Luento 7. LTI-järjestelmät

Transkriptio

1 Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa Taajuusvaste Stabiilisuus..7 LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () = an yt () ayt () bm ut () bm ut () but (), n m n + + n m + + m dt dt dt dt Käytetään pyörivää osoitinta herätteenä i t ut () = e π ja arvataan, että vaste on muotoa yt () = H( ) e i π t..7

2 LTI-järjestelmät Sijoittamalla heräte sekä arvattu vaste dierentiaaliyhtälöön saadaan ( iπ ) + al( i π ) H( ) e π = bk ( iπ ) e H( ) = n m n l i t k iπ t l= k= m k bk ( iπ ) k = n n l ( iπ ) + al ( iπ ) k = Siirtounktio Joten taajuudella pyörivää osoitin generoi vasteeksi samalla taajuudella pyörivän osoittimen, jonka amplitudi ja vaihe ovat muuttuneet iπ t iπ t+ iarg H( ) yt ( ) = H( ) e = H( ) e..7 3 Taajuusvaste Järjestelmän taajuusvaste saadaan syöttämällä sisään eri taajuisia sini-muotoisia signaaleja ja katsomalla kuinka niiden amplitudi ja vaihe muuttuvat kulkiessaan järjestelmän läpi. iπ t iπ t ut () = cos( π t) = ( e + e ) i π t * iπ t yt () = H( ) e + H ( ) e iπ t+ iarg( H( )) iπ t iarg( H( )) yt () = H( ) e + H( ) e y( t) = H( ) cos π t+ arg H( ) ( ) Lineaarinen järjestelmä ei aiheuta taajuuden muuntumista...7 4

3 Esimerkki (/). asteen dierentiaali yhtälö d yt () = ayt () + but () dt i t Ratkaisu syötteelle ut () = e π : b iπ t yt () = e iπ + a iπ t Ratkaisu syötteelle ut () = e : b i t yt () = π e iπ + a Ratkaisu syötteelle ( ) ( iπ t iπ t ut () = cos π t = e + e ) : b iπ t b iπ t yt () = e + e iπ + a iπ + a..7 5 Esimerkki (/) Ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) b i + a b i + a yt () = e + e + a + a iπ t iπ t π π iπ t+ iarctan iπ t iarctan + a a ( π ) ( π ) ( π ) + a + a e + + a e = π π iπ t arctan iπ t+ arctan a a e = + e ( π ) + a π = cos π t arctan ( π ) + a a + arg ( H( )) H( ) a ib = a+ ib a + b b arg ( a+ ib) = arctan a

4 Taajuusvaste Taajuusvaste on järjestelmän vaste sini-muotoiseen herätteeseen. Siirtounktio jarg ( H( )) jφ ( ) H( ) = H( ) e = A( )e Amplitudivaste (amplitudi unktio) A( ) = H( ) Vaihevaste (vaiheunktio) φ ( ) = arg ( H( ) ) Vaiheviive (kantoaallon viive) [phase/carrier delay] Vaihesiirto vastaa aikatasossa signaalin viivästymistä t d ()=φ()/π iπ t F{ δ ( t t )} d d = e..7 7 Taajuusvaste Vasteen y(t) Fourier-muunnos: Y()=H()U() Vasteen y(t) spektritiheys saadaan impulssivasteen ja herätteen spektritiheyksien tulona: Y( ) = H( ) U( ) U( ) Y( ) H ( ) H ( ) Tehonsiirtounktio Järjestelmä suodattaa signaalia u(t)

5 Boden käyrät Vahvistuskäyrä Tehonsiirtounktio logaritmi kulmataajuuden =π (rad/s) unktiona log ( H(/(π)) ) Vaihekäyrä Vaihevaste asteina φ() 8 /(π) kulmataajuuden =π (rad/s) unktiona φ(/(π)) Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Frequency (rad/sec)..7 9 Amplitudi ja vaihevääristymät Halutaan siirtää signaali u(t) järjestelmän läpi, ilman että signaalin muoto vääristyy. Ideaalitapauksessa y(t)=a u(t-τ d ), missä a> on vakio Tätä vastaa taajuusvaste Y()=a U() e -iπτ d Tällöin järjestelmän siirtounktion pitää olla vakio H()=a e -iπτ d koko signaalin u(t) kaistalla Käytännössä näin ei tapahdu, vaan signaali vääristyy Amplitudi vääristymä: A() A Vaihevääristymä: φ() πτ..7 5

6 Amplitudi ja vaihevääristymät Ryhmäkulkuaika d tg ( ) = ( ) π d φ kuvaa vaiheen muutosta taajuuden unktiona. Ideaalisessa tapauksessa t g on taajuudesta riippumaton vakio. Vaihevääristymä kaistanpäästösignaalille u(t) kaistalla ( c -B/, c +B/), c kantoaallon taajuus Δ tg = max tg( ) tg( c) ( B, + B ) c c +Δ Δ φ = dφ πδtg Δ Vaiheen muutos taajuuden muutoksen suhteen..7 Vaihevääristymät Tarkastellaan lineaarisesti moduloitua signaalia, jonka kaistanleveys on B ut () = xt ()cos( π t c ) U( ) = X( + c) + X( c) Signaali kulkee kanavan (järjestelmän) läpi. Kanavan siirtounktio on i( π τg + φ sgn ) H( ) = ae A( ) = a Amplitudivaste φ( ) = π τg + φ, > Vaihevaste Vaiheviive φ t ( ) d = τ g + π Ryhmäviive dφ( ) t ( ) = = τ π d..7 g g 6

7 Vaihevääristymät Ulostulosignaali taajuustasossa cos( ) Y( ) = H( ) U( ) = X( + c) ae + X( c) e ja aikatasossa ( ( ) ) ( π ( ( ))) yt () = xt ( τ )cos π t τ φ g c g d i i F { π t c + φ } = δ ( + c) e φ + δ ( c) e i π τ g + i φ d i π τ g i φ d yt () = xt ( τg)cos c t td φ c t ( ) d = τ g + π φ Ryhmäviive Vaiheviive / kantoaallon viive..7 3 Vaihevääristymät Pelkkä vakio vaiheensiirto φ voi aiheuttaa signaalin vakavaa vääristymistä 4 Kantataajuinen signaali 4 Moduloitu signaali x(t) u(t) t t Vaihesiirretty moduloitu signaali 4 x(t-τ g ) y(t) t..7 yt () = xt ( τ g)cos π c( t τd) 4 ( ) 7

8 Esimerkki I (/4) Tarkastellaan T:n mittaista jännitepulssia u in (t), jonka amplitudi on A. T t u () in t = AΠ T RC-suodattimen impulssivaste h(t)=/τe -t/τ, τ=rc A /τ T Ratkaistaan suodattimen ulostulo u out (t)..7 5 Esimerkki I (/4) Jännitepulssin Fourier-muunnos T t π i { } π e Uin( ) = F uin( t) = F AΠ = ATsinc( T) e = A T iπ i F x( t τ ) = X( ) e T i T { } π τ Impulssivasteen Fourier-muunnos τ t H( ) = F{ h( t) } = F{ τ e } = iπ τ + Suodatettu signaali iπ T e Uout ( ) = H( ) Uin( ) = A H( ) iπ t F AΠ = ATsinc( T) T

9 Esimerkki I (3/4) Ulostulojänniteen Fourier-muunnos i Uout ( ) = H( ) Uin( ) = A H( ) e iπ π T ( ) iπ T = X( ) X( ) e, X( ) = A H( ) X ( ) iπ F x() t dt Ratkaistaan X():n käänteismuunnos iπ t t t τ τ A e dt A e t = xt () = F { X( ) } = F A H( ) = τ iπ t <+ Ulostulojänniteen lausekkeeksi saadaan i { } { π T out } u t F U F X X e x t x t T out ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) i { ( τ )} = X( ) e F x t π τ..7 7 Suodatettu pulssi t < t τ uout () t = A e t T ( t T) t τ τ A e e t > T Esimerkki I (4/4)

10 in () ~ Esimerkki II (/6) Tarkastellaan RC-suodinta d R it () = C uout () t it () dt u t C u () t Impulssivaste d ht () = ( δ () t ht ()) dt RC i π H( ) = H( ) RC H( ) = RC iπ + RC ( ) out u () t = Ri() t + u () t..7 9 in out d u out () t = u in() t u out () t dt RC = = iπ + RC RC ( ) t RC ht () F RC e Jos RC=, niin h(t) Esimerkki II (/6) A( ) = Magnitude (db) Bode Diagram { } φ( ) = arg H( ) = arctan( π ) Phase (deg) Frequency (rad/sec) =π..7

11 Ryhmäviive Esimerkki II (3/6) dφ( ) d tg ( ) = = arctan( π ) = π d π d + ( π ) Ryhmäviiveen muutos kaistalla [/(π), 3/(π)] Δ tg = max tg( ) tg.3 3 π, π π t g ()-t g ( c ) π* Esimerkki II (4/6) Vaihevääristymä +Δ +Δ Δ φ = dφ Δ φ = tg ( )πd +Δ d = arctan( π ) πd = arctan( π +Δ arctan π π d ( ( )) ( ) Vaihevääristymä kaistalla [/(π), 3/(π)] Δ φ = arctan 3 arctan.4636 rad ( ) ( ) Ryhmäviiveen avulla laskettu yläraja Δφ πδtg Δ = πi.3i =.6 rad π..7

12 Esimerkki II (5/6) Δ φ = arctan 3 arctan.4636 rad ( ) ( ) Bode Diagram.5 Magnitude (db) Δt g -4 t g ().3.5 Δφ Phase (deg) Frequency (rad/sec) π* Β..7 3 Esimerkki II (6/6) Tarkastellaan herätettä ut () = cos() t + cos(3) t Suodattomen vast on tällöin yt () = H cos t argh π + π 3 + H cos 3t arg H π + π = cos ( t arctan () ) + cos ( 3 t arctan ( 3 )) Amplitude u(t) y(t) Original signal Filtered signal Time. s viive..7 4

13 Taajuusvasteen tekijät Taajuustasossa osoittajan tekijöiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja ne jaetaan nimittäjän tekijöiden itseisarvoilla. Osoittajan tekijöiden napakulmat lasketaan yhteen ja niistä vähennetään nimittäjän tekijöiden napakulmat. s-tason siirtounktio -tason siirtounktio s a iπ a Gs () = Gi ( π ) G( ) = ( s b)( s c) ( i π b)( i π c) iπ a ( iπ ) + a ( ) = = π π ( π ) ( π ) { G( ) } { iπ a} { iπ b} { iπ c} G i b i c i + b i + c = kompleksi luvun kulma (arg)..7 5 Taajuusvasteen tekijät Tehonsiirtounktio esitetään usein desibeleinä pp = + ( p ) ( p ) ( p ) log log log log 3 p3 ( G ) = ( G ) log ( ) log ( ) iπ a = log ( G ( ) ) = log iπ b iπ c ( i π a i π b i π c) = log log log

14 Taajuusvasteen tekijät Desibelin yksikkö db on suhteellinen yksikkö Tehonsiirron tapauksessa yksikkö on dbw (db verrattuna W:iin) dbm (db verrattuna mw:iin) dbp (db verrattuna pw:iin) db (db verrattuna W:iin) 3 mw = W 3 W = log 3log dbw W = 3dBW mw =.W.W mw log log 3 = W mw = log dbm 3 dbm ( ).W log = log ( ) dbw 7 dbw W..7 7 Taajuusvasteen tekijät Jännitesignaalin tapauksessa amplitudivasteen G() :n yksikkö on volttia V dbv (db verrattuna V:iin) dbmv(db verrattuna mv:iin) log ( G() ) dbv mutta log ( G() ) dbw

15 Vakiokerroin Siirtounktio on reaalinen ja vakio G( ) = G( ) = K = = { G( ) }, { G( ) } π rad =-8 Im Im K Re -K Re lgk Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä =π Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä lgk Integraattori ja derivaattori Im G ( ) = iπ Derivaattorin siirtounktio j Re G ( ) = = i Integraattorin siirtounktio iπ π G( ) = π, G( ) = Im π π π { G( j) }, { G( j) } rad = -9 -j Re Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä db/dek 9 Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä db/dek -9 5

16 Viive Viive aikatasossa vastaa vaihesiirtoa taajuustasossa G ( ) = e iπ τ = cos( π τ) j sin( π τ) G π τ π τ ( ) = cos ( ) + sin ( ) = = Im sin( π τ) { G ( )} = arctan = arctan ( tan( π τ) ) = π τ cos( π τ) Re Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä..7 3 Ensimmäisen kertaluvun termit. kertaluvun siirtounktiot G ( ) = iπ T+, T > G ( ) = iπ T+ Approksimaatio Boden diagrammille Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä db/dek 9 /T./T /T Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä /T -db/dek./t /T

17 Ensimmäisen kertaluvun termit. kertaluvun järjestelmän Boden kuvaaja G ( ) = iπ + Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Toisen kertaluvun termit Toisenkertaluvun siirtounktio n n Gs () = G( ) = s + ζ s+ π + i π ζ ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) n n n n = Resonanssitaajuus: r = n ζ ( π ) + ζ( π ) j n n Boden vahvistuskäyrä (ζ=) n -4 db/dec Boden vaihekäyrä (ζ=). n -8 n

18 w=; w=logspace(-,,); zeta=.:.:; Toisen kertaluvun termit or k=:length(zeta) sys{k}=t([ w^],[ *zeta(k)*w w^]); [mag(k,:),pha(k,:)]=bode(sys{k},w); end; subplot(,,) semilogx(w/w,*log(mag)) xlabel('\omega/\omega_') ylabel('db') subplot(,,) semilogx(w/w,pha,w/w,- 8*ones(size(w)),'k--') xlabel('\omega/\omega_') ylabel('deg') db deg / ζ= ζ= ζ=. ζ=. - - / Esimerkki (/) Tarkastellaan järjestelmää s iπ Gs () = + G( ) = i( iπ + ) = + s+ iπ + iπ + / + = / 5 /

19 Esimerkki / Bode Diagram - Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Stabiilisuus Tarkastellaan stabiilin järjestelmää H( ) = A( ) e φ i ( ) U( ) Y( ) H() Tarkastellaan sini-muotoista herätettä H( ) = A( ) e ut () = cos iφ ( ) ( π ) ( π φ ) yt ( ) = A( )cos ( )

20 Stabiilisuus Myötäkytkentä U( ) + H() E( ) - E( ) = U( ) + H( ) U( ) ( π ) ( π φ ) et ( ) = cos A( )cos ( ) Jos vaihesiirtoa on 8 erosignaali e(t) intereroi konstruktiivisesti (merkki vaihtuu) ( ) ( π ) et () = + A( ) cos et () > ut () Stabiilisuus Tehdään negatiivinen takaisinkytkentä E ( ) + - H() U ( ) Y ( ) E( ) = U( ) Y( ) Y( ) = H( ) E( ) H( ) Y( ) = U( ) + H( ) Jos järjestelmän H vaihesiirto on -8, niin signaaliin u(t) summautuu se itse A():llä skaalattuna rekursiivisesti e () t = u() t et () = Ae ( ) () t+ ut () = ( A ( ) + ) ut () e() t = A( ) e() t + ut () = ( A( ) + A( ) + ) ut () k k e () t = ( A ( ) + A ( ) A( ) + ) u() t k Summa +A()+A() +.. konvergoi arvoon /(-A()), jos A()<, jolloin y(t) pysyy rajoitettuna..7 4

21 Stabiilisuus kriteeri Sillä taajuudella, jolla vaihe leikkaa -8 vahvistuksen pitää olla log(a())< db Vahvistusvara: Kuinkapaljon vahvistusta voidaan kasvattaa ennen kuin takaisinkytketystä db järjestelmästä tulee epästabiili Vaihevara: Kuinkapaljon vaihetta voidaan jätättää ennen kuin järjestelmästä tulee epästabiili Boden vahvistuskäyrä Vahvistusvara -8 Vaihevara..7 4 Esimerkki I (/) Ensimmäisenkertaluvun systeemi voidaan tulkita takaisinkytketyksi integraaliksi K K iπ H( ) G ( ) = = = iπ + K K + + H( ) iπ Avoimen silmukan siirtounktio H( ) = K i π..7 4

22 Esimerkki I (/) Jos K< se vastaa -8 vaihesiirtoa ja log( K ) vahvistusta Jos K> se vastaa vaihesiirtoa ja log( K ) vahvistusta K > K < -8 K> K< Jos K< vaihe on -7 kaikilla, koska H(), ei takaisinkytketty järjestelmä ole stabiili Jos K> vaihe on -9 kaikilla, joten takaisinkytketty järjestelmä on stabiili Esimerkki II (/) Tarkastellaan 3. kertaluvun suodatinta H( ) = K i U ( ) E( ) Y( ) ( π + ) + H() - Ratkaistaan suurin mahdollinen K:n arvo, jolla takaisinkytketty järjestelmä on stabiili..7 44

23 Esimerkki II (/) Boden diagrammi - Bode Diagram Vahvistusvara 6 db Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 6 log( K) K = 6.3 3