1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
|
|
- Jyrki Parviainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sisältö 1 Kompleksiluvut Määritelmä Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa Käänteisluku ja jakolasku Esimerkkejä Moivre n kaava Eulerin kaava Esimerkkejä Binomiyhtälö Kompleksiluvut 1.1 Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva 1: Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z = (, y) koordinaatteja. Tavalliseen tapaan -akseli voidaan tulkita reaalilukujen joukoksi R. Tällöin -akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja sitä voidaan tarvittaessa merkitä symbolilla R. Pistettä z = (, 0) kutsutaan reaaliluvuksi. Tällöin voidaan merkitä z = R. 1
2 Algebrallisesti R on kunta. Reaaliluvuilla on määritelty yhteenlasku ja kertolasku siten, että tavalliset laskukaavat ovat voimassa. Erityisen mielenkiintoisia ovat tulon merkkisäännöt: kertojan merkki kerrottavan merkki tulon merkki Hämmästyttävää on, että myös negatiivisen luvun neliö on positiivinen. Eräs selitys löydetään laajentamalla R:n laskutoimitukset koko tasoon. Reaalilukujen yhteenlaskun laajentaminen reaaliakselilta koko tasoon on helppoa. Jos z 1 = ( 1, y 1 ) ja z = (, y ) ovat kaksi pistettä, niin summaksi kelpaa tavallinen vektorisumma. z 1 + z = ( 1 +, y 1 + y ) y y 1 + y z 1 + z y y Kuva : Kompleksilukujen summa Jos y 1 = y = 0 eli pisteet ovat reaaliakselilla (ts. ovat reaalilukuja), niin z 1 +z on tavallinen reaalilukujen summa. (Merkitään z =, kun z = (, 0).)
3 Kertolaskun laajentaminen ei ole yhtä helppoa, sillä valmiina ei ole sopivaa vektorituloa. Kertolaskun laajentamista varten esitetään tason pisteet z = (, y) (0, 0) napakoordinaattien r ja ϕ avulla: { = r cos ϕ y = r sin ϕ z = (, y) r ϕ y Merkitään z = (r, ϕ). Tulo on nyt määriteltävissä yksinkertaisella kaavalla Kuva 3: Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys z 1 z = (r 1 r, ϕ 1 + ϕ ). Siis: Pisteiden z 1 ja z etäisyydet origosta kerrotaan keskenään sekä vaihekulmat lasketaan yhteen. Erikoisesti on z 1 z = 0 aina ja vain kun z 1 = 0 tai z = 0. Tarkastellaan reaalilukujen kertolaskua tämän uuden kertolaskun valossa. Olkoon z = (r, ϕ) reaaliluku. Tällöin aina z = r. Lisäksi z = r > 0 ϕ = 0 + nπ z = r < 0 ϕ = π + nπ Jos nyt z 1 = (r 1, ϕ 1 ) ja z = (r, ϕ ) ovat kaksi reaalilukua, niin z 1 z = (r 1 r, ϕ 1 + ϕ ), joten z 1 z > 0 ϕ 1 + ϕ = 0 + nπ ϕ 1 = ϕ = 0 + nπ tai ϕ 1 = ϕ = π + nπ z 1 > 0 ja z > 0 tai z 1 < 0 ja z < 0. Reaalilukujen tulon merkkisäännöt ja uuden kertolaskun määritelmä liittyvät toisiinsa kauniilla tavalla. 3
4 z 1 z = (r 1 r, ϕ 1 + ϕ ) y z = (r, ϕ ) ϕ 1 ϕ z 1 = (r 1, ϕ 1 ) ϕ 1 Kuva 4: Kompleksilukujen tulo y z = (r, ϕ) z = (r, ϕ) ϕ = π + nπ ϕ = 0 + nπ Kuva 5: Puhtaasti reaaliset kompleksiluvut 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa Muodostetaan kertolaskun lauseke y-koordinaateissa. Olkoot z 1 = ( 1, y 1 ), z = (, y ). Silloin Jos merkitään niin r = r 1 r ja ϕ = ϕ 1 + ϕ. 1 = r 1 cos ϕ 1, y 1 = r 1 sin ϕ 1 = r cos ϕ, y = r sin ϕ. z 1 z = (, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ), 4
5 Siis = r 1 r cos(ϕ 1 + ϕ ) = r 1 r cos ϕ 1 cos ϕ r 1 r sin ϕ 1 sin ϕ = (r 1 cos ϕ 1 )(r cos ϕ ) (r 1 sin ϕ 1 )(r sin ϕ ) = 1 y 1 y, Algebrasta tuttu kaava y = r 1 r sin(ϕ 1 + ϕ ) = r 1 r sin ϕ 1 cos ϕ + r 1 r cos ϕ 1 sin ϕ = (r 1 cos ϕ 1 )(r sin ϕ ) + (r cos ϕ )(r 1 sin ϕ 1 ) = 1 y + y 1. z 1 z = ( 1 y 1 )(, y ) = ( 1 y 1 y, 1 y + y 1 ) seuraa siis kertolaskun (geometrisesta) määritelmästä. Algebrassa on tästä kaavasta lähtemällä voitu helposti todistaa, että (R, +, ) on kunta. Sille käytetään merkintää C ja sen alkioita kutsutaan kompleksiluvuiksi. Yhtälöllä z = 1 ei ole tulon merkkisääntöjen nojalla ratkaisua reaalilukujen kunnassa R. Tutkitaan, onko sillä ratkaisua kompleksilukujen kunnassa C. Koska 0 = 0, riittää tarkastella kompleksilukuja z 0. Olkoon z:lla napakoordinaattiesitys z = (r, ϕ). Silloin z = (r, ϕ) ja 1 = (1, π), joten z = 1 { r = 1 ϕ = π + nπ { r = 1 ϕ = π/ + nπ Yhtälöllä z = 1 on siis kaksi ratkaisua { z1 = (0, 1) (n = 0,, 4,...) z = (0, 1) (n = 1, 3, 5,...), missä z = z 1. 5
6 y z z Kuva 6: Yhtälön z = 1 ratkaisut Merkitään i = (0, 1). Silloin i = 1. Lukua i kutsutaan imaginaariyksiköksi, ja y-akselia imaginaariakseliksi. Muotoa z = (0, y) = iy olevia kompleksilukuja kutsutaan puhtaasti imaginaarisiksi. Muistamme, että muotoa z = (, 0) = olevia kompleksilukuja kutsutaan reaalisiksi. Jos niin on z:n reaaliosa ja z = (, y) = (1, 0) + y(0, 1) = 1 + yi = + iy, = Re z y = Im z on z:n imaginaariosa. Molemmat ovat siis reaalisia, joten Lukua z = Re z + iim z. z = (, y) = iy kutsutaan z:n liittoluvuksi eli kompleksikonjugaatiksi. Määritelmistä seuraa, että (z 1 + z ) = z 1 + z z 1 z = z 1 z (z) = z z + z = Re z z z = iim z. 6
7 Jos z = (r, ϕ), niin z = (r, ϕ). Kuvaus z z on peilaus -akselissa. Oliko edellä tehty merkintä z = +iy täysin perusteltu? Olkoon z = (, y) kompleksiluku ja t = (t, 0) reaalinen kompleksiluku. Silloin tz = (t, 0)(, y) = (t 0y, ty + 0) = (t, ty). Jos t 0, on z t = 1 t z. Kompleksiluku kerrotaan (ja jaetaan) reaaliluvulla siis samalla tavalla kuin lineaarialgebrassa vektori kerrotaan (ja jaetaan) reaaliluvulla. Lineaarialgebran tapaan R :ssa käytetään nyt kantaa e 1 = 1 = (1, 0), e = i = (0, 1) ja laskut todellakin on luvallista suorittaa tavallisten algebran kaavojen mukaisesti: z = (, y) = (, 0) + (0, y) = (1, 0) + y(0, 1) = 1 + y i = + iy. Tavallinen algebra sujuu näillä lausekkeilla samoilla säännöillä kuin reaalilukujen algebra. Ainoa ero on, että i = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i i 8 = 1 jne. (Lisäksi on i 0 = 1 ja i 1 = i). Kompleksiluvun z = + iy itseisarvolla eli modulilla z tarkoitetaan vektorin (, y) pituutta z = + y. Jos t > 0, niin tz = t z. Lause 1 z = zz (= z ). Todistus. zz = ( + iy)( iy) = (iy) = + y = z. 7
8 Kompleksiluvun z 0 vaihekulmaa ϕ kutsutaan sen argumentiksi arg z. Näin ollen arg z = arg z = z cos(arg z) y = z sin(arg z) z = z (cos(arg z) + i sin(arg z)) y i z 1 arg z 1 i z Kuva 7: Kompleksiluvun argumentti ja liittoluku Usein merkitään r = z ja ϕ = arg z. Silloin z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Kertolaskun geometrisen määritelmän perusteella z 1 z = z 1 z arg(z 1 z ) = arg z 1 + arg z. Täydellisen induktion periaatteesta seuraa, että z 1 z z n = z 1 z z n arg(z 1 z z n ) = arg z 1 + arg z + + arg z n z 1 z z n = r 1 r r n (cos(ϕ 1 + ϕ + ϕ n ) + i sin(ϕ 1 + ϕ + + ϕ n )). 8
9 1.3 Käänteisluku ja jakolasku. Olkoon z 0. Silloin 1 = z z z = + y i y + y z 1 = z 1z z z = 1 + y 1 y i( 1 y y 1 ) + y = 1 z z 1 = z 1 1 z. Jakolaskussa lukujen hajottaminen reaali- ja imaginaariosiin pidentää lausekkeita huomattavasti. Kaavoista seuraa 1 = z 1 = z z z z 1 z = z = z z = 1 z z 1 z 1 = z z arg 1 z ( 1 ) = arg z z arg z 1 z = arg = arg 1 + arg z = 0 arg z = arg z z ( z 1 1 z ) = arg z 1 + arg 1 z. Kahden kompleksiluvun z 1 0 ja z 0 osamäärä muodostetaan jakamalla itseisarvot keskenään ja vähentämällä nimittäjän argumentti osoittajan argumentista. Kyseessä on siis myös geometrisesti kertolaskulle käänteinen laskutoimitus. 1.4 Esimerkkejä. 1. Suorita jakolasku 1+i 1+i, ts. jaa reaali- ja imaginaariosiin. i i Tehtävä ratkaistaan poistamalla i nimittäjästä. Jos lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, nimittäjään tulee i, joka on reaalinen: 1 + i i = (1 + i)( + i) ( i)( + i) = + 3i 1 5 = i = (1 + i)( + i) (i) = 1 + 3i 5. Vastaavasti a) 1 i = i i( i) = i 9
10 Re 1 i = 0, b) 3+i 1 i Im 1 i = 1 = (3+i)(1+i) (1 i)(1+i) = 3 +5i = 1 + i Olkoon z i. Laske z i 1+iz Ratkaisu: z i 1 + iz = z i ( ) z i 1 + iz = z i 1 + iz 1 + iz z + i 1 iz = z i(z z) 1 + z + i(z z) = 1 Toinen tapa: z i 1 + iz = z i i( i + z) = 1 i = i 4. Olkoon z 1 = 1 + iy 1 ja z = + iy. Silloin Siis Koska on Koska on z 1 = 1 iy 1 z = iy. z 1 + z = z 1 + z. z 1 z = 1 y 1 y + i( 1 y + y 1 ), z 1 z = z 1 z. z 1 = 1 + y 1 y i( 1 y y 1 ) z 1 + y ( z1 z ) = z 1 z. 5. Kolmioepäyhtälö Olkoot a ja b kompleksilukuja. Silloin a + b = (a + b)(a + b) = a + b + ab + ab = a + b + ab + (ab) = a + b + Re ab. 10
11 Vastaavasti a b = (a b)(a b) = a + b ab ab = a + b Re ab. Laskemalla yhteen saadaan hupaisa kaava a + b + a b = ( a + b ) eli suunnikkaan lävistäjien neliöiden summa on kaksi kertaa sivujen neliöiden summa. Koska a = (Re a) + (Im a), on a Re a a, a Im a a. Koska kertolaskun geometrisen määritelmän mukaan ab = ab, on joten ab Re ab ab, a + b a + b + a b = ( a + b ) a + b a + b a b = ( a b ). Tuloksena on tavallinen kolmioepäyhtälö: a b a + b a + b, joka nyt on voimassa myös kompleksiluvuille. Soveltamalla kolmioepäyhtälöä esitykseen z = + iy saadaan y z + y. 1.5 Moivre n kaava. Olkoon z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Silloin z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ). Jos valitaan r = 1, jolloin z = cos ϕ + i sin ϕ, saadaan ns. Moivre n kaava (cos ϕ + i sin ϕ) = cos nϕ + i sin nϕ. 11
12 Kuva 8: Pascalin kolmio Tämä on kätevä moninkertaisten kulmien sinien ja kosinien laskemiseen. Valitaan esim. n = 5. (cos ϕ+i sin ϕ) 5 = cos 5 ϕ+5i cos 4 ϕ sin ϕ 10 cos 3 ϕ sin ϕ 10i cos ϕ sin 3 ϕ+5 cos ϕ sin 4 ϕ+i sin 5 ϕ. Näin ollen cos 5ϕ = Re (cos ϕ + i sin ϕ) 5 = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ sin ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ sin 5ϕ = Im (cos ϕ + i sin ϕ) 5 = sin 5 ϕ 10 cos ϕ sin 3 ϕ + 5 cos 4 ϕ sin ϕ. Näitä voidaan vielä muokata eri muotoihin.sijoitetaan esimerkiksi ensimmäiseen sin ϕ = 1 cos ϕ : cos 5ϕ = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ(1 cos ϕ + 5 cos ϕ(1 cos ϕ) Vastaavasti = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ + 10 cos 5 ϕ + 5 cos ϕ(1 cos ϕ + cos 4 ϕ) = 16 cos 5 ϕ 0 cos 3 ϕ + 5 cos ϕ. cos 3ϕ = Re (cos ϕ + i sin ϕ) 3 = Re (cos 3 ϕ + 3i cos ϕ sin ϕ 3 cos ϕ sin ϕ i sin 3 ϕ) = cos 3 ϕ 3 cos ϕ sin ϕ = cos 3 ϕ 3 cos ϕ(1 cos ϕ) = 4 cos 3 ϕ 3 cos ϕ. Tästä seura esimerkiksi kaava cos 3 ϕ = 1 4 cos 3ϕ + 3 cos ϕ. 4 1
13 Unohtuneet kaavat on helppo johtaa: Koska on cos ϕ + i sin ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ) 1.6 Eulerin kaava. Jos R, niin = cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ = cos ϕ sin ϕ, sin ϕ = sin ϕ cos ϕ. Toisaalta e = 1 + +! + 3 3! + 4 4! + cos = 1! + 4 4! 6 6! + sin = 3 3! + 5 5! 7 7! +. i 1 = i i = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = ijne. Sijoitetaan e :n sarjakehitelmään = iϕ. Silloin e iϕ = 1 + iϕ ϕ! iϕ3 3! + ϕ4 4! + iϕ5 5! ϕ6 6! iϕ7 7! + = cos ϕ + i sin ϕ, joten olemme saaneet ns. Eulerin kaavan e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. 13
14 Tämän perusteella kompleksiluvuilla z, arg z = ϕ, z = r, on esitys z = re iϕ. Moivren kaava saa muodon (e iϕ ) n = e inϕ. 1.7 Esimerkkejä. 1. Laske (1 + i 3) 6 Moivren kaavan avulla. i 3 y = e i π 3 π 3 1 Kuva 9: (1 + i 3) 6 = 6 e i 6π 3 = 6 e πi = 64.. Ratkaise yhtälö z 3 = 1. Merkitään z = re iϕ. Silloin z 3 = r 3 e 3iϕ. Koska e 3iϕ = 1, on z 3 = r 3 e 3iϕ = r 3 = 1 r = 1. z 3 = 1 r = 1 ja e 3iϕ = 1 = e nπi, n = 0, ±1, ±,.... z 3 = 1 ϕ = n π, n = 0, ±1, ±, z 1 = cos 10 + i sin 10 = i z = z 1 = 1 3 i. 14
15 z 1 z 0 = 1 z Kuva 10: Yhtälön z 3 = 1 ratkaisut Tarkastus: ( i )3 = i i( )3 Yleisesti ottaen binomiyhtälön = = 1. z n = 1 juuret ovat yksikköympyrän kehällä. Ne sijaitsevat säännöllisen n-kulmion kärjissä, jonka yksi kärki on pisteessä Ratkaise yhtälö z 4 = 1. Piirretään yksikköympyrä ja sen sisään neliö, jonka yksi kärki on pisteessä z = 1. Juuret ovat neliön kärjissä: z 1 = 1 z = i z 3 = 1 z 4 = i. 4. Laske e iπ. e iπ = cos π + i sin π = 1. 15
16 y z z 1.8 Binomiyhtälö Kuva 11: Yhtälön z 4 = 1 ratkaisut Yleisellä binomiyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä z n = w, missä z on tuntematon ja w annettu kompleksiluku. Edellä käsiteltiin muotoa z n = 1 (1) olevia erikoistapauksia. Jos merkitään z = re iϕ, saadaan (1) muotoon { r = 1 r n e inϕ = 1 nϕ = kπ. Yhtälön (1) juuret ovat siis { r = 1 z k : ϕ = k π, k = 0, ±1, ±,. n Kun k = 0, saadaan triviaali juuri z 0 = 1. Kun k = 1, saadaan niin sanottu n:s yksikköjuuri z 1 = e i π n jolle käytetään merkintää ε n. Koska = cos π n + i sin π n, ε k n = e ik π n = zk, 16
17 voidaan muut (1):n juuret esittää ε n :n potensseina, ja kaikki ε n :n potenssit ovat (1):n juuria. Yhtälöllä (1) on täsmälleen niin monta juurta kuin ε n :llä on eri potenssia. Nämä ovat ε 0 n = 1 ε 1 n = ε n ε ṇ sillä. ε n 1 n ε n n = e in π n = e πi = 1 ε n+1 n = ε n ε n+ n = ε n jne. (Kun lasketaan pelkästään luvuilla ε n k, joiden moduli =1, on kertolasku pelkkää argumenttien yhteenlaskua.) Binomiyhtälöllä (1) on täsmälleen n kpl eri juurta. Nämä sijaitsevat kompleksitasossa sen säännöllisen n-kulmion kärjissä, jonka yksi kärki on pisteessä z = 1 ja keskipiste on origossa. y ε 8 ε 3 8 ε 8 ε 4 8 ε 8 8 = 1 = ε 0 8 ε 5 8 ε 6 8 ε 7 8 Kuva 1: Yhtälön z 8 = 1 ratkaisut Esimerkki. Olkoon a yhtälön 1 + z + z + z 3 + z 4 = 0 () 17
18 Kuva 13: Kuva 14: juuri. Osoita, että myös a on yhtälön juuri. Ratkaisu: Koska ja z = 1 ei ole ():n juuri, on 1 z 5 = (1 z)(1 + z + z + z 3 + z 4 ) 1 + z + z + z 3 + z 4 = 0 z 5 = 1, z 1. Näin ollen a = ε k 5 jollakin k = 1,, 3, 4. Tällöin a 1. Toisaalta a = ε k 5 on yhtälön z 5 = 1 juuri. Siis a on ():n juuri. Sama tehtävä ei onnistu, jos astelukua nostetaan yhdellä: (1 + z + z + z 3 + z 4 + z 5 )(1 z) = 1 z 6. a = 1 on yhtälön 1 + z + z + z 3 + z 4 + z 5 = 0 juuri, mutta a = 1 ei ole. Siirrymme nyt yleiseen binomiyhtälöön z n = w = ρe iψ, ψ > 0. (3) Sijoituksella z = re iϕ saadaan { r r n e inϕ = ρe iψ n = ρ nϕ = ψ + kπ, k = 0, ±1, ±,.... Yhtälöllä (3) on juuret { r = n ρ z k : ϕ = ψ + k π, k = 0, ±1, ±,.... n n Merkitään Silloin muut juuret ovat z 0 = n ρe i ψ n. z 1 = z 0 ε n z = z 0 ε n. z n 1 = z 0 ε n 1 n 18
19 Kuva 15: Kuva 16: Juuret z 0,..., z n 1 sijaitsevat sen säännöllisen n-kulmion kärjissä, jonka yksi kärki on pisteessä z 0 ja keskipiste on origossa. Esimerkki. Yhtälön z 4 = 1 = e iπ juuret ovat z 0 = e i π 4 = + i eli z = z 0, z 3 = z 0, ja z 1 = z 0. z 1 = + i z = i z 3 = i 19
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotVII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotAnalyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotKompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotKompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
Lisätiedot2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio
2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotKaikki tarpeellinen kompleksiluvuista
Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotKolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
LisätiedotKompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division
Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut
LisätiedotSisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...
Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
Lisätiedot1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Esa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotMat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö
Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun
LisätiedotYksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,
Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen
Lisätiedot(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,
LisätiedotSimo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012
Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)
LisätiedotKompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
LisätiedotLukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto. 13. syyskuuta 2009
Lukualueet Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos 00014 Helsingin yliopisto 13. syyskuuta 2009 Johdanto. Tämä kurssi on lyhyt johdatus kompleksilukujen alkeisominaisuuksiin siinä
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.
17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
Lisätiedot1 Analyyttiset funktiot
Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien
SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että
LisätiedotValintakoe
Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..
LisätiedotKompleksiluvut. Johdanto
Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
LisätiedotLukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto
Lukualueet Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos 00014 Helsingin yliopisto Johdanto. Tämä kurssi on lyhyt johdatus kompleksilukujen alkeisominaisuuksiin siinä laajudessa kuin niitä
Lisätiedot1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat
Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
LisätiedotKompleksilukujen kunnan konstruointi
Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotNELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotKOMPLEKSILUVUISTA. y. x 2 + y 2
Matematiikan olympiavalmennus KOMPLEKSILUVUISTA 1 Perusteoriaa ja geometriaa 1.1 Kompleksilukujen määritelmä ja perusalgebraa 1. Joukossa R = {(x, y) x R, y R} määritellään yhteen- ja kertolasku kaavoilla
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotKompleksianalyysi I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi Kari Astala
Kompleksianalyysi I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2016 Kari Astala Teksti hyödyntää myös Pekka Niemisen ja Ritva Hurri-Syrjäsen aikaisempia muistiinpanoja. Kuvat:
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia
Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotSisältö. 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi
Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi Kompleksiluvut C Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (a, b)
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotTrigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Lisätiedot5. lukujonot ja sarjat.
5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotFunktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009
Funktioteoria I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Kari Astalan muistiinpanoista (2005) muokannut Pekka Nieminen Kuvat: Martti Nikunen Funktioteorian eli kompleksianalyysin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
Lisätiedot