Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum odotusrvoprmetri. : Esitiedot Esitiedot: ks. seurvi lukuj: Tilstolliste ieistoje keräämie j mittmie Tilstolliste ieistoje kuvmie Otos j otosjkumt Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Tilstolliset testit Stuismuuttujt j todeäköisyysjkumt Jkumie tuusluvut Diskreettejä jkumi Jtkuvi jkumi TKK (c) Ilkk Melli (24) 3 TKK (c) Ilkk Melli (24) 4 : Lisätiedot Testejä suhdesteikollisille muuttujille käsitellää luvuss Testit suhdesteikollisille muuttujille Testejä järjestyssteikollisille muuttujille käsitellää luvuss Testit järjestyssteikollisille muuttujille Jkumoletuksie testmist käsitellää luvuss Yhteesopivuude, homogeeisuude j riippumttomuude testmie >> TKK (c) Ilkk Melli (24) 5 TKK (c) Ilkk Melli (24) 6

2 TKK (c) Ilkk Melli (24) 7 /2 Avist Beroullijkum Khde otokse testit Ltuerosteikko Odotusrvo Prmetri Suhteellie osuus Yhde otokse testit Trkstelemme seurvi testejä ltuerosteikollisille muuttujille: Testejä s käyttää myös järjestys-, välimtk-j suhdesteikollisille muuttujille. Mitt-steikot: ks. luku Tilstolliste ieistoje keräämie j mittmie. TKK (c) Ilkk Melli (24) 8 2/2 Testit ovt prmetrisi testejä, joiss testukse kohtee o Beroulli-jkum odotusrvoprmetri. o yhde otokse testi. o khde otokse testi. >> TKK (c) Ilkk Melli (24) 9 TKK (c) Ilkk Melli (24) Testussetelm /3 Avist Asymptoottie testi Beroulli-jkum Biomijkum Ltuerosteikko Normlijkum Odotusrvo Prmetri Suhteellie osuus Testisuure Testisuuree jkum Yhde otokse testit Olkoo A perusjouko S tphtum j olkoot Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Määritellää stuismuuttuj X:, jos A sttuu X =, jos A ei stu Tällöi X ~ Beroulli(p) j Pr( X = ) = p Pr( X = ) = p= q TKK (c) Ilkk Melli (24) TKK (c) Ilkk Melli (24) 2

3 TKK (c) Ilkk Melli (24) 3 Testussetelm 2/3 Testussetelm 3/3 Oletet, että tphtum A o muoto A = Perusjouko lkioll o omiisuus P Tällöi p = Pr(A) o todeäköisyys poimi perusjoukost S stuisesti lkio, joll o omiisuus P. Jos perusjoukko S o äärellie, ii todeäköisyys p kuv iide perusjouko S lkioide suhteellist osuutt, joill o omiisuus P. Olkoo X, X 2,, X yksikertie stuisotos perusjoukost S, jok oudtt Beroulli-jkum Beroulli(p) Asetet Beroulli-jkum prmetrille p ollhypoteesi : p = p Testusogelm: Ovtko hviot sopusoiuss ollhypoteesi kss? Ogelm rtkisu o testi suhteelliselle osuudelle. TKK (c) Ilkk Melli (24) 4 ypoteesit Prmetrie estimoiti Yleie hypoteesi : () viot Xi ~ Beroulli( p), i =,2,,, joss p = Pr(A), A S (2) viot X, X 2,, X ovt riippumttomi Nollhypoteesi : : p = p Vihtoehtoie hypoteesi : : p > p -suutiset vihtoehtoiset hypoteesit : p< p : p p 2-suutie vihtoehtoie hypoteesi Olkoo f tphtum A frekvessi siiä -kertisess toistokokeess, jot riippumttomie hvitoje poimimie Beroulli-jkumst merkitsee. Tällöi tphtum A suhteellie frekvessi eli osuus = f / o hrhto estimttori Beroulli-jkum prmetrille E(X i ) = p, i =, 2,, uom, että frekvessi f oudtt biomijkum prmetrei j p: f = Xi ~Bi(, p) i= TKK (c) Ilkk Melli (24) 5 TKK (c) Ilkk Melli (24) 6 Testisuure j se jkum Määritellää testisuure p p ( p ) / Jos ollhypoteesi : p = p pätee, ii testisuure z oudtt suuriss otoksiss pproksimtiivisesti stdrdoitu ormlijkum: z N(,) Approksimtio o tvllisesti riittävä hyvä, jos j ( ) Testisuuree jkum ollhypoteesi pätiessä: Perustelu Oletet, että testi yleie hypoteesi j ollhypoteesi pätevät: X, X 2,, X X i Beroulli( p ), i=,2,, Tällöi (ks. lukuj Kovergessikäsitteet j rj-rvoluseet, Otos j otosjkumt j Väliestimoiti): f p( p) = Xi = N p, i= jolloi p N(,) p ( p ) / TKK (c) Ilkk Melli (24) 7 TKK (c) Ilkk Melli (24) 8

4 TKK (c) Ilkk Melli (24) 9 : Testisuure z mitt tilstollist etäisyyttä Testisuure p p( p) / mitt prmetri p estimti ˆp j ollhypoteesi : p = pkiiittämä prmetri p rvo p tilstollist etäisyyttä. Mittyksikköä o erotukse ˆp p stdrdipoikkem p( p) estimttori, jok o määrätty olette, että ollhypoteesi pätee. Testi Testisuuree p p ( p ) / ormlirvo =, kosk ollhypoteesi pätiessä E(z) = Site itseisrvolt suuret testisuuree z rvot viittvt siihe, että ollhypoteesi ei päde. Nollhypoteesi hylätää, jos testi p-rvo o kylli piei. ylkäysluee vlit j p-rvo määräämie: ks. luku Testit suhdesteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 >> Avist Asymptoottie testi Beroulli-jkum Biomijkum Khde otokse testit Ltuerosteikko Normlijkum Odotusrvo Prmetri Suhteellie osuus Testisuure Testisuuree jkum Vertilutesti TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 TKK (c) Ilkk Melli (24) 22 Testussetelm /4 Testussetelm 2/4 Olkoo X, X2,, X yksikertie stuisotos perusjoukost S, jok oudtt Beroulli-jkum Beroulli(p ) Olkoo X2, X22,, X 2 2 yksikertie stuisotos perusjoukost S 2, jok oudtt Beroulli-jkum Beroulli(p 2 ) Olkoot otokset lisäksi toisist riippumttomi. Olkoo A perusjouko S k, k =, 2 tphtum j olkoot Pr(A) = p k Pr(A c ) = p k = q k Määritellää stuismuuttujt X k, k =, 2 :, jos A tphtuu perusjoukoss Sk X k =, jos A ei tphdu perusjoukoss Sk Tällöi X k ~ Beroulli(p k ), k =, 2 j Pr( Xk = ) = pk Pr( X = ) = p = q k k k TKK (c) Ilkk Melli (24) 23 TKK (c) Ilkk Melli (24) 24

5 TKK (c) Ilkk Melli (24) 25 Testussetelm 3/4 Testussetelm 4/4 Oletet, että tphtum A o muoto A = Perusjouko lkioll o omiisuus P Tällöi p k = Pr(A) o todeäköisyys poimi perusjoukost S k, k =, 2 stuisesti lkio, joll o omiisuus P. Jos perusjoukko S k, k =, 2 o äärellie, ii todeäköisyys p k kuv iide perusjouko S k lkioide suhteellist osuutt, joill o omiisuus P. Asetet Beroulli-jkumie prmetreille p j p 2 ollhypoteesi : p = p2 = p Testusogelm: Ovtko hviot sopusoiuss hypoteesi kss? Ogelm rtkisu o suhteelliste osuuksie vertilutesti. TKK (c) Ilkk Melli (24) 26 Yleie hypoteesi Nollhypoteesi j vihtoehtoiset hypoteesit Yleie hypoteesi : () viot Xi Beroulli( p), i=,2,,, joss p = Pr(A), A S (2) viot X j 2 Beroulli( p2), j =,2,, 2, joss p 2 = Pr(A), A S 2 (3) viot X i j X j2 ovt riippumttomi kikille i j j uomutus: Oletus (3) sisältää kolme riippumttomuusoletust: viot ovt riippumttomi otoksie j 2 sisällä. viot ovt riippumttomi otoksie j 2 välillä. Nollhypoteesi : : p = p2 = p Vihtoehtoie hypoteesi : : p > p2 -suutiset vihtoehtoiset hypoteesit : p < p2 : p p 2-suutie vihtoehtoie hypoteesi 2 TKK (c) Ilkk Melli (24) 27 TKK (c) Ilkk Melli (24) 28 Prmetrie estimoiti Yhdistetty otos Olkoo f k tphtum A frekvessi siiä k -kertisess toistokokeess, jot riippumttomie hvitoje poimimie Beroulli-jkumst k merkitsee, k =, 2. Tällöi tphtum A suhteellie frekvessi eli osuus k = fk / k, k =,2 o hrhto estimttori Beroulli-jkum prmetrille p k = E(X ik ), i =, 2,, k, k =, 2 uom, että frekvessi f k oudtt biomijkum prmetrei k j p k : k f = X ~Bi(, p ), k =,2 k ik k k i= TKK (c) Ilkk Melli (24) 29 Jos ollhypoteesi : p = p2 = ppätee, void otokset yhdistää j prmetri p hrhto estimttori o tphtum A suhteellie frekvessi yhdistetyssä otoksess: p ˆ+ p 2 ˆ2 f+ f2 = = Jos ollhypoteesi pätee, ii p( p) p( p) Vr( 2) = + 2 = p( p) TKK (c) Ilkk Melli (24) 3

6 TKK (c) Ilkk Melli (24) 3 Testisuure j se jkum Määritellää testisuure 2 ( ) Jos ollhypoteesi : p = p2 = p pätee, ii testisuure z oudtt suuriss otoksiss pproksimtiivisesti stdrdoitu ormlijkum: z N(,) Approksimtio o tvllisesti riittävä hyvä, jos 5, ( ) 5, 5, ( ) Testisuuree jkum ollhypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletet, että testi yleie hypoteesi j ollhypoteesi pätevät: X, X,, X, X, X,, X X Beroulli( p), i=,2,, i X Beroulli( p), j =,2,, j 2 2 Tällöi (ks. lukuj Kovergessikäsitteet j rj-rvoluseet, Otos j otosjkumt j Väliestimoiti): f p( p) = Xi = N p, i= 2 f 2 p( p) 2 = X j2 = N p, 2 j= 2 2 TKK (c) Ilkk Melli (24) 32 Testisuuree jkum ollhypoteesi pätiessä: Perustelu 2/3 Kosk 2, ii Y = 2 N(,) p( p) Kosk todeäköisyys p o tutemto, stuismuuttuj Y luseke o epäopertiolie. Testisuuree jkum ollhypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos stuismuuttuj Y lusekkeess todeäköisyys p korvt otossuureell p ˆ+ p 2 ˆ2 f+ f2 = = sd testisuure 2 ( ) jok ollhypoteesi pätiessä oudtt suuriss otoksiss stdrdoitu ormlijkum N(, ): z N(, ) Todistus sivuutet. TKK (c) Ilkk Melli (24) 33 TKK (c) Ilkk Melli (24) 34 Testisuure z mitt tilstollist etäisyyttä Testi /2 Testisuure 2 ( ) mitt mitt tphtum A otoksist j 2 määrättyje suhteelliste frekvessie tilstollist etäisyyttä. Mittyksikköä o erotukse stdrdipoikkem 2 p( p) estimttori, jok o määrätty olette, että ollhypoteesi pätee. Testisuuree 2 ( ) ormlirvo =, kosk ollhypoteesi pätiessä E(z) = Site itseisrvolt suuret testisuuree z rvot viittvt siihe, että ollhypoteesi ei päde. Nollhypoteesi hylätää, jos testi p-rvo o kylli piei. TKK (c) Ilkk Melli (24) 35 TKK (c) Ilkk Melli (24) 36

7 TKK (c) Ilkk Melli (24) 37 Testi 2/2 ylkäysluee vlit j p-rvo määräämie: ks. luku Testit suhdesteikollisille muuttujille.