2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

Transkriptio

1 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä s. porrssumm o 1 S h f( ), 0 missä joie termi esittää geometrisesti pit-l A hf( ). Leveys h o positiivie, jote A 0, jos f ( ) o positiivie A 0, jos f ( ) o egtiivie

2 38 Porrssumm pprosimoi välillä [, ] äyrä y f ( ) j -seli välistä pit-l site, että seli yläpuolie l lset positiivise j lpuolie egtiivise. Approsimtio o sitä trempi mitä tiheämpi jo o, ts. mitä suurempi o. Jo tihetyessä ( ) porrssumm lähestyy rjrvo, jot sot futio f ( ) määrätysi itegrlisi välillä [ :, ] 1 f( ) d lim h f( ). (.1) 0 Geometrisesti määrätty itegrli o äyrä y f ( ) j -seli välii jäävä pit-l. Omiisuusi ) Tyhjä itegroimisväli f ( ) d 0, os h 0 i. ) Itegroitirjoje vihto f ( ) d f ( ) d, os oielt vsemmlle itegroitess joväli h o egtiivie:

3 39 h loppupiste lupiste 0 c) Additiivisuus c f ( ) d f ( ) d f ( ) d, c jos piste c o väli [, ] joi sisäpiste. d) Lierisuus f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d, jo ähdää suor määräty itegrli määritelmästä. e) Itegroimismuuttuj vihto f () d f () s ds. Itegrli rvo (pit-l) ei riipu muuttujst, jote o sm millä symolill futio rgumetti meritää.

4 40. KERTYMÄFUNKTIO Futio f ertymäfutio K ilmoitt äyrä j -seli välise pit-l ohdst oht. Piei lisäys rgumetille t ertymäfutiolle muutose K K( ) K( ), K( ) f () t dt jo vst liimi uvss vrjostettu pit-l A f ( ), ts. K( ) K( ) f ( ) j reltio o sitä trempi mitä pieempi o. Rjll sd K( ) K( ) lim f( ) 0 eli d K'( ) f( t) dt f( ) d.

5 41.3 INTEGRAALIFUNKTIO Futio F o futio f itegrlifutio, jos F'( ) f( ). Itegrlifutio ei ole ysiäsitteie, sillä d F ( ) C F '( ) f ( ), d missä C o miä ths vio. Yleisesti: Jos F o f : eräs itegrlifutio, ii joie f : itegrlifutio o muoto F( ) C, missä C o s. itegroimisvio. Joie ertymäfutio o lrjst (s. määritelmä) riippumtt f : itegrlifutio K( ) f( t) dt F( ) C, missä itegroimisvio C määräytyy luehdost K( ) F( ) C 0, ts. C F ( ).

6 Kos määrätty itegrli välillä [, ] void ilmoitt ertymäfutio tulee Sijoitusmeritä: f( ) d K( ) F( ) C, f( d ) F ( ) F ( ). f( d ) F ( ) F ( ) F ( ) Itegrlifutio meritä f ( ) d F( ) C. Huom! O tvllist, että itegroimisvio jätetää meritsemättä äyvii, ts. f ( ) d F( ) 4

7 43.4 INTEGRAALIEN LASKU A) Itegrlifutio määritelmästä Esimeri 1: Potessifutio. 1 D ( 1) Kos, 1 o d, missä 1. 1 Tpus 1 o äsiteltävä erisee. 1 1 Kos Dl, 0, sd, 0 d d l 1 1. Esimeri : Sii- j osiifutiot. Dsi cos Kos Dcos si ovt itegrlifutiot vstvsti si dcos. cos dsi

8 44 Muutmi täreimpiä: B) Itegroitimeetelmiä - itegroiti ei ole suorviivie meie toimepide. Itegrlifutio etsiässä o äytössä luuisi meetelmiä. Tässä muutmi: Lierisuus Esim. Polyomi [ f( ) g ( )] d f( d ) gd ( ) itegrli o P ( ) Pd ( )

9 45 Derivoii etjusääö d g ( f ( )) g '( f ( )) f '( ) d mu o g '( f ( )) f '( ) d g ( f ( )). Esim. 1 1 cos(3 ) d (6 ) cos(3 ) d si(3 ) 6 6 '( ) Esim. Itegrliss f d g '( f ( )) f '( ) d f( ) etjusääö g-futiot vst l f( ), jote '( ) f d l f ( ) f( ) Muuttujvihto eli sijoitus Itegrliss f ( ) d irjoitet ht (), jolloi d h'() t, eli '() dt d h t dt. j sd f ( ) d f ( h()) t h'() t dt

10 46 l Esim. d. t Sijoitet e, jolloi l l e t t t j d e dt j tulee l t t 1 1 l d e dt tdt t t e Määrätyssä itegrliss myös itegroimisrjt vihtuvt. Esimerisi /3 si(3 ) d. /6 t 3 Sijoitus. dt 3d Rjt: u /6, ii t 33 /6 / u /3, ii t 3 /3 jote /3 1 1 si(3 ) d sit dt sitdt 3 3 /6 / / ( cos t) cos cos 3 / 3 3

11 47 Osittisitegroiti Tulo derivoiist d f ( g ) ( ) f '( g ) ( ) f ( g ) '( ) d sd Esim. f '( ) g( ) d f ( ) g( ) f ( ) g'( ) d l d Oloo tässä f '( ) j g( ) l, jolloi 1 1 f( ) j g'( ). Tulee l d l d l l (l ) d 4 Osmurtohjotelm - void tehdä, jos murtoluseeess P Q P j Q m ovt :e j m:e stee polyomej site, että m j vielä ii, että imittäjä Q m jutuu esimmäise stee teijöihi. m

12 4 Esim. 1. Tässä P 4, ts. 0 j Qm 1 ( 1)( 1), ts. m. Siis m j Q m jutuu 1. stee teijöihi. Void irjoitt osmurtohjotelm , missä viot j o määritettävä. Lset ( 1) ( 1) ( ) ( ). 1 1 ( 1)( 1) 1 O siis oltv 0 4, jost j. Näi siis pätee Void lse esim. itegrli 4 d d d l 1 l l( 1) l( 1) l 1. 48