Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

Transkriptio

1 Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin tilnyhtälöt ovt d i(t) = Ri(t) + 1 v dt L L in(t) d dt ω(t) = k ti I i(t), missä R on piirin resistnssi, L on piirin induktnssi, k t on vkio, i on mgnetointikäämien käämivirt (vkio) j I on nkkurin hitusmomentti. Ohjusmuuttuj on syöttöjännite v in. Tehtävä on nnetust lkutilst pysäyttää moottori optimlisesti: min J = [ i (t) + ω (t) + v in(t) ] dt. Kyseessä on iemmin käsitelty linerinen regulttoritehtävä. Jos () Systeemi on täysin ohjttv; (b) H = eli ei ole lopputilkustnnust; (c) A, B, R j Q ovt vkiomtriisej, niin rtkisu on tkisin kytketyssä muodoss u (t) = R 1 B T K(t)x(t). (1) Lisäksi vhvistus vimenee jn mukn nopesti vkiovhvistukseksi lim t K(t) = K (vkiomtriisi), j mtriisi K sdn lgebrllisest Ricctin yhtälöstä: KBR 1 B T K KA A T K Q =. Vrsinisen vhvistuksen K(t) sijn voidnkin käyttää vkiovhvistust K. Olkoon nyt R = L = k t i = I = 1. Silloin tilvektori j systeemimtriisit ovt: [ ] [ ] [ ] i(t) 1 1 x(t) =, A =, B =, ω(t) 1 Q = I, R = 1. Onko systeemi täysin ohjttv? Ohjttvuusmtriisiksi sdn [ ] [ ] 1 1 E = B AB =, 1 1

2 jonk srkkeet ovt linerisesti riippumttomt, joten systeemi on täysin ohjttv. Näin ollen tehtävän rtkisu sdn rtkisemll lgebrllinen Ricctin yhtälö. Mtriisin K tulee oll symmetrinen j positiivideniitti. Merkitään [ ] k1 k K = k k 3 j kirjoitetn uki Ricctin yhtälö, jolloin sdn seurv: [ ] [ ] [ ] [ k1 + k = k1 + k k + k 3 1 k + 1 k 1 k k + k 3 1 k 1 k k ] eli k1 + k 1 k 1 = k 1 k + k k 3 = k 1 = On siis oltv k = ±1. Jos olisi k = 1, niin silloin: { k 1 + k = k 1 1 k 3 =, jolloin k 1 = 1 j k 3 =. Mutt silloin K ei ole positiivisesti deniitti (ot v = [ 1 ] T j tote, että v T Kv = 1). Täytyy siis oll k = 1. Tällöin: k 1 + k 1 3 = k 1 = 3 k 1 = 1. Jos olisi k 1 = 3 niin silloin k 3 =, mutt hvitn jälleen ettei K ole positiivisesti deniitti. Jäljelle jää vihtoehto k 1 = 1, jost sdn [ ] 1 1 K = 1 jok on positiivisesti deniitti. Sijoittmll yhtälöön (1) sdn u (t) = i(t) ω(t)..

3 . Vpn loppujn optimisäätötehtävä tf mx g[x(t), u(t)] dt t tilyhtälörjoitteill ẋ(t) = f[x(t), u(t)] j reunehdoill x(t ) = x, x(t f ) vp. Systeemi on utonominen, eli tilyhtälöt eivät riipu eksplisiittisesti jst, j myöskään kustnnustekijä g(.) ei riipu eksplisiittisesti jst. Hmiltonin funktio on H (x, u, p) g(x, u) + p T f(x, u). Kosk tehtävällä ei ole til- ti ohjusrjoitteit, tulee optimitrjektorill päteä H u (x, u, p ) =. Lisäksi liittotilyhtälön j tilyhtälön H x (x, u, p ) = ṗ H p (x, u, p ) = ẋ = f tulee oll voimss optimitrjektorill. Nyt voidn lske: dh dt = Hx T ẋ + Hu T = H T x f + f T ṗ = H x f f T H x =, u + Hp T ṗ eli H on vkio optimitrjektorill. Vert tilnteeseen fysiikss j Hmiltonin mekniikss, missä Hmiltonin funktio kuv systeemin kokonisenergi = jos Hmiltonin funktio on vkio, niin systeemin kokonisenergi säilyy. 3

4 3. Khden tuotnnontekijän tuotntomlli (Cobb-Dougls): Tilnyhtälö: R rk-ineen käyttö K pääom Q tuotnto C tuotteen kulutus. Q(t) = AK 1 (t)r (t), < < 1, A vkio. Kulutuksest stu hyöty: U(C) = ln C. Kuluttmtt jätetty tuotnto investoidn tkisin pääomn. Olkoon Silloin x jäljellä olev rk-ine. ẋ(t) = R(t) () reunehdoill x() = x j x(t ) =. Pääomlle sdn yhtälö K(t) = Q(t) C(t) = AK 1 (t)r (t) C(t), (3) missä K() = K j K(T ) =. Lisäksi tulee toteutu epäyhtälörjoitteet C(t), R(t), t [, T ]. (4) Kun tvoitteen on mksimoid kokonishyötyä T mx ln C(t) dt, niin yhtälöistä ()-(4) sdn optimisäätötehtävä, joss tilmuuttuji ovt x(t) j K(t) j ohjusmuuttuji C(t) j R(t). Määritellään uusi ohjusmuuttuj y(t) R(t)/K(t). 4

5 Jos K(t) > kikill t [, T ) niin näin voidn tehdä. Myöhemmin käy ilmi, että tämä ehto toteutuu optimitrjektorill. Oletetn toistiseksi, että se toteutuu, j lisäksi y(t) olkoon jtkuvsti derivoituv. Tällöin optimisäätötehtävä on rjoitteill mx T ln C(t) dt ẋ(t) = K(t)y(t) K(t) = AK(t)y (t) C(t) C(t) y(t). Osoitetn, että pääomn suhde tuotntoon K/Q ksv linerisesti jn mukn. Hmiltonin funktio j sen osittisderivtt: H = ln C p 1 Ky + p (AKy C) (5) H C = 1 C p = C = 1/p (6) H y = p 1 K + p AKy 1 = p 1 = p Ay 1. (7) Liittotilyhtälöt: joist yhdistämällä sdn ṗ 1 = H x = (8) ṗ = H K = p 1 y p Ay, (9) ṗ 1 = ṗ Ay 1 + p A( 1)y ẏ = (1) ṗ y +1 + p ( 1)y ẏ = (11) Toislt yhtälö (7) yhtälöön (9) sijoittmll sdn jost seur ṗ p = (1 )ẏ y. (1) ṗ = p Ay p Ay ṗ p = (1 )Ay, (1 )ẏ y = (1 )Ay 5 ẏ = A. (13) y+1

6 Dierentiliyhtälön rtkisu sdn integroimll 1 y = At + k 1 eli jolloin 1 = Ay (t k 1/A }{{} =k 1 ), (14) K/Q = eli suorn yhtälö, kuten piti osoitt. K AKy = t + k 1 Rtkistn optimlinen kulutuspolitiikk. Sijoitetn (14) yhtälöön (1): ṗ (1 ) = p t + k 1 eli jolloin ln p = 1 = 1 ln t + k 1 / 1 ln k (t + k 1 /), p (t) = { k (t + k 1 /) } 1. ln k Sijoittmll yhtälöön (6) sdn optimlinen kulutuspolitiikk C(t) = k (t + k 1 ) 1, missä k ( k ) 1. 6

7 4. Ohjtn linerinen systeemi ẋ(t) = x(t) + u origoon lkupisteestä x() = x jss T (kiinteä) minimoiden smll kustnnust min J(u) = T u (t) dt. Kyseessä on jälleen linerinen regulttoritehtävä. Hmiltonin funktio on H (x, u, p) = u + p(x + u). Optimitrjektorill tulee oll Liittotilyhtälöistä sdn H u = u + p = u = 1 p. H x = ṗ = p p (t) = k 1 e t. Sijoittmll systeemin tilyhtälöön sdn ẋ (t) = x (t) 1 k 1e t. (15) () Homogeenisen yhtälön ẋ (t) = x (t) rtkisu on x (t) = k e t. Tehdään täydelliseen yhtälöön (15) yrite x(t) = k 3 e t. ẋ(t) = k 3 e t = k 3 e t 1 k 1e t eli j täydellinen rtkisu on k 3 = k 1 4, x(t) = k e t + k 1 4 e t. Vkiot määrätään reunehdoist: x() = k + k 1 4 = x k = x k 1 4 x(t ) = ( x k 1 ) e T + k e T = k 1 4 = x e T e T e. T Optimitrjektorin yhtälöksi sdn sijoittmll j sieventämällä x (t) = x e (T t) e (t T ) e T e T. 7

8 (b) Optimiohjus u (t) = 1 p (t) = 1 k 1e t = x (T t) e e T e. T (c) Etsittävä optimiohjukselle tkisinkytketty muoto Siis F (t, T, ) = u (t) x (t) u (t) = F (t, T, )x (t). (16) = x (T t) e e T e T = e T e T x e (T t) e (t T ) (T t) e e (T t) e. (t T ) Nyt kävi hyvin j lkutil x supistui pois, jolloin löydettiin tkisinkytketty suljetun silmukn ohjus. Tämä siksi, että kyseessä oli linerinen regulttoritehtävä. Yleisessä tpuksess näin ei tietenkään käy. (d) Oletetn, että > j systeemi on epästbiili (nollkoht imginäärikselin oikell puolell): lim F (t, T, ) = lim =, t T t T 1 e(t T ) x lim t T u (t) = <. e T et Vhvistustekijä F ksv siis rjtt kun lähestytään loppuhetkeä T, vikk ohjus u pysyy koko jn rjoitettun. Käytännön tkisinkytketyssä ohjuksess voi rjoittmton vhvistus iheutt ongelmi. Olkoon nyt t prmetri j nnetn T : lim F (t, T, ) = lim T T e T e t 1 = x e t lim T u (t) = lim T e T 1 = x e t. Nyt myös vhvistus pysyi rjoitettun. Jos siis T on kohtlisen suuri, voidn käyttää vkiovhvistust u(t) = x(t) j sdn todennäköisesti premmin käyttäytyvä säädin. 8

9 5. Etsitään optimlinen opiskelustrtegi w (t) s.e. min J = T w(t) dt kun tiedon tso kuvtn dierentiliyhtälöllä k(t) = b w(t) ck(t), missä b j c ovt positiivisi vkioit, tiedon tso luss k() = k, tvoitetso lopuss k(t ) = k T > k j rjoituksen on w(t). Hmiltonin funktio: Liittotilyhtälöistä sdn: H w(t) + p(t)b w(t) p(t)ck(t). H k = cp (t) = ṗ (t) p (t) = αe ct. Kosk ohjukset ovt rjoitettuj, käytetään Pontryginin minimiperitett. Hmiltonin funktion tulee minimoitu optimiohjuksell: H (x, u, p, t) H (x, u, p, t), Tässä tehtävässä ehto on: u käypä ohjus. w (t) + p (t)b w (t) p (t)ck (t) w(t) + p (t)b w(t) }{{} p (t)ck (t). =f(w(t)) Jos olisi α >, niin silloin f(w(t)) minimoituu, kun w(t) =. Opiskelemtt ei kuitenkn tentistä pääse läpi, joten tämä ei toteut reunehtoj. On siis oltv α. Minimoidn f(w): j kyseessä on minimi, sillä df(w) dw = w (t) = 1 αbect d f(w) dw = αe ct b[w(t)] 3/. Sijoittmll tilnyhtälöön sdn: k(t) = ck(t) 1 αb e ct. 9

10 Homogeenisen yhtälön rtkisu on k(t) = βe ct. Etsitään erikoisrtkisu yritteellä k(t) = γe ct : γce ct = cγe ct 1 αb e ct eli yleisen yhtälön rtkisu on γ = αb 4c, k (t) = βe ct αb 4c ect. Vkiot α j β sdn reunehdoist: eli rtkisu on k () = β αb 4c = k Optimlinen opiskelustrtegi on b w = k + ck k (T ) = βe ct αb 4c ect = k T α = 4c b kt k e ct < } e ct {{ e ct } =K β = k + K, k (t) = (k + K)e ct Ke ct. = c(k + K)e ct cke ct + c(k + K)e ct cke ct = cke ct eli w (t) = 4c b K e ct. 1