Lueo 6 Järjeelmä (yeemi) äie ja luoiue Lieaarie aia ivariai järjeelmä Impulivae Siirofuio Sabiiliuu Taajuuvae..6 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei o objei, joa määriää relaaio igaalijouo välillä. Järjeelmä igaali jaeaa uei ulouureiii ja lähöuureiii Tuloigaali ova järjeelmää riippumaomia Lähöigaali iälävä järjeelmä uoamaa iformaaioa. Tyypilliei järjeelmä reagoi lähöigaaleihi ja uoaa iide perueella lähöigaali. Tällöi ulo- ja lähöigaalie välillä valliee aualieeiuhde. ulouuree SYSTEEMI lähöuuree..6
Järjeelmä Järjeelmä ulouuree jaeaa uei maipuloiavii uureiii ja ei-maipuloiavii uureiii (häiriö) Häiriö Maipuloiava ulouuree SYSTEEMI lähöuuree Järjeelmiä voidaa luoiella iide ulo- ja lähöuureide määrie muaa SISO Sigle Ipu-Sigle Oupu MISO Muliple Ipu Sigel Oupu SIMO Sigle Ipu Muliple Oupu MIMO Muliple Ipu Muliple Oupu..6 3 Järjeelmä Järjeelmä voidaa ajaella operaaorii F(.), joa uvaa ulouuree lähöuureei. (vr. mariiilla A eromie o uvau veorila x veorille y=ax) Eimerejä järjeelmä-operaaoreia: F( x ( )) = h( τ ) x ( τ ) d Kovoluuioiegraali = ( π ) Lieaarie modulaaio F( x ( )) x ( )co f c..6 4
Järjeelmä Proei o auaalie, jo vaee y(): raaiemiei ajaheellä ei arvia heräee ulevia arvoja u(τ), τ Jauva-aiaie proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova jauva-aiaiia igaaleja y()=f(u()) Dieei-aiaie proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova direeiaiaiia igaaleja y()=f(u())..6 5 Järjeelmä Lieaarie järjeelmä: Järjeelmä oimia ei riipu heräee ampliudia ja vaiheea. Se uvaamiee riiää lieaarie operaaori F: F(ax()+bu())=aF(x())+bF(u()) Eim. Paiiviia ompoeeia oouva ähöpiiri Epälieaarie järjeelmä: Järjeelmä geeroima vae riippuu heräee ampliudia ja ai vaiheea a : F(ax()) af(x()) Eim. Tehovahvii..6 6 3
Järjeelmä Deermiiie järjeelmä Jo järjeelmä ila ueaa ieyä ajaheeä voidaa e vae euaa arai ueulle heräeelle. Eim. Eleroie ai meaaie järjeelmä Aia ivariai järjeelmä: Järjeelmä oimia ei riipu ajaa. Aija uhee muuuva järjeelmä: Järjeelmä oimia muuuu aja fuioa. Se vae ii riippuu iiä miä ajaheeä heräe järjeelmää yöeää. Soaie auaie järjeelmä / proei Vaia järjeelmä ila ieyä ajaheeä ueaiii, ei e vaea ueulle heräeelle voida euaa vaa e o auaie. Eim. Radioaava Saioäärie oaie proei: Proei ilaollie omiaiuude eivä riipu ajaa. Epäaioäärie proei: Proei ilaollie omiaiuude vaiheleva aja muaa...6 7 Sabiiliuu Deermiiie järjeelmä o BIBO (bouded ipu bouded oupu) abiili, jo ampliudirajoieu heräee vae o ampliudirajoieu x() < F x() < ( ) Jo o olemaa x () < ie, eä F( x() ),, mua ampliudi rajoieu ii-muooie igaali vae o ampliudirajoieu ii-muooie igaali x() = Aco( π f+ φ), A < F( x() ) < järjeelmää uuaa margiaaliei abiilii. Muuoi järjeelmää uuaa epäabiilii...6 8 4
Lieaarie aiaivariai järjeelmä u() h() y() Jauva-aiaie LTI-järjeelmä oimiaa uvaa lieaarie differeiaaliyhälö m m d d d d y () a y () ay () b u () b u () bu () m m m d = d + d + d + + joa o järjeelmä eraluu Jo m, ii järjeelmä o aio (proper): Vae ei riipu heräee derivaaaa d/d u() Jo m<, ii järjeelmä o vahvai aio (ricly proper): Tulouure u arvo ajaheellä, u(), ei vaiua lähöuuree y arvoo ajaheellä, y()...6 9 Yleie eiyapa LTI-järjeelmä d y() d u() a = b d = d = Jo m<, ii määriellää b_=, =m+,m+,, Aiaderivaaaa meriää uei pieellä d v () = v () d d v () = v () d ( ) d v () = v() d..6 5
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Sähöpiirie peruompoei Vau (reiai) v () = Ri () R i() Kela (iduai) di() v () = L d Kodeaaori (apaiai) dv() i () = C d v () = id () C v() L i() v() C i() v()..6 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Meaaie järjeelmie peruompoei Eeevä liie: Maaappale (ieria) dx () Fm( ) = m d Joui F () = Δ x() = ( x() x ()) Vaimei dδx() dx() dx() Fb( ) = B = B d d d m x() x () B x () x () x ()..6 6
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Meaaie järjeelmie peruompoei Pyörivä liie: Hiaumomei d θ() T () = J d J θ() J Vääöjoui T () = Δ θ() = ( θ () θ ()) θ() θ() Vääövaimei dδθ() dθ() dθ() Tb( ) = B = B d d d θ() B θ()..6 3 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Viraujärjeelmie peruompoei Läpivirauäiliö dv() = F () F () d Ideaalieoii dv() C() = FC () () FC () () d Puiviive V C() = C( Td ()) = C F () Virau auo läpi F () = AR () Δ p () = AR () p() p() Tämä o eimeri epälieeaariea ompoeia F () C () V() C () F () C () C () p () F () F() R A() V() F() V p () F () C ()..6 4 7
Eimeri Jäie x() o ulouure ja jäie y() lähöuure i( ) i( ) (a) (b) dy() di() i () = C y () = L d d x () = Ri () + y () x () = Ri () + y () x () y () x () y () i () = i () = R R di() dy() y () = L = i () d d C L dx() dy() y () = dy() = y () + x () R d d d RC RC dy() R dx() = y () + d L d..6 Vahvai aio järjeelmä 5 Aio järjeelmä Eimeri Jäie x() o ulouure ja jäie y() lähöuure i ( ) i ( ) dx( ) di( ) i( ) i( ) x() = Ri() + i() i() d R C + + = d d C di () x() = Ri() + L + y() =, y() = i() R d Järjeelmää uvaa y. aee differeiaaliyhälö d y( ) R dy( ) + + + y () = x() d L RC d LC LC..6 6 8
LTI-järjeelmä Sähöpiiriä uvaavie differeiaaliyhälöide aeluu viiaa iiä eiiyvie varaoelemeie (odeaaori ja ela) luumäärää. Jo piiriä ei ole varaoelemeejä, iä uuaa muiiomai. Eimeri muiiomaa piiriä: x() y ( ) R R + R () = x() y..6 7 Laplace-muuo Sigaali o auaalie, jo v()=, u <. Kauaalie igaali Fourier-muuo Kauaalie igaali Laplace-muuo Jo Laplace muuo overgoiuu alueea Re{}, aadaa iiä Fourier muuo valiemalla =iπf...6 8 9
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-muuo Määrielmä: (f() o aja fuio ja F() o iä vaaava Laplace-ao eiy) { } F () L f () fe () d = = { } f () = L F () = Fed () iπ Jo raja-arvo ova olemaa, ii iille päee b+ i b i Loppuarvoeoreema Aluarvoeoreema lim f ( ) = lim F( ) lim f ( ) = lim F( ) Laplace-auluo o eiey eri läheiä hiema erilaiia (yleeä joo ii, eä aja fuio o helppo Laplacemuuaa ai ii, eä Laplace-ao eiy voidaa ääeimuuaa helpoi...6 9 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-eoreemoja Laplace-muuo Aja fuio F () f () T CF() + CF() C f() + C f () T a F ( + a) e f ( ) T3 a, a e F() f ( a), > a T4 F a a f( a) T5 d F () d f () T6..6
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-eoreemoja Laplace-muuo Aja fuio F( σ) dσ f( ) T7 F() F() f () τ f ( τ) dτ T8 F() f () f () T9 ( + ) ( ) F () f() f() f() T ( ) ( ) ( ) () () () ( ) T F f + f + f f F() + f() τ dτ f() τ dτ =+..6 T Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-muuopareja Laplace-muuo Aja fuio Laplace-muuo Aja fuio δ( ) M b a ( e e ) M9 ( + a)( + b) a b M b a + ( ae be ) M ( + a)( + b) ab abb ( a) M3 a i( a) M M4 + a +! co( a) M a e M5 + a + a a b e i( a) M3 a e M6 ( + b) + a ( + a) + b b a e co( a) M4 e ( + b) + a M7 + ( + a)! + a b δ() + ( a b) e M5 ( a + b e ) M8 ( + a) a..6
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Deermiiie eifuio Syeemi heräeeä u() äyeää uei euraavia igaaleja Yiöimpulifuio (Diraci delafuio) R u() ; uδ () = δ() = S = + zδ( d= ) Uδ () = Δ() = ; muulloi T Yiöaelfuio R u () ; = S T ; > Yiöpegerfuio R u () ; r = S T ; > U( )= Ur( )= u()..6 3 u() LTI-järjeelmä u() h() y() Taraellaa lieaaria aiaivariaia järjeelmää m m d d d d y () + a y () ay () bm u () bm u () bu (), m + + = + m + + m d d d d Oleeaa, eä järjeelmä aluarvo ova ollia: y () ()=d /d y()= u u () ()=d /d u()= u..6 4
LTI-järjeelmä Derivaaa Laplace-muuo LTI-järjeelmä Laplace muuo m d d d () + () () = d = d = d L y a y L b u m l + a l Y() = b U() l= = Siirofuio m b Y() = H() = U() l + a l =..6 5 Impulivae LTI-järjeelmälle päee yleiei Y() = H() U() Käyeää heräeeä impulia u()=δ(). U() = L{ δ () } = Y() = H() U() = H() H() o Impulivaee Laplace muuo. Impulivae (paiofuio) h() aadaa ääeimuuoea: h () = L { H() } Laplace muuo löyyy vaia järjeelmä olii epäabiili...6 6 3
Impulivae Lieaarie järjeelmä iirofuio voidaa eiää ahde polyomi M() ja N() avulla M ( ) M ( ) M M() z z...( z ) m m H() = = N () N ( ) N ( ) N p p...( p ) N Polyomi M() ollaohda M(z )= ova imelää ollia (zero) M o olla z aeluu M +M + +M z =m Polyomi N() ollaohda N(p )= ova imelää ollia (pole) N o ava p aeluu N +N + +N = Yhälö N()= o imelää araeriie yhälö..6 7 Oamuroehielmä Oamuroehielmä iirofuiolle H(): Ni Cij H() = j i= j= ( i ) C C C N = + +... + ( p ) N ( p ) ( ) p C C C + + +... + ( p ) ( p ) ( ) p +... C C C N + + +... + ( p ) N N ( p ) ( ) N pn Keroime N i j d N ( ) ( ) i M Cij = z pi ( N )! Ni j i j d N( ) = pi..6 8 4
Impulivae LTI-järjeelmä impulivae voidaa irjoiaa muooo N i H() = Cij j i= j= ( pi ) Kääeimuuo aadaa ovelamalla aavaa (M7) a e L = +! ( + a) jolloi impulivaeei aadaa N i C ij h () = L { H( ) } = L j i= j= ( pi ) Ni Cij j p = e i i= j= ( j! )..6 9 LTI-järjeelmälle päee Y() = H() U() ( ) ( ) y () = hτ u τ dτ Sabiiliuu Oleeaa, eä heräeigaali u() o ampliudirajoieu u() M< Vae y() o ampliudirajoieu ja järjeelmä o abiili, jo ( ) ( ) ( ) y () hτ u τ dτ M hτ dτ < Toii aoe, järjeelmä o abiili, miäli impulivae h() o ieiei iegroiuva h ( τ) dτ <..6 3 5
Sabiiliuu LTI-järjeelmä impulivae o muooa Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) miä ava p ova ompleiluuja Jo Re{p }<, ii Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) u ja h ( τ) dτ < Jo impulivae o abiili, ille löyyy myö Fouriermuuo H(f)..6 3 Nava Nava aadaa raaiua araeriiea yhälöä N ( ) N ( ) N N() = p p...( p ) N = = p =,,..., Realie järjerelmälle h() ava eiiyvä omplei ojugaaipareia N () = + ζω+ ω = ζω ± iω ζ ζ < = ζω ± ω ζ ζ alivaimeeu ylivaimeeu Sabiiliuualue p = ωζ + i ζ ω * p = ωζ i ζ ω ς = co( α) ζ vaimeuerroi ω omiaiaajuu..6 3 α Im Re 6
Nava Komplei apapari vaiuu impulivaeeee.6 Impule Repoe ω H() = + ζω+ ω Reoaiaajuu ωr = ω ζ Ampliude.5.4.3.. ζ< ζ= ζ> Uderdamped Criically damped Overdamped ζ abiili, ei värähele ζ< abiili, värähelee ζ= margiaaliei abiili, värähelee, ei vaimee - ζ epäabiili, värähelee ζ - epäabiili, ei värähele -. 5 5..6 33 Ampliude 5 5-5 - -5 Sable Margially able Uable Time (ec) Impule Repoe - 5 5 Time (ec) Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Nava Eäiyy imagiääriaelia uvaa epoeiaalia äyäyymiä (miä auempaa imagiääriaelia ollaa iä opeammi impulivae aavuaa loppuarvoa (vaemmaa puoliaoa) ai araa ääreömyyee (oieaa puoliaoa). Eäiyy reaaliaelia uvaa värähely aajuua (miä auempaa reaaliaelia ollaa iä uurempi aajuu). Järjeelmä o iä opeampi miä auempaa e ava ova origoa Nopea epoeiaalie äyäyymie Im Hida epoeiaalie äyäyymie Re Nopea epoeiaalie äyäyymie oreaaajuie värähely Im maalaaajuie värähely Re maalaaajuie värähely oreaaajuie värähely..6 34 Im Nopea Nopea Re Hida Nopea Nopea 7
LTI-järjeelmä Jo järjeelmä o abiili, ii h(): ja y() Fourier muuo ueaa (y() o eergiaigaali). Fourier-muuuva igaali y() derivaaa voidaa lauua Y(f): avulla: d F y() ( i π f ) Y( f) = d Oleeaa, eä heräe o Fourier-muuuva d F U() ( i π f ) U( f) = d..6 35 LTI-järjeelmä Fourier muuo Fourier muueaa aluperäie differeiaaliyhälö d d F y() a F y() a F{ y() + + + } = d d m m d d m + m + + m { } bf m u () b F u () F bu () d d Muuoei ulee ( ) m l iπ f + al( i π f ) Y( f) = b ( i π f ) U( f) l= = Suhdea Y(f)/U(f) uuaa järjeelmä iirofuioi Y( f) H( f) = U( f) m = ( π ) b i f l ( iπ f ) + al ( iπ f ) =..6 36 8
Eimeri 5 Taraellaa eimeri ähöpiiriä d y() R dy( ) + + + y = x d L RC d LC LC R=, C=, L= Raaiaa iirofuio d y( ) dy( ) + + y () = x() d d ( + + ) Y( ) = X ( ) Y() H() = = X ( ) ( + + ) () ()..6 37 Eimeri 5 Nava N () = + + = ( p)( p) = ( ) i p = + = i = p Re{p_}<, joe järjeelmä o abiili. Oamuroehielmä Y() A B H() = = = + X ( ) ( + + ) p p A pa + B pb = ( p)( p) : A+ B= B= A : p A p B= ( + i) A+ ( i) ( A) = A= i..6 38 9
Eimeri 5 Siirofuioi aadaa H() = + i + i + + i Kääeimuuo aaa ( i ) ( + i ) ( ) () h () e e e i i a { } Le = + a ix ix = = i( x) = ( e e ) i.35.3.5. h().5..5..6 -.5 3 4 5 6 7 8 9 39 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Sabiiliuuei Jo ueaa yeemi ava (imiäjäpolyomi ollaohda), ii abiiliuu o helppo odea. Juure voidaa määriää umeeriea polyomia ieraiiviilla laearuiieilla (ue omeo eig, roo ai pole MATLABia). Eim. polyomille 3 + + 4+ roo([ 4 ]) a = -.36.8 +.77i.8 -.77i Jo joi polyomi eroimia o olla ai egaiivie, ii polyomilla o vähiää yi juuri imagiääriaelilla ai oieaa puoliaoa...6 4
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Rouhi aavio Symboliee laeaa oveluu Rouhi aavio: a a a a a a a a a a b b b b 3 b b b b 4 c c c 5 c c c z z 4 6 8 3 5 7 9 4 6 3 5 7 4 3 5 a + a + + a + a z = a 3 3..6 4 a a a a4 a a6 b =, b =, b4 =, a a a a a a a a a 5 4 5 7 a a3 a a5 a a7 b =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b 6 b b b b4 b b6 b =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b Deermiai a a = a a a a a a 7 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Rouhi aavio Rouhi aavio eimmäieä araeea olevie merivaihoje luumäärä o amalla myö polyomi oieaa puoliaoa olevie juurie luumäärä. Jo yeemi araeriie polyomi ijoieaa Rouhi aavioo, ii yeemi o abiili, jo eimmäieä araeea ei ole aioaaaa merivaihoa. Jo aavioa muodoeaea e eimmäiee araeeee ulee olla, ii e ilalle aavioo ijoieaa piei poiiivie luu ε ja jaeaa aavio muodoamia. Lopulliea aavioa voidaa laea merivaihdo uimalla ε:a riippuvie ermie raja-arvo, u ε. Miäli aavioo muodouu oo rivi ollia, ii väliömäi ollariviä ylemmää riviä voidaa muodoaa polyomi, jolla aluperäie polyomi o jaollie...6 4
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Polyomi: Eimeri: Rouhi aavio 3 + + 4+ 4 3 + 4 + 6 + 4+ 3 4 4 6 3 4 4 5 / 5 Kai merivaihoa - ja - eli ai juura oieaa puoliaoa Ei merivaihoja eimmäieä araeea eli ei juuria oieaa puoliaoa..6 43 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Eimeri: Rouhi aavio Polyomi: 3 + + + 3 Saadaa ollarivi, jolloi ylemmälä rivilä aadaa polyomi + jolla aluperäie polyomi o jaollie. Laeaa ämä polyomi derivaaa : uhee ja ijoieaa e aavioo ja jaeaa d d ( + ) =..6 Ei merivaihoja, joe ei juuria oieaa puoliaoa 44 3
Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Eimeri: Rouhi aavio Polyomi: 4 3 + 3 + 4 + + 4 3 4 3 ε ( ε 36)/ ε 36 lim ε εε UVW = RST Eimmäiee araeeee ulee olla, jolloi orvaaa e pieellä poiiiviella luvulla ε ja jaeaa aavio muodoamia 4 3 4 3 ai merivaihoa - ja - ai juura oieaa puoliaoa..6 45 Lohodiagrammi Taraellaa dimeioia lieaaria järjeelmää = d = Iegroidaa molemma puole ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) a y a y d a y dd a y d d d y() d u() a = b d () () () () = bx+ b xd+ b xdd+ + b xd d Raaiaa y() ( y() = a y() d a y() dd+ a () () () ) + bx + b x d+ b x dd+..6 46 3
b Lohodiagrammi u ( ) y ( ) a b b b a a a a..6 47 Lohodiagrammi Lohodiagrammia voidaa yieraiaa ( ) d y() u() a = = d Iegroidaa yhälö y eraa () () + ( ( ) ()) ( () ()) ( () ()) ay bu a y b u d + a y b u dd + + a y b u d d ( y () = bu () + ( a y() + b u ()) d a ( a y () b u() ) dd ( ay () bu () ) d d) + + + + +..6 48 4
Lohodiagrammi u() y( ) b a b b a a b..6 a 49 Eimeri 3 Taraellaa. eraluvu järjeelmää 4 y y + y = 3x + x Iegroidaa molemmi puoli 4y = yd ydd 3 xd + xdd x ( ) -3-4 y()..6 5 5
Eimeri 4 Vaihoehoiei 4 y y + 3x = y+ x= z z = 4y y+ 3x z = z+ y 3x= 4y z = 4y y( ) x() z ( ) -3 ( ) 4..6 5 z z ( ) - Lohodiagrammi Mielivalaie lieaarie aiaivariai järjeelmä voidaa realioida äyäe joo derivaaoreia ai iegraaoreia. Bode vahviuäyrä deg Bode vaiheäyrä Derivaaori db/de ω 9 Iegraaori Bode vahviuäyrä -db/de Derivaaori vahviaa oreia aajuuia ja o ie herä ohialle. Iegraaori puoleaa uodaaa ohiaa. => Lieaarie järjeelmä aaaa realioida äyäe iegraaoreia..6 5 ω deg -9 Bode vaiheäyrä ω ω 6
Operaaiovahvii Operaaiovahvii (Op-Amp) o iegroiu piiri Op-Amp omaa ai iääuloa (o-ivered + ja ivered -) Omiaiuuia Hyvi uuri vahviu (A> 6 ) Eriäi uuri iäämeoimpedai Suurea impedaia johue, iäämeevä virra ova lähe ollaa i+ = i Jo äyeää egaiivia aaiiyeää, ii v+ v v + v i + + - v i ( ) v = A v v +..6 53 Käyäöllie iegraaori Aalogie iegraaori voidaa oeuaa äyäe operaaiovahviia Virual groud v v = + i( ) v ( ) x( ) dy i() = C, i = i d R dy () x () = RC d () v + y() = x() d RC..6 54 7