (mod k). () Todistus. Jos ehdon () mukisi lkulukuj on vin äärellinen määrä (ti ei yhtään), niin rj-rvo lim + p P p (mod k) p = p P p (mod k) on relinen (kun tyhjä summ sovitn nollksi), joten riittää osoitt, että lim + p P p (mod k) p = +. () p 8
Lemmn 5. todistuksen ehdon (7) mukn jokiselle (yleistetylle) krkterille χ Z k pätee L(z,χ) = ep p P n= n χ([p n ]) p nz kikille z H. (3) Ehdoss (3) olev summ (eli lemmn 5. todistuksen ehdon (5) summ) suppenee itseisesti j loklisti tsisesti puolitsoss H. Summeerttvt ovt nlyyttisiä, joten summ on nlyyttinen H :ssä j ehdon (3) perusteell p P n= χ([p n ]) n p nz = log L(z,χ) kikille z H, (4) missä ehto (4) trkoitt sitä, että kyseessä on eräs logritmin (nlyyttinen) hr. Tästä hrst ei ole trkemp tieto, mutt logritmi ostn in derivoid ( d dw log w = w ), jolloin ketjusäännön nojll d dz log L(z,χ) = L (z,χ) L(z, χ) kikille z H. (5) Ehdon (4) srj voidn itseisen suppenemisen nojll jk khteen itseisesti suppenevn osn: χ([p n ]) n p nz = χ([p n ]) n p nz + χ([p]) p z. (6) n= p P n= p P p P Ehdon (6) srjt siis suppenevt puolitsoss H, mutt keskimmäinen srj suppenee ljemmsskin joukoss. Todistetn tämä: srj χ([p n ]) n p nz p P n= suppenee itseisesti j loklisti tsisesti puolitsoss H. (7) Kosk χ([p n ]), niin srjn (7) itseisrvoille sdn mjornttisrj χ([p n ]) n p nz p nz = p = n Re(z) ( n ) Re(z) = p P n= p P n= p P n= p P n= p p P m= (p m ) + Re(z) ( ) Re(z) p P m= (p m ) Re(z) j, Re(z) j= p m+ j tämä mjornttisrj suppenee ylihrmonisen srjn kun Re(z) > eli Re(z) >, joten väite (7) seur, myös loklisti tsisen suppenemisen oslt. Merkitään R(z,χ) = χ([p n ]) n p nz, p P n= 8
jolloin ehdon (7) nojll R(z,χ) on nlyyttinen puolitsoss H (4) j (6) nojll log L(z,χ) = R(z,χ) + p P sekä ehtojen χ([p]) p z kikille z H. (8) Oletuksen syt(k,) = nojll [] Z k, jolloin on olemss käänteislkio [b] Z k, jolle pätee [] [b] = [] Z k. (9) Kerrotn yhtälö (8) puolittin luvull χ([b]) j summtn sen jälkeen yli kikkien krktereiden χ Z k, jolloin sdn χ f Z k χ f Z k χ([b])log L(z,χ) = χ([b])r(z,χ) + p P χ f Z k p z χ([b])r(z,χ) + χ f Z k χ f Z k χ([b]) p P χ([p]) p z i) = χ([bp])]) kikille z H, () missä yhtälössä i) ensinnäkin summeerusjärjestyksen vihto on sllittu, kosk toinen srj suppenee itseisesti j toinen summ on äärellinen. Lisäksi χ([b]) χ([p]) = χ([bp]) kikille p, sillä jos p k, niin χ([p]) = χ([bp]) = j jos p k, niin [p] Z k, jolloin väite χ([b]) χ([p]) = χ([bp]) seur krkterin χ homomorfisuudest. Trkstelln ehdoss () esiintyvää summ χ([bp]). χ f Z k Yleistetyn krkterin määritelmän nojll χ([bp]) = jos p k. Toislt, jos p k, niin ehdon [b] Z k nojll myös [bp] Z k. Silloin lemmn 3.59 nojll { #Z k = ϕ(k) kun [bp] = [] χ([bp]) = () muuten. χ f Z k Kosk [bp] = [] [b] [p] = [] [] [b] [p] = [] i) [p] = [], missä ekvivlenssi i) seur ehdost (9), niin ehdon () nojll { #Z k = ϕ(k) kun [p] = [] χ([bp]) = muuten. χ f Z k () 83
Ehtojen () j () perusteell χ([b])log L(z,χ) = joten χ f Z k χ f Z k χ f Z k p P p (mod k) χ([b])r(z,χ) + ϕ(k) p z = p P [p]=[] χ([b])r(z,χ) + ϕ(k) p z = ϕ(k) χ f Z k p P p (mod k) χ([b])log L(z,χ) ϕ(k) p z kikille z H, χ f Z k χ([b])r(z,χ) kikille z H. (3) Ehdon (3) nojll väite () seur, jos osoitetn, että lim χ([b])log L(,χ) χ([b])r(,χ) = +. (4) + χ f Z k χ f Z k Kosk jokinen R(z, χ) on nlyyttinen puolitsoss H, niin äärellinen summ χ([b])r(z,χ) χ f Z k on nlyyttinen puolitsoss H j erityisesti jtkuv pisteessä z =, jolloin lim χ([b])r(,χ) = χ([b])r(,χ) C. (5) + χ f Z k χ f Z k Ehdon (5) nojll väite (4) seur, jos osoitetn, että lim χ([b])log L(,χ) = +. (6) + χ f Z k Olkoon krkteri χ ryhmän Z k neutrlilkio j kirjoitetn ehdon (6) summ muotoon χ([b])log L(,χ) = χ ([b])log L(,χ ) + χ([b])log L(,χ). χ f Z k χ f Z k χ χ 84
Tämän esityksen perusteell väite (6) seur, jos osoitetn, että lim ([b])log L(,χ ) = + + j (7) lim χ([b])log L(,χ) C. + (8) χ f Z k χ χ Kosk [b] Z k, niin χ ([b]) =, joten väite (7) tulee muotoon lim log L(,χ ) = +. (9) + Kosk yleistetylle krkterille χ pätee χ ([n]) {,} kikille n, niin funktion L(z,χ) määritelmän 5. nojll L(,χ ) on relinen j positiivinen, kun on relinen j H. () Lemmn 5. mukisesti L(z,χ ) voidn ljent nlyyttisesti puolitsoon H, j tällä ljennusfunktioll L(z,χ ) on np pisteessä z =. Tällöin Ehtojen () j () perusteell lim z L(z,χ ) = +. () lim L(,χ ) = +. () + Esityksen (4) j ehdon () perusteell väitteessä (9) olev logritmin hr on vlittu niin, että sekin on relinen j positiivinen, kun on relinen j H. Silloin log L(,χ ) on reliluvun L(,χ ) tvllinen luonnollinen logritmi näille, joten väite (9) seur ehdost () luonnollisen logritmin tunnettujen ominisuuksien perusteell: kun u +, niin log u +. Näin väite (7) on todistettu, j riittää todist väite (8). Kosk väitteen (8) summ on äärellinen, niin ilmeisesti riittää osoitt, että lim log L(z,χ) C kikille χ Z + k \ {χ }. (3) Kiinnitetään tätä vrten krkteri χ Z k \ {χ }. Olkoon ( n ) mielivltinen idosti vähenevä relilukujono siten, että n. Väitteen (3) todistmiseksi riittää osoitt, että lim log L( n,χ) C. (4) n Huom, että ehdon (4) riittävyys väitteeseen (3) ei ole ivn trivili, mutt jätetään tämä (metristen vruuksien kurssin) hrjoitustehtäväksi. Väite (4) puolestn seur C:n täydellisyydestä, jos osoitetn, että (log L( n,χ)) n on Cuchy-jono. (5) 85
Tätä vrten olkoon ǫ > mielivltinen. Pitää löytää n ǫ siten, että kikille n,m n ǫ pätee log L( n,χ) log L( m,χ) < ǫ. (6) Kosk χ χ, niin lemmn 5.7 j huomutuksen 4.9 mukn L(z,χ) on nlyyttinen puolitsoss H. Silloin derivtt L (z,χ) on myös nlyyttinen puolitsoss H. Lisäksi lemmn 5. nojll k := L(,χ) >. Tällöin on olemss vkiot C > j r > siten, että L (z,χ) C j L(z,χ) k kikille z B(,r). (7) Kosk n, niin voidn vlit n ǫ niin suureksi, että n B(,r) kikille n n ǫ j (8) n m < kǫ C kikille m > n n ǫ. (9) Näin vlittu n ǫ toimii ehdoss (6), sillä kun m > n n ǫ, niin n log L( n,χ) log L( m,χ) = d i) log L(,χ)d m d = m n L (,χ) ii) n C d d = C m L(,χ) k k n m iii) < ǫ, m n L (,χ) L(,χ) d missä yhtälö i) seur ehdost (5), epäyhtälö ii) ehdoist (8) j (7) sekä epäyhtälö iii) ehdost (9). Näin väite (6) on todistettu. Tästä seur väite (8) j silloin koko luseen todistus on vlmis. Huomutus 5.4 Dirichlet n luseen 5.3 todistuksess stiin itse siss prempikin tulos kuin vrsininen väite. On helppo nähdä huomutust 4.3 j todistuksen ehto () käyttäen, että srj p P p (mod k) hjntuu. Tämä trkoitt sitä, että ei inostn srjn summttvi ole äärettömästi, vn niitä on niin pljon, että srj sdn hjntuvksi, vert luseeseen 4.34. p 86