9.7 Matriisinormit. Vaasan yliopiston julkaisuja 225. Ei siis lainkaan ongelmia defektiivisyydestä.

Transkriptio

1 Vaasa yliopisto julkaisuja 225 U = S = V = >> Ei siis laikaa ogelmia defektiivisyydestä. Sec:MatNorms 9.7 Matriisiormit Lieaarie yhtälöryhmä A x = b o hyväkutoie, jos pieet muutokset kerroimatriisissa A tai RHS-vektorissa b aiheuttavat vai pieiä muutoksia ratkaisuvektorissa x. Muussa tapauksessa ryhmä o huookutoie. c4s19es1 Esimerkki 256 Ryhmä { x x 2 = 1 x 1 x 2 = 1 yksikäsitteie ratkaisu o x 1 = 0.5 ja x 2 = 0.5. Jos b 2 :ta hiuka muutetaa, saadaa { { x x 2 = 1 x 1 x 2 = 1 + ε x1 = ε x 2 = ε Ratkaisu o hyvi herkkä lähtötietoje muutoksille, jote yhtälöryhmä o huookutoie. Tämä ilmiö ymmärtämiseksi tutustumme seuraavaksi matriisi ormii. Vektoriormit 1, 2 ja esiteltii määritelmässä ( 151) c4s3deform sivulla 136. c4s3deform (1) a 1 = a 1 + a a = a k k=1 (2) a 2 = a a a2 = a a (3) a = max{ a 1, a 2,..., a } = max 1 k a k

2 Vaasa yliopisto julkaisuja 226 Lieaariavaruude L ormi o fuktio N : L R site, että (N1) (N2) (N3) N(x) 0, x L ja N(x) = 0 x = θ L N(αx) = α N(x), x L,α R N(x + y) N(x) + N(y), x,y L Normia o tapaa merkitä N(x) = x. Ja kahde vektori x ja y väliseksi etäisyydeksi saomme iide erotukse ormia x y. Valittu vektoriormi idusoi matriiseille vastaava operaattoriormi. A p = max x 0 A x p = max =1 A x p (9.36) matormi Erityisesti, ku p = 1, p = 2 tai p, saadaa m -matriisi A ormeille kaavat A 1 = max j A = max i A 2 = m i=1 a i j ( = itseisarvoje sarakesummie maksimi) a i j ( = itseisarvoje rivisummie maksimi) j=1 λ max (A T A) = σ max (A) missä λ max (A T A) o matriisi A T A itseisarvoltaa suuri omiaisarvo eli matriisi A suuri sigulaariarvo. Uitaarimatriisi kaikki sigulaariarvot ovat ykkösiä (U = U II T ), jote uitaarimatriisi 2-ormi o U 2 = 1. Edellä määriteltyje operaattoriormie lisäksi m -matriisille A käytetää varsi paljo myös Frobeius ormia A F = m i=1 a i j 2 (9.37) j=1 Määritelmä seuraa, että matriisi operaattoriormeilla o omiaisuudet A x p A p (9.38) AB p A p B p (9.39) A p A p (9.40)

3 Vaasa yliopisto julkaisuja 227 Sec:MatCod 9.8 Matriisi kutoluku Tarkastellaa yt yhtälöryhmää, jossa kerroimatriisi o -matriisi A x = b. Jos RHS muuttuu arvoo b + Δ b, ii vastaava uusi ratkaisu o x + Δ x. Arvioimme seuraavassa suhteellista virhettä ormi p mielessä. { A( x + Δ x) = b + Δ b Toisaalta vastaavasti A x = b Δ x = A 1 Δ b Δ x p A 1 p Δ b p (9.41) b p = A x p A p Yhdistämällä epäyhtälöt ( mey1 9.41) ja ( mey2 9.42) saadaa 1 A p b p (9.42) Δ x p A p A 1 Δ b p p (9.43) cod1 }{{} b p =Cod p (A) Kaavassa ( cod1 9.43) olevaa kerroita Cod p (A) = A p A 1 p saotaa matriisi kutoluvuksi. Hyväkutoise yhtälöryhmä kerroimatriisi kutoluku o piei (kuiteki aia 1). Tarkastellaa edellee yhtälöryhmää A x = b Jos kerroimatriisi muuttuu arvoo A + ΔA, ii vastaava uusi ratkaisu o x + Δ x. Arvioimme seuraavassa suhteellista virhettä ormi p mielessä. (A + ΔA)( x + Δ x) = b AΔ x + ΔA( x + Δ x) = 0 Δ x = A 1 ΔA( x + Δ x) Δ x p A 1 p ΔA p x + Δ x p = Cod(A) ΔA p A p x + Δ x p

4 Vaasa yliopisto julkaisuja 228 Voimme siis arvioida Δ x p Δ x p x + Δ x p Cod(A) ΔA p A p (9.44) Jos matriisi kutoluku o suuri, o odotettavissa ogelmia laskettaessa matriisilla. Piei kutoluku o hyvä kutoluku. Kahde matriisi tulo kutolukua voimme arvioida seuraavasti Cod p (AB) = AB p (AB) 1 p = AB p B 1 A 1 p A p B p B 1 p A 1 p = Cod(A)Cod(B) Koska uitaarie matriisi säilyttää 2-ormi, ii uitaariselle matriisille U pätee U 2 = 1, ja Cod 2 (U) = 1. Vaikka uitaarie (ortogoaalie) matriisi oki käsi laskettaessa työläs olio, ii laskettaessa tietokoeella umeerisesti, se siisti ja ogelmato olio. Uitaarisella matriisilla kertomie ei kasvata lausekkeide kutolukuja. Esimerkki 257 Pyydämme vielä Matlabilta arvio kutoluvusta esimerkissä ( 256) c4s19es1 esiityeelle kerroimatriisille ( Ku katsoo esimerkkiä ( c4s19es1 256), ii esimmäie ajatus o, että kutoluku olisi oi 5000, mutta asia täytyy tutkia tarkemmi: ). Esimerkissä suhteellie virhe RHS:ssä oli ja ratkaisu suhteellie virhe oli ja äide suhde o siis Δ x 1 x 1 Δ b 1 b 1 = ε 2 = 10000ε 1

5 Vaasa yliopisto julkaisuja 229 >> help cod COND Coditio umber with respect to iversio. COND(X) returs the 2-orm coditio umber (the ratio of the largest sigular value of X to the smallest). Large coditio umbers idicate a early sigular matrix. COND(X,P) returs the coditio umber of X i P-orm: NORM(X,P) * NORM(INV(X),P). where P = 1, 2, if, or fro. Class support for iput X: float: double, sigle See also rcod, codest, codeig, orm, ormest. >> A = [ ; 1-1] A = >> cod(a,1) as = e+004 >> cod(a,2) as = e+004 >> cod(a,if) as = e+004 >> cod(a, fro ) as = e+004 >> Sec:FormDef 9.9 Neliömuodot ja defiiittisyys Seuraavassa määriteltävä eliömuoto ei ole lieaarikuvaus, vaikka se omiaisuuksia tutkitaa matriisie avulla. Tässä kurssissa käsiteltävät sovellukset liittyvät optimoi-