7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit muodostettess luoolliste luuje jouo N={, 2, 3,...} o lähtöoht, j se lioide luumäärä o ilmeise ymmärrettävästi ääretö. Joist jouo, joss o yhtä mot liot ui luoollisiss luvuiss, sot umeroituvsi. Kii jouot eivät uite ole umeroituvi, ute reliluuje jouo R esimeriä osoitt. Tällisi jouoj sot yliumeroituvisi. Joo (sequece) o tässä yhteydessä i päättymätö, ääretö joo. Sm termiä äytetää suomeielessä myös äärellisestä joost (esim. hvil joo), eglisi queue, mutt siyhteydestä yleesä ilmeee, ump troitet. Seurvss ertmme j täydeämme reliluujooje teori, jot urssiss Lj mtemtii jo oli esillä. Joo oostuu luvuist x, x 2,,x,..., joss joist idesiä vst ysi joo luu. Mtemttisesti jtelle yseessä o siis futio luoollisilt luvuilt reliluuje jouoo: Reliluujoo o futio N R. Jos siis joist luoollist luu ohti setet vstm reliluu x, sytyy luujoo eli lyhyesti (x ). x, x 2,..., x,...
2 Tässä mielessä jooss o siis i ääretö määrä termejä x (joisell :llä ysi). Toislt jooll ei trvitse oll ääretötä määrää rvoj x, esimerisi viojooll x = c, =,2, o vi ysi rvo, c. Siis joo (x ) j se rvojouo {x : N} ovt eri sioit. Jooj äytetää usei iteroitimeetelmissä, joiss joti ogelm rtist toistuvsti ii, että tulose o yhä tretuv pprosimoivie rtisuje joo. Tällöi ihetpusess joo rvot lähestyvät hettu ogelm rtisu, u eli iteroitie luumäärää sv. Tämä jttelu perustuu joo rj-rvo äsitteesee. Rj-rvo o rvo, jot yleesä ei tr svutet, v sitä lähestytää yhä lähemmäsi j lähemmäsi : svess rjttom suuresi. Trvittv "läheisyyde" äsite void muotoill täsmällisee suu seurvsti: Oloo x R j ε >0. Avoit väliä ( x - ε, x +ε) utsut luvu x ympäristösi ti ε- ympäristösi, j meritää U(x;ε). Luujoo ( x ) suppeee j se rj-rvo o = x, jos joist x: ympäristöä U(x;ε) vst luu ε N site, että x U(x;ε), u > ε. Luujoo ( x ) siis suppeee, jos joist positiiviluu ε ohti o olemss luu ε N site, että x - x < ε, u > ε. Tällöi meritää lim x = x ti ysiertisesti x x. All o uvttu si tpust luujoost ( ), jo suppeee ohti rjrvo L. V-seli o idesiseli, joss idesi ulee, 2, 3,... j pystyselill ovt vstvt joo rvot.
3 Ku joo suppeee ohti rj-rvo x, ii joo termit ovt hlutu lähellä (ε-tolerssill mitte) rj-rvo, uh idesi o riittävä suuri (> ε ). Jos termit hlut lähemmäsi (ε-luu pieeetää), riittää meä jooss trvittv mot termiä eteepäi eli svtt idesiä. Oheisess uvss joo ( ) rj-rvo o L, j termie rvot ovt y- selill. Puiset pisteet ovt pisteitä (, ). Jos luujoo ei suppee, se hjtuu. Hjtumie voi oll meo ohti ääretötä (meritää myös x ti x -) ti sitte termit voivt "pouoill" hde ti usemm rvo välillä ti äyttäytyä vielä epäsääöllisemmi.
4 Esim. Joo =r suppeee täsmällee silloi, u -<r. Teht. Osoit, että viojoo ( x ), missä x = c = vio iill rvoill N, suppeee.
5 Teht. 2 Osoit (määritelmä perusteell), että lim ( /) = 0. Teht. 3 Osoit (määritelmää ojutue), että lim 3 + 4 4 + 5 = 3. 4 Suppeev joo termit "htutuvt" jooss pitemmälle metäessä: Luse. Jos joo ( x ) suppeee, ii joist positiiviluu ε ohti o olemss luu ε N site, että > ε x+ p x < ε p N. Tod.: Jos x=lim x, ii olmioepäyhtälö perusteell x +p -x x +p -x + x -x <ε/2+ε/2=ε, u riittävä suuri j p N. Miää luujoo ei voi supet ht ti usemp rj-rvo ohti: Luse 2. Luujoo rj-rvo o ysiäsitteie. Tod.: Jos x j y ovt joo (x ) rj-rvoj, ii x-y = x-x +x -y x-x + y-x 0, u.
6 Teht. 4 Osoit, että joo 0,,0,,0,,0,, hjtuu. Teht. 5 Osoit, että joo 0,,2,3,4,5,6,7, hjtuu. Reliluujoo ( x ) o rjoitettu, jos o olemss vio M site, että x M N. Luse 3. Suppeev luujoo o rjoitettu. Tod.: Jos x=lim x, ii x x -x + x <+ x =:M, u >.
7 Epäyhtälöt "säilyvät rjll": Luse 4. Oloo x M N j lim x = x. Silloi x M. Tod.: Oloo ε>0. Silloi o olemss sellie ε, että x -x <ε, u > ε. Siis x = x-x +x x-x +x <ε+x ε+m. Kos tämä pätee mielivltiselle ε>0, o x M. Rj-rvoje lsess void äyttää seurvi yhteelsu, ertolsu, violl ertomise j jolsu säätöjä: Luse 5. Oloot ( x ) j ( y ) suppeevi reliluujooj, joide rj-rvot ovt vstvsti x j y. Silloi ) lim ( x+ y) = x + y = lim x +lim y b) lim ( x y ) = x y = lim x lim y c) lim ( cx ) = c x = c lim x c R x d) lim y = x y = lim x lim y, edellyttäe että y 0 N j että y 0. Tod.: ) Oloo ε>0. Silloi o olemss j 2 site, että x -x <ε/2 j y -y <ε/2, u > j > 2. Siis (x +y )-(x+y) = (x -x)+(y -y) x -x + y -y < ε/2+ε/2=ε, u >mx{, 2 }.
8 Muut ohdt meevät vstvsti (s. Lm ). Erittäi hyödyllie rj-rvoje lsess o myös oheie "uristusperite": Jos joot ( ) j (c ) suppeevt ohti sm rj-rvo L j o voimss epäyhtälö b c, ii myös joo (b ) suppee ohti rj-rvo L. Esim. 2 lim ( 2/) = 2 lim (/) = 2 0 = 0. Esim. 3 lim 3 + 4 4 + 5 = 3+ 4/ lim 4 + 5/ = lim(3+ 4/ ) lim(4 + 5/ ) = 3 4 Esim. 4 lim 2 2 + 7+ 3 3 2 5 2 + 2 = lim 2 3 2/ + 7/ + 3/ 5 2/ + 2/ / 2 3 = 0.
9 2 2 Esim. 5 lim ( + 2 + ) = 2 2 2 2 ( + 2 + )( + 2+ + ) lim 2 2 + 2+ + =lim + 2+ + = 0. 2 2 Käytäö lset tehdää i lopult rtioliluvuill. Näi sd uitei miä hyväsä reliluu esitettyä mielivltise trsti pprosimoitu: Luse 6. Oloo x R. Silloi o olemss rtioliluujoo, jo suppeee ohti pistettä x. Tod.: Otet i väliltä (x-/, x+/) joi rtioliluu x. Se o mhdollist, os joisell voimell välillä o i (jop ääretö määrä) rtioliluu(j). (Tämä vtii om todistuses, joss joudut äyttämää reliluuje perusomiisuusi. Trvit sitä, että joisell epätyhjällä reliluujouoll o supremum, j Arhimedee lusett, jo mu joiselle reliluvulle löytyy sitä suurempi ooisluu. Käsitellää urssill Mtemttie lyysi.)
0 Jos joost poimit eteepäi metäessä vi os termeistä, mutt uitei äärettömä mot, sd osjoo. Tällöi siis ideseistä poimit svvss järjestysessä os, tsepäi ei s meä. Esim. 6 Jooll (0,,0,,0,,0,, ) o esimerisi osjoot (0,0,0,0,0, ) j (,,,,, ). Mitä muit osjooj sillä o? Esim.7 Joo (,2,4,3,5,6, ) ei ole joo (,2,3,4,5,6, ) osjoo, os lioide järjestys ei ole sm. Luse 7. Oloo (x ) joo, jo suppeee ohti reliluu x. Silloi joie joo (x ) osjoo suppeee myös ohti luu x. Tod.: Oloo ( x ) osjoo j ε>0. O siis olemss 0 site, että x -x < ε, u > 0. O olemss 0 site,että u > 0, ii > 0. Silloi > 0. x x <ε, u Esim. 8 Esimeri 5: osjooill (0,0,0,0,0, ) j (,,,,, ) o eri rj-rvot: 0 j, jote joo (0,,0,,0,,0,, ) o hjtuv.
Reliluujoo ( x ) o svv ( vstvsti, idosti svv ), jos x x + (vstvsti x < x + ) N. Reliluujoo ( x ) o väheevä ( vstvsti, idosti väheevä), jos x x (vstvsti + x > x ) + N. Reliluujoo ( x ) o mootoie, jos se o svv ti väheevä. Jos svv joo o ylhäältä rjoitettu, se ei voi rt äärettömyytee, j ylärj ee se rvot väisi putuvt yhtee, os edestie osilloiti estyy mootoisuude ti. Vstv pätee lhlt rjoitetulle väheevälle joolle. Luse 8. Rjoitettu mootoie reliluujoo suppeee. Tod.: Hrj.teht. Edellä riittää svv joo tpusess selvittää joo ylhäältä rjoitetusi, os svv joo o utomttisesti lhlt rjoitettu. Vstv pätee väheevälle joolle.
2 Usei void luujoo suppeemistrstelu muut vstv relifutio rj-rvo tutimisesi: Luse 9. Joo ( ) suppeee ohti rj-rvo L, jos lim f ( x) = L, x missä f() =. Tämä mhdollist esimerisi L Hospitli sääö äytö myös luujooje rj-rvoj lsettess.
3 Srjt Srj o "summ, joss o äärettömä mot yhteelsettv". Täsmällisempi määritelmä o seurv: Trstell luujoo ( ), =,...,. Liitetää siihe toie luujoo (S ), =,..., seurvsti: S =, S 2 = + 2,..., S = +...+. Srj muodostuu silloi äistä hdest joost. Srj :s termi o j srj :s ossumm o S. Srj meritää + 2 + 3 +... ti. Tällöi siis :s ossumm o S =. Srj suppeemie määritellää ossummie joo suppeemise vull: Srj suppeee j se summ o S, jos ossummie joo (S ) suppeee j lim S = S. Silloi meritää = S. (Siis meritä voi troitt ht si, srj siäsä j toislt suppeev srj tpusess srj summ. Yhteydestä ilmeee, ump troitet.)
4 Jos srj ei suppee, se hjtuu. Erityisesti jos lim S = ti lim S =, ii sot, että srj hjtuu ohti (plus ti miius) ääretötä. Tällöi void myös meritä = ti =. Esim. 9 Geometrie srj 0 2 3 = + + + + q q q q 2 q S = + q+ q + q =, u q. q S =, u q=. Siis geometrie srj suppeee täsmällee silloi, u q <. Silloi q =. q 0 Srj suppeemiselle o välttämätötä, että yleie termi lähestyy oll: Luse 0 Jos srj suppeee, ii lim = 0. Tod.: = S S S S = 0.
5 Kääteie tulos ei päde. Eli siitä, että yleie termi lähestyy oll ei välttämättä seur, että srj suppeisi. Tämä äyttää seurv vstesimeri: Esim. 0 ; = 0 S = + 2 + 3 + > + + + = =. Mutt tulost void äyttää hjtumistestiä: Jos 0, ii srj hjtuu. Kos srj suppeemie o määritelty ossummie joo rj-rvo, eivät lupää termit viut li srj suppeemisee (summ rvoo ylläi). Toisi soe, srj void liittää, viht toisisi ti siitä poist äärellise mot termiä ilm, että srj suppeemie muuttuu hjtumisesi ti hjtumie suppeemisesi. Erityisesti jos suppeee, ii myös ii srj :s jääöstermi o R = + + täsmällee silloi, u jääöstermit ovt äärellisiä j lim R = 0. suppeee. Jos =S, =S-S. Srj o suppeev
6 Luse Jos suppeev srj termit yhdistetää ryhmisi (järjestystä muuttmtt) j jo ryhmässä termit lset yhtee, ii stu srj suppeee j sillä o sm summ ui luperäisellä srjll. Tod.: + 2+ 3+ = S ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) + + 2 2+ 3 = S + ( S S ) + ( S S ) + 2 3 2 Tämä srj :s ossumm s = S S, u, os se o luperäise srj ossummie osjoo. Tulos ei päde äätäe. Jos srjst sd termejä ryhmittelemällä suppeev srj, ii siitä ei välttämättä seur, että luperäie srj suppeisi. Esimeriä srj -+-+-+..., jo ei suppee, vi (-)+(-)+(-)+... suppeee. Seurvt luseet ovt välittömiä seurusi luujooje vstvist tulosist: Luse 2 Jos srjt j b ovt vstvsti A j B, ii summsrj ovt suppeevi j iide summt ( + b) o suppeev j ( + b ) =A+B. Jos c R, ii srj ( c ) o suppeev j ( c ) =ca.
7 Luse 3 Jos srj summsrj ( + b) hjtuu. suppeee j srj b hjtuu, ii Todettoo vielä, että hde hjtuv srj summ voi oll suppeev ti hjtuv. Positiivitermiset srjt Srj sot positiivitermisesi, jos 0,. Silloi ossummie joo o mootoisesti svv: S S+,, jote se suppeee täsmällee silloi, u se o ylhäältä rjoitettu: Luse 4 Positiivitermie srj suppeee, jos j vi jos o olemss M>0 site, että ossummie joolle pätee S M,. Jos ossummie joo ei ole ylhäältä rjoitettu, ii S, u. Positiivitermie srj siis joo suppeee ohti äärellistä summ S 0 ti hjtuu ohti ääretötä.
8 Seurvss esitetää positiivitermiste srjoje suppeemistestejä. Srjt j b ovt luseiss 5-22 siis positiivitermisiä. Luse 5 (Vertilutesti: mjorttiperite) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss b suppeee,ii myös suppeee. b, j Luse 6 (Vertilutesti: miorttiperite) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss b, j ii myös hjtuu. b hjtuu, Luse 7 (Vertilutesti limesmuoto) Jos rj-rvo lim = m o olemss j m 0,, ii srjt b b joo molemmt suppeevt ti molemmt hjtuvt. j
9 Luse 8 (Juuritesti) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss 0 < r, missä r o vio,0 < r <, ii suppeee. Jos eräästä idesistä 0 le o voimss, ii srj hjtuu. Luse 9 (Juuritesti limesmuoto) Jos lim Jos lim = r>, ii = r o olemss j 0 r <, ii hjtuu. suppeee. Luse 20 (Suhdetesti) Jos eräästä idesistä 0 le o voimss 0 < q, missä q o vio,0 < q <, ii suppeee. Jos eräästä idesistä 0 le o voimss, ii srj hjtuu. + + Luse 2 (Suhdetesti limesmuoto) Jos lim = q o olemss j 0 q <, ii + Jos lim = q >, ii hjtuu. + suppeee.
20 Luse 22 (Itegrlitesti) Jos o olemss sellie välillä [0,) jtuv positiivie väheevä futio f, että = f( ), =,2,, ii suppeee täsmällee silloi u f ( xdx ) suppeee. (Luseet todistet hiem tuoemp.) Esim. Srj (p-srj) p suppeee, jos p > j hjtuu, jos p. Tämä ähdää itegrlitestillä, os silloi, u p >. x p dx suppeee täsmällee Tämä p-srj o ysi täreimpiä vertilusrjoj. Tpusess p= yseessä o hjtuv srj, ii sottu hrmoie srj. Ku p >, p-srj sot myös ylihrmoisesi srjsi. Esim. 2 Tutit, suppeeeo srj. 3 = 2 Kos suurill : rvoill srj termit ovt liimi = 3 3/2 j 3/2>, äyttää ilmeiseltä, että srj olisi suppeev. Tämä void osoitt trsti vertilutestillä. = < = 2 = 2 3 3 3 3 3 3/2 ½ + ½ ½.
2 Srj 2 suppeee, os se o vio ert suppeev p-srj, p=3/2<. 3/2 = 2 Siis mjorttiperittee mu tutittv srj o suppeev. Sm tulosee päästää myös limesmuotoisell vertilutestillä: 3 3/2 lim = lim = lim =. 3 3/2 3 (Vertilusrj esittii lustvss trsteluss, u tutittii termi luseett suurill.) Tehtäviä Tuti, suppeeeo srj, u = 6) 2 + 2 7) e 8) 4 l (2,3,...) (3 ) 9) 3/2 0) + l ) 3 2)! 3) 0 2/3 e 4) (l ) (2,3,...) 5) 3 + 2.
22 Luseide 5-22 todistuset: Kos lupää termit eivät viut srj suppeemisee, voimme luseiss 5, 6, 8, j 9 olett, että 0 =. Jos b = B<j b, ii S = b B<. Siis Luse 5 o todistettu. Nii o myös luse 6, os se o loogisesti evivletti lusee 5 ss. Jos lim = m 0,, ii eräästä idesistä le m/2 2m. b b Siis m/ 2b 2mb, u. Tästä seur lusee 7 tulos mjortti- j miorttiperittee ojll. Jos 0 r, missä violle r pätee 0 r <, ii r,. Siis suppeev geometrie srj o mjortti, jote suppeee. Jos ts, ii,, jolloi lim 0 j srj hjtuu. Tästä seur luse 8. Jos 0 +, missä q o vio, 0 q <,ii q q( q ) q. + Siis srjll o suppeev mjorttisrj vio ert geometrie srj, jote srj suppeee. Luse 20 o äi todistettu. Luseet 9 j 2 seurvt luseist 8 j 20, os iide oletuset ovt silloi voimss eräästä idesistä le.
23 Jäljellä o vielä luse 22. Jos = f( ), j f :[, ) R o jtuv positiivie väheevä futio, ii + f ( + ) f( x) dx f( ),. (Ks. oheie uvio, suorulmioide t o i, jote l o oreus eli futio rvo.) Yhtee lsemll sd Tästä ähdää, että + 2 f( x) dx,. lim f ( xdx ) o äärellie ti ääretö se mu, oo srj suppeev vi hjtuv.
24 Positiiviste srjoje lopusi miittoo, että positiivitermisessä srjss s termie järjestystä muutt ilm, että tämä viutt srj suppeemisee ti summ. (Hl todist, sivuutet.) Vuorottelevt srjt Srj, jo termit ovt vuorotelle positiivisi ti egtiivisi, sot vuorottelevsi eli lteroivsi. Jtoss oletmme, että esimmäie termi o i positiivie (tähä päästää trvittess ertomll srj (-):llä). Merivihtelu ilmist (-): potessei: prillie potessi t ertoimesi + j prito -. Vuorottelev srj yleie muoto o siis: () ( ) = 2+ 3 4+, missä > 0,. Luse 23 (Leibizi luse) Jos vuorottelev srj () termie itseisrvot muodostvt mootoisesti väheevä ohti oll lähestyvä joo: & lim = 0, 2 3 ii srj suppeee. Lisäsi jos joo o idosti mootoie j srj tist termi ( ) jälee, ii jääöstermi R o smmerie ui esimmäie poisjätetty termi (eli meri o ( ) ) j itseisrvolt sitä pieempi: R < +. (Todistus urssill Mtemttie lyysi.)
25 Itseie suppeemie Srj o itseisesti suppeev (bsoluuttisesti suppeev), jos termie itseisrvoist muodostettu srj suppeee. Luse 24 Itseisesti suppeev srj o suppeev. (Todistus urssill Mtemttie lyysi.) Joie suppeev srj ei uite ole itseisesti suppeev, ute srj ( ) esimeriä osoitt. Jos srj suppeee, mutt ei itseisesti, ii srj sot ehdollisesti suppeevsi. Void osoitt, että itseisesti suppeevss srjss sd termie järjestystä muutt j silti srj pysyy itseisesti suppeev j summ sm. Se sij ehdollisesti suppeev srj termie järjestystä muutettess suppeemisomiisuudet j summ voivt muuttu. Ehdollisesti suppeev srj termit void järjestää jop ii, että uude srj summ o miä hyväsä hluttu rvo, ti myös ii, että uusi srj hjtuu.
26 Srjoje tulo Khde srj ertosääöllä: j b tulo määritellää Cuchy ( )( b ) = c, missä c = b + 2b + + b. Osoittutuu, että riittävää tulosrj suppeemiselle o, että molemmt tulo teijää olevt srjt suppeevt j ii toie iistä itseisesti: Luse 25 Jos () (b) (c) suppeee itseisesti, = A j b =B, ii silloi srj c =AB. c suppeee j (Todistus sivuutet.) Itseise suppeemise vtimusest ei void luopu, ute seurv esimeri osoitt:
27 Esim. 3 Srj = ( ) o Leibizi lusee mu 0 0 + suppeev, mutt itseisrvoist muodostettu srj o p-srj, p=½, eli hjtuu. Srj o siis ehdollisesti suppeev. Jos se errot itsesä ss, sd ( )( ) = 0 0 ( + ) + ( + + ) ( + + + ) +. 2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 Yleie termi tuloss o siis c = ( ). ( + )( + ) 0 Arvioimll resti ( + )( + ) = (( 2+ ) + ( 2 ))(( 2+ ) ( 2 )) 2 2 2 = ( 2+ ) ( 2 ) ( 2+ ) sd c 2 2( + ) =, + 2 + 2 0 jote c 0, u. Siis tulosrj hjtuu. Tehtäviä Tuti vuorottelev srj ( ) itseistä suppeemist, u = suppeemist j 6) 5 4 7)! 3 8) 2 + 3 ( + ) 9) 4 ( + 2).