SATE2180 Kenttäteorian perusteet / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin ja Gaussin lait -> sähkökentän voimakkuus ja sähkövuon tiheys

Transkriptio

1 ATE180 Kenttäteoian peusteet / Tehtävä 1. Pisteessä P 1 (,, -4) sijaitsee - mc suuuinen negatiivinen vaaus ja pisteessä P (1, -4, ) on positiivinen C vaaus. Määitä positiiviseen vaaukseen vaikuttava voimavektoi. Kuinka suui voima vaikuttaa negatiiviseen vaaukseen? Vaauksien paikat esitetnä kateesisessa koodinaatistossa: P,, 4 e e 4e P 1 neg. 1, 4, e 4e e pos. Positiiviseen vaaukseen vaikuttava voimavektoi: 1 e 4 e 4 e e 6e 6e pos. neg. pos. neg. pos. neg. pos. 4π 4π pos , 7 F e π e 6e 6e e e e N 1,18 N 9 4π10 8,7 8,7 4,6 F e e e 1,18 N 4,6 Fpos. Negatiiviseen vaaukseen vaikuttava voima: 1 e 4 e 4 e e 6e 6e neg. pos , 7 neg. pos. neg. pos. neg. 4π 4π neg. F e F π e 6e 6e e e e N 1,18 N 9 4π10 8, 7 8, 7 4,6 F neg. F pos.

2 ATE180 Kenttäteoian peusteet 018 / Tehtävä. Kuusi pistevaausta (kukin vaauksetaan nc) sijaitsevat smmetisesti, tasaisin väimatkoin, mpän kehää. Tämä oigokeskinen mpä on -tasossa ( = 0) ja sen säde a = cm. Missä kohdassa -akseia on sähkökenttä suuimmiaan? Laske tämä maksimi avo? Yksittäisen vaauksen aiheuttama sähkökenttä: 0 a e E 4π e a mmetiasstä sähkökentää on -akseia ainoastaan -suuntainen komponentti: E 6 4π 0 a ähkökentän maksimi: 6 d 4π 0 de a 0 d d d a 0 d a a 0 a a 0; a 0 i a ei kä a 0 1 a a Joten sähkökentän maksimiavo ko. pisteessä: E a 6 6 a ma 4π0 4π 0 a a E 4π10 0, π kv ma m

3 ATE180 Kenttäteoian peusteet 018 / Tehtävä Tasaisesti jakautunut viivavaaus ( C/m ) sijaitsee -akseia ja tasaisesti jakautunut 6 tasovaaus sijaitsee tasoa = m. Linjaa = 4 m, = 4 m sähkökentää E on ainoastaan - komponentti. Mikä on tasovaauksen vaaustihes? Viivavaauksen aiheuttama E kohdassa (, 4, 4) m: e e E e π π 0 4 e 0 4 e 4e 4e e e e e E 6π π 4, 4 4, 4 7,0 9 Tasovaauksen aiheuttama E kohdassa (, 4, 4) m: E en e Jotta sähkökentää E on ainoastaan -komponentti kohdassa (, 4, 4) m: E E E 0e e e e e 7, 0e e 9 7, 10 7, 0, C/m 94 pc/m 6π 9 Tehtävä 4. Tasaisesti jakautunut viivavaaus ( =,0 nc/m) sijaitsee kohdassa = m, = - m. Pistevaaus sijaitsee 4 m etäisdeä oigosta. Määitä pistevaauksen suuuus ja sijainti seaiseksi, että sähkökentän suuuus on noa oigossa. ähkökentän voimakkuus 0, kun 0 E E E E E E Viivavaauksen aiheuttama E kohdassa (0, 0, 0) m: e e E e π π 0 e 0 e e e e e E π ,0 10 6π 9, 4 16, 9 Pistevaauksen aiheuttama E kohdassa (0, 0, 0) m: E 6π 0, π e 4π10 4 e 10 e

4 ATE180 Kenttäteoian peusteet / Jotta E E : 0,6 e e e e 16, ; e e 0,6 1 1 e e 16, e e 0,6 1 1 e e 16, , 10 C ja paikka,, 0 m , 10 C ja paikka,, 0 m Tehtävä. Okoon vaausjakauman tihes V = C/m (paokoodinaatistossa). Määitä D Gaussin ain avua. Gaussin aki: kok D d Kokonaisvaaus: kok π π π π 4 V V dv sin dd d d sin d d 1 8π kok π π / / cos / π cos π cos0 C Paoa vuon tihes säteen suuntaan: kok 4π C e π π D d De sindde D 4π 8π D D m 0 0

5 ATE180 Kenttäteoian peusteet 018 / Tehtävä 6. Okoon tasaisesti jakautunut tiavuusvaaus [ V = C/m ] tiavuudessa < < 6 m (kateesisessa koodinaatistossa). Määitä D Gaussin ain avua kaikissa aueissa. Tiavuusvaaus voidaan käsittää pääekkäisinä tasovaauksina -> d V D en e n Kun < 1: D (6 ) C/m 6 C/m e e Kun > 6: D (6 ) C/m 6 C/m e e Kun 1 < < 6: 6 D e e 6 e 4 e C/m Tehtävä 7. Tasainen ääettömän pitkä viivavaaus = 4 C/m sijaitsee -akseia ja samankeskisesti sen kanssa sijaitsee etäisdeä sinteinmuotoinen ( = m) ääettömän pitkä tasovaaus = 1,C/m. Määitä D kaikissa aueissa Gaussin ain avua. Aueessa 0 m < < m: , 67 μc D D e e e e π π π m Aueessa > m: D D D kok D d L π L π L π dd D e dde D dd m π L D πl m π L 1, 10 7,10 πl 6 6 m m D 0, 67 7, 8,1 μc D e e m