Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / Digitaalisen tiedonsiirron perusidea on ysinertaisesti siirtää jouo bittejä (binäärinen luujono) paiasta toiseen sähöisten tai sähömagneettisten signaalien avulla. Huolimatta siirrettävän informaation disreetistä olomuodosta, itse tiedonsiirtoanavaan lähetettävä aaltomuoto on fysiaalisista rajoitteista johtuen jatuvaaiainen. Oiealla tavalla toteutetun näytteenoton avulla jatuvaaiainen aaltomuoto saadaan uitenin palautettua disreetisi luujonosi vastaanottimessa ilman merittäviä häviöitä. Jua Talvitie, Toni Levanen & Mio Valama TTY / Tietoliienneteniia jua.talvitie@tut.fi, toni.levanen@tut.fi, mio.e.valama@tut.fi Tässä oleva esitys pohjautuu mm. ao. urssien sisältöön: TLT-54 Digitaalinen siirtoteniia TLT-596 Digitaalisen siirtoteniian jatourssi Taroitusena on antaa esimerejä disreetin matematiian meritysestä modernissa tietoliienneteniiassa esittyen lähinnä anavaorjauseen eli evalisointiin. Ennen digitaalisten tiedonsiirtomenetelmien äyttöönottoa havaittua jatuva-aiaista signaalia äsiteltiin vastaanottimessa ysinomaan analogisin omponentein. Tällä tavoin signaalin hallinta vaieutuu olennaisesti, sillä joainen signaalille tehty prosessointitoimenpide vaatii periaatteessa oman erillisen sähöpiirin. Lisäsi analogiset sähöomponentit ovat alliita ja isoooisia, minä vuosi niiden aupallinen houuttelevuus varsinin nyymaailmassa on hyvin heio. Tässä piileein digitaalisen siirtoteniian voimavara, sillä vastaanotetun jatuva-aiaisen signaalin näytteistetty versio on vain jouo luuja, joiden hallinta miropiireillä on hyvin tehoasta. Luuja voidaan helposti esimerisi tallentaa muistiin ja palauttaa ne sieltä myöhemmin häviöttömästi jatoprosessointia varten. Juuri tämän vuosi disreetin matematiian tuottamat sovelluset ovat erittäin täreitä tietoliienneteniiassa. Digitaaliteniia on nyyään äytössä lähes aiissa uluttajasovellusissa uten matapuhelinveroissa, yleisradio ja -TV lähetysissä, otien langattomissa Internet-yhteysissä, navigaattori- ja paiannuspalveluissa seä yleisesti odin sisäisessä tiedonsiirrossa. Joaisessa näissä tiedonsiirtoanava aiheuttaa lähetettyyn signaalin vääristymää. Kanavaevalisoinnilla taroitetaan tämän vääristymän orjaamista ja sitä äytetään jatossa tämän esitysen esimerinä disreetin matematiian sovellusesta digitaalisessa tiedonsiirrossa.
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 3 Tiedonsiirtojärjestelmän raenne ja siirtoanavan vaiutus Kantataajuisen (nollataajuuden ympäristössä sijaitsevan) digitaalisen siirtojärjestelmän periaatteellinen lohoaavio on esitetty alla olevassa uvassa. Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 4 Jos esimerisi äytettävää taajuusaistaa on Hz, niin teoriassa symbolia voidaan siirtää seunnissa. Tällöin siirrettäessä bittejä sellaisenaan (binäärinen symboliaaosto), saavutettava bittinopeus on bittiä/s, un taas edellä esitetyn 4-tasoisen symboliaaoston avulla saavutetaan samalla aistalla bittinopeus bittiä/s. Mitä suurempi symboliaaosto on, sitä enemmän bittejä yhtä lähetettyä symbolia ohden voidaan siirtää. Toisaalta, olettaen lähetysteho iinnitetysi, suuremman symboliaaoston huonona puolena on suurempi heryys ohinan ja häiriöiden aiheuttamille virheille. Disreetit symbolit muunnetaan jatuva-aiaisesi signaalisi lähetinsuodattimen avulla. Tässä valittua (jatuva-aiaista) pulssimuotoa g(t) painotetaan disreeteillä symbolien arvoilla, jolloin lähetettävä signaali on muotoa S() t = Â A g( t -T) =- Ensimmäisessä vaiheessa lähetettävä bittijono muutetaan symboleisi. Tässä jouo perääisiä bittejä muutetaan tietysi symboliaaoston määräämäsi luuarvosi. Alla on esimerin vuosi esitetty 4-tasoisen reaalisen symboliaaoston raenne: Esimeri 4-tasoisesta symboliaaostosta Bittiyhdistelmä Symboli -3-3 Pääasiallinen taroitus bittien uvaamisessa symboleisi on asvattaa järjestelmän taajuusaistan äytön tehouutta, sillä signaaliohinasuhteen ja anavan vaiutusten lisäsi digitaalisen siirtojärjestelmän tiedonsiirtoapasiteettiin vaiuttaa ainoastaan äytetty taajuusaistanleveys. Tämä puolestaan määräytyy siitä, uina monta symbolia (disreettiä luuarvoa) aiaysiöä ohden halutaan siirtää. missä T on ahden perääisen symbolin välinen aia. Alla olevassa uvassa on esimeri äytettäessä pulssimuotona anttipulssia (huomaa uvassa myös yleiset riteerit äytettävälle pulssimuodolle): Kanttipulssin sijasta äytännöllisempi rataisu on äyttää pyöreämpiä pulssimuotoja, uten ns. nostettuja osinipulsseja. Erityisen olennaista on uitenin ymmärtää edellä esitettyjen pulssimuotoriteerien meritys. Kosa näytehetellä pulssi saa aina arvon ysi, tietyllä symboliajanhetellä signaalista S(t) otettu näytteen arvo on aina samalla ajanhetellä lähetetyn symbolin A arvo. Lisäsi osa pulssin arvo saa aina arvon nolla muilla symboliajanhetillä, eri pulssit/symbolit eivät häiritse toisiaan.
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 5 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 6 Lähetetty jatuva-aiainen signaali S(t) muoautuu anavassa ja ohina summautuu vääristyneen aaltomuodon päälle. Tämän jäleen vastaanottosuodatusessa äytössä olevan taajuusaistan ulopuolinen ohina suodatetaan pois ja signaalista otetaan näytteitä symboliajanjason T välein..8.6.4. Kanavan impulssivaste p Kuten jo mainittiin, näytteistys poimii saapuvasta signaalista vain tietyt ajanhetet: T (=- ). Toisin sanoen vastaanotettua signaalia tarastellaan vain symboliajanhetillä, minä vuosi edellä uvatusta lohoaaviosta voidaan ehittää efetiivinen disreettiaiainen malli: -. -.4 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Kyseisen anavan tapausessa vastaanotettu näytejono voidaan nyt irjoittaa muodossa R = A * p + Z = -.4A + A +.8A + Z - + Tässä lohoaaviossa ei enää esiinny jatuva-aiaisia signaaleita. Analyyttisissa tarasteluissa tämä malli on uitenin riittävä, miäli voidaan olettaa, että pulssimuoto toteuttaa edellä mainitut riteerit ja näytteenotto onnistuvat ideaalisesti. Nyt vastaanotettua näytejonoa voidaan uvata disreetillä tavalla seuraavasti: R = A * p + Z missä p on anavan (näytteistetty) disreettiaiainen impulssivaste ja Z summautuvaa ohinaa. Meri * uvaa onvoluutiota, jona avulla saadaan lasettua lineaaristen järjestelmien input-output-vasteita (ts. Sitia-materiaali Integroinnin sovellusia tiedonsiirtoteniiassa ). Näin ollen joainen lähetetty symboli nähdään vastaanottimessa painotettuna olmen perääisen symbolin summana. Taajuustasossa tämä näyy spetrin vääristymisenä, jossa eri taajuudet vaimenevat toisiinsa nähden eri tavalla. Evalisaattorin tehtävänä on pienentää tätä anavassa syntyvää ISI:ä. Ongelmana on siis löytää sellainen disreettiaiainen suodatin (ts. suodattimen ertoimet/tapit,c -, c, c +, ), jona avulla ISI minimoituu. Aiatasossa tämä taroittaa järjestelmän oonaisvasteen (anava+evalisaattori) paottamista lähelle ysiöimpulssin vastetta, un taas taajuustasossa järjestelmän tuottama amplitudispetri pyritään saamaan mahdollisimman tasaisesi amplitudiarvon ympäristöön. Erilaisia evalisointimenetelmiä löytyy irjallisuudesta useita, joista ns. zero-forcing-menetelmä esitellään seuraavilla sivuilla. Jos anavan impulssivaste ulottuu useamman symboliaiavälin T alueelle, niin anavassa syntyy symbolien välistä esinäisvaiutusta: ISI (Inter Symbol Interference). Esimerisi anava, jona disreetti impulssivaste on muotoa p =-.4 (+)+ ()+.8 (-) ( (t) on ysiöimpulssifuntio) voidaan esittää graafisesti seuraavaan tapaan:
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 7 Lineaarinen evalisointi (zero-forcing-menetelmä) Ehä ysinertaisin ja intuitiivisin menetelmä ISI:n poistamiseen on ns. zero-forcing-evalisaattori. Tässä lähtöohtana on etsiä sellainen disreettiaiainen rajatun estoinen (Finite Impulse Response) suodatin, joa pyrii poistamaan ISI:n oonaan. Tämän ongelman analysointi on huomattavan paljon helpompaa suorittaa taajuustasossa, sillä siellä onvoluutio voidaan esittää ertolasuna. Muuntamalla aiatason vasteet z-muunnosella taajuustason siirtofuntiosi, vastaanotetut näytteet voidaan esittää seuraavasti: Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 8 Tarastellaan seuraavasi esimeritilannetta, jossa edellä esitettyyn 3- tappiseen anavaan lähetetään symbolit, -, ja. Alla olevassa uvassa on esitetty lähetetyn sevenssin aiatason esityset siirtojärjestelmän eri vaiheissa..8.6.4. -. -.4 -.6 Lähetetty sevenssi.8.6.4. Kanavan impulssivaste p().5.5 Kanavan ulostulo Rz () = PzAz ()() + Nz () -.8 - - -.5.5.5.5 3 3.5 4 -. -.4 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 -.5 - - -.5.5.5.5 3 3.5 4 missä P(z), A(z) ja N(z) ovat anavan impulssivasteen, symbolijonon ja ohinan z-muunnoset. Evalisoidut näytteet saadaan tällöin z-tasossa ilmaistua.8.6.4. Vastaanotettu sevenssi..8.6 Systeemin oonaisvaste.8.6.4. Evalisaattorin vaste Qz () = Cz ()( PzAz ()() + Nz ()) = CzPzAz () ()() + CzNz () () -. -.4 -.6 -.8 - - -.5.5.5.5 3 3.5 4.4. -. -5-4 -3 - - 3 4 5 -. -.4 -.6-4 -3 - - 3 4 Tästä nähdään suoraan, että miäli anavan vaiutus halutaan vastaanotetusta signaalista oonaan poistaa, tulee evalisaattorin siirtofuntio valita siten, että C(z)P(z)=. Toisin sanoen evalisaattorin siirtofuntio on muotoa Cz () = / Pz () Termi zero-forcing juontaain juurensa nimenomaan tästä lähestymistavasta, jossa ISI iään uin paotetaan nollaan. Evalisoidut symbolit voidaan nyt esittää muodossa Qz () = CzPzAz () ()() + CzNz () () = PzAz ()() + Nz () Pz () Pz () Nz () = Az () + Pz () Kanavan ulostulossa nähdään selvästi, että aluperäinen sevenssi on voimaaasti vääristynyt ISI:n vaiutusesta. Itse asiassa, jos päätöset/arvauset lähetetystä sevenssistä tehtäisiin tähän signaaliin perustuen, symbolien ilmaisussa tapahtuisi luultavimmin virhe, sillä 3. lähetetty symboli on lähempänä -:ä uin :ä. Käytetty evalisaattori on tässä 9-tappinen eli sen impulssivaste on muotoa c -4, c -3, c,, c 3, c 4. Evalisaattorin ertoimet on lasettu zero-forcing-menetelmään perustuen siten, että C(z)=/P(z). Systeemin oonaisvaste ( p * c tai z-tasossa P(z)C(z)) on uvan perusteella hyvin lähellä ysiöimpulssifuntiota, joten ISI on selvästi pienentynyt. ISI saadaan poistettua sitä taremmin, mitä enemmän evalisaattoriin sisällytetään tappeja. Tappien luumäärä asvattaa uitenin järjestelmän lasennallista taaaa, minä vuosi niiden määrää joudutaan aina tapausohtaisesti rajoittamaan. Aiatason tarastelun lisäsi tilannetta voidaan havainnollistaa myös taajuustasossa. Taajuustason esitys saadaan ottamalla Fourier-
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 9 muunnoset (ts. Sitia-materiaali Integroinnin sovellusia tiedonsiirtoteniiassa ) edellisessä uvassa esitetyistä aiatason vasteista. Alla oleviin uviin on piirretty anavan, evalisaattorin ja järjestelmän oonaisvasteen amplitudispetrit. Amplitudivaste Taajuusvasteet anavalle ja evalisaattorille.6.4..8.6.4. Kanavan vaste Evalisaattorin vaste...3.4.5.6.7.8.9 normalsoitu taajuus Amplitudivaste.6.4..8.6.4. Systeemin oonaisvaste...3.4.5.6.7.8.9 normalsoitu taajuus Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / Tuntemattoman ja/tai muuttuvan anavan hallinta Zero-forcing-menetelmässä evalisaattorin ertoimet määritetään suoraan anavan vasteen perusteella. Yleensä anavan vaste ei ole uitenaan tunnettu, minä vuosi zero-forcing-menetelmän äyttö sellaisenaan ei ole mahdollista. Lisäsi esimerisi langattomassa tiedonsiirrossa anavan vaste muuttuu jatuvasti, minä vuosi evalisaattorin tappiertoimia joudutaan jatuvasti päivittämään. Tähän taroituseen adaptiivinen evalisointi tarjoaa lasennallisesti tehoaat työalut. Alla olevassa uvassa on esitetty lineaarisen adaptiivisen evalisoinnin periaatteellinen lohodiagrammi. Kuvista havaitaan, että evalisaattorin vaste on äänteinen verrattuna anavan vasteeseen. Kanavassa vaimentuneita taajuusia voimistetaan ja päinvastoin, minä vaiutusesta oonaisvaste tasoittuu amplitudiarvon ympäristöön. Vaia zero-forcing-menetelmä intuitiivisesti vaiuttaain erittäin järevältä, siihen liittyy uitenin iävä ohinan voimistumisilmiö. Evalisaattori voimistaa signaalia niillä taajuusilla, joissa anavan vaimennus on suuri. Tällöin, itse hyötysignaalin lisäsi, evalisaattori voimistaa tarpeettomasti myös ohinaa. Tämä nähdään seleästi jo edellä esitetystä aavasta (evalisoidun sevenssin z-muunnos): Nz () Qz () = Az () + Pz () Kyseisen ilmiön vuosi ISI:n poistoon äytetäänin usein muunlaisia menetelmiä, uten esimerisi MSE-evalisaattoria (Minimum Square Error), jossa ISI:ä ei aluperin pyritäään ohinan tehosta riippuen poistamaan aivan oonaan. Eräs toinen mahdollisuus on äyttää ns. sevenssi-ilmaisua, jossa anavan aiheuttama ISI otetaan huomioon itse symbolien ilmaisuprosessissa (esim. Viterbi-algoritmi), jolloin varsinainen evalisointi ennen ilmaisua jää tarpeettomasi. Kohinan summausen jäleen vastaanotin havaitsee anavassa vääristyneen symbolisevenssin R. Perusideana adaptiivisessa evalisoinnissa on minimoida virhe evalisoidun sevenssin Q ja oiean sevenssin A välillä. Käytännössä tämä onnistuu esimerisi ennalta määrätyn, vastaanottimessa tunnetun, pilottisignaalin avulla. Näin ollen tiedetään minälainen evalisoidun sevenssin Q tulisi olla ja siten evalisoinnista aiheutuva virhe voidaan lasea suoraan pilottisignaalin ja Q :n erotusella. Pilottisignaalin sijasta vastaavana referenssisignaalina voidaan äyttää myös evalisoidusta signaalista tehtyjä symbolipäätösiä, miäli voidaan olettaa, että päätöset ovat enimmäseen oieita (esim. yli 9% todennäöisyydellä). Minimoitaessa esimääräistä (neliö)virhettä päädytään usein melo suuriin lineaarisiin yhtälöryhmiin, joiden rataisussa tarvittava matriisi-
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / inverssi saattaa olla lasennallisesti ottaen epääytännöllinen. Jos edelleen pidetään mielessä, että anava muuttuu oo ajan, tappeja joudutaan jatuvasti päivittämään ja lasettavien matriisi-inverssien määrä aiaysiöä ohden vain asvaa. Tähän ongelmaan tehoaan rataisun antavat erilaiset iteratiiviset lasentamenetelmät, joista LMSalgoritmi (Least Mean Squares) on eräs tunnetuimmista. Tässä evalisaattorin tappeja päivitetään joaisen evalisaattoriin saapuvan näytteen perusteella, minä vuosi jatuvat matriisi-inverssit jäävät tarpeettomisi ja lasennallinen taaa evenee. LMS-algoritmi perustuu ns. gradienttialgoritmiin, jossa neliövirhe minimoidaan pyrimällä ohti gradientin nollaohtaa (minimiohta) iteratiivisesti. Tämä tapahtuu siirtymällä aina pieni asel errallaan ohti negatiivisen gradientin suuntaan unnes nollaohta saavutetaan. Aluperäinen gradientti-algoritmi tarvitsee toimiaseen tiedot vastaanotetun signaalin tilastollisista ominaisuusista: näytteiden autoorrelaatiomatriisi ja ristiorrelaatio referenssisymbolin välillä. Nämä ovat uitenin yleensä tuntemattomia. LMS-algoritmi eroaa gradienttialgoritmista juuri tässä mielessä, sillä se arvioi nämä tilastolliset ominaisuudet hetellisesti perustuen suoraan vastaanotettuihin näytteisiin. LMS-algoritmin voidaan toiminta voidaan lyhyesti esittää seuraavalla iteratiivisella prosessilla: Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / Tutitaan seuraavasi tilannetta, jossa äytetään LMS-algoritmia tutun 3-tappisen anavan (ts. sivu 5) evalisointiin. Määritetään vastaanotetun sevenssin signaali-ohinatehosuhteesi db ja äytetään algoritmissa 9-tappista suodatinta seä aselpituutta =.. Alla olevaan uvaan vasemmalla on havainnollistettu absoluuttisen virheen E äyttäytyminen iteraatioiden edetessä. Kohinasta johtuen virheen äyrä ei ole tasainen mutta onvergoituu seleästi nollan ympäristöön. Oiean puoleisessa uvassa evalisaattorin eri tappien (siis 9 pl yhteensä) luuarvot on esitetty iteraatioiden funtiona. 3.5 Evalisaattorin virhe.8 Evalisaattorin tappiertoimet * + = + be c c r, missä E c r T = A -cr -L L (lasettu virhe) = [ c,..., c,..., c ] (evalisaattorin tapit ajanhetellä ) = [ R,..., R,..., R ] (vastaanotettu sevenssi) + L -L 3.5.5.5.6.4. -. -.4 Tässä on ns. aselparametri, joa määrittää uina suuri asel ohti arvioitua negatiivisen gradientin suuntaan otetaan. Jos on liian suuri, algoritmi muuttuu epästabiilisi ( hajoaa äsiin ), ja toisaalta, jos on liian pieni, algoritmi ei ehdi onvergoitua pilottisevenssin aiana. Alla olevassa uvassa on esitetty LMS algoritmin toiminnallinen raenne tarasteltaessa evalisaattorin l:nen tapin [c ] l päivitysprosessia: 3 4 5 6 7 8 9 iteraationumero -.6 3 4 5 6 7 8 9 iteraationumero Jatetaan vielä esimeriä ja tarastellaan evalisoituja symboleita Q iteraatioiden edetessä. Käytetään lähetyseen satunnaisia symboleita, jota valitaan jouosta A Œ{ -3, -,, 3}. Alla oleviin uviin on havainnollistettu tilannetta ilman evalisointia (vasemmalla) ja evalisoinnin anssa (oiealla).
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 3 6 Evalisoimattomat näytteet ajan funtiona 6 Evalisoidut näytteet ajan funtiona 4 4 Näytearvo - Näytearvo - -4-4 -6 3 4 5 6 7 8 9-6 5 5 5 3 35 4 Vasemmanpuoleisesta uvasta on selvää, ettei symboli-ilmaisin pysty ilman evalisointia tuottamaan luotettavia symbolipäätösiä. Oieanpuoleisessa uvassa LMS-algoritmin avulla ilmaisimelle tulevat näytearvot vaiuttavat jo huomattavasti luotettavimmilta. Alussa on havaittavissa algoritmin ns. oppimisjaso, jona aiana evalisaattorin tapit onvergoituvat oieisiin arvoihinsa. Kuten ehä havaita saattaa(?), aluarvoina evalisaattorin aiille tapeille on tässä annettu nolla-arvo. Lopusi on vielä syytä huomauttaa, että vaia aii edellä annetut esimerit pohjautuvatin reaaliluuihin, samat metodit ovat yhtä lailla äytettävissä myös omplesiluujen tapausessa. Itse asiassa useimmat modernit tiedonsiirtojärjestelmät äyttävät nimenomaan omplesiarvoista symboliaaostoa. Tämän vuosi evalisaattorin toteutusen täytyy myös olla omplesinen (ts. sitia-materiaali Komplesiluvut ja radiosignaalit ). Käytännössä omplesiset suodattimet voidaan uitenin aina toteuttaa äyttämällä ahta rinnaaista reaaliarvoista suodatinta.