MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN

MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN Alto-yliopisto Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Syksy 2016 1

2 KIRSI PELTONEN 1.1. Kompleksiluvut (kertust). 1. Anlyyttinen funktio Määritelmä 1.1. Kompleksiluku on relilukupri z = (x, y). Niiden joukko C = R R. Jos z = (x, y), niin merkitään x = Re z luvun z relios j y = Im z imginrios. Geometrinen esitys: C on tso j x, y luvun z suorkulmiset koordintit. Npkoordintit (r, ϕ): x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, missä r = x 2 + y 2 j ϕ = rctn y ti rctn y + π (ϕ määritelty vin 2π:n monikert ville). x x Huomutus 1.1. ϕ ei määritelty kun z = (0, 0) =: 0. r = z on luvun z itseisrvo eli moduli ϕ = rg z on luvun z rgumentti eli vihekulm C:n lskutoimitukset: 1. Summ: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) (vektorien yhteenlsku) (C, +) Abelin ryhmä; 0-lkio 0 = (0, 0), vst-lkio (x, y) = ( x, y) 2. Tulo: Olkoon z = (x, y), z = (x, y ). Ohje: z = x + iy, z = x + iy, j i 2 = 1. Näistä sdn: zz = (x + iy)(x + iy ) = xx yy + i(yx + xy ) = (xx yy, yx + xy ). Siispä setetn Määritelmä 1.2. zz = (xx yy, yx + xy ) HT: Miksei setet zz = (xx, yy )? Luse 1.1. C on kunt. Todistus. (Relilukujen ominisuudet oletetn tunnetuiksi.) 1. (C, +) Abelin ryhmä: Löytyy 0-lkio, vst-lkio, + liitännäinen: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3, + vihdnninen: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 2. Kertolsku on liitännäinen j vihdnninen. 3. Tulon osittelulki z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 on voimss. 4. C:ssä on 1-lkio (1, 0): z(1, 0) = (x, y)(1, 0) = (x, y) = (1, 0)(x, y) = (1, 0)z. 5. Kompleksiluvull (, b) (0, 0) on käänteislkio (x, y) siten, että pätee (, b)(x, y) = (1, 0) (x by, y + bx) = (1, 0) x by = 1, y + bx = 0

KOMPLEKSIANALYYSI 3 x = 2 + b 2, y = Huomutus 1.2. C:ssä ei ole järjestysreltiot. b 2 + b 2. Olkoon u : R C ehdon u(x) = (x, 0) määräämä kuvus. Tällöin pätee 1. u on injektio 2. u(x + y) = u(x) + u(y) 3. u(xy) = (xy, 0) = (x, 0)(y, 0) = u(x)u(y) Ehdot (2) j (3) yllä trkoittvt, että kuvus u välittää yhteensopivsti relilukujen yhteen- j kertolskut vstvien kompleksilukujen lskutoimitusten knss. Tällist (renkiden välistä) kuvust u kutsutn rengshomomorfismiksi. Voidn siis smst u(x) = x, jolloin R = u(r) C. Smstus R = {(x, 0) x R} määrää C:n relikselin. Merkitään nyt i = (0, 1) imginriyksikkö. Tällöin pätee: i 2 = (0, 1)(0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0) = 1! Jos y R, niin pätee iy = (0, 1)(y, 0) = (0, y)) j edelleen (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy. Stiin siis kompleksiluvun tvllinen esitysmuoto: (x, y) = x + iy. Määritelmä 1.3. Kompleksiluku z = x + iy on relinen jos y = 0, imginrinen jos y 0 j puhtsti imginrinen jos x = 0, y 0. Määritelmä 1.4. Luvun z = x + iy liittoluku on z = x iy. Kvoj, jotk seurvt melko suorn määritelmistä: z z = z 2 z + z = 2 Re z z z = 2i Im z z = z rg z = rg z z = z z + z = z + z zz = z z ( z z ) = z z Luse 1.2. 1. z z z + z z + z 2. zz = z z

4 KIRSI PELTONEN 3. rg(zz ) = rg z + rg z, (mod 2π) 4. Kikill z 0 pätee 1 = 1. z z 5. rg 1 = rg z, (mod 2π) z Todistus. HT Induktiivisesti edellisen luseen kohdist (2) j (3) seur Moivren kv: Kikill n Z pätee (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ.

1.2. C:n topologi (kertust). Olkoon z 0 C, r > 0, KOMPLEKSIANALYYSI 5 j z 0 :n kiekkoympäristö B(z 0, r) = {z C z z 0 < r} voin kiekko, B(z 0, r) = {z C z z 0 r} suljettu kiekko S (z 0, r) = {z C z z 0 = r} ympyrä Määritelmä 1.5. Joukko A C on voin, jos kikill z A löytyy r > 0 siten, että B(z, r) A. Joukko A C on suljettu, jos C\A on voin. Avoimuus säilyy joukkojen mielivltisiss yhdisteissä j äärellisissä leikkuksiss. Vstvsti mielivltiset suljettujen joukkojen leikkukset j äärelliset yhdisteet ovt suljettuj. (HT) Esimerkki 1.1. 1. Avoin kiekko B(z 0, r) on voin joukko. HT: Todist tämä trksti 2. Suljettu kiekko B(z 0, r) on suljettu joukko. HT: Todist tämä trksti 3. Koko kompleksitso C j tyhjä joukko ovt kompleksitson voimi j suljettuj joukkoj. 4. Joukko {z = x + iy C x, y Q}, missä Q on rtionlilukujen joukko ei ole kompleksitson voin eikä suljettu joukko. Määritelmä 1.6. Joukon A sulkeum A = {z C B(z, r) A kikill r > 0} Joukon A sulkeumn pisteitä kutsutn myös A:n kosketuspisteiksi. Esimerkki 1.2. Q = R Määritelmä 1.7. Joukko A C on rjoitettu jos löytyy piste z C j luku r > 0 siten, että pätee A B(z, r) Joukko A C on kompkti jos A on suljettu j rjoitettu. Joskus hlutn tutki voimi j suljettuj joukkoj jossin kompleksitson C osjoukoss X. Tällöin määritellään: Määritelmä 1.8. Joukko A X on voin X:ssä jos j vin jos jokist z A kohti löytyy r > 0 siten, että pätee B(z, r) X A. Joukko A X on suljettu X:ssä jos j vin jos X\A on voin X:ssä. Esimerkki 1.3. Jos X = {z}, niin A = {z} on voin j suljettu X:ssä Esimerkki 1.4. Jos X = R, niin voin väli A = (, b), < b on voin joukko X:ssä muttei voin (eikä suljettu) kompleksitsoss.

6 KIRSI PELTONEN Joukon ominisuudet voin/suljettu ovt siis suhteellisi käsitteitä j riippuvt trksteluympäristöstä. Kuitenkin, jos joukko X on itse kompleksitson voin (vst. suljettu) joukko, niin käsitteet yhtyvät. Osoit: 1. Jos X C on voin, niin A X on voin X:ssä jos j vin jos A on kompleksitson voin joukko. 2. Jos X C on suljettu, niin A X on suljettu X:ssä jos j vin jos A on kompleksitson suljettu joukko. Määritelmä 1.9. Joukko A C on yhtenäinen, jos ei päde A = U V, millään A:ss voimill U, V, jotk epätyhjiä U V j erillisiä U V =. Jos A ei ole yhtenäinen, snotn, että se on epäyhtenäinen j siis lusuttviss khden erillisen A:ss voimen, epätyhjän joukon yhdisteenä. Määritelmä 1.10. Joukko A C on lue jos se on voin j yhtenäinen. Seurv tärkeä esimerkki oletetn tunnetuksi. (Todistus ylimääräinen hrjoitustehtävä) Esimerkki 1.5. Relikseli R j sen suljetut välit ovt yhtenäisiä. Esimerkki 1.6. Joukko A = R\{0} on epäyhtenäinen, sillä se on A:ss voimien välien (, 0), (0, ) yhdiste. Määritelmä 1.11. Joukko A C on polkuyhtenäinen, jos jokist z 0, z 1 A kohti on olemss pisteet yhdistävä polku ts. jtkuv kuvus α : [, b] A siten, että α() = z 0 j α(b) = z 1. Esimerkki 1.7. Topologin sinikäyrä A = {(t, sin 1 t ) t > 0} on polkuyhtenäinen (HT) j yhtenäinen (seur polkuyhtenäisyydestä j Luseest 1.1.) Joukko B = A [ i, i] on edelleen yhtenäinen, muttei polkuyhtenäinen (HT). Joukon B yhtenäisyys seur hvinnost B = A j yhtenäisyyden säilymisestä sulkeumss (HT). Määritelmä 1.12. Piste z C on joukon A sisäpiste, jos on olemss r > 0 siten, että B(z, r) A. Piste z C on joukon A ulkopiste, jos se on joukon C\A sisäpiste. Piste z C on joukon A reunpiste, jos kikill r > 0 pätee B(z, r) A B(z, r) (C\A). Merkitään Int A joukon A sisäpisteet, Ext A joukon A ulkopisteet j A joukon A reun. Esimerkki 1.8. Int Q =, Ext Q = C\R, Q = R Huomutus 1.3. Mielivltinen kompleksitson joukko A C määrää kompleksitson jon pistevierisiin joukkoihin C = Int A Ext A A.

KOMPLEKSIANALYYSI 7 Määritelmä 1.13. Kuvus f : A C on jtkuv pisteessä z 0 A C jos jokist ɛ > 0 kohti löytyy luku δ = δ(z 0, ɛ) > 0 siten, että pätee f (A B(z 0, δ)) B( f (z 0 ), ɛ). Huom, että jtkuvuuden ehto yllä on täsmälleen sm kuin ehto f (z 0 ) f (z) < ɛ kikill z A, joille pätee z z 0 < δ. Seurvt krkterisoinnit jtkuvuudelle tulevt usein käyttöön (HT): f : X C on jtkuv <=> f 1 U on voin X:ssä kikill voimill joukoill U C <=> f 1 V on suljettu X:ssä kikill suljetuill joukoill V C Määritelmä 1.14. Joukkojen X, X C välinen homeomorfismi on bijektio f : X X, jolle f j f 1 ovt jtkuvi. Huomutus 1.4. Homeomorfismin määrittelyssä myös käänteiskuvuksen jtkuvuus on erikseen oletettv. HT: Konstruoi jtkuv bijektio, joll on epäjtkuv käänteiskuvus. Luse 1.3. Avoin joukko A C on lue jos j vin jos A on polkuyhtenäinen. Todistus. Osoitetn ensin, että polkuyhtenäisyydestä seur yhtenäisyys. Tehdää vstoletus, että joukko A olisikin epäyhtenäinen. Tällöin löytyy voimet, epätyhjät, erilliset joukot U j V siten, että A = U V. Olkoon nyt z 0 U j z 1 V j α pisteet z 0 j z 1 yhdistävä polku eli jtkuv kuvus α : [, b] A siten, että α() = z 0 j α(b) = z 1. Nyt pätee [, b] = α 1 U α 1 V, missä joukot α 1 U j α 1 V ovt nyt välillä [, b] voimi (α oli jtkuv), epätyhjiä ( α 1 U, b α 1 V) j erillisiä. Mutt tällöin väli [, b] olisi epäyhtenäinen. Tästä seur ristiriit kun välin yhtenäisyys oletetn tunnetuksi. Vstoletus oli siis väärä, joten joukko A on yhtenäinen. Osoitetn käänteinen väite, eli oletetn, että voin joukko A on yhtenäinen. Olkoon z 0 A j osoitetn, että z 0 voidn yhdistää jokiseen z A jop murtoviivll. Määritellään joukot U j V settmll U = {z A Piste z 0 voidn yhdistää pisteeseen z murtoviivll joukoss A}, V = {z A Pistettä z 0 ei void yhdistää pisteeseen z murtoviivll joukoss A}. Nyt pätee selvästi A = U V j U V =. Osoitetn seurvksi, että joukko U on voin. Olkoon z U. Tällöin löytyy murtoviiv M A pisteestä z 0 pisteeseen z. Vlitn r > 0 siten, että pätee B(z, r) A (A oli voin!). Jos z 1 B(z, r), j merkitään kompleksitson jn [z, z 1 ] = {tz 1 + (1 t)z t [0, 1] R }, niin M 1 = M [z, z 1 ] on murtoviiv pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Siis z 1 U. Stiin B(z, r) U eli joukko U on voin.

8 KIRSI PELTONEN Osoitetn vielä, että joukko V on voin. Olkoon z V j vlitn r > 0 siten, että B(z, r) A. Riittää osoitt, että B(z, r) V. Tehdään tämä epäsuorsti, j tehdään vstoletus, että löytyisi piste z 1 B(z, r) U. Tällöin on olemss murtoviiv M 1 pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Mutt tällöin M 1 [z, z 1 ] on murtoviiv pisteestä z 0 pisteeseen z. Siis pätee z U, mutt tämä on ristiriit. Tämä trkoitt, että vstoletus oli väärä j pätee B(z, r) V. Joukko V on siis voin. Kosk joukko A oli oletuksen mukn yhtenäinen, niin jommn kummn joukoist U ti V on oltv tyhjä. Kosk z 0 U, niin pätee V =. Siispä A = U. Huomutus 1.5. Edellisen luseen todistuksest seur yleisesti, että polkuyhtenäinen joukko on in yhtenäinen, sillä joukon A voimuutt ei käytetty. Käänteinen väite ei päde ilmn joukon A voimuus oletust. Esimerkki tsojoukost, jok on yhtenäinen, muttei polkuyhtenäinen sdn topologin sinikäyrän sulkeumst.

KOMPLEKSIANALYYSI 9 1.3. Anlyyttinen funktio. Olkoon G C lue j f : G C kuvus. Määritelmä 1.15. Funktioll f on pisteessä z G derivtt f (z) C, jos f f (z + h) f (z) (z) = lim. h 0 h Huomutus 1.6. Muuttuj h on kompleksiluku. Määritelmä 1.16. Kuvus f : G C on nlyyttinen, jos sillä on derivtt jokisess pisteessä z G. Kuvus f on nlyyttinen pisteessä z G, jos se on nlyyttinen jossin pisteen z ympäristössä. Huomutus 1.7. Derivtn olemssolo yhdessä pisteessä ei riitä nlyyttisyyten. Esimerkki 1.9. 1. f : z z ei nlyyttinen (ei edes derivoituv) missään pisteessä: f (z + h) f (z) e = = z + h z = z + h z = h h h h h. Jos h R, niin e = h = 1. Jos toislt h on puhtsti imginrinen h = ki, niin h e = ki = 1, joten rj-rvo lim ki h 0 e ei ole olemss eikä f siten ole derivoituv eikä nlyyttinen missään pisteessä. 2. f : z z 2 on koko tson nlyyttinen funktio: f (z + h) f (z) e = = (z + h)2 z 2 = 2z + h 2z, kun h 0. h h Kuvuksell f on siis olemss derivtt f (z) = 2z jokisess tson pisteessä z, joten se on nlyyttinen koko C:ssä. Vstvsti f : z z n nlyyttinen koko tsoss j f (z) = nz n 1. 3. f : z z 2 derivoituv origoss, muttei missään nlyyttinen (HT). Derivoimissäännöt (todistetn kuten relisess tpuksess): ( f + g) (z) = f (z) + g (z) ( f g) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) ( f g) (z) = f (g(z))g (z) jos yhtälöiden oiket puolet olemss. Derivoimissäännöistä seur: Luse 1.4. Anlyyttisten funktioiden summ j tulo ovt nlyyttisiä. Anlyyttisistä funktioist yhdistetty funktio on nlyyttinen. Esimerkki 1.10. Polynomi P(z) = 0 + 1 z + + n z n on nlyyttinen. Jos kuvuksell f on derivtt f (z) pisteessä z, niin pätee f (z + h) f (z) f (z) =: ɛ(z, h) 0, kun h 0 h Sdn siis esitys f (z + h) f (z) = f (z)h + hɛ(h, z),

10 KIRSI PELTONEN joten jos f tulkitn khden relimuuttujn (x, y) = z funktioksi, niin se on differentioituv (Diff.int II/L2-kurssin mielessä) khden relimuuttujn funktio. Derivtt f (z) vst tällöin linerikuvust d f (x, y) : h f (z)h, jonk esitysmtriisi tson x, y -koordinteiss on muoto ( ) 1 u 2 u, 1 v 2 v mikä sdn kirjoittmll f komponenttifunktioden u : (x, y) u(x, y) = Re f (z) j v : (x, y) v(x, y) = Im f (z) vull: f = u + iv = (u, v). Esimerkki 1.11. Loklisti kuvus f : z z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2ixy on nlyyttisen kuvuksen prototyyppi. Jos kirjoitetn f = u + iv kuten yllä, niin tässä u(x, y) = x 2 y 2 j v(x, y) = 2xy, joten kuvuksen f derivtt f (z) = 2z pisteessä z vstvn linerikuvuksen mtriisiesitys tson x, y-koordinteiss s muodon ( ) 2x 2y d f (x, y) =. 2y 2x Pisteessä z = (x, y) 0 sdn vielä npkoordinttiesitys ( cos ϕ sin ϕ d f (x, y) = 2r sin ϕ cos ϕ missä x = r cos ϕ j y = r sin ϕ. Tässä esityksessä näkyy nlyyttisen kuvuksen lokli toimint: linerikuvus d f (x, y) : (k, l) d f (x, y)(k, l) suurent kertoimen 2r verrn j kiertää tso kulmn ϕ verrn positiiviseen kiertosuuntn. Sm toimint nähdään suorn myös kompleksilukujen kertolskun geometrisest tulkinnst: f (z) : h f (z)h, f (z) C. Huomutus 1.8. Jos kuvus f : G C on khden relimuuttujn mielessä differentioituv, niin tästä ei vielä seur derivoituvuus kompleksimuuttujn mielessä (vrt. esimerkit edellä). Luse 1.5. Anlyyttinen funktio on jtkuv. ), Todistus. f (z + h) f (z) = f (z)h + hɛ(z, h) f (z) h + h ɛ(z, h) 0, kun h 0 Luse 1.6. Anlyyttinen funktio f : G C on vkio jos j vin jos f (z) = 0 kikill z G. Todistus. Jos f (z) on vkio, niin selvästi pätee f (z) = 0 kikill z G. Kääntäen jos oletetn f (z) = 0 kikill z G, niin myös kikki osittisderivtt häviävät. Kosk G on lueen yhtenäinen, niin f on vkio (L2: khden muuttujn välirvoluse).

KOMPLEKSIANALYYSI 11 1.4. Cuchy-Riemnnin yhtälöt. Olkoon G C lue j f : G C nlyyttinen funktio. Edellä todettiin, että tällöin pätee f (z + h) = f (z) + f (z)h + hɛ(z, h), missä ɛ(z, h) 0 kun h 0 j h f (z)h on linerinen kuvus R 2 R 2 (h = (k, l)). Anlyyttinen funktio f on siis myös relisess mielessä differentioituv. Edellisessä luvuss nähtiin myös, että kompleksisen derivtn olemssolo on vhvempi ominisuus kuin (relinen khden muuttujn) differentioituvuus. Etsitään seurvksi muit välttämättömiä ehtoj kompleksiselle derivoituvuudelle. Hjotetn f : f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Merkitään P 1, P 2 : R 2 R projektio P 1 (x, y) = x, P 2 (x, y) = y. Nyt pätee u = Re f = P 1 f j v = Im f = P 2 f. Kosk projektiot P 1, P 2 j nlyyttinen f ovt relisess mielessä differentioituvi, myös näistä yhdistämällä sdut funktiot u j v : G R ovt differentioituvi. Erityisesti niiden osittisderivtt 1 u, 2 u, 1 v j 2 v ovt olemss kikiss joukon G pisteissä. Voidn siis kirjoitt (nlyyttiseksi oletetun) funktion f derivtn luseke, kun lisäys h vlitn pitkin relikseli eli oletetn h = k R. Tällöin sdn: f f (x + k, y) f (x, y) (z) = lim = k 0 k ( ) u(x + k, y) u(x, y) v(x + k, y) v(x, y) lim + i = 1 u(z) + i 1 v(z). k 0 k k Toislt vlitsemll lisäys h pitkin imginrikseli, eli olettmll h = il, l R, sdn: f f (x, y + l) f (x, y) (z) = lim = l 0 ( ) il u(x, y + l) u(x, y) v(x, y + l) v(x, y) lim + = 1 l 0 il l i 2u(z) + 2 v(z) = 2 v(z) i 2 u(z). Kosk f on nlyyttinen pisteessä z, on molempien yllä stujen lusekkeiden oltv smt, joten sdn osittisdifferentiliyhtälöt 1 u(z) = 2 v(z), 2 u(z) = 1 v(z). Nämä ovt Cuchy-Riemnnin (C-R) yhtälöt, jotk siis ovt välttämätön ehto funktion nlyyttisyydelle. Huomutus 1.9. C-R yhtälöt olivt nimestään huolimtt käytössä jo ennen Cuchyn (1789-1857) j Riemnnin (1826-1866) töitä hydrodynmiikn tutkimuksiss L. Eulerill (1707-1783) vuonn 1755 j D Alembertill (1717-1783) vuonn 1752 sekä myöhemmin C.F. Gussill (1777-1855). Huomutus 1.10. C-R yhtälöt eivät yksin riitä tkmn funktion nlyttisyyttä (ti edes derivoituvuutt). Tästä esimerkkejä hrjoitustehtävissä. Krkterisoidn seurvksi nlyyttisyys.

12 KIRSI PELTONEN Luse 1.7. Olkoon G C lue j f : G C, f = u + iv kuvus. Tällöin f on nlyyttinen jos j vin jos funktiot u j v ovt differentioituvi kikiss pisteissä z G j Cuchy-Riemnnin yhtälöt ovt voimss Todistus. C-R yhtälöiden j funktioiden u j v differentioituvuuden välttämättömyys nlyyttisyydelle todettiin jo edellä. Osoitetn riittävyys. Oletetn siis C-R yhtälöt j funktioiden u, v : G R differentioituvuus mielivltisess pisteessä z G. Olkoon lisäys h = k + il, missä k, l R. Linerikuvuksille du(z), dv(z) : R 2 R pätee nyt j vstvsti du(z)h = grd u(z) h = ( 1 u(z), 2 u(z)) (k, l) = 1 u(z)k + 2 u(z)l dv(z)h = grd v(z) h = ( 1 v(z), 2 v(z)) (k, l) = 1 v(z)k + 2 v(z)l. Differentioituvuusoletuksen perusteell funktioille u j v pätee nyt u(z + h) u(z) = du(z)h + h ɛ 1 (z, h) = 1 u(z)k + 2 u(z)l + h ɛ 1 (z, h) j v(z + h) v(z) = dv(z)h + h ɛ 2 (z, h) = 1 v(z)k + 2 v(z)l + h ɛ 2 (z, h), missä ɛ j (z, h) 0 kun h 0, ( j = 1, 2). Anlyyttisyyden osoittmiseksi hjotetn nyt funktio f pisteessä z + h, jolloin sdn edellisten esitysten vull f (z + h) = u(z + h) + iv(z + h) = u(z) + 1 u(z)k + 2 u(z)l + h ɛ 1 (z, h) + i(v(z) + 1 v(z)k + 2 v(z)l + h ɛ 2 (z, h)). Soveltmll vielä C-R yhtälöitä osittisderivttoihin 1 u j 2 u sdn f (z + h) = u(z) + iv(z) + 2 v(z)(k + il) + 1 v(z)( l + ik) + h (ɛ 1 (z, h) + iɛ 2 (z, h)). Kirjoittmll nyt lyhyesti ɛ(z, h) = ɛ 1 (z, h) + iɛ 2 (z, h) sdn edelleen f (z + h) = f (z) + ( 2 v(z) + i 1 v(z))h + h ɛ(z, h). Tästä nähdään, että erotusosmäärällä f (z + h) f (z) h on rj-rvo kun h 0, joten derivtt on olemss pisteessä z j f (z) = 2 v(z) + i 1 v(z). Kosk piste z G oli mielivltisesti vlittu, niin edellä esitetyn lskun perusteell derivtt on olemss jokisess lueen G pisteessä. Huomutus 1.11. Edellisen luseen todistus nt eksplisiittisen lusekkeen nlyyttisen funktion derivtlle f (z) C funktioiden u j v osittisderivttojen vull. C-R yhtälöiden vull sdn lisää erilisi esityksiä: f (z) = 2 v(z) + i 1 v(z) = 1 u(z) i 2 u(z). Huomutus 1.12. Funktiot u, v yllä ovt differentioituvi jos niillä on jtkuvt osittisderivtt j u, j v, j = 1, 2 (L2).

KOMPLEKSIANALYYSI 13 Esimerkki 1.12. Funktion f = u + iv nlyyttisyys, kun u = x + y, v = xy? C-R yhtälöt eivät ole voimss, sillä pätee 1 u(x, y) = 1 x = 2 v(x, y) pisteissä joiss x 1. f ei siis voi oll nlyyttinen missään tson pisteessä. Vlitsemll ṽ = y x sdn nlyyttinen funktio f = u+iṽ, sillä pätee 1 u = 1 = 2 ṽ j 2 u = 1 = 1 ṽ j funktiot j u, j ṽ ovt jtkuvi. Oletetn nyt, että f = u + iv : G C on nlyyttinen j funktioill u j v on lisäksi jtkuvt toiset osittisderivtt. Tällöin C-R yhtälöistä j derivoimisjärjestyksen riippumttomuudest seur: 11 u = 1 2 v = 2 1 v = 22 u. Sdn siis Lplcen osittisdifferentiliyhtälö u = 11 u + 22 u = 0, missä 2 = = Lplcen operttori. Vstvsti pätee v = 0. Määritelmä 1.17. Funktio u : G R on hrmoninen jos se on khdesti jtkuvsti derivoituv j jos pätee kikill z G. Stiin siis 11 u(z) + 22 u(z) = 0, Luse 1.8. Jos nlyyttisellä funktioll f : G C on jtkuvt toisen kertluvun osittisderivtt, niin f :n reli- j imginrios ovt hrmonisi funktioit. Huomutus 1.13. Myöhemmin osoitetn, että nlyyttisellä funktioll on kikkien kertlukujen osittisderivtt. Edelliselle luseelle sdn myös käänteinen lokli tulos. Luse 1.9. Olkoon u : B(z 0, r) R, r > 0 hrmoninen funktio. Tällöin on olemss hrmoninen konjugttifunktio v : B(z 0, r) R siten, että f = u + iv : B(z 0, r) C on nlyyttinen funktio. Todistus. Jos v löytyy, niin se toteutt C-R yhtälöt. Sdn siis v(x, y) = 2 vdy + C(x) = 1 udy + C(x), missä x C(x) on jokin muuttujst x riippuv (etsittävä) funktio. Derivoimll muuttujn x suhteen j soveltmll vielä C-R yhtälöitä sdn edelleen 2 u = 1 v = 11 udy + C (x) = 22 udy + C (x) = 2 u + C 1 (x) + C (x). Funktio C sdn nyt määrättyä integroimll muuttujn x suhteen, jost edelleen määräytyy etsitty v.

14 KIRSI PELTONEN Esimerkki 1.13. Olkoon u(x, y) = xy 3 x 3 y. Etsitään tälle hrmoninen konjugttifunktio. Todetn ensin, että u on hrmoninen: j 1 u = y 3 3x 2 y, 11 u = 6xy 2 u = 3xy 2 x 3, 22 u = 6xy joten pätee u = 0. Kuten edellisen luseen todistuksess, sdn v(x, y) = (y 3 3x 2 y)dy + C(x) = 1 4 y4 3 2 x2 y 2 + C(x). Edelleen derivoimll muuttujn x suhteen sdn: Stiin siis C (x) = x 3, joten 2 u = x 3 3xy 2 = 1 v = 3xy 2 + C (x). C(x) = 1 4 x4 + C, missä C R on vkio. Hrmoniseksi konjugttifunktioksi kelpvt siis kikki funktiot v(x, y) = 1 4 y4 3 2 x2 y 2 + 1 4 x4 + C, C R. Huomutus 1.14. Myös funktiolle f = u + iv voidn määritellä osittisderivtt (kompleksilukuj) j sovelt C-R yhtälöitä (jos f nlyyttinen). Tällöin sdn 1 f = 1 u + i 1 v = 2 v i 2 u = i( 2 u + i 2 v) = i 2 f. Stiin siis C-R yhtälöille toinen muoto: 1 f + i 2 f = 0. Yhtälöstä 1.14 seur kääntäen C-R yhtälöt, sillä pätee 0 = 1 u + i 1 v + i( 2 u + i 2 v) = 1 u 2 v + i( 1 v + 2 u). Kosk yhtälön oiken puolen kompleksiluvun reli- j imginriost välttämättä häviävät, sdn C-R yhtälöt. Trkstelln vielä yhteyttä usemmn relimuuttujn tilnteeseen (L2). Olkoon f : R n R n, jolloin j:s osittisderivtt on muoto j f (x) = D f (x)e j, missä e j on j:s yksikkövektori. Nyt derivttkuvukselle D f (x) pätee (linerisuus) n n D f (x)( λ j e j ) = λ j j f (x). j=1 Kompleksinlyysin tilntess f : C C, joten yllä D f (z) = f (z), n = 2 j e 1 = 1, e 2 = i. Sdn siis esitys j=1 D f (z)(k + il) = 1 f (z)k + 2 f (z)l.

KOMPLEKSIANALYYSI 15 Johdetn vielä tärkeä yhteys nlyyttisen funktion f = u + iv derivtn j Jcobin determinntin J f välille. Tällöin f (z) = 1 u + i 1 v, joten pätee f 2 = ( 1 u) 2 + ( 1 v) 2 = 1 u 2 v 1 v 2 u = 1 u 1 v Anlyyttiselle funktiolle f : G C pätee siis (1.1) f (z) 2 = J f (z), kikill z G. 2 u 2 v = J f. Erityisesti tämä siis trkoitt, että kikill z G pätee J f (z) 0, joten nlyyttinen funktio säilyttää in suunnistuksen (L2). Ehdost 1.1 nähdään myös toinen nlyyttisen funktion perusominisuus. Olkoon λ 0 jokin linerikuvuksen f (z) ominisrvo, eli pätee f (z)h = λh jollkin h 0 j oletetn, että pätee h = 1. Tällöin ehdost 1.1 seur, että pätee λ 2 = J f (z), joten nlyyttisen funktion derivttkuvuksell on vin yksi ominisrvo. Loklisti nlyyttinen funktio kuv siis (infinitesimliset) ympyrät ympyröiksi. Huomutus 1.15. Pisteissä z, joiss pätee f (z) = 0 (j erityisesti myös J f (z) = 0) rg f (z) ei ole määritelty. Täsmälleen näissä pisteissä nlyyttinen funktio voi muutt kulmi. Muistutetn vielä seurvst keskeisestä tuloksest (L2 ilmn todistust): Luse 1.10. Jos f : G C on nlyyttinen funktio, f jtkuv j f (z 0 ) 0, niin on olemss pisteen z 0 ympäristö, jonk f kuv homeomorfisesti pisteen f (z 0 ) ympäristölle.

16 KIRSI PELTONEN 2. Alkeisfunktiot 2.1. Potenssi f (z) = z n. Olkoon n N, n 2 j f (z) = z n. Tällöin f : C C on nlyyttinen koko tsoss j f (z) = nz n 1. Tehtävä: nnettu C, rtkistv yhtälö z n = eli määrättävä lkukuvjoukko f 1 {} = {z C z n = }. 1. tpus: = 0 eli z n = 0 z n = z n = 0 z = 0 z = 0 ino juuri on z = 0. 2. tpus 0: Hetn z muodoss z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r 0. Tällöin pätee z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ). Olkoon = ϱ(cos ψ + i sin ψ), missä ρ =,ψ = rg. Nyt pätee z n = r n = ϱ, nϕ = ψ + k2π, k Z r = n ϱ, ϕ = ψ n + k 2π, k Z. n Tässä esiintyy n eri kulm k = 0,..., n 1. Stiin siis: Luse 2.1. Yhtälöllä z n = on 1. yksi juuri z = 0 jos = 0, 2. n juurt ( rg z = n (cos n jos 0, k = 0,..., n 1. + k ) ( rg n 2π + i sin + k )) n n 2π, Trkstelln vielä erikseen tpust = 1: z n = 1. Merkitään ɛ n = cos 2π + i sin 2π Juuret ovt n n tällöin 1, ɛ n, ɛn, 2..., ɛn n 1. Ne muodostvt säännöllisen n-kulmion kärjet. Esimerkiksi kun n = 8, ɛ 8 = cos π 4 + i sin π 4 = 1+i 2. Yleisen yhtälön z n = juuret sdn tämän vull: Jos tunnetn yksi juuri z 0, muut sdn kertomll kompleksiluvull ɛ n eli kiertämällä kulmn 2π verrn. n Huomutus 2.1. Luvut 1, ɛ n, ɛn, 2..., ɛn n 1 muodostvt kertolskun suhteen syklisen ryhmän (virittäjä ɛ n ), missä luvun ɛn k käänteislkio (ɛn) k 1 = ɛn n k, sillä pätee ɛn n k ɛn k = ɛn n = 1. Tutkitn vielä funktiot f : z z n = w geometrisesti. Ympyrä z = r kuvutuu ympyrälle w = r n. Säde rg z = α kuvutuu säteelle rg w = nα. Kulm 0 < rg z < 2π kuvutuu täydelle n kulmll 0 < rg w < 2π. Vstvsti jokinen kulm k 2π n < rg z < (k + 1)2π, k = 0, 1,..., n 1 n kuvutuu täydelle kulmlle. Kuvus on lokli injektio jokisen pisteen z 0 ympäristössä. Pisteen z = 0 missään ympäristössä f ei ole injektio, vn n eri pistettä kuvutuu smn pisteeseen. Alueess G 0 = {w C rg w 0} voidn määritellä käänteisfunktio w n w n:llä eri tvll.

KOMPLEKSIANALYYSI 17 Koko kompleksitsoss C ei void määritellä kuvust w n w jtkuvn funktion. 2.2. Polynomit. Polynomi on muoto P(z) = 0 + 1 z + + n z n, n 0. Luku n on polynomin P ste=d(p). Lisäksi 0-polynomi P(z) = 0 kikill z C, jolle d(p) ei määritelty. Luse 2.2. (Algebrn perusluse) Olkoon P polynomi j d(p) 1. Tällöin P(z) = 0 jollkin z C. Todistus. Todistetn myöhemmin tällä kurssill. Luse 2.3. Olkoon P 0 polynomi j P(z 1 ) = 0 jollkin z 1 C. Tällöin P voidn esittää muodoss P(z) = (z z 1 )Q(z), missä Q on stett d(p) 1 olev polynomi. Todistus. L1 Tästä seur Luse 2.4. Olkoon P 0 polynomi j d(p) = n. Tällöin P voidn esittää muodoss P(z) = n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ), missä z j C, j = 1,..., n (voi oll z i = z j, joillkin i j). Kompleksiluvut z 1,..., z n ovt polynomin P 0-kohdt. Muit ei ole, sillä tulo = 0, jos j vin jos jokin tekijöistä = 0. Määritelmä 2.1. Jos pätee P(z) = (z z 0 ) p Q(z) j Q(z 0 ) 0, missä Q on polynomi, niin p on 0-kohdn z 0 kertluku. Esimerkki 2.1. P(z) = z n, z 0 = 0, p = n. Olkoon nyt P polynomi j z 1,..., z k sen eri nollkohdt. Tällöin pätee P(z) = n (z z 1 ) p 1 (z z 2 ) p2 (z z k ) p k, missä p j on z j :n kertlukku j p 1 + p 2 + + p k = n. Luse 2.5. Astett n olevll polynomill on n nollkoht, jos jokinen lsketn mukn niin mont kert kuin sen kertluku osoitt. Määritelmä 2.2. Olkoon C, P(z) =. Jos z 0 on polynomin P 0 (z) = P(z) p-kertinen nollkoht, niin z 0 on P:n p-kertinen -koht Luse 2.6. Astett n olev polynomi s jokisen rvon C n kert jos jokinen -koht lsketn mukn niin mont kert kuin sen kertluku osoitt. Erityisesti sdn: Jos d(p) 1 niin P on surjektio eli pätee P(C) = C.

18 KIRSI PELTONEN 2.3. Piste. Trkstelln tässä yleisemmin vruutt R n, n 2. Lisätään vruuteen uusi lkio, jot merkitään symbolill j jot snotn äärettömyyspisteeksi. Sdn joukko Ṙ n = R n { } (ns. vruuden R n yhden pisteen kompktifiointi). Joukko R n on topologinen vruus jos pisteen ympäristöt määritellään joukkoin Ṙ n \A, missä joukko A R n on kompkti. Erityisesti siis joukko {x R n x > r} { } = Ṙ n \ B(0, r) on pisteen ympäristö. Jos x 1, x 2,... on jono vruuden R n pisteitä, niin x j x j ( L1 mielessä), eli kikill M > 0 löytyy indeksi j 0 N siten, että pätee x j M kun j j0. Huomutus 2.2. Avruudess R n on vin yksi, eikä esimerkiksi ± kuten vruudess R. Avruuden Ṙ n kikki lskutoimituksi ei määritellä: esim, 0 Määritelmä 2.3. Kikill R n setetn + = + = (ide: x j + x j ). Kikill 0 setetn 0 =. Kikill λ R, λ 0 setetn λ =. Jos n = 2 j siis R 2 = C, voidn lisäksi määritellä = = jos 0 j vielä = sekä = 0. Merkitään nlogisesti ljennettu tso symbolill Ċ = C { }. 2.4. Rtionlifunktiot. Rtionlifunktio R on muoto R(z) = P(z) Q(z), missä P j Q ovt polynomej siten, että P(z) = 0 + 1 z + + m z m, m 0 j Q(z) = b 0 + b 1 z + + b n z n, b n 0. Voidn olett, ettei polynomeill P j Q ole yhteisiä juuri, jolloin voitisiin supist. Jos Q(z 0 ) = 0 setetn R(z 0 ) =. Oletetn z j kirjoitetn: Kosk pätee 0 + R(z) = z m n z m 1 + + z m 1 m b 0. + b z n 1 + + b z n 1 n 0 + z m 1 + + z m 1 m b 0 + b z n 1 + + b z n 1 n m b n,

KOMPLEKSIANALYYSI 19 niin voidn erott kolme tpust. Määritellään, jos m > n R( ) = m b n, jos m = n 0, jos m < n. Rtionlifunktio operoi siis ljennetult tsolt itselleen R : Ċ Ċ. Olkoon nyt polynomin P juuret α 1,..., α k j niiden kertluvut µ 1,..., µ k, jolloin Vstvsti polynomille Q sdn esitys jolloin rtionlifunktiolle R pätee P(z) = m (z α 1 ) µ1 (z α k ) µ k. Q(z) = b n (z β 1 ) ν1 (z β l ) ν l, β i α j, R(z) = m(z α 1 ) µ1 (z α k ) µ k. b n (z β 1 ) ν 1 (z βl ) ν l R on nlyyttinen funktio lueess C\{β 1,..., β l }. Luku r = mx(m, n) on rtionlifunktion R kertluku. Jos R on polynomi, niin r = d(r). Piste α i on R:n µ i -kertinen nollkoht: Piste β i on R:n ν i -kertinen -koht eli np: R(z) = (z α i ) µ i R 1 (z), R 1 (α i ) 0,. R(z) = (z β i ) ν i R 2 (z), R 2 (β i ) 0,. Lisäksi voi oll µ-kertinen nollkoht µ = n m > 0 ti ν-kertinen np, ν = m n > 0. Nollkohtien lukumäärä kertlukuineen: 1. m n: µ 1 + + µ k = m = r, 2. m < n: µ 1 + + µ k + µ = m + µ = n = r. Npojen lukumäärä kertlukuineen 1. m > n: ν 1 + + ν l + ν = n + ν = m = r, 2. m n: ν 1 + + ν l = n = r. Määritelmä 2.4. Olkoon C. Piste z 0 on rtionlifunktion R µ-kertinen -koht, jos z 0 on rtionlifunktion R µ-kertinen 0-koht. Luse 2.7. Olkoon R rtionlifunktio, jonk kertluku on r j Ċ. Tällöin R s rvon r kert, jos jokinen -koht lsketn mukn niin mont kert kuin sen kertluku osoitt. Todistus. Tpukset = 0, käsiteltiin edellä. Olkoon 0,. Jos R(z) = P(z), niin pätee Q(z) R(z) = P(z) Q(z) Q(z) = P 1(z) Q(z). Jos Q(z 0 ) = 0, niin P 1 (z 0 ) = P(z 0 ) 0, joten rtionlifunktion R(z) esitys on supistumttomss muodoss. Siten R :n kertluku r = mx(m, n) joten -kohti on r kpplett.

20 KIRSI PELTONEN Seurvss luvuss trkstelln rtionlifunktioden erikoistpust, muoto R(z) = z + b cz + d olevi Möbius-kuvuksi. Tällisell R on täsmälleen yksi kertluvun yksi nollkoht j np.

2.5. Möbius-kuvukset. Trkstelln funktiot M: KOMPLEKSIANALYYSI 21 M(z) = z + b,, b, c, d C. cz + d Oletetn, että pätee lisäksi d bc 0. (Jos d = bc, niin M on vkiokuvus.) Tällöin M on Möbius-kuvus. Merkitään D = b c d 0. Kuvus M on määritelty, kun cz+d 0. Jos c = 0, tämä pätee kikill z C (D 0 => d 0). Jos c 0 tämä pätee kun z d. Selvästi M on määrittelyjoukossn jtkuv funktio. c Kun z d, niin M(z). Siksi setetn M( d) =. Kun z, niin M(z) (jos c c c c 0). Määritellään siis M( ) = z+b. Jos c = 0, niin M(z) = kun z. Tällöin c d määritellään M( ) =. Stiin tulos: Jos, b, c, d C j D = b c d 0, niin M on ljennetun tson Ċ jtkuv kuvus M : Ċ Ċ. Möbius-kuvus M on nlyyttinen lueess C\{ d} j siellä c M (z) = on konforminen lueess C\{ d}. c Jos c = 0, niin M(z) = z + b on 1. steen polynomi j konformikuvus C C. d d D. Erityisesti siis M (cz+d) 2 Luse 2.8. Möbius-kuvus M : Ċ Ċ on homeomorfismi j sen käänteiskuvus M 1 on myös Möbius-kuvus. Todistus. HT Huomutus 2.3. Kuvus M ei määrää kertoimi, b, c, d C yksikäsitteisesti, vn ne voidn kerto kikki smll vkioll. Hlutess voidn normeert D = 1. Luse 2.9. Möbius-kuvukset M : Ċ Ċ muodostvt ryhmän kuvusten yhdistämisen suhteen. Todistus. HT Määritelmä 2.5. Piste z 0 C on kuvuksen M kiintopiste, jos pätee M(z 0 ) = z 0. Luse 2.10. Möbius-kuvuksell M Id C on enintään 2 kiintopistettä. Todistus. HT Määritelmä 2.6. Olkoot α,, β, δ, C eri lukuj. Kksoissuhde on kompleksiluku (α, β,, δ) = (α β)( δ) (α )(β δ).

22 KIRSI PELTONEN Kksoissuhde määritellään myös kun jokin pisteistä on. Tällöin setetn (, β,, δ) = δ β δ, (α,,, δ) = δ α, (α, β,, δ) = α β β δ, (α, β,, ) = α β α. Huomutus 2.4. Kirjllisuudess järjestys vihtelee. Olkoon nyt z 1, z 2, z 3 C eri pisteitä. Muodostetn funktio M(z) = (z, z 1, z 2, z 3 ) = (z z 1)(z 2 z 3 ) (z z 2 )(z 1 z 3 ). Selvästi M on Möbius-kuvus. Lisäksi pätee: M(z 1 ) = 0, M(z 2 ) =, M(z 3 ) = 1. Annetut pisteet z 1, z 2, z 3 voidn siis in kuvt Möbius-kuvuksell pisteisiin 0, j 1. Tämä pätee myös, jos jokin pisteistä on. Olkoon se piste z 3. Asettmll M(z) = z z 1 z z 2 sdn M(z 1 ) = 0, M(z 2 ) =, M( ) = 1. Olkoon nyt w 1, w 2, w 3 Ċ eri pisteitä. Muodostetn Möbius-kuvus S settmll S (w) = (w, w 1, w 2, w 3 ). Nyt pätee: M(w 1 ) = 0, M(w 2 ) =, M(w 3 ) = 1. Kuvus T = S 1 M on nyt Möbius-kuvus, jolle pätee M(z 1 ) = w 1, M(z 2 ) = w 2, M(z 3 ) = w 3. Luse 2.11. Olkoon z 1, z 2, z 3 Ċ eri pisteitä j smoin w 1, w 2, w 3 Ċ keskenään eri pisteitä. Tällöin löytyy yksikäsitteinen Möbius-kuvus M, jolle pätee M(z 1 ) = w 1, M(z 2 ) = w 2, M(z 3 ) = w 3. Tämä määräytyy ehdost (M(z), w 1, w 2, w 3 ) = (z, z 1, z 2, z 3 ) Todistus. Olemssolo nähtiin jo yllä. Riittää siis todist yksikäsitteisyys. Olkoon M j S luseen ehdot toteuttvi Möbius-kuvuksi. Nyt pätee M(z j ) = S (z j ) kikill j = 1, 2, 3. Erityisesti siis S 1 M(z j ) = z j, joten pisteet z j ( j = 1, 2, 3) ovt Möbius-kuvuksen S 1 M kiintopisteitä. Luseen 2.10 perusteell kuvus S 1 M voi siis oll vin ljennetun tson identtinen kuvus. Tällöin M = S. Esimerkki 2.2. Etsi Möbius-kuvus, jok kuv pisteet 1, 1, i pisteiksi 0,, 2. Asettmll M(z) = w j ehdost (w, 0,, 2) = (z, 1, 1, i) sdn rtkisemll w = 2i z 1 z + 1. Luse 2.12. Kksoissuhde säilyy Möbius-kuvuksess. Todistus. Olkoon M Möbius-kuvus j z 1, z 2, z 3, z 4 Ċ eri pisteitä. Merkitään M(z j ) = w j, j = 1, 2, 3, 4. Edellä stiin (M(z), w 2, w 3, w 4 ) = (z, z 2, z 3, z 4 ) kikill z Ċ\{z 2, z 3, z 4 }. Sijoittmll z = z 1 sdn väite.

KOMPLEKSIANALYYSI 23 Luse 2.13. Möbius-kuvus M voidn esittää yhdisteenä M = T 2 H I T 1, missä T 1 : T 1 (z) = z + d j T c 2 : T 2 (z) = z + ovt trnsltioit, I : I(z) = 1 on geometrinen inversio j c z H(z) = (d bc) z on homoteti. c 2 Todistus. HT Kun tulkitn kompleksitson suort pisteen kutt kulkeviksi ympyröiksi (vrt. stereogrfinen projektio) sdn seuruksen: Luse 2.14. Möbius-kuvus kuv ympyrät ympyröiksi.

24 KIRSI PELTONEN 2.6. Eksponenttikuvus. L1: Jos x R, niin e x = lim (1 + x ) n. n n Hlutn osoitt, että tämä rj-rvo on olemss myös kikill x C. Muistutus: z n c z n c 0. Luse 2.15. Olkoon (z n ) jono kompleksilukuj joille pätee z n r j rg z n ϕ kun n. Tällöin pätee z n r(cos ϕ + i sin ϕ) = c Todistus. Olkoon h ϕ = cos ϕ + i sin ϕ j z n = r n h ϕn. Tällöin oletuksen mukn r n r j ϕ n ϕ kun n. Olkoon nyt w n = rh ϕn, jollon sdn kolmioepäyhtälöstä z n c z n w n + w n c r n r + r ϕ n ϕ 0. Luse 2.16. Olkoon z = x + iy. Tällöin pätee lim n ( 1 + z n) n = e x (cos y + i sin y). Todistus. Merkitään ensin z n = (1 + z n )n. Nyt pätee z n = 1 + z n (( n = 1 + x ) 2 ( y ) 2 ) n 2 +, n n jost sdn log z n = n ( 2 log 1 + 2x ) n + x2 n + y2. 2 n 2 Sovelletn tähän funktion log(1 + ) Tylor-kehitelmää origoss: log(1 + ) = + ɛ(), (log 1 = 0 j log (1) = 1), missä ɛ() 0 kun 0 (oletetn > 1), jolloin sdn vlitsemll n niin suureksi, että pätee 2x n + x2 n + y2 2 n > 1 2 esitys log z n = n 2 = (x + x2 kun n j ɛ 1 (n) 0. Stiin siis Toislt pätee ( 2x n + x2 2n + y2 2n ) (1 + ɛ 1 (n)) n + y2 2 n ) 2 (1 + ɛ 1 (n)) x, z n e x, kun n. ( rg z n = n rg 1 + z ) = n rg(n + x + iy) = n rctn n = ny n + x rctn n + x y y n + x, y n + x

KOMPLEKSIANALYYSI 25 jost nähdään, että pätee rg z n y, kun n, sillä rctn 0 = 0 j rctn (0) = 1. Edellisen luseen perusteell z n e x h y, kun n. Määritelmä 2.7. Jos z = x + iy C, niin merkitään e z = exp z = e x (cos y + i sin y). Nyt pätee e z = e x j rg e z = y. Kun z R, niin e z yhtyy reliseen eksponenttifunktioon. Sijoittmll edelliseen z = iϕ, ϕ R, jolloin x = 0 j y = ϕ sdn Eulerin kv: Eulerin kvst sdn edelleen e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. cos ϕ = 1 2 (eiϕ + e iϕ ) = cosh iϕ j sin ϕ = 1 2i (eiϕ e iϕ ) = i sinh iϕ. Jos z = r j rg z = ϕ, niin sdn kompleksiluvun tuttu esitys Huomutus 2.5. e 2πni = 1, kun n Z. z = re iϕ. Luse 2.17. Eksponenttifunktion ominisuuksi: 1. z f (z) = e z on nlyyttinen koko kompleksitsoss j f (z) = e z 2. e z 0 kikill z C 3. e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 4. e z = 1 e z 5. (e z ) n = e nz, n Z Todistus. HT Huomutus 2.6. e ei määritellä. Syy: Jos z pitkin positiivist relikseli, niin e z. Jos z pitkin negtiivist relikseli, niin e z 0. Jos z pitkin imginrikseli, niin e z = e iϕ kiertää yksikköympyrää. Määritelmä 2.8. Luku ω on funktion f : C C jkso, jos pätee f (z + ω) = f (z), kikill z C. Huomutus 2.7. Ain ω = 0 on trivili jkso. Yleensä tätä ei hyväksytä jksoksi. Esimerkki 2.3. Rtionlifunktioll R ei ole jksoj (pitsi trivilijkso), sillä muuten pätisi R(z) = R(z + ω) = R(z + 2ω) =, j R sisi smn rvon äärettömän moness eri pisteessä.

26 KIRSI PELTONEN Oletetn, että eksponenttifunktioll z e z on jkso ω = α + iβ. Tällöin pätee Toislt ω = n2πi on jkso, sillä pätee Stiin siis e ω = e 0+ω = 1 e α = 1, β = n2π ω = n2πi, n Z. e z+2πni = e z e 2πni = e z. Luse 2.18. Eksponenttifunktion z e z jksot ovt täsmälleen 2πni, n Z. Merkitään jksovöitä synbolill V n = {z C n2πi Im z < (n + 1)2πi}, n Z. Jos merkitään w = e z, niin vksuor y = y 0 kuvutuu puolisuorksi rg w = y 0. Erityisesti siis vksuort y = n2π, n Z kuvutuvt puolisuorksi rg w = 0. Pystysuor x = x 0 kuvutuu ympyräksi w = e x 0. Erityisesti siis imginrikseli kuvutuu yksikköympyräksi w = 1. Vsen puolitso kuvutuu näin lueeksi B(0, 1)\{0} j oike puolitso lueeksi C\ B(0, 1). (Piirrä kuv tilnteest!) Luse 2.19. Eksponenttifunktio z e z kuv kunkin jksovyön V n, n Z bijektiivisesti lueeksi C\{0}. Todistus. Edellä todetun jksollisuuden perusteell riittää trkstell perusvyötä V 0. 1. Surjektiivisuus: Olkoon w C, w 0. Olkoon x = log w j y = rg w [0, 2π), jolloin e x+iy = e x (cos y + i sin y) = w j z = x + iy V 0. 2. Injektiivisyys: Olkoot z 1, z 2 V 0 siten, että pätee e z 1 = e z 2. Tällöin e z 1 z 2 = 1, joten pätee j lisäksi 1 = e z 1 z 2 = e x 1 x 2 x 1 x 2 = 0 x 1 = x 2 rg e z 1 z 2 = 0 + n2π y 1 y 2 = n2π. Kosk pisteet z 1, z 2 vlittiin perusjksovyöstä V 0, niin pätee y 1, y 2 [0, 2π), joten välttämättä y 1 = y 2 Näistä seur Luse 2.20. e z 1 = e z 2 z 1 = z 2 + n2πi, n Z.

KOMPLEKSIANALYYSI 27 2.7. Trigonometriset funktiot. Määritelmä 2.9. cos z = 1 2 (eiz + e iz ) sin z = 1 2i (eiz e iz ) tn z = sin z cos z Jos z R, niin nämä yhtyvät iemmin määriteltyihin funktioihin. Funktiot z cos z, z sin z ovt nlyyttisiä koko kompleksitsoss C. Tunnetut säännöt voimss: cos( π z) = sin z, 2 cos( z) = cos z, D cos z = sin z, sin 2 z + cos 2 z = 1 jne. 2.8. Logritmi. Määritelmä 2.10. Luku z C on luvun w C logritmi jos e z = w. Todetn: 1. Nollll ei ole logritmi. 2. Jos w 0, niin w:llä on äärettömän mont logritmi, jotk ovt muoto z 0 + n2πi. Siispä funktiot w log w ei voi sellisenn määritellä. Pätee joten log w:lle sdn äärettömän mont rvo e x+iy = w x = log w, y = rg w [0, 2π), log w = log w + i rg w + i2πn. Vikeus on siinä, ettei funktiot w rg w voi määritellä yksikäsitteisesti. Eräissä lueiss sdn jtkuvi hroj. Esimerkki 2.4. 1. Olkoon G = C\{z = x x 0}. Tällöin voidn sopi 0 < rg w < 2π, j sdn jtkuv log : G C, log w = log w + i rg w. 2. Olkoon G = B(0, 2)\ B(0, 1) rengslue. Funktiot w log w ei void määritellä jtkuvn funktion lueess G. 3. Jtkuvn logritmifunktion voi määritellä myös spirlimisiss lueiss. Ilmn todistust esitetään vielä si trkentv luse: Luse 2.21. Olkoon G C\{0} lue. Tällöin funktio w log w voidn määritellä jtkuvn G:ssä jos j vin jos origo j piste kuuluvt vruuden Ċ\G smn komponenttiin. Huomutus 2.8. Erityisesti logritmin jtkuv hr voidn määritellä jokisess kiekoss B(z, r) C\{0}. Jos f on logritmifunktion jtkuv hr, niin se on derivoituv j pätee f (z) = 1. Siis f on z nlyyttinen. Lskusääntö: Olkoot e z 1 = w 1 j e z 2 = w 2, jolloin pätee e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 = w 1 w 2 j sdn log(w 1 w 2 ) = log w 1 + log w 2 + n2πi.

28 KIRSI PELTONEN Huomutus 2.9. Kv ei päde ilmn termiä n2πi edes jtkuvlle hrlle. Esimerkiksi voidn vlit G = {z C 3π 2 < rg z < π 2 }, jolloin pätisi 0 = log 1 = log( 1)( 1) = log( 1) + log( 1) = πi πi = 2πi. Millinen on logritmifunktion Riemnnin pint? 2.9. Yleinen potenssifunktio. Olkoon α C. Mikä on z α? Ide: Kirjoitetn z α = e α log z, jok kuitenkin on monikäsitteinen, sillä log z = + n2πi, joten sdn z α = e α e αn2πi. Tässä yleensä äärettömän mont eri rvo. Arvoj on vin äärellinen määrä, jos pätee e αn2πi = 1. Tällöin yhtäpitävästi αn2πi = k2πi, missä k Z eli α = k on rtionliluku. n Esimerkki 2.5. He kompleksiluvun i i eri rvot. Sdn siis on relinen! i i = e i log i, missä log i = log i + i rg i + n2πi = 0 + i π 2 + n2πi. i log i = π n2π, joten 2 i i = e π 2 n2π, n Z

KOMPLEKSIANALYYSI 29 3. Integrointi j srjt 3.1. Integrli. 3.1.1. Relisen funktion Riemnn-integrli. Oletetn tunnetuksi (L1) jtkuvn funktion f : [, b] R integrli b f (t)dt. Merkitään myös lyhyesti b f. 3.1.2. Kompleksirvoisen funktion integrli. Olkoon f : [, b] C jtkuv,, b R, < b, f = u + iv j funktiot u, v : [, b] R jtkuvi. Määritelmä 3.1. Luse 3.1. b f (t)dt = b b b u(t)dt + i ( f + g) = c f = c b b b f + v(t)dt = b f, c C g b f Todistus. Seur välittömsti vstvist relisist tuloksist. Luse 3.2. b b f f. Todistus. Jos b ϕ = rg b f. Kompleksiluvulle z 0 voidn in kirjoitt f = 0 väite selvä. Oletetn, että pätee b z = z e i rg z z = e i rg z z. Sovelletn tätä kompleksilukuun z = b f. Sdn b b b f = e iϕ f = Re(e iϕ f ) = b b e iϕ f b = e iϕ b f = f. 3.1.3. Viivintegrlit. Olkoon : [, b] C säännöllinen polku ts. f 0, jolloin voidn merkitä Re(e iϕ f ) 1. On olemss (t) C kikill t [, b] (päätepisteissä toispuoleiset derivtt). 2. : [, b] C jtkuv. 3. (t) 0 kikill t [, b]. Olkoon nyt f : [, b] C polun kuvjoukoss [, b] = {(t) t b} C määritelty kompleksilukurvoinen jtkuv funktio.

30 KIRSI PELTONEN Määritelmä 3.2. j merkitään lyhyesti f dz f (z)dz = b f ((t)) (t)dt Hjotetn nyt f, j reli- j imginriosiin kirjoittmll f = u + iv, = α + iβ, (t) = α (t) + iβ (t). Sdn joten pätee f dz = b Lyhyesti merkitään Huomutus 3.1. f = (u + iv)(α + iβ ) = uα vβ + i(uβ + vα ), ( u((t))α (t) v((t))β (t) ) dt + i f dz = b (udx vdy) + i (udy + vdx). 1. Oike puoli sdn formlill lskull (u + iv)(dx + idy) = udx vdy + i(udy + vdx). 2. Yllä esitetty pätee myös ploittin säännöllisille poluille. ( (u((t))β (t) + v((t))α (t) ) dt. Toinen tp määritellä f on käyttää Riemnnin summi. Jetn väli [, b] osiin pisteillä = t 0 < < t k = b. Vlitn ξ i [t i 1 ] j merkitään i z = (t i ) (t i 1 ). Nyt voidn sett f (z)dz = lim f ((ξ i )) i z, missä rj-rvo otetn jko tihentämällä. Luse 3.3. Integrlin perusominisuuksi: 1. ( f + g)dz = f dz + gdz 2. λ f dz = λ f dz, λ C 3. f dz = f dz, missä (t) = ( + b t) 4. 1 2 f dz = 1 f dz + 2 f dz 5. f dz ei riipu prmetrin vlinnst: Jos η : [, b ] [, b] idosti ksvv jtkuvsti differentioituv surjektio, niin tällöin pätee f dz = f dz. Todistus. (L2) Osoitetn viimeinen koht: b f dz = f ((η(t)))( η) (t)dt = η η b f ((η(t))) (η(t))η (t)dt

KOMPLEKSIANALYYSI 31 Sijoittmll tähän muuttuj u = η(t) sdn b f dz = f ((u)) (u)du = η f dz. 3.1.4. Viivintegrli krenpituuden suhteen. Olkoon : [, b] C säännöllinen polku j f : [, b] C jtkuv. Määritelmä 3.3. f (z) dz = b f ((t)) (t) dt Huomutus 3.2. Jos (t) = α(t) + iβ(t) niin (t) = α (t) 2 + β (t) 2 Luse 3.4. f dz f dz Todistus. Soveltmll luseen 3.2 epäyhtälöä sdn f dz = b f ((t)) (t)dt b f ((t)) (t) dt = f dz. Esimerkki 3.1. 1. Määrätään dz yli yksikköympyrän z = 1 positiiviseen kiertosuuntn. z (Yleensä merkitään integrli yli umpinisen polun.) Merkitään z = (t) = e it, missä 0 t 2π. Nyt pätee (t) = ie it j sdn I = 2π 0 ie it dt = i eit 2π 0 dt = 2πi 2. Vstvsti negtiiviseen kiertosuuntn (t) = e it, t [0, 2π] sdn integrlin rvoksi 2π ie it I = dt = 2πi. e it 0 3. [z 1,z 2 ] dz = z 2 z 1, missä integroidn yli jnpolun (t) = z 1 (1 t) + z 2 t, t [0, 1]. 4. dz = b (t) dt = l() = polun pituus. Huomutus 3.3. 1. Yllä määritellyn viivintegrlin 3.2 vstine khden relimuuttujn vektorirvoisen funktion f = (u, v) : R 2 R 2 integoinnille yli ploittin säännöllisen polun : [, b] R 2 on integrli (L2) b f = f ((t)) (t)dt

32 KIRSI PELTONEN b = (u((t)), v((t))) (t)dt = (udx + vdy), missä on tson pistetulo. 2. Yllä määritellyn viivintegrlin krenpituuden suhteen 3.3 vstine khden relimuuttujn relirvoiselle funktiolle f : R 2 R on integrli (L2) b f ds = f ((t)) (t) dt. Luseest 3.4 seur hyödyllinen epäyhtälö: Luse 3.5. Olkoon f kompleksimuuttujn funktio, jok on rjoitettu polun kuvjoukoss siten, että pätee f (z) M kikill z [, b], missä M on vkio. Jos L on polun pituus, niin pätee f (z)dz ML Todistus. Luseest 3.4 sdn f dz f dz M dz = ML Huomutus 3.4. Yleensä polun pituus l() jäljen [, b] pituus: Esimerkiksi polulle : [0, 4π] C, t e it pätee l( ) = 4π, vikk [, b] = [, b], missä on kuten esimerkissä 3.1.1. yllä. Määritelmä 3.4. Olkoon G C lue j f : G C funktio. Funktio F : G C on f :n integrlifunktio, jos pätee F (z) = f (z), kikill z G Luse 3.6. Integrlifunktio on vkiot ville yksikäsitteisesti määrätty. Todistus. Olkoot F 1, F 2 funktion f integrlifunktioit. Merkitään g = F 1 F 2. Tällöin pätee g (z) = F 1 (z) F 2 (z) = f (z) f (z) = 0 kikill z G. Kosk funktio g on määritelty lueess G, niin pätee g(z) = C = vkio. Stiin siis F 1 = F 2 + C. Huomutus 3.5. Integrlifunktio on in jtkuv. (Derivoituvuus jtkuvuus) Esimerkki 3.2. 1. Funktioll f : z e z on integrlifunktio F : z e z koko kompleksitsoss C. 2. Potenssifunktioll f : z z n, n N on integrlifunktio F : z zn+1 koko kompleksitsoss C n+1 3. Potenssifunktioll f : z z n, n N, n 2 on integrlifunktio F : z z1 n lueess 1 n G = C\{0}. 4. Kiekoss G = B(z 0, r) C\{0} määritellylle potenssifunktiolle f : z z 1 voidn määritellä jtkuv logritmifunktio F : G C, jolle pätee F (z) = 1. Tällöin F on z funktion f integrlifunktio.

KOMPLEKSIANALYYSI 33 5. Alueess G = C\{0} määritellylle potenssifunktiolle f : z z 1 ei ole integrlifunktiot, sillä kunkin pisteen ympäristössä tulee päteä F(z) = g(z) + C, missä g on jokin logritmin hr j sitä ei void määritellä jtkuvsti koko lueess G. Seurv keskeinen tulos krkterisoi integrlifunktion olemssolon. Luse 3.7. Olkoon f : G C jtkuv funktio. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitäviä 1. Funktioll f on integrlifunktio F 2. f dz riippuu vin polun päätepisteistä z 0 j z 1 3. f dz = 0 umpinisell. Lisäksi pätee F(z 1 ) F(z 0 ) = f (z)dz, missä on mielivltinen ploittin säännöllinen polku pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Todistus. Osoitetn (1) (2) (3). (1) (2): Olkoon : [, b] G ploittin säännöllinen polku pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Tällöin pätee b b f dz = F ((t)) (t)dt = (F ) (t)dt = F((b)) F(()) = F(z 1 ) F(z 0 ). (2) (1): Olkoon z 0 G kiinnitetty j z G. Vlitn jokin polku pisteestä z 0 pisteeseen z. Oletuksen perusteell voidn sett F(z) = z z 0 f (w)dw. Kuvus F on hyvin määritelty koko lueess G, sillä integrli on (oletuksen mukn) riippumton polun vlinnst. Nyt riittää osoitt, että pätee F (z) = f (z). Kosk G on lue, löytyy r > 0 siten, että pätee B(z, r) G. Olkoon nyt h C sellinen, että pätee h < r, jollin jn [z, z + h] G. Yhdistämällä tämä j sdn polku pisteestä z 0 pisteeseen z + h. Nyt voidn (oletuksen perusteell) kirjoitt z+h F(z + h) = f (w)dw + z (jn) f (w)dw. Tästä sdn edelleen joten pätee 1 h z+h z F = F(z + h) F(z) = z+h z f (w)dw, F h f (z) = 1 z+h f (w)dw f (z) h z = ( f (w) f (z)) dw 1 z+h f (w) f (z) dw, h z

34 KIRSI PELTONEN kun yllä sijoitettiin h = z+h z Kosk f on oletuksen mukn jtkuv niin pätee f (w) f (z) ɛ(h), missä ɛ(h) 0 kun h 0. Näistä sdn siten F h f (z) 1 ɛ(h) h = ɛ(h) 0, h kun h 0. Stiin siis F (z) = f (z) joten (1) pätee. (2) (3): Olkoon umpininen polku, eli pätee () = (b). Vlitn piste c (, b) j merkitään polun rjoittumpolkuj 1 = [,c], 2 = [c,b]. Nyt pätee f dz = f dz + f dz = f dz f dz = 0, 1 2 1 2 missä viimeinen yhtälö seur oletuksest (2). Tästä seur väite (3). (3) (2): Olkoot nyt 1 j 2 polkuj, joill on sm lku- j loppupiste. Muodostetn umpininen polku = 1 2, jolloin sdn 0 = f dz = f dz + f dz = f dz f dz. 1 2 1 2 dw.

KOMPLEKSIANALYYSI 35 3.2. Jonot j srjt. Jo iemmin trksteltiin kompleksitson C jonoj (z n ): Luse 3.8.. z n c C z n c 0. z n c Re z n Re c j Im z n Im c Todistus. Merkitään z n = x n + iy n j c = + ib. Nyt pätee Näistä epäyhtälöistä väite seur. Luse 3.9. Cuchyn kriteerio jonoille x n, y n b z n c x n + y n b. Olkoon (z n ) jono kompleksilukuj. Tällöin jono suppenee jos j vin jos jokisell ɛ > 0 löytyy luku n 0 N siten, että pätee z n z k ɛ kun n n 0 j k n 0 eli (z n ) on Cuchy-jono. Todistus. Osoitetn ensin, että suppenevt jonot ovt Cuchy-jonoj: Oletetn siis, että pätee z n c j vlitn mielivltinen ɛ > 0. Nyt löytyy n 0 N siten, että pätee z n c ɛ 2 kun n n 0. Jos nyt n n 0 j k n 0, niin sdn z n z k z n c + z k c ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Oletetn kääntäen, että luvut z n = x n + iy n muodostvt Cuchy-jonon. Nyt pätee x n x k = Re(z n z k ) z n z k, joten (x n ) on relinen Cuchy-jono. Olettmll Cuchyn kriteerio relisille jonoille tunnetuksi (L1) sdn x n R. Vstvsti y n b R. Edellisen luseen perusteell z n + ib. Trkstelln seurvksi srj c ν = c 0 + c 1 +, ν=0 joss c ν = ν + ib ν C. Merkitään ossumm n n S n = c ν = ν + i ν=0 ν=0 n b ν = σ n + iτ n. Määritelmä 3.5. Srj ν c ν suppenee jos ossummien jonoll S n on rj-rvo lim S n = c. Tällöin kirjoitetn c = c ν. Luseest 3.8 seur heti ν=0 ν=0

36 KIRSI PELTONEN Luse 3.10. Srj ν c ν suppenee jos j vin jos srjt ν ν j ν b ν suppenevt. Tällöin pätee c ν = ν + i b ν. ν=0 Luse 3.11. Jos srj ν=0 c ν suppenee, niin srjn yleiselle termille c ν pätee c ν 0. Todistus. Väite seur luseest 3.10 j vstvst relisrjojen tuloksest. Luse 3.12. Cuchy srjoille ν=0 Srj ν c ν suppenee jos j vin jos jokist luku ɛ > 0 kohti löytyy luku n 0 N siten, että pätee n+p c ν < ɛ kun n n 0 j p > 0. ν=n ν=0 Todistus. Väite seur luseest 3.9. Määritelmä 3.6. Srj ν c ν suppenee itseisesti, jos srj ν c ν suppenee. Luse 3.13. Jos srj ν c ν suppenee itseisesti niin srj ν c ν suppenee. lisäksi pätee c ν c ν. ν=0 ν=0 Todistus. Pätee n+p n+p c ν c ν, ν=n joten Cuchyn srjkriteerion perusteell srj ν c ν suppenee. Lisäksi kikill n N pätee n n c ν c ν, joten sm pätee myös rj-rvoille. ν=0 Määritelmä 3.7. Olkoon A mielivltinen joukko, f n : A C jono kuvuksi j f : A C. Funktiojono f n suppenee tsisesti joukoss A jos Srj ν f ν ν=n ν=0 sup f n (x) f (x) 0 kun n. x A suppenee tsisesti joukoss A, jos ossummien jono suppenee tsisesti. Luse 3.14. (Weierstrss) Olkoon f ν : A C jono funktioit siten, että pätee f ν (x) M ν kikill x A j srj ν M ν suppenee. Tällöin srj ν f ν suppenee tsisesti joukoss A.

KOMPLEKSIANALYYSI 37 Todistus. Sovelletn kullkin x A mjornttiperitett j todetn, että srj ν=0 f ν (x) suppenee. Merkitään sen summ symbolill g(x). Nyt sdn soveltmll lusett 3.13 epäyhtälö n g(x) f ν (x) = f ν (x) f ν (x) M ν = R n ν=0 ν=n+1 ν=n+1 ν=n+1 kikill n N. Oletuksen perusteell R n 0, joten suppeneminen on tsist joukoss A. Luse 3.15. Olkoon A C, f n : A C jono jtkuvi funktioit siten, että f n f tsisesti joukoss A. Tällöin rjfunktio f : A C on jtkuv. Todistus. Todistetn kuten relinen tpus: Olkon ɛ > 0. Nyt pätee f (z) f (z 0 ) f (z) f n (z) + f n (z) f n (z 0 ) + f n (z 0 ) f (z 0 ) < ɛ, kun vlitn n 0 siten, että yhtäik pätee f (z) f n (z), f n (z) f n (z 0 ), f n (z 0 ) f (z 0 ) < ɛ 3 kun z z 0 < δ j n n 0. (Luku δ > 0 löytyy funktion f n jtkuvuuden perusteell.) Huomutus 3.6. Ehto f n f tsisesti on välttämätön edellä. Esimerkiksi funktiojono f n : x x n välillä [0, 1] suppenee kohti rjfunktiot f : x 0 kun x [0, 1) j f (1) = 1. Luse 3.16. Olkoot funktiot f ν : A C jtkuvi j f ν = g ν=0 tsisesti joukoss A. Tällöin funktio g on jtkuv. 3.3. Rjprosessien kommutointi. 3.3.1. Rj-rvo j integrointi. Luse 3.17. Olkoon : [, b] C (ploittin) säännöllinen polku j jono f n : [, b] C jtkuvi funktioit siten, että f n f : [, b] C tsisesti joukoss [, b]. Tällöin pätee f n dz = f dz j lim n lim n f n dz = f dz. Todistus. Luseen 3.15 perusteell funktio f on jtkuv, joten integrointi on mielekäs. Merkitään δ n = sup f n (z) f (z) <. ([, b] on kompkti!) z [,b] Tsisen suppenemisen perusteell δ n 0, joten sdn f n dz f dz = ( f n f )dz f n f dz δ n dz = δ n l() 0. Toinen väite smoin.