/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usea vapausastee vaeeato oasvärähtely osa MONINKERAISE OMINAISAAJUUDE Sesso MS oreeratu oasuodo { lasetaeetelässä oletett, että o ysertae oasulataauus. arastellaa velä tapausta, ossa o p- ertae oasulataauus el se o araterstse yhtälö p-ertae uur ( p >. ällasta oasulataauutta vastaa ääretö äärä oasuotoa, osta ute etää p pl o tosstaa leaarsest rppuattoa. Nää p leaarsest rppuatota oasuotoa vodaa valta esers seuraavast. Ostetaa { ste, että { { { W { ( ssä apltudvetor osat ovat { {... { {... W p p p ( Apltude lasesee äytettävä yhtälöryhä vodaa osttaa vastaavast [ D( ] [ D( ] [ D ( ] [ D ( ] { W { { { ( ossa [ D ( ] [ D ( ] o pp -atrs. Kosa o p-ertae oasulataauus, atrs e ole sgulaare. Yhtälöstä ( saadaa oasvetor loppupää alolle { [ D( ] [ D ( ]{ W ( Yhtälöstä ( saadaa p rppuatota oasuotoa {,,, p L sottaalla she perää vetort { { L, { W { L, L, { W { L W p E,I,ρ L/ L/ Kuva. Eser. E,I, ρ ESIMERKKI MSE uttaa eserä edellä estetystä oasvetorede äärtyseetelästä vaaasuuassa tueattoa pal pystysuutasta oasvärähtelyä äyttäe uva uasta ole vapausastee lasetaalla, ossa ρ AL /. Systee leyhtälöt ovat
/ ρ L EI AL && && && Ku ertää (8EI L A ρ, eee araterste yhtälö uotoo [ ] D( det ] ( [ ] ( [( ] ( [( ( A EI L 6 ( ρ Ysertasta oasulataauutta vastaavas oasuodos tulee { { { 8 Kasertasta oasulataauutta vastaavat leaarsest rppuattoat oasuodot saadaa yhtälö ( avulla { [ ]{,, W altaa { { { { { { W altaa { { { { { { W Kuvassa o havaollstettu edellä lasettua oasuotoa a stä äyy selväst, että { a { edustavat äyä appalee lettä. { { { Kuva. Oasuodot.
/ OMINAISMUOOJEN OROGONAALISUUS arastellaa erästä oasvetorede täreätä oasuutta. Oloot a as er oasulataauutta seä { tä vastaavat oasuodot. Sllo o a { [ K]{ [ M]{ [ K] { [ M] { (5 Kertoalla aava (5 esäe yhtälö vasealta vetorlla {, saadaa { [ K]{ { [ M]{ (6 astaavast saadaa ertoalla aava (5 äläe yhtälö vasealta vetorlla { a ottaalla huooo atrse [ ] a [ M] K syetrsyys { [ K]{ { [ M]{ { [ K] { { [ M]{ (7 ähetäällä yhtälöstä (6 puoltta aava (7 äläe yhtälö seuraa { [ M]{ ( (8 Kosa oletett, että, seuraa tulos { [ M]{ (9 oa uaa oasuodot ovat ortogoaalset assaatrs suhtee. Sottaalla tulos (9 aavaa (6 saadaa { [ K]{ (, e- ote oasuodot ovat yös ortogoaalset äyyysatrs suhtee. Jos vät tuloset (9 a ( ole välttäättä voassa. ESIMERKKI MSE Eserä oasuotoe ortogoaalsuudesta tarastellaa uva systee oasuotoa. Mertää EI/ L. Oasuodolle { a { o voassa { [ M]{ {
/ { [ K]{ { ote oasuodot { a { ovat assa- a äyyysatrs suhtee ortogoaalset. Saalla tavalla vodaa todeta oasuotoe { a { ortogoaalsuus. uttaa stte asertasta oasulataauutta vastaave oasuoto- ortogoaalsuutta. ässä tapausessa tulee e { a { { [ M]{ { { [ K]{ { ote useapertasta oasulataauutta vastaavat oasuodot evät välttäättä ole ortogoaalset, vaa olsvat leaarsest rppuattoat. Mateatassa osotetaa, että o aa ahdollsta valta p-ertasta oasulataauutta vastaavasta oasuotoouosta yös p appaletta eseää ortogoaalsta oasuotoa. arasteltavassa tapausessa esers oasuodot { { { { { { ovat ortogoaalset assa- a äyyysatrs suhtee, sllä { [ M]{ { { [ K]{ { O lestä, että oasuoto { o ortogoaale ae oasulataauutta vastaave oasuotoe assa.
/5 OMINAISÄRÄHELYEHÄÄN RAKAISU Sessossa MS äht, että vaeeattoa oasvärähtely leyhtälö ratasuyrte { { s( t ϕ to, u vaos valtaa o systee oasulataauussta a vetors { vastaava oasuoto {. Leyhtälö ylee ratasu o ä olle { A { s ( t ϕ ( ossa { o oreerattu oasuoto seä A a uoto ratasulle ( o ϕ ovat vaota. ahtoehtoe { { ( B cos t C s t ( appaletta a e saa- ssä B a daa systee aluehdosta C ovat vaota. aota { ( { { ( & {& B a C ta A a ϕ o ( Käytetää seuraavassa ratasua (, ollo opeusvetors tulee { { ( B s t C cos t & ( Aluehdosta ( seä yhtälöstä ( a ( seuraa { ( { B { { ( { C { & & (5 Ku yhtälöt (5 errotaa vasealta vetorlla { [ M] a otetaa huooo oasuotoe ortogoaalsuus, saadaa vaolle ratasu B { [ M]{ C { [ M]{ & (6 M M ESIMERKKI MSE Ratastaa eser MSE systee vaot B a C, u aluehdot ovat { {,,, a { & {,5,,5 / s. Modaalassos saat M, M a M. aos tulee tässä tapausessa
/6 B 5,, {,,5,77, 5 B, {,, B 5, {,,5,77, C 5,5, {,,69,5 C 5,5,5 {,,56, C 5,5, {,,9,5 Alla o oasvärähtelytehtävä ratasu { { ( B cos t C s t opoette uvaaat ahde seu aalta. Kuvaaat evät ole asollsa, osa oasulataauuse suhteet evät ole ratoaalluua.. Oasvärähtelytehtävä ratasu t (. t ( t (...5.5.75.5.5.75 t
/7 HARJOIUS MSH arastellaa sesso MS harotuse systeeä. Osota, että lasetut oasuodot ovat ortogoaalset assa- a äyyysatrs suhtee. Estä aluehtoa 5 { { &,,,,8, s,6 vastaava oasvärähtelytehtävä ratasu a prrä se opoette uvaaat. ast. heet: HARJOIUS MSH arastellaa sesso MS harotuse systeeä. Osota, että lasetut oasuodot ovat ortogoaalset assa- a äyyysatrs suhtee. Estä aluehtoa O L / L / p θ p, I { { &,rad,,,8rad/ s, / s, / s vastaava oasvärähtelytehtävä ratasu a prrä se opoette uvaaat. ast. heet: