Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Transkriptio

1 Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään n kappaletta erisuurta nollakohtaa. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

2 Rationaalifunktiot Rationaalifunktio on funktio joka on muotoa R(x) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 missä P(x) ja Q(x) ovat polynomifunktioita. Rationaalifunktion R määritysalue on {x R Q(x) 0} eli koko R lukuunottamatta polynomin Q(x) nollakohtia. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

3 Esimerkki Olkoon R(x) = x + 1 x 2 1. Tällöin R:n määritysalue on R \ { 1, 1}. Voidaan huomata että x + 1 x 2 1 = x + 1 (x 1)(x + 1) = 1 x 1. kun x / { 1, 1}. Täten R voitaisiin luonnollisesti laajentaa funktioksi R 2 : R \ { 1} R, R 2 (x) = 1 x 1. Kuitenkin R ja R 2 ovat eri funktioita (niillä on eri määritysalueet). Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

4 Laskutoimituksia funktioilla Funktioiden väliset laskutoimitukset määritellään pisteittäin. Olkoot f : M f R, g : M g R ja c R vakio. Tällöin (f + g)(x) = f (x) + g(x) (fg)(x) = f (x)g(x) ( ) f (x) = f (x) g g(x). (erityisesti (cf )(x) = cf (x)) Luonnollinen määritysalue uusille funktioille on M f M g, paitsi funktion f /g tapauksessa määrittelyalue on (M f M g ) \ {x M g g(x) = 0}. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

5 Summafunktio f (x) = x f (x) + g(x) = x + sin x g(x) = sin x Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

6 Yhdistetty funktio Funktioiden f ja g yhdistetty funktio eli yhdiste on funktio (f g)(x) = f ( g(x) ). Yhdistetyn funktion määritysalue on M f g = {x M g g(x) M f }. g f x g(x) f ( g(x) ) f g Joskus funktiota g kutsutaan sisäfunktioksi ja funktiota f ulkofunktioksi. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

7 Esimerkki Olkoon h(x) = x 2 1. Tässä voidaan ajatella että h on kuvausten g(x) = x 2 1 ja f (x) = x yhdiste, sillä f g(x) = f (g(x)) = f (x 2 1) = x 2 1. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

8 Käänteisfunktio Funktio g : Y X on funktion f : X Y käänteisfunktio mikäli (g f )(x) = x kaikilla x X ja (f g)(y) = y kaikilla y Y. Käänteisfunktiota merkitään f 1. Lause Funktiolla f : X Y on olemassa käänteisfunktio täsmälleen silloin kun f on bijektio eli 1 f on injektio: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) 2 f on surjektio: f (X ) = Y Todistuksen idea: Määritellään g : Y X asettamalla g ( f (x) ) = x (jotta tämä on järkevää on f :n oltava bijektio). Tällöin g = f 1. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

9 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (x) = 3x + π. Nyt y = f (x) = 3x + π x = 1 (y π). 3 ( ) Yhtälöstä ( ) voidaan päätellä, että f : R R on bijektio: 1 f on injektio sillä f (x 1 ) = f (x 2 ) = 3x 1 + π = 3x 2 + π = x 1 = x 2 ; 2 f on surjektio sillä jokaisella y R löytyy x R, jolle f (x) = y (valitaan x = 1 (y π)). 3 Yhtälöstä ( ) voidaan myös nähdä että funktion f käänteiskuvaus f 1 : R R on f 1 (y) = 1 (y π). 3 Siis f 1 (f (x)) = x ja f (f 1 (y)) = y kaikilla x, y R. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

10 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (x) = x 2. Onko funktiolla f käänteisfunktiota? Kysymys on epätarkka. Jos määritysalue M f = R niin ei ole koska f ei tällöin ole injektio (f (x) = f ( x)). Jos määritysalue on esim. M f = [0, [, niin f on injektio, jonka kuvajoukko on [0, [. Käänteisfunktion g määrääminen: Merkitään y = f (x), jolloin x = g(y). Yhtälöstä y = x 2 saadaan x = y, joten g(y) = y. Käänteisfunktio on siis f 1 : [0, [ [0, [, f 1 (y) = y. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

11 Monotoniset funktiot Olkoon M R jokin reaalilukuväli ja f : M R. Funktio f on 1 kasvava jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 2 vähenevä jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 3 aidosti kasvava jos f (x 1 ) < f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 4 aidosti vähenevä jos f (x 1 ) > f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 5 monotoninen jos se on kasvava tai vähenevä 6 aidosti monotoninen jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

12 Tehtävä Keksi esimerkit seuraavanlaisista funktioista mikäli mahdollista. 1 Aidosti vähenevä. 2 Aidosti vähenevä muttei vähenevä. 3 Kasvava muttei aidosti kasvava. 4 Sekä kasvava että vähenevä. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

13 Aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio Lause Olkoon M R väli ja f : M R aidosti monotoninen. Tällöin f on injektio ja erityisesti f : M f (M) on bijektio. Funktion f käänteiskuvaus f 1 : f (M) M on aidosti kasvava jos f on aidosti kasvava ja f 1 on aidosti vähenevä jos f on aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

14 Todistus: f on injektio Todistus Oletetaan että f on aidosti kasvava (tapaus missä f on aidosti vähenevä on vastaava). Jos x 1, x 2 M ja x 1 x 2, niin joko x 1 < x 2 tai x 1 > x 2. Koska f on aidosti kasvava, niin ensimmäisessä tapauksessa f (x 1 ) < f (x 2 ) ja toisessa f (x 1 ) > f (x 2 ). Joka tapauksessa f (x 1 ) f (x 2 ), joten f on injektio. Täten f : M f (M) on bijektio ja sillä on käänteisfunktio f 1 : f (M) M. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1

15 Todistus: f 1 on aidosti kasvava Todistus jatkuu Osoitetaan vielä että f 1 on aidosti kasvava. Tehdään vastaoletus että näin ei ole. Tällöin on olemassa sellaiset y 1, y 2 f (M) että y 1 < y 2 mutta f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ). Nyt y 1 = f (x 1 ) ja y 2 = f (x 2 ) joillain x 1, x 2 M. Siis x 1 = f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) = x 2. Siis x 1 x 2 mutta f (x 1 ) < f (x 2 ) mikä on ristiriita sen kanssa että f on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 9. syyskuuta / 1