Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla 995 khz, MHz ja,005 MHz. Mtatut arvot olvat Taajuus/MHz Tehotaso/dBm 0,995-20 -2,005-20 a) Mllä sgnaallla kantoaaltoa on modulotu? b) Laske, kaavat esttäen, kunkn taajuuden tehot sekä jänntteden teholls- ja huppuarvot. ) Laske, kaavat esttäen, modulaatondeks m. d) Estä matemaattsessa muodossa, jännte- ja taajuusarvot huomoden sekä peruskaavosta johtaen, modulaattorn lähtösgnaal. e) Laske modulaattorn lähdön hupputeho kaavat esttäen. ) Laske modulaattorn hyötysuhde kaavat esttäen. 2. QAM-lmasu Estä koherentn QAM-lmasmen lohkokaavo, ja osota matemaattsest, että lmasmen lähdöstä saadaan kantataajuset I- ja Q-sgnaalt ulos. 3. DSB-modulaattor a) Osota, että alla olevan kuvan mukanen pr vo toma DSB-modulaattorna. b) Mten vodaan ta tulee valta, kun sgnaaln z(t):n kastanleveys on B? ) Määrtä suodattmen kesktaajuus ja kastanleveys. d) Prrä tehtävään lttyvät spektrkuvat, ja seltä kunkn spektrkomponentn merktys. z(t) + y=x 2 x(t) y(t) s(t) a os(2π t) 4. Takasnkytketty järjestelmä Elektronkan, sähköteknkan, automaaton ja tetolkenteen latteet ovat monest älykkätä el osaavat tse säätää tomntaansa optmaalseks. Jotta säätymnen onnstus, tarvtaan antureta, latteta ja takasnkytkentöjä. Nän esmerkks jänntelähteen tasajännte pysyy vakona kuormtuksesta rppumatta, sähkömoottor pyör samalla nopeudella kuormasta rppumatta, 3G-verkon lähetystehot optmotuvat tukasemen ja käyttäjen kesken ja auton vakonopeussäädn tom oken. Kuva 5a esttää erästä säätöjärjestelmän lohkokaavota. a) Ratkase srtounkto Y()/X() b) Ratkase C() sten, että kuven 5a ja 5b järjestelmen srtounktosta tulee samat. ) Tarkastellaan tapausta, jossa H ( ) = H0( ) = 2π 2π F( ) = + 2π τ
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 2/9 Ratkase säätmen C() srtounkto sekä prosessn srtounkto Y()/X(). X() + - F() H() H 0 () - + Y() a) X() + - C() H() Y() b) Kuva 5
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 3/9. Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla 995 khz, MHz ja,005 MHz. Mtatut arvot olvat Taajuus/MHz Tehotaso/dBm 0,995-20 2-2,005-20 a) Mllä sgnaallla kantoaaltoa on modulotu? b) Laske, kaavat esttäen, kunkn taajuuden tehot sekä jänntteden teholls- ja huppuarvot. ) Laske, kaavat esttäen, modulaatondeks m. d) Estä matemaattsessa muodossa, jännte- ja taajuusarvot huomoden sekä peruskaavosta johtaen, modulaattorn lähtösgnaal. e) Laske modulaattorn lähdön hupputeho kaavat esttäen. ) Laske modulaattorn hyötysuhde kaavat esttäen. Esmerkkratkasut, tehtävä. a) Modulova sgnaal on sn- ta kosnaaltoa, koska kantoaallon ympärllä on symmetrsest kaks taajuusmpulssa. b) Merktään = 0,995 MHz, P (db) = -20 dbm, 2 = MHz, P 2 (db) = -2 dbm, 3 =,005 MHz, P 3 (db) = -20 dbm ja Z = 50 Ω. P P( db ) = 0 log P = mw 0 mw P ( db ) 0 U P U P Z ja U u U Z 2 ^ = = = h = 2 Lasketaan ja taulukodaan tulokset :n arvolla, 2 ja 3. /MHz P/dB P/µW U/mV u h /mv 0,995-20 0 22,4 3,6 2-2 63, 56,2 79,4 3,005-20 0 22,4 3,6 ) Ampltudmodulaaton peruskaava on [ ] u( t ) = u + m u ( t ) os( ω t ), jossa C m u = kantoaallon (arrer) huppuarvo, m = modulaatondeks (0 ), u m (t) = modulova sgnaal (- +) ja ω = kantoaallon kulmataajuus = 2π
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 4/9 Kohdan a perusteella ( ) ( ) u( t ) = uc + m os ωm t os ω t, joka kehtettynä on m m u( t ) = uc os ( ω t) + uc os ( m ) t uc os ( m ) t, jossa 2 ω + ω + ω ω 2 ω m = modulovan kosnaallon kulmataajuus = 2π m Yllä olevasta kaavasta näkyvät kantoaalto sekä modulaatotulokset (ylemp ja alemp svukasta, SB, Sde Band). Huomaa, että os ( α ) os ( β ) = os( α + β ) + os ( α β ). Negatvsa taajuuksa e ss synny vähennyslaskun seurauksena. Kohdan b taulukkoa hyväks käyttäen saadaan m 2 3, 6 mv u C = 3, 6 mv m = 0, 796 = 79, 6 % 2 79, 4 mv d) Hyödynnetään aempa kohta. Huomodaan, että m = 5 khz = 2 = 3 2. Stten vodaan krjottaa ( ) ( ) u( t ) = 79, 4 mv + 0, 796 os 2 π 5000 Hz t os 2 π MHz t e) Hupputeho osuu tlanteeseen, jollon sekä modulova kosnaalto (ta snaalto) että kantoaalto osuvat ajallsest huppuarvollaan samaan akaan. Edellsessä kohdassa estetyt kosnlausekkeet saavuttavat hetkttän arvot. Joten p AMh (, mv, ) 2 u 2 ( t ) = = 79 4 796 407 µ W 50 Ω 50 Ω ) Modulodun sgnaaln teho saadaan laskemalla kantoaallon ja svukastojen tehot yhteen PT = P + P2 + P 3 83, µ W Hyötysuhde on P + P3 20 µ W η = = 0, 24 = 24, % P 83, µ W T
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 5/9 2. Estä koherentn QAM-lmasmen lohkokaavo, ja osota matemaattsest, että lmasmen lähdöstä saadaan kantataajuset I- ja Q-sgnaalt ulos. Esmerkkratkasut, tehtävä 2. (t) 2os(2π t+ϕ) s(t) 90 o -2sn(2π t+ϕ) q(t) Merktään (kohnattomaks) QAM-sgnaalks ( ) ( ) s( t ) = p ( t ) os ω t p ( t ) sn ω t q Seuraavaa kohtaa selventämään mustamme, että 2os α osβ = os( α β ) + os( α + β ) 2 sn α osβ = sn( α β ) + sn( α + β ) 2 sn α snβ = os( α β ) os( α + β ) I-haaran kertojan (sekottmen) jälkenen sgnaal on ( ) ( ) ( ) ( ) s ( t ) = 2 os( ω t + ϕ ) p ( t ) os ω t p ( t ) sn ω t = q 2 p ( t ) os ω t os( ω t + ϕ ) 2 p ( t ) sn ω t os( ω t + ϕ ) = q 2 p ( t ) os ϕ + os( 2ω t + ϕ ) 2 p q( t ) snϕ + sn( 2ω t + ϕ ) = p ( t ) os ϕ + p ( t ) os( 2ω t + ϕ ) p ( t ) sn ϕ p ( t ) sn( 2ω t + ϕ ) q q Alpäästösuodatn estää taajuuden 2ω ja stä ympäröven modulaatotulosten etenemsen, jollon ( t ) = p ( t ) osϕ p ( t ) snϕ q Ihanteellsessa tapauksessa ϕ = 0, jollon laskettua. ( t ) = p ( t ). Vastaavalla tavalla saadaan Q-haaran tulokset
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 6/9 3. DSB-modulaattor a) Osota, että alla olevan kuvan mukanen pr vo toma DSB-modulaattorna. b) Mten vodaan ta tulee valta, kun sgnaaln z(t):n kastanleveys on B? ) Määrtä suodattmen kesktaajuus ja kastanleveys. d) Prrä tehtävään lttyvät spektrkuvat, ja seltä kunkn spektrkomponentn merktys. z(t) + y=x 2 x(t) y(t) s(t) a os(2π t) Esmerkkratkasut, tehtävä 3. a) x( t ) = z( t ) + a os( 2π t ) y( t ) = x ( t ) = z ( t ) + a os ( 2π t ) + 2z( t ) a os( 2π t ) = a a 2 z ( t ) + + os( 4π t ) + 2z( t ) a os( 2πt ) Kastanpäästösuodatn laskee läp em. kaavan vmesen termn, jollon s( t ) = 2a z( t ) os( 2π t ). Tämä on DSB-sgnaal. b) Sgnaalssa z(t) on suurn taajuus B el z(t) vo olla muotoa os(2πbt). x( t ) = os( 2π Bt ) + a os( 2π t ) y( t ) = os ( 2π Bt ) + a os ( 2π t ) + 2 os( 2πBt ) a os( 2π t ) = 2 a a + os( 4π Bt ) + + os( 4π t ) + a os( 2π( B )t ) + a os( 2π ( + B )t ) Yllä olevasta kaavasta nähdään, että kantataajusen sgnaaln spektr ulottuu sekotuksen jälkeen arvoon 2B. Kaavasta myös nähdään, että DSB:n alemp svukasta ulottuu arvoon -B. Nän ollen saadaan ehto 3B ) Kohdan b perusteella suodattmen kesktaajuus on ja kastaleveys W 2B. d) ½+½a 2 ½ a 2-2B -B 0 B 2B -B +B 2 Z() DSB
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 7/9 4. Takasnkytketty järjestelmä Elektronkan, sähköteknkan, automaaton ja tetolkenteen latteet ovat monest älykkätä el osaavat tse säätää tomntaansa optmaalseks. Jotta säätymnen onnstus, tarvtaan antureta, latteta ja takasnkytkentöjä. Nän esmerkks jänntelähteen tasajännte pysyy vakona kuormtuksesta rppumatta, sähkömoottor pyör samalla nopeudella kuormasta rppumatta, 3G-verkon lähetystehot optmotuvat tukasemen ja käyttäjen kesken ja auton vakonopeussäädn tom oken. Kuva 5a esttää ssäsen malln säätöjärjestelmän lohkokaavota. a) Ratkase srtounkto Y()/X() b) Ratkase C() sten, että kuven 5a ja 5b järjestelmen srtounktosta tulee samat. ) Tarkastellaan tapausta, jossa H ( ) = H0( ) = 2π 2π F( ) = + 2π τ Ratkase säätmen C() srtounkto sekä prosessn srtounkto Y()/X(). X() + - F() A H() H 0 () - + Y() B a) X() + - C() H() Y() b) Kuva 5 Takasnkytketyn järjestelmän srtounkton laskemseen on monta kenoa. Tässä estetään tapa, jolla monmutkasenkn srtounkton laskemnen onnstuu. ) Merktään järjestelmään välmuuttuja, esm. A, B jne. Välmuuttujat merktään ss kaavon ltoskohtn, jossa ennestään e ole muuttujaa merktty. Nän on tehty edellsessä kuvassa el välmuuttujat A ja B on lsätty. ) Yksnkertastetaan muuttuja laskemsen ajaks. Ss X() = X, C() = C jne.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 8/9 ) Ryhdytään krjottamaan yhtälötä annettuhn muuttujn, srtounktohn ja tehtyhn välmuuttujn perustuen. Tarkstetaan, että yhtälössä kukn edellä mantusta esntyy anakn kerran. Stten elmnodaan välmuuttujat pos kysyttyä asaa slmällä ptäen. Tässä kohdassa a) ptää ss laskea koko järjestelmän srtounkto Y()/X(). Todetaan, että A = (X - B)F, Y = AH ja B = Y AHo () Nän ollen A = Y/H, jollon B = Y - AHo = Y - YHo/H = Y( - Ho/H) (2) Muuttuja B saatn ss nän postettua. Stten elmnodaan A el A = (X - B)F = (X Y - AHo)F =(X Y YHo/H)F = Y/H (3) Manpulodaan yhtälöpara nn, että saadaan Y ja X erpuollle = -merkkä kertomks HF(X Y( Ho/H)) = Y = HFX HFY( Ho/H) -> Y( + HF( Ho/H)) = HFX (4) Ja lopulta Y/X = HF/( + F(H Ho)) (5) Stten sjotetaan tehtävänannon mukaset srtounktot el H ( ) = H0( ) = 2π, jollon supstukssta johtuen päädytään melko yksnkertaseen ratkasuun el 2π F( ) = + 2π τ Y ( ) = X ( ) + 2π τ (6) b) Kuvan b perusteella vodaan krjottaa, että Y = (X Y)CH. Jalostetaan tätä edelleen, jotta saadaan suhde Y/X määrteltyä el Y = (X Y)CH = XCH YCH -> Y( + CH) = XCH -> Y/X = CH/( + CH) (7) Yllä olevan suhteen tulee olla sama, kun kohdassa a) saatn. Tällön Y/X = HF/( + F(H Ho)) = CH/( + CH). (8) Nyt kavetaan C esn. Kerrotaan aluks osottajat ja nmttäjät rstn, jollon CH( + F(H Ho)) = FH( + CH) = FH + FCH 2 (9) Sretään vmesn term yhtälön vasemmalle puolelle, jollon C[H( + F(H Ho)) - FH 2 ] = FH (0) Nyt saadaan lauseke C:lle, ja lauseketta vodaan supstaa el C = FH/[H( + F(H Ho)) - FH 2 ], josta seventämällä saamme () C = F/( FHo) (2)
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu 9/9 ) Lasketaan kohdan b) tapauksen Y/X ja C, kun muuttujks on annettu H ( ) = H0( ) = 2π 2π F( ) = + 2π τ Kohdan b) alkuosan laskujen perusteella Y/X = CH/( + CH) ja kohdan b) lopputuloksen perusteella C = F/( FHo). Sjotetaan annetut Ho:n ja F:n kaavat C:n lausekkeeseen, jollon 2π F( ) + 2π τ C( ) = = = F( ) H 2 0( ) π τ + 2 π τ 2 π (3) Nyt vodaan laskea suhde Y/X el Y ( ) C( ) H ( ) τ 2π = = = X ( ) + C( ) H ( ) + + 2π τ τ 2π (4)