Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48
Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli = derivtn käänteisopertio: esim. x 2 dx = joukko funktioit Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 2 / 48
Anti-derivtt eli määräämätön integrli Määräämätön integrointi on dierentiliyhtälön rtkisu. Esimerkiksi funktion f (x) = x 3 integrli x 3 dx on dierentiliyhtälön g (x) = x 3 rtkisu g(x). Toisin snoen mitkä ovt kikki funktiot g(x), joiden derivtt on x 3. Rtkisu on 1 4 x 4 + C, missä C R on vkio. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 3 / 48
Perustelu edelliseen Välirvoluseen seuruksen stiin että g (x) = h (x) jollin välillä jos j vin jos g(x) = h(x) + C jollin C R. Integroinniss on siis tehtävänä keksiä jokin rtkisu g(x) yhtälölle g (x) = f (x) jolloin f (x) dx := g(x) + C nt kikki rtkisut, kun integroimisvkio C käy läpi kikki reliluvut. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 4 / 48
Esimerkki Esimerkki Lske sin x dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 5 / 48
Integrlej Derivoimissäännöistä sdn integroimissääntöjä. Seurvt kvt pätevät väleillä, joill funtiot ovt hyvin määriteltyjä. 1 x r dx = x r+1 r + 1 + C kun r R, r 1 2 e x dx = e x + C 3 1 x dx = log x + C 4 sin x dx = cos x + C 5 cos x dx = sin x + C 6 1 dx = rcsin x + C 1 x 2 7 1 dx = rctn x + C 1 + x 2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 6 / 48
Integrlin linerisuus Derivtn ominisuuksist (f + g) = f + g j (cf ) = cf seur, että (f ) (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx j cf (x) dx = c f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 7 / 48
Sisäfunktion huomiointi Ketjusäännön nojll (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x), joten f ( g(x) ) g (x) dx = (f g)(x) + C. Huom että esimerkiksi integrlin e x 2 dx lskeminen ei onnistu, kosk sisäfunktion x 2 derivtt puuttuu. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 8 / 48
Esimerkkejä Esimerkki Integroi xe x 2 dx. Esimerkki Integroi f (x) = x x 2 + 1. Esimerkki Integroi sin x cos x dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 9 / 48
Trigonometrisi integrlej Trigonometriset kvt ovt hyödyllisiä integrlej lskettess. Erityisesti cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x. Esimerkki Lske sin 2 x dx. Esimerkki Lske sin 2 x cos 2 x dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 10 / 48
Osittisintegrointi Tulon derivoimiskvn mukn (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Rtkisemll f (x)g(x) j integroimll sdn f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Esimerkki Lsketn xe x dx. Vlitn f (x) = e x kvn nojll j g(x) = x, jolloin f (x) = e x, g (x) = 1 j yllä olevn xe x dx = xe x 1 e x dx = xe x e x + C. Tätä tekniikk kutsutn osittisintegroinniksi. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 11 / 48
Lisää osittisintegrointi Esimerkki Lske x 2 sin x dx. Esimerkki Lske x 3 e x 2 dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 12 / 48
Rtionlifunktion integrointi Esimerkki Lske 1 x 2 dx kun 1 < x < 1. 1 Ei void suorn integroid logritmiksi kosk sisäfunktion derivtt puuttuu. Kirjoitetn 1 x 2 1 = 1 (x + 1)(x 1) = 1/2 x + 1 + 1/2 x 1. Nyt 1 1/2 1/2 x 2 1 dx = x + 1 dx + x 1 dx = 1 2 log x + 1 + 1 log x 1 + C. 2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 13 / 48
Yleisempiä osmurtohjotelmi Osmurtohjotelm sdn rtkisemll tuntemttomt A j B yhtälöstä cx + d (x x 1 )(x x 2 ) = A + B. x x 1 x x 2 Jos nimittäjässä on kksinkertinen nollkoht, käytetään hjotelm P(x) (x x 1 ) 2 (x x 2 ) = A B + x x 1 (x x 1 ) + C. 2 x x 2 (missä P(x):n ste 2). Jos nimittäjässä on toisen steen joton tekijä, käytetään hjotelm P(x) (x 2 + cx + d)(x x 1 ) = Ax + B x 2 + cx + d + C. x x 1 (missä P(x):n ste 2). Nämä esimerkit yleistyvät luonnollisell tvll. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 14 / 48
Integrli (määrätty) eli merkillä vrustettu pint-l Funktion f (x) integrli välin [, b] yli on funktion f (x) grn j x-kselin välin [, b] väliin jäävä pint-l missä x-kselin yläpuoliset osiot svt merkin + j lpuoliset merkin. f (x) dx = vihreä l ornssi l Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 15 / 48
Positiivisen funktion integrlin määritelmän ide Funktion f (x) 0 kuvjn j x-kselin väliin jäävä pint-l määritellään pproksimoimll suorkulmioiden vull (nk. Riemnnin integrli). f (x) f (x) b b Ornssin lueen l nt lrjn integrlille; ornssin j vihreän lueen yhteisl nt ylärjn. Tihentämällä jko sdn trkemmt l- j ylärjt, j jos näillä on yhteinen rj-rvo, niin snotn, että f on integroituv (välillä [, b]). Yhteistä rj-rvo kutsutn f :n integrliksi yli välin [, b] j merkitään f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 16 / 48
Funktion jko positiiviseen j negtiiviseen osn Olkoon f : [, b] R. Määritellään kikill x [, b] jolloin f + f (x) + f (x) (x) = mx{f (x), 0} = 2 f f (x) f (x) (x) = mx{ f (x), 0} = 2 f (x) = f + (x) f (x) j f (x) = f + (x) + f (x). f (x) f (x) f + (x) f (x) Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 17 / 48
Integrli kun f ei välttämättä positiivinen Olkoon f : [, b] R. Nyt f (x) = f + (x) f (x) kikill x [, b]. Huom että f + (x) 0 j f (x) 0 kikill x [, b]. Jos f + j f ovt integroituvi, niin snotn että myös f on integroituv j setetn f (x) dx := f + (x) dx f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 18 / 48
Huomutuksi Integrli voi merkitä myös lyhemmin Kun > b, niin määritellään f. f = b f. Tällöin pätee sääntö kikill, b R. f = b f Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 19 / 48
Jtkuvt funktiot ovt integroituvi Luse Jos funktio f : [, b] R on rjoitettu j sillä on äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti, niin f on integroituv. Seurus Jokinen jtkuv funktio f : [, b] R on integroituv. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 20 / 48
Integrlin linerisuus Integrlin määritelmästä seur, että j ( f (x) + g(x) ) dx = cf (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx, kun f j g ovt integroituvi funktioit j c R vkio. g(x) dx Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 21 / 48
Integrlifunktion j määrätyn integrlin yhteys 1 Luse (Anlyysin perusluse, versio 1) Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio. Funktion f kertymäfunktio on F (x) = x f (t) dt, x [, b]. Tällöin funktio F on jtkuv j F (x) = f (x) kikill x ], b[. F (x) f (x) x x + h F (x + h) F (x) = ornssi l f (x)h (f jtkuv) F (x + h) F (x) = f (x) h = F (x) = f (x) Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 22 / 48
Anlyysin perusluseen sovellus Määritellään funktio F : R R settmll F (x) = x 0 e t2 dt, x R. Anlyysin perusluseen nojll F on derivoituv j F (x) = e x 2. Siis funktioll e x 2 on olemss integrlifunktio F, vikk emme oskn esittää sitä lkeisfunktioiden vull. Huomutus Usein logritmifunktio määritellään settmll log x = x 1 1 dt, x > 0, t j sitten eksponenttifunktio määritellään logritmin käänteisfunktion. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 23 / 48
Integrlifunktion j määrätyn integrlin yhteys 2 Luse (Anlyysin perusluse, versio 2) Olkoot f, F : [, b] R sellisi jtkuvi funktioit, että f (x) = F (x) kikill x ], b[. Tällöin f (x) dx = F (b) F (). Jos siis F on funktion f jokin integrlifunktio, niin määrätty integrli voidn lske sijoituksell funktioon F : f = / b F. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 24 / 48
Esimerkkejä Esimerkki Lske 5π/6 sin x 1 π/6 2 dx. Esimerkki Lske 0 1 x x 2 + x 2 dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 25 / 48
Positiivisuus Määritelmän mukn f (x) 0 kikill x [, b] = f (x) dx 0. (oletten että f on integroituv). Tästä seur että jos f j g ovt integroituvi, niin f (x) g(x) kikill x [, b] = f (x) dx g(x) dx. Erityisesti jos m f (x) M kikill x [, b], niin m(b ) f (x) dx M(b ). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 26 / 48
Arviointi Lisäksi f (x) dx f (x) dx kosk f (x) f (x) f (x) kikill x [, b] = f (x) dx f (x) dx f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 27 / 48
Arviointiesimerkki Arvioidn integrli 1 e x 2 dx. 0 Nyt x 2 2x 1 (kosk (x 1) 2 0), joten 1 e x 2 dx 1 0 0 e 2x 1 dx 1.175. Toislt 1 e x 2 dx 1 0 0 Todellinen rvo on noin 1.463. e x dx 1.718. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 28 / 48
Osittisintegrointi määrätylle integrlille Anlyysin perusluseen nojll / b f (x)g(x) = (fg) (x) dx = ( f (x)g(x) + f (x)g (x) ) dx. Tästä sdn osittisintegrointikv määrätylle integrlille: f (x)g(x) dx = / b f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Esimerkki Lske π x cos 2 x dx. 0 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 29 / 48
Muuttujnvihto Luse Olkoot g : [, b] R jtkuv funktio, jonk derivtt g : ], b[ R on jtkuv, j f jtkuv funktio, jonk määrityslue sisältää g :n kuvjoukon. Tällöin f ( g(x) ) g (x) dx = g(b) f (u) du. g() Tämä kv on helpoint muist tulkitsemll se muuttujnvihdoksi: u = g(x) du = du dx dx = g (x) dx x : b u : g() g(b) Menetelmä toimii myös määräämättömässä integrliss, jolloin integroimisrjojen uudelleen lskemisen j sijoittmisen sijn tehdään tkisinsijoitus (u x). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 30 / 48
Integrointi sijoittmll Esimerkki Lsketn sin x x dx j π 2 0 sin x x dx. Esimerkki Lsketn 1 sijoituksell x = cos t. 1 1 x 2 dx y x Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 31 / 48
Epäoleelliset integrlit Olkoon f : ], b] R sellinen, että f ei ole rjoitettu (pisteen lähellä) mutt c f (x) dx on olemss kikill c >. Esimerkiksi f (x) = 1/ x, = 0. Tällöin määritellään mikäli rj-rvo on olemss. f (x) dx = lim c + c f (x) dx Vstvsti määritellään f (x) dx = lim c b jos b on ongelmkoht (singulriteetti). c f (x) dx Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 32 / 48
Esimerkkejä Esimerkki Määrää 1 Esimerkki 0 1 x dx. Määrää 1 0 1 x 2 dx. 1 x 1 x 2 1 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 33 / 48 1
Integrli äärettömyyteen Olkoon f : [, [ R sellinen funktio, että R f (x) dx on olemss kikill R >. Tällöin määritellään R f (x) dx = lim f (x) dx R mikäli rj-rvo on olemss. Vstvsti määritellään f = lim R R f j f = lim lim R1 R2 R 2 R1 f. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 34 / 48
Esimerkki Esimerkki Lske e x dx. 0 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 35 / 48
Kompleksiluvut Määritellään imginriyksikkö i settmll i = 1. Toisin snoen päätämme, että meillä on luku i, jok ei ole reliluku mutt on rtkisu yhtälölle x 2 + 1 = 0. Kompleksilukujen joukko on C = {x + iy x, y R}. Jokinen kompleksiluku voidn esittää yksikäsitteisesti muodoss x + iy (jos siis z C niin on olemss yksikäsitteiset x j y, joille z = x + iy ). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 36 / 48
Geometrinen tulkint Geometrisesti kompleksiluvut tulkitn tsoksi. Kompleksiluku z = x + iy vst tson piste (x, y). y (x, y) x + iy i 1 i 1 x 2 i Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 37 / 48
Kompleksilukujen lskusäännöt Kompleksiluvulle pätevät smt yhteen-, vähennys-, kerto- j jkolskusäännöt kuin reliluvuille, sillä lisäyksellä että i 2 = 1 (mikä seur suorn i:n määritelmästä). Esimerkki (3 2i)( 5 + i) = 13 + 13i Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 38 / 48
Reli- j imginriost Olkoon z = x + iy kompleksiluku missä x, y R. Reliluku x kutsutn luvun z reliosksi j merkitään Re z j reliluku y kutsutn luvun z imginriosksi j merkitään Im z. Esimerkki Re(3 + 2i) = 3 j Im(3 + 2i) = 2. Huom että Re z j Im z ovt relilukuj kikill z C. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 39 / 48
Kompleksikonjugtti eli liittoluku Kompleksiluvun z = x + iy kompleksikonjugtti on z = x iy. Toisin snoen Re z = Re z j Im z = Im z. Geometrisesti kompleksikonjugointi z z on peilus x-kselin suhteen. y 1 i2 = 1 + i2 z = x + iy x z = x iy 1 i2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 40 / 48
Lskusääntöjä Yhtälöiden z = Re z + i Im z z = Re z i Im z nojll Re z = z + z 2 Im z = z z 2 Lisäksi kompleksiluvuille z j w pätee lskusäännöt z + w = z + w z w = z w z = z. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 41 / 48
Polynomin juuret Luse (Algebrn perusluse) Olkoon P(x) = n x n + n 1x n 1 + + 1 x + 0 n-steinen kompleksikertoiminen polynomi eli 0, 1,..., n C j n 0. Tällöin polynomill P(x) on tekijöihin jko P(x) = n (x z 1 )(x z 2 )... (x z n ) missä z 1, z 2,..., z n ovt P:n juuret (sm luku voi mhdollisesti esiintyä usesti). Huom että erityisesti tämä koskee myös relikertoimisi polynomej. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 42 / 48
Esimerkki Esimerkki x 2 + 1 = (x i)(x + i) Esimerkki x 2 2x + 3 = (x 1 + i 2)(x 1 i 2) Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 43 / 48
Modulus eli itseisrvo Kompleksiluvun itseisrvo on z = x 2 + y 2, z = x + iy (x, y R). Huom että z on vektorin (x, y) Euklidinen pituus. z = x + iy θ z x y On helppo todet että z 2 = z z. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 44 / 48
Eksponenttifunktio Kompleksiselle eksponenttifunktiolle z e z e iθ = cos θ + i sin θ pätee Eulerin kv: (θ R). Tämän voi tässä ott osksi kompleksisen eksponenttifunktion määritelmää: e z = e x+iy := e x (cos y + i sin y) (z = x + iy C). Kompleksiselle eksponentifunktiolle pätee e z+w = e z e w e z = e z Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 45 / 48
Yksikköympyrä kompleksiluvuill i = e iπ/2 e iθ = cos θ + i sin θ 1 = e iπ sin θ 0 θ cos θ 1 = e 0 i = e i3π/2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 46 / 48
Npkoordintit Kompleksiluvut on usein kätevää esittää npkoordinteiss: Huom, että jos z 0, niin löydetään θ. z = x + iy = z cos θ + i z sin θ = z e iθ z z on yksikköympyrän piste j siten z = x + iy = z e iθ θ z x y Npkoordinttiesitys nt kompleksilukujen tulolle geometrisen tulkinnn: z w = z e iθz w e iθw = ( z w )e i(θz +θw ). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 47 / 48
Trigonometriset kvt Eulerin kvn nojll cos(x + y) + i sin(x + y) = e i(x+y) = e ix e iy = (cos(x) + i sin(x)) (cos(y) + i sin(y)) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) + i(sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)) jost sdn cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y). Vstvsti yhtälöstä e i2x = ( e ix) 2 voi joht kksinkertisten kulmien kvt. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 48 / 48