Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen

Transkriptio

1 Prosessiorientoituneet mallit Todellista hybridijärjestelmää ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 12: Näytteenottoteoreema ja jatkuvien säätimien diskreetit approksimaatiot Prosessiorientoituneet mallit katsotaan nyt prosessin näkökulmasta Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Signaali f ja sen Fourier-muunnos F ovat Tarkastellaan jaksollista taajuustason signaalia (jakso ) Tämän Fourier-sarja on 1

2 Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Kompleksinen Fourier-sarja Nimittäin Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Kertoimet Osoitetaan seuravaksi, että sarjan kertoimet ovat itse asiassa näytepisteet. Huomaamalla, että ja vaihtamalla muuttujaa integraaleissa Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Siis funktio f(kh), k =...-1, 0, 1,2,3,4,... määrää yksikäsitteisesti funktion F s ( ). Jos aikatason signaalin spektri on nolla taajuusalueen (- 0, 0 ) ulkopuolella ja jos näyteväli valitaan siten, että niin eli signaalin spektri saadaan täysin määrättyä näytteiden (spektrin) avulla. Informaatiota ei ole kadonnut näytteenotossa. Näytteenotto ja jatkuvan signaalin rekonstruointi Shannonin näyttenottoteoreema: Jatkuva signaali, jonka Fourier-muunnos on nolla välin [-w 0, w 0 ] ulkopuolella, on yksikäsitteisesti määritelty tasavälisillä näytteillä (signaalin arvoilla), jos näytteenottotaajuus w s on suurempi kuin 2w 0. Jatkuva signaali voidaan tällöin määrittää näytteistään interpolointiyhtälön avulla: Taajuutta w N = w s /2 kutsutaan Nyquistin taajuudeksi. 2

3 Näytteenotto ja jatkuvan signaalin rekonstruointi Johdetaan vielä Shannonin rekonstruointikaava Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Eli käytännössä: kun jatkuvasta signaalista, jolla on Fouriermuunnos F, otetaan tasavälisesti näytteitä (näytteenottotaajuudella w s ), niin saadaan diskreetti signaali, jolla on Fourier-muunnos F s. F s on periodinen funktio; itse asiassa sama kuin F, joka vain toistuu w s :n välein. Vaihtamalla integroinnin ja summalausekkeen järjestystä saadaan jossa integroinnin laskeminen auki antaa suoraan Shannonin kaavan Kun kahdesta jatkuvasta eri signaalista otataan näytteitä (h = 1), niin saadaan täysin identtinen näytejoukko y 1 (t) = sin(0.2pi t) y 2 (t) = sin(1.8pi t) Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Lasketaan edellisen esimerkin Fourier-muunnokset ja tarkastellaan niiden suhdetta näytteenotto- ja Nyquistin taajuuksiin. Puhtaasti harmoniselle värähtelylle on helppo laskea Fouriermuunnos, koska signaalit sisältävät ainoastaan yhtä taajuutta. Alkuperäiset signaalit ovat toistensa aliaksia kyseisellä näytteenottotaajuudella 3

4 Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Näiden kuvaajat ovat Näytteenoton jälkeen kummankin diskreetin signaalin Fouriermuunnos on identtinen Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Voidaan todeta, että kaikki taajuudet peilautuvat Nyquistin taajuuden kautta peilikuvina yhtä kauas Nyquisin taajuuden toiselle puolelle. Näitä peilikuvataajuuksia ja alkuperäisiä taajuuksia, joita ei voida eroittaa toisistaan diskreetissä tasossa kutsutaan toistensa aliaksiksi ja ne voidaan määrittää kuten alla on esitetty. Taajuus on siis alias taajuuksille Esisuodatus Shannonin näytteenottoteoreeman mukaan Nyquistin taajuutta suuremmat taajuudet laskostuvat matalammille taajuuksille ja ideaalisessa tapauksessa signaalien Fourier-muunnosten pitäisi kadota Nyquistin taajuutta suuremmilla taajuuksilla. Käytännön signaaleilla näin ei luonnollisesti tapahdu, joten mikäli signaalin laskostuminen tahdotaan välttää on korkeat taajuudet suodatettava signaalista pois. Toinen vaihtoehto on tietysti kasvattaa näytteenottotaajuutta, jolloin myös Nyquistin taajuus siirtyy pidemmälle taajuusakselilla (tämä luonnollisesti pätee vain silloin kuin signaalissa ei ole erittäin korkeita taajuuksia). Esisuodatus Mikäli signaalissa, josta otetaan näytteitä, on korkeita taajuuksia, niin ne tavallisesti poistetaan suodattimella. Yleensä käytetään näytteenoton edessä analogista suodatinta. Tyypillinen toisen kertaluvun suodatin on esimerkiksi Hyvin yleisesti käytetty suodatin on myös Besselin suodatin. 4

5 Esisuodatus, esimerkki Esisuodatus, esimerkki Tarkastellaan esisuodatuksen merkitystä esimerkin avulla Askelfuntioon lisätty sinimuotoista kohinaa. Vasemmalla signaali ja sen suora näytteistys.(alias- ilmiö) Oikealla suodatetut signaalit. (ylh. jatkuvasta, alh. diskretoidusta signaalista) Jatkuvan säätimen diskreetti approksimaatio Tutkitaan jälleen diskretointia, mutta tällä kertaa eri lähtökohdista. Aikaisemmin jatkuva säädettävä prosessi ja pitopiiri (ZOH) tunnettiin ja prosessille muodostettiin diskreetti, tarkka malli, jota käytettiin hyväksi diskreetin, mallipohjaisen säätimen suunnittelussa. Nyt säädettävän prosessin mallia ei tunneta (tai siitä ei välitetä). Prosessille on olemassa jatkuva-aikaiseen teoriaan perustuva säädin (esim. PID), jota tahdotaan approksimoida vastaavalla diskreetillä säätimellä. Säätimelle tuleva signaali muuttuu näytteenottohetkien välillä, joten ZOH-oletusta ei voida tehdä. Usein oletetaan signaalin olevan pehmeä. Jatkuvan säätimen diskreetti approksimaatio Siirtofunktion approksimaatiossa tavoitteena on kehittää diskreetti systeemi, joka vastaa jatkuvan ajan siirtofunktiota. Tämä on jo kertaalleen tehty prosessin diskretoinnin yhteydessä (olettamalla nollannen kertaluvun pito). Säätimillä ei kuitenkaan voida olettaa olevan nollannen kertaluvun pitoa (lähtösignaali y muuttuu mielivaltaisesti ja säädin ottaa signaalin vastaan sellaisenaan) ja kysehän on jatkuvan säätimen diskreetistä approksimaatiosta. Tavallisesti nämä approksimaatiot lähtevät derivaatan ja integraalin diskreeteistä approksimaatioista olettaen signaalin olevan pehmeä. 5

6 Derivaatan approksimaatiot Yleiset derivaatan approksimaatiot lähtevät derivaatan määritelmistä Derivaatan approksimaatiot Näistä määritelmistä saadaan etenpäinderivoinnin ja taaksepäinderivoinnin approksimaatiot. Eteenpäinderivointia kutsutaan myös Eulerin menetelmäksi. Saadaan approksimaatiot Pehmeillä funktioilla, joiden derivaatat ovat jatkuvia nämä määritelmät antavat saman tuloksen Derivaatan approksimaatiot Integraalin approksimaatiot Jatkuvasta integraalista voidaan kehittää vastaavat diskreetit approksimaatiot summien avulla Samat approksimaatiot voidaan helposti johtaa myös rekursiivisesti, jos tahdotaan välttää geometrisen sarjan summan käyttö. Esim. 6

7 Integraalin approksimaatiot Integraalin approksimaatiot Saadaan integraalin approksimaatiot ja ohjelmoitavissa jo! Vertaamalla näitä approksimaatioita derivaatan approksimaatioihin, niin voidaan todeta niiden olevan identtiset Integraalin approksimaatiot Johdetaan vielä yksi tärkeä integraalin approksimaatio. Integraalin trapetsiyhtälöstä saadaan Tustinin approksimaatio eli bilineaarinen approksimaatio. Tustin approksimaatio on kahden edellä esitetyn integraalin approksimaation keskiarvo: Taaksepäinderivoinnnin approksimaatio Eulerin approksimaatio. Tustinin approksimaatio. Integraalin approksimaatiot Differentiaaliyhtälössä jokainen derivointioperaattori p korvataan vastaavalla siirto-operaattorin q lausekkeella. 7

8 Taaksepäinderivoinin approksimaatio Eulerin approksimaatio. Tustinin approksimaatio. Siirtofunktion approksimaatiot Kun siirtofunktiolle tahdotaan kehittää sitä vastaava approksimatiivinen pulssinsiirtofunktio, niin operaattorien p ja q sijasta käytetään muuttujia s ja z. Kehitetään differenssiyhtälölle ja sitä vastaavalle siirtofunktiolle diskreetit approksimaatiot eri menetelmillä. Jatkuva-aikainen differentiaaliyhtälö: Sitä vastaava siirtofunktio: Tulosignaalin oletetaan noudattavan nollannen kertaluvun pitoa, jolloin saadaan differenssiyhtälö ja pulssinsiirtofunktio perinteisillä diskretointikaavoilla Taaksepäinderivoinnin approksimaatiolla Eulerin approksimaatiolla Tustinin approksimaatiolla 8

9 Muille approksimaatioille Vastaavasti voidaan johtaa pulssinsiirtofunktiot Vertaillaan eri approksimaatioita simuloimalla Kokeillaan aluksi askelfunktiota (tulosignaali noudattaa ZOHoletusta) Korkealla näytteenottotaajuudella kaikki approksimaatiot toimivat hyvin, mutta eivät matalammilla näytteenottotaajuuksilla 9

10 Koska tulosignaali noudattaa ZOHoletusta, niin ZOHmenetelmillä johdettu pulssinsiirtofunktio pätee kaikilla näytteenottotaajuuksilla. Taaksepäinderivoinnin approksimaatio pärjää hyvin tarkasteltavilla näytteenottotaajuuksilla Eulerin approksimaatioantaa epästabiilin vasteen matalilla näytteenottotaajuuksilla Tustinin approksimaatio pätee kohtuullisen hyvin tarkas-teltavilla näytteenottotaajuuk-silla 10

11 Approksimoitujen siirtofunktioiden stabiilius Pehmeillä signaaleilla approksimaatiot pätevät paremmin kuin ZOHsignaaleilla. Nyt sinimuotoinen signaali näytteenottovälillä h = 1 ZOH Euler B.D Tustin Aikaisemmat esimerkit osoittavat, että täysin stabiilin systeemin diskreetti approksimaatio saattaa olla suurilla näyteväleillä epästabiili (Esimerkeissä Eulerin approksimaatio). Jokainen jatkuvan järjestelmän napa s P kuvautuu diskreetin tason navaksi z P approksimaation mukaisesti. Pienillä näytteenottoajoilla eli korkeilla näytteenottotaajuuksilla kaikki diskretointimenetelmät käyttäytyvät identtisesti (lähestyvät jatkuvaa järjestelmää) ja niiden navat lähestyvät pistettä Approksimoitujen siirtofunktioiden stabiilius Diskretointimenetelmästä riippumatta diskreetti järjestelmä on stabiili vain ja jos vain kaikki sen pulssinsiirtofunktion navat ovat yksikköympyrän sisäpuolella. Näin ollen on mielenkiintoista tarkastella miten jatkuvan reaali/imaginääri-tason stabiilisuusalue (vasen puolitaso) kuvautuu diskreettiin tasoon. Kuviin on piirretty yksikköympyrä (diskreetti stabiiliusalue) ja varjostettuna alue, johon jatkuva-aikainen stabiiliusalue kuvautuu. Approksimoitujen siirtofunktioiden stabiilius Nähdään, että vain ZOH:lla ja Tustinin approksimaatiolla stabiilius on identtinen jatkuvassa ja diskreetillä systeemillä. Taaksepäin derivointi kuvaa kyllä kaikki jatkuvat stabiilit systeemit stabiileina diskreetteinä systeemeinä, mutta se antaa myös joukolle epästabiileja jatkuvia systeemejä stabiilin diskreetin mallin. Eulerin menetelmä taas antaa joukolle stabiileja jatkuvia systeemejä epästabiilin diskreetin mallin (kuten simuloinneista kävi ilmi). ZOH BD Euler Tustin 11

12 Diskreetti PID-säädin Diskreetti PID-säädin on tänä päivänä kaikkein yleisin säädin. Se voidaan johtaa helposti jatkuvasta PID-säätimestä. Teoreettinen oppikirjaversio jatkuvasta PID-algoritmista on Diskreetti PID-säädin Tämän takia derivointi tavallisesti toteutetaan suodatettuna. Ideaalista derivointia ei voida (eikä myöskään pitäisi) toteuttaa PIDsäätimessä. Käytännön systeemeissä on aina kohinaa ja derivointi vahvistaa korkeataajuisia häiriöitä kuten valkoista kohinaa. Muita tyypillisiä käytännön modifikaatioita ovat: - Derivointitermin osalta ajatellaan referenssin olevan vakio, jolloin siis derivoidaan pelkästään lähtösignaalia (negatiivisena). Diskreetti PID-säädin Kehitetään aikaisemman oppikirjaversion diskreetti esitys Diskreetti PID-säädin Diskreetti PID-säädin saadaan jatkuvasta korvaamalla erosuureen integraali summalla, erosuureen derivaatta erosuureen muutoksella ja jakamalla aikaparametrit T I ja T D näytteenottovälillä h. (Euler) Yhtäpitävästi, huomaa edelleen oppikirjaversio Laplace-tasossa (BD) ja siitä saatavat approksimaatiot korvaamalla s kuten esitetty aiemmin. 12

13 Diskreetti PID-säädin z-tason pulssinsiirtofunktiona säädin on (integroinnissa Euler, derivoinnissa BD) Ohjauksen muutokselle saadaan: Diskreetti PID-säädin Edellä esitettyä algoritmia kutsutaan asento- eli absoluuttialgoritmiksi, koska sen avulla lasketaan absoluuttinen ohjauksen arvo. Se edellyttää summalausekkeen laskemista (tai päivittämistä), mikä ei ole algoritmisesti taloudellista. Huomattavasti yleisempi muoto käytännön sovelluksissa on nopeus- eli inkrementtialgoritmi, jonka avulla voidaan laskea ohjaussignaalin muutos edellisestä näytteenottohetkestä (ja jonka avulla voidaan välttää summalauseke). Diskreetti PID-säädin Kaikki jatkuvan PID-säätimen modifikaatiot voidaan myös toteuttaa diskreetillä PID-säätimellä. Tärkeimpiä modifikaatioita integraattorille ovat antiwinup-toiminto saturoituville toimilaitteille, pehmeä moodinvaihto automatiikan ja käsiajon moodinvaihdoissa ja hyppäyksettömät parametripäivitykset itsevirittyvissä ja adaptiivisissa PID-algoritmeissa. Esim. toimilaitteen saturoituessa on vaarana, että integraattori jatkaa integroimistaan kohtuuttoman suuriin arvoihin. Kun tilanne normalisoituu (toimilaite esimerkiksi vaihdetaan uuteen), säätöpiirin toiminnan palautuminen normaaliksi kestää kauan juuri integraattorin takia. Integrator windup ja antiwindup Ilmiö on nimeltään Integrator windup ja sen korjaava toiminta antiwindup. Yksinkertaisin tapa antiwindup-toiminnolle on yksinkertaisesti lopettaa integrointi epänormaalissa tilanteessa. Katkoviivalla on kuvattu windup-ilmiön vaikutus säätöpiirin toiminnalle. Kiinteä viiva puolestaan kuvaa samaa tilannetta, kun antiwindup-piiri on toiminnassa. Antiwindup-toimintoa ei saa unohtaa käytännön säätöpiirien toteutuksessa! 13

14 Integrator windup ja antiwindup Esimerkki antiwindup-piiristä Kun toimilaite toimii normaalisti, kyseessä on tavallinen PID-säädin (huom. derivoidaan vain lähtösignaalia). Jos toimilaite saturoituu, signaali e s saa nollasta poikkeavia arvoja ja korjaa integraattorin tulotermiä oikeaan suuntaan (vrt. edellisen sivun kuva). LOPPU Välikoe ja tentti ke 8.4 klo 10:00-12:00 AS2 (Tu2 vara) Tenttialue: luvut 1-12 ja vastaavat harjoitukset 2. välikoe: luvut 7-12 ja vastaavat harjoitukset Molemmat kokeet saa halutessaan nähtäviksi, ja voi päättää kumman tekee. Aikaisemmasta tiedosta poiketen: seuraavassa rästitentissä voi tehdä/uusia kevään Säätötekniikka-kurssin 1. tai 2. välikokeen. Esim. 2005/2011 tutkintosäännön opiskelijat voivat tällä tavoin edelleen saada suorituksen Analogisesta / Digitaalisesta säädöstä. 14