HAAGA-HELIA ammattikorkeakoulu Liiketalous, Pasila LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 2 MAT2LH001 Katri Währ Kevät 2012
ESIPUHE Tämä luetoruko o tarkoitettu oppikirja tueksi eikä suikaa korvaamaa sitä. Kaikki viittaukset oppikirjaa ovat kirjaa: Pirjo Saarie Elisa Kottola Jarmo Pösö Liike-elämä matematiikkaa Edita ISBN 978-951-37-3882-5 (vahempi paios) ISBN 978-951-37-5605-5 (uudistettu paios) Vahemmassa paioksessa o joitaki vahetueita verotustietoja ym. mutta prosetti- ja korkolasku ei ole muuttuut miksikää. Luetorugo ole kirjoittaut useaa vuoa pitämiei luetoje pohjalta ja kiitäki tässä yhteydessä kaikkia sitä kommetoieita opiskelijoita. Matematiikkaa oppii vai itse laskie eikä malliesimerkkejä selaamalla. Malleista voi kuiteki olla hyötyä omie ratkaisuje löytämisessä. Katri Währ 2
1 KORKOLASKUN KERTAUS JA KORONKORKOLASKU Korkolasku Korko r = kit, missä r = korko ( ) k = pääoma ( ) i = korko(kata) desimaalilukua t = aika murtolukua Tällä kurssilla lasketaa alle vuode korot saksalaise korkolasku mukaa. Jokaisessa kuukaudessa o siis 30 päivää. Tämä tarkoitta, että korkoaikaa allekkai laskettaessa täytyy jokaie 31 päivää muuttaa 30:ksi. Muille ei tarvitse tehdä mitää. Kirjassa o esitelty myös eglatilaie ja raskalaie korkolasku. Esim. 1.1 Laske 7 800 euro pääomalle 3 %: korko 31.7.2008-12.5.2009 väliseltä ajalta. 16 kk 42 pv 2009 5 kk 12 pv - 2008 7 kk 30 pv 9 kk 12 pv = 9 * 30 + 12 = 282 pv 282 7800 * 0,03 * = 183,30 360 Ku kuukausista laiataa päivii, ii laiataa 30 päivää kerralla. Vastaavasti vuosista kuukausii laiattaessa laiataa 12 kuukautta kerralla. Esim.1.2 90 000 euro laia maksuaika o 5 vuotta ja maksuerät maksetaa kuukausittai. Laske kuudee maksuerä suuruus, ku laiaa lyheetää aia sama verra ja lisäksi maksetaa korot. Korko o 6 %. 90000 : 60 = 1500 (lyheys) 90000 5 * 1500 = 82500 (laia pääoma viide lyheykse jälkee) 82500 * 0,06 * 12 1 = 412,50 (6. erä korko) 1500 + 412,50 = 1 912,50 3
Oppikirjassa o koro kaavasta ratkaistu vuorotelle pääoma, korkokata ja korkoaika. Näi o saatu kolme kaavaa lisää muistettavaksi. Jos käyttää korkokaava ja yhtälö ratkaisua, pääsee vähemmällä muistamisella. Seuraavat tehtävät o ratkaistu site. Pääoma Esim.1.3 Mikä suuruise laia eljäesvuode vuode korot voi maksaa 1 500 eurolla? Korko o 5,5 %. k*i*t = r 1 x * 0,055 * = 1500 //*4 4 x * 0,055 = 1500 * 4 //:0,055 1500*4 x = 0,055 x = 109 090,91 109 090 Korkokata Esim.1.4 560 euro tuottee voi maksaa osamaksulla site, että maksaa käteisellä 100 ja kolme kuukaude kuluttua 475. Mikä korkokaa mukaa osamaksusta maksetaa korkoa? 460 * i * 12 3 = 15 15*12 i = 460*3 i = 0,1304 13 % Kasvaut ja alkuperäie pääoma Kasvaut pääoma K = k + kit K = k (1+it) //:(1+it) Alkuperäie pääoma k = K 1 it, missä K = kasvaut pääoma i = korko desimaalilukuja t = korkoaika murtolukua 4
Esim.1.6 20.3. tilille o talletettu 500. Paljoko sie o lisäksi talletettava 15.9., jotta vuode lopussa voitaisii ostaa 2 000? Korko o 3 % ja lähdevero 28 %. 0,72 * 3 % = 2,16 % 280 500 * 0,0216 * = 8,40 (500 euro korot vuode lopussa) 360 2000 500 8,40 = 1491,60 (lisätalletus vuode lopussa) 1491,60 1482,26 1 0,0216* 105 360 Esim.1.7 Lasku maksuehto o 7 päivää 2 %, 14 päivää etto ja viivästyskorko 9,5 %. 3 500 euro lasku o päivätty 25.1.2009. Mikä korkokaa mukaise korkoedu lasku maksaja saa maksaessaa lasku viimeiseä käteisaleuspäivää verrattua eräpäivää? Laskuje viimeiset käteisaleuspäivät ja eräpäivät lasketaa kaleteri mukaa, mutta viivästyskoro korkopäivät korkolasku mukaa. Nyt vertaillaa lasku maksamista viimeiseä käteisaleuspäivää 1.2. ja eräpäivää 8.2. 0,02 * 3500 = 70,- (käteisaleus) 7 3430 * i * = 70 360 70*360 i = 1, 05 105 % 3430*7 5
Korokorkolasku Kasvaut pääoma K = (1 + i) * k, missä K = kasvaut pääoma i = korko desimaalilukua = korkojaksoje lukumäärä k = alkuperäie pääoma Esim.1.8 10.5.2000 tilille o talletettu 2 000. Paljoko tilillä o 2005 lopussa, ku 2 %: korko liitetää pääomaa vuode lopussa? Lähdevero o aluksi 29 % ja vuode 2005 alusta alkae 28 %. 0,71 * 2 % = 1,42 % 0,72 * 2 % = 1,44 % 230 2000 * 0,0142 * = 18,14 (korko 2000 lopussa) 360 2000 + 18,14 = 2018,14 (kasvaut pääoma 2000 lopussa) 1,0142 4 * 1,0144 * 2018,14 = 2165,98 Huom. Ku korko aetaa prosettia, ii se o aia vuosikorko. Joskus prosettiluvu lopussa voidaa käyttää seuraavia lyheteitä. p.a. vuosikorko p.s. puolivuosikorko p.q. eljäesvuosikorko Diskotattu arvo Ratkaistaa kasvaee pääoma lausekkeesta alkuperäie pääoma. (1 + i) * k = K //:(1+i) K k = ( 1 i). Esim. 1.9 Tätä kaavaa saotaa myös käteisarvo tai ykyarvo laskukaavaksi. Mikä pääoma kasvaa 6 vuodessa 10 000 euroksi, ku korko o 1,5 % p.s.? 10000 12 = 8 363,87 1,015 6
Esim. 1.10 Yritys voi maksaa koee eri maksuehdoilla: A 15 000 heti, 6 000 vuode ja 12 000 kolme vuode kuluttua B 33 000 kahde vuode kuluttua Kumpi vaihtoehto o ostaja kaalta edullisempi, ku lasketakorko o 6 %? Ajatuksea o, että myöhemmi maksettavie suorituste täytyy sisältää korkoa. Lasketaa mikä kokoista käteissuoritusta maksuehdot vastaisivat eli maksuehtoje ykyarvot: A 15000 + 6000 12000 + 3 = 30 736 1,06 1,06 33000 B 2 = 29 370 1,06 Vaihtoehto B Nykyarvoja kukaa ei maksa keellekää. Ne lasketaa vai sitä varte, että saadaa eriaikaiset suoritukset vertailukelpoisiksi. Korkokata Ratkaistaa kasvaee pääoma lausekkeesta korkokata. (1 + i) * k = K //:k (1+i) = k K // K 1+i = k i = K - 1 k Esim. 1.11 Sijoitukse arvo ousi 5 vuodessa 15 000 eurosta 17 000 euroo. Samaa aikaa iflaatio oli keskimääri 4,5 % vuodessa. Mikä a) imellise b) reaalise korkokaa mukaa sijoitukselle saatii korkoa? 17000 a) 5-1 = 0,0253 2,5 % 15000 b) 1,045 5 * 15000 = 18693 Reaalie muutos 18693 17000 17000 5-1 = -0,0188-1,9 % 18693 Korkokatoja saotaa relatiivisiksi, jos korkokatoje suhde o sama kui korkoaikoje suhde. Korkokatoja saotaa koformisiksi, jos e tuottavat samassa ajassa sama kasvaee pääoma. 7
Esim. 1.12 Laske 6 %: vuosikorkoa vastaava a) relatiivie b) koformie eljäesvuosikorko. Korkoaika a) 6 % : 4 = 1,5 % p.q. b) (1 + i) 4 = 1,06 // 4 1 + i = 1,01467 1,47 % p.q. Ratkaistaa kasvaee pääoma lausekkeesta korkojaksoje lukumäärä. (1 + i) * k = K //:k (1+i) = k K // log log (1+i) = log k K * log (1+i) = log k K // : log (1+i) = K log k log Esim. 1.13 Missä ajassa 5 000 euro pääoma kasvaa 6 700 euroksi, ku korko o 4 % ja lähdevero 30 %? 0,7 * 4 % = 2,8 % 6700 log 5000 = 10,598...v log1,028 = 10 vuotta 7kk 5 pv Muuokse vuosista kuukausiksi ja päiviksi voi tehdä esimerkiksi kertomalla tarka arvo 0,0598 vuode päivie lukumäärällä 360:llä. Näi saa päiviä. Ne muutetaa sitte kuukausiksi ja päiviksi. 8
Esim. 1.14 Tilille o 17.7.2002 talletettu 2 000 euroa. Paljoko sie o lisäksi talletettava 1.2.2007, jotta 2010 lopussa voitaisii ostaa 8 000 euroa? Tili korko o 2 % ja lähdevero 28 %. 0,72 * 2 % = 1,44 % 163 2000 * 0,0144 * = 13,04 360 2000 + 13,04 = 2013,04 (kasvaut pääoma 2002 lopussa) 1,0144 8 * 2013,04 = 2256,97 (kasvaut pääoma 2010 lopussa) 8000 2256,97 = 5743,03 (lisätalletus 2010 lopussa) 5743,03 5501,91 (lisätalletus 2007 lopussa) 3 1,0144 5501,91 5430,44 1 0,0144* 329 360 9
2 JAKSOLLISET SUORITUKSET Jaksollisilla suorituksilla tarkoitetaa keskeää yhtä suuria tasaisi välei tapahtuvia maksuja. Esimerkiksi tällaisia voisivat olla vuotuie talletus tilille, laia eljäesvuosimaksuerä, osamaksu kuukausierä. Jaksolliste suorituste loppuarvo Lasketaa jaksollisille suorituksille k yhteie loppuarvo (kasvaut pääoma), ku korko o desimaalilukua i. S k * k * k... 2 2 k *[1... ] geometrie sarja, joka suhdeluku o 1+i ja termie lukumäärä k * * k S = ( 1 i) i * k, missä i = korko desimaalilukua k = jaksollie suoritus = jaksolliste suorituste lukumäärä Kaava laskee yhtee kaikki jaksolliset suoritukset ja korot viimeise jaksollise suoritukse kassa samaa aikaa. (Kaava ei siis laske viimeiselle suoritukselle ollekaa korkoa.) Esim. 2.1 Tilille talletetaa vuosittai vuode lopussa 1 000 vuosia 2006-2009. Paljoko tilillä o 2009 lopussa, ku korko o 2 % ja lähdevero 28 %? 0,72 * 2 % = 1,44 % 1,0144 3 * 1000 = 1043,83 1,0144 2 * 1000 = 1029,01 1,0144 * 1000 = 1014,40 1000,00 4087,24 tai 1,0144 4 1 * 1000 = 4087,23 0,0144 10
Esim. 2.2 Tilille talletetaa eljäesvuosittai jakso lopussa 1 000 vuosia 2001-07. Paljoko tilillä o 2009 lopussa, ku korko o 3 %? Esimmäise vuode korot r = kit tai 6 1000 * 0,03 * ¾ = 22,50 0,03 * ( 43 + 42 + 41 ) = 0,03 * 4 1000 * 0,03 * 2 4 = 15,- = 0,045 1000 * 0,03 * ¼ = 7,50 45,- Esimmäise vuode talletukset ja korot 4 * 1000 + 45 = 4045,- 4,045 * 1000 = 4045,- Se, että talletetaa eljäesvuosittai jakso lopussa 1000, o sama kui talletettaisii vuosittai vuode lopussa 4045. Tämä o laskettava äi moimutkaisesti, koska tilikorot liitetää pääomaa imeomaa kerra vuodessa. Korkokataa ei siis saa jakaa vastaamaa maksuväliä. 1,03 7 1 * 4045 = 30 994,66 (kasvaut pääoma 2007 lopussa) 0,03 1,03 2 * 30994,66 = 32 882,23 Jaksolliste suorituste alkuarvo Jaksolliste suorituste alkuarvolle voidaa johtaa kaava jaksolliste suorituste loppuarvo kaava avulla: A S i * k : * k * ( 1 ) i i (1 1 i) A = * i * k Kaava laskee yhteise alkuarvo jaksoa ee esimmäistä suoritusta. (Kaava siis vähetää myös esimmäisestä suorituksesta koro.) 11
Esim. 2.3 Paljoko tilille o talletettava, jotta sieltä voitaisii seuraava 10 vuode aikaa ostaa vuosittai 500? Tili korko o 3 % ja lähdevero 30 %. Esimmäie osto tapahtuu a) vuode kuluttua talletuksesta b) heti. 0,7 * 3 % = 2,1 % a) 1,021 10 10 1,021 *0,021 * 500 = 4 467,88 b) 4 467,88 * 1,021 = 4 561,71 tai 9 1,021 500 + *500 4 561,71 9 1,021 *0,021 Esim. 2.4 Mikä suuruise laia voi ottaa, jos olettaa voivasa maksaa 1 200 (lyheys + korko) 3 kuukaude välei seuraava 6 vuode aikaa? Korko o 6,5 %. Jaetaa korko vastaamaa maksuväliä, koska äi meetellää yleisesti laioja kohdalla. Näi laskie ollaa yhtä mieltä pakkie tietokoeide kassa. 6,5 % / 4 = 1,625 % p.q. 1,01625 24 24 1,01625 *0,01625 *1200 = 23 691,13 Esim. 2.5 Laitteisto voi maksaa kahdella tavalla: A 5 000 heti ja 2 000 vuode ja 3 000 kahde vuode kuluttua B 1 500 käteisellä ja 1 000 puolivuosittai seuraava viide vuode aikaa Kumpi vaihtoehdoista o ostaja kaalta edullisempi, ku lasketakorko o 9 %? Lasketaa molempie vaihtoehtoje ykyarvot. Korkokaa voi jakaa puolivuosikoroksi, koska ykyarvot ovat vai päätökseteo apulukuja. Näi meetellää yleisesti ykyarvoja laskettaessa. Lasketaa kuiteki mielellää molemmat vaihtoehdot samalla korolla. 9 % / 2 = 4,5 % p.s. 2000 3000 A 5000 9347, 2 4 1,045 1,045 10 1,045 B 1500 *1000 9413, 10 1,045 *0,045 Vaihtoehto A Muuttuisiko tilae, jos valittaisii suurempi lasketakorko? 12
Esim. 2.6 Tuottee voi hakkia osamaksulla maksamalla 200 käteisellä ja seuraava kolme vuode aikaa 50 /kk. Tee kilpailevat maksuehdot site, että maksetaa kaksi yhtä suurta erää, joista esimmäie o käteiserä ja toie vuode kuluttua kaupasta. Kilpailevie maksuehtoje tulisi olla ykyarvoltaa 100 halvemmat. Lasketakorko o 12 %. 12 % / 12 = 1 %/kk 1,01 200 36 1,01 36 *50 *0,01 1705,38-100,- 1605,38 x x 1605,38 12 1,01 12 // * 1,01 1,01 12 x x 808,98 2,126825x 808,98 // : 2,126825 x 850,55 Kilpaileva tarjous: 850 heti ja 850 vuode kuluttua Esim. 2.7 Tilille o talletettu vuosittai vuode lopussa 2000-2006 aia 2 000 euroa. Lisäksi 2008 alussa o talletettu 5 000. Paljoko sie o lisäksi talletettava 2009 lopussa, jotta 2012 lopussa voitaisii ostaa 35 000? Korko o 2 %. Jotta pääsee vähetämää 35 000 euro tavoitteesta tilillä jo olevat varat, kaikki pääomat o siirrettävä samaa ajakohtaa. Tässä o valittu vuode 2009 loppu. 7 1,02 *2000 4868,57 (tilillä 2006 lopussa) 0,02 3 2 1,02 *14868,57 1,02 *5000 20980,64 (tilillä 2009 lopussa) 35000 32981,28 (pitäisi olla tilillä 2009 lopussa, jotta tavoite täyttyisi) 3 1,02 32 981,28 20980,64 = 12 000,64 13
3 LUOTOISTA Auiteettilaia tarkoitetaa laiaa, joka kaikki maksuerät (lyheys + korko) o yhtä suuria. Kaava maksuerälle saadaa ratkaisemalla jaksolliste suorituste alkuarvo lausekkeesta jaksollie suoritus k. Kaava auiteettilaia maksuerä laskemiseksi Tasaerä * i * A missä i = korko desimaalilukua (pitää jakaa maksuväliä vastaavaksi) = maksuerie lukumäärä A = luoto määrä Esim. 3.1 40 000 euro auiteettilaia maksuaika o 6 vuotta ja korko 6,3 %. Laske maksuerä suuruus a) puolivuosittai b) kuukausittai lyheettyä. a) 6,3 % / 2 = 3,15 % 12 1,0315 *0,0315 * 40000 4054,55 12 1,0315 Koko laia voi maksaa korkoiee kahdellatoista tämä kokoisella maksuerällä puole vuode välei! b) 6,3 % / 12 = 0,525 % 72 1,00525 *0,00525 * 40000 668,59 72 1,00525 Esim. 3.2 Paljoko edellise esimerki laiasta joudutaa maksamaa korkoja koko laiaaikaa? a) 12 * 4054,55 40000 = 8654,60 b) 72 *668,59 40000 = 8138,48 Seuraavalla sivulla o sama tehtävä ratkaistua Excelillä. Excel-taulukko löytyy luetomoistee liitteestä välilehdeltä Auiteettilaia. Piei heitto yhteelasketuissa koroissa verrattua käsi laskettuu johtuu siitä, että Excel laskee tarkemmilla arvoilla kui äytössä äkyy. 14
Esim. 3.3 60 000 euro laia maksuaika o 8 vuotta, korko 6,8 % ja maksuerät maksetaa eljäesvuosittai. Laske kolmae maksuerä sisältämä korko ja lyheys a) auiteettilaiaa b) tasalyheteiseä laiaa a) 6,8 % / 4 =1,7 % 32 1,017 *0,017 *60000 2446,52 32 1,017 (korko + lyheys) Pääoma Korko Lyheys 60000,- 1) 1020,- 2) 1426,52 3) 58573,48 995,75 1450,77 57122,71 971,09 1475,43 1) 0,017 * 60000 tai kit = 60000 * 0,068 * 4 1 2) 2446,52 1020 3) 60000 1426,52 b) 60000 / 32 = 1875 (lyheys) (60000 2 * 1875) * 0,068* 41 = 956,25 (korko) 15
Esim. 3.4 Laske edellise esimerki laioje korot koko laia-aikaa. a) 32 * 2446,52 60000 = 18 288,64 b) Käytetää hyväksi laia tasaista pieeemistä. Tällöi korotki pieevät tasaisesti ja muodostavat aritmeettise joo. Siis riittää, ku lasketaa esimmäise ja viimeise maksuerä korot. 1. erä korko: 60000 * 0,068 * ¼ = 1020,- 32. erä korko: 1875 * 0,068 * ¼ = 31,875 1020 31,875 *32 16 830 2 Esim. 3.5 70 000 euro auiteettilaia korko o 5,5 %, maksuaika 8 vuotta ja maksuerät maksetaa puolivuosittai. Ku laiaa o lyheetty vuosi, ii korko ousee 0,5 %- yksikköä. Laske kolmae maksuerä sisältämä korko ja lyheys. 5,5 % / 2 = 2,75 % 16 1,0275 *0,0275 *70000 5466,80 16 1,0275 Auiteettilaia jäljellä oleva pääoma selvittämiseksi lasketaa lyheystaulukkoa esimmäie vuosi tai diskottaamalla jäljellä olevat 14 maksuerää. Pääoma Korko Lyheys 70000,- 1925,- 3541,80 66458,20 1827,60 3639,20 62819,- tai 1,0275 14 1,0275 14 *5466,80 *0,0275 6 % / 2 = 3 % 14 1,03 *0,03 *62819 5561,14 14 1,03 Pääoma Korko Lyheys 62819,- 1884,57 3676,57 62819,04 62819 16
4 OSAMAKSUKAUPPA JA LEASINGRAHOITUS Esim. 4.1 Auto hita o 23 900 euroa. Vahasta autosta hyvitetää 9 000 euroa ja se katsotaa käsirahaksi. Jos valitsee osamaksu, ii maksetaa 100 euro tiliavausmaksu ja 48 kuukausierää. Korko o 5,4 %. Laske a) rahoitettava osuus. b) osamaksuerä, ku eräkohtaie toimitusmaksu o 3. c) luottohita. d) luottokustaukset. a) 23900 9000 + 100 = 15 000 b) Lasketaa maksuerä tasaerä kaavalla. 5,4 % : 12 = 0,45 %/kk 48 1,0045 *0,0045 *15000 348,16 48 1,0045 3,- 351,16 /kk c) 9000 + 48 * 351,16 = 25 855,68 d) 25855,68 23 900 = 1 955,68 Alla sama ratkaistua Excelillä. Excel-ratkaisu löytyy liitteestä välilehdeltä Osamaksu. 17
Esim. 4.2 Tuottee hita o 2 100 euroa. Osamaksulla ostettaessa maksetaa 15 %: käsiraha ja lisäksi 10 kuukausierää site, että esimmäie maksetaa kolme kuukaude kuluttua kaupasta. Nimelliskorko o 8 % ja laskutuspalkkio 2 /erä. Laske osamaksuerä ja luottohita. Hita 2 100,- Käsiraha 15 % 315,- Luoto määrä 1 785,- 8 % : 12 = 0,6666 % 10 1,0066... *0,0066... *1785 = 185,11 (maksuerä, jos 1. erä olisi 1 kk: kuluttua) 10 1,0066... 1,0066 2 * 185,11 = 187,59 187,59 + 2 = 189,59 190 /kk Luottohita 315 + 10 * 190 = 2215 Esim. 4.3 Auto hakitahita o 20 800 euroa. Osamaksulla maksetaa 20 %: käsiraha ja 36 kuukausierää site, että viimeie erä o 10 % auto hiasta. Korko o 6,6 %. Laske a) osamaksuerä, ku toimitusmaksu o 4 /erä ja luotoperustamismaksu 70. b) luottohita. a) 0,2 * 20800 = 4160 (käsiraha) 0,1 * 20800 = 2080 (viimeie maksuerä) 6,6 % : 12 = 0,55 %/kk 2080 4 1703,30 (viimeise maksuerä sisältämä lyheys) 36 1,0055 20800 4160 1703,30 + 70 = 15006,70 (rahoitettava osuus) 35 1,0055 *0,0055 *15006,70 472,53 (=lyheys + korko) 1,0055 35 + 4,- 476,53 /kk b) 4160 + 35 * 476,53 +2080 = 22918,55 18
Leasigrahoitus Esim. 4.4 Laske koee leasigvuokra kuukaudessa etukätee maksettua, ku leasigkausi o 4 vuotta ja jääösarvo kaude päättyessä 30 % hakitahiasta. Hakitahita o 400 000 euroa ja rahoitusyhtiö korko 9,6 %. 9,6 % : 12 = 0,8 %/kk 400000*0,3 81 860,75 (jääösarvo ykyarvo) 48 1,008 400 000 81 860,75 = 318139,25 (rahoitettava osuus) 48 1,008 *0,008 tasaerä= *318139,25 8007, 86 (vuokra jälkikätee maksettua) 48 1,008 8007,86 7 944,30 /kk (vuokra etukätee maksettua) 1,008 Leasigkerroi o 7944,30 *100 1,9861 % 400000 Leasigkertoime voi laskea myös kaavalla: leasigkerroi J 100, 1 * i missä J = jääösarvoprosetti i = korkojakso korko desimaalilukua = maksuerie lukumäärä Seuraavalla sivulla o sama tehtävä ratkaistua Excelillä. Excel-taulukko löytyy luetomoistee liitteestä välilehdeltä Leasig. 19
Huomaa, että tavallista auiteettilaiaa laskettaessa ei tarvitse kahta viimeistä laatikkoa täyttää, koska Excelissä o oletusarvoa, että laialla ei ole jääösarvoa ja maksuerät maksetaa jälkikätee (type 0). Pv ja Fv täytyy olla erimerkkisiä! 20
Todellie vuosikorko 5 TODELLISET KOROT Todellie vuosikorko (EU-direktiivi 98/7/EY, Kauppa- ja teollisuusmiisteriö) ratkaistaa yhtälöstä, joka yhde luoto tapauksessa o, A B k tk k, missä A = luoto käteisarvo = maksueri lukumäärä B k = k:e maksuerä suuruus t k = k:e maksuerä aika vuosia laia ostamisesta maksupäivää (voi olla murto- tai desimaaliluku) i = todellie vuosikorko Koska edellistä yhtälöä o varsiki käsi laskettaessa jäykkä käyttää, ii sama asia vähä toisessa muodossa. Tehdää yhtälö seuraava malli mukaa MAKSUERIEN NYKYARVO = KÄTEISARVO Jos maksuerät ovat kaikki yhtä suuria, ii voidaa käyttää jaksolliste suorituste alkuarvo kaavaa A = * i * k Jos maksuerät ovat erisuuria, jokaie maksuerä täytyy diskotata eriksee diskotatu arvo kaavalla k = K ( 1 i) 1 Yleesä yhtälö joudutaa ratkaisemaa kokeilemalla, laskimella tai Excelillä. Saadaa yhtälö toteuttava i: arvo. 2 Jos edellisessä kohdassa saadaa vajaa vuode korkoa vastaava i: arvo, täytyy vielä laskea vastaava koformie vuosikorko kaavalla: p ( 1 i) * 100 21
Esim.5.1 120 000 euro bulletluotto maksetaa takaisi kahde vuode kuluttua. 5,5 %: korot maksetaa kuiteki vuosittai. Laske laia a) käteisarvo, ku järjestelypalkkio o 0,5 % ja toimitusmaksu 350. b) maksuerät. c) efektiivie korkokata. a) Luoto määrä 120 000,- Järjestelypalkkio 0,5 % 600,- Toimitusmaksu 350,- Käteisarvo 119 050,- b) 1. erä 120 000*0,055*1 = 6 600,- 2. erä 120 000 + 6 600 = 126 600,- c) maksuerie ykyarvo = käteisarvo 6600 126600 119050 1 2 //:100 // merkitää (1+i) = x 66 1266 1190,5 x x 2 //*x 2 66x + 1266 = 1190,5x 2 1190,5x 2-66x 1266 = 0 2 66 66 4*1190,5*( 266) x 2*1190,5 66 2456,23 x 1,0593 i = 5,9 % 2381 Excel-ratkaisu o liitteessä välilehdellä Todelliset korot. IRR-fuktio ataa vastaukse kokoaislukua! 22
Esim. 5.2 90 000 euro auiteettilaia maksuaika o 9 vuotta, korko 6,25 % ja maksuväli 3 kk. Laske laia a) käteisarvo, ku luottovarausprovisio o 1 % ja toimitusmaksu 150. b) maksuerie suuruus. c) efektiivie vuosikorko. a) Luoto määrä 90 000,- Luottovarausprovisio 1 % 900,- Toimitusmaksu 150,- Käteisarvo 88 950,- b) 6,25 % / 4 = 1,5625 % 36 1,015625 *0,015625 *90000 36 1,015625 3 287,68 c) maksuerie ykyarvo = käteisarvo 36 *3287,68 88950 36 * i Yhtälö voi ratkaista Excelillä käyttäe apua esimerkiksi Tavoitteehaku (Goal Seek) toimitoa tai Exceli omilla fuktioilla SISÄINEN.KORKO (IRR) tai KORKO (RATE). Ohje löytyy Aki Taaila sivuilta osoitteesta http://myy.haaga-helia.fi/~taaak Excel talousmatematiikassa. i = 0,016335 p = (1,016335 4-1) * 100 = 6,7 % Excel-ratkaisu o liitteessä välilehdellä Todelliset korot. RATE-fuktio ataa vastaukse kokoaislukua. 23
Esim. 5.3 100 000 euro auiteettilaia maksuaika o 8 vuotta, joista esimmäie o lyheysvapaa, mutta korot maksetaa puolivuosittai. Käteisarvo o 99 000. Laske laia a) maksuerät, ku korko o 6 %. b) jäljellä oleva pääoma 10. maksuerä jälkee. c) efektiivie vuosikorko. a) 1. ja 2. erä 1 100000 * 0,06* 2 = 3 000,- 3. 16. erä 6 % / 2 = 3 % 14 1,03 *0,03 *100000 = 8 852,63 14 1,03 b) 10. maksuerä jälkee o vielä maksamatta 6 maksuerää. Diskotataa e: 6 1,03 *8852,63 6 1,03 *0,03 47956,39 14 3000 3000 2 c) *8852,63 : 99000 2 14 * i Excel: i = 0,031207 p = (1,031207 2-1) * 100 = 6,3 % Excel-ratkaisu o liitteessä välilehdellä Todelliset korot. 24
Esim. 5.4 Yritys ottaa 1 000 000 SEK: valuuttaluoto, joka maksuaika o 5 vuotta ja korko 6,5 %. Tili myytikurssi o 10,7708 ja osto 10,9708. Laske laia a) käteisarvo euroia, ku järjestelypalkkio o 1 % ja toimitusmaksu 200. b) maksuerä euroia auiteettiperiaatteella puolivuosittai maksettua. c) efektiivie vuosikorko, jos kurssit eivät muutu. (t.o) a) Laia 1 000 000 : 10,9708 91 151,06 Järjestelypalkkio 1 % 911,51 Toimitusmaksu 200,- Käteisarvo 90 039,55 b) 6,5 % : 2 = 3,25 % 10 1,0325 *0,0325 *1000000 118 731,07 SEK 10 1,0325 118731,07 : 10,7708 = 11 023,42 (t.m.) 10 c) *11023,42 90039, 55 10 * i Excel: i = 0,038593 p = 7,9 % Excel-ratkaisu o liitteessä välilehdellä Todelliset korot. 25
Osamaksuje todelliset korot Osamaksuje todelliset korot lasketaa samaa tapaa kui laiojeki. Laia käteisarvo paikalle laitetaa osamaksuvelka, joka kuluttajasuojaviraomaiset ovat määritelleet siksi käteishia osaksi, jolle kuluttaja saa maksuaikaa. Käytäössä se o käteishia ja käsiraha erotus. Esim. 5.5 Lasketaa esimerki 4.1 osamaksulle todellie vuosikorko. Auto käteishita oli 23 900, vahasta autosta hyvitettii 9 000, tiliavausmaksu oli 100 ja 48 kuukausierää a 351,16. maksuerie ykyarvo = luoto määrä(=käteishita käsiraha) 48 (A=) *351,16 14900 48 * i Excel i = 0,00515 (kuukausikorko) p = (1,00515 12-1) * 100 = 6,4 % Osamaksuje korkoja o helpoi laskea Excelillä. Tämä tehtävä ratkaisu o liitteessä välilehdellä Osamaksuje todelliset korot. 26
Esim.5.6 Esimerkissä 4.2 tuottee hita oli 2 100. Se voi ostaa osamaksulla 315 euro käsirahalla ka 10 kuukausierällä a 190 site, että esimmäie erä maksettii kolme kuukaude kuluttua kaupasta. Laske todellie vuosikorko. maksuerie ykyarvo = luoto määrä 10 ( 2 1 i) 10 *190 : * i 1785 i = 0,008398 p = 10,6 % Mite tilae muuttuu, jos käteisasiakas oistuu euvottelemaa itsellee 5 %: aleukse? 0,95 * 2100 = 1995 (käteishita) - 315 1680 luoto määrä (pääoma, jolle kuluttaja saa maksuaikaa) 10 ( 1 i) 2 *190 : 1680 10 * i i = 0,016697 p = 22,0 % Excel-ratkaisu o liitteessä välilehdellä Osamaksuje todelliset korot. 27
Esim.5.7 Esimerkissä 4.3 hialtaa 20 800 euro auto voi ostaa osamaksulla 4 160 euro käsirahalla ja 36:lla kuukausierällä a 476,53, mutta viimeie kuiteki 2 080. Laske osamaksu todellie vuosikorko. 20800 4160 = 16640 (luoto määrä) 35 35 2080 * 476,53 * i 36 16640 i = 0,006126 p = 7,6 % Excel-ratkaisu o liitteessä välilehdellä Osamaksuje todelliset korot. 28
6 INVESTOINTILASKELMAT Tarkastellaa esi lyhyesti paria meetelmää, jotka eivät ota huomioo suorituste eriaikaisuutta eli korko elemetti puuttuu laskelmista kokoaa. Näi laskie pidetää kärjistetysti samatekevää, saadaako saatavat täää vai kymmee vuode kuluttua. Nämä meetelmät soveltuvat korkeitaa hyvi lyhyide aikajaksoje tarkasteluu. Takaisimaksuaja meetelmä Ivestoiti o kaattava, jos takaisimaksuaika o pieempi kui asetettu tavoiteaika. Ivestoieista parempi o se, jolla o lyhyempi takaisimaksuaika. Esim. 6.1 Vertaile seuraavia kahta ivestoitia: Ivestoiti A B Ivestoitikustaus 125 000 140 000 Nettotuotot 1. vuosi 20 000 60 000 2. vuosi 40 000 60 000 3. vuosi 60 000 60 000 4. vuosi 70 000 - Ivestoii A takaisimaksuaika o vähä yli kolme vuotta ja ivestoii B reilu kaksi vuotta. Takaisimaksuaja perusteella ivestoiti B o parempi. Ivestoii tuottoprosetti, ROI ROI = keskimääräie ettotulos vuodessa ivestoitu pääoma Esim.6.2 Laske edellie esimerkki ROI meetelmällä. A (20000 + 40000 + 60000 + 70000) / 4 = 47500,- 47500 / 125000 = 0,38 = 38 % B 60000 / 140000 = 0,43 = 43 % Seuraavaksi tarkastellaa meetelmiä, joissa otetaa huomioo suorituste eriaikaisuus eli myös korkoelemetti o mukaa laskelmissa. Tällä opitojaksolla kaikki harjoitustehtävät lasketaa site, että korkoki tulee huomioiduksi. Näi laskie voi vai samaaikaisia suorituksia tai koro kaavoilla samaa ajakohtaa siirrettyjä verrata keskeää siis esimerkiksi laskea yhtee ja vähetää. 29
Nykyarvomeetelmä Ivestoiti o kaattava, jos tuottoje ykyarvo o suurempi kui kustauste ykyarvo. tai toisaalta Ivestoiti o kaattava, jos ettotuottoje ykyarvo o suurempi kui hakitahita. Nykyarvoje laskemisee tarvittavat kaavat: A * k (sama suuruiset vuotuiset tuotot ja kustaukset) * i K k ( 1 i) (eri suuruiset vuotuiset tuotot ja kustaukset sekä jääösarvo) Esim. 6.3 Laitteisto hakitahita o 370 000 euroa. Se arvioitu käyttöikä o 8 vuotta sekä käytöstä aiheutuvat vuotuiset kustaukset ovat - huollot ja korjaukset 13 000 - palkkakustaukset 67 000 Vuotuisiksi tuotoiksi arvioidaa 150 000 euroa ja jääösarvoksi 50 000 euroa. Oko ivestoiti kaattava, ku lasketakorkokata o 14 %. 150 000 13 000 67 000 = 70 000 /vuosi 8 1,14 *70000 324720, 8 1,14 *0,14 50000 17528, 8 1,14 342248,- 370000,- Ei ole kaattava. Auiteettimeetelmä Ivestoiti o kaattava, jos vuotuiset tuotot ovat suuremmat kui vuotuiset kustaukset. Kaavat, joita tarvitaa muutettaessa kerra esiityvä tulo tai kustaus vuotuiseksi: * i tasaerä * A (ivestoitikustaukset vuotuisiksi kustauksiksi) i k * S ( 1 i) (jääösarvo vuotuiseksi tuloksi) 30
Esim.6.4 Laske edellie esimerkki auiteettimeetelmällä. 8 1,14 *0,14 *370000 79761, 8 1,14 13000,- + 67000,- 159761,- (vuotuiset kustaukset) 0,14 *50000 3779, 8 1,14 + 150000,- 153779,- (vuotuiset tuotot) Ei ole kaattava, koska vuotuiset tuotot ovat pieemmät kui vuotuiset kustaukset. Esim. 6.5 Lattiaremotti maksaisi 40 000 euroa, josta parketi osuus o 60 % ja loput työkustauksia. Parketti o uusittava 7 vuode välei. Markkioille o tullut kestävämpi lamiaattilattia, joka arvioitu uusimisväli olisi 10 vuotta. Kuika mota prosettia eemmä lamiaattilattia saa maksaa kui parketti, jotta se asetamie olisi kaattavaa? Lasketakorko o 6 %. Ku o kyse jatkuvasta käytöstä, ii vuotuiset kustaukset ratkaisevat. 0,6 * 40 000 = 24 000,- (parketti) 0,4 * 40 000 = 16 000,- (työ) 7 1,06 *0,06 * 40000 7165,40 /vuosi 7 1,06 Uudella materiaalilla vuotuiset kustaukset saavat olla korkeitaa samat. 10 1,06 *7165,40 52738, (lamiaatti + työ) 10 1,06 *0,06-16000,- 36738,- (lamiaati hita) 36738 24000 *100 53 % 24000 Sisäise korkokaa meetelmä Ivestoiti o kaattava, jos ivestoii sisäie korkokata o suurempi kui ivestoiille asetettu tavoite- tai lasketakorkokata. Tällä meetelmällä o järkevää laskea vai, mikäli o käytössä Excel tai joki vastaava apueuvo. Sillä joudutaa muodostamaa korokorkokaavoja apua käyttäe yhtälö, jossa kaikki tulot ja kustaukset o siirretty samaa ajakohtaa (esimerkiksi ykyarvoiksi). Tämä yhtälö ei yleesä ratkea algebrallisesti. 31
Esim. 6.6 Laske esimerkki 6.3 sisäise korkokaa meetelmällä. ettotuotto/vuosi 70 000,- hakitahita 370 000,- jääösarvo 50 000,- tuottoje ykyarvo = ivestoitikustaukset 8 50000 *70000 370000 8 8 * i Yhtälö ratkaistaa kokeilemalla tai esimerkiksi Exceliä apua käyttäe. i = 0,11848 11,8 % 14 % Ei ole kaattava. Excelillä o kätevä laskea sisäisiä korkoja. Fuktio imi SISÄINEN.KORKO tai IRR. Taulukko o luetomateriaali liitteessä. Esim. 6.7 Vertaile esimerki 6.1. ivestoiteja sisäisellä korolla. Excel-taulukko liitteeä. Tämä perusteella ivestoiti A olisi parempi. Esim. 6.8 Tietokoelaitteisto voi hakkia joko täydellisellä huoltoleasigillä viideksi vuodeksi, jolloi se maksaisi 9 200 euroa vuodessa, tai hakkimalla oma ja maksamalla mahdolliset huollot itse. Hakitahita olisi 25 000 euroa ja lisäksi vuotuisiksi huoltokustauksiksi arvioidaa 15 % hakitahiasta ja jääösarvoksi viide vuode kuluttua 10 % hakitahiasta. Kaattaako laitteisto vuokrata vai hakkia oma, ku lasketakorkoa käytetää 8 %? 32
Nykyarvomeetelmällä: 5 1,08 *9200 36733, 5 1,08 *0,08 (vuokraamise ykyarvo) 1,08 5 1,08 5 * 0,15* 25000 *0,08 14973, 0,1 * 25000 / 1,08 5 = - 1701,- 25000,- 38272,- (oma hakia ykyarvo) Kaattaa vuokrata. Esim. 6.9 Kuika mota prosettia ivestoitikustauksista pitäisi ivestoii vuotuise ettotuoto vähitää olla, jotta ivestoiti olisi kaattava, ku ivestoitijakso o 6 vuotta ja jääösarvo 15 % ivestoitikustauksista ja lasketakorkokata 9 %? Ivestoitikustaukset 1 000,- Jääösarvo 15 % 150,- 150 : 1,09 6 = 89,- (jääösarvo ykyarvo) 1000 89 = 911,- 6 1,09 *0,09 *911 203 /vuosi 6 1,09 203 *100 20,3 % 1000 Esim. 6.10 Auto ostaja pitäisi valita uude ja käytety auto välillä. Uude auto hakitahita o 26 900 euroa ja sillä hä olettaa voivasa ajaa viisi vuotta. Jääösarvo viide vuode kuluttua oletetaa oleva 10 000 euroa. Käytety auto hita o 15 900 euroa ja sillä hä ajaisi kolme vuotta. Käytety auto jääösarvo olisi 4 500 euroa ja käyttökustaukset 350 euroa vuodessa suuremmat kui uude auto. Kumpi auto kaattaa valita, jos lasketakorko o 6 %. O tasapuolisempaa käyttää auiteettimeetelmää, koska ivestoitijaksot ovat eripituisia. 5 1,06 *0,06 * 26900 6 386 /vuosi 5 1,06 0,06 *10000-1 774 /vuosi 5 1,06 4 612 /vuosi (uude auto kustaukset vuodessa) 3 1,06 *0,06 *15900 5 948 /vuosi 3 1,06 0,06 * 4500-1 413 /vuosi 3 1,06 350 /vuosi 4 885 /vuosi (käytety auto kustaukset vuodessa) Kaattaa ostaa uusi. 33
Esim. 6.11 Yrittäjä harkitsee vaha tuotatolija vaihtamista automatisoituu tuotatolijaa. Automaatiolla hä olettaa säästäväsä palkkakustauksia vuodessa 50 000 euroa ja joutuvasa maksamaa huolloista 8 000 euroa vuodessa vähemmä kui vahasta tuotatolijasta. Vahasta tuotatolijasta saisi yt myytäessä vielä 25 000 euroa. Paljoko uusi tuotatolija saisi korkeitaa maksaa, jos se käyttöiäksi arvioidaa 10 vuotta ja lasketakorko o 10 %? Siirretää kaikki suoritukset tähä päivää eli lasketaa ykyarvo, koska kysytää hakitahitaa. 50 000 + 8 000 = 58 000 /vuosi 1,1 10 *58000 = 356 385,- 10 1,1 *0,1 25 000,- 381 385,- Esim. 6.12 Koee hakitahita o 120 000 euroa ja käyttöaika 8 vuotta. Koee ettotuotoksi arvioidaa 21 000 vuodessa. Paljoko koee jääösarvo pitäisi olla, jotta ivestoiti olisi kaattava, ku lasketakorko o 10 %? 1,1 8 * 21000 = 112 033 (ettotuottoje ykyarvo) 8 1,1 *0,1 120 000-112 033 = 7 967 (jääösarvo ykyarvo) 1,1 8 * 7967 = 17 078 ~ 17 100 Esim. 6.13 Myytiedustaja saa ajaa joko omalla tai firma autolla. Omalla autolla ajettaessa veroto kilometrikorvaus o 0,44 /km. Hä ajaa keskimääri 1 800 km/kk ja maksaa polttoaie, huolto ja muita kuluja keskimääri 5 000 euroa vuodessa. Firma autolla ajettaessa vapaa autoedu verotusarvo o 660 /kk ja sama summa väheetää häe palkasta. Myytiedustaja veroprosetti o 40 %. Firma auto vaihdetaa kolme vuode välei. Oma auto hä aikoo vaihtaa viide vuode välei ja olettaa jääösarvo oleva silloi 37 % hakitahiasta. Mikä hitaise auto edustaja voi osaa omaksi autoksi, jotta sillä ajamie tulisi samahitaiseksi kui firma autolla ajamie? Lasketakorkokaaksi valitaa 6 %. Ohje: kuukausimeot ja -tulot saa laskea kertolaskulla vuotuisiksi. 12 * 660 = 7920 /vuosi 0,6 * 7920 = 4752 /vuosi (vuositulot pieevät, jos ajetaa firma autolla) 12 * 1800 * 0,44 = 9504 /vuosi (kilometrikorvaukset) 4752 + 9504 5000 = 9256 /vuosi 5 1,06 x *0,37 *9256 x 5 5 1,06 *0,06 1,06 38989,64 = x 0,2764855x 34726,72 = 0,7235145x 53889 = x oi 53 900 Paljo hyviä esimerkkejä myös Exceliä apua käyttäe o kirjassa. 34