Luento 6. Järjestelmät
|
|
- Esko Mäki
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lueno 6 Järjeelmän (yeemin) äie ja luoiue Lineaarinen aia invariani järjeelmä Impulivae Siirofunio Sabiiliuu Järjeelmien ooaminen oia..7 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei on objei, joa määriää relaaio ignaalijouon välillä. Järjeelmän ignaali jaeaan uein ulouureiiin ja lähöuureiiin Tuloignaali ova järjeelmää riippumaomia Lähöignaali iälävä järjeelmän uoamaa informaaioa. Tyypilliei järjeelmä reagoi lähöignaaleihin ja uoaa niiden perueella lähöignaali. Tällöin ulo- ja lähöignaalien välillä valliee aualieeiuhde. ulouuree SYSTEEMI lähöuuree..7
2 Järjeelmä Järjeelmän ulouuree jaeaan uein manipuloiaviin uureiiin ja ei-manipuloiaviin uureiiin (häiriö) Häiriö Manipuloiava ulouuree SYSTEEMI lähöuuree Järjeelmiä voidaan luoiella niiden ulo- ja lähöuureiden määrien muaan SISO Single Inpu-Single Oupu MISO Muliple Inpu Single Oupu SIMO Single Inpu Muliple Oupu MIMO Muliple Inpu Muliple Oupu..7 3 Järjeelmä Järjeelmä voidaan ajaella operaaorii F(.), joa uvaa ulouureen lähöuureei. (vr. mariiilla A erominen on uvau veorila x veorille y=ax) Eimerejä järjeelmä-operaaoreia: F( x ( )) = h( τ ) x ( τ ) d Konvoluuioinegraali = ( π ) Lineaarinen modulaaio F( x ( )) x ( )co f c..7 4
3 Järjeelmä Proei on auaalinen, jo vaeen y():n raaiemiei ajanheellä ei arvia heräeen ulevia arvoja u(τ), τ Jauva-aiainen proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova jauva-aiaiia ignaaleja y()=f(u()) Dieei-aiainen proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova direeiaiaiia ignaaleja y()=f(u())..7 5 Järjeelmä Lineaarinen järjeelmä: Järjeelmän oimina ei riipu heräeen ampliudia ja vaiheea. Sen uvaamieen riiää lineaarinen operaaori F: F(ax()bu())=aF(x())bF(u()) Eim. Paiiviia omponeneia oouva ähöpiiri Epälineaarinen järjeelmä: Järjeelmän generoima vae riippuu heräeen ampliudia ja ai vaiheea a : F(ax()) af(x()) Eim. Tehovahviin
4 Järjeelmä Deerminiinen järjeelmä Jo järjeelmän ila unneaan ieynä ajanheenä voidaan en vae ennuaa arai unneulle heräeelle. Eim. Eleroninen ai meaaninen järjeelmä Aia invariani järjeelmä: Järjeelmän oimina ei riipu ajaa. Aijan uheen muuuva järjeelmä: Järjeelmän oimina muuuu ajan funiona. Sen vae ii riippuu iiä minä ajanheenä heräe järjeelmään yöeään. Soainen aunnainen järjeelmä / proei Vaia järjeelmän ila ieynä ajanheenä unneaiiin, ei en vaea unneulle heräeelle voida ennuaa vaan e on aunnainen. Eim. Radioanava Saionäärinen oainen proei: Proein ilaollie ominaiuude eivä riipu ajaa. Epäaionäärinen proei: Proein ilaollie ominaiuude vaiheleva ajan muaan Sabiiliuu Deerminiinen järjeelmä on BIBO (bounded inpu bounded oupu) abiili, jo ampliudirajoieun heräeen vae on ampliudirajoieu x() < F x() < ( ) Jo on olemaa x () < ien, eä F( x() ),, mua ampliudi rajoieun ini-muooien ignaalin vae on ampliudirajoieu ini-muooinen ignaali x() = Aco( π f φ), A < F( x() ) < järjeelmää uuaan marginaaliei abiilii. Muuoin järjeelmää uuaan epäabiilii
5 Lineaarinen aiainvariani järjeelmä u() h() y() Jauva-aiaien LTI-järjeelmän oiminaa uvaa lineaarinen differeniaaliyhälö n n m m d d d d y () a y () ay n () b u () b u () bu () n n m m m d = d d d joa n on järjeelmän eraluu Jo m n, niin järjeelmä on aio (proper): Vae ei riipu heräeen derivaaaa d/d u() Jo m<n, niin järjeelmä on vahvai aio (ricly proper): Tulouuren u arvo ajanheellä, u(), ei vaiua lähöuureen y arvoon ajanheellä, y() Yleinen eiyapa LTI-järjeelmä n n d y() d u() a = b d = d = Jo m<n, niin määriellään b_=, =m,m,,n Aiaderivaaaa meriään uein pieellä d v () = v () d d v () = v () d n ( n) d v () = v() n d..7 5
6 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Sähöpiirien peruomponeni Vau (reiani) v () = Ri () R i() Kela (induani) di() v () = L d Kondenaaori (apaiani) dv() i () = C d v () = id () C v() L i() v() C i() v()..7 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Meaanien järjeelmien peruomponeni Eenevä liie: Maaappale (ineria) dx () Fm( ) = m d Joui F () = Δ x() = ( x() x ()) Vaimennin dδx() dx() dx() Fb( ) = B = B d d d m x() x () B x () x () x ()..7 6
7 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Meaanien järjeelmien peruomponeni Pyörivä liie: Hiaumomeni d θ() T () = J d J θ() J Väänöjoui T () = Δ θ() = ( θ () θ ()) θ() θ() Väänövaimennin dδθ() dθ() dθ() Tb( ) = B = B d d d θ() B θ()..7 3 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Viraujärjeelmien peruomponeni Läpivirauäiliö dv() = F () F () d Ideaalieoiin dv() C() = FC () () FC () () d Puiviive V C() = C( Td ()) = C F () Virau auon läpi F () = AR () Δ p () = AR () p() p() Tämä on eimeri epälineeaariea omponenia F () C () V() C () F () C () C () p () F () F() R A() V() F() V p () F () C ()
8 Eimeri Jännie x() on ulouure ja jännie y() lähöuure i( ) i( ) (a) (b) dy() di() i () = C y () = L d d x () = Ri () y () x () = Ri () y () x () y () x () y () i () = i () = R R di() dy() y () = L = i () d d C L dx() dy() y () = dy() = y () x () R d d d RC RC dy() R dx() = y () d L d..7 Vahvai aio järjeelmä 5 Aio järjeelmä Eimeri Jännie x() on ulouure ja jännie y() lähöuure i ( ) i ( ) dx( ) di( ) i( ) i( ) x() = Ri() i() i() d R C = d d C di () x() = Ri() L y() =, y() = i() R d Järjeelmää uvaa ny. aeen differeniaaliyhälö d y( ) R dy( ) y () = x() d L RC d LC LC
9 LTI-järjeelmä Sähöpiiriä uvaavien differeniaaliyhälöiden aeluu viiaa niiä eiinyvien varaoelemenien (ondenaaori ja ela) luumäärään. Jo piiriä ei ole varaoelemenejä, iä uuaan muiiomai. Eimeri muiiomaa piiriä: x() y ( ) R R R () = x() y..7 7 Laplace-muunno Signaali on auaalinen, jo v()=, un <. Kauaalien ignaalin Fourier-muunno Kauaalien ignaalin Laplace-muunno Jo Laplace muunno onvergoiuu alueea Re{}, aadaan iiä Fourier muunno valiemalla =iπf
10 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-muunno Määrielmä: (f() on ajan funio ja F() on iä vaaava Laplace-aon eiy) { } F () L f () fe () d = = { } f () = L F() = F( ) e d iπ Jo raja-arvo ova olemaa, niin niille päee b i b i Loppuarvoeoreema Aluarvoeoreema lim f ( ) = lim F( ) lim f ( ) = lim F( ) Laplace-auluo on eiey eri läheiä hieman erilaiina (yleenä joo niin, eä ajan funio on helppo Laplacemuunaa ai niin, eä Laplace-aon eiy voidaan ääneimuunaa helpoi Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-eoreemoja Laplace-muunno Ajan funio F () f () T CF() CF() C f() C f () T a F ( a) e f ( ) T3 a, a e F() f ( a), > a T4 F a a f( a) T5 d F () d f () T6..7
11 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-eoreemoja Laplace-muunno Ajan funio F( σ) dσ f( ) T7 F() F() f () τ f ( τ) dτ T8 F() f () f () T9 ( ) ( ) F () f() f() f() T n n n ( n ) ( n) ( ) () () () ( ) T F f f f f F() f() τ dτ f() τ dτ =..7 T Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-muunnopareja Laplace-muunno Ajan funio Laplace-muunno Ajan funio δ( ) M b a ( e e ) M9 ( a)( b) a b M b a ( ae be ) M ( a)( b) ab abb ( a) M3 a n in( a) M M4 a n n! co( a) M a e M5 a a a b e in( a) M3 a e M6 ( b) a ( a) b b n a e co( a) M4 e ( b) a M7 n ( a) n! a b δ() ( a b) e M5 ( a b e ) M8..7 ( a) a
12 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Deerminiie eifunio Syeemin heräeenä u() äyeään uein euraavia ignaaleja Yiöimpulifunio (Diracin delafunio) R u() ; uδ () = δ() = S = zδ( d= ) ; muulloin Uδ () = Δ() = T Yiöaelfunio R u () ; = S T ; > Yiöpengerfunio R u () ; r = S T ; > U( )= Ur( )= u()..7 3 u() LTI-järjeelmä u() h() y() Taraellaan lineaaria aiainvariania järjeelmää n n m m d d d d y () an y () ay () bm u () bm u () bu (), n m n = n m m d d d d Oleeaan, eä järjeelmän aluarvo ova nollia: y () ()=d /d y()= un u () ()=d /d u()= un..7 4
13 LTI-järjeelmä Derivaaan Laplace-muunno LTI-järjeelmän Laplace muunno n n m d d d () () () n = d = d = d L y a y L b u n m n l a l Y() = b U() l= = Siirofunio m b Y() = H() = n U() n l a l =..7 5 Impulivae LTI-järjeelmälle päee yleiei Y() = H() U() Käyeään heräeenä impulia u()=δ(). U() = L{ δ () } = Y() = H() U() = H() H() on Impulivaeen Laplace muunno. Impulivae (painofunio) h() aadaan ääneimuunnoena: h () = L { H() } Laplace-muunno löyyy vaia järjeelmä olii epäabiili
14 Impulivae Lineaarien järjeelmän iirofunio voidaan eiää ahden polynomin M() ja N() avulla M() H() = = K N () M ( ) M z ( ) z...( zmz ) N ( ) N p ( ) p...( pn ) Mm z Nn z z Polynomin M() nollaohda M(z )= ova nimelään nollia (zero) M on nollan z aeluu M M M n_z =m Polynomin N() nollaohda N(p )= ova nimelään napoja (pole) N on navan p aeluu N N N n_p =n Yhälö N()= on nimelään araeriinen yhälö K> on vaio..7 7 Oamuroehielmä Oamuroehielmä iirofuniolle H(): np Ni Cij H() = K j i= j= ( pi ) C C C N = K... ( p ) ( p) ( p) C C C n... ( p ) n ( p) ( p)... Keroime N Cn C p n C p npnp... N n ( pn ) ( ) ( ) p p pn p p n p N i j d N ( ) ( ) i M Cij = z pi ( N )! Ni j i j d N( ) = pi
15 Eimeri (/3) Tehdään oheielle iirofuniolle oamuroehielmä 3 H() = ( ) ( ) Ooiaja ja nimiäjä polynomi: M() = ( 3) z = 3 ( ( )) ( ( )) N () = p = p = N = N = Aeluu on 3 Oamuroehielmä ulee olemaan muooa C C C H() = ( ) ( ) ( )..7 9 Eimeri (/3) Keroime laeaan aavalla: N i j d N ( ) ( ) i M Cij = z pi ( N )! Ni j i j d N( ) = pi Eli N d N ( ) M( ) C = z p ( ) i N! N N( ) d = p d 3 = = =! d = ( ) = N d N ( ) M( ) 3 C = z p ( ) i N! N d N() =! = = p = N d N ( ) M( ) 3 C = z p ( ) i N! N d N( ) = =! = p ( ) =
16 Eimeri (3/3) Kooaan uloe yheen: H() = ( ) ( ) Taraeaan vielä ( )( ) ( ) ( ) H() = ( ) ( ) ( ) 3 = = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) OK..7 3 Impulivae LTI-järjeelmän impulivae voidaan irjoiaa muooon np Ni H() = K Cij j i= j= ( pi ) Kääneimuunno aadaan ovelamalla aavaa (M7) n a e L = n n! ( a) jolloin impulivaeei aadaan np N i C ij h () = L { H() } = L K j i= j= ( pi ) np Ni Cij j p = K e i i= j= ( j! )
17 LTI-järjeelmälle päee Y() = H() U() ( ) ( ) y () = hτ u τ dτ Sabiiliuu Oleeaan, eä heräeignaali u() on ampliudirajoieu u() M< Vae y() on ampliudirajoieu ja järjeelmä on abiili, jo ( ) ( ) ( ) y () hτ u τ dτ M hτ dτ < Toiin anoen, järjeelmä on abiili, miäli impulivae h() on ieiei inegroiuva h ( τ) dτ < Sabiiliuu LTI-järjeelmän impulivae on muooa n Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) miä nava p ova ompleiluuja Jo Re{p }<, niin n Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) un ja h ( τ) dτ <
18 LTI-järjeelmä Jo järjeelmä on abiili, niin h():n ja y() Fourier muunno unneaan (y() on energiaignaali). Fourier-muunuvan ignaalin y() derivaaa voidaan lauua Y(f):n avulla: d F y() ( i π f ) Y( f) = d Oleeaan, eä heräe on Fourier-muunuva d F U() ( i π f ) U( f) = d LTI-järjeelmän Fourier muunno Fourier muunneaan aluperäinen differeniaaliyhälö n n d d F y() an F y() a F{ y() n n } = d d m m d d m m m { } bf m u () b F u () F bu () d d Muunnoei ulee ( ) n m n l iπ f al( i π f ) Y( f) = b ( i π f ) U( f) l= = Suhdea Y(f)/U(f) uuaan järjeelmän iirofunioi Y( f) H( f) = U( f) m = ( π ) b i f n n l ( iπ f ) al ( iπ f ) =
19 Nava Nava aadaan raaiua araeriiea yhälöä N ( ) N ( ) N N() = p p...( p ) n N = = p =,,..., n Reaalien järjeelmälle h() nava eiinyvä omplei onjugaaipareina N () = ζω ω = ζω ± iω ζ ζ < = ζω ± ω ζ ζ ζ ω vaimennuerroin ominaiaajuu alivaimenneu ylivaimenneu Sabiiliuualue p = ωζ i ζ ω * p = ωζ i ζ ω ς = co( α) α Im Re Nava Komplein napaparin vaiuu impulivaeeeen.6 Impule Repone ω H() = ζω ω Reonaniaajuu ωr = ω ζ Ampliude ζ< ζ= ζ> Underdamped Criically damped Overdamped ζ abiili, ei värähele ζ< abiili, värähelee ζ= marginaaliei abiili, värähelee, ei vaimene - ζ epäabiili, värähelee ζ - epäabiili, ei värähele Ampliude Sable Marginally able Unable Time (ec) Impule Repone Time (ec) 9
20 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Nava Eäiyy imaginääriaelia uvaa eponeniaalia äyäyymiä (miä auempana imaginääriaelia ollaan iä nopeammin impulivae aavuaa loppuarvona (vaemmaa puoliaoa) ai araa ääreömyyeen (oieaa puoliaoa). Eäiyy reaaliaelia uvaa värähelyn aajuua (miä auempana reaaliaelia ollaan iä uurempi aajuu). Järjeelmä on iä nopeampi miä auempana en nava ova origoa Nopea eponeniaalinen äyäyyminen Im Hida eponeniaalinen äyäyyminen Re Nopea eponeniaalinen äyäyyminen oreaaajuinen värähely Im maalaaajuinen värähely Re maalaaajuinen värähely oreaaajuinen värähely Im Nopea Nopea Re Hida Nopea Nopea Eimeri (/3) Taraellaan eimerin ähöpiiriä d y() R dy( ) y() = x() d L RC d LC LC R=, C=, L= Raaiaan iirofunio Laplace-muunamalla: d y( ) dy( ) y () = x() d d ( ) Y( ) = X ( ) Y() H() = = X ( ) ( )..7 4
21 Eimeri (/3) Nava N () = = ( p)( p) = ( ) i p = = ω i = =, ζ = p Re{p }<, joen järjeelmä on abiili. Oamuroehielmä Y() A B H() = = = X ( ) ( ) p p A pa B pb = ( p)( p) : A B= B= A : p A p B= ( i) A ( i) ( A) = A= i..7 4 Eimeri (3/3) Siirofunioi aadaan H() = i i i Kääneimuunno anaa ( i ) ( i ) ( ) () h () e e e in i a { } Le = a ix ix = = in( x) = ( e e ) i h()
22 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Sabiiliuuei Jo unneaan yeemin nava (nimiäjäpolynomin nollaohda), niin abiiliuu on helppo odea. Juure voidaan määriää numeeriea polynomia ieraiiviilla laenaruiineilla (uen omenno eig, roo ai pole MATLABia). Eim. polynomille 3 4 roo([ 4 ]) an = i i Jo join polynomin eroimia on nolla ai negaiivinen, niin polynomilla on vähinään yi juuri imaginääriaelilla ai oieaa puoliaoa Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Rouhin aavio Symbolieen laenaa oveluu Rouhin aavio: n a a a a a n a a a a a n b b b b n 3 b b b b n 4 c c c n 5 c c c z z n n a a a a n n a a a a a a b =, b =, b =, a a a3 a a a5 a a a7 a a a a a a b =, b =, b =, b b b b b b4 b b b6 b b b b b b b =, c =, c =, b b b 3 b b b5 b b b7 z = a n Deerminani a a = a a a a a a
23 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Rouhin aavio Rouhin aavion enimmäieä araeea olevien merinvaihojen luumäärä on amalla myö polynomin oieaa puoliaoa olevien juurien luumäärä. Jo yeemin araeriinen polynomi ijoieaan Rouhin aavioon, niin yeemi on abiili, jo enimmäieä araeea ei ole ainoaaaan merinvaihoa. Jo aavioa muodoeaea en enimmäieen araeeeen ulee nolla, niin en ilalle aavioon ijoieaan pieni poiiivinen luu ε ja jaeaan aavion muodoamia. Lopulliea aavioa voidaan laea merinvaihdo uimalla ε:a riippuvien ermien raja-arvo, un ε. Miäli aavioon muodouu oo rivi nollia, niin väliömäi nollariviä ylemmää riviä voidaan muodoaa polynomi, jolla aluperäinen polynomi on jaollinen Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Polynomi: Eimeri: Rouhin aavio / 5 Kai merinvaihoa - ja - eli ai juura oieaa puoliaoa Ei merinvaihoja enimmäieä araeea eli ei juuria oieaa puoliaoa
24 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: Rouhin aavio Polynomi: 3 3 Saadaan nollarivi, jolloin ylemmälä rivilä aadaan polynomi jolla aluperäinen polynomi on jaollinen. Laeaan ämän polynomin derivaaa :n uheen ja ijoieaan e aavioon ja jaeaan d d ( ) =..7 Ei merinvaihoja, joen ei juuria oieaa puoliaoa 47 3 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: Rouhin aavio Polynomi: ε ( ε 36)/ ε 36 lim ε εε UVW = RST Enimmäieen araeeeen ulee nolla, jolloin orvaaan e pienellä poiiiviella luvulla ε ja jaeaan aavion muodoamia ai merinvaihoa - ja - ai juura oieaa puoliaoa
25 Järjeelmien ooaminen oia Lineaarien järjeelmien apauea yiäiinen oayeemien malleia pääään laajojen järjeelmien malleihin lohoaavioalgebran avulla. Lohoaavioalgebraa peruelemenejä ova oajärjeelmiä uvaava iirofunio Siirofunio voiva peruua impulivaeen Laplace-muunnoeen H() Fourier-muunnoeen H(f) [=iπf] Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Lohoaaviomuunnoe: Signaali Lohoaavioia yiäinen ignaali voidaan viedä ueaan eri lohoon (ignaalin haaraanuminen). Lohoaavio on informaaioaavio ja informaaioa jaeaea e ei vähene vaan moniuu. Joaiea haaraa ulee ama informaaio. Y() = Y() = Y() = U() 3 U() Y () Y () Y 3() Eri ignaali voidaan yhdiää ummaelimen avulla. Summaelimeä voidaan ignaali laea yheen ai vähenää oiiaan. Eumeri ummaelimeä ignaalin ohdalla erova ignaalin eumerin ummalaueeea. Y () = U() U() U () U () U () U 3() _ Y() 5
26 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Signaalin uleminen lohon läpi Lohon lähöignaali (vae) aadaan eromalla uloignaali (heräe) lohon iirofuniolla U() G() Tämän peruaavan avulla voidaan johaa muunnoaava lohojen arjayennälle. Oeaan äyöön apumuuuja ε (), joa myöhemmin eliminoidaan U() G () Y () = G ()() ε Y () = G() G() U () = GTOT () U () ε () = G U() G () = G() G () TOT Y() = G()U() ε () G () Y() U() G ()G ()..7 5 Y() Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Signaalin uleminen lohon läpi Johdeaan ny muunnoaava rinnanyennälle U() ε() G () U() Y() U() ε() G () Y () = ε() ε() ε() = G() U() Y() = G() U() G() U() ε () = G() U() Y () = G() G() U () = G () U () G () = G() G() ( ) TOT TOT U() Y() G () G ()
27 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Signaalin uleminen lohon läpi Taaiinyennän (ilmuayennän) muunnoaavai aadaan U() ε() Y() G () _ ε() Y() G () RY () = G() ε() S ε() = U() ε() Y () = G() bu () G() Y () g T ε () = G() Y() Y() = G() U() G() G() Y() b G() G() gy() = G() U() G () Y () = G G U () = G U G G () TOT () () TOT () = () () G() G () U() G () G ()G () Y() Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Lohoaaviomuunnoe: Peruyennä Peruyenöjen lohoaaviomuunnoe oouna: Sarjaan U() G () G () Y() U() G ()G () Y() Rinnan U() Silmuaan U() _ G () G () G () Y() Y() U() U() G () G () G () G ()G () Y() Y() G ()
28 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Limiäie raenee Jo järjeelmää on limiäiiä raeneia, niin lohoaaviomuunnoe voidaan raaia algebralliei - uen perumuunnoaavoja johaea ai eliminoimalla limiäie raenee (iirämällä umma- ja haaraanumipieiä lohojen yli) ja ien äyämällä perumuunnoaavoja. Ei limiäiiä raeneia Limiäiiä raeneia Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro Summapieen iiro vaaviraan ja myöäviraan - raaiaan G X U G U G X U G Y U b g b g Y= GU GU = G GU U = GG U GU x x GG = G G = G G x x G Y U G U G X U G Y U Y G b g b g Y= G GU U = GG U GU = GU GU x Gx = GG 8
29 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro Haaraanumipieen iiro vaaviraan ja myöäviraan G Y G X Y U Y G G Y R S T Y = GGU = G U Y = GU U Y X G G = GG X Y G X U Y G G R S T Y = GU = G GU U Y X G= GXG GX = G G..7 Y = GU 57 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro G G/G G G G GG G G G G/G G G G GG G G 9
30 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro Summapieiden järjeyä voidaan vaihaa oien ummapieiden välillä U U U _ Y U _ Y Y = U U U3 U 3 U 3 Haaraanumipieiden järjeyä voidaan vaihaa oien haaraanumipieiden välillä Y Y U Y U Y Y = Y = Y3 = U Y 3 Y 3 Summapieiden ja haaraanumipieiden väliä järjeyä ei voida vaihaa Nolla- ja yöloho Miäli lohon iirofunio on nolla, niin aiilla ulouureen arvoilla lähöuure on aina nolla. Tämä loho uvaa informaaioaoa - loho, iihen uleva ja iiä lähevä ignaali voidaan jäää poi lohoaavioa. U G Y U G Y
31 Nolla- ja yöloho Miäli lohon iirofunio on yi, niin aiilla ulouureen arvoilla lähöuure on aina ama uin ulouure ja yeinen loho voidaan jäää aavioa poi. Järjeelmien lohoaavioa on uein meriy loho miauelle ai oimilaieelle ja miäli oleeaan ideaalinen miau ai oimilaie, niin näiden lohojen iirofunio voidaan orvaa yöellä - ja jäää oonaan poi lohoaavioa. U G Y U G Y U G Y..7 6 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: limiäie raenee Raaiaan oheien järjeelmän oonaiiirofunio uloignaalia R lähöignaaliin Y algebralliei G () R() E() U() Y() G () G 3() _ R S T Y= GU G E U = GE 3 E= R GU 4 R S T Y GG G 3 = GG R = G R TOT 4 G 4() Y= GG E G E 3 E= R GG E Y= GG G E GG E= R R S T b b 3 4 g g 3
32 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: limiäie raenee Raaiaan oheien järjeelmän oonaiiirofunio uloignaalia R lähöignaaliin Y lohoaaviomuunnoilla Siirreään E:n haaraanumipie U:n haaraanumipieen luo (haaraanumipieiden järjey voidaan vaihaa eenään), jolloin pääään eroon limiäiiä raeneia ja voidaan äyää aiaiemmin johdeuja peruyenöjen aavoja. G () R() E() U() Y() G () G 3() _ G 4() G ()/G () R() E() U() Y() G () G 3() _ G 4() Eimeri: limiäie raenee Saadaan ama ulo uin lohoaavioalgebralla R() G () G ()G 4() U() G ()/G () G 3() Y() R() G () G ()G 3 () G ()G 4 () Y()
33 Lohodiagrammi Taraellaan n dimenioia lineaaria järjeelmää n = d = Inegroidaan molemma puole ( ) ( ) ( ) ( ) a y a y d a y dd a y d d n n n n n d y() d u() a = b d () () () () = bx b xd b xdd b xd d Raaiaan y() n ( y() = an y() d an y() dd a n () () () ) bx b x d b x dd n n n b n Lohodiagrammi u ( ) y ( ) Σ Σ a n bn bn b Σ Σ Σ Σ Σ Σ a n a n a a
34 Lohodiagrammi Lohodiagrammia voidaan yineraiaa ( ) n d y() u() a = = d Inegroidaan yhälö ny n eraa () () ( ( ) ()) ( n () n ()) ( () ()) ay bu a y b u d n n n n a y b u dd a y b u d d ( y () = bu n () ( an y() bn u ()) d a n ( an y () bn u() ) dd ( ay () bu () ) d d) Lohodiagrammi u() y( ) b n Σ a n bn bn Σ Σ a n a n b..7 Σ a 68 34
35 Eimeri Taraellaan. eraluvun järjeelmää 4 y y y = 3x x Inegroidaan molemmin puolin 4y = yd ydd 3 xd xdd x ( ) -3 Σ Σ Σ - 4 y() Eimeri Vaihoehoiei 4 y y 3x = y x= z z = 4y y 3x z = z y 3x= 4y z = 4y y( ) x() z ( ) -3 Σ ( ) z z ( ) Σ - 35
36 Lohodiagrammi Mielivalainen lineaarinen aiainvariani järjeelmä voidaan realioida äyäen joo derivaaoreia ai inegraaoreia. Boden vahviuäyrä deg Boden vaiheäyrä Derivaaori db/de ω 9 Inegraaori Boden vahviuäyrä -db/de Derivaaori vahviaa oreia aajuuia ja on ien herä ohinalle. Inegraaori puoleaan uodaaa ohinaa. => Lineaarinen järjeelmä annaaa realioida äyäen inegraaoreia..7 7 ω deg -9 Boden vaiheäyrä ω ω Operaaiovahviin Operaaiovahviin (Op-Amp) on inegroiu piiri Op-Amp omaa ai iäänuloa (non-invered ja invered -) Ominaiuuia Hyvin uuri vahviu (A> 6 ) Eriäin uuri iäänmenoimpedani Suurea impedania johuen, iäänmenevä virra ova lähe nollaa i = i Jo äyeään negaiivia aaiinyenää, niin v v v v i - v i ( ) v = A v v
37 Käyännöllinen inegraaori Analoginen inegraaori voidaan oeuaa äyäen operaaiovahviina Virual ground v v = i( ) v ( ) x( ) dy i() = C, i = i d R dy () x () = RC d () v y() = x() d RC
a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:
ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,
LisätiedotLuento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos
Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä
LisätiedotLuento 6. Järjestelmät
Lueo 6 Järjeelmä (yeemi) äie ja luoiue Lieaarie aia ivariai järjeelmä Impulivae Siirofuio Sabiiliuu Taajuuvae..6 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei o objei, joa määriää relaaio igaalijouo välillä. Järjeelmä
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 3: Dynaamisen vasteen määrittäminen, Laplace-muunnos, siirtofunktio
ELEC-C30 Sääöekniikka Luku 3: Dynaamien vaeen määriäminen, Laplace-muunno, iirofunkio Differeniaaliyhälön rakaiu Syeemin ymmärämien ja hallinnan kannala on olennaia ieää, mien lähöuure y() käyäyyy ajan
LisätiedotÄlä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!
AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm! Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du()
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän
LisätiedotDerivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan
87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe.3.0 ae ehävä eri paperille uin ehävä 3 5. Muia irjoiaa joaieen paperiin elväi nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehävä laeaan oreaoulun oepaperille. Muia papereia ei
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
Lisätiedot( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt
SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 6, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- ineaarie järjeelmä Harjoiu 6, harjoiuenpiäjille arkoieu rakaiuehdouke Tää harjoiukea käiellään aplace-muunnoa ja en hyödynämiä differeniaaliyhälöiden rakaiemiea Tehävä Määrielmän mukaan funkion f
Lisätiedotjärjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
LisätiedotLuento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
LisätiedotLuento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Saunnaissignaalin suodaus 5..7 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
LisätiedotKYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
Lisätiedot( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
LisätiedotBINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA
BINÄÄRINN SYNKRONINN IDONSIIRO KAISARAJOIAMAOMILLA MILIVALAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVIU SUODAIN JA SN SUORIUSKYKY AWGN-KANAVASSA Millaiia aalomuooja perupuleja yypilliei käyeään? 536A ieoliikenneekniikka
LisätiedotKOE 2 Ympäristöekonomia
Helingin yliopio Valinakoe.5. Maaalou-meäieeellinen iedekuna KOE Ympäriöekonomia Sekä A- eä B-oioa ulee aada vähinään 5 pieä. Mikäli A-oion piemäärä on vähemmän kuin 5 pieä B-oio jäeään arvoelemaa. B-OSIO
LisätiedotAlipäästösuodatuksesta jää kuitenkin pieni vaihtovirtakomponentti, joka summautuu tasajännitteen päälle:
. Saainen analyyi.. Buck-opoloia Käiellään enin buck-yyppiä hakkurieholähdeä (kuva 2.2a ja 3.). ää eimerkiä kuorma on puhaai reiiivinen (R), mua yleiei e on yöeävien laieiden ominaiuukia muodouva impedani.
LisätiedotW dt dt t J.
DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotKULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA
1 KULMMOULOITUJEN SIGNLIEN ILMISU ISKRIMINTTORILL Millaisia keinoja on PM & FM -ilmaisuun? 51357 Tieoliikenneekniikka I Osa 17 Kai Käkkäinen Kevä 015 ISKRIMINTTORIN TOIMINTKÄYRÄ J -YHTÄLÖ FM-signaalin
LisätiedotLuento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
LisätiedotTässä harjoituksessa käsitellään Laplace-muunnosta ja sen hyödyntämistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.
DEE-00 Lneaare järjeelmä Harjou 0, rakauehdouke Tää harjoukea käellään Laplace-muunnoa ja en hyödynämä dfferenaalyhälöden rakaemea Tehävä Laplace-muunno on käevä yökalu dfferenaalyhälöryhmen rakaemea,
LisätiedotTäydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:
77 Aemmn oleen, eä mars A on dagonalsouva. Tällanen on lanne äsmälleen sllon, un joasen omnasarvon geomernen eraluu on sama un algebrallnen. Täydenneään eoraa seuraavlla uloslla apaussa, jossa monnerasen
LisätiedotOjala, Leena Ojala ja Timo Ranta LAPLACE-MUUNNOS
Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana APACE-MUUNNOS Eipuhe Tämä aplace-muunnoa ja en ovelamia käielevä oppimaeriaali on arkoieu ähköekniikan ininöörikouluukeen. Eiieoina ulii unea eimerkiki Ojalain lakuoppien
Lisätiedota) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1
S-7.060 Signaali ja järjeselmä Teni 14.5.001 1. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä minaisuuksisa rgnaalinen ja rnrmaalinen kuvaa paremmin Furier-sarjaa ja miksi? b) Esiä
LisätiedotKonvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
LisätiedotS Signaalit ja järjestelmät Tentti
S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ
LisätiedotTehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.
Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus
Lisätiedotjärjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26 Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi
LisätiedotTKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotHuomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
LisätiedotTasaantumisilmiöt eli transientit
uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotTENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luotettavuusteoria
TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luoeavuueoria Dekripiivinen luoeavuu R() =P(T>) R(x ) =P(T>+ x T>) r() = f() R() R() =e R(x ) =e r() d +x r() d F () R() f() r() F () R() f() F () df () d R()
LisätiedotH(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot):
ELEC-C3 Säätötekniikka 5. laskuharjoitus Vastaukset Quiz: Luennon 4 luentokalvojen (luku 4) lopussa on esimerkki: Sähköpiiri (alkaa kalvon 39 tienoilla). Lue esimerkki huolellisesti ja vastaa seuraavaan:
LisätiedotLuento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 09: Yhden vapausasteen vaimeneva ominaisvärähtely
9/ VÄRÄHTELYMEKNKK SESSO 9: Yhn vpun vinv oinivärähly LKEYHTÄLÖ Viooi vinnu vinnuvoin oln olvn uorn vrrnnollinn värählvän n nopun li F v () jo on vinnuvio. Kuv on viooii vinnun värählijän prulli, jo vinnu
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
LisätiedotJuuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
Lisätiedot2. Systeemi- ja signaalimallit
2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia
LisätiedotTilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu
Tilausohjaun uoannon areasuunnielu Tilausohjaussa uoannossa sarjojen muodosaminen ei yleensä ole relevani ongelma, osa uoevaihelu on suura, mä juuri onin peruse MTO-uoannolle Tuoe- ja valmisusraenee ova
LisätiedotLuento 7. Järjestelmien kokoaminen osista
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi Järjestelmä yhdistelmät, takaisinkytkentä Taajuusvaste Stabiilisuus analyysi taajuustasossa 8..6 Järjestelmien kokoaminen osista Lineaaristen järjestelmien
Lisätiedot( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V
Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +
Lisätiedotjärjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden
LisätiedotS Piirianalyysi 2 2. välikoe
S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan
Lisätiedotb) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
LisätiedotELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä 5 op Luennoisija Prof. Riu Jäni Pääassiseni Seppo Saasamoinen S-posi: riu.jani@aalo.fi Puh. 5 597 8588 E9 Vasaanoo ma lo 9- S-posi: seppo.saasamoinen@aalo.fi Puh. 5 365 376
Lisätiedot5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
LisätiedotSilloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
LisätiedotS-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006
S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita
LisätiedotDynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedot8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY
Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotOPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2
OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9
LisätiedotLuento 7. LTI-järjestelmät
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa Taajuusvaste Stabiilisuus..7 LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () =
Lisätiedotq =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
LisätiedotJLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi
JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
Lisätiedot6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
LisätiedotLuento 7 Järjestelmien ylläpito
Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan
Lisätiedot11. Jatkuva-aikainen optiohinnoittelu
. Jauva-aiainen opiohinnoielu Sijoiusoheien hinojen ehiymisä voiaan arasella myös jauva-aiaisina prosesseina Iô-prosessi erisuuruise perioiohaise hinnanmuuose mahollisia voiaan oisinaan raaisa analyyisesi.
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotLuento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
LisätiedotEne-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015
Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
Lisätiedot3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA
S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas
Lisätiedotx v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
Lisätiedot(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.
Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)
ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kevä 2016 hps://mycourses.aalo.fi/course/view.php?id=5073 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op)
LisätiedotHelpompaa korjausrakentamista HB-Priimalla s. 7 NEWS
Helpompaa orjausraenamisa HB-Priimalla s. 7 NEWS Tuu ja urvallinen HB-PRIIMA -väliseinälevy Hiljaisuus vaiona HB-PRIIMA Silence -uoeperhe Laaduas ja miaara Turvallinen Edullinen Nopea ja helppo asenaa
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)
ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kevä 2017 hps://mycourses.aalo.fi/course/view.php?id=13390 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op)
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
Lisätiedot9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 7
Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t
LisätiedotPARTIKKELIN KINETIIKKA
PTKKELN KNETKK Newonin laki ma m& - on paikkeliin aikuaien oimien eulani - m on paikkelin maa - a & on paikkelin aboluuinen kiih Suoaiiaien liikkeen liikehälö (liikeuuna : m a 0 z 0 Taoliikkeen liikehälö
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
LisätiedotLuento 11. tietoverkkotekniikan laitos
Lueno Lueno Sokasise signaali ja prosessi II. Sokasise prosessi Pruju Saionaarisuus, ergodisuus Auo ja risikorrelaaio ehospekri.3 Kohinan suodaaminen Sokasinen raja arvo ja derivaaa Winer Khinchin eoreema.3
LisätiedotKommenttiversio SUOJAAMATTOMAN LIIMAPUUPALKIN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 60
Esimeri 1 SUOJAAMATTOMAN LIIMAPUUPALKIN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 6 1 Paloilaneen uormius ψ =,5 (ässä esimerissä muuuva uorma on lumiuorma) 1,1 p = p + ψ p = 6, +,5 11, = 11,5 N/m i g, 1,1 q, Palin maeriaaliominaisuue
LisätiedotLuento 3. Fourier-sarja
Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
LisätiedotYhden vapausasteen värähtely - harjoitustehtäviä
Dynaiia 1 Liie luuun 8. g 8.1 Kuvan jousi-assa syseeissä on = 10 g ja = 2,5 N/. Siiryä iaaan saaisesa asapainoaseasa lähien. luheellä = 0 s assa on saaisessa asapainoaseassaan ja sillä on nopeus 0,5 /
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
Lisätiedot5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE
Värähelymeaiia 5. 5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE 5. Johao Luvussa 4 araselii yhe vapausasee syseemii harmoisesa heräeesä aiheuuvaa vasea ja havaiii se riippuva pääasiassa syseemi vaimeusesa
LisätiedotX 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k
Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +
LisätiedotLuento 3. Fourier-sarja
Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
Lisätiedot1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
LisätiedotK Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A
K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
Lisätiedot