1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

Transkriptio

1 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja. Täten luonnolliset luvut N on luontevaa laajentaa kokonaisluvuiksi Z. Kertolaskun yhteydessä rationaaliluvut Q osoittautuvat hyödylliseksi, kuten yhtälöstä 2x = 1 huomataan. Siirrettäessä toisen asteen yhtälöihin rationaaliluvut eivät enää riitä, vaan lukualuetta täytyy laajentaa, jotta esimerkiksi yhtälö x 2 = 2 voitaisiin ratkaista. Näin päästään reaalilukuihin R. Kuitenkaan kaikki reaalikertoimiset polynomiyhtälöt eivät ole vieläkään ratkeavia reaalilukujen joukossa, kuten yhtälö x = 0 osoittaa. Avuksi tarvitaan vielä kompleksiluvut. Kompleksiluvut osoittautuvat tietyllä tavalla täydellisimmiksi kuin reaaliluvut, sillä 1800-luvulla todistettiin, että jokaisella kompleksikertoimisella vähintään ensimmäisen asteen polynomilla on ainakin yksi kompleksinen nollakohta. Tämä on yhdenpitävä algebran peruslauseen kanssa. Algebran peruslause. Jokaisella kompleksikertoimisella polynomiyhtälöllä, jonka aste on n 1, on n kappaletta kompleksisia nollakohtia. Vaikka kompleksiluvut voivat tuntua keinotekoisilta verrattuna vaikkapa reaalilukuihin, niin ne ovat silti hyvin tarpeellisia. Monien luonnonilmiöiden, esimerkiksi vaimenevan värähtelyliikkeen, matemaattinen käsitteleminen vaatii kompleksilukuja. Kompleksilukujen kunta määritellään täsmällisemmin lukuteoriassa, mutta nyt määritelmäksi riittää, että kompleksiluvut z ovat muotoa z = x + iy olevia lukuja, missä x, y R ja i 2 = 1. Kompleksilukujen joukko on siis C = { x + iy x, y R ja i 2 = 1 }. 1

2 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 2 / 7 Kompeksiluku z = x + iy koostuu siis reaaliosasta Re z = x R ja imaginaariosasta Im z = y R. Kompleksiluvut z 1 ja z 2 ovat yhtäsuuret, mikäli niiden reaali- ja imaginaariosat ovat yhtäsuuret eli z 1 = z 2 jos ja vain jos Re z 1 = Re z 2 ja Im z 1 = Im z 2. Täten z = 0 jos ja vain jos Re z = Im z = 0. Siispä R C sillä mielivaltainen kompleksiluku z = x + iy kuuluu reaalilukujen joukkoon R jos ja vain jos imaginaariosa y = Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoon z 1 = x 1 + iy 1 ja z 2 = x 2 + iy 2 mielivaltaisia kompleksilukuja. Kompleksilukujen yhteenlasku suoritetaan laskemalla reaali- ja imaginaariosat yhteen. Siis z 1 + z 2 = x 1 + iy 1 + x 2 + iy 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ). Kertolasku suoritetaan kuin minkä tahansa binomin kertolasku huomioiden, että i 2 = 1. Täten z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ). Kompeksiluvun z = x + iy konjugaatti on taas z = x iy. Konjugaatti saadaan siis, kun vaihdetaan imaginaariosan etumerkki. Täten kompleksiluku z R jos ja vain jos z = z. Kertomalla luku konjugaatillaan saadaan, että zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. Kompleksiluvun z = x + iy moduli eli pituus on z = x 2 + y 2 = zz. 2

3 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 3 / 7 Jakolasku kompleksiluvulla z = x + iy 0 määritellään tavalliseen tapaan luvun käänteisluvulla z 1 kertomisella. Käänteisluku 1 z voidaan laskea laventamalla konjugaatilla z 1 z = z zz = z z 2 = x iy x 2 + y. 2 Yleensä kompleksisien murtolausekkeiden sieventäminen kannattaa aloittaa laventamalla nimittäjää konjugaatilla, sillä näin saadaan eliminoitua imaginääriosat pois nimittäjästä. 3

4 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 4 / 7 2 Kompleksitaso ja napakoordinaatit Kompleksitasoksi ymmärretään taso R 2, jonka pisteille (x 1, y 1 ) ja (x 2, y 2 ) määritellään yhteenlasku (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), reaaliluvulla a R kertominen a(x 1, y 1 ) = (ax 1, ay 1 ) ja pisteiden välinen kertolasku (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Nimitys kompleksitaso tulee mielekkääksi, kun mielivaltaista kompleksilukua z = x + iy määritetään vastaamaan kompleksitason pistettä (x, y). Tällöin saadaan seuraavat vastaavuudet: piste (0, 1) vastaa imaginaariyksikköä i pisteen (x, y) etäisyys origosta on sama kuin kompleksiluvun x + iy moduli z = x 2 + y 2 kompleksiluvun z konjugaatti z on peilaus y-akselin suhteen. Kompeksiluvuille voidaan määritellä nyt myös kolmaskin esitysmuoto napakoordinaattien avulla. Olkoon z 0 mielivaltainen kompleksiluku. Tällöin sen etäisyys origosta on z > 0 ja olkoon 0 θ < 2π kompleksiluvun suuntavektorin ja positiivisen x-akselin välinen kulma radiaaneissa. Tällöin jos z = x + iy, niin x = z cos θ y = z sin θ ja kompleksiluvulle saadaan polaarinen esitys z = z (cos θ + i sin θ). 4

5 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 5 / 7 Yleensä käytetään kompleksiluvun moduulille lyhennysmerkintää r = z. Polaariesitys on yksikäsitteinen, mutta jos yksikäsitteisyydestä luovutaan, niin vaihekulma voi saada arvoja myös välin [0, 2π[ ulkopuolelta. Tällöin myös luku z = 0 voidaan esittää helposti napakoordinaattien avulla. Tällöin kaksi nollasta eroavaa kompleksilukua z 1 = r 1 (cos θ 1 +i sin θ 1 ) ja z 2 = r 2 (cos θ 2 +i sin θ 2 ) ovat yhtäsuuret jos ja vain jos r 1 = r 2 ja θ 1 = θ 2 + n2π, missä n Z. Eteenkin laskettaessa kompleksilukujen kertolaskua polaarinen muoto on varsin näppärä, sillä trigonometrisiä kaavoja soveltamalla saadaan, että jos z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) ja z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), niin z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) ja jos r 2 0, niin z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )). Induktiolla saadaan todistettua seuraava hyödyllinen tulos. De Moivren kaava. Kaikille kompleksiluvuille z = r(cos θ + i sin θ) pätee, että z n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)) kaikilla n Z +. 5

6 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 6 / 7 3 Kompleksisista funktioista Polynomifunktioiden määrittämiseksi kompleksiluvuille riittää vain laajentaa määrittelyjoukko kompleksilukujen joukoksi C. Mutta esimerkiksi trigonometristen funktioiden määritteleminen kompleksiluvuille on ongelma, koska mikä on kulma, jonka asteluku on imaginäärinen? Tähän apuun otetaan funktioiden sarjakehitelmät. Koska esimerkiksi 1. e x = x k = 1 + x + x2 + x k! 2 6 kaikilla x R 2. sin x = ( 1) k x2k+1 = x x3 (2k+1)! 3. cos x = ( 1) k x2k = 1 x2 (2k)! 6 + x5 2 + x4 niin esimerkiksi funktio e z määritellään e z = kaikilla x R 4!... kaikilla x R z k k! = 1 + z + z2 2 + z kaikille z C. Tämä määritelmä on mielekäs, sillä sarja tulee suppenemaan. Tämän todistaminen jätetään kompleksianalyysin kurssille. Vastaavalla tavalla voidaan määritellä mielekäs kompleksinen laajennus muillekin funktioille, joilla voidaan johtaa reaalinen sarjakehitelmä. Tarkastellaan kuitenkin tarkemmin vain eksponenttifunktiota. Sarjakehitelmien ominaisuuksia tutkimalla voidaan osoittaa, että kompleksinen eksponenttifunktio tulee säilyttämään tuttuja laskusääntöjä, kuten esimerkiksi e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 kaikilla z 1, z 2 C. Sarjakehitelmien avulla saadaan johdettu myös yhteys, että jos θ R, niin e iθ = cos θ + i sin θ. 6

7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 7 / 7 Täten kompleksiluvun z, jonka vaihekulma on θ, polaarinen esitys voidaan kirjoittaa muodossa z = z (cos θ + i sin θ) = z e iθ. Käyttämällä edellistä kaavaa saadaan johdettua tunnettu yhtälö e iπ 1 = 0, joka yhdistää monta tärkeää matemaattista vakiota. 7