4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa

Transkriptio

1 4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Fourier esitti v idean että laskien yhteen jaksollisia painotettuja funktioita voidaan esittää kuinka tahansa monimutkainen jaksollinen funktio. Kuva 4.1. esittää tällaista. Jaksolliset funktiot ovat yleensä sini- tai kosini-funktioilla rakennettuja. Kun tietokoneet kehittyivät laskentateholtaan 1960-luvun kuluessa ja kun erityisesti Cooley ja Tukey esittivät 1965 nopean Fouriermuunnoksen algoritminsa (FFT Fourier-muunnoksesta tuli varsin merkittävä menetelmäjoukko signaalin- ja kuvanprosessointiin. Taajuusalueen suodatus 199

2 Kuva 4.1. Jaksollinen funktio alinna on muodostettu neljän ylimmän painotettuna summana. Taajuusalueen suodatus 200

3 4.2. Perusteita Lähdetään tarkastelemaan suppeasti Fourier-muunnosten perustana olevia käsitteitä ja lähtökohtia. Aluksi pohditaan jatkuvia yksiulotteisia funktioita joista siirrytään diskreetteihin kaksiulotteisiin kuviin. Kompleksiluku ja sen kompleksikonjugaatti määritellään C = R+jI ja C* = R-jI joissa R on reaali- ja I imaginaariosa (j imaginaarimuuttuja. Käytetään myös napakoordinaattiesitystä C = C (cos + j sin jossa itseisarvo C =(R 2 + I 2 1/2 on kompleksitason vektorin pituus. Taajuusalueen suodatus 201

4 Saadaan kulmalle että tan = (I /R ts. = arc tan(i /R. Eulerin kaava määrittää e = cos + j sin jossa e= Tällöin kompleksiluku on kirjoitettavissa seuraavassa muodossa jossa C ja ovat edeltä. C = C e Kompleksisen funktion F(u itseisarvo on F(u = (R(u 2 + I(u 2 1/2. Taajuusalueen suodatus 202

5 Esitetään yhden muuttujan jatkuvan funktion f(t Fourier-muunnos. F( f ( t e j2t dt Fourier-käänteismuunnos on oheinen. f ( t F( e j2 t d Eulerin kaava antaa seuraavan muodon. F ( f ( t cos(2t j sin(2t dt Taajuusalueen suodatus 203

6 Kun lasketaan kuvan 4.2. yksinkertaisen funktion Fourier-muunnos saadaan funktio joka jatkuu äärettömyyteen kummassakin suunnassa. F( AW sin( W W Tämä tyyppiä sin(m/m on nimeltään sinc-funktio jonka itseisarvoesitys on Fourierin spektri eli taajuusspektri. Kuvan 4.2.(a laatikkofunktio kuvautuu väheneviksi lohkoiksi edeten origosta kohti äärettömyyttä. Aiemmin mainittu konvoluutio on tärkeä muunnosten yhteydessä. f ( t h( t f ( h( t d Taajuusalueen suodatus 204

7 (a (b (c Kuva 4.2. (a Laatikkofunktio (b tämän Fourier-muunnos ja (c spektri. Taajuusalueen suodatus 205

8 Symbolilla t viitataan spatiaaliseen alueeseen ja taajuusalueeseen. Konvoluution yhteydessä näillä on olemassa määrätty yhteys. Tämän esittää konvoluutioteoreema. f ( t h( t H ( F( Kaksoisnuoli tarkoittaa että oikean puolen lauseke saadaan ottamalla Fourier-muunnos vasemman puolen lausekkeesta kun taas vasemman puolen lauseke saadaan ottamalla Fourierkäänteismuunnos oikeasta puolesta. Teoreeman toinen osa esittää vielä seuraavan ts. taajuusalueen konvoluutio vastaa spatiaalisen alueen kertomista. f ( t h( t H ( F( Taajuusalueen suodatus 206

9 4.3. Näytteistys ja näytteistettyjen funktioiden Fouriermuunnos Jatkuvat funktiot on muutettava diskreeteiksi numeerista laskentaa varten. Tätä varten vaaditaan näytteistystä ja kvantisointia. Kuvan 4.3.(a funktio f(t näytteistetään tasavälein T osan (b osoittamien impulssien kohdasta jolloin saadaan funktion approksimaatio osissa (c ja (d. Saadaan siis näytteet f(k T k= Tätä varten muodostetaan impulssijonon Fourierin muunnos ( 1 n S T n T jossa yhtä impulssia vastaava Kroneckerin funktio (x=1 silloin ja vain silloin kun x=0 ja muuten se on yhtä kuin 0. Tällöin saadaan seuraava konvoluutio jolle on kuvassa 4.4.(c rajatapaus. ~ F( F( S( 1 T n F Taajuusalueen suodatus 207 n T

10 a b Kuva 4.3. (a Jatkuva funktio (b impulssijono jonka mukaan (c on näytteistetty ja (d saaden näytteet näytteenottovälein T. c d Taajuusalueen suodatus 208

11 a Kuva 4.4. (a Kaistarajoitetun funktion Fouriermuunnos ja vastaavien näytteistettyjen funktioiden muunnokset (b ylinäytteistyksen (c kriittisen näytteistyksen sekä (d alinäytteistyksen tilanteissa. b c d Taajuusalueen suodatus 209

12 On olennaista että näytteistetty funktio (diskreetti signaali on palautettavissa yksikäsitteisesti näytteistään ts. ettei saatu approksimaatio edusta useampaa kuin yhtä funktiota. Kun funktion Fourier-muunnos on välin [- max max ] ulkopuolella yhtä kuin 0 kuten kuvassa 4.4.(a kyseessä on kaistarajoitettu funktio. Vastaavasti on kuvassa 4.5.(a joka on suurennos kuvasta 4.4.(a. Näytteenottofrekvenssiä 1/ T pienempi arvo sulauttaa jaksoja yhteen kun taas suurempi erottaa jaksot toisistaan. Tällöin tulee kriittisen näytteistyksen kohdalta tulos 1 2 max T joka on ehtona riittävän tiheälle näytteistykselle jotta funktion muoto olisi palautettavissa näytteistä. Taajuusalueen suodatus 210

13 a Kuva 4.5. (a Kaistarajoitetun funktion muunnos ja (b muunnos joka on saatu kriittisesti näytteistämällä sama funktio. b Taajuusalueen suodatus 211

14 Edellinen tulos tunnetaan nimellä näytteenottoteoreema jonka esitti Harry Nyquist 1928 ja todisti muodollisesti Claude E. Shannon Voidaan esittää myös käänteisesti että näytteistämällä signaalia taajuudella 1/T aikaansaatava maksimitaajuus on max = 1/2T. Tämä rajataajuus on Nyquistin taajuus. On syytä huomata että käytännössä näytteenottotaajuuden tulee olla korkeampi. Kuva 4.6. havainnollistaa miten F( saadaan palautettua. Kuva 4.6.(a esittää Fourier-muunnosta funktiolle joka on näytteistetty hivenen Nyquistin taajuutta suuremmalla taajuudella. Kuvassa 4.6.(b on annettu ikkunafunktio jolla kerrotaan muunnos. Ikkunafunktio on ideaalinen alipäästösuodin (voidaan vain approksimoida kun siinä on äärettömän nopea muutos ikkunan alussa ja lopussa. Tuloksena saadaan kuva 4.6.(c joka muunnetaan lopuksi käänteismuunnoksella funktioksi f(t. Taajuusalueen suodatus 212

15 a b c Kuva 4.6.(a Funktion Fourier-muunnos (b kaistarajoitettu ikkuna ja (c näiden tulo. Taajuusalueen suodatus 213

16 Mitä tapahtuu jos kaistarajoitettu funktio näytteistetään pienemmällä taajuudella kuin kaksi kertaa funktion korkein taajuus? Tämä vastaa alinäytteistettyä tilannetta kuvissa 4.4.(d ja 4.7.(a. Jaksot ovat päällekkäin jolloin ei voida erottaa niitä toisistaan riippumatta käytettävästä suotimesta. Esim. kuvan 4.7.(b ideaalinen alipäästösuodin tuottaisi kuvan 4.7.(c tuloksen sillä muunnos oli viereisten jaksojen korruptoima. Ilmiö on nimeltään laskostuminen (aliasing jossa korkeat taajuuskomponentit häiritsevät alempia näytteistetyssä funktiossa. Periaatteessa laskostuminen on aina läsnä näytteistetyissä signaaleissa koska niitä ei voida näytteistää äärettömän pienellä intervallilla (jatkuvana. Käytännössä pitää näytteenottotaajuus nostaa riittävän korkealle jotta olennainen informaatio eli kiinnostavat taajuudet saadaan signaalista esiin. Taajuusalueen suodatus 214

17 a b c Kuva 4.7.(a Alinäytteistetyn kaistarajoitetun funktion Fouriermuunnos (b ideaalinen alipäästösuodin (c edellisten tulo. Vierekkäisten jaksojen häiritseminen aiheuttaa laskostumisen joka estää F(:n täydellisen palauttamisen. Taajuusalueen suodatus 215

18 Laskostuminen voidaan kuitenkin vaimentaa toimenpiteellä jota voidaan kutsua vastalaskostumiseksi (anti-aliasing. Käytännössä siis tasoitetaan korkeita taajuuksia suodattamalla niitä ennen näytteistystä koska laskostus on seuraus näytteistyksestä eikä sitä voida laskennallisesti perua jälkikäteen. Esisuodatusta varten mitta- ja kuvauslaitteissa on analogiasuodattimia jotka suodattavat jatkuvaa signaalia (funktiota. Lisäksi monesti on tarpeen suodattaa vielä digitaalisesti näytteistyksen jälkeenkin kohinaa ym. pois. Kuva 4.8. esittää klassisen laskostumisesimerkin. Puhdas siniaalto käsittää ainoastaan yhden taajuuden. Oletetaan siniaallolla olevan pohjanaan sin(t ja vaaka-akselin vastaavan aikaa t sekunneissa jolloin funktio leikkaa akselin kohdissa t= sekunnin välein. Taajuusalueen suodatus 216

19 Signaali voidaan palauttaa näytteistään kun näyttenottotaajuus 1/T on vähintään kaksi kertaa signaalin korkein taajuus. Kuvassa 4.8. mustat pisteet edustavat liian alhaista näytteenottotaajuutta jolloin saadaan näytteistä esiin virheellisesti pitempiaaltoista siniä eli todellista matalampaa taajuutta. Kaistarajoittuneen signaalin rekonstruktio eli palautus voidaan tehdä seuraavasti sinc-funktion avulla. n f ( t f ( nt sin c ( t nt / nt Taajuusalueen suodatus 217

20 Kuva 4.8. Mustat pisteet edustavat alinäytteistettyä sinisignaalia sillä näytteenottotaajuus 1/T on pienempi kuin sinin taajuus ts. näytteitä on otettu intervallilla T joka on pidempi kuin yksi siniaalto. Jotta todellinen signaali saadaan näytteistyksessä esiin pitää näytteistää selvästi suuremmalla taajuudella eli pienemmällä näytteenottovälillä kuin puoli aallonpituutta. Taajuusalueen suodatus 218

21 4.4. Yhden muuttujan diskreetti Fourier-muunnos Jatkuvan funktion muunnoksesta on johdettavissa diskreetti Fouriermuunnos (DFT. Tämä ja käänteismuunnos ovat seuraavat. F( u f ( x M -1 x0 1 M f ( x e M -1 u0 j2ux/ M F( u e u j2ux/ M 01.. M -1 x 01.. M -1 Kun f(x käsittää kaikkiaan M funktion f(t näytettä näytteistettynä T:n välein saadaan signaalin kestoksi tai pituudeksi M T. Tällöin vastaava väli taajuusalueessa on seuraava. u 1 MT M komponentin kattama koko taajuusalue DFT:ssä on M kertaa edellinen eli 1/T. DFT:n taajuusresoluutio on u. Taajuusalueen suodatus 219

22 Taajuusalueen suodatus Laajennus kahden muuttujan funktioihin Lähtien liikkeelle kuvan 4.9. yksittäisestä impulssista tasossa voidaan johtaa yhden muuttujan tapauksen laajennuksena kahden jatkuvan muuttujan Fourier-muunnos ja tämän käänteismuunnos. Kuva on puolestaan analoginen kuvan 4.2. laatikkofunktiolle ja kuvaukselle. d d e F z t f dtdz e z t f F z t j z t j ( 2 ( 2 ( ( ( (

23 Kuva 4.9. Kaksiulotteinen diskreetti yksikköimpulssi joka on yhtä kuin 0 muualla kuin pisteessä (x 0 y 0. Taajuusalueen suodatus 221

24 (a (b Kuva (a 2D-funktio ja (b sen spektri. Kun laatikko on pidempi t-akselin suunnassa kuin z-akselin spektri on vastaavasti -akselin suunnassa. Taajuusalueen suodatus 222

25 Kaksiulotteisessa tapauksessa näytteenottoteoreema tarkastelee kaistarajoittunutta funktiota f(tz muuttujien alueella eli väleillä [- max max ] ja [- max max ]. Tällöin funktio on palautettavissa näytteistään jos näytteenottovälit ovat T 1 2 eli taajuuksina vastaavasti. 1 T 2 ja Z max 2 1 Z Kuva on analoginen kuvan 4.4. kanssa yli- ja alinäytteistyksen suhteen. max ja 2 1 max max Taajuusalueen suodatus 223

26 (a Kuva Kaksiulotteinen Fourier-muunnos (a yli- ja (b alinäytteistetyssä tilanteissa kaistarajoitteisella funktiolla. (b Taajuusalueen suodatus 224

27 Havainnollistetaan laskostumisilmiötä kuvien yhteydessä. Olkoon kuvan koko pikseliä jossa on digitoitu šakkilautaruutuja. Tällöin voitaisiin kuvata enimmillään ruutua kunkin pikselin vastatessa yhtä ruutua. Kuvassa esitetään mitä tapahtuu jos ruutu olisi vieläkin pienempi. Aluksi kuva 4.12.(a ja (b esittävät tilanteet joissa ruudun koko sivultaan on 16 ja 6 pikseliä jolloin kuvat ovat odotetun näköiset. Kuvassa 4.12.(c se on vähän pienempi kuin 1 pikseliä. Tällöin tapahtuu huomattava laskostuminen. Kuvassa 4.12.(d ruudun koko sivultaan on hieman pienempi kuin 0.5 pikseliä. Nyt kuva näyttää harhaisesti mielekkäältä mutta todellisuudessa siinä on paha laskostuminen syyn ollessa analoginen kuvan 4.8. mustien pisteiden antamalla liian alhaiselle aallonpituudelle. Taajuusalueen suodatus 225

28 Kuva Kuvien laskostuminen. (a Ruudun koko sivun suhteen 16 ja (b 6 pikseliä sekä (c (selvä laskostuminen ja (d pikseliä (harhauttava laskostuminen mataliin taajuuksiin. Taajuusalueen suodatus 226

29 Laskostumista havainnollistetaan vielä kuvassa jossa on osassa (a alkuperäinen kuva. Tässä on tarkoituksella henkilön vaatteissa hienojakoisia samansuuntaisia linjoja. Kuvissa (b ja (c kokoa on ensin pienennetty 50 % ja sitten pikseleitä kopioimalla suurennettu takaisin jotta vertaaminen alkuperäiseen osaan (a on helppoa. Kuvassa 4.13.(b näkyy selvää laskostumista erityisesti henkilön polvissa. Kuvassa 4.13.(c laskostuminen on saatu kuriin suodatuksen avulla. Taajuusalueen suodatus 227

30 Kuva (a Alkuperäinen kuva joka on pienennetty (b 50 %:lla esim. poistamalla joka toinen rivi ja sarake ja pikseleitä kopioimalla suurennettu tarkastelua varten entiseen kokoonsa ja (c lopuksi suodatettu 3 3-keskiarvoistuksella ennen uudelleen suurennusta. Taajuusalueen suodatus 228

31 On olemassa artefakta nimeltä moire-hahmo jonka voi nähdä optisesti päällekkäin asetetuissa ristikoissa esim. hyttysverkoissa. Se esiintyy digitaalisissa kuvissa skannauksen yhteydessä (monissa tämän luentomateriaalin kuvissakin. Kun esim. skannataan kuvaa ja kuvassa on jaksollisia raitoja tai välejä jotka ovat suhteessa digitaaliseen kuvaan tätä muodostettaessa voi syntyä näennäinen moire-vaikutus. Kuva on esimerkki jossa kahden ristikon päällekkäisyys luo olematonta jaksollisuutta. Sanomalehdet (75 dpi ja muut painotuotteet (esim. 133 tai 175 dpi käyttävät mustia pisteitä tai ellipsejä joiden kokoa ja liitoksia käyttämällä simuloidaan harmaasävyjä. Skannattaessa kuvia painotuotteista nämä pisteet näkyvät enemmän tai vähemmän (kuva Kun tarkkuutta on nostettu arvoon 400 dpi ilmiö ei esiinny niin herkästi (tässä skannauksen skannauksessa kyllä mutta on nähtävissä selvästi osasuurennoksessa kuvassa Taajuusalueen suodatus 229

32 Kuva Esimerkki moire-vaikutuksesta. Asetettaessa erilliset viivaristikot päällekkäin näyttää syntyvän jaksollisuutta jota ristikoissa ei kuitenkaan ole todellisuudessa. Taajuusalueen suodatus 230

33 Kuva Kun sanomalehtikuvaa on skannattu (ja skannattu kuva on vielä skannattu tätä esitystä varten kuvassa harmaasävyjen simuloimiseksi käytetyt pisteet aiheuttavat rakeisuutta jota ei alkuperäisessä kuvassa ole ollut. Taajuusalueen suodatus 231

34 Kuva Kuvan osasuurennoksessa olematon rakeisuus tulee skannauksen jälkeen silmiinpistävästi esiin. Taajuusalueen suodatus 232

35 Taajuusalueen suodatus 233 Diskreetti kaksiulotteinen Fourier-muunnos (DFT ja tämän käänteismuunnos (IDFT ovat kuvalle kokoa M N seuraavat. 1( ( ( / / ( 2 N v M u e y x f v u F M x N y N vy M ux j ( 1 ( / / ( 2 N y M x e v u F MN y x f M u N v N vy M ux j

36 Taajuusalueen suodatus 234 Kaksiulotteisen DFT:n ollessa kompleksifunktio se on esitettävissä napakoordinaatistossa muodossa jossa itseisarvoa kutsutaan Fourier- tai taajuusspektriksi ja on vaihekulma. Tehospektri on neliömuoto jolla kuvataan kuvan taajuusinformaatio. ( ( ( v u j e v u F v u F 2 1/ 2 2 ( ( ( v u I v u R v u F ( ( arctan ( v u R v u I v u ( ( ( ( v u I v u R v u F v u P

37 Kaavasta (1 s. 233 seuraa että M 1 N 1 1 F(00 MN f ( x y MNf ( x y MN x0 y0 ts. 0-taajuinen termi on suhteessa f(xy:n keskiarvoon. Kun suhdekerroin MN on yleensä suuri F(00 on tyypillisesti spektrin suurin komponentti. Kun taajuuskomponentit u ja v ovat nollia origossa F(00:aa kutsutaan myös dc-komponentiksi (direct current eli tasavirta jossa taajuus on 0. Kuvassa 4.17.(a on yksinkertainen kuva jonka spektri on skaalattu lukuvälille [0255] ja esitetään kuvana 4.17.(b. Muunnoskuvan origossa (siirretty keskelle on kirkkain piste (ei tosin näy ja samoin kuvan kulmissa (näkyvät huonosti mikä aiheutuu jaksollisuudesta. Kuva osoittaa kuinka spektri on epäherkkä translaatiolle (siirto mutta ei rotaatiolle (kierto. Kuvien (d ja 4.18.(b spektrit ovat samat mutta vaihekulmat kuvassa eri. Taajuusalueen suodatus 235

38 a b c d Kuva 4.17.(a Kuva jossa on vain valkoinen suorakulmio mustalla taustalla (b kuvan spektri (c joka on keskitetty (kerrottu kuva arvoilla (-1 x+y ennen muunnosta spektri ja (d logaritmisen muunnoksen jälkeen yksityiskohdat näkyvät edellistä paremmin. Taajuusalueen suodatus 236

39 a b c d Kuva Edellisen kuvan suorakulmiota on tässä siirretty vastaava spektri (c rotatoitu kuva ja (d tämän spektri. Taajuusalueen suodatus 237

40 Kuva (a Vaihekulmataulukko vastaten (a kuvaa 4.17.(a (b siirrettyä kuvaa kuvassa 4.18.(a ja (c rotatoitua kuvassa 4.18.(c. Vaihekulma ei anna erityisemmin visuaalista informaatiota esim. saattaisi kuvitella (a:n vastaavan kuvaa 4.18.(c mutta näin ei ole. Vaihekulmainformaatio ei myöskään muunnoksen käytön kannalta ole tavallisesti lainkaan tarpeellista. Olennaista on silti suodatus joka ei muuttaisi vaihekulmaa ollenkaan koska tällä voi olla epätoivottuja (vääristäviä vaikutuksia kuvaan. Taajuusalueen suodatus 238

41 Taajuusalueen suodatus 239 Em. konvoluutioteoreema yleistyy kaksiulotteiseen tilanteeseen seuraavasti jossa x=012 M-1 ja y=012 N-1. Tämä ilmaistaan lyhyemmin ja kääntäen seuraavasti. ( ( ( ( v u H v u F y x h y x f ( ( ( ( M m N n n y m x h n m f y x h y x f ( ( ( ( v u H v u F y x h y x f

42 4.6. Taajuusalueen suodatuksen perusteet Kuten aiemmin on esitetty taajuusalueen suodatuksen idea on aluksi laskea kuvan muunnos muokata tätä muunnosavaruudessa ja lopuksi käänteismuunnoksella muuntaa takaisin spatiaaliselle alueelle. Vaiheinformaatio ei ole yleensä visuaalisesti kovin hyödyllistä. Sen sijaan spektri kuvaa paremmin kuvan ominaisuuksia. Kuvassa 4.20.(a on (viallisen integroidun piirin 2500-kertainen elektronimikroskooppikuvan suurennos. Kuvana siinä on kiinnostavaa selvät viivat jotka ovat noin 45 kulmassa toisiinsa nähden ja valkoinen (lämpövirheen aiheuttama oksidipurkauma. Kuvassa 4.20.(b on vastaava spektri jossa pystysuora vaalea vähän vinossa oleva komponentti on valkoisen alueen rajojen aiheuttama. Taajuusalueen suodatus 240

43 Kuva (a Viallisen integroidun piirin suurennoskuva jossa on muusta väristä erottuva valkoinen oksidipurkauma ja (b edellisen spektri. Taajuusalueen suodatus 241

44 Yleisesti suodatus on esitettävissä abstraktiona oheisella tavalla. g( x y U 1 H ( u v F( u v Tässä F(uv oli M N-kuvan f(xy diskreetti Fourier-muunnos (DFT H(uv suodinfunktio eli suotimen siirtofunktio U -1 käänteismuunnos (IDFT ja g(xy suodatettu tuloskuva. F H ja g ovat M N-taulukoita jotka on laskettu taulukkokertomisina. Kun H:n tulee olla symmetrinen keskipisteen suhteen tämän aikaansaamiseksi kuva-alkiot on aluksi kerrottu arvolla (-1 x+y. (Monet ohjelmat eivät kuitenkaan tee näin esim. Matlab jolloin näissä suodinfunktiot on järjestetty uudelleen vastaamaan tilannetta että origo on vasemmassa yläkulmassa. Esimerkkinä suodatuksesta kuvan 4.20.(a spektrissä on dckomponentti asetettu 0:ksi jolloin kuva tummentuu kuvaksi Taajuusalueen suodatus 242

45 Kuva Edellinen kuva on muunnettu asettamalla F(M/2N/2=0. Taajuusalueen suodatus 243

46 Muunnoksen matalat taajuudet liittyvät kuvan hitaasti muuttuviin intensiteettikomponentteihin kuten huoneen seinät tai pilvetön taivas. Sitä vastoin korkeat taajuudet syntyvät terävien intensiteettimuutosten takia kuten rajat tai kohina. Korkeita taajuuksia vaimentava ja alhaiset sellaisenaan läpi päästävä alipäästösuodin (lowpass filter sumentaa eli tasoittaa kuvaa kun taas alhaiset taajuudet vaimentava ja korkeat läpi päästävä ylipäästösuodin (highpass filter terävöittää kuvaa mutta vähentää myös kontrastia. Kuva 4.22 esittää esimerkin. Huomaa samanlaisuus kuvien ja 4.22.(b välillä. Kuvassa 4.22.(c on pohjaa nostettu pienen vakion a verran jolloin dc-komponentti ei ole enää 0 mutta kuva silti terävöityy. Taajuusalueen suodatus 244

47 Kuva Ylärivi: alipäästösuotimen ja kahden ylipäästösuotimen taajuusalueen kertoimet pintakuvina esitettyinä (kertoimen suuruus on yhtä kuin pinta-alkion amplitudi eli pystyakselin arvo. Alarivi: kuva 4.20.(a suodatettu näillä. Taajuusalueen suodatus 245

48 Suotimet jotka vaikuttavat muunnoksen reaali- ja imaginaariosiin samalla tavalla ts. eivät vaikuta vaiheeseen mitenkään ovat nollavaihesiirtoisia (zero-phase-shift joka yleensä on toivottava piirre. Muunlaisia ei tässä materiaalissa käsitelläkään. Kuva havainnollistaa kuinka vaihekulman pienikin muutos saattaa vaikuttaa kuvaan huomattavasti tavallisesti epätoivotulla tavalla. Siinä kuvalle 4.20.(a on tehty skalaarimuutos kertomalla vaihekulmataulukko vakiolla 0.5 muuttamatta F(uv :tä ja laskemalla käänteismuunnos. Tuloksena on kuva 4.23.(a. Vaikka kuvan perusmuodot eivät muuttuneet intensiteettijakauma on häiriintynyt. Kun vakiokerroin oli pienempi 0.25 saatiin merkittävästi alkuperäisestä muuttunut kuva 4.23.(b. Taajuusalueen suodatus 246

49 (a Kuva (a Vaihekulmataulukko on kerrottu vakiolla 0.5 ja (b 0.25 ennen käänteismuunnosta. Spektri ei muuttunut kummassakaan. (b Taajuusalueen suodatus 247

50 Esitetään yhteenvetona kuinka kuva voidaan suodattaa taajuusalueella. (1 Syötekuva f(xy olkoon kokoa M N. Zero-padding- tai vastaavaa kuvan laajentamista varten määrätään laajennettu koko usein P=2M ja Q=2N. (Laajennus on tarpeen jotta kuvan reuna-alueetkin voidaan suodattaa. (2 Muodostetaan laajennettu kuva f p (xy kokoa P Q lisäämällä tarpeelliset nollat taulukkoon. (3 Kerrotaan f p (xy arvoilla (-1 x+y muunnoksen keskistämiseksi. (4 Lasketaan DFT-muunnos eli F(uv. (5 Generoidaan suotimen reaalinen symmetrinen siirtofunktio H(uv kokoa P Q keskipisteenään (P/2Q/2. Muodostetaan tulo G(uv = H(uvF(uv taulukkokertomisella. Taajuusalueen suodatus 248

51 (6 Saadaan prosessoitu kuva g p ( x 1 x y reaaliosau G( u v ( 1 y jossa valitaan reaaliosa ja sivuutetaan kompleksiosa. (7 Kuva g(xy saadaan tuloksena ottamalla vasen M N-yläneljännes kuvasta g p (xy. Kuva esittää esitettyä menettelyä. Zero padding -operaatiota käyttävä alipäästösuodin aiheuttaa tuloskuvaan 4.24.(h (heikosti erottuvan tumman reunan. Huomattakoon ettei zero padding tai vastaava laajennus ole täysin välttämätön. Jos laajennusta ei tehdä silloin kuitenkin kuvasta leikkautuu reunaa pois (suodatusta ei voi tehdä reunan yli eli tuloskuva on alkuperäistä pienempi. Taajuusalueen suodatus 249

52 a b c d e f g h Kuva (a M N-kuva f (b laajennettu kuva (zero padding f p kokoa P Q (c tämä on kerrottu arvoilla (-1 x+y (d jolloin spektri tulee kuvan keskelle (e Gaussin alipäästösuodin H (f tulo HF p (g (-1 x+y :n ja HF p :n reaaliosan käänteismuunnoksen tulo g p ja (h lopullinen tulos g joka on saatu leikkaamalla ensimmäiset M riviä ja N saraketta. Taajuusalueen suodatus 250

53 4.7. Kuvan tasoittaminen Kuvan tasoittaminen (sumentaminen alipäästösuodattaa reunoja ja muita teräviä intensiteettimuutoksia kuten kohinaa. Tarkastellaan kolmea tyyppiä: ideaali Butterworth- ja Gaussin alipäästösuodin. Ideaali alipäästösuodin päästää vaimentamatta taajuudet jotka ovat origosta enintään säteen D 0 etäisyydellä ja leikkaa muut pois. 1 jos D( u v D H ( u v 0 jos D( u v D Tässä D 0 >0 ja D(uv on taajuusalueen pisteen (uv ja keskipisteen välinen etäisyys ts. D( u v ( u P / 2 ( v Q / 2 1/ jossa P ja Q on laajennettu aiempaan tapaan. 0 0 (2 Taajuusalueen suodatus 251

54 Kuva esittää ideaalia alipäästösuodinta. Tällaista terävää transitiopistettä (H(uv=1 ja sitten välittömästi 0 katkaisutaajuutta (cutoff ei voida elektronisissa komponenteissa toteuttaa mutta voidaan ei-fysikaalisena kuitenkin laskennallisesti simuloida. Kuva esittää testikuvan spektreineen. Kuva esittää suodatustuloksia joita kuvan 4.26.(b eri katkaisutaajuudet antoivat. Ideaali suodin on ideaali vain muotonsa puolesta. Käytännössä se on aika huono sillä kuvan mukaan siinä esiintyy (käyrässä soivia sivulohkoja eli aaltoja. Sitä tarkasteltiin ikään kuin suotimen perusmuotona. Yleensä parempia ovat mm. Butterworth-suotimet. Taajuusalueen suodatus 252

55 Kuva 4.25.(a Ideaalisen alipäästösuotimen transitio- eli siirtofunktion perspektiivikuva (b suodin kuvana ja (c suotimen halkileikkaus. Taajuusalueen suodatus 253

56 Kuva 4.26.(a testikuva ja (b tämän spektri johon asetettujen ympyröiden (ideaalinen suodin säteet ovat ja 460. Säteet kattavat % laajennetun kuvan tehospektristä (ei sen kuvasta vaan taajuusvasteesta. Taajuusalueen suodatus 254

57 Kuva 4.27.(a Alkuperäinen kuva ja (b-(f suodatustulokset edellisen kuvan katkaisutaajuuksia soveltaen. Taajuusalueen suodatus 255

58 Kuva 4.28.(a Spatiaalisen alueen esitys säteen ollessa 5 kuvassa kooltaan ja (b intensiteettimuoto vaakasuoran kulkiessa kuvan keskeltä. Taajuusalueen suodatus 256

59 Butterworth-suodin on muotoa H ( u v 2n 1 D( u v / D0 1 jossa D(uv tulee kaavasta (2. Kuva esittää tätä. Se että katkaisutaajuus ei käsitä epäjatkuvuuskohtaa kuten ideaalisessa suotimessa on hyvä. Toisaalta usein pyritään melko jyrkkään muutokseen siirtoalueessa eli esim. n=4. Kuvassa on Butterworthilla suodatettuja kuvia. Haittapuolena on soimisen lisääntyminen jyrkkyyden kasvaessa (kuva mikä voi tuoda kuviin epätoivottuja vaikutuksia. Gaussin suodin on muotoa jossa on niin ikään D(uv kaavasta (2 ja D 0 = (keskihajonta. H ( u v e D Kuva esittää tämän ominaisuuksia. 2 ( u v/ 2D 2 0 Taajuusalueen suodatus 257

60 Kuva Butterworth-alipäästösuotimen siirtofunktion perspektiivikuva (b suodin kuvana ja (c halkileikkaus tapauksille n=1 2 3 ja 4. Taajuusalueen suodatus 258

61 Kuva (a Alkuperäinen kuva ja (b-(f suodatuksen tulokset (aste n=2 katkaisutaajuuksien ollessa kuvan mukaiset. Taajuusalueen suodatus 259

62 Kuva Butterworth-alipäästösuotimen spatiaaliesitykset asteille n=1 2 5 ja 20 (kuva ja katkaisutaajuus 5. Taajuusalueen suodatus 260

63 Kuva 4.32.(a Gaussin suotimen siirtofunktion perspektiivikuva (b suodin kuvana ja (c halkileikkaus eri arvoilla D 0. Taajuusalueen suodatus 261

64 4.8. Ylipäästö- ja muita suodintyyppejä Ylipäästösuotimella voidaan terävöittää kuvaa. Em. kolmen tyypin siirtofunktioista H LP (uv saadaan nyt ylipäästösuotimet H HP (uv seuraavasti. H HP (uv = 1 - H LP (uv Tällöin ideaalinen ylipäästösuodin on H ( u v 0 jos D( u v D 1 jos D( u v D0 jossa D 0 on katkaisutaajuus. D(uv on kaavasta (2 kuten seuraavassakin. Butterworth-ylipäästösuodin on näin. 1 H ( u v 2n 1 D / D( u v 0 0 Taajuusalueen suodatus 262

65 Gaussin ylipäästösuodin on vastaavasti. H ( u v 1 e D 2 ( u v / 2D 2 0 Näiden kolmen ylipäästösuodatintyypin esitykset ovat kuvassa Edelleen niiden spatiaaliset ja intensiteettikäyräesitykset ovat kuvassa Kuva käsittää esimerkin. Suodintyyppejä on muitakin esim. homomorfiset suotimet. Taajuusalueen suodatus 263

66 Kuva Ylärivissä ideaalisen ylipäästösuotimen (a perspektiivikuva (b kuvaesitys ja (c halkileikkaus keskirivissä (d- (f vastaavat Butterworth-ylipäästösuotimelle ja alarivissä (g-(i Gaussin ylipäästösuotimelle. Taajuusalueen suodatus 264

67 Kuva Spatiaaliset esitykset ja intensiteettikäyrät: (a ideaali (b Butterworth- ja (c Gaussin ylipäästösuodin. Taajuusalueen suodatus 265

68 Kuva Butterworth-ylipäästösuotimen tulos kun (a D 0 =30 (b 60 ja (c 160. Taajuusalueen suodatus 266

69 Voidaan myös muodosta suodin monipuolisemmin tekemällä siitä kaistanpäästö tai -estosuodin ts. päästökaistan molemmin puolin on estokaista tai päinvastoin. Jos jälkimmäisessä tapauksessa estokaista on hyvin kapea kyseessä on notch-suodin (lovi jolla voidaan poistaa melko tarkasti jokin taajuus kuvasta kuten aiemmin mainittu moire-ilmiö. Taajuusalueen suodatus 267

70 4.9. Fourier-muunnoksen toteutus Fourier-muunnos toteutetaan aina nopean Fourier-muunnoksen algoritmin (FFT avulla. Kun alkuperäinen (kaavan mukainen Fourier-laskenta vaatii aikakompleksisuuden O((MN 2 FFT tarvitsee vain O(MN log 2 (MN mikä on huomattava ero. Tässä voi sijoittaa esimerkkinä kuvan koon ts. M=N=1024. Ei tarkastella FFT-algoritmia. Se on tyypillinen hajota-ja-hallitseperiaatteen (divide and conquer mukainen. Taajuusalueen suodatus 268