normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

Transkriptio

1 TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitkset lötvät 1 SISÄLTÖ 1. Tasojännitstila. Tasojännitstilan muunnoshtälöt 3. Pääjännitkset ja suurin tasoleikkausjännits 4. Suoran sauvan jännitsvaihtelut 1

2 9.1 TASOJÄNNITYSTILA Pisteen leinen jännitstila esitetään kuudella itsenäisellä normaali- ja leikkausjännitskomponentilla. Usein kätännön tilanteissa malli voidaan ksinkertaistaa tasoon: Tasojännitstila Yleinen jännitstila Tasojännitstila (tasokuva) TASOJÄNNITYSTILA Materiaalin sanotaan silloin olevan tasojännitstilassa. Tasojännitstila esitetään pisteen normaalijännitskomponenteilla x, ja leikkausjännitskomponentilla τ. Siten pisteen jännitstila on ksikäsitteisesti määritett kolmella jännitskomponentilla missä tahansa pisteen orientaatiolla. 4

3 9.1 TASOJÄNNITYSTILA Jännitskomponenttien muunnos koordinaatistosta toiseen vastaa voimassteemin muunnosta. Muunnoshtälöitä kätettäessä on tunnettava Jokaisen jännitskomponentin suuruus ja suunta Sen tason suunta, jossa jännitskomponentti vaikuttaa 5 ESIMERKKI 9.1 Tasojännitstila junavaunun vaipan ulkopinnan eräässä pisteessä on mitattu jännitsvenmäliuskoilla. Mitkä ovat jännitkset leikkauksissa a-a ja b-b? 6 3

4 9. TASOJÄNNITYSTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Merkkisääntö Positiiviset normaalijännitkset x ja vaikuttavat ulospäin elementin pinnoilta Positiivinen leikkausjännits τ vaikuttaa löspäin oikeanpuoleisessa pinnassa TASOJÄNNITYSTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Merkkisääntö Tason orientaatio määritetään kulmalla θ. Positiiviset x ja akselit määritetään oikean käden merkkisäännöllä. Kulma θ on positiivinen, jos se kasvaa liikuttaessa vastapäivään +x akselilta + akselille. Positiivinen kulmamuutos 8 4

5 9. TASOJÄNNITYSTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali ja leikkausjännitskomponentit Leikkaa elementti kuvan mukaisesti. Leikatun alueen pinta-ala on A. VKK: 9 9. TASOJÄNNITYSTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali ja leikkausjännitskomponentit Sovelletaan tasapainohtälöitä: + ΣF x = 0; x' A ( τ Asinθ ) cosθ ( Asinθ ) sinθ ( τ Acosθ ) x' ( Acosθ ) x cosθ = 0 = cos θ + sin x θ + τ sinθ ( sinθ cosθ ) 10 5

6 9. TASOJÄNNITYSTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali ja leikkausjännitskomponentit + ΣF = 0; τ τ x' + ' A + ( τ Asinθ ) sinθ ( Asinθ ) cosθ ( τ Acosθ ) x' ' ( Acosθ ) = x sinθ = 0 cosθ ( ) sinθ cosθ + τ ( cos θ sin θ ) x Sievennetään soveltamalla sinθ = sinθ cosθ, sin θ = (1 cosθ)/ ja cos θ =(1+cosθ)/ TASOJÄNNITYSTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali ja leikkausjännitskomponentit x + x x ' = + cosθ + τ sin θ x τ x ' ' = sin θ + τ cosθ ( 9-1) ( 9 - ) Jos tarvitaan, korvataan (θ = θ + 90 ) arvoon θ htälössä 9-1. ' x + x = cosθ τ sin θ ( 9-3) 1 6

7 9. TASOJÄNNITYSTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Analsin vaiheet Sijoitetaan htälöihin 9-1 ja 9- lukuarvot kättäen sovittua merkkisääntöä. Jos x ja τ x ovat positiivisia, ne vaikuttavat positiiviseen suuntaan x ja akseleissa. 13 ESIMERKKI 9. Ratkaistaan edellä ollut tehtävä muunnoskaavoilla. 14 7

8 ESIMERKKI 9. (RATKAISU) Merkkisäännön mukaan x = 80 MPa = 50 MPa τ = 5 MPa Taso CD +x akseli vaikuttaa ulospäin Kohtisuoraan tasoa CD vastaan ja + akseli on CD: suuntainen. Kiertmäkulma on θ = 30 (mötäpäivään). 15 ESIMERKKI 9. (RATKAISU) Taso CD Sovelletaan htälöitä 9-1 ja 9-: x' x' = + cos = 5.8 MPa τ x' ' = sin 30 τ x' ' = 68.8 MPa Huomaa negatiiviset arvot ( 30 ) + ( 5) sin ( 30 ) ( ) + ( 5) cos( 30 ) 16 8

9 ESIMERKKI 9. (RATKAISU) Taso BC Vastaavasti tason BC jännitskomponentit saadaan kulmalla θ = 60. τ τ x' x' x' ' x' ' = + cos = 4.15 MPa = sin = 68.8 MPa ( 60 ) + ( 5) sin ( 60 ) ( 60 ) + ( 5) cos( 60 ) 17 ESIMERKKI 9. (RATKAISU) Leikkausjännits τ x laskettiin tarkistusmielessä kahteen kertaan. Kuvassa on tulos graafisesti (huomaa suunnat) 18 9

10 9. PÄÄJÄNNITYKSET JA SUURIN TASOLEIKKAUSJÄNNITYS PÄÄJÄNNITYKSET TASOJÄNNITYSTILASSA Differentioidaan 9-1 θ:n suhteen ja asetetaan nollaksi: d x x = sin θ + τ cosθ dθ Ratkaistaan htälö ja asetetaan θ = θ P, jolloin saadaan τ tan θ P = ( 9-4) ( ) / ( ) 0 ' = Ratkaisulla on siis kaksi juurta θ p1 ja θ p. x PÄÄJÄNNITYKSET JA SUURIN TASOLEIKKAUSJÄNNITYS Pääjännitkset tasojännitstilassa θ p1 x sin θ p1 = τ cosθ p1 x = + τ x + τ θ p sin θ p = τ x + τ cosθ p x = x + τ 0 10

11 9. PÄÄJÄNNITYKSET JA SUURIN TASOLEIKKAUSJÄNNITYS Pääjännitkset tasojännitstilassa Takaisinsijoituksella saadaan x + x 1, = ± + τ ( 9-5) Yhtälöllä saadaan suurin/pienin tasonormaalijännits pisteessä, jolloin 1. Arvoja kutsutaan tasojännitstilan pääjännitksiksi ja kulmista saatavia tasoja vastaaviksi päätasoiksi PÄÄJÄNNITYKSET JA SUURIN TASOLEIKKAUSJÄNNITYS Pääjännitkset tasojännitstilassa Jos juuret θ p1 ja θ p sijoitetaan htälöön 9-, havaitaan, että τ x = 0. Päätasoilla ei siis esiinn leikkausjännitksiä. Suurin tasoleikkausjännits Differentioidaan 9- θ:n suhteen ja asetetaan nollaksi: ( x ) / tan θ S = - τ ( 9 6) 11

12 9. PÄÄJÄNNITYKSET JA SUURIN TASOLEIKKAUSJÄNNITYS Suurin tasoleikkausjännits Suurimman leikkausjännitksen taso saadaan kiertämällä elementtiä 45 päätasosta. Edellä olleesta htälöstä voidaan johtaa suurimman tasoleikkausjännitksen htälö ko. tasossa: ( x ) τ max = + τ in-plane ( 9-7) 3 9. PÄÄJÄNNITYKSET JA SUURIN TASOLEIKKAUSJÄNNITYS Suurin tasoleikkausjännits Voidaan mös johtaa normaalijännitksen htälö suurimman leikkausjännitksen tasolle: avg x + = Kuvan elementissä tasossa AB ja sitä vastaan kohtisuorassa tasossa on suurin leikkausjännits: ( 9-8) 4 1

13 9. PÄÄJÄNNITYKSET JA SUURIN TASOLEIKKAUSJÄNNITYS YHTEENVETOA Pääjännitkset ovat pisteen pienimmät ja suurimmat jännitkset määrätssä tasossa. Kun jännitstila esitetään pääjännitksinä päätasoilla, elementissä ei vaikuta leikkausjännitksiä. Jännitstila voidaan esittää mös suurimpana tasoleikkausjännitksenä. Tällöin ko. tasolla vaikuttaa mös normaalijännitksiä. Suurimman tasoleikkausjännitksen arvo esiint tasolla, joka on 45 kulmassa päätasoihin nähden. 5 ESIMERKKI 9.3 Kuvan sauvaan asetetaan vääntökuormitus T, joka aiheuttaa puhtaan leikkausjännitstilan sauvaan. Määritä a) suurin tasoleikkausjännits b) pääjännitkset sauvan pinnan jännitselementissä. 6 13

14 ESIMERKKI 9.3 (RATKAISU) Merkkisäännön mukaan: x = 0 = 0 τ Suurin tasoleikkausjännits Sovella 9-7 ja 9-8: = τ ( x ) τ = + τ = ± max in-plane ( 0) + ( τ ) = τ avg x = + = = 0 7 ESIMERKKI 9. (RATKAISU) Suurin tasoleikkausjännits Odotetusti suurin tasoleikkausjännits on sama kuin alkuperäisessä jännitselementissä. Kokeellisesti on havaittu, että sitkeät materiaalit vaurioituvat leikkausjännitsten saavuttaessa materiaalille tpillisen arvon. Siten rakenneteräksestä valmistetun vääntösauvan murtuminen tapahtuu kuvan mukaisesti. 8 14

15 EXAMPLE 9.3 (SOLN) Pääjännitkset Sovella 9-4 ja 9-5, tan θ P = ( = 45 p p1 x τ τ = ) / (0 0) / = 135 ; 1, x + = ± = 0 ± ( 0) + τ = ± τ x + τ 9 EXAMPLE 9.3 (SOLN) Pääjännitkset Laske 9-1 arvolla θ p = 45 x + x x' = + cos θ + τsin θ = sin90 = τ ( τ) Siten = τ vaikuttaa tasossa θ p = 45 kuvan mukaisesti ja 1 = τ vaikuttaa tasossa θ p1 =

16 EXAMPLE 9.3 (SOLN) Pääjännitkset Hauraat materiaalit vaurioituvat normaalijännitksen saavuttaessa materiaalille tpillisen arvon. Kuvan väännöllä kuormitettu valurautatanko vaurioituu 45 kulmassa kuvan mukaisesti SUORAN PALKIN JÄNNITYSJAKAUMA Leikkaus- ja taivutushtälöillä lasketaan jännitkset kuvan ulokepalkille, jota kuormittaa pistevoima P vapaassa päässä. Leikkauksessa a-a vaikuttaa leikkausvoima V ja momentti M jotka aiheuttavat parabolisen leikkausjännitsjakauman ja lineaarisen normaalijännitsjakauman. Leikkausjännitsjakauma Taivutusjännitsjakauma 3 16

17 9.6 SUORAN PALKIN JÄNNITYSJAKAUMA Kuvissa on esitett pisteiden 1-5 jännitstila perustasoilla ja päätasoilla (pääjännitkset) Suurin vetojännits elementin 1 pstpinnoilla pienenee seuraavilla elementeillä kunnes se on nolla elementissä 5 (oikea sarake). tasojännitkset pääjännitkset SUORAN PALKIN JÄNNITYSJAKAUMA Vastaavasti suurin puristusjännits pienenee siirrttäessä elementistä 5 elementtiin 1. Kun tehdään analsi koko palkin pituudella, saadaan kuvan mukaiset kärät, joita kutsutaan jännitstrajektorioiksi Jokainen kärä edustaa vakiopääjännitksen suunnan. Jännitstrajektoriat ulokepalkissa 34 17

18 9.6 SUORAN PALKIN JÄNNITYSJAKAUMA Betonipalkin kuormituskokeessa havaitaan säröjä, jotka johtuvat vetojännitksistä (hauras materiaali!), vaikka palkki on sekä leikkaus- että taivutusrasituksen alainen: 35 ESIMERKKI 9.13 Määritä pääjännitkset kuvan I-palkissa pisteessä P, joka on uumassa lähellä lälaippaa. Nurkkapöriststä ja jännitskeskittmää ei tarvitse ottaa huomioon. I = 67.1(10-6 ) m

19 ESIMERKKI 9.13 (RATKAISU) Sisäinen rasitus Pisteen B tukireaktioiden perusteella ja ottaen leikkaus ja VKK palasta BP saadaan V = 84 kn M = kn m Jännitskomponentit Pisteessä P, = M I = = 45.4 MPa 3 ( ) N m( m) ( 10 ) m 37 ESIMERKKI 9.13 (RATKAISU) Jännitskomponentit Pisteessä P ( 3 VQ ) N ( m )( m )( m ) τ = = It ( 10 ) m ( m) τ = 35. MPa [ ] 38 19

20 ESIMERKKI 9.13 (RATKAISU) Pääjännitkset Pääjännitkset ovat = 1 ( ) = 19. MPa ( ) = 64.6 MPa = Kulma on θ p = 57., eli = 8. 6 θ p 39 YHTEENVETO Tasojännitstilassa materiaalin mielivaltaisessa pisteessä esiintvät normaalijännitskomponentit x ja leikkausjännits τ. Jos suureiden arvot tunnetaan, voidaan jännitkset laskea pisteen missä tahansa tasossa kättäen muunnoshtälöitä. 40 0

21 YHTEENVETO Suunnittelua varten on tärkeää tietää ne tasot, joissa vaikuttavat suurimmat normaali- ja leikkausjännitkset. Muunnoshtälöistä havaitaan, ettei pääjännitstasoilla vaikuta lainkaan leikkausvoimia. Tasot, joissa vaikuttaa suurin leikkausjännits ovat 45 kulmassa päätasoihin nähden ja ne niissä vaikuttava normaalijännits on ( x + )/. 41 1