Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Transkriptio

1 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen

2 Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain reaalilukuvälillä) jos sen kuvaaja on katkeamaton käyrä. Tarkoituksena on esittää tämä asia puhtaan aksiomaattisesti. Asetamme ensin seuraavan

3 Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain reaalilukuvälillä) jos sen kuvaaja on katkeamaton käyrä. Tarkoituksena on esittää tämä asia puhtaan aksiomaattisesti. Asetamme ensin seuraavan Määritelmä (Funktion raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty jossain pisteen x 0 ympäristössä (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x0 f (x) = L, jos ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun 0 < x x 0 < δ.

4 Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain reaalilukuvälillä) jos sen kuvaaja on katkeamaton käyrä. Tarkoituksena on esittää tämä asia puhtaan aksiomaattisesti. Asetamme ensin seuraavan Määritelmä (Funktion raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty jossain pisteen x 0 ympäristössä (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x0 f (x) = L, jos ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun 0 < x x 0 < δ. Funktion raja-arvon löytäminen on helpompaa kuin asian todistaminen ɛδ tekniikalla. Esimerkki. [Yksityiskohdat liitutaululla] Todistetaan, että lim x 1 f (x) = 4 kun f (x) = x 2 + 2x + 1.

5 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K.

6 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }.

7 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L

8 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L K f (x) + f (x) L =

9 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L K f (x) + f (x) L = f (x) K + f (x) L < 2ɛ.

10 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L K f (x) + f (x) L = f (x) K + f (x) L < 2ɛ. Koska ɛ saa olla kuinka pieni positiivinen luku tahansa, merkitsee tämä, että pitää olla K = L. M.O.T.

11 Teoreema (Raja arvon laskusääntöjä) Jos lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 g(x) = K, niin lim x x0 (f + g)(x) = L + K, lim x x0 (f g)(x) = L K, lim x x0 (fg)(x) = LK, lim x x0 f g (x) = L K kun K 0. Todistus Todistetaan malliksi kaava lim x x0 (f + g)(x) = L + K liitutaululla. Loput harjoitustehtävänä.

12 Teoreema (Raja arvon laskusääntöjä) Jos lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 g(x) = K, niin lim x x0 (f + g)(x) = L + K, lim x x0 (f g)(x) = L K, lim x x0 (fg)(x) = LK, lim x x0 f g (x) = L K kun K 0. Todistus Todistetaan malliksi kaava lim x x0 (f + g)(x) = L + K liitutaululla. Loput harjoitustehtävänä. Voidaan helposti todistaa, että vakiofunktiolle f (x) = c on lim x x0 f (x) = c ja funktiolle f (x) = x on lim x x0 f (x) = x 0, ja edelleen tämän nojalla lim x x0 x n = x0 n. Lasketaan tämän perusteella liitutaululla lim x 2 9 x 2 x+1.

13 Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole määritelty missään pisteen x = 0 ympäristössä [ a, a], a > 0, joten raja arvoa lim x o (f )(x) ei voi olla olemassa.

14 Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole määritelty missään pisteen x = 0 ympäristössä [ a, a], a > 0, joten raja arvoa lim x o (f )(x) ei voi olla olemassa. Kuitenkin pätee, että kiinnittämällä positiivinen ɛ, kun 0 < x 0 < δ = ɛ 2, on f (x) = 2x sin x 0 < 2 ɛ 2 sin ɛ 2 < ɛ (mutta ei päde 0 < x 0 < δ.) Tämä johtaa seuraavaan

15 Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole määritelty missään pisteen x = 0 ympäristössä [ a, a], a > 0, joten raja arvoa lim x o (f )(x) ei voi olla olemassa. Kuitenkin pätee, että kiinnittämällä positiivinen ɛ, kun 0 < x 0 < δ = ɛ 2, on f (x) = 2x sin x 0 < 2 ɛ 2 sin ɛ 2 < ɛ (mutta ei päde 0 < x 0 < δ.) Tämä johtaa seuraavaan Määritelmä (Funktion oikeanpuoleinen raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (x 0, a) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion oikeanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x + f (x) = L, jos 0 ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun x 0 < x < x 0 + δ. Samoin asetetaan vasemmanpuoleisen raja arvon määritelmä

16 Määritelmä (Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (a, x 0 ) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x f (x) = L, jos 0 ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun x 0 δ < x < x 0.

17 Määritelmä (Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (a, x 0 ) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x f (x) = L, jos 0 ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun x 0 δ < x < x 0. Oikean- ja vasemmanpuoleisille raja arvoille on voimassa samat laskusäännöt kuin raja arvoillekin. Esimerkiksi kun f (x) = x x, jota ei ole määritelty kun x = 0, on f (x) = 1 ja lim x x + f (x) = 1, sillä 0 lim x x 0 f (x) = { 1 kun x < 0 1 kun x > 0

18 Funktiolla voi olla jossain pisteessä vain oikean tai vasemmanpuoleinen raja arvo, mutta ei molempia (eikä siis myöskään raja arvoa), kuten seuraava liitutaululla laskettava esimerkki osoittaa. Tässä(kin) esimerkissä tulee esille funktion raja arvon määritelmän intuitiivinen idea: mitä lähempänä x on pistettä x 0, sitä lähempänä funktion arvo f (x) on arvoa L. Esimerkki. Määritellään f (x) = x+ x (1+x) x sin 1 x, kun x 0. Silloin lim x x 0 olemassa. f (x) = 0, mutta raja arvoa lim x x + 0 f (x) ei ole

19 Funktiolla voi olla jossain pisteessä vain oikean tai vasemmanpuoleinen raja arvo, mutta ei molempia (eikä siis myöskään raja arvoa), kuten seuraava liitutaululla laskettava esimerkki osoittaa. Tässä(kin) esimerkissä tulee esille funktion raja arvon määritelmän intuitiivinen idea: mitä lähempänä x on pistettä x 0, sitä lähempänä funktion arvo f (x) on arvoa L. Esimerkki. Määritellään f (x) = x+ x (1+x) x sin 1 x, kun x 0. Silloin lim x x 0 olemassa. f (x) = 0, mutta raja arvoa lim x x + 0 f (x) ei ole Seuraavan sivun Maplella tehty kuvaaja selventää funktion sin 1 x käyttäytymistä nollan läheisyydessä.

20

21 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ).

22 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 Voidaan todistaa seuraava tulos f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ). Teoreema Funktiolla f (x) on raja arvo lim x x0 f (x) = L täsmälleen silloin, kun f (x 0 ) = f (x + 0 ) = L.

23 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 Voidaan todistaa seuraava tulos f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ). Teoreema Funktiolla f (x) on raja arvo lim x x0 f (x) = L täsmälleen silloin, kun f (x 0 ) = f (x + 0 ) = L. Laajennetaan raja arvon käsitettä tilanteisiin x ±. Tutustutaan kuitenkin ensin käsitteeseen ääretön.

24 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 Voidaan todistaa seuraava tulos f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ). Teoreema Funktiolla f (x) on raja arvo lim x x0 f (x) = L täsmälleen silloin, kun f (x 0 ) = f (x + 0 ) = L. Laajennetaan raja arvon käsitettä tilanteisiin x ±. Tutustutaan kuitenkin ensin käsitteeseen ääretön. Määritelmä (lim x f (x)) Funktio f (x), joka on määritelty kaikilla reaaliarvoilla > a, a R lähestyy rajatta arvoa L R jos aina, kun ɛ > 0, on sellainen arvo β, että f (x) L < ɛ kun x > β. Merkitään lim x f (x) = L.

25 Kontinuumihypoteesi Kontinuumihypoteesi on Georg Cantorin esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli mahtavuuden käsitteen vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että kokonaislukujen joukon mahtavuus on pienempi kuin reaalilukujen. Kontinuumihypoteesi on seuraava väite: Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon. Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään (luetaan alef-nolla) ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään (reaalilukujen joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon potenssijoukon). Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa: Ei ole olemassa joukkoa S, siten että. Tämä väite on yhtäpitävä väitteen kanssa. Todistumattomuus Georg Cantor uskoi kontinuumihypoteesin pitävän paikkaansa, minkä takia hän yritti todistaa sitä monen vuoden ajan mutta tuloksetta. David Hilbert otti otaksuman ensimmäiseksi listaansa avoimista ongelmista, jotka hän esitti kansainvälisissä matemaattisessa kongressissa Pariisissa vuonna Kurt Gödel osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesiä ei voida todistaa vääräksi Zermelon Frankelin aksiomaattisessa joukko-opissa vaikka mukaan liitettäisiin valinta-aksiooma. Paul Cohen osoitti vuonna 1963 että kontinuumihypoteesiä ei myöskään voida todistaa oikeaksi Zermelon Fraenkelin joukko-opissa. Siten kontinuumihypoteesi on riippumaton valinta-aksioomalla laajennetusta Zermelon Fraenkelin joukko-opista. Molemmat tulokset olettavat Zermelon Frankelin aksioomien olevan ristiriidattomia. Aksioomien ristiriidattomuuden uskotaan yleisesti pitävän paikkaansa. Hypoteesin riippumattomuuden perusteella monien muiden otaksumien on myös osoitettu olevan riippumattomia aksiomisysteemistä. Lähteet Gödel, Kurt: 'The Consistency of the Continuum-Hypothesis' Princeton University Press 1940 McGough, Nancy: Continuum Hypothesis

26 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L.

27 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1 x 2.

28 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1 x 2. Todistus. Valitaan ɛ > 0.

29 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1. Todistus. x 2 Valitaan ɛ > 0. Koska f (x) 1 = 1 < ɛ, kun x > 1 x 2 ɛ, on väite tosi.

30 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1. Todistus. x 2 Valitaan ɛ > 0. Koska f (x) 1 = 1 < ɛ, kun x > 1 x 2 ɛ, on väite tosi. Vastaavasti lim x g(x) = 2, kun g(x) = 2 x 1+x, mutta raja arvoa lim x sin(x) ei ole olemassa (äärettömänäkään).

31 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1. Todistus. x 2 Valitaan ɛ > 0. Koska f (x) 1 = 1 < ɛ, kun x > 1 x 2 ɛ, on väite tosi. Vastaavasti lim x g(x) = 2, kun g(x) = 2 x 1+x, mutta raja arvoa lim x sin(x) ei ole olemassa (äärettömänäkään). Laajennetaan vielä raja arvon käsitettä. Määritelmä (lim x x f (x) = ± ) 0 Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (a, x 0 ) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on, jota merkitään lim x x f (x) =, jos 0 M > 0 δ > 0 siten, että f (x) > M, kun x 0 δ < x < x 0.

32 Emme esitä tässä kaikkia mahdollisia raja arvojen määritelmiä, mutta katsotaan niitä liitutaululla laskettavien esimerkkien avulla.

33 Emme esitä tässä kaikkia mahdollisia raja arvojen määritelmiä, mutta katsotaan niitä liitutaululla laskettavien esimerkkien avulla. (a) lim 1 x 0 + x =, (b) lim x 0 1 =, x 2 (c) lim x sinh(x) =, (d) lim x e 2x e x =, 2x (e) lim 2 x+1 x 3x 2 2x 1 = 2 3.

34 Emme esitä tässä kaikkia mahdollisia raja arvojen määritelmiä, mutta katsotaan niitä liitutaululla laskettavien esimerkkien avulla. (a) lim 1 x 0 + x =, (b) lim x 0 1 =, x 2 (c) lim x sinh(x) =, (d) lim x e 2x e x =, 2x (e) lim 2 x+1 x 3x 2 2x 1 = 2 3. Määritelmä Jollain välillä I määritelty funktio f (x) on kasvava välillä I, jos ehdosta x 0 < x 1 seuraa ehto f (x 0 ) f (x 1 ). Jos erityisesti ehdosta x 0 < x 1 seuraa ehto f (x 0 ) < f (x 1 ), sanotaan funktiota f aidosti kasvavaksi. Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio. Funktio, joka on koko välillä I vähenevä tai kasvava (mutta ei aidosti molempia), on monotoninen funktio.

35

36 Monotonisten funktioiden, raja arvojen ja infimumin ja supremumin välillä on seuraava yhteys, jonka todistus sivuutetaan: Teoreema Jos funktio f (x) on avoimella välillä (a, b) kasvava ja α = inf a<x<b f (x) ja β = sup a<x<b f (x), niin f (a + ) = α ja f (b ) = β. Jos lisäksi a < x 0 < b, niin toispuoleiset raja arvot f (x0 ) ja f (x 0 + ) ovat äärellisinä olemassa ja f (x 0 ) f (x 0) f (x + 0 ). Vastaavat tulokset pätevät avoimella välillä (a, b) väheneville funktiolle.

37 Monotonisten funktioiden, raja arvojen ja infimumin ja supremumin välillä on seuraava yhteys, jonka todistus sivuutetaan: Teoreema Jos funktio f (x) on avoimella välillä (a, b) kasvava ja α = inf a<x<b f (x) ja β = sup a<x<b f (x), niin f (a + ) = α ja f (b ) = β. Jos lisäksi a < x 0 < b, niin toispuoleiset raja arvot f (x0 ) ja f (x 0 + ) ovat äärellisinä olemassa ja f (x 0 ) f (x 0) f (x + 0 ). Vastaavat tulokset pätevät avoimella välillä (a, b) väheneville funktiolle. Funktion monotonisuuden voi todeta derivaatan avulla.