Lähdmatraala kättt Prtt Lousto kraa Clfford Algbras ad spors [] Krtausta Clfford algbra määrtllää algbraks kvadraattsll vktoravaruudll (sm. skalaartulolla. Clfford algbra oka alko vodaa sttää algbra katavktord laarkombaatoa. Avaruud R Clfford algbra kaa muodostavat Skalaar Vktort,, Bvktort,, (suuatut suukkaat Tlavuusalko (-vktor, suuattu tlavuuslmtt (Kata-alkod lukumäärä 8 Clfford algbra dmso o laarsst rppumattom kata-alkod lukumäärä Clfford algbra A o uvrsaal, mkäl s a s groma kvadraatts dmv avaruud dmsoll pät dm A = Tarkastlmm tästä läht (ll tos mata uvrsaala Clfford algbroa Määrtlmä Kvadraatt avaruus o -ulott (=p+ laar raal vktoravaruus varustttua -dgrotulla skalaartulolla (oka duso lömuodo x = x +... + x p p! x p+ p+!...! x R Määrtlmä Clfford algbracl p, o assosatv algbra + = ±! = ku =,,p =! ku =p+,.., :ll, oka totuttaa Nt ku Cl, : kskköä o! R! Cl p, R! Cl p, R! skä ttä R ovat Cl p, : atoa alavaruuksa Mkää avaruud ato alavaruus saa groda algbraacl p,
Tulolla a ssätulolla o tällö hts x = x x Yllämatull. Avaruud =,!! p = ", p <! =!, < Matrsstkst katavktorll o ss vomassa Ylsä tavotta mllä o t samastaa Clfford algbra tavalls matrsalgbraa st ttä olsvat somtrst. Ts. dmsod ols vastattava tosaa, Clfford algbra tuloa vastas matrstulo a lötäsmm Clfford algbra katavktorta vastaavat matrst s.. matrst olsvat mös laarsst rppumattoma. Muodosttaa avaruut R Clfford algbra Cl, oka gro R : ONkatavktort a. Nt saamm tuloll = = =! Nt välttämättä ( =! Jot Clfford algbra vktor määrtlmä mukaa ol vktor, kä möskää skalaar (Mks?. Its asassa o Clfford algbra ks kata-alko, k. Bvktor (suuattu tasoalko. Krottaa algbracl krtotaulu (taulukossa ol ksköllä krtomsta Es Krrottava "!!!! Nt muodostamm vastaavuud Ykskköä vastaa kskkömatrs
& 0 # Vktora vastaa matrs $! % 0 ' " & 0 # Vktora vastaa matrs $! % 0 " Bvktora vastaa matrs & 0 # $! %' 0 " Suorttamalla tavallsa matrstuloa äd matrs välllä, vomm huomata krtotaulu vastaavuudt. Kra [] paottaa huomattava mossa välssä, kuka Clfford algbrassa o mmä raktta ku sll somorfsssa matrsalgbrassa. Vomm mttä huomata, ttä smrkks m. Matrsalgbra ssällä avaruud R katavktorta a mtkää rllsä alkoa, vaa ovat ava samatppsä matrsa ku smrkks bvktora vastaava matrs. Tämä algbra ss ää gro avaruutta R. Avaruud R katavktort,, grovat Clfford algbra Cl. Nt vomm luoda vastaavuud algbrall Cl (oka o 8-ulott a komplksst x matrs välll. Vastaavuus saadaa valtsmalla & 0 # % 0 " & 0 ' # % 0 " & 0 # % 0 ' " (Paul sp-matrst!,!,! Nästä saadaa (matrstulolla & 0 # % 0 ' " & 0 ' # % 0 " & 0 # % 0 " & 0# % 0 " Vms tulo l -vktor kommuto kakk vktord a bvktord kassa ts.! C. ( Cl Esm
Vktoravaruud R ON-kaa,,, groma Clfford algbra Cl vodaa samastaa x-matrsalgbra, oka alkot ovat kvatrta, kassa. Huomaa dmsot! Atuklds avaruud lömuodo määrttl x x =!( x + x + x ON-kata,, totuttaa = = =! a laarsst rppumattomat bvktort atkommutovat, Avaruud R ON-katavktort atkommutovat a löll =, =,.. =! Nt katavktorll vodaa määrtllä (a tavallsst määrtllää vastaavat x komplksmatrst & 0 ' k # k k=,, %' k " & 0 # % 0 ' " Kutk algbrall Cl, vodaa määrtllä vastaavuus raalssta x matrssta Npä Cl,! Mat(, R (Raalst x matrst. Cl! Mat(, H, Clfford algbrall Cl p+, + saadaa aa vastaava matrssts Mat(, Cl p, Valtsmalla & 0 # $! =,, % 0 ' " & 0 # & 0 ' # $! a % 0 $! " % 0 " kata-alkoks Clfford algbrod smmtra! Cl Cl p, +, p! Lsäks
Cl p, " Cl p!, + a Cl! Mat 6, Cl p, + 8 ( p, skä vastaavast Cl! Mat 6, Cl p+ 8, ( p, Yllämatut tulokst vodaa sttää suraavaa taulukkoa [] Lousto, P.: Clfford Algbra ad spors