Leibnizin integraalisääntö

Leibnizin integrlisääntö Pro grdu -tutkielm Smi Kokko 267586 Fysiikn j mtemtiikn litos Itä-Suomen yliopisto 19. kesäkuut 219

Tiivistelmä Tämän tutkielmn iheen on Leibnizin integrlisääntö, jok käsittelee tilnnett, joss derivointi j integrointi voidn opertioin suoritt käänteisessä järjestyksessä. Kysymys siis pohjutuu jtukseen, milloin rj-rvo voidn tuod integrlin sisään. Tämä tulos j sen eri muodot ovt yleisesti tunnetumpi sovelletun mtemtiikn puolell. Tässä tutkielmss esitetään todistukset Leibnizin integrlisäännön eri muodoille hyödyntäen erilisi tekniikoit. Leibnizin integrlisäännönnöllä on useit lkuoletuksi, joiden voimss olless tulost voidn sovelt, mikä s luseen näyttämään ensisilmäyksellä heikolt. Kuitenkin trksteluss käy ilmi, että nämä ehdot ovt kikki tosinkin välttämättömiä. Tutkielmss esitellään tpus, jolloin Leibnizin integrlisääntö ei päde. Sovelluksen Leibnizin integrlisäännölle näytetään esimerkiksi eräs gmmfunktion ominisuus. Erityisesti kontinuumimekniikss on Leibnizin interlisääntö keskeisessä osss, sillä sitä hyödynnetään määrittäessä ln keskeisiä luseit. Tso koskev tpust käsitellään tutkielmss fyysikon tvoin j kolms ulottuvuus, jok yleisesti tunnetn virtusdynmiikss Reynoldsin kuljetusteoreemn, todistetn eksktisti hyödyntäen tekniikk, joll voidn todist Euklidisi vruuksi koskevt tpukset. Reynoldsin kuljetusteoreemn todistuksess iden on kiinnittää vruudess liikkuv joukko johonkin jnhetkeen j tehdä muuttujnvihto. Siis tekniikk mhdollist integroinnin yli jst riippumttomn joukon. Silloin integrli päästään työstämään tutuin menetelmin, jonk jälkeen tehdään muuttujnvihto tkisin. Ekskti todistus tso käsittelevälle tpukselle olisi nloginen kolmnnen ulottuvuudelle esitetyn todistuksen knss. Yleistys mielivltiseen ulottuvuuteen vtii työkluj dierentiligeometrin puolelt, mutt hyödynnettävä tekniikk todistuksess on pohjltn sm.

Abstrct This MSc thesis is centered round theorem tht is widely known s the Leibniz integrl rule, which sets the conditions for under which, it is llowed to interchnge the order of derivtion nd integrtion. The problem boils down to the question, under which conditions limit cn be moved inside integrl. This theorem nd its dierent forms re more known in pplied mthemtics. This thesis will introduce proofs for dierent forms of the Leibniz integrl rule utilizing vrious techniques. Most importntly, the thesis will introduce technique tht cn be used to proof the theorem in ny Eucliden spce. Leibniz integrl rule depends on severl ssumptions, which mkes the theorem pper wek t rst glnce. It turns out, tht ll the conditions re indeed needed for the theorem to hold. This thesis will showcse n exmple, where the theorem does not pply nd n ppliction, which gives certin property of the gmm function mong few others. Leibniz integrl rule hs severl pplictions in continuum mechnics, where it plys centrl role in fundmentl theorems of the eld. For generl form of the theorem, few dierent proofs will be represented. The form of the theorem, where integrtion is done over plne set, will be proved utilizing physicist's pproch nd the exct proof will be given in the cse of three dimensionl spce, which is known s the Reynolds trnsport theorem in uid dynmics. The proof of Reynolds trnsport theorem will be showcsing the technique tht cn be utilized to proof Leibniz integrl rule in ny Eucliden spce. The ide behind this proof is to utilize the chnge of vribles theorem under some xed vlue for time. More precisely, by locking the time to n rbitrry vlue, the deforming nd moving set becomes xed, which llows operting under the integrl with usul tricks. After chnging the vribles bck, the theorem shpes into form with simplistic nd pplicble structure. This is lso the technique tht is used to proof the form regrding rbitrry Eucliden spce, which requires tools from the eld of dierentil geometry.

Sisältö 1 Johdnto 1 2 Leibnizin integrlisääntö 2 3 Leibnizin integrlisäännön yleinen muoto 14 4 Leibnizin integrlisääntö tsoss R 2 19 5 Leibnizin integrlisääntö vruudess R 3 24 Lähteet 34

1 Johdnto Tutkielm käsittelee yleisneron pidetyn Gottfried Wilhelm von Leibnizin (1646-1716) dierentili- j integrlilskent koskev tulost, jok kulkee nimellä Leibnizin integrlisääntö. Leibniz tunnetn yhdessä Isc Newtonin knss modernin nlyysin luojin, j Leibnizin nottio on vieläkin yleisessä käytössä. [12] Leibnizin integrlisääntö trkstelee tilnnett, missä derivoidn j integroidn eri muuttujien suhteen, j erityisesti sitä, kosk nämä opertiot voidn suoritt käänteisessä järjestyksessä. Eli toisin snoen kysymys pohjutuu tilnteeseen, kosk rj-rvo voidn tuod integrlin sisään. Tutkielmss trkstelln Leibnizin integrlisääntöä edeten yksiulotteisest tpuksest kolmiulotteiseen Euklidiseen vruuteen. Oletuksen tutkielmss on, että lukijll on esitieton yliopistotson mtemtiikn opinnot misteritsolt. Kuitenkin kertuksen on suurin os oleellisist määritelmistä esitetty. Os tutkielmss esille nousevien luseiden todistuksist sivuutetn riippuen kuink relevntti luse on tutkielmn näkökulmst. Tutkielmss käytettävät merkinnät ovt yliopistotsolt tuttuj. Integroitess kuitenkin käytetään suomlisen sijoitusmerkin sijn merkintää: ( x 2 ) (x + 1)dx = 2 + x b = 2 b 2 2 + ( b). Lähdetään nyt kohti Leibnizin integrlisääntöä trkstelemll Anlyysin peruslusett, jonk todistus sivuutetn. Luse 1.1. Jos funktio f on välillä [, b] jtkuv j F on sen primitiivifunktio, niin [1, s. 134] f(x)dx = F (b) F (). (1.1) Trkstelln nyt väliä [, x] j oletetn Anlyysin perusluseen 1.1 oletukset. Silloin derivoimll yhtälöä (1.1) puolittin muuttujn x suhteen, sdn d x f(t)dt = d [F (x) F ()] = f(x), (1.2) dx dx d missä F () on muuttujst x riippumton eli F () =. Siis Anlyysin perusluseen 1.1 vull sdn derivointi j integrointi koskevlle tilnteelle dx yhteys yhtälön (1.2) vull. 1

2 Leibnizin integrlisääntö Olkoon ϕ khden muuttujn funktio, jok voidn integroid toisen muuttujn j derivoid toisen muuttujn suhteen. Leibnizin integrlisääntö trkstelee tilnnett, missä nämä opertiot voitisiin suoritt käänteisessä järjestyksessä. Eli toisin snoen, milloin voidn sno, että d dt ϕ(x, t)dx = (D 2 ϕ)(x, t)dx (2.1) pätee? [1, s. 236] Leibnizin integrlisääntöä ei yleisesti ole opetettu yliopiston mtemtiikss j onkin tunnetumpi sovelletun mtemtiikn puolell. Kuitenkin se kuului fysiikn Nobel-plkinnon voittneen teoreettisen fyysikon Richrd Feynmnin vkiorsenliin, joll hän lähestyi integrlien rtkisemist. Feynmn opetteli säännön itse j si seuruksen mineen kyvystään rtkist monimutkisi integrlej. Tämä johtui siitä, että muut olivt jo yrittäneet heille tuttuj keinoj, kun ts Feynmnill oli vielä yksi työklu käytettävissä. Feynmn olikin ktlysttori Leibnizin integrlisäännön suosioon. [6, 86-87] Lähdetään nyt trkstelemn Leibnizin integrlisääntöä määrittelemällä trvittvt putyöklut. Olkoon funktio ϕ : [, b] R rjoitettu. Olkoon P välin [, b] ositus, millä trkoitetn pisteiden = x x n = b, missä n N, äärellistä joukko. Merkitään x i = x i x i 1, missä i = 1,..., n. Silloin jokiselle osituksen P muodostmlle osvälille on olemss pienin ylärj j suurin lrj Merkitään nyt yläsumm j lsumm Silloin M i = m i = U(P, ϕ) = L(P, ϕ) = sup ϕ(x), x [x i 1,x i ] inf ϕ(x). x [x i 1,x i ] n M i x i, i=1 n m i x i. i=1 ϕ(x)dx = inf U(P, ϕ), 2

jot snotn yläintegrliksi j ϕ(x)dx = sup L(P, ϕ), jot snotn lintegrliksi, missä pienin ylärj j suurin lrj otetn yli kikkien välin [, b] ositusten P. Silloin, jos inf U(P, ϕ) = sup L(P, ϕ), niin funktiot ϕ snotn Riemnn-integroituvksi välillä [, b]. Merkitään jtkoss Riemnn-integroituvien funktioiden joukko R. Leibnizin integrlisäännön trksteluss trvitn lisäksi tsisen jtkuvuuden käsitettä. Funktion f snotn olevn tsisesti jtkuv joukoss X, jos kikill ε > on olemss δ > siten, että kikill x, x X j x x < δ pätee f(x) f(x ) < ε. Luse 2.1. Olkoon, b, c, d R. Oletn, että (i) funktio ϕ(x, t) on määritelty x b j c t d; (ii) funktio x ϕ(x, t) on Riemnn integroituv välillä [, b] kikill t [c, d]; (iii) c < s < d j kikill ε > on olemss δ > siten, että (D 2 ϕ)(x, t) (D 2 ϕ)(x, s) < ε, kikill x [, b] j kikill t s < δ. Määritellään f(t) = ϕ(x, t)dx, (2.2) missä t [c, d]. Silloin funktio x (D 2 ϕ)(x, s) on Riemnn integroituv j [1, s. 236-237] f (s) = (D 2 ϕ)(x, s)dx. (2.3) Huomtn, että (iii) pätee vrmsti, jos D 2 ϕ on jtkuv määrittelyjoukossn, j stu tulos kertoo vin derivtst pisteessä s. Todistetn seurvksi Leibnizin integrlisääntö 2.1 hyödyntäen dierentililskennn välirvolusett, jonk todistus sivuutetn. Luse 2.2. Olkoon funktio f relinen jtkuv funktio suljetull välillä [, b], jok on derivoituv voimell välillä (, b). Silloin on olemss piste x (, b), joss f(b) f() = (b )f (x). [1, s. 18] 3

Leibnizin integrlisäännön 2.1 todistuksess hyödynnetään lisäksi seurv lemm, jot vrten ensin määritellään tsinen suppeneminen. Snotn, että funktioiden joukko {ϕ n }, missä n N, suppenee tsisesti joukoss X funktioon ϕ, jos kikill ε > on olemss kokonisluku N siten, että kun n N niin ϕ n (x) ϕ(x) ε, kikill x X. Lemm 2.3. Oletetn, että ϕ n R suljetull välillä [, b] kikill n N j ϕ n ϕ tsisesti suljetull välillä [, b]. Silloin ϕ R suljetull välillä [, b] j [1, s. 151] lim n ϕ n (x)dx = ϕ(x)dx. Todistus. Olkoon ε >. Vlitn N N siten, että ϕ n (x) ϕ(x) ε b, kikill x [, b] j n N. Silloin ϕ n (x)dx ϕ(x)dx = Siis väite seur. ε b ( ϕn (x) ϕ(x) ) dx ϕn (x) ϕ(x) dx dx = ε. Luseen 2.1 todistus. Olkoon s (c, d) kiinnitetty ehdon (iii) mukisesti. Olkoon ϕ(x, t) ϕ(x, s) ψ(x, t) =, t s missä < t s < δ. Nyt välirvoluseen 2.2 nojll kikill (x, t) on olemss u (s, t) siten, että ψ(x, t) = (D 2 ϕ)(x, u). Nyt kikill ε > oletuksest (iii) seur, että ψ(x, t) (D 2 ϕ)(x, s) < ε, (2.4) 4

kun x b j < t s < δ. Huomtn, että f(t) f(s) t s = ψ(x, t)dx. (2.5) Nyt ehdon (2.4) nojll ψ(x, t) (D 2 ϕ)(x, s) tsisesti suljetull välillä [, b], kun t s. Oletuksen (ii) nojll ψ(x, t) R. Silloin ottmll rjnkäynti puolittin yhtälössä (2.5), huomioimll ominisuus (2.4) j soveltmll Lemm 2.3 sdn ensin j edelleen f (s) = f(t) f(s) lim t s t s = lim t s lim ψ(x, t)dx = t s ψ(x, t)dx, (D 2 ϕ)(x, s)dx. Huomtn, että Leibnizin integrlisäännölle 2.1 seur trivilisti seurv korollri. Korollri 2.4. Olkoon, b, c, d R. Oletn, että ϕ j D 2 ϕ ovt jtkuvi joukoss [, b] [c, d]. Määritellään f(t) = missä t [c, d]. Silloin f on derivoituv j kikill t (c, d). [13], [3, s. 237-238] f (t) = ϕ(x, t)dx, (D 2 ϕ)(x, t)dx, Todistetn kuitenkin Korollri 2.4 käyttäen tekniikk, jok hyödyntää ll olev Fubinin lusett, jonk todistus sivuutetn. Luse 2.5. Olkoon f(x, y) määritelty j rjoitettu joukoss X = [, b] [c, d] R 2. Olkoon y f(x, y) Riemnn integroituv kikill x [, b], j x f(x, y) Riemnn integroituv kikill y [c, d]. Merkitään F (x) = d c f(x, y)dy, G(y) = 5 f(x, y)dx.

Silloin F R välillä [, b] j G R välillä [c, d], j pätee [9, s. 94] X f(x, y)dxdy = F (x)dx = d c G(y)dy. Korollrin 2.4 todistus. Olkoon u < t j olkoon δ > siten, että [u, t] [c, d] j t u < δ. Silloin oletusten nojll D 2 ϕ R joukoss [, b] [u, t]. Merkitään ψ(t) = (D 2 ϕ)(x, t)dx. Kosk ψ on tietynlinen primitiivi, niin se on riittävän sileä joukoss [, b]. Dierentioituvuuden trkempi trkstelu tässä yhteydessä sivuutetn. Silloin ψ on jtkuv joukoss [, b], j edelleen Fubinin luseen 2.5 j Anlyysin perusluseen 1.1 nojll ψ(t) = (D 2 ϕ)(x, t)dx = d { t } b (D 2 ϕ)(x, s)dx ds dt = d dt = d dt { } t (D 2 ϕ)(x, s)ds dx = d dt u ϕ(x, t)dx d dt Siis ψ(t) = f (t) j väite seur. u ϕ(x, u)dx = d dt { } ϕ(x, t) ϕ(x, u) dx ϕ(x, t)dx. Leibnizin integrlisääntö 2.1 ei kuitenkn in päde. Käydään seurvksi läpi tälläinen tpus. Esimerkki 2.6. Trkstelln tilnnett, joss määritellään funktio ϕ(x, t) kikill t : x, kun x t, ϕ(x, t) = x + 2 t, kun t < x 2 t,, muulloin. J olkoon ϕ(x, t) = ϕ(x, t ), jos t <. [1, s. 242-243] 6

Kuv 1: Funktio ϕ(x, t). Osoitetn ensin, että funktio ϕ(x, t) on jtkuv koko tsoss R 2. Nyt riittää trkstell vin rjtpuksi, kosk ploittin määritellyn funktion ϕ(x, t) määrittävät funktiot ovt jtkuvi koko tsoss R 2. Kun t, niin j lim x ϕ(x, t) = lim t+ x ( x + 2 t) = t, t+ lim x ϕ(x, t) = lim t x x = t, t lim x 2 ϕ(x, t) = lim t+ x 2 =, t+ lim x 2 ϕ(x, t) = lim t x 2 ( x + 2 t) =. t Kun t <, niin oletuksen mukn ϕ(x, t) = ϕ(x, t ), jolloin tilnne on etumerkkejä lukuunottmtt nloginen tpuksen t > knss. Siis ploittin määritelty funktio ϕ(x, t) on jtkuv kikkill. Osoitetn seurvksi, että (D 2 ϕ)(x, ) =. Nyt, kun x t, (D 2 ϕ)(x, t) = 1 t, kun t < x 2 t,, muulloin. Trivilisti, kun x <, niin (D 2 ϕ)(x, ) = kikill t. Jos x, niin (D 2 ϕ)(x, ) =, kun t < 1 4 x2 ti t x 2. 7

Jos t < 1 4, niin f(t) = 1 1 = 1 t 2 x2 ϕ(x, t)dx = ( + t xdx + 2 t t ( x + 2 t)dx 1 2 x2 + 2x ) 2 t t = t. t Jos 1 4 < t <, niin f(t) = 1 1 t ϕ(x, t)dx = = 1 2 x2 t ( xdx 2 t t ( x + 2 t)dx 1 2 x2 + 2x ) 2 t t = ( t) = t. t Siis f(t) = t kikill t < 1. Silloin f (t) = 1 j erityisesti f () = 1. 4 Kuitenkin 1 1 (D 2 ϕ)(x, )dx = dx =. 1 1 Eli päädyimme ristiriitn f () 1 1 (D 2 ϕ)(x, )dx. Seurvksi esitetään esimerkkejä Leibnizin integrlisäännön 2.1 käytöstä. Esimerkki 2.7. Olkoon f(t) = 1 t dx 1 1 x2 t = ϕ(x, t)dx, 2 missä t < 1. Lsketn f (t). [2, s. 427] Nyt, jott ϕ(x, t) olisi jtkuv j derivoituv täytyy 1 x 2 t 2 >, mikä pätee oletusten x [, 1) j t < 1 nojll. Lsketn (D 2 ϕ)(x, t). Silloin (D 2 ϕ)(x, t) = 1 1 x2 t 2 t 2 ( 2tx2 )(1 t 2 x 2 ) 3 2 = (1 x 2 t 2 ) 3 2. 8

Nyt voimme hyödyntää Leibnizin integrlisääntöä 2.1. Sdn f (t) = 1 (1 x 2 t 2 ) 3 2 dx. (2.6) Olkoon x = sin u = u = rcsin xt. (2.7) t Silloin dx = d ( sin u ) du = cos u du. (2.8) du t t Sijoitetn kvt (2.7) j (2.8) kvn (2.6). Silloin rcsin t ( f (t) = 1 t 2 sin2 u ) 3 ( 2 cos u ) du t 2 t rcsin t cos u = du = 1 t(1 sin 2 u) 3 2 t ( tn u ) rcsin t tn(rcsin t) = =. t t rcsin t Olkoon c = rcsin t [ 1, 1]. Silloin sin c = t j edelleen tn c = Esimerkki 2.8. Olkoon, b > j I(, b) = Trkstelln ensin integrli I (, b) = π 2 Tehdään muuttujnvihto t 1 t 2 = f (t) = π 2 π dx cos 2 x + b sin 2 x = 2 1 1 t 2. dx ( cos 2 x + b sin 2 x) 2. 1 cos 2 x dx = + b sin2 x cos 2 x 1 cos 2 u du π 2 sec 2 x + b tn 2 x dx. Silloin u = tn x = dx = 1 sec 2 x du. I = 1 b du +, b u2 9

j edelleen tehdään toinen muuttujnvihto b v = u = du = dv b. Silloin I = 1 b { 1 v 2 + 1 dv = 1 rctn v} b = π 2 b. (2.9) Kosk integrlin I rjt ovt muuttujst riippumttomt, niin Leibnizin integrlisäännön 2.1 nojll di d = d d π 2 dx cos 2 x + b sin 2 x = j toislt yhtälön (2.9) nojll di d = d ( π ) d 2 b Silloin yhtälöiden (2.1) j (2.11) nojll π 2 π 2 cos 2 x ( cos 2 x + b sin 2 dx, (2.1) x) 2 = π 4 3 b. (2.11) cos 2 x ( cos 2 x + b sin 2 x) dx = π 2 4 3 b. (2.12) j nlogisesti trkstelemll osittisderivtt D 2 I sdn π 2 sin 2 x ( cos 2 x + b sin 2 x) dx = π 2 4 b. (2.13) 3 Silloin yhdistämällä tulokset (2.12) j (2.13) sdn Merkitään I = π 2 dx ( cos 2 x + b sin 2 x) = π 1 2 4 b( + 1 ). b I n = π 2 dx ( cos 2 x + b sin 2 x) n. Kosk integrlin I n 1 rjt ovt muuttujst riippumttomt, niin Leibnizin integrlisäännön 2.1 nojll di n 1 d = d d = π 2 π 2 dx ( cos 2 x + b sin 2 x) n 1 (1 n) cos 2 x ( cos 2 x + b sin 2 dx, (2.14) x) n 1

j di n 1 db = π 2 Nyt yhtälöiden (2.14) j (2.15) nojll sdn j edelleen di n 1 d + di n 1 db di n 1 (1 n) sin 2 x ( cos 2 x + b sin 2 dx. (2.15) x) n π 2 = (1 n) 1 ( cos 2 x + b sin 2 x) n dx, d + di n 1 + (n 1)I n =. (2.16) db Kvll (2.16) voidn lske I n kikill n > 1. [13] Leibnizin integrlisääntö 2.1 pätee myös epäoleellisille integrleille. Todistus sivuutetn j tätä ominisuutt käsitellään vin esimerkkien kutt. Määritelmä 2.9. Jos kompleksiluvulle z pätee R(z) >, niin gmmfunktio Γ(z) määritellään suppenevn epäoleellisen integrlin vull Γ(z) = x z 1 e x dx. Esimerkki 2.1. Gmmfunktiolle 2.9 pätee ominisuus, jos z = n+1 N, missä n N, niin Γ(n + 1) = n! [15]. Se sdn derivoimll gmmfunktiot puolittin j iteroimll Leibnizin integrlisääntöä 2.1 epäoleellisille integrleille loitten tpuksest n =. Silloin Γ(1) = e x dx = 1. (2.17) Trkstelln tilnnett uuden prmetrin t vull. Kikill t >, olkoon x = tu, jolloin dx = tdu. Nyt sijoittmll nämä yhtälöön (2.17) sdn te tu du = 1. (2.18) Seurvksi jetn yhtälö (2.18) puolittin prmetrill t. Vlitn u = s, jolloin integrndi e ts on derivoituv prmetrin s suhteen trksteltvss joukoss s. Silloin e ts ds = 1 t, (2.19) jok on prmetrinen muoto gmmfunktiolle tpuksess, jolloin z =. Olkoon t >, jott yhtälön (2.19) epäoleellinen integrli suppenee joukoss 11

s. Iteroidn yhtälön (2.19) osittisderivointi puolittin prmetrin t suhteen. Silloin Leibnizin integrlisäännön 2.1 oletukset ovt voimss eli iteroitess voidn yhtälön (2.19) vsemmll puolell siirtää osittisderivointi integrlin sisään. Silloin j se ts ds = 1 t 2, s 2 e ts ds = 2 t 3, s 3 e ts ds = 6 t 4, Huomtn, että kyseessä on s 4 e ts ds = 24 t 5. s n e ts ds = n! t n+1, johon sijoittmll t = 1 sdn gmmfunktion ominisuus Γ(n + 1) = n!. [8, s. 2-3] Olkoon f : [, ) R. Silloin funktion f Lplce-muunnos F {f} on missä s (, ). F (s) = f(t)e st dt, (2.2) Esimerkki 2.11. Tutkitn miten funktioiden f j h Lplce-muunnokset riippuvt toisistn, jos f(t) = h(t) 1 t = h(t) = f(t) tf(t). (2.21) Oletetn, että Leibnizin integrlisäännön 2.1 oletukset ovt voimss. Silloin derivoimll kv (2.2) puolittin sdn Luseen 2.1 nojll F (s) = d ds f(t)e st dt = [ tf(t)]e st dt, 12

jok on funktion t tf(t) Lplce-muunnos. Nyt sijoittmll Lplcemuunnokset kvn (2.21) sdn f(t)e st dt + [ tf(t)]e st dt = h(t)e st dt. Siis Lplce-muunnokset riippuvt toisistn dierentiliyhtälön välityksellä. F (s) + F (s) = F {h}(s) F (s) = 1 F (s) + F {h}(s). Trkstelln seurvksi epäoleellist integrli sin x x dx, jok tunnetn yhtenä Dirichlet integrleist [16]. Hyödynnetään trksteluss Eulerin kvn korollri. Määritellään trvittvt putyöklut. Eulerin kvn j sen korollrin todistukset sivuutetn. Luse 2.12. Olkoon ϕ R. Silloin [17] e iϕ = sin ϕ + i cos ϕ. Itse siss Eulerin kv 2.12 on voimss kikille kompleksiluvuille ϕ. Eulerin kvlle 2.12 sdn seurv korollri trkstelemll kompleksiluvun e iϕ imginäärios I(e iϕ ). Korollri 2.13. Olkoon ϕ R. Silloin [16] sin ϕ = 1 2i (eiϕ e iϕ ). Kuvuksen f : X Y snotn olevn monotonisesti ksvv, jos kikill x 1, x 2 X siten, että x 1 x 2 pätee f(x 1 ) f(x 2 ). Vstvsti, kuvuksen f snotn olevn monotonisesti vähenevä, jos kikill x 1, x 2 X siten, että x 1 x 2 pätee f(x 1 ) f(x 2 ). Kuvuksen f : X Y käänteiskuvukseksi snotn kuvust f : Y X, jolle pätee f f 1 = id Y, f 1 f = id X, missä id on identtinen kuvus, jok kuv jokisen lkion itselleen. 13

Esimerkki 2.14. Merkitään I(α) = e αx sin x dx, (2.22) x missä α >. [13] Selvitetään rvo I(). Oletetn, että funktio (2.22) toteutt Leibnizin integrlisäännön 2.1 oletukset välillä (, ). Silloin Luseen 2.1 j Korollrin 2.13 nojll sdn di dα = d dα e αx sin x dx = e αx sin xdx x e αx (e ix e ix ) = dx = 1 2i 2i = 1 ( 1 2i α i e x(α i) + 1 ) α + i e x(α+i) = 1 2i = 1 ( 2i ) = 1 2i α 2 + 1 α 2 + 1, kosk e x, kun x. J edelleen (e x(α i) e x(α+i) ) dx ( 1 α i 1 ) α + i I(α) = C rctn α, (2.23) missä C R on integroimisvkio. Kosk rkustngentin päähr on funktion tn : ( π, π ) R käänteisfunktio, jok on monotonisesti ksvv välillä 2 2 ( π, π), niin 2 2 lim rctn α = π α + 2. Kosk I(α), kun α, niin I(α) = π 2 rctn α. Siis [16] I() = e x sin x sin x dx = x x dx = π 2. 3 Leibnizin integrlisäännön yleinen muoto Luse 3.1. Olkoon funktio ϕ(x, t) j derivtt (D 2 ϕ)(x, t) jtkuvi joukoss Ω = {(x, t) : x b, c t d}, 14

j olkoon u 1 (t) j u 2 (t) jtkuvsti derivoituvi kikill c t d, missä u 1, u 2 : [, b] (c, d). Jos niin f(t) = u2 (t) u 1 (t) ϕ(x, t)dx, f (t) = ϕ[u 2 (t), t]u 2(t) ϕ[u 1 (t), t]u 1(t) + [2, s. 425-426] u2 (t) u 1 (t) (D 2 ϕ)(x, t)dx. (3.1) Leibnizin integrlisäännön yleisen muodon 3.1 todistmist vrten trvitn seurvi putyökluj. Todistukset yhdistetylle kuvukselle j ketjusäännölle sivuutetn. Luse 3.2. Olkoon U R n j V R m voimi j n, m, k N. Jos kuvus g : U V on jtkuv pisteessä x U j kuvus f : V R k on jtkuv pisteessä g(x) V, niin yhdistetty kuvus f g : U R k, on jtkuv pisteessä x. [1, s. 19] (f g)(x) = f[g(x)], Olkoon v, w R n, missä n N. Olkoon vektorien välinen kulm θ [, π]. Silloin pistetulo v w on ti v w = v w cos θ v w = v 1 w 1 + + v n w n = n v i w i. Olkoon x = (x 1,..., x n ) R n, n N j r >. Silloin joukko, i=1 Ω(x, r) = { R n : x < r}, kutsutn x-keskiseksi r-säteiseksi voimeksi plloksi. Olkoon f : Ω(x, r) R derivoituv pisteessä x R n. Silloin funktion f grdientti pisteessä x on f(x) = (D 1 f(x),..., D n f(x)). 15

Luse 3.3. Olkoon g : Ω(v, r) R n pisteessä v R m dierentioituv kuvus j olkoon f pisteessä g(v) R n dierentioituv relirvoinen funktio. Silloin f g on dierentioituv pisteessä v j n D i (f g)(v) = f[g(v)] D i g(v) = D j f[g(v)]d i g j (v), missä i = 1,..., m. [1, s. 33] Luseen 3.1 todistus. Olkoon y, z (c, d) j y < z. Olkoon h : R 3 R, h(y, z, t) = z y j=1 ϕ(x, t)dx, j g : R R 3, g(t) = [u 1 (t), u 2 (t), t]. Olkoon f : R R yhdistetty kuvus f(t) = (h g)(t) = h[g(t)] = h[u 1 (t), u 2 (t), t]. Funktio h on jtkuvn funktion primitiivinä riittävän sileä. Dierentioituvuuden trkempi trkstelu tässä yhteydessä sivuutetn. Silloin ketjusäännön 3.3 nojll f (t) = d d (h g)(t) = h[g(t)] dt dt g(t) [ ] = (D 1 h)(g(t)), (D 2 h)(g(t)), (D 3 h)(g(t)) [u 1(t), u 2(t), 1] = (D 1 h)(u 1 (t), u 2 (t), t)u 1(t) + (D 2 h)(u 1 (t), u 2 (t), t)u 2(t) + (D 3 h)(u 1 (t), u 2 (t), t). Silloin Anlyysin perusluseen 1.1 nojll j (D 1 h)(u 1 (t), u 2 (t), t) = ϕ(u 1 (t), t) (D 2 h)(u 1 (t), u 2 (t), t) = ϕ(u 2 (t), t), j Leibnizin integrlisäännön 2.1 nojll (D 3 h)(u 1 (t), u 2 (t), t) = Siis u2 (t) u 1 (t) f (t) = ϕ[u 2 (t), t]u 2(t) ϕ[u 1 (t), t]u 1(t) + (D 2 ϕ)(x, t)dx, u2 (t) u 1 (t) (D 2 ϕ)(x, t)dx. 16

Todistetn Leibnizin integrlisäännön yleinen muoto 3.1 toisell tvll käyttäen tekniikk, jot voidn hyödyntää todistess eri Euklidisi vruuksi R n käsitteleviä tpuksi. Luseen 3.1 todistus. Olkoon ϕ : R 2 R j u 1 (t) < u 2 (t). Tehdään muuttujnvihto x = yu 2 (t) + (1 y)u 1 (t), jolloin dx = [u 2 (t) u 1 (t)]dy. Silloin f(t) = = u2 (t) u 1 (t) 1 ϕ(x, t)dx ϕ(yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t)[u 2 (t) u 1 (t)]dy = [u 2 (t) u 1 (t)] 1 ϕ[yu 2 (t) + (1 y)u 1 (t), t]dy. Nyt Leibnizin integrlisäännön 2.1 j ketjusäännön 3.3 nojll 1 f (t) = [u 2(t) u 1(t)] ϕ(yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t)dy { 1 + [u 2 (t) u 1 (t)] (D 2 ϕ)(yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t) 1dy + 1 Huomtn, että (D 1 ϕ)(yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t)[yu 2(t) + (1 y)u 1(t)]dy d ( ) ϕ(yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t)[yu dy 2(t) + (1 y)u 1(t)] = (D 1 ϕ)(yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t)[u 2 (t) u 1 (t)][yu 2(t) + (1 y)u 1(t)] + ϕ(yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t)[u 2(t) u 1(t)]. Silloin Anlyysin perusluseen 1.1 nojll f (t) = u2 (t) u 1 (t) (D 2 ϕ)(x, t)dx ( ) + ϕ[yu 2 (t) + [1 y]u 1 (t), t][yu 2(t) + [1 y]u 1 1(t)] = ϕ[u 2 (t), t]u 2(t) ϕ[u 1 (t), t]u 1(t) + u2 (t) u 1 (t) (D 2 ϕ)(x, t)dx. }. 17

Seurvksi esitetään esimerkkejä Leibnizin integrlisäännön yleisen muodon 3.1 käytöstä. Määritelmä 3.4. Virhefunktio erf(t) sdn, kun integroidn Gussisen funktion normlijkum j määritellään missä t. erf(t) = 2 t e x2 dx, π Esimerkki 3.5. Olkoon f(t) = t e x2 t 2 x 2 dx = t ϕ(x, t)dx, missä t. Nyt ϕ(x, t) on jtkuv j derivoituv, kun x j (D 2 ϕ)(x, t) = 2te x2 t 2. Nyt Leibnizin integrlisäännön yleisen muodon 3.1 nojll huomioiden, että u 2(t) = 1 j u 1(t) = sdn Merkitään f (t) = e t4 t 2 t u = xt = dx = du t. 2te x2 t 2 dx. (3.2) Sijoittmll nämä edelliseen integrliin (3.2) sdn t 2 f (t) = e t4 2 e u2 du. t 2 Huomtn, että kyseessä on Gussin virhefunktio Määritelmästä 3.4. Siis f (t) = e t4 t 2 π erf(t 2 ). Anlyyttiseksi relifunktioksi snotn funktiot, jok voidn loklisti esittää suppenevn potenssisrjn vull. Seurv trkstelu pohjutuu lähteeseen [11, s. 19-2]. Trkstelln nyt dierentiliyhtälöä f (k) + A(x)f =, (3.3) missä k N j A(x) on relinen nlyyttinen funktio joukoss ( 1, 1). Seurv rtkisufunktioiden esityskv on osoittutunut tärkeäksi työkluksi lineristen dierentiliyhtälöiden teoriss. 18

Luse 3.6. Olkoon f yhtälön (3.3) rtkisu. Silloin f(x) = missä x ( 1, 1). = d(k 1) dx (k 1) k 1 n= f (n) () x n n! 1 (k 1)! x (x ξ) k 1 A(ξ)f(ξ)dξ, Todistus. Derivoimll funktiot f k-kert sdn Leibnizin integrlisäännön 3.1 j Anlyysin perusluseen 1.1 nojll ( d k k 1 f (n) ) () x n 1 x (x ξ) k 1 A(ξ)f(ξ)dξ dx k n! (k 1)! n= ( k 1 ) x n=1. = d ( f (n) () dx = A(x)f(x). f (n) () (n 1)! xn 1 x ) A(ξ)f(ξ)dξ 1 (k 2)! (x ξ) k 2 A(ξ)f(ξ)dξ Kosk f (k) (x) = A(x)f(x), niin väite seur integroimll. 4 Leibnizin integrlisääntö tsoss R 2 Trkstelln ensin tilnnett, joss tsoss R 2 liikkuv rjoitettu lue on vkio jn suhteen. Määritellään trkstelu vrten trvittvt putyöklut. Joukon X R n snotn olevn rjoitettu, jos on olemss x X j r > siten, että X Ω(x, r). Muulloin joukon X snotn olevn rjoittmton. Krkesti snoen joukko X kutsutn yhtenäiseksi, jos se on yhdessä osss eli sitä ei void jk khteen epätyhjään voimeen osjoukkoon. Trkk määritelmä trvitsee topologin työkluj j iheest voi luke lisää lähteestä [4, s. 9]. Avruuden R n osjoukko X on kompkti jos j vin jos se on suljettu j rjoitettu. Jos joukko X on epätyhjä, voin j yhtenäinen, snotn sitä lueeksi. Luse 4.1. Olkoon X R 2 lue j olkoon Ω X kompkti joukko. Olkoon F lueess X relirvoinen funktio siten, että sekä F että D 3 F ovt jtkuvi. Silloin d F (x, y, t)dxdy = (D 3 F )(x, y, t)dxdy. (4.1) dt Ω 19 Ω

Todistetn Luse 4.1 hyödyntäen Heine-Cntor lusett, jonk todistus sivuutetn. Luse 4.2. Jos funktio f : X Y on jtkuv, missä X, Y R n j joukko X on kompkti. Silloin f on tsisesti jtkuv. [14] Luseen 4.1 todistus. Merkitään kvn (4.1) vsemmn puolen pintintegrli h(t). Nyt Heine-Cntor luseen 4.2 j oletusten nojll F j D 3 F ovt tsisesti jtkuvi joukoss Ω. Siis kikill ε > on olemss δ > siten, että kikill (x, y) Ω j kikill t pätee F (x, y, t + t) F (x, y, t) (D 3 F )(x, y, t) t Ω = (D 3 F )(x, y, s)(t + t t) t (D 3 F )(x, y, t) = (D 3 F )(x, y, s) (D 3 F )(x, y, t) < ε, kun t < δ j s (t, t + t). Silloin h t = F (x, y, t + t) F (x, y, t) dxdy = t missä R < missä re(ω) on joukon Ω pint-l. Siis { 1 t h (t) = lim t = Siis väite seur. Ω Ω Ω εdxdy = ε re(ω), F (x, y, t + t)dxdy Ω (D 3 F )(x, y, t)dxdy. (D 3 F )(x, y, t)dxdy + R, Ω F (x, y, t)dxdy Trkstelln seurvksi tilnnett, joss tsoss R 2 liikkuv lue ei ole vkio, vn se deformoituu eli muutt muoton jn kuluess. Määritellään trksteluss trvittvt putyöklut. Kuvust f : X Y snotn injektioksi, jos jokinen lähtöjoukon lkio on täsmälleen yhden mlijoukon lkion lkukuv. Mlijoukko voi sisältää lkioit, joill ei ole olemss lkukuv. Toislt kuvust f : X Y snotn surjektioksi, jos jokisell mlijoukon lkioll on lkukuv. Silloin 2 }

usempi lähtöjoukon lkio voi kuvutu smlle mlijoukon lkiolle. Kuvust f : X Y snotn bijektioksi, jos se on sekä injektio että surjektio. Bijektiiviselle kuvukselle voidn määrittää käänteiskuvus f 1 : Y X. Käänteiskuvus f 1 on myös bijektio. Avoimi joukkoj X, Y R n snotn homeomorsiksi, jos on olemss jtkuv bijektiivinen kuvus f : X Y, joll on olemss jtkuv käänteiskuvus f 1 : Y X. Silloin kuvust f snotn homeomorsmiksi. Lisäksi, jos homeomorsmi f j sen käänteiskuvus f 1 ovt dierentioituvi, niin voimi joukkoj X, Y R n snotn dieomorsiksi j funktiot f snotn dieomorsmiksi. Joukon X snotn olevn polkuyhtenäinen, jos jokisell x, y X on olemss jtkuv funktio f : [, 1] X siten, että f() = x j f(1) = y. Polkuyhtenäisen voimen joukon X snotn olevn yhdesti yhtenäinen, jos jokinen suljettu käyrä Γ X voidn jtkuvsti deformoid pisteeksi x X. Lgrngen kuvustvss trkstelln liikkuvn j deformoituvn joukon Ω(t) R n lkion u pikk jnhetkellä t, jonk nt kuvus u x. Eulerin kuvustvss trkstelln liikkuvn j deformoituvn joukon Ω(t) R n nopeutt pikss x Ω hetkellä t, jonk nt kuvus x v. Ekskti todistus deformoituvn joukon tpuksess trkstelee Lgrngen kuvuksen u x ntm dieomorsmi φ : U X, jok voidn yleistää kikkiin Euklidisiin vruuksiin R n hyödyntäen tekniikk, jok on pohjltn sm. Vektorirvoisen kuvuksen f = (f 1, f 2,..., f n ) divergenssi on div f = f = D 1 f 1 + D 2 f 2 + + D n f n. Luse 4.3. Olkoon X R 2 lue j olkoon Ω(t) X yhdesti yhtenäinen rjoitettu lue, jok deformoituu j liikkuu jn t suhteen. Olkoon Lgrngen kuvus u x dieomorsmi, jok kuv joukon Ω(t) deformtiot. Olkoon F lueess X relirvoinen funktio siten, että sekä F että D 3 F ovt jtkuvi. Silloin d dt Ω(t) F (x, y, t)dxdy = Ω(t) [div(f v) + (D 3 F )(x, y, t)]dxdy. (4.2) missä v R 2 on Eulerin kuvuksen ntm nopeusvektori pisteessä (x, y, t) Ω(t). [7, s. 618-62] Huomutus 4.4. Itse siss Luseen 4.3 tilnteess yhdesti yhtenäisyyttä ei vdit, vn yhtenäisyys on riittävä ehto. Todistuksess hyödynnetään ll 21

olev versiot Greenin kvst, jok vtii yhdesti yhtenäisyyden. Greenin kvst on olemss versioit, joiss yhdesti yhtenäisyyttä ei vdit. Hyödynnetään Luseen 4.3 todistmiseksi lusett, jok kulkee nimellä Greenin kv, jonk todistus sivuutetn. Joukon X R n reun X on niiden pisteiden x R n joukko, joille kikill r >. Ω(x, r) X j Ω(x, r) (R n \ X), Luse 4.5. Olkoon X R 2 joukko j olkoon Ω X rjoitettu lue, jonk reun on yksinkertinen suljettu käyrä Ω positiivisesti suunnttun. Oletetn, että F : X R 2 on jtkuvsti derivoituv vektorikenttä. Silloin f 1 (x, y)dx + f 2 (x, y)dy = [(D 1 f 2 )(x, y) (D 2 f 1 )(x, y)]dxdy, Ω missä F = (f 1, f 2 ). [1, s. 84] Ω Vektori x snotn yksikkövektoriksi, jos x = 1. Tngenttivektoriksi kutsutn vektori, jok on tngentti tsolle ti pinnlle X josskin pisteessä x X. Normlivektoriksi kutsutn vektori, jok on kohtisuorss tson ti pinnn X tngenttivektori vstn pisteessä x X. Luseelle 4.3 esitettävä todistus ei ole ekskti, vn lähinnä fysiikn hvintoihin perustuv hhmotelm. Luseen 4.3 todistus. Trkstelln tilnnett hetkellä t = t. Jetn ensin yhtälön (4.2) vsemmn puolen pintintegrli osiin F (x, y, t)dxdy = F (x, y, t )dxdy Ω(t) Ω(t) + [F (x, y, t) F (x, y, t )]dxdy. (4.3) Ω(t) Merkitään pintintegrli (4.3) funktioll Φ(t). Kun t = t, Φ(t ) = dxdy =. Ω(t ) 22

Silloin Lemmn 2.3 nojll ( d F (x, y, t)dxdy dt Ω(t) ( d = dt ( d = dt Ω(t) Ω(t) ) t=t ) F (x, y, t )dxdy + lim t=t ) F (x, y, t )dxdy t=t Φ(t) Φ(t ) t t t t F (x, y, t) F (x, y, t ) + lim dxdy t t Ω(t) t t ( d = F (x, y, t )dxdy + (D 3 F )(x, y, t )dxdy. (4.4) dt Ω(t) ) t=t Ω(t ) Jtkoss trkstelln vin kvn (4.4) ensimmäistä termiä j pidetään toisen termin rjnkäyntiä tunnettun. Trkstelln luett Ω(t) j sen osittin päällekkäistä ljennust Ω(t + dt). Olkoon v(x, y, t) nopeusvektori reunn Ω(t) pisteessä (x, y) j olkoon n yksikköulkonormli tässä pisteessä. Nyt erotuksess F (x, y, t )dxdy F (x, y, t )dxdy, Ω(t+dt) kikki lueiden Ω(t + dt) j Ω(t) päällekkäisyydet kumovt toisens j inostn kpe reun-lueen kistle jää kontribuutioon jäljelle. Olkoon tämän kren kistleen pituus ds. Olkoon nopeusvektorin v yksikköulkonormlin n suuntisen komponentin pituus l, j vektoreiden välinen kulm α. Silloin cos α = l = v n = v n cos α = l. v Nopeudelle pätee v = dx = dx = vdt. dt Nyt kren kistleen leveys on (v n)dt j korkeus on F (x, y, t ). Silloin kren kisteleen tilvuus on F (x, y, t )(v n)dtds. Ω(t) Silloin voidn pproksimoid 1 ( F (x, y, t )dxdy dt Ω(t+dt) F (x, y, t )(v n)ds. Ω(t) 23 Ω(t) Ω(t) ) F (x, y, t )dxdy

Kierretään yksikkötngenttivektori t siten, että sdn yksikköulkonormli n ( dx t = ds, dy ) ( dy ) = n = ds ds, dx. ds Merkitään v = (v 1, v 2 ). Silloin j edelleen d dt (v n)ds = (v 1, v 2 ) (dy, dx) = v 1 dy v 2 dx, Ω(t) F (x, y, t )dxdy = Ω(t) F (x, y, t )(v 1 dy v 2 dx). (4.5) Nyt käyttämällä Greenin kv 4.5 yhtälön (4.5) oiken puoleen, tekemällä sijoitus t = t j yhdistämällä tulos yhtälöön (4.4) sdn ( d ) F (x, y, t)dxdy dt Ω(t) t=t = F (x, y, t )(v 1 dy v 2 dx) + (D 3 F )(x, y, t )dxdy Ω(t ) Ω(t ) = [(D 1 v 1 F )(x, y, t ) + (D 2 v 2 F )(x, y, t ) + (D 3 F )(x, y, t )]dxdy Ω(t ) = [div(f v) + (D 3 F )(x, y, t )]dxdy, Ω(t ) missä erityisesti F v R 2. Siis väite seur. 5 Leibnizin integrlisääntö vruudess R 3 Luse 5.1. Olkoon X R 3 lue j olkoon Ω X kompkti joukko. Olkoon F lueess X relirvoinen funktio siten, että sekä F että D 4 F ovt jtkuvi. Silloin d F (x, t)dv = (D 4 F )(x, t)dv, dt Ω Ω missä dv on tilvuuselementti. Todistus Luseelle 5.1 on nloginen Luseen 4.1 todistuksen knss, joten todistus tässä yhteydessä sivuutetn. Trkstelln nyt Leibnizin integrlisäännön vruuden R 3 tpust, joss rjoitettu lue deformoituu j liikkuu jn suhteen. Hyödynnetään todistuksess tekniikk, jok esiteltiin yleisen muodon, Luse 3.1, vihtoehtoisen todistustpn. Todistuksess jtuksen on tehdä muuttujnvihto jollekin kiinnitetylle jnhetkelle, jott lueest jonk yli integroidn, 24

sdn jst riippumton. Integrli päästään siten käsittelemään tutuin menetelmin. Lopuksi tehdään muuttujnvihto tkisin jst riippuvn tilnteeseen eli täten trksteluss pystytään ohittmn ikriippuvuudest johtuvt ongelmt. Todistuksess sivuutetn tiettyjen sileyteen liittyvien yksityiskohtien trkstelu. Hyödynnetään trksteluss Gussin divergenssilusett, jonk todistus sivuutetn. Luse 5.2. Olkoon X R 3 joukko j olkoon Ω X voin joukko, jonk reun on tsinen suljettu käyrä Ω positiivisesti suunnttun. Oletetn, että F : X R 3 on jtkuvsti derivoituv vektorikenttä. Silloin div FdV = (F n)da, Ω missä n(x) on yksikköulkonormli sekä dv j da ovt tilvuus- j pintelementit. [18] Luse 5.3. Olkoon X R 3 lue j olkoon Ω(t) X yhtenäinen kompkti joukko, jok deformoituu j liikkuu jn t suhteen. Olkoon Lgrngen kuvus u x dieomorsmi, jok kuv joukon Ω(t) deformtiot. Olkoon F lueess X relirvoinen funktio siten, että sekä F että D 4 F ovt jtkuvi. Silloin d F (x, t)dv = (D 4 F )(x, t)dv dt Ω(t) Ω(t) + [v(x, t) n(x, t)]f (x, t)da, Ω(t) missä v on Eulerin kuvuksen ntm nopeusvektori j n yksikköulkonormli pikss (x, t). [7, s. 62] Luseen 5.3 vull johdetn kontinuumimekniikn perusyhtälöt j virtusdynmiikss se tunnetn yleisesti nimellä Reynoldsin kuljetusteoreem [19]. Gussin divergenssiluseen 5.2 nojll sdn Reynoldsin kuljetusteoreemlle 5.3 seurv korollri. Korollri 5.4. Oletetn Luseen 5.3 oletukset j käytetään smoj merkintöjä. Silloin d ( ) F (x, t)dv = div[f (x, t)v(x, t)] + (D 4 F )(x, t) dv. dt Ω(t) Ω(t) 25 Ω

Määritellään seurvksi Reynoldsin kuljetusteoreemn 5.3 todistust vrten trvittvt putyöklut. Olkoon A m n-mtriisi, missä n, m N. Silloin d 11 d 1n da =....., d m1 d mn missä ij on mtriisin A komponentti rivillä i srkkeess j. Olkoon f : R n R m kuvus, missä n, m N j x R n. Silloin Jcobin mtriisi funktiolle f = (f 1,..., f m ) on D 1 f 1 D n f 1 J f (x) = [Df] = [D 1 f D n f] =..... D 1 f m D n f m Olkoon f : R n R n kuvus, missä n N j x R n. Silloin Jcobin determinntti funktiolle f on det J f (x) = det[df] = D 1 f D n f. Olkoon A n m-mtriisi j B m p-mtriisi. Silloin mtriisitulo AB on AB = [A] nm [B] mp = [AB] np = [C] np = C, missä n p-mtriisin C lkiot ovt muoto c ij = i1 b 1j + + im b mj = m ik b kj, missä i = 1,..., n j j = 1,..., p. Neliömtriisi eli n n-mtriisi A snotn kääntyväksi, jos on olemss n n-mtriisi A 1 siten, että AA 1 = A 1 A = I n, missä I n on n n-yksikkömtriisi eli 1 1 I n =...... 1 k=1 Neliömtriisin eli n n-mtriisin A jälki on n tr(a) = ii = 11 + 22 + + nn, i=1 missä ii määrittää mtriisin A lkion rivillä i j srkkeess i. Mtriiseille pätee seurv ominisuus, jonk todistus sivuutetn. 26.

Luse 5.5. Olkoon A n n-mtriisi. Silloin A on kääntyvä jos j vin jos det A. [2] Hyödynnetään Reynoldsin kuljetusteoreemn 5.3 todistuksess seurvi luseit, joiden todistukset sivuutetn. Ensimmäinen luseist tunnetn Jcobin kvn, toinen Schwrzin luseen j viimeinen muuttujnvihtokvn. Luse 5.6. Jos A = A(t) on kääntyvä n n-mtriisi, niin [22] d [ dt det A(t) = det A(t) tr A(t) 1 d ]. dt A(t) Merkitään jtkoss n-kert jtkuvsti derivoituvien funktioiden joukko C n. Luse 5.7. Olkoon u = (u 1,..., u n ) R n j olkoon X R n siten, että jokin pisteen u ympäristö sisältyy joukkoon X. Olkoon f : X R j oletetn, että f C 2. Silloin kikill i, j {1,..., n} pätee [21] 2 f x i x j (u 1,..., u n ) = 2 f x j x i (u 1,..., u n ). Snotn, että homeomorsmi f on C n -homemorsmi, jos f on n-kert jtkuvsti derivoituv. Vstvsti dieomorsmi f on C n -dieomorsmi, jos sekä f että f 1 ovt n-kert jtkuvsti derivoituvi. Joukon X sulkeum X on pienin suljettu joukko, jok sisältää nnetun joukon. Luse 5.8. Olkoon X, Y R n voimi j X, Y R n kompktej joukkoj. Olkoon X, Y = j olkoon kuvus g : X Y C 1 -homeomorsmi. Jos kuvus f : Y R on jtkuv, niin f(x)dx 1 dx n = f[g(u)] det[dg(u)] dx1 dx n. [5, s. 13] Y X Mtriisin A trnspoosi, jot merkitään A, on mtriisi, jok sdn muuttmll lkuperäisen mtriisin rivit srkkeiksi j päinvstoin. Toisin snoen [A ] ij = [A] ji. Lisäksi hyödennetään Reynoldsin kuljetusteoreemn 5.3 todistuksess seurvi lemmoj. 27

Lemm 5.9. Jos A j B ovt n n-mtriisej, niin [22] n i=1 n A ij B ij = tr(a B). j=1 Todistus. Mtriisitulo AB on n n-mtriisi j sen komponentit ovt (AB) jk = n A ji B ik, missä mtriisituloll AB on j riviä j k srkett. Sijoittmll mtriisin A piklle sen trnspoosi A sdn (A B) jk = i=1 n A ij B ik, j edelleen ottmll mtriisin jälki puolittin sdn tr(a B) = n (A B) jj = j=1 i=1 n ( n ) A ij B ij = j=1 i=1 n i=1 n A ij B ij. Lemm 5.1. Jos funktio F : R n R j vektorikenttä v : R n R n ovt derivoituivi, niin F v + F div v = div(f v). Todistus. Kosk funktion F j vektorikentän v osittisderivtt ovt olemss, niin F v + F div v = (D 1 F,..., D n F ) (v 1,..., v n ) + F (D 1 v 1 + + D n v n ) = (D 1 F v 1 + + D n F v n ) + (F D 1 v 1 + + F D n v n ) j=1 = (D 1 F v 1 + F D 1 v 1 ) + + (D n F v n + F D n v n ) = D 1 (F v 1 ) + + D n (F v n ) = div(f v). Olkoon x = (x 1,..., x n ) j u = (u 1,..., u n ). Silloin vektorien x j u välinen normi on ( n ) 1 2 x u = x i u i 2. i=1 28

Määritelmä 5.11. Olkoon U R n voin joukko. Silloin funktio f : U R m on dierentioituv pisteessä u U, jos on olemss linerinen kuvus Df u : R m R n siten, että f(x) + f(u) Df u (x u) lim x u x u =. Linerist kuvust Df u snotn funktion f kokonisderivtksi pisteessä u. Määritelmän 5.11 tilnteess funktio f on dierentioituv, jos kikki sen komponentit f i : U R, missä i = 1,..., n, ovt dierentioituvi. Jos kikki osittisderivtt D i f ovt olemss j jtkuvi pisteen u ympäristössä, niin funktio f on dierentioituv pisteessä u. J edelleen, silloin funktion f kokonisderivtt Df u on linerinen kuvus, jok vst Jcobin mtriisin indusoim linerist kuvust. [23] Hyödynnetään Reynoldsin kuljetusteoreemn 5.3 todistuksess vielä usen muuttujn käänteiskuvuslusett j sitä seurvi lusett sekä lemm, joiden todistukset sivuutetn. Luse 5.12. Olkoon U R n voin joukko j olkoon kuvus f : U R n jtkuvsti derivoituv. Olkoon det J f (u). Silloin kuvus f on loklisti kääntyvä pisteen u ympäristössä, käänteiskuvus f 1 on jtkuvsti derivoituv j J f 1(f(u)) = [J f (u)] 1. [24], [4, s. 42] Huomutus 5.13. Jos käänteiskuvusluseen 5.12 tilnteess kokonisderivtt Df u on kääntyvä pisteessä u U, niin Luseen 5.5 nojll det J f (u), j kääntäen. Huomutus 5.14. Jos käänteiskuvusluseen 5.12 tilnteess kuvus f on kääntyvä koko määrittelyjoukossn, niin f on dieomorsmi. Silloin Luseen 5.5 nojll pätee det J f (u) kikill u U. Olkoon X, Y R n voimi joukkoj. Snotn, että kuvus f : X Y on suuntns säilyttävä pisteessä x X, jos det J f (x) >. Vstvsti, jos kuvus f muutt suuntns pisteessä x X, niin det J f (x) <. Intuitiivisesti voidn kuvuksen f suunt pisteessä x X kuvt trkstelemll funktion σ etumerkkiä, jok määritellään σ(x) = det J f(x) det J f (x). 29

Kosk dieomorsmille f : X Y pätee det J f (x) kikill x X, ktso Huomtus 5.14, niin dieomorsmi on joko suuntns säilyttävä ti suuntns muuttv pisteessä x X. Lemm 5.15. Olkoon kuvus f : X Y dieomorsmi, jok on suuntns säilyttävä josskin pisteessä x X. Jos joukko X on yhtenäinen, niin funktio f on suuntns säilyttävä määrittelyjoukossn. [4, s. 67] Kosk Euklidisen vruuden positiivisen ti negtiivisen suunnn vlint on mielivltinen, niin vruuden suunt voidn in vlit siten, että dieomorsmin f : X Y Jcobin determinntti on positiivinen pisteessä x X. Siis Lemmn 5.15 nojll voimme rjoittu trkstelemn inostn suuntns säilyttäviä dieomorsmej yhtenäisen lkujoukon tpuksess. Luseen 5.3 todistus. Olkoon t jokin kiinnitetty jnhetki. Silloin oletusten nojll joukko Ω(t ) Ω(t) on kompkti. Olkoon u Ω(t ) j olkoon kuvus φ : Ω(t ) Ω(t) C 2 -dieomorsmi, jok sdn Lgrngen kuvuksest u x. Merkitään φ(u, t) = x(u, t). Silloin kuvuksen φ Jcobin mtriisi on x 1 x 1 x 1 u 1 u 2 u 3 [ x ] [ xi x 2 x 2 x 2 J φ (u, t) = [Dφ(u, t)] = = = u u j ]ij u 1 u 2 u, 3 x 3 x 3 x 3 u 1 u 2 u 3 j edelleen kuvuksen φ Jcobin determinntti on det J φ (u, t) = Dφ(u, t) = x. u Kosk kuvus φ on dieomorsmi, niin det J φ (u, t). Käänteiskuvusluseen 5.12 nojll [J φ (u, t)] 1 = J φ 1(φ(u, t)) = J φ 1(x(u, t)) = [ u ] [ uj =. (5.1) x x i ]ji Eulerin kuvuksest sdn funktio x v, jok kuv deformoituvn joukon lkion nopeutt hetkellä t. Lgrngen j Eulerin kuvuksi yhdistää kv v(x(u, t), t) = x(u, t). (5.2) t 3

Silloin Schwrzin luseen 5.7 j yhtälön (5.2) nojll d dt [ x ] = d [ xi [ = u dt u j ]ij 2 x [ i = t u j ]ij 2 x ] [ i vi = = u j t ij u j ]ij [ v ]. (5.3) u Ketjusäännön 3.3, Jcobin kvn 5.6 sekä Lemmn 5.9 että yhtälöiden (5.1) j (5.3) nojll kuvukselle φ pätee d d [ x ][ x ] 1 ] dt det J φ(u, t) = det J φ (u, t) tr[ dt u u [[ u ] [ u ]] 3 = det J φ (u, t) tr = det J φ (u, t) v x = det J φ (u, t) Olkoon i=1 3 j=1 v i u j u j x i 3 D i v i (x(u, t), t) = det J φ (u, t) div v(x(u, t), t). (5.4) i=1 f(t) = Ω(t) F (x, t)dv. Kosk kuvus φ on dieomorsmi, niin Lemmn 5.15 nojll voidn olett, että kuvus φ on suuntns säilyttävä yhtenäisessä joukoss Ω(t ). Muuttujnvihtokvn 5.8 nojll f(t) = F [x(u, t), t] det J φ (u, t) dv Ω(t ) = F [x(u, t), t] det J φ (u, t)dv, (5.5) Ω(t ) kosk det J φ (u, t) > kikill u Ω(t ). Siis pääsemme trkstelemn integrli yli jstriippumttomn joukon Ω(t ). Kosk yhtälön (5.5) integroitv funktio on riittävän sileä, niin derivointi voidn siirtää integrlin 31

sisälle. Silloin ketjusäännön 3.3, Lemmn 5.1 j yhtälön (5.4) nojll d dt f(t) = d ( ) F [x(u, t), t] det J φ (u, t) dv Ω(t ) dt { } d = Ω(t ) dt F [x(u, t), t] det J φ(u, t) + F [x(u, t), t] d dt det J φ(u, t) dv { ( d = ( F )(x(u, t), t) dt x 1(u, t), d dt x 2(u, t), d ) dt x 3(u, t), 1 = = = Ω(t ) Ω(t ) Ω(t ) Ω(t ) + F [x(u, t), t][div v(x(u, t), t)] } det J φ (u, t)dv {[ 3 ] (D j F )(x(u, t), t) v j (x(u, t), t) + (D 4 F )(x(u, t), t) { { j=1 + F [x(u, t), t][div v(x(u, t), t)] } det J φ (u, t)dv (div F )(x(u, t), t) v(x(u, t), t) + (D 4 F )(x(u, t), t) + F [x(u, t), t][div v(x(u, t), t)] } det J φ (u, t)dv div[f (x(u, t), t)v(x(u, t), t)] + (D 4 F )(x(u, t), t) j edelleen muuttujnvihtokvn 5.8 nojll d ( ) dt f(t) = div[f (x, t)v(x, t)] + (D 4 F )(x, t) dv. Ω(t) } det J φ (u, t)dv, Toislt muuttujnvihtokvn 5.8 j Gussin divergenssiluseen 5.2 nojll d dt f(t) = (D 4 F )(x, t)dv + [v(x, t) n(x, t)]f (x, t)da. Ω(t) Siis väite, j sen Korollri 5.4, seur. Ω(t) Huomttv on, että Leibnizin integrlisäännön vruutt R 3 käsittelevän tpuksen, Luse 5.3, todistuksen menetelmää olisi voitu hyödyntää todistmn tso R 2 käsittelevä tpus, Luse 4.3 j todistus sille olisi ollut 32

nloginen. Tätä tekniikk voidn myös hyödyntää yleistämään Leibnizin integrlisääntö vruuteen R n, mikä vtii työkluj dierentiligeometrin puolelt, jok jää tämän tutkielmn ulkopuolelle. Aiheest voi luke lisää lähteestä [7, s. 622-627]. 33

Lähteet [1] Rudin, W. Principles of Mthemticl Anlysis, 3ed. McGrw-Hill, Inc, Tokyo, 1976. [2] Protter, M.H. Morrey, C.B. Intermedite Clculus, 2ed. Springer-Verlg Inc, New York, 1985. [3] Fleming, W. Functions of Severl Vribles, 2ed. Springer-Verlq Inc, New York, 1977. [4] Guld, D. Dierentil Topology: An Introduction. Dover Publictions, Inc, New York, 26. [5] Mrtio, O. Vektorinlyysi. Limes ry, Helsinki, 24. [6] Feynmn, R. Surely You're Joking, Mr. Feynmn! Unwin Pperbcks, London, 1986. [7] Flnders, H. The Americn Mthemticl Monthly, Vol 8, Nro 6. Tylor nd Frncis Ltd, 1973. [8] Conrd, K. Dierentiting under the integrl sign. https://fculty.mth.illinois.edu/ reznick/diunderint.pdf, 3.3.219. [9] Pitkärnt, J. Clculus Fennicus. Avoimet oppimterilit ry, Helsinki, 215. [1] Korhonen, R. Usen muuttujn relinlyysi. Luentorunko. Itä-Suomen yliopisto, 219. [11] Heittokngs, J. On complex dierentil equtions in the unit disc. Väitöskirj. Suomlinen tiedektemi, 2. [12] https://en.wikipedi.org/wiki/gottfried_wilhelm_leibniz, 29.4.219. [13] https://en.wikipedi.org/wiki/leibniz_integrl_rule, 3.3.219. [14] https://en.wikipedi.org/wiki/heine-cntor_theorem, 7.4.219. [15] https://en.wikipedi.org/wiki/gmm_function, 3.3.219. [16] https://en.wikipedi.org/wiki/dirichlet_integrl, 29.5.219. [17] https://en.wikipedi.org/wiki/euler%27s_formul, 29.5.219. [18] https://en.wikipedi.org/wiki/divergence_theorem, 9.4.219. 34

[19] https://en.wikipedi.org/wiki/reynolds_trnsport_theorem, 2.4.219. [2] https://en.wikipedi.org/wiki/invertible_mtrix, 16.5.219. [21] https://en.wikipedi.org/wiki/symmetry_of_second_derivtives, 16.5.219. [22] https://en.wikipedi.org/wiki/jcobi%27s_formul, 23.4.219. [23] https://en.wikipedi.org/wiki/totl_derivtive, 16.5.219. [24] https://en.wikipedi.org/wiki/inverse_function_theorem, 16.5.219. 35