36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien lasentaan tavitaan mös siitmien hteensopivuusehtoja. Seuaavassa esitetään siitmämenetelmän muainen ataisu, jossa ataistaan alusi jonun valitun pisteen (leensä oodinaatiston oigon) siitmäomponentit. Jos paalulaatan siitmät hdessäin pisteessä tunnetaan, tunnetaan mös aiien muiden pisteiden siitmät, osa laatta otasutaan täsin jääsi appaleesi (EI = EA =, eli paalulaatta ei taivu tai puistu ooon). Kun tunnetaan siitmäomponentit, voidaan unin paalun saama ooonpuistuma lasea ja tästä edelleen paaluvoimat. Tämän ataisutavan edullisuus on siinä, että tuntemattomia siitmäomponentteja on tasotapausessa aina enintään 3 ja avauustapausessa vastaavasti 6 l iippumatta paalutusessa ätettjen paalujen luumääästä. 5.3. Paaluvoimien ataisu tasotapausessa Jos paalutusella on si smmetiataso (niin uin ätännön aenteissa usein on), voidaan tässä tasossa vaiuttavien uloisten uomaomponenttien aiheuttamat siitmät ja paaluvoimat lasea ns. tasotapausena. Esimeisi uvan 67 paalutuseen sntvät siitmät ja paaluvoimien lasenta voidaan aina jaaa ahteen toisistaan iippumattomaan osaan: 1) Tasotapausena voidaan ensin äsitellä eiseen smmetia- eli -tasossa vaiuttavien uloisten voimaomponenttien, ja osuus (uva 67 b) paaluvoimiin. ) uiden (leensä seundääisten) voimaomponenttien (, ja ) vaiutusesta tuleva osuus paaluvoimiin voidaan lasea eiseen, jos on tapeen: a) b) u w i, ϕ Kuva 67. Paalutus, jolla on si smmetiataso ( -taso). a)tasopiios, ätettävä oodinaatisto seä aii uusi uloista voimaomponenttia. b) Sivuuva, tasossa vaiuttavat pimääiset voimasuueet ja niitä vastaavat siitmäomponentit. Taastellaan seuaavassa siitmämenetelmän muaista ataisuhtälöiden johtamista tasopaalutuselle. Ysittäisen paalun päässä aselin suunnassa vaiuttavan voiman ja vastaavan ooonpuistuman välisen hteden ilmaisee aiaisemmin mainittu paalun jäs i = EA/L (s. aava (49)). Tämä jousivaiota vastaava suue voidaan tuipaalulle helposti johtaa Hooen lain avulla taastelemalla uvaa 68 a).
37 N, ϕ Δ 1 O, u w Δ 1 L N Δ = α Kuva 68. a) Paalun päihin vaiuttava asiaalinen puistusvoima N ja aselin suuntaiset siitmät Δ i. Kuvan 68 a) muaan, jos tunnetaan siitmät Δ i paalun molemmissa päissä, saadaan ooonpuistumasi Δ Δ 1. Suhteellinen puistuma (muodonmuutos) oo paalun pituudella on ε = (Δ Δ )/L, josta edelleen saadaan paalun jännits lasettua etomalla ε immoetoimella E (Hooen lai). σ = E ε. (65) Paalun nomaalivoima saadaan etomalla jännits paalun poiipinta-alalla (A). Paalussa vallitsevan nomaalivoiman ja päiden siitmien välille saadaan siten htes: EA N = ( Δ Δ1 ). (66) L Tuipaaluissa otasutaan leensä paalun alapään tueutuvan täsin jäään allioon, jolloin paalun alapäässä ei tapahdu siitmistä ja Δ =. Otasumalla paalun puistusvoima positiivisesi suueesi saadaan htälöstä (66) N = Δ 1, (67) jossa on paalun jäs. ( = EA/L, aava (49), vt. lineaaisen jousen jousivaio). Vastaavalla tavalla voidaan johtaa oo paalutuselle sen johonin pisteeseen vaiuttavien oodinaattiaselien suuntaisten voimaomponenttien (, ja ) ja pisteen siitmien (u, w ja ϕ) välinen htes (uva 68 b). Kosa siitmä- ja voimaomponentteja on tasossa hteensä 3 l, tavitaan mös 3 toisistaan iippumatonta htälöä. Yhtälöt voidaan muodollisesti ijoittaa matiisimuotoon seuaavasti: 11 1 13 1 3 31 3 33 u w = ϕ eli matiisihtälönä sama asia: [ K]{ } { f} b) Paaluantuan siitmäomponenttien u,w ja ietmän ϕ ollessa tunnettuja voidaan määittää paalun läpäässä tapahtuva aselin suuntainen ooonpuistuma (Δ 1 ). (68) δ =. (69) missä eoinmatiisille ja vetoeille ätetään tavallisesti meaniiasta tuttuja nimitsiä [K] = paalutusen jäsmatiisi, {δ} = siitmävetoi ja {f} = voimavetoi.
38 Jäsmatiisin [K] aliot aavassa (68) voidaan ataista antamalla vuoonpeään sittäiselle siitmäomponentille siön suuuinen avo (muiden omponenttien ollessa nollia) ja lasemalla tämän siitmätilan aiheuttamat. voimaomponentit paalun läpäässä. Voimaomponentit ovat tällöin suoaan siitmäomponenttia vastaavan jäsmatiisin pstivin aliot uten htälöstä (6) voidaan nähdä. ääitetään seuaavassa esimein vuosi jäsmatiisin ensimmäisen pstsaaeen aliot antamalla siitmäomponentille u avo 1 (u = 1) muiden siitmien ollessa nollia (w = ja ϕ =). Yhtälöstä (68) seuaa tällöin 11 =, 1 = ja 31 = eli jäsmatiisin alioiden määittämisesi on lasettava asetetusta siitmätilasta aiheutuneet voimaomponentit (, ja ) (uva 69). Paalun läpää puistuu ooon paaluantuan pstsiitmän u johdosta matan Δ, jona suuuus saadaan u:n pojetiona paalun aselille: Δ = cos (α) u = cos (α), (7) missä α on - aselin ja paalun aselin välinen ulma. Kooonpuistuma Δ snnttää paaluun nomaalivoiman, jona suuuus on htälön (57) peusteella on: N = Δ = cos (α). (71) Jaamalla voima N oodinaattiaselien suuntaisiin omponentteihin (, ) ja lasemalla N:stä aiheutuva momentti oigon suhteen ( ) saadaan jäsmatiisin ensimmäisen pstsaaeen alioisi: 11 = = cos (α) N = cos (α), 1 = = sin (α) N = sin(α) cos(α) (7) 31 = = N = cos(α), Kuva 69. Paalun jäsmatiisin alioiden määits. missä on paalun nomaalivoiman momenttivasi oigosta mitattuna. Johtamalla vastaavasti muut jäsmatiisin aliot, (toinen ja olmas saae htälössä (68)) ja ättämällä paalun aselin suuntaisen vetoin suuntaulmien osineille seuaavia lhennsmeintöjä p = cos (α) p = cos (9 o - α) = sin (α), (73) voidaan htälöhmä (68) ijoittaa muotoon: o, u u = 1 α Δ p u p w = ϕ, (74) joa uvaa sittäisen paalun jäden osuutta oo paalutusen voima-siitmähtälöhmässä. Summaamalla aiien paalujen vaiutus hteen saadaan paalutusen jäsmatiisi lausuttua valitussa oodinaatistossa ja edelleen lopullinen htälöhmä siitmäomponenttien u, w ja ϕ ataisemisesi:
39 p p u w =. (75) ϕ Yhtälöhmästä (75) nä, että siitmävetoin eoinmatiisi eli jäsmatiisi on ullein paalutuselle ominainen aennevaio ja iippuu ainoastaan paalujen jäsistä seä niiden asemasta valittuun oodinaatistoon nähden (suueet p i, p i, i ja i ovat aii vaioita). Rataisuhtälöitä on tasotapausessa ainoastaan 3 appaletta (tämä siis tasopaalutusissa, jota eivät ole meanismeja), joten valitun paalutusen oigon siitmät voidaan aina määittää, jos uloiset uomaomponentit (, ja ) tunnetaan. atiisimeinnöin ijoitettuna htälön (75) ataisu on muotoa: {δ} = [K] -1 {f}, (76) missä {δ}-vetoi sisältää tuntemattomat siitmäomponentit (u, w ja ϕ). Tavallisesti htälöhmän (75) ataisu uitenin suoitetaan eliminointimenettelllä, jolloin eoinmatiisin [K] äänteismatiisia ei tavitse eiseen määittää (esim. Gaussin menetelmä). Kätännössä 3 3 htälöhmän ataisu onnistuu helposti sopivaa funtiolasinta, tauluolasenta- tai matematiiaohjelmaa hväsi ättäen. Kun jään paaluantuan siitmäomponentit hdessä tason pisteessä (= tavallisesti valitun oodinaatiston oigossa) on ataistu, niin samalla tunnetaan paaluantuan aiien muidenin pisteiden siitmät. Näin ollen joaisen paalutuseen uuluvan paalun läpäässä voidaan määittää paalun saama aselin suuntainen siitmä (= ooonpuistuma) Δ ja siitä edelleen paaluvoima N ättäen aavaa (67). Ysittäisen paalun läpään siitmä Δ i paalun aselin suunnassa saadaan lasettua siitmäomponenteista paalun suuntaosinien ja momenttivaen avulla. Paalun i nomaalivoiman lauseeesi saadaan: N i = i Δ i = i [p i u + p i w + i ϕ]. (77) i (positiivinen i ) o Kaavoissa esiintvä sittäisen paalun momenttivasi + i eli paalun aselin ohtisuoa etäiss oigosta (uva 7) voidaan sinetaisimmin lasea paalun läpään oodinaattien ja suuntaosinien avulla htälöstä: i i = i p i - i p i (78) i johon läpään paiaoodinaatit (i, i ) on sijoitettava meeineen samoin uin suuntaosinien avo. (Huom. omenttivaen i ja suuntaosinin p i väää etumei on lasennassa tehtjä leisimpiä viheitä) Tasotapausessa meien oieellisuuden taistusena voi ättää seuaavia sääntöjä: 1. -oodinaatistossa -aselin ja paalun aselin välinen suuntaulman osini: p = cos (α) on aina positiivinen, osa paalut suuntautuvat aina alaspäin (uva 7).. -aselin ja paalun aselin välinen suuntaulman osini p = cos (9 o - α) = sin (α) on positiivinen, jos ulma α on positiivinen. Paalu on tällöin alteva oiealle uten uvassa 7. Jos ulma α on negatiivinen mös p muuttaa meinsä ja on negatiivinen (vasemmalle alteva paalu). 3. omenttivasi on positiivinen, jos paalun aseli tai sen jate ohittaa oigon oiealta, miä taoittaa positiivisen -aselin puolelta uten uvassa 7. +α Paalu i Kuva 7. Paalun aselin momenttivasi( i ) ja läpään oodinaatit ( i ja i ).
4 Paalujen nomaalivoimien lasemisesi tavitaan siis ainoastaan asi htälöä (75) ja (77) iippumatta siitä uina monta paalua tai paaluiviä paalutusessa on. Rataisun ulu on siten aina sama: 1) Valitaan oodinaatisto, lasetaan jäsmatiisin etoimet, edusoidaan uloinen uoma valittuun oigoon, muodostetaan htälöhmä (75) ja ataistaan siitmäomponentit (u, w ja ϕ). KK ) Rataistaan paaluvoimat (N i ). htälöistä (77). 5.3.3 Pääjädet ja pääsuunta Siitmäomponenttien ataisemisesi on leensä ataistava olmen htälön lineaainen htälöhmä (75). o φ o Koodinaattiaseliston sopivalla paian valinnalla voidaan ataistavaa htälöhmää josus sinetaistaa. Eitisesti, jos oigo valitaan paalutusen ietoesiöön (ohta 5..) tulevat siitmäomponentit u ja w ietmästä ϕ iippumattomisi ja jäsmatiisin temit = o 1 =. 1 Yhtälöhmä (75) on tällöin muotoa: p u p w =, (79) ϕ Kuva71. Paalutusen ietoesiö ja pääsuunta. missä uloisten uomien aiheuttama momentti ( ) lasetaan ietoesiön suhteen. Kietmä (ϕ) eli ietmän suuuus ietoesiön mpäi voidaan heti ataista: ϕ = /. Jos vielä suoitetaan oodinaatiston ieto paalutusen pääsuuntaan (φ o ) (uva 71), nollautuu edellisten temien lisäsi eoinmatiisista viimeinenin lävistäjän ulopuolinen temi p ja eoinmatiisista tulee diagonaalinen: u w = ϕ, (8) Diagonialisoidun eoinmatiisisin lävistäjäaliot ovat tasopaalutusen pääjästemit. atemaattisesti eoinmatiisin [K] muuntaminen lävistäjämuotoon on ominaisavotehtävä ja lävistäjätemit (eli pääjädet) ovat alupeäisen eoinmatiisin ominaisavot. Nämä voidaan helposti määittää matemaattisilla ohjelmilla (atcad, atlab). Siitmäomponentit (u ja w ) pääoodinaatiston aselien suunnissa ( ) voidaan helposti määittää lineaaisesti iippumattomista htälöistä (8), mutta eoinmatiisin aliot, seä uloiset voimasuueet on lasettava pääaselistossa ( ) (uva 71). Tästä oituu usein tapeettomasti lisätötä, osa ietoesiön paia seä pääsuunnat eivät ole leisessä tasotapausessa ennalta tunnettuja. Kaiilla (stabiileilla) tasopaalutusilla on uitenin aina olemassa siäsitteinen ieto-esiö seä pääsuunnat. Algeballisesti ietoesiön paia voidaan määittää alupeäisessä oodinaatistossa lasettujen jäsmatiisin alioiden avulla.
Ehdoista = ja = seuaa ietoesiön paian (, ) osoittavat htälöt: 41 1 3 = = 11 13 11 1 1 p p p, 3 = = 1 13 11 1 1 p p p (81) Pääjässuunta voidaan edelleen määittää ehdosta p =, josta suunnan määittävälle ulmalle φ o saadaan ehtohtälö: 1 p tan(φ o ) = =, (8) 11 Pääjäsien ja pääjässuunnan tunteminen on täeää paalutusta suunniteltaessa, osa paalutus antaa eniten uomaa juui pääjässuunnassa. Vastaavasti tätä suuntaa vastaan ohtisuoassa suunnassa paalutusen anto on heioin. Paalutus tuleein suunnitella siten, että suuin uloinen uoma vaiuttaa pääjässuunnassa tai lähellä tätä olevassa suunnassa. Siitmiä lasettaessa ei leensä annata ensin määittää ietoesiötä tai pääjässuuntaa, osa niiden tunteminen ei ole välttämätöntä. Siitmät on useimmiten helpointa määittää suoaan htälöhmästä (75) tauluolasentaohjelmaa tai ohjelmoitava lasinta ättäen, vaia jouduttaisiinin ataisemaan 3 tuntematonta sisältävä htälöhmä. Jos ietoesiön paia on ennalta tunnettu, on oigo ätevintä sijoittaa ietoesiöön, mutta säilttää alupeäiset oodinaattiaselien suunnat. Siitmäomponentit pst- ja vaaasuunnassa (u ja w) voidaan vielä ataista ahden htälön htälöhmästä (79) suhteellisen helposti. Koodinaatiston ietämistä pääsuuntaan tulee leensä välttää, osa tästä aiheutuu lisätöitä. Paalujen läpäiden oodinaatit, suunnat seä uomaomponentit on nimittäin lausuttava uudessa, ieetssä -oodinaatistossa (uvassa 71) ätännössä muavien pst- ja vaaasuuntien sijasta. Koodinaatiston oigon paian valinnalla voidaan mös jonun vean a. helpottaa jäsmatiisin temien lasentaa. Sijoittamalla oigo paalujen läpäiden tasoon on aiien paalujen läpäiden -oodinaatti nolla ( i = ). Tällöin momenttivasi saadaan aavan (78) muaan htälöstä: i = i p i. Jos useamman paalunivin aselit tasopojetiossa leiaavat samassa pisteessä annattaa oigo sijoittaa istesohtaan, osa näissä iveissä sijaitsevien paalujen mo- ment-tivaet oigon suhteen häviävät.( i =, uva 7 a). b. Jos tasopaalutusella on smmetia-aseli, on se samalla aina mös pääsuunta (uva 7 b). Tällöin -aselisi annattaa sijoittaa smmetia-aselille. Tällöin jäsmatiisista nollautuvat temit p ja ja ataisuh- tälöhmä (75) muuttuu muotoon: u w = ϕ. (83) Kuva 7. Oigon paian valinta. a) Useamman paaluivin istesohta b) Smmetia-aseli (= -aseli).
4 5.3.4 Paaluvoimien ataisu avauustapausessa Yleisessä (stabiilissa) avauustapausessa paaluja on enemmän uin 6 l, paalut sijaitsevat ei suunnissa eiä paalutusella ole smmetiatasoa (uva 73). Paaluantualla on uitenin aiiaan vain 6 siitmäomponenttia eli vapaus-astetta; siitmäomponentit (u, v, w) oodinaattiaselien suuntaan ja ietmäomponentit (ω, ϕ, θ) oodinaatti-aselien mpäi. Vastaavasti uloisena uomitusena voi olla olme voimaomponenttia (, ja ) ja olme momenttiomponettia (,, ). Voimien ja siitmien välinen htes leisessä avauustapausessa voidaan ijoittaa muotoon: 11 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 13 3 33 34 35 36 14 4 34 44 45 46 15 5 35 45 55 56 16 6 36 46 56 66 u v w = ω ϕ θ, (84) Kuva 73. Avauuspaalutus. vastaten tasotapausen htedessä esitettä htälöhmää (68). Kosa aenteen jäsmatiisi on aina smmetinen, on aavan (84) eoinmatiisissa eilaisia alioita enintään 1 l. Kaii [K] -matiisin aliot voidaan määittää samalla peiaatteella uin tasotapausen äsitteln htedessä esitettiin. Rataisemalla voimasuueet siitmätilasta, jossa sittäiselle siitmäomponenteille annetaan vuoonpeään avo 1 ja pitäen samanaiaisesti muut omponentit nollina. Jäsmatiisin alioisi saadaan tällä peiaatteella: p p p p p p u v w = ω ϕ θ, (85) missä meinnät p, p ja p ovat lhennsmeintöjä paalun aselin ( ) ja oodinaattiaselien (,,) välisten suuntaulmien osineille: p = cos (,), p = cos (,), (86) p = cos (,) ja, ja ovat paalun aselin momenttivaet oodinaattiaselien suhteen. Nämä voidaan sinetaisimmin määittää suuntaulmien ja paalun läpään oodinaattien avulla htälöistä:
43 = p - p, = p - p, (87) = p - p. Kun siitmäomponentit ovat htälöistä (85) ataistu, saadaan sittäisen paalun paaluvoima (N i ) uten tasotapausessain lasemalla ensin paalun ooonpuistuma ja etomalla se sittäisen paalun jädellä i. Paalun i ooonpuistuma (Δ i ) saadaan lasettua pojisioimalla paaluantuan siitmäomponentit paalun aselin suunnalle: N i = i Δ i = i [p i u + p i v +p i w + i ω+ i ϕ+ i θ]. (88) Soveltamalla htälöitä (85) (88) voidaan aina määittää mielivaltaisen avauuspaalutusen paaluvoimat. Sstemaattisuutensa vuosi esitett aavat sopivat eitisen hvin ohjelmoitavasi. Jos paalutusella on tasouvassa si smmetia-aseli, ja paalutusen oodinaatisto valitaan siten, että -aseli ht smmetia-aseliin, jaaantuu avauuspaalutusen ataisu ahteen toisistaan iippumattomaan osaan (s. mös ohta 5.3. ja uva 67 a). Samalla aavan (85) jäsmatiisista nollautuu 18 temiä. Jäjestämällä aavassa siitmävetoi siten, että -tasossa tapahtuvat siitmät (u, w, ϕ) tulevat ensin, on avauuspaalutusen ataisuhtälöhmä tällöin muotoa: = v w u p p θ ω ϕ. (89) Yhtälöhmän (89) olme lintä htälöä on itse asiassa jo aiaisemmin edellä äsitelt tasotapaus ja voidaan aina äsitellä muista omponenteista iippumatta. Kolmen alimman htälön avulla voidaan puolestaan ataista -tasoa vastaan ohtisuoan voiman ( ) ja ahden momentin ( ja ) aiheuttamat siitmäomponentit ja niistä aiheutuvat lisäset paaluvoimiin. Usein paalutus pitään ätännössä suunnittelemaan siten, että pääasiallinen uomitus tapahtuu smmetiatason suuntaisesti, jolloin tasoa vastaan ohtisuoien uomat pieniä ja niiden aiheuttamat lisäset paaluvoimiin seundääisiä. Jos avauuspaalutusella on tasouvassa asi smmetia-aselia, niin htälöhmä (89) sinetaistuu edelleen, jos -aselisi valitaan smmetia-aselien leiauspisteen autta uleva suoa. Paalutusen voima-siitmähtes voidaan tällöin ijoittaa muotoon: = v w u ω θ ϕ. (9) Sijoittamalla oigo -tason suunnassa määitettn ietoesiöön voitaisiin vielä si lävistäjän ulopuolinen temi eli aavassa (9) nollata. Keoinmatiisin tädellinen diagonalisointi ei tavallisesti ole mahdollista, osa siäsitteistä ietoesiötä ei mielivaltaisella avauuspaalutusella ole. Viimeisen lävistäjän ulopuolisen temin nollaaminen samanaiaisesti temin anssa onnistuu siten vain eioistapausessa.