Ajatellaan jotakin datajoukkoa joka on talletettu datamatriisiin X: n vectors. TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 1
|
|
|
- Sakari Jaakkola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3. DATA VEKTORINA 3.1. Vektorit, matriisit, etäisyysmitat Ajatellaan jotakin datajoukkoa joka on talletettu datamatriisiin X: n vectors {}}{ d vector elements X TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 1
2 Matriisin sarakkeet ovat siis yksittäisiä datavektoreita ja kukin rivi vastaa tiettyä vektorialkiota (mittaustulosta, piirrettä, attribuuttia) Esimerkiksi kukin datavektori voisi olla äänispektri soittimen äänestä, jolloin vektorialkiot vastaisivat taajuuksia. Koko datamatriisi on tällöin ns. spektrogrammi (kuva). Kaikkea dataa ei suinkaan voi esittää vektorina mutta tämä kattaa hyvin paljon tapauksia. Vrt. myös relaatiotietokannat joissa tietueet on talletettu binäärivektoreina (kuva). Merkitään seuraavassa d-ulotteista vektoria merkinnällä x ja sen alkioita x 1, x 2,..., x d. Oletan että vektorien yhteenlasku x + y, sisätulo x T y ja normi x ovat tunnettuja, samoin matriisilla kertominen Ax, matriisien yhteenlasku A + B ja tulo AB sekä matriisin ominaisarvot ja -vektorit Ax = λx. TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 2
3 3.2. Datan piirreirrotus ja vektorointi Analogisen datan digitointi Usein data on jo vektorimuodossa: siis järjestetty joukko lukuja (jatkuva-arvoisia, binäärisiä...). Jotta jatkuva (analoginen) data saataisiin tähän muotoon, se täytyy diskretoida (digitoida). Analoginen signaali, esim. ääni, kuvataan ajan mukana vaihtuvana jatkuvana funktiona f(t) Sekä aika t että amplitudi f täytyy diskretoida jotta ne voi esittää digitaalisessa muodossa Käytännössä mittalaite tekee sen analogia-digitaali (A/D) -muuntimensa avulla Esim. digikamera, tietokoneen äänikorttiin kytketty mikrofoni TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 3
4 Tähän liittyvä teoreettinen kysymys on näytteistys (sampling) Yksiulotteinen signaali f(t) muutetaan jonoksi f m = f(mt) missä T on näytteistysväli Jos näytteistystaajuus 1/T on riittävän suuri verrattuna f(t):n suurimpaan taajuuteen, voidaan itse asiassa koko f(t) palauttaa näytteistään (näytteistyslause, sampling theorem; ks. kurssi T Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus) Taajuusspektri Mitä tarkoittaa f(t):n taajuus? Funktiolla f(t) on taajuusspektri joka määritellään Fourier-muunnoksen avulla (kuva): F(ω) = f(t)e iωt dt TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 4
5 missä ω on (kulma)taajuus ja i = 1 Tämän kompleksifunktion itseisarvo voidaan piirtää käyränä, ja se on ns. amplitudispektri. Perusteluja: taajuus on jaksollisen funktion ominaisuus (montako kertaa sekunnissa jakso toistuu), ja sinikäyrä f(t) = sin(αt + θ) on kaikkein tyypillisin jaksollinen funktio. α on sen (kulma)taajuus, θ on vaihe. Sinikäyrän Fourier-muunnos on nolla paitsi kulmataajuuden arvoilla ω = ±α (miksi?), joten F-muunnos paljastaa sinin taajuuden. Jos f(t) on summa monesta sinikäyrästä, niiden kaikkien taajuudet näkyvät piikkeinä taajuusalueessa eli kompleksitasossa. Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) määritellään digitoidulle TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 5
6 signaalille f m, m = 0,..., T 1: F n = T 1 m=0 f m e 2πimn/T Ks. demo signals/sampling/ Taajuussuodatus Usein aikasignaalista halutaan poistaa tiettyjä taajuuksia, esim. korkeita taajuuksia jotka vastaavat kohinaa tai verkkovirran taajuus 50 Hz. Tässä käytetään hyväksi lineaarisia suotimia jotka laskennallisesti toteutetaan ns. konvoluutiona: g k = f m s k m m= missä f m on suodatettava digitaalinen signaali ja s j on vastaavasti TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 6
7 suodin (äärellinen lukujono). On helppo todistaa että konvoluution Fourier-muunnokselle pätee G n = F n S n Jos siis halutaan estää / korostaa tiettyjä taajuuksia, valitaan suodinjono s k siten että sen F-muunnoksessa S n nämä taajuudet ovat heikkoja / vahvoja. Suodattimen suunnittelu käytännössä on oma taiteenlajinsa, ks. Digitaalisen signaalinkäsittelyn ja suodatuksen kurssi. Joko aika-alueen digitaalinen signaali f m tai taajuusalueen digitaalinen signaali F n (amplitudispektri, mahdollisesti täydennettynä vaiheella) voivat sellaisenaan olla vektoreita joita jatkossa analysoidaan. Esimerkkinä puheen spektrogrammi. Kuville on olemassa 2-ulotteinen DFT jota voi vastaavalla tavalla TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 7
8 käyttää kuvien suodatukseen; vrt. digikameroiden kuvankäsittelyoptiot. Spektriä voi myös kokonaisuudessaan tai osina käyttää tehokkaana piirrevektorina kuville. Se paljastaa esim. kuvassa olevien viivojen yleisimmät suunnat. Enemmän kurssissa T Digitaalinen kuvankäsittely. Muita tyypillisiä piirteitä eri datatyypeille Hyvin yleinen ja tehokas piirretyyppi on histogrammi DFT on esimerkki tästä eli taajuushistogrammi: paljonko signaalissa tai kuvassa on tiettyä taajuutta Kuvan värihistogrammi kertoo montako pikseliä kuvassa on kutakin väriä (dimensio 16.7 miljoonaa tiivistämättömänä) Tekstidokumentin sanahistogrammi kertoo montako kertaa kukin TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 8
9 sana esiintyy dokumentissa (dimensio tiivistämättömänä) Hyvä piirteiden lähde ovat standardit, etenkin JPEG (joint photographic experts group) ja MPEG (moving pictures expert group); esim MPEG-1 Audio Layer 3 eli MP3 äänelle ja musiikille Ne on kehitetty äänen, kuvien ja videon pakkaamiseen, mutta pakattua muotoa voi käyttää myös piirteenä automaattisessa analyysissä Teksti vektorina Edellä mainitttiin jo sanahistogrammit Jos yksittäisten dokumenttien sanahistogrammit ovat datamatriisin X sarakkeina, sitä kutsutaan termi-dokumentti-matriisiksi Käytännössä matriisia useimmiten muokataan seuraavasti: TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 9
10 1. Tavallisimmat sanat (ja, siis,...) poistetaan; 2. sanoja (termejä) painotetaan niiden tärkeyden mukaan, usein käyttäen ns. käänteistä dokumenttitaajuutta (inverse document frequency) w(sana) = ln( L df(sana) ) missä w(sana) on painokerroin, df(sana) on sanan dokumenttifrekvenssi (kuinka monessa kokoelman dokumentissa tuo sana esiintyy), ja L on kokelman dokumenttien lukumäärä Nyt kunkin dokumentin sanahistogrammissa arvot kerrotaan painoilla w. Siten esim. sana ja joka luultavasti esiintyy jokaisessa dokumentissa (suomenkielisessä kokoelmassa) saa histogrammiarvon 0. Hankalampi tapaus ovat synonyymit ja sanojen taivutusmuodot. TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 10
11 Näitä pohditaan kurssissa T Luonnollisen kielen tilastollinen mallinnus. Samaa vektorointimuotoa voi käyttää mille tahansa merkkijonoille; esim geneettisessä koodissa on 4 kirjainta A,C,G,T jotka ovat lyhenteitä tietyille nukleotideille. Sana voi olla esim. 3 merkin pituinen osajono: AAA, AAC,... TTT joita on vain 4 3 = 64 erilaista ja siten termi-dokumenttimatriisin sarakkeet 64-dimensioisia. Samantapainen idea yleistyy puille ja niitäkin yleisemmille tietorakenteille. TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 11
12 3.3. Dimensionaalisuuden kirous Otoksen koko suhteessa avaruuden dimensioon Ajatellaan histogrammia moniulotteisessa avaruudessa. Katsotaan oheista kahta 1-ulotteista histogrammia: toisessa on 256 lokeroa, toisessa 17. Jos halutaan tasossa (2-ulotteinen avaruus) 17 lokeroa/dimensio, tulee jo 17 x 17 = 289 lokeroa (pientä suorakaidetta). Riittääkö data täyttämään ne? d-ulotteisessa avaruudessa 17 d ; esim. jos d = 100, niin ! Maailmankaikkeuden atomien lukumääräksi arvioidaan joten jo 79-ulotteisessa vektoriavaruudessa, jossa 10 lokeroa kullakin koordinaattiakselilla, tulisi vain 1 atomi kuhunkin lokeroon. Mikä tahansa vektorijoukko korkeaulotteisessa avaruudessa on tavattoman harva. TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 12
13 Tämä on dimensionaalisuuden kirous: tarvitaan valtavasti dataa minkäänlaisen mallin muodostamiseksi korkeaulotteiselle datalle. Korkeulotteisten vektoriavaruuksien omituisuuksia Ajatellaan neliötä, kuutiota, hyperkuutiota jonka sivun pituus on 1 ja dimensio d. Ajatellaan datajoukkoa (datamatriisin X sarakkeet) joka on jakautunut tasaisesti hyperkuutioon. (Kussakin kahdessa osajoukossa joilla on sama tilavuus on keskimäärin sama määrä vektoreita). Kun d on suuri, törmätään joihinkin yllättäviin ilmiöihin. 1. Melkein koko hyperkuutio tarvitaan kattamaan pienikin osuus vektoreista. Mikä on sellaisen pienemmän hyperkuution sivun pituus, joka sisältää osuuden p kaikista vektoreista? (Esim. kymmenesosan, p = 0.1). Merkitään sivun pituutta s(p) Neliö: s(0.1) = , s(p) = p TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 13
14 Kuutio: s(0.1) = (0.1) 1/ s(p) = p 1/3 10-ulotteinen: s(0.1) = (0.1) 1/ d-ulotteinen hyperkuutio: s(p) = p 1/d Mille tahansa osuudelle p pätee s(p) 1 kun d. Lähes koko hyperkuutio tarvitaan kattamaan pienikin osuus datasta. 2. Pisteet ovat kaukana toisistaan: melkein jokainen vektori (datapiste) on lähempänä kuution reunaa kuin toista pistettä. Hyperkuution keskipisteen etäisyys reunasta on 0.5. Se on maksimietäisyys; yleensä pisteiden etäisyys reunasta on pienempi. Olkoon datapisteitä n kpl ja avaruuden dimensio d. Voidaan osoittaa että pisteiden keskimääräinen etäisyys on D(d, n) = 1 2 ( 1 n )1/d. Nähdään että olipa n mikä tahansa, D(d, n) 0.5 kun d. TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 14
15 3. Jos tehdään tasavälinen histogrammi, niin melkein kaikki lokerot ovat hyperkuution pinnalla. Olkoon lokeroiden lukumäärä dimensiota kohti b, kaikkiaan silloin lokeroita b d. Niistä osuus ( b 2 b )d on kuution sisäosassa. Mutta tämä menee nollaan kun d. Kaikki yhdessä osoittavat että korkeaulotteinen hyperkuutio ei vastaa käsitystämme kuutiosta, vaan on pikemminkin piikikäs. Opetus: data-analyysissä olisi tärkeää saada dimensio jotenkin pudotettua mahdollisimman pieneksi, että vältetään yo. ilmiöt. TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 15
16 3.4. Esimerkki piirreirrotuksesta: PicSOM TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 16
Tämän luennon sisältö. Luku 3. Data vektoreina. Datamatriisi (2) Datamatriisi. T Datasta tietoon, syksy 2011
Tämän luennon sisältö Luku 3. T-6.2 Datasta tietoon, syksy 2 professori Erkki Oja Tietojenkäsittelytieteen laitos, Aalto-yliopisto Datamatriisi Piirreirrotus: ääni- ja kuvasignaalit Dimensionaalisuuden
Luku 3. Data vektoreina
1 / 4 Luku 3. Data vektoreina T-61.21 Datasta tietoon, syksy 211 professori Erkki Oja Tietojenkäsittelytieteen laitos, Aalto-yliopisto 3.11.211 2 / 4 Tämän luennon sisältö 1 Data vektoreina Datamatriisi
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
T-61.2010 Datasta tietoon, syksy 2011
T-6.2 Datasta tietoon, syksy 2 professori Erkki Oja professori Heikki Mannila 3..2 Sisältö Datasta tietoon -johdantoluento 3. Miksi tällainen kurssi?................................ 3.2 Kurssin suorittamiseen
Spektri- ja signaalianalysaattorit
Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden
Luku 1. Johdantoluento
Datasta tietoon -johdantoluento 1 / 23 Luku 1. Johdantoluento ICS-C3000 Datasta tietoon, syksy 2015 Jaakko Hollmén Tietotekniikan laitos, Aalto-yliopisto 29.10.2015 Datasta tietoon -johdantoluento 2 /
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely
Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 30.1.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Tietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 6.3.006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti..005 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät 15.5.2013 1 / 55 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Jaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
T DATASTA TIETOON
TKK / Informaatiotekniikan laboratorio Syyslukukausi, periodi II, 2007 Erkki Oja, professori, ja Heikki Mannila, akatemiaprofessori: T-61.2010 DATASTA TIETOON TKK, Informaatiotekniikan laboratorio 1 JOHDANTO:
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Signaalien datamuunnokset
Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 06/02/2004 Luento 4a: Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan
Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut
Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 09/02/2009 Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan edut Tarkoituksena
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS AI-TUTKIJAN URANÄKYMIÄ AJATUSTENLUKUA COMPUTER VISION SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA MUUTTUJIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Digitaalinen audio
8003203 Digitaalinen audio Luennot, kevät 2005 Tuomas Virtanen Tampereen teknillinen yliopisto Kurssin tavoite Johdanto 2 Tarjota tiedot audiosignaalinkäsittelyn perusteista perusoperaatiot, sekä niissä
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
IIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Laskennallinen data-analyysi II
Laskennallinen data-analyysi II Ella Bingham, ella.bingham@cs.helsinki.fi Kevät 2008 Muuttujien valinta Kalvot perustuvat Saara Hyvösen kalvoihin 2007 Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin
Signaalien generointi
Signaalinkäsittelyssä joudutaan usein generoimaan erilaisia signaaleja keinotekoisesti. Tyypillisimpiä generoitavia aaltomuotoja ovat eritaajuiset sinimuotoiset signaalit (modulointi) sekä normaalijakautunut
ELEC-C5070 Elektroniikkapaja (5 op)
(5 op) Luento 5 A/D- ja D/A-muunnokset ja niiden vaikutus signaaleihin Signaalin A/D-muunnos Analogia-digitaalimuunnin (A/D-muunnin) muuttaa analogisen signaalin digitaaliseen muotoon, joka voidaan lukea
AV-muotojen migraatiotyöpaja - ääni. KDK-pitkäaikaissäilytys 2013 -seminaari 6.5.2013 / Juha Lehtonen
AV-muotojen migraatiotyöpaja - ääni KDK-pitkäaikaissäilytys 2013 -seminaari 6.5.2013 / Juha Lehtonen Äänimuodot Ääneen vaikuttavia asioita Taajuudet Äänen voimakkuus Kanavien määrä Näytteistys Bittisyvyys
Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Determinantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
DSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
DSP:n kertausta Kerrataan/käydään läpi: ffl Spektri, DFT, DTFT ja FFT ffl signaalin jaksollisuuden ja spektrin harmonisuuden yhteys ffl aika-taajuusresoluutio Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
Laskuharjoitus 4 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 4 (2.10.2013): Tehtävien vastauksia 1. Tutkitaan signaalista näytteenotolla muodostettua PAM (Pulse Amplitude Modulation) -signaalia.
Muuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset
Muuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset valintakriteerit resoluutio ja nopeus Yleisimmät A/D-muunnintyypit:
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
Luento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Pienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin
1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Matematiikka kaikille, kesä 2017
Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30 Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin