Muodonmuutostila hum
|
|
- Veikko Heikkinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan A ja piste B asemaan B. Siirtmät voivat aiheutua jäkän kappaleen liikkeestä (translaatio ja rotaatio) ja/tai kappaleen muodon muuttumisesta. Jäkän kappaleen liikkeessä kappaleen pisteiden asemat toisiinsa nähden eivät muutu. Kappaleen muodon muuttuessa sen pisteet siirtvät toisiinsa nähden. Seuraavassa tutkitaan vain muodon muuttumisesta aiheutuvia siirtmiä. Kuva 1. Siirtmävektori Kuvan 1 pisteen A koordinaatit ovat alkutilassa ( A, A,z A ) ja lopputilassa ( A', A',z A' ). Pisteen A siirtmävektori on u A = ( - ) i + ( - ) j +( z - z ) k A' A A' A A' A (1) Pisteen A siirtmäkomponentit koordinaattiakseleiden suunnissa ovat u A = A' - A v A = A' - A w A = za' - za (2) Kappaleen kaikkien pisteiden siirtmävektorit muodostavat sen siirtmäkentän
2 u ( z) (,, ) ( ) (,, ) u z,, = v,, z w z (3) jossa siirtmäkentän komponentit u(,,z), v(,,z) ja w(,,z) sisältävät kappaleen kaikkien pisteiden koordinaattiakseleiden suuntaiset siirtmät. Tavanomaisen lineaarisen lujuusopin tehtävissä tarkastellaan vain pieniä siirtmiä. Kuvassa 1 on siirtmiä havainnollisuussistä suuresti liioiteltu. Muodonmuutostilan käsite ja komponentit Kuten edellä mainittiin, kappaleen muodon muuttuessa sen pisteiden keskinäiset asemat muuttuvat. Tällöin kappaleen pisteiden väliset etäisdet ja sen pisteitä hdistävien janojen väliset kulmat muuttuvat muodonmuutosten seurauksena. Muodonmuutosten tarkastelemiseksi määritellään kappaleen pisteen P muodonmuutostila niin, että se sisältää kaikkien pisteestä P sen lähinaapuripisteisiin (A,B) piirrettjen viivaelementtien (dl 1,dL 2 ) venmät ja kaikkien pisteestä P alkavien kohtisuorien viivaelementtiparien (dl 1 ja dl 2 ) välisten suorien kulmien liukumat. Näitä venmiä ja liukumia on ääretön määrä. Kuten möhemmin osoitetaan, riittää pisteen muodonmuutostilan hallitsemiseen kuitenkin koordinaattiakseleiden suuntaisten viivaelementtiparien venmien ja niiden välisten liukumien tunteminen. Kappaleen kaikkien pisteiden muodonmuutostilat muodostavat sen muodonmuutostilakentän. Kuva 2. Muodonmuutostila Aksiaalinen muodonmuutostila Tutkitaan aluksi kuvan 3 ksiulotteista tapausta, jossa pisteestä P alkavan viivaelementin PA pituus ennen muodonmuutosta on Δ.
3 Kuva 3. Aksiaalinen venmä Kuormituksen seurauksena piste P siirt asemaan P ja A asemaan A siirtmäkomponenttien ollessa - suunnassa u ja u + Δu vastaavasti. Viivaelementin pituus on muuttunut määrän Δu ja sen suhteellinen pituuden muutos on Δu/ Δ. Tällöin -akselin suuntainen venmä pisteessä P on määritelmän mukaan lim u u, = = = 0 u, (4) jossa 0 siten, että piste P A. Kaava (4) on kinemaattinen htälö, joka antaa venmän ja siirtmän välisen hteden. Tasomuodonmuutostila Tarkastellaan seuraavaksi leisen muodonmuutostilan eritistapausta, jossa muodonmuutoksia on vain tasossa eli tasomuodonmuutostilaa. Huomattakoon, että kseessä ei ole tasojännitstila. Muodonmuutoskomponenttien lausekkeiden johtamiseksi tutkitaan kuvan 4 mukaisia tarkastelupisteestä P alkavia koordinaattiakseleiden suuntaisia viivaelementtejä Δ ja Δ. Kuva 4. Tasomuodonmuutostila Kun pisteen P siirtmäkomponentteja - ja -suunnissa merkitään u ja v, ovat pisteiden A ja B siirtmäkomponentit vastaavasti A: u + u ja v + v B : u + u ja v + v (5),,,,
4 jossa siirtmien muutoksia on approksimoitu differentiaaleilla. Siirtmistä aiheutuvat muodonmuutokset voidaan jakaa kahteen osaan kuvan 4 mukaisesti. Koska pisteet P ja A siirtvät -suunnassa erisuuret matkat, aiheutuu tästä viivaelementin Δ venmä -suunnassa. Samoin pisteet P ja B siirtvät -suunnassa erisuuret matkat, joten viivaelementtiin Δ snt venmä -suunnassa. Kuvassa 4 (a) on siirtmäeroista sntvät viivaelementtien venmät. Näin saadaan - ja -akseleiden suuntaisiksi venmäkomponenteiksi ja pisteessä P analogisesti kaavan (4) kanssa u u v v = = = u = = = v lim lim,,,, 0 0 (6) Pisteet P ja A siirtvät mös -suunnassa eri matkat, josta aiheutuu viivaelementin Δ kääntminen kuvan 4 (b) mukaisesti. Samoin pisteet P ja B siirtvät -suunnassa eri matkat ja tästä aiheutuu viivaelementin Δ kääntminen. Viivaelementtien Δ ja Δ kääntmisestä aiheutuu niiden välisen suoran kulman APB muutos, jota sanotaan - ja -akseleiden väliseksi liukumaksi γ. Koska kulma α kuvassa 4 (b) on todellisuudessa hvin pieni, voidaan kättää arviota α tan α. Mös venmä on hvin pieni, joten voidaan kättää mös arviota PA P'A'. Näistä oletuksista seuraa v α tanα = v,, (7) Vastaavalla tavalla saadaan tulos α u,. Voidaan näin ollen kirjoittaa tulos γ = α + α = u + v,, (8) Näin saadaan tasomuodonmuutostilalle kinemaattiset htälöt, jotka antavat muodonmuutos- ja siirtmäkomponenttien välisen hteden. = u = v γ = u + v (9),,,, Tasomuodonmuutostilassa pisteen muodonmuutoskomponentit ovat - ja -akselin suuntaisten viivaelementtien venmät ja sekä näiden viivaelementtien välisen suoran kulman liukuma γ. Möhemmin osoitetaan, että näiden avulla voidaan laskea kaikkien tarkastelupisteestä alkavien viivaelementtien venmät ja minkä tahansa siitä alkavan kohtisuoran viivaelementtiparin välisen suoran kulman liukuma. Komponentit, ja γ riittävät pisteen tasomuodonmuutostilan hallitsemiseen. Yleinen muodonmuutostila Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa pisteen muodonmuutostilaa voidaan tarkastella kuvan 5 tarkastelupisteestä P alkavien koordinaattiakselien suuntaisten viivaelementtien Δ, Δ ja Δz avulla. Muodonmuutoksessa viivaelementit venvät venmien ollessa, ja z. Samalla viivaelementit kääntvät niin, että niiden väliset suorien kulmien liukumat ovat γ, γ z ja γ z, jossa alaindeksit ilmaisevat, minkä kahden viivaelementin välisen suoran kulman liukumasta on ksms. Yleisessä tapauksessa pisteen
5 muodonmuutoskomponentit ovat venmät, ja z. sekä liukumat γ, γ z ja γ z. Möhemmin osoitetaan, että nämä kuusi komponenttia riittävät pisteen muodonmuutostilan hallitsemiseen. Siirtmäkomponenttien htes muodonmuutoskomponentteihin lödetään, kun suoritetaan tasomuodonmuutostilan htedessä esitett tarkastelu kaikissa kolmessa koordinaattitasossa. Tulokseksi saadaan htälöt = u = v = w,, z, z γ = u + v γ = v + w γ = u + w,, z, z, z, z, (10) Yhtälöitä (10) sanotaan kinemaattisiksi htälöiksi. Ne ilmaisevat näiden suureiden välisen geometrisen hteden, mutta eivät sisällä mitään tietoa siitä, mistä nämä suureet aiheutuvat. Kuva 5. Yleinen muodonmuutostila Liukumien γ, γ z ja γ z sijasta kätetään mös muodonmuutoskomponentteja, z ja z, jotka määritellään htälöillä = γ / 2 = γ / 2 = γ / 2 (11) z z z z Muodonmuutoskomponentit voidaan järjestää (smmetriseksi) muodonmuutosmatriisiksi, jonka kukin vaakarivi sisältää samaan viivaelementtiin liittvät komponentit eli z = z z z z (12) Muodonmuutoskomponenttien hteensopivuushtälöt
6 Tämän kohdan voinet hpätä ensimmäisellä lukemalla litse ja palata jos aihetta on. Jos sinulla on nimittäin kätössä siirtmäfunktio, niin hteensopivuushtälöt toteutuvat automaattisesti. Tasomuodonmuutostilan kolme muodonmuutoskomponenttia, ja γ saadaan kinemaattisten htälöiden (9) mukaan laskettua kahdesta siirtmäkomponentista u ja v. Näin ollen on ilmeistä, että muodonmuutoskomponentit eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan niiden välille on johdettavissa htes. Kaavoista (9) seuraa = u = v γ = u + v (13),,,,,,, joten on oltava voimassa + = γ,,, (14) Yhtälö (14) on muodonmuutoskomponenttien hteensopivuushtälö tasomuodonmuutostilassa. Yhtälön (14) toteutuminen takaa, että kappale selvit ehjänä muodonmuutoksesta eli kuvan 4 mukaiset muotoansa muuttaneet suorakulmioelementit PACB muodostavat htenäisen kappaleen muodonmuutoksen jälkeenkin. Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa kuusi muodonmuutoskomponenttia, ja z, γ, γ z ja γ z saadaan kinemaattisten htälöiden (10) mukaan kolmesta siirtmäkomponentista u, v, ja w. Taaskin on ilmeistä, että muodonmuutoskomponentit eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan niiden välille voidaan johtaa kolme hteensopivuushtälöä. Nämä saadaan käsittelemällä kaavoja (10) samaan tapaan kuin edellä. Tulos voidaan esittää kahdessa vaihtoehtoisessa muodossa + = γ,,, ( ), ( ), ( ), z z, z,, z, zz z, z, z, z z, z,, z z,, zz z, z 2 = γ + γ + γ A: + = γ B : 2 = γ γ + γ + = γ 2 = γ + γ γ z, z, z,, z, z (15) Muodonmuutoskomponenttien transformointi Kohdassa 2 todettiin, että pisteen tasomuodonmuutostila hallitaan muodonmuutoskomponenttien, ja γ avulla. Seuraavassa esitetään, miten tämä tapahtuu. Tarkastellaan kuvan 2.6 mukaista viivaelementtiä PA, jonka pituus on ennen muodonmuutosta Δs ja koordinaattiakseleiden suuntaiset projektiot Δ ja Δ. Muodonmuutoksen seurauksena PA tulee asemaan P A, jossa sen pituus on Δs'. Pisteen P siirtmäkomponentit ovat u ja v sekä pisteen A siirtmäkomponentit u + Δu ja v + Δv. Lisäksille Δu ja Δv kätetään approksimaatioita u u + u v v + v (16),,,,
7 Kuvassa 6 (b) viivaelementti PA on siirrett suuntansa säilttäen niin, että pisteet P ja P htvät eli PA on asemassa P A. Silloin Δu = A''C ja Δv = CA'. Tavoitteena on lötää kuvan 6 (b) -koordinaatiston muodonmuutoskomponentit ', ' ja γ ''. Kuva 6. Muodonmuutoskomponenttien transformointi Määritetään ensin venmäkomponentti '. Koska kulma α on hvin pieni, voidaan kättää arviota DA'cos α DA', jolloin saadaan DA' DA' cosα = u cosα + vsinα (17) Venmä ' on määritelmänsä ja kaavojen (16) ja (17) mukaan DA ' ' u, u, cosθ v, v = = + + +, sinθ s s s s s (18) Kun kaavaan (18) sijoitetaan Δ / Δs = cosθ ja Δ / Δs = sinθ sekä otetaan lisäksi huomioon htälö (9), saadaan tulos ' = cos + sin + sin cos θ θ γ θ θ (19) Venmä ' saadaan kaavasta (2.19) sijoittamalla kulman θ paikalle θ + π / 2. Lasketaan vielä liukuman γ '' lauseke. -akselin suuntaisen viivaelementin kääntmiskulma on α. Kuvan 6 (b) perusteella saadaan α A'' D tan α ja A'' D = v cos u sin DA'sin s θ θ α (20) jossa DA'sinα ' Δs α 0. Yhtälön (16) avulla saadaan tulokseksi ( ) sin cos v, cos u, sin α = θ θ + θ θ (21) -akselin suuntaisen viivaelementin kääntmiskulma β saadaan kulman α lausekkeesta sijoittamalla kulman θ paikalle θ + π / 2. Tällöin seuraa tulos
8 ( ) sin cos v, sin u, cos β = θ θ + θ θ (22) Liukuma γ '' on α β, joten ( ) ( ) γ ' ' = 2 sinθ cosθ + γ cos θ sin θ (23) Kättämällä suuntakosineja ja liukuman puolikasta saadaan transformointikaavat muotoon ' l m 2lm ' = ' ' lm lm l m m l 2lm (24) Vertaamalla saatuja transformointihtälöitä tasojännitstilan jännitskomponenttien vastaaviin htälöihin havaitaan niiden olevan täsmälleen samaa muotoa. Yleinen muodonmuutostila Edellä saatu vastaavuus jännitstilan ja muodonmuutostilan välillä on voimassa mös leisessä kolmiulotteisessa tapauksessa. Tämä merkitsee sitä, että kappaleessa 1 jännitksille johdetuista tuloksista saadaan vastintulokset muodonmuutoksille korvaamalla kaavoissa jännitskomponentit vastaavilla muodonmuutoskomponenteilla. Esimerkiksi vektorin n suuntaisen viivaelementin venmäksi n saadaan kaavan (Jännitstila 30) perusteella n = n n (25) Vastaavasti z -koordinaatiston muodonmuutoskomponentit voidaan laskea z-koordinaatiston komponenteista kaavan (33) perusteella seuraavasti ' = L L T (26) jossa L on kiertomatriisi (Jännitstila ht. 32) ja muodonmuutosmatriisi (12). Päävenmät ja suunnat Jännitstilan ja muodonmuutostilan analogiasta seuraa, että muodonmuutostilalle voidaan esittää pääjännitksiä ja -suuntia vastaavat käsitteet. Tasomuodonmuutostila
9 Tasomuodonmuutostilassa venmäkomponentilla ' on kaksi ääriarvoa 1 ja 2, jotka esiintvät toisiaan vastaan kohtisuorissa suunnissa θ 1 ja θ 2. Päävenmät 1 ja 2 ovat kaavan (Jännitstila 38) nojalla 1 1,2 = ( + ) ± (27) Vastaavat pääsuunnat ovat htälön (Jännitstila 36) perusteella 1 2 θ = arctan ja θ = θ + π / (28) 1 on venmäkomponentin ' suurin arvo ja 2 sen pienin arvo. Pääsuuntien välinen liukuma on nolla. Pääsuuntien viivaelementit säilttävät muodonmuutoksessa suuntansa eli psvät kohtisuorassa toisiaan vastaan, ne ainoastaan venvät tai kutistuvat pituussuunnassa. Yleinen muodonmuutostila Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa muodonmuutostilalla on kolme päävenmää toisiaan vastaan kohtisuorissa pääsuunnissa eli pääsuuntien väliset liukumat ovat nollia. Päävenmät saadaan kaavan (Jännitstila 50) perusteella htälöstä 3 2 p J1 p + J 2 p J3 = 0 (29) jossa kaavan (Jännitstila 51) mukaisesti J J ( ) ( ) 2 1 z 2 z z z z 3 = + + = Tr J = + + z = det = z z z z (30) Pääsuunnat saadaan kaavan (Jännitstila 48) mukaisesti ratkaisemalla kutakin päävenmää vastaava htälörhmä p z l 0 p z m 0 = z z z p n 0 (31) jossa lisäksi l 2 +m 2 +n 2 = 1. Päävenmät ovat muodonmuutosmatriisin ominaisarvot ja pääsuunnat sen ominaisvektorit. Koska on reaalinen ja smmetrinen matriisi, ovat päävenmät reaaliset. Yhtälön (29)
10 kertoimet J 1, J 2 ja J 3 ovat muodonmuutostilan pääinvariantit, jotka eivät riipu kätettävästä koordinaatistosta. Jos kaikki päävenmät ovat erisuuria, saadaan rhmästä (31) kutakin päävenmää vastaava ksikäsitteinen pääsuunta. Jos kaksi päävenmistä on htä suuria, saadaan kolmatta päävenmää vastaava pääsuunta ksikäsitteisesti määrätksi ja kaikki tätä vastaan kohtisuorat suunnat ovat mös pääsuuntia. Kseessä on slinterimäinen muodonmuutostilatila. Jos kaikki päävenmät ovat htä suuria, ovat kaikki suunnat pääsuuntia ja liukumaa ei esiinn minkään suuntien välillä. Tällaista tapausta sanotaan pallomaiseksi muodonmuutostilaksi. Siirtmäkomponenttien reunaehdot Jos kappaleen pinnan pisteessä tunnetaan pintavoimavektori t, on jännitskomponenttien reunaehtojen (Jännitstila 55) oltava voimassa. Toinen mahdollisuus on, että tunnetaan reunan pisteessä sen siirtmävektori. Tästä seuraa tarkastelupisteen P siirtmäkomponenteille reunaehdot u = u0 v = v0 w = w0 (32) jossa u 0, v 0 ja w 0 ovat tunnetut siirtmäkomponentit. Siirtmäkomponenttien reunaehdot liittvät tavallisesti kappaleen tuentaan ja usein annetut tukisiirtmät ovat u 0 =0, v 0 =0, w 0 =0. Kolmannen reunaehtotapauksen muodostavat sekareunaehdot, jolloin kappaleen pinnan pisteessä on kunkin koordinaattiakselin suunnassa annettu joko pintavoimakomponentti tai siirtmäkomponentti. Tarkastelupisteen reunaehtohtälöiksi tulee tällöin hdistelmä htälöistä (Jännitstila 55) ja (32). Tietn koordinaattiakselin suuntaan ei voida antaa sekä siirtmä- että pintavoimakomponenttia vaan jompikumpi niistä. Edellä oletettiin reunaehtojen liittvän z-koordinaatiston akseleiden suuntiin. Yleisessä tapauksessa reunaehdot liittvät kussakin reunan pisteessä z-koordinaatistoon nähden kiertneeseen z -koordinaatistoon. Tällaiset vinot reunaehdot voidaan muuntaa z-koordinaatistoon koordinaatiston kierrolla tai kättää erillistä reunaehtoelementtiä.
lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1)
Jännitstila Tarkastellaan kuvan ukaista ielivaltaista koliulotteista kaaletta, jota kuoritetaan ja tuetaan siten, että se on tasaainossa. Kaaleen kuoritus uodostuu sen intaan kohdistuvista voiajakautuista,
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotSISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa
SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotMateriaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.
JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.
LisätiedotLAATTATEORIAA. Yleistä. Kuva 1.
LAATTATEORIAA Yleistä Kuva 1. Laatta on kahden pinnan rajoittama rakenneosa, jonka paksuus on pieni muihin mittoihin verrattuna. Pintojen puolivälissä oleva keskipinta on taso ennen laatan kuormittamista.
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
Lisätiedot203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
Lisätiedot4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot[ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritystä kaavoista (4.20) ja
Elementtimenetelmän perusteet 7. 7 D-SOLIDIRAKEEE 7. ohdanto Edellä tarkasteltiin interpolointia ja numeerista integrointia emoneliön ja emokolmion alueissa. Emoelementtien avulla voidaan muodostaa vaihtelevan
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotTrigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti
LisätiedotPalauta jokainen funktio-tiedosto. Esitä myös funktiot vastauspaperissasi.
Tehtävä 1 Kirjoita neljä eri funktiota (1/2 pistettä/funktio): 1. Funktio T tra saa herätteenä 3x1-kokoisen paikkavektorin p. Se palauttaa 4x4 muunnosmatriisin, johon sijoitettu p:n koordinaattien mukainen
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I
Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 14: Yleisen lujuusopin elementtimenetelmän perusteita.
4/ LMNIMNLMÄN PRS SSSIO 4: Yleisen lujuusopin elementtimenetelmän perusteita. JOHDANO A A A A Yleinen elementtimenetelmä on osittaisdifferentiaalihtälörhmän reuna-arvotehtävän likimääräinen ratkaisumenetelmä.
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotMatemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotPOIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET
1.10.018 POIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET KOORDINAATISTON VALINTA: x akseli sauvan tai palkin akselin suuntainen akseli alaspäin akseli siten, että muodostuu oikeakätinen koordinaatisto Pintamomentti (pinnan
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedot4 YLEINEN ELEMENTTIMENETELMÄ
Elementtimenetelmän perusteet 4. 4 YLEINEN ELEMENIMENEELMÄ 4. Johdanto Elementtimenetelmä on osittaisdifferentiaalihtälörhmän reuna-arvotehtävän likimääräinen ratkaisumenetelmä. ällöin tarkastellaan tiettä
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
LisätiedotRajoitutaan isotrooppisen materiaalin tarkasteluun, jolloin materiaaliyhtälöt ovat
Lujuusopin jatkokurssi I.28 3 JÄNNITYS- JA MUODONMUUTOSTILAN YHTYS 3. Materiaalimalleista Jännits- ja muodonmuutostila ovat ktkennässä toisiinsa ja ktkennän antavia htälöitä sanotaan materiaalihtälöiksi
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Lisätiedotnormaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät
TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotPiste ja jana koordinaatistossa
607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
LisätiedotKone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C
Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotTestaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotHarjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotTeknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut
Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotLaskuharjoitus 1 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotRatkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotToisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö
Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien
LisätiedotMääritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja
TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Lisätiedot