4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Fourier esitti v. 1807 idean, että laskien yhteen jaksollisia painotettuja funktioita voidaan esittää kuinka tahansa monimutkainen jaksollinen funktio. Kuva 4.1. esittää tällaista. Jaksolliset funktiot ovat yleensä sini- tai kosini-funktioilla rakennettuja. Kun tietokoneet kehittyivät laskentateholtaan 1960-luvun kuluessa ja kun erityisesti Cooley ja Tukey esittivät 1965 nopean Fouriermuunnoksen algoritminsa (FFT), Fourier-muunnoksesta tuli varsin merkittävä menetelmäjoukko signaalin- ja kuvanprosessointiin. Kuva 4.1. Jaksollinen funktio alinna on muodostettu neljän ylimmän painotettuna summana. Taajuusalueen suodatus 199 Taajuusalueen suodatus 200 4.2. Perusteita Lähdetään tarkastelemaan suppeasti Fourier-muunnosten perustana olevia käsitteitä ja lähtökohtia. Aluksi pohditaan jatkuvia, yksiulotteisia funktioita, joista siirrytään diskreetteihin kaksiulotteisiin, kuviin. Kompleksiluku ja sen kompleksikonjugaatti määritellään C = R+jI ja C* = R-jI, joissa R on reaali- ja I imaginaariosa (j imaginaarimuuttuja). Käytetään myös napakoordinaattiesitystä C = C (cos + j sin ), Saadaan kulmalle, että tan = (I /R), ts. = arc tan(i /R). Eulerin kaava määrittää e = cos + j sin, jossa e=2.71828. Tällöin kompleksiluku on kirjoitettavissa seuraavassa muodossa, jossa C ja ovat edeltä. C = C e Kompleksisen funktion F(u) itseisarvo on F(u) = (R(u) 2 + I(u) 2 ) 1/2. jossa itseisarvo C =(R 2 + I 2 ) 1/2 on kompleksitason vektorin pituus. Taajuusalueen suodatus 201 Taajuusalueen suodatus 202
Esitetään yhden muuttujan, jatkuvan funktion f(t) Fourier-muunnos. Kun lasketaan kuvan 4.2. yksinkertaisen funktion Fourier-muunnos, saadaan funktio, joka jatkuu äärettömyyteen kummassakin suunnassa. Fourier-käänteismuunnos on oheinen. Eulerin kaava antaa seuraavan muodon. Tämä tyyppiä sin( m)/ m on nimeltään sinc-funktio, jonka itseisarvoesitys on Fourierin spektri eli taajuusspektri. Kuvan 4.2.(a) laatikkofunktio kuvautuu väheneviksi lohkoiksi edeten origosta kohti äärettömyyttä. Aiemmin mainittu konvoluutio on tärkeä muunnosten yhteydessä. Taajuusalueen suodatus 203 Taajuusalueen suodatus 204 Symbolilla t viitataan spatiaaliseen alueeseen ja taajuusalueeseen. Konvoluution yhteydessä näillä on olemassa määrätty yhteys. Tämän esittää konvoluutioteoreema. (a) (b) (c) Kuva 4.2. (a) Laatikkofunktio, (b) tämän Fourier-muunnos ja (c) spektri. Kaksoisnuoli tarkoittaa, että oikean puolen lauseke saadaan ottamalla Fourier-muunnos vasemman puolen lausekkeesta, kun taas vasemman puolen lauseke saadaan ottamalla Fourierkäänteismuunnos oikeasta puolesta. Teoreeman toinen osa esittää vielä seuraavan, ts. taajuusalueen konvoluutio vastaa spatiaalisen alueen kertomista. Taajuusalueen suodatus 205 Taajuusalueen suodatus 206
4.3. Näytteistys ja näytteistettyjen funktioiden Fouriermuunnos Jatkuvat funktiot on muutettava diskreeteiksi numeerista laskentaa varten. Tätä varten vaaditaan näytteistystä ja kvantisointia. Kuvan 4.3.(a) funktio f(t) näytteistetään tasavälein T osan (b) osoittamien impulssien kohdasta, jolloin saadaan funktion approksimaatio osissa (c) ja (d). Saadaan siis näytteet f(k T), k=, -2, -1, 0, 1, 2,. Tätä varten muodostetaan impulssijonon Fourierin muunnos Kuva 4.3. (a) Jatkuva funktio, (b) impulssijono, jonka mukaan (c) on näytteistetty ja (d) saaden näytteet näytteenottovälein T. a b c jossa yhtä impulssia vastaava Kroneckerin funktio (x)=1 silloin ja vain silloin, kun x=0 ja muuten se on yhtä kuin 0. Tällöin saadaan seuraava konvoluutio, jolle on kuvassa 4.4.(c) rajatapaus. d Taajuusalueen suodatus 207 Taajuusalueen suodatus 208 a Kuva 4.4. (a) Kaistarajoitetun funktion Fouriermuunnos ja vastaavien näytteistettyjen funktioiden muunnokset (b) ylinäytteistyksen, (c) kriittisen näytteistyksen sekä (d) alinäytteistyksen tilanteissa. b c d On olennaista, että näytteistetty funktio (diskreetti signaali) on palautettavissa yksikäsitteisesti näytteistään, ts. ettei saatu approksimaatio edusta useampaa kuin yhtä funktiota. Kun funktion Fourier-muunnos on välin [- max, max ] ulkopuolella yhtä kuin 0, kuten kuvassa 4.4.(a), kyseessä on kaistarajoitettu funktio. Vastaavasti on kuvassa 4.5.(a), joka on suurennos kuvasta 4.4.(a). Näytteenottofrekvenssiä 1/ T pienempi arvo sulauttaa jaksoja yhteen, kun taas suurempi erottaa jaksot toisistaan. Tällöin tulee kriittisen näytteistyksen kohdalta tulos joka on ehtona riittävän tiheälle näytteistykselle, jotta funktion muoto olisi palautettavissa näytteistä. Taajuusalueen suodatus 209 Taajuusalueen suodatus 210
Kuva 4.5. (a) Kaistarajoitetun funktion muunnos ja (b) muunnos, joka on saatu kriittisesti näytteistämällä sama funktio. a b Edellinen tulos tunnetaan nimellä näytteenottoteoreema, jonka esitti Harry Nyquist 1928 ja todisti muodollisesti Claude E. Shannon 1949. Voidaan esittää myös käänteisesti, että näytteistämällä signaalia taajuudella 1/ T aikaansaatava maksimitaajuus on max = 1/2 T. Tämä rajataajuus on Nyquistin taajuus. On syytä huomata, että käytännössä näytteenottotaajuuden tulee olla korkeampi. Kuva 4.6. havainnollistaa, miten F( ) saadaan palautettua. Kuva 4.6.(a) esittää Fourier-muunnosta funktiolle, joka on näytteistetty hivenen Nyquistin taajuutta suuremmalla taajuudella. Kuvassa 4.6.(b) on annettu ikkunafunktio, jolla kerrotaan muunnos. Ikkunafunktio on ideaalinen alipäästösuodin (voidaan vain approksimoida), kun siinä on äärettömän nopea muutos ikkunan alussa ja lopussa. Tuloksena saadaan kuva 4.6.(c), joka muunnetaan lopuksi käänteismuunnoksella funktioksi f(t). Taajuusalueen suodatus 211 Taajuusalueen suodatus 212 a b c Mitä tapahtuu, jos kaistarajoitettu funktio näytteistetään pienemmällä taajuudella kuin kaksi kertaa funktion korkein taajuus? Tämä vastaa alinäytteistettyä tilannetta kuvissa 4.4.(d) ja 4.7.(a). Jaksot ovat päällekkäin, jolloin ei voida erottaa niitä toisistaan riippumatta käytettävästä suotimesta. Esim. kuvan 4.7.(b) ideaalinen alipäästösuodin tuottaisi kuvan 4.7.(c) tuloksen, sillä muunnos oli viereisten jaksojen korruptoima. Ilmiö on nimeltään laskostuminen (aliasing), jossa korkeat taajuuskomponentit häiritsevät alempia näytteistetyssä funktiossa. Kuva 4.6.(a) Funktion Fourier-muunnos, (b) kaistarajoitettu ikkuna ja (c) näiden tulo. Periaatteessa laskostuminen on aina läsnä näytteistetyissä signaaleissa, koska niitä ei voida näytteistää äärettömän pienellä intervallilla (jatkuvana). Käytännössä pitää näytteenottotaajuus nostaa riittävän korkealle, jotta olennainen informaatio eli kiinnostavat taajuudet saadaan signaalista esiin. Taajuusalueen suodatus 213 Taajuusalueen suodatus 214
a b c Laskostuminen voidaan kuitenkin vaimentaa toimenpiteellä, jota voidaan kutsua vastalaskostumiseksi (anti-aliasing). Käytännössä siis tasoitetaan korkeita taajuuksia suodattamalla niitä ennen näytteistystä, koska laskostus on seuraus näytteistyksestä eikä sitä voida laskennallisesti perua jälkikäteen. Esisuodatusta varten mitta- ja kuvauslaitteissa on analogiasuodattimia, jotka suodattavat jatkuvaa signaalia (funktiota). Lisäksi monesti on tarpeen suodattaa vielä digitaalisesti näytteistyksen jälkeenkin kohinaa ym. pois. Kuva 4.7.(a) Alinäytteistetyn, kaistarajoitetun funktion Fouriermuunnos, (b) ideaalinen alipäästösuodin, (c) edellisten tulo. Vierekkäisten jaksojen häiritseminen aiheuttaa laskostumisen, joka estää F( ):n täydellisen palauttamisen. Kuva 4.8. esittää klassisen laskostumisesimerkin. Puhdas siniaalto käsittää ainoastaan yhden taajuuden. Oletetaan siniaallolla olevan pohjanaan sin( t) ja vaaka-akselin vastaavan aikaa t sekunneissa, jolloin funktio leikkaa akselin kohdissa t=, -1, 0, 1, 2, sekunnin välein. Taajuusalueen suodatus 215 Taajuusalueen suodatus 216 Signaali voidaan palauttaa näytteistään, kun näyttenottotaajuus 1/ T on vähintään kaksi kertaa signaalin korkein taajuus. Kuvassa 4.8. mustat pisteet edustavat liian alhaista näytteenottotaajuutta, jolloin saadaan näytteistä esiin virheellisesti pitempiaaltoista siniä eli todellista matalampaa taajuutta. Kaistarajoittuneen signaalin rekonstruktio eli palautus voidaan tehdä seuraavasti sinc-funktion avulla. Taajuusalueen suodatus 217 Kuva 4.8. Mustat pisteet edustavat alinäytteistettyä sinisignaalia, sillä näytteenottotaajuus 1/ T on pienempi kuin sinin taajuus, ts. näytteitä on otettu intervallilla T, joka on pidempi kuin yksi siniaalto. Jotta todellinen signaali saadaan näytteistyksessä esiin, pitää näytteistää selvästi suuremmalla taajuudella eli pienemmällä näytteenottovälillä kuin puoli aallonpituutta. Taajuusalueen suodatus 218
4.4. Yhden muuttujan diskreetti Fourier-muunnos Jatkuvan funktion muunnoksesta on johdettavissa diskreetti Fouriermuunnos (DFT). Tämä ja käänteismuunnos ovat seuraavat. 4.5. Laajennus kahden muuttujan funktioihin Lähtien liikkeelle kuvan 4.9. yksittäisestä impulssista tasossa voidaan johtaa yhden muuttujan tapauksen laajennuksena kahden jatkuvan muuttujan Fourier-muunnos ja tämän käänteismuunnos. Kun f(x) käsittää kaikkiaan M funktion f(t) näytettä näytteistettynä T:n välein, saadaan signaalin kestoksi tai pituudeksi M T. Tällöin vastaava väli taajuusalueessa on seuraava. M komponentin kattama koko taajuusalue DFT:ssä on M kertaa edellinen eli 1/ T. DFT:n taajuusresoluutio on u. Taajuusalueen suodatus 219 Kuva 4.10. on puolestaan analoginen kuvan 4.2. laatikkofunktiolle ja kuvaukselle. Taajuusalueen suodatus 220 (a) (b) Kuva 4.9. Kaksiulotteinen diskreetti yksikköimpulssi, joka on yhtä kuin 0 muualla kuin pisteessä (x 0,y 0 ). Kuva 4.10. (a) 2D-funktio ja (b) sen spektri. Kun laatikko on pidempi t-akselin suunnassa kuin z-akselin, spektri on vastaavasti -akselin suunnassa. Taajuusalueen suodatus 221 Taajuusalueen suodatus 222
Kaksiulotteisessa tapauksessa näytteenottoteoreema tarkastelee kaistarajoittunutta funktiota f(t,z) muuttujien alueella eli väleillä [- max, max ] ja [- max, max ]. Tällöin funktio on palautettavissa näytteistään, jos näytteenottovälit ovat eli taajuuksina vastaavasti. Kuva 4.11. on analoginen kuvan 4.4. kanssa yli- ja alinäytteistyksen suhteen. (a) (b) Kuva 4.11. Kaksiulotteinen Fourier-muunnos (a) yli- ja (b) alinäytteistetyssä tilanteissa kaistarajoitteisella funktiolla. Taajuusalueen suodatus 223 Taajuusalueen suodatus 224 Havainnollistetaan laskostumisilmiötä kuvien yhteydessä. Olkoon kuvan koko 96 96 pikseliä, jossa on digitoitu šakkilautaruutuja. Tällöin voitaisiin kuvata enimmillään 96 96 ruutua kunkin pikselin vastatessa yhtä ruutua. Kuvassa 4.12. esitetään, mitä tapahtuu, jos ruutu olisi vieläkin pienempi. Aluksi kuva 4.12.(a) ja (b) esittävät tilanteet, joissa ruudun koko sivultaan on 16 ja 6 pikseliä, jolloin kuvat ovat odotetun näköiset. Kuvassa 4.12.(c) se on vähän pienempi kuin 1 pikseliä. Tällöin tapahtuu huomattava laskostuminen. Kuvassa 4.12.(d) ruudun koko sivultaan on hieman pienempi kuin 0.5 pikseliä. Nyt kuva näyttää harhaisesti mielekkäältä, mutta todellisuudessa siinä on paha laskostuminen syyn ollessa analoginen kuvan 4.8. mustien pisteiden antamalla liian alhaiselle aallonpituudelle. Kuva 4.12. Kuvien laskostuminen. (a) Ruudun koko sivun suhteen 16 ja (b) 6 pikseliä sekä (c) 0.9174 (selvä laskostuminen) ja (d) 0.4798 pikseliä (harhauttava laskostuminen mataliin taajuuksiin). Taajuusalueen suodatus 225 Taajuusalueen suodatus 226
Laskostumista havainnollistetaan vielä kuvassa 4.13., jossa on osassa (a) alkuperäinen kuva. Tässä on tarkoituksella henkilön vaatteissa hienojakoisia samansuuntaisia linjoja. Kuvissa 4.13. (b) ja (c) kokoa on ensin pienennetty 50 % ja sitten pikseleitä kopioimalla suurennettu takaisin, jotta vertaaminen alkuperäiseen osaan (a) on helppoa. Kuvassa 4.13.(b) näkyy selvää laskostumista, erityisesti henkilön polvissa. Kuvassa 4.13.(c) laskostuminen on saatu kuriin suodatuksen avulla. Kuva 4.13. (a) Alkuperäinen kuva, joka on pienennetty (b) 50 %:lla esim. poistamalla joka toinen rivi ja sarake ja pikseleitä kopioimalla suurennettu tarkastelua varten entiseen kokoonsa ja (c) lopuksi suodatettu 3 3-keskiarvoistuksella ennen uudelleen suurennusta. Taajuusalueen suodatus 227 Taajuusalueen suodatus 228 On olemassa artefakta nimeltä moire-hahmo, jonka voi nähdä optisesti päällekkäin asetetuissa ristikoissa, esim. hyttysverkoissa. Se esiintyy digitaalisissa kuvissa skannauksen yhteydessä (monissa tämän luentomateriaalin kuvissakin). Kun esim. skannataan kuvaa ja kuvassa on jaksollisia raitoja tai välejä, jotka ovat suhteessa digitaaliseen kuvaan tätä muodostettaessa, voi syntyä näennäinen moire-vaikutus. Kuva 4.14. on esimerkki, jossa kahden ristikon päällekkäisyys luo olematonta jaksollisuutta. Sanomalehdet (75 dpi) ja muut painotuotteet (esim. 133 tai 175 dpi) käyttävät mustia pisteitä tai ellipsejä, joiden kokoa ja liitoksia käyttämällä simuloidaan harmaasävyjä. Skannattaessa kuvia painotuotteista nämä pisteet näkyvät enemmän tai vähemmän (kuva 4.15.). Kun tarkkuutta on nostettu arvoon 400 dpi, ilmiö ei esiinny niin herkästi (tässä skannauksen skannauksessa kyllä), mutta on nähtävissä selvästi osasuurennoksessa kuvassa 4.16. Kuva 4.14. Esimerkki moire-vaikutuksesta. Asetettaessa erilliset viivaristikot päällekkäin näyttää syntyvän jaksollisuutta, jota ristikoissa ei kuitenkaan ole todellisuudessa. Taajuusalueen suodatus 229 Taajuusalueen suodatus 230
Kuva 4.15. Kun sanomalehtikuvaa on skannattu (ja skannattu kuva on vielä skannattu tätä esitystä varten), kuvassa harmaasävyjen simuloimiseksi käytetyt pisteet aiheuttavat rakeisuutta, jota ei alkuperäisessä kuvassa ole ollut. Kuva 4.16. Kuvan osasuurennoksessa olematon rakeisuus tulee skannauksen jälkeen silmiinpistävästi esiin. Taajuusalueen suodatus 231 Taajuusalueen suodatus 232 Diskreetti kaksiulotteinen Fourier-muunnos (DFT ja tämän käänteismuunnos (IDFT) ovat kuvalle kokoa M N seuraavat. (1) Kaksiulotteisen DFT:n ollessa kompleksifunktio se on esitettävissä napakoordinaatistossa muodossa jossa itseisarvoa kutsutaan Fourier- tai taajuusspektriksi ja on vaihekulma. Tehospektri on neliömuoto, jolla kuvataan kuvan taajuusinformaatio. Taajuusalueen suodatus 233 Taajuusalueen suodatus 234
Kaavasta (1) s. 233 seuraa, että a b ts. 0-taajuinen termi on suhteessa f(x,y):n keskiarvoon. Kun suhdekerroin MN on yleensä suuri, F(0,0) on tyypillisesti spektrin suurin komponentti. Kun taajuuskomponentit u ja v ovat nollia origossa, F(0,0):aa kutsutaan myös dc-komponentiksi (direct current eli tasavirta, jossa taajuus on 0). c d Kuvassa 4.17.(a) on yksinkertainen kuva, jonka spektri on skaalattu lukuvälille [0,255] ja esitetään kuvana 4.17.(b). Muunnoskuvan origossa (siirretty keskelle) on kirkkain piste (ei tosin näy) ja samoin kuvan kulmissa (näkyvät huonosti), mikä aiheutuu jaksollisuudesta. Kuva 4.18. osoittaa, kuinka spektri on epäherkkä translaatiolle (siirto), mutta ei rotaatiolle (kierto). Kuvien 4.17. (d) ja 4.18.(b) spektrit ovat samat, mutta vaihekulmat kuvassa 4.19. eri. Taajuusalueen suodatus 235 Kuva 4.17.(a) Kuva, jossa on vain valkoinen suorakulmio mustalla taustalla, (b) kuvan spektri, (c) joka on keskitetty (kerrottu kuva arvoilla (-1) x+y ennen muunnosta) spektri ja (d) logaritmisen muunnoksen jälkeen yksityiskohdat näkyvät edellistä paremmin. Taajuusalueen suodatus 236 a b c d Kuva 4.18. Edellisen kuvan suorakulmiota on tässä siirretty, vastaava spektri, (c) rotatoitu kuva ja (d) tämän spektri. Taajuusalueen suodatus 237 Kuva 4.19. (a) Vaihekulmataulukko vastaten (a) kuvaa 4.17.(a), (b) siirrettyä kuvaa kuvassa 4.18.(a) ja (c) rotatoitua kuvassa 4.18.(c). Vaihekulma ei anna erityisemmin visuaalista informaatiota, esim. saattaisi kuvitella (a):n vastaavan kuvaa 4.18.(c), mutta näin ei ole. Vaihekulmainformaatio ei myöskään muunnoksen käytön kannalta ole tavallisesti lainkaan tarpeellista. Olennaista on silti suodatus, joka ei muuttaisi vaihekulmaa ollenkaan, koska tällä voi olla epätoivottuja (vääristäviä) vaikutuksia kuvaan. Taajuusalueen suodatus 238
4.6. Taajuusalueen suodatuksen perusteet Em. konvoluutioteoreema yleistyy kaksiulotteiseen tilanteeseen seuraavasti jossa x=0,1,2,,m-1 ja y=0,1,2,,n-1. Tämä ilmaistaan lyhyemmin ja kääntäen seuraavasti. Taajuusalueen suodatus 239 Kuten aiemmin on esitetty, taajuusalueen suodatuksen idea on aluksi laskea kuvan muunnos, muokata tätä muunnosavaruudessa ja lopuksi käänteismuunnoksella muuntaa takaisin spatiaaliselle alueelle. Vaiheinformaatio ei ole yleensä visuaalisesti kovin hyödyllistä. Sen sijaan spektri kuvaa paremmin kuvan ominaisuuksia. Kuvassa 4.20.(a) on (viallisen) integroidun piirin 2500-kertainen elektronimikroskooppikuvan suurennos. Kuvana siinä on kiinnostavaa selvät viivat, jotka ovat noin 45 kulmassa toisiinsa nähden ja valkoinen (lämpövirheen aiheuttama) oksidipurkauma. Kuvassa 4.20.(b) on vastaava spektri, jossa pystysuora vaalea, vähän vinossa oleva komponentti on valkoisen alueen rajojen aiheuttama. Taajuusalueen suodatus 240 Yleisesti suodatus on esitettävissä abstraktiona oheisella tavalla. Tässä F(u,v) oli M N-kuvan f(x,y) diskreetti Fourier-muunnos (DFT), H(u,v) suodinfunktio eli suotimen siirtofunktio, U -1 käänteismuunnos (IDFT) ja g(x,y) suodatettu tuloskuva. F, H ja g ovat M N-taulukoita, jotka on laskettu taulukkokertomisina. Kun H:n tulee olla symmetrinen keskipisteen suhteen, tämän aikaansaamiseksi kuva-alkiot on aluksi kerrottu arvolla (-1) x+y. (Monet ohjelmat eivät kuitenkaan tee näin, esim. Matlab, jolloin näissä suodinfunktiot on järjestetty uudelleen vastaamaan tilannetta, että origo on vasemmassa yläkulmassa.) Kuva 4.20. (a) Viallisen integroidun piirin suurennoskuva, jossa on muusta väristä erottuva valkoinen oksidipurkauma, ja (b) edellisen spektri. Esimerkkinä suodatuksesta kuvan 4.20.(a) spektrissä on dckomponentti asetettu 0:ksi, jolloin kuva tummentuu kuvaksi 4.21. Taajuusalueen suodatus 241 Taajuusalueen suodatus 242
Muunnoksen matalat taajuudet liittyvät kuvan hitaasti muuttuviin intensiteettikomponentteihin, kuten huoneen seinät tai pilvetön taivas. Sitä vastoin korkeat taajuudet syntyvät terävien intensiteettimuutosten takia, kuten rajat tai kohina. Korkeita taajuuksia vaimentava ja alhaiset sellaisenaan läpi päästävä alipäästösuodin (lowpass filter) sumentaa eli tasoittaa kuvaa, kun taas alhaiset taajuudet vaimentava ja korkeat läpi päästävä ylipäästösuodin (highpass filter) terävöittää kuvaa, mutta vähentää myös kontrastia. Kuva 4.21. Edellinen kuva on muunnettu asettamalla F(M/2,N/2)=0. Taajuusalueen suodatus 243 Kuva 4.22 esittää esimerkin. Huomaa samanlaisuus kuvien 4.21. ja 4.22.(b) välillä. Kuvassa 4.22.(c) on pohjaa nostettu pienen vakion a verran, jolloin dc-komponentti ei ole enää 0, mutta kuva silti terävöityy. Taajuusalueen suodatus 244 Suotimet, jotka vaikuttavat muunnoksen reaali- ja imaginaariosiin samalla tavalla, ts. eivät vaikuta vaiheeseen mitenkään, ovat nollavaihesiirtoisia (zero-phase-shift), joka yleensä on toivottava piirre. Muunlaisia ei tässä materiaalissa käsitelläkään. Kuva 4.22. Ylärivi: alipäästösuotimen ja kahden ylipäästösuotimen taajuusalueen kertoimet pintakuvina esitettyinä (kertoimen suuruus on yhtä kuin pinta-alkion amplitudi eli pystyakselin arvo). Alarivi: kuva 4.20.(a) suodatettu näillä. Kuva 4.23. havainnollistaa, kuinka vaihekulman pienikin muutos saattaa vaikuttaa kuvaan huomattavasti, tavallisesti epätoivotulla tavalla. Siinä kuvalle 4.20.(a) on tehty skalaarimuutos kertomalla vaihekulmataulukko vakiolla 0.5 muuttamatta F(u,v) :tä ja laskemalla käänteismuunnos. Tuloksena on kuva 4.23.(a). Vaikka kuvan perusmuodot eivät muuttuneet, intensiteettijakauma on häiriintynyt. Kun vakiokerroin oli pienempi, 0.25, saatiin merkittävästi alkuperäisestä muuttunut kuva 4.23.(b). Taajuusalueen suodatus 245 Taajuusalueen suodatus 246
Esitetään yhteenvetona, kuinka kuva voidaan suodattaa taajuusalueella. (a) (b) Kuva 4.23. (a) Vaihekulmataulukko on kerrottu vakiolla 0.5 ja (b) 0.25 ennen käänteismuunnosta. Spektri ei muuttunut kummassakaan. (1) Syötekuva f(x,y) olkoon kokoa M N. Zero-padding- tai vastaavaa kuvan laajentamista varten määrätään laajennettu koko, usein P=2M ja Q=2N. (Laajennus on tarpeen, jotta kuvan reuna-alueetkin voidaan suodattaa.) (2) Muodostetaan laajennettu kuva f p (x,y) kokoa P Q lisäämällä tarpeelliset nollat taulukkoon. (3) Kerrotaan f p (x,y) arvoilla (-1) x+y muunnoksen keskistämiseksi. (4) Lasketaan DFT-muunnos eli F(u,v). (5) Generoidaan suotimen reaalinen, symmetrinen siirtofunktio H(u,v) kokoa P Q keskipisteenään (P/2,Q/2). Muodostetaan tulo G(u,v) = H(u,v)F(u,v) taulukkokertomisella. Taajuusalueen suodatus 247 Taajuusalueen suodatus 248 a b c (6) Saadaan prosessoitu kuva d e f jossa valitaan reaaliosa ja sivuutetaan kompleksiosa. (7) Kuva g(x,y) saadaan tuloksena ottamalla vasen M N-yläneljännes kuvasta g p (x,y). g h Kuva 4.24. esittää esitettyä menettelyä. Zero padding -operaatiota käyttävä alipäästösuodin aiheuttaa tuloskuvaan 4.24.(h) (heikosti erottuvan) tumman reunan. Huomattakoon, ettei zero padding tai vastaava laajennus ole täysin välttämätön. Jos laajennusta ei tehdä, silloin kuitenkin kuvasta leikkautuu reunaa pois (suodatusta ei voi tehdä reunan yli) eli tuloskuva on alkuperäistä pienempi. Taajuusalueen suodatus 249 Kuva 4.24. (a) M N-kuva f, (b) laajennettu kuva (zero padding) f p kokoa P Q, (c) tämä on kerrottu arvoilla (-1) x+y, (d) jolloin spektri tulee kuvan keskelle, (e) Gaussin alipäästösuodin H, (f) tulo HF p, (g) (-1) x+y :n ja HF p :n reaaliosan käänteismuunnoksen tulo g p ja (h) lopullinen tulos g, joka on saatu leikkaamalla ensimmäiset M riviä ja N saraketta. Taajuusalueen suodatus 250
4.7. Kuvan tasoittaminen Kuvan tasoittaminen (sumentaminen) alipäästösuodattaa reunoja ja muita teräviä intensiteettimuutoksia, kuten kohinaa. Tarkastellaan kolmea tyyppiä: ideaali, Butterworth- ja Gaussin alipäästösuodin. Ideaali alipäästösuodin päästää vaimentamatta taajuudet, jotka ovat origosta enintään säteen D 0 etäisyydellä ja leikkaa muut pois. Tässä D 0 >0 ja D(u,v) on taajuusalueen pisteen (u,v) ja keskipisteen välinen etäisyys, ts. (2) Kuva 4.25. esittää ideaalia alipäästösuodinta. Tällaista terävää transitiopistettä (H(u,v)=1 ja sitten välittömästi 0), katkaisutaajuutta (cutoff), ei voida elektronisissa komponenteissa toteuttaa, mutta voidaan ei-fysikaalisena kuitenkin laskennallisesti simuloida. Kuva 4.26. esittää testikuvan spektreineen. Kuva 4.27. esittää suodatustuloksia, joita kuvan 4.26.(b) eri katkaisutaajuudet antoivat. Ideaali suodin on ideaali vain muotonsa puolesta. Käytännössä se on aika huono, sillä kuvan 4.28. mukaan siinä esiintyy (käyrässä) soivia sivulohkoja eli aaltoja. Sitä tarkasteltiin ikään kuin suotimen perusmuotona. Yleensä parempia ovat mm. Butterworth-suotimet. jossa P ja Q on laajennettu aiempaan tapaan. Taajuusalueen suodatus 251 Taajuusalueen suodatus 252 Kuva 4.25.(a) Ideaalisen alipäästösuotimen transitio- eli siirtofunktion perspektiivikuva, (b) suodin kuvana ja (c) suotimen halkileikkaus. Kuva 4.26.(a) 688 688-testikuva ja (b) tämän spektri, johon asetettujen ympyröiden (ideaalinen suodin) säteet ovat 10, 30, 60, 160 ja 460. Säteet kattavat 87.0-99.2 % laajennetun kuvan tehospektristä (ei sen kuvasta, vaan taajuusvasteesta). Taajuusalueen suodatus 253 Taajuusalueen suodatus 254
Kuva 4.27.(a) Alkuperäinen kuva ja (b)-(f) suodatustulokset edellisen kuvan katkaisutaajuuksia soveltaen. Kuva 4.28.(a) Spatiaalisen alueen esitys säteen ollessa 5 kuvassa kooltaan 1000 1000 ja (b) intensiteettimuoto vaakasuoran kulkiessa kuvan keskeltä. Taajuusalueen suodatus 255 Taajuusalueen suodatus 256 Butterworth-suodin on muotoa jossa D(u,v) tulee kaavasta (2). Kuva 4.29. esittää tätä. Se, että katkaisutaajuus ei käsitä epäjatkuvuuskohtaa, kuten ideaalisessa suotimessa, on hyvä. Toisaalta usein pyritään melko jyrkkään muutokseen siirtoalueessa eli esim. n=4. Kuvassa 4.30. on Butterworthilla suodatettuja kuvia. Haittapuolena on soimisen lisääntyminen jyrkkyyden kasvaessa (kuva 4.31.), mikä voi tuoda kuviin epätoivottuja vaikutuksia. Gaussin suodin on muotoa, jossa on niin ikään D(u,v) kaavasta (2) ja D 0 = (keskihajonta). Kuva 4.32. esittää tämän ominaisuuksia. Kuva 4.29. Butterworth-alipäästösuotimen siirtofunktion perspektiivikuva, (b) suodin kuvana ja (c) halkileikkaus tapauksille n=1, 2, 3 ja 4. Taajuusalueen suodatus 257 Taajuusalueen suodatus 258
Kuva 4.30. (a) Alkuperäinen kuva ja (b)-(f) suodatuksen tulokset (aste n=2) katkaisutaajuuksien ollessa kuvan 4.26. mukaiset. Kuva 4.31. Butterworth-alipäästösuotimen spatiaaliesitykset asteille n=1, 2, 5 ja 20 (kuva 1000 1000 ja katkaisutaajuus 5). Taajuusalueen suodatus 259 Taajuusalueen suodatus 260 4.8. Ylipäästö- ja muita suodintyyppejä Ylipäästösuotimella voidaan terävöittää kuvaa. Em. kolmen tyypin siirtofunktioista H LP (u,v) saadaan nyt ylipäästösuotimet H HP (u,v) seuraavasti. H HP (u,v) = 1 - H LP (u,v) Tällöin ideaalinen ylipäästösuodin on Kuva 4.32.(a) Gaussin suotimen siirtofunktion perspektiivikuva, (b) suodin kuvana ja (c) halkileikkaus eri arvoilla D 0. jossa D 0 on katkaisutaajuus. D(u,v) on kaavasta (2), kuten seuraavassakin. Butterworth-ylipäästösuodin on näin. Taajuusalueen suodatus 261 Taajuusalueen suodatus 262
Gaussin ylipäästösuodin on vastaavasti. Näiden kolmen ylipäästösuodatintyypin esitykset ovat kuvassa 4.33. Edelleen niiden spatiaaliset ja intensiteettikäyräesitykset ovat kuvassa 4.34. Kuva 4.35. käsittää esimerkin. Suodintyyppejä on muitakin, esim. homomorfiset suotimet. Kuva 4.33. Ylärivissä ideaalisen ylipäästösuotimen (a) perspektiivikuva, (b) kuvaesitys ja (c) halkileikkaus, keskirivissä (d)- (f) vastaavat Butterworth-ylipäästösuotimelle ja alarivissä (g)-(i) Gaussin ylipäästösuotimelle. Taajuusalueen suodatus 263 Taajuusalueen suodatus 264 Kuva 4.34. Spatiaaliset esitykset ja intensiteettikäyrät: (a) ideaali, (b) Butterworth- ja (c) Gaussin ylipäästösuodin. Kuva 4.35. Butterworth-ylipäästösuotimen tulos, kun (a) D 0 =30, (b) 60 ja (c) 160. Taajuusalueen suodatus 265 Taajuusalueen suodatus 266
4.9. Fourier-muunnoksen toteutus Voidaan myös muodosta suodin monipuolisemmin tekemällä siitä kaistanpäästö tai -estosuodin, ts. päästökaistan molemmin puolin on estokaista tai päinvastoin. Jos jälkimmäisessä tapauksessa estokaista on hyvin kapea, kyseessä on notch-suodin (lovi), jolla voidaan poistaa melko tarkasti jokin taajuus kuvasta, kuten aiemmin mainittu moire-ilmiö. Fourier-muunnos toteutetaan aina nopean Fourier-muunnoksen algoritmin (FFT) avulla. Kun alkuperäinen (kaavan mukainen) Fourier-laskenta vaatii aikakompleksisuuden O((MN) 2 ), FFT tarvitsee vain O(MN log 2 (MN)), mikä on huomattava ero. Tässä voi sijoittaa esimerkkinä 1024 1024-kuvan koon, ts. M=N=1024. Ei tarkastella FFT-algoritmia. Se on tyypillinen hajota-ja-hallitseperiaatteen (divide and conquer) mukainen. Taajuusalueen suodatus 267 Taajuusalueen suodatus 268