73035 Insinöörimatematiikka 2

Transkriptio

1 7335 Insinöörimtemtii Kesä 5 Tmpereen tenillinen yliopisto Risto Silvennoinen. Luusrjt. Funtiosrjt 8 3. Relifuntioiden määräämätön integrli 5 4. Relifuntioiden määrätty integrli 6 5. Integrointi n-ulotteisess vruudess 7 6. Mtriisilsennn perusteit Alivruudet. Lineriset yhtälöryhmät 7 8. Ortogonliprojetiot Ominisrvot. Digonlisointi 55. Neliömuodot. Definiittisyys 68. Vetorifuntion derivtt. Ketjusääntö 7. Hessen mtriisi. Äärirvoteori Ensimmäisen j toisen ertluvun differentiliyhtälöistä Vioertoiminen linerinen normliryhmä Differentiliyhtälösysteemien ldullist teori 6

2 . Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teori. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess luonnollisten luujen jouo N={,, 3,...} on lähtöohtn, j sen lioiden luumäärä on ilmeisen ymmärrettävästi ääretön. Joist jouo, joss on yhtä mont liot uin luonnollisiss luvuiss, snotn numeroituvsi. Kii jouot eivät uitenn ole numeroituvi, uten reliluujen jouo R esimerinä osoitt. Tällisi jouoj snotn ylinumeroituvisi. Jono (sequence) on tässä yhteydessä in päättymätön, ääretön jono. Sm termiä äytetään suomenielessä myös äärellisestä jonost (esim. hviln jono), englnnisi queue, mutt siyhteydestä yleensä ilmenee, ump troitetn. Seurvss ertmme j täydennämme reliluujonojen teori, jot urssiss Lj mtemtii jo oli esillä. Jono oostuu luvuist x, x,,x n,..., joss joist indesiä n vst ysi jonon luu. Mtemttisesti jtellen yseessä on siis funtio luonnollisilt luvuilt reliluujen jouoon: Reliluujono on funtio N R. Jos siis joist luonnollist luu n ohti setetn vstmn reliluu x n, syntyy luujono eli lyhyesti (x n ). x, x,..., x n,...

3 Tässä mielessä jonoss on siis in ääretön määrä termejä x n (joisell n:llä ysi). Toislt jonoll ei trvitse oll ääretöntä määrää rvoj x n, esimerisi viojonoll x n = c, n=,, on vin ysi rvo, c. Siis jono (x n ) j sen rvojouo {x n : n N} ovt eri sioit. Jonoj äytetään usein iterointimenetelmissä, joiss jotin ongelm rtistn toistuvsti niin, että tulosen on yhä trentuv pprosimoivien rtisujen jono. Tällöin ihnnetpusess jonon rvot lähestyvät hettu ongelmn rtisu, un n eli iterointien luumäärää sv. Tämä jttelu perustuu jonon rj-rvon äsitteeseen. Rj-rvo on rvo, jot yleensä ei trn svutet, vn sitä lähestytään yhä lähemmäsi j lähemmäsi n:n svess rjttomn suuresi. Trvittv "läheisyyden" äsite voidn muotoill täsmälliseen suun seurvsti: Oloon x R j ε >. Avoint väliä ( x - ε, x +ε) utsutn luvun x ympäristösi ti ε- ympäristösi, j meritään U(x;ε). Luujono ( x n ) suppenee j sen rj-rvo on = x, jos joist x:n ympäristöä U(x;ε) vst luu n ε N siten, että x n U(x;ε), un n > n ε. Luujono ( x n ) siis suppenee, jos joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε N siten, että x n - x < ε, un n > n ε. Tällöin meritään lim x n = x ti ysinertisesti x n x. All on uvttu si tpust luujonost ( n ), jo suppenee ohti rjrvo L. V-seli on indesiseli, joss indesi n ulee,, 3,... j pystyselill ovt vstvt jonon rvot n.

4 3 Kun jono suppenee ohti rj-rvo x, niin jonon termit ovt hlutun lähellä (ε-tolernssill mitten) rj-rvo, unhn indesi n on riittävän suuri (n>n ε ). Jos termit hlutn lähemmäsi (ε-luu pienennetään), riittää mennä jonoss trvittvn mont termiä eteenpäin eli svtt indesiä n. Oheisess uvss jonon ( n ) rj-rvo on L, j termien rvot ovt y- selill. Puniset pisteet ovt pisteitä (n, n ). Jos luujono ei suppene, se hjntuu. Hjntuminen voi oll meno ohti ääretöntä (meritään myös x n ti x n -) ti sitten termit voivt "pouoill" hden ti usemmn rvon välillä ti äyttäytyä vielä epäsäännöllisemmin.

5 4 Esim. Jono n =r n suppenee täsmälleen silloin, un -<r. Teht. Osoit, että viojono ( x n), missä x n = c = vio iill rvoill n N, suppenee.

6 5 Teht. Osoit (määritelmän perusteell), että lim ( /n) =. Teht. 3 Osoit (määritelmään nojutuen), että lim 3n + 4 4n + 5 = 3. 4 Suppenevn jonon termit "htutuvt" jonoss pitemmälle mentäessä: Luse. Jos jono ( x n) suppenee, niin joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε N siten, että n > n ε xn+ p xn < ε p N. Tod.: Jos x=lim x n, niin olmioepäyhtälön perusteell x n+p -x n x n+p -x + x n -x <ε/+ε/=ε, un n riittävän suuri j p N. Miään luujono ei voi supet ht ti usemp rj-rvo ohti: Luse. Luujonon rj-rvo on ysiäsitteinen. Tod.: Jos x j y ovt jonon (x n ) rj-rvoj, niin x-y = x-x n +x n -y x-x n + y-x n, un n.

7 6 Teht. 4 Osoit, että jono,,,,,,,, hjntuu. Teht. 5 Osoit, että jono,,,3,4,5,6,7, hjntuu. Reliluujono ( x n) on rjoitettu, jos on olemss vio M siten, että x M n N. n Luse 3. Suppenev luujono on rjoitettu. Tod.: Jos x=lim x n, niin x n x n -x + x <+ x =:M, un n>n.

8 7 Epäyhtälöt "säilyvät rjll": Luse 4. Oloon xn M n N j lim x n = x. Silloin x M. Tod.: Oloon ε>. Silloin on olemss sellinen n ε, että x n -x <ε, un n> n ε. Siis x = x-x n +x n x-x n +x n <ε+x n ε+m. Kos tämä pätee mielivltiselle ε>, on x M. Rj-rvojen lsennss voidn äyttää seurvi yhteenlsun, ertolsun, violl ertomisen j jolsun sääntöjä: Luse 5. Oloot ( x n) j ( y n) suppenevi reliluujonoj, joiden rj-rvot ovt vstvsti x j y. Silloin ) lim ( xn+ yn) = x + y = lim x n +lim y n b) lim ( x y ) n n = x y = lim x n lim y n c) lim ( cx n) = c x = c lim x n c R x d) lim n y n = x y = lim x lim y n n, edellyttäen että yn n N j että y. Tod.: ) Oloon ε>. Silloin on olemss n j n siten, että x n -x <ε/ j y n -y <ε/, un n>n j n>n. Siis (x n +y n )-(x+y) = (x n -x)+(y n -y) x n -x + y n -y < ε/+ε/=ε, un n>mx{n, n }.

9 8 Muut ohdt menevät vstvsti (s. Insinöörimtemtii ). Erittäin hyödyllinen rj-rvojen lsennss on myös oheinen "uristusperite": Jos jonot ( n ) j (c n ) suppenevt ohti sm rj-rvo L j on voimss epäyhtälö n b n c n, niin myös jono (b n ) suppene ohti rj-rvo L. Esim. lim ( /n) = lim (/n) = =. Esim. 3 lim 3n + 4 4n + 5 = 3+ 4/ n lim 4 + 5/ n = lim(3+ 4/ n) lim(4 + 5/ n) = 3 4 Esim. 4 lim n + 7n n n + n = lim 3 / n+ 7/ n + 3/ n 5 / n+ / n / n 3 =.

10 9 Esim. 5 lim ( n + n + ) = ( n + n + )( n + + n + ) lim n + + n + =lim n + + n + =. Käytännön lsent tehdään in lopult rtionliluvuill. Näin sdn uitenin miä hyvänsä reliluu esitettyä mielivltisen trsti pprosimoitun: Luse 6. Oloon x R. Silloin on olemss rtionliluujono, jo suppenee ohti pistettä x. Tod.: Otetn in väliltä (x-/n, x+/n) join rtionliluu x n. Se on mhdollist, os joisell voimell välillä on in (jop ääretön määrä) rtionliluu(j). (Tämä vtii omn todistusens, joss joudutn äyttämään reliluujen perusominisuusi. Trvitn sitä, että joisell epätyhjällä reliluujouoll on supremum, j Arhimedeen lusett, jon mun joiselle reliluvulle löytyy sitä suurempi oonisluu. Käsitellään urssill Mtemttinen nlyysi.)

11 Jos jonost poimitn eteenpäin mentäessä vin os termeistä, mutt uitenin äärettömän mont, sdn osjono. Tällöin siis indeseistä poimitn svvss järjestysessä os, tsepäin ei s mennä. Esim. 6 Jonoll (,,,,,,,, ) on esimerisi osjonot (,,,,, ) j (,,,,, ). Mitä muit osjonoj sillä on? Esim.7 Jono (,,4,3,5,6, ) ei ole jonon (,,3,4,5,6, ) osjono, os lioiden järjestys ei ole sm. Luse 7. Oloon (x n ) jono, jo suppenee ohti reliluu x. Silloin joinen jonon (x n ) osjono suppenee myös ohti luu x. Tod.: Oloon ( x n ) osjono j ε>. On siis olemss n siten, että x n -x < ε, un n>n. On olemss siten,että un >, niin n >n. Silloin >. xn x <ε, un Esim. 8 Esimeri 5:n osjonoill (,,,,, ) j (,,,,, ) on eri rj-rvot: j, joten jono (,,,,,,,, ) on hjntuv.

12 Reliluujono ( x n) on svv ( vstvsti, idosti svv ), jos xn x n + (vstvsti xn < x n + ) n N. Reliluujono ( x n) on vähenevä ( vstvsti, idosti vähenevä), jos xn x n (vstvsti + xn > x n ) + n N. Reliluujono ( x n) on monotoninen, jos se on svv ti vähenevä. Jos svv jono on ylhäältä rjoitettu, se ei voi rt äärettömyyteen, j ylärj ennen sen rvot väisin putuvt yhteen, os edestinen osillointi estyy monotonisuuden ti. Vstv pätee lhlt rjoitetulle vähenevälle jonolle. Luse 8. Rjoitettu monotoninen reliluujono suppenee. Tod.: Hrj.teht. Edellä riittää svvn jonon tpusess selvittää jono ylhäältä rjoitetusi, os svv jono on utomttisesti lhlt rjoitettu. Vstv pätee vähenevälle jonolle.

13 Usein voidn luujonon suppenemistrstelu muunt vstvn relifuntion rj-rvon tutimisesi: Luse 9. Jono ( n ) suppenee ohti rj-rvo L, jos lim f ( x) = L, x missä f(n) = n. Tämä mhdollist esimerisi L Hospitlin säännön äytön myös luujonojen rj-rvoj lsettess.

14 3 Srjt Srj on "summ, joss on äärettömän mont yhteenlsettv". Täsmällisempi määritelmä on seurv: Trstelln luujono ( n ), n=,...,. Liitetään siihen toinen luujono (S n ), n=,..., seurvsti: S =, S = +,..., S n = n. Srj muodostuu silloin näistä hdest jonost. Srjn n:s termi on n j srjn n:s ossumm on S n. Srj meritään ti. = Tällöin siis n:s ossumm on S n n =. = Srjn suppeneminen määritellään ossummien jonon suppenemisen vull: Srj suppenee j sen summ on S, jos ossummien jono (S = n ) suppenee j lim S n = S. Silloin meritään n = S. = (Siis merintä = voi troitt ht si, srj sinänsä j toislt suppenevn srjn tpusess srjn summ. Yhteydestä ilmenee, ump troitetn.)

15 4 Jos srj ei suppene, se hjntuu. Erityisesti jos lim S n = ti n lim S n =, niin snotn, että srj hjntuu ohti (plus ti miinus) n ääretöntä. Tällöin voidn myös meritä = ti = =. = Esim. 9 Geometrinen srj = 3 = q q q q n n q Sn = + q+ q + q =, un q. q S n = n, un q=. Siis geometrinen srj suppenee täsmälleen silloin, un q <. Silloin q =. q = Srjn suppenemiselle on välttämätöntä, että yleinen termi lähestyy noll: Luse Jos srj suppenee, niin lim =. = Tod.: = S S S S =.

16 5 Käänteinen tulos ei päde. Eli siitä, että yleinen termi lähestyy noll ei välttämättä seur, että srj suppenisi. Tämän näyttää seurv vstesimeri: Esim. ; = = S = > = =. Mutt tulost voidn äyttää hjntumistestinä: Jos, niin srj = hjntuu. Kos srjn suppeneminen on määritelty ossummien jonon rj-rvon, eivät lupään termit viut linn srjn suppenemiseen (summn rvoon ylläin). Toisin snoen, srjn voidn liittää, viht toisisi ti siitä poist äärellisen mont termiä ilmn, että srjn suppeneminen muuttuu hjntumisesi ti hjntuminen suppenemisesi. Erityisesti jos = suppenee, niin myös niin srjn n:s jäännöstermi on R n = = n+ = n+ täsmälleen silloin, un jäännöstermit ovt äärellisiä j lim R =. n n suppenee. Jos = =S, =S-S n. Srj on suppenev

17 6 Luse Jos suppenevn srjn termit yhdistetään ryhmisi (järjestystä muuttmtt) j jo ryhmässä termit lsetn yhteen, niin stu srj suppenee j sillä on sm summ uin luperäisellä srjll. Tod.: = S ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) = S + ( S S ) + ( S S ) + 3 Tämän srjn n:s ossumm sn = S n S, un n, os se on luperäisen srjn ossummien osjono. Tulos ei päde ääntäen. Jos srjst sdn termejä ryhmittelemällä suppenev srj, niin siitä ei välttämättä seur, että luperäinen srj suppenisi. Esimerinä srj , jo ei suppene, vi (-)+(-)+(-)+... suppenee. Seurvt luseet ovt välittömiä seurusi luujonojen vstvist tulosist: Luse Jos srjt j = b = ovt vstvsti A j B, niin summsrj ovt suppenevi j niiden summt ( + b) on suppenev j = = ( + b ) =A+B. Jos c R, niin srj ( c ) on suppenev j = = ( c ) =ca.

18 7 Luse 3 Jos srj summsrj ( + b) hjntuu. = suppenee j srj = b = hjntuu, niin Todettoon vielä, että hden hjntuvn srjn summ voi oll suppenev ti hjntuv. Positiivitermiset srjt Srj snotn positiivitermisesi, jos,. Silloin = ossummien jono on monotonisesti svv: Sn Sn+, n, joten se suppenee täsmälleen silloin, un se on ylhäältä rjoitettu: Luse 4 Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos on olemss M> siten, että ossummien jonolle pätee S M, n. n Jos ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, niin Sn, un n. Positiiviterminen srj siis joo suppenee ohti äärellistä summ S ti hjntuu ohti ääretöntä.

19 8 Seurvss esitetään positiivitermisten srjojen suppenemistestejä. Srjt = j b = ovt luseiss 5- siis positiivitermisiä. Luse 5 (Vertilutesti: mjornttiperite) Jos eräästä indesistä len on voimss b = suppenee,niin myös = suppenee. b, j Luse 6 (Vertilutesti: minornttiperite) Jos eräästä indesistä len on voimss b, j niin myös = hjntuu. b = hjntuu, Luse 7 (Vertilutestin limesmuoto) Jos rj-rvo lim = m on olemss j m,, niin srjt = b b joo molemmt suppenevt ti molemmt hjntuvt. j =

20 9 Luse 8 (Juuritesti) Jos eräästä indesistä len on voimss < r, missä r on vio, < r <, niin suppenee. = Jos eräästä indesistä len on voimss, niin srj hjntuu. = Luse 9 (Juuritestin limesmuoto) Jos lim Jos lim = r>, niin = r on olemss j r <, niin hjntuu. = = suppenee. Luse (Suhdetesti) Jos eräästä indesistä len on voimss < q, missä q on vio, < q <, niin suppenee. = Jos eräästä indesistä len on voimss, niin srj hjntuu. + + = Luse (Suhdetestin limesmuoto) Jos lim = q on olemss j q <, niin + Jos lim = q >, niin hjntuu. + = = suppenee.

21 Luse (Integrlitesti) Jos on olemss sellinen välillä [,) jtuv positiivinen vähenevä funtio f, että = f( ), =,,, niin suppenee täsmälleen = silloin un f ( xdx ) suppenee. (Luseet todistetn hiemn tuonnempn.) Esim. Srj (p-srj) = p suppenee, jos p > j hjntuu, jos p. Tämä nähdään integrlitestillä, os silloin, un p >. x p dx suppenee täsmälleen Tämä p-srj on ysi täreimpiä vertilusrjoj. Tpusess p= yseessä on hjntuv srj, niin snottu hrmoninen srj. Kun = p >, p-srj snotn myös ylihrmonisesi srjsi. Esim. Tutitn, suppeneeo srj. 3 = Kos suurill :n rvoill srjn termit ovt liimin = 3 3/ j 3/>, näyttää ilmeiseltä, että srj olisi suppenev. Tämä voidn osoitt trsti vertilutestillä. = < = = / ½ + ½ ½.

22 Srj suppenee, os se on vio ert suppenev p-srj, p=3/<. 3/ = Siis mjornttiperitteen mun tutittv srj on suppenev. Smn tuloseen päästään myös limesmuotoisell vertilutestillä: 3 3/ lim = lim = lim =. 3 3/ 3 (Vertilusrj esittiin lustvss trsteluss, un tutittiin termin luseett suurill.) Tehtäviä Tuti, suppeneeo srj =, un = 6) + 7) e 8) 4 ln (=,3,...) (3 ) 9) 3/ ) + ln ) 3 )! 3) /3 e 4) (ln ) (=,3,...) 5) 3 +.

23 Luseiden 5- todistuset: Kos lupään termit eivät viut srjn suppenemiseen, voimme luseiss 5, 6, 8, j 9 olett, että =. = n n n = = Jos b = B<j b, niin S = b B<. Siis Luse 5 on todistettu. Niin on myös luse 6, os se on loogisesti evivlentti luseen 5 nss. Jos lim = m,, niin eräästä indesistä len m/ m. b b Siis m/ b mb, un. Tästä seur luseen 7 tulos mjorntti- j minornttiperitteen nojll. Jos r, missä violle r pätee r <, niin r,. Siis suppenev geometrinen srj on mjornttin, joten = suppenee. Jos ts, niin,, jolloin lim j srj hjntuu. Tästä seur luse 8. Jos +, missä q on vio, q <,niin q q( q ) q. + Siis srjll on suppenevn mjornttisrjn vio ert geometrinen srj, joten srj = suppenee. Luse on näin todistettu. Luseet 9 j seurvt luseist 8 j, os niiden oletuset ovt silloin voimss eräästä indesistä len.

24 3 Jäljellä on vielä luse. Jos = f( ), j f :[, ) R on jtuv positiivinen vähenevä funtio, niin + f ( + ) f( x) dx f( ),. (Ks. oheinen uvio, suorulmioiden nt on in, joten l on oreus eli funtion rvo.) Yhteen lsemll sdn Tästä nähdään, että n+ n n = = f( x) dx, n. n lim f ( xdx ) on äärellinen ti ääretön sen mun, n ono srj suppenev vi hjntuv. =

25 4 Positiivisten srjojen lopusi minittoon, että positiivitermisessä srjss s termien järjestystä muutt ilmn, että tämä viutt srjn suppenemiseen ti summn. (Hnl todist, sivuutetn.) Vuorottelevt srjt Srj, jon termit ovt vuorotellen positiivisi ti negtiivisi, snotn vuorottelevsi eli lternoivsi. Jtoss oletmme, että ensimmäinen termi on in positiivinen (tähän päästään trvittess ertomll srj (-):llä). Merinvihtelu ilmistn (-):n potenssein: prillinen potenssi nt ertoimesi + j priton -. Vuorottelevn srjn yleinen muoto on siis: () ( ) = , = missä >,. Luse 3 (Leibnizin luse) Jos vuorottelevn srjn () termien itseisrvot muodostvt monotonisesti vähenevän ohti noll lähestyvän jonon: & lim =, 3 niin srj suppenee. Lisäsi jos jono on idosti monotoninen j srj tistn termin ( ) n n jäleen, niin jäännöstermi R n on smnmerinen uin ensimmäinen poisjätetty termi (eli meri on ( ) n ) j itseisrvoltn sitä pienempi: Rn < n +. (Todistus urssill Mtemttinen nlyysi.)

26 5 Itseinen suppeneminen Srj = on itseisesti suppenev (bsoluuttisesti suppenev), jos termien itseisrvoist muodostettu srj suppenee. = Luse 4 Itseisesti suppenev srj on suppenev. (Todistus urssill Mtemttinen nlyysi.) Joinen suppenev srj ei uitenn ole itseisesti suppenev, uten srj ( ) esimerinä osoitt. = Jos srj suppenee, mutt ei itseisesti, niin srj snotn ehdollisesti suppenevsi. Voidn osoitt, että itseisesti suppenevss srjss sdn termien järjestystä muutt j silti srj pysyy itseisesti suppenevn j summ smn. Sen sijn ehdollisesti suppenevn srjn termien järjestystä muutettess suppenemisominisuudet j summ voivt muuttu. Ehdollisesti suppenevn srjn termit voidn järjestää jop niin, että uuden srjn summ on miä hyvänsä hluttu rvo, ti myös niin, että uusi srj hjntuu.

27 6 Srjojen tulo Khden srjn ertosäännöllä: j = b tulo määritellään Cuchyn = ( )( b ) = = = c, missä c = b + b + + b. = Osoittutuu, että riittävää tulosrjn suppenemiselle on, että molemmt tulon teijänä olevt srjt suppenevt j inin toinen niistä itseisesti: Luse 5 Jos () (b) (c) suppenee itseisesti, = = A j = b = =B, niin silloin srj c = =AB. c suppenee j = (Todistus sivuutetn.) Itseisen suppenemisen vtimusest ei void luopu, uten seurv esimeri osoitt:

28 7 Esim. 3 Srj = ( ) on Leibnizin luseen mun = = + suppenev, mutt itseisrvoist muodostettu srj on p-srj, p=½, eli hjntuu. Srj on siis ehdollisesti suppenev. Jos se errotn itsensä nss, sdn ( )( ) = = = ( + ) + ( + + ) ( ) Yleinen termi tuloss on siis c n n n = ( ). ( n + )( + ) = Arvioimll resti ( n + )( + ) = (( n + ) + ( n ))(( n + ) ( n )) = ( n + ) ( n ) ( n + ) sdn c n n ( n + ) =, n+ n+ = joten cn, un n. Siis tulosrj hjntuu. Tehtäviä Tuti vuorottelevn srjn ( ) itseistä suppenemist, un = = suppenemist j 6) 5 4 7)! 3 8) + 3 ( + ) 9) 4 ( + ).

29 8. Funtiosrjt Edellä srjt olivt luusrjoj, joiden termit ovt (tässä urssiss) reliluuj. Jos termit ovt smst muuttujst riippuvi funtioit, päädytään funtiotermisiin srjoihin. Näiden äyttö mtemtiiss on hyvin lj, esimerisi erilisten funtioiden rvot lsetn yleensä srjehitelmien vull. Trvitsemme ensin vstvien jonojen eli funtiojonojen perustiedot. Funtiojonot Trstelln välillä I määriteltyjä funtioit f, =,,3,. Funtiojono ( f) = jos suppenee välillä I pisteittäin ohti rjfuntiot f, lim f ( x) = f( x), x I. Pisteittäinen suppeneminen on siitä huono suppenemismuoto, että se ei välttämättä siirrä jonon funtioiden hyviä ominisuusi (uten jtuvuus) rjfuntioon. Voimmpi j tässä mielessä prempi suppeneminen on tsinen suppeneminen. Funtiojono ( f) = suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f, jos j vin jos joist luu ε > ohti on olemss sellinen indesi ε, että un, niin ε f ( x) f ( x) < ε, x I. Tämä meritsee geometrisesti, että funtioiden f uvjt sijitsevt indesistä ε len funtioiden f ε j f + ε uvjien välissä oo välillä I.

30 9 Tsisen suppenemisen määritelmässä on oleellist, että ε ei riipu x:stä. Määritelmä voidn ilmist myös muodoss: Funtiojono ( f) = j vin jos suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f, jos lim sup f( x) f( x) =. x I Esim. ( ) + f x = x, I = [,]. f ( ), x x x I Siis jono ( f ) suppenee välillä I (inin) pisteittäin ohti rjfuntiot f, f ( x) = x. + Suppeneminen on myös tsist, os mx x x =, un x I. Esim. f( x) = x, I=(-,) Pisteittäinen rjfuntio on. Suppeneminen ei ole tsist, os sup f ( x) =. x I Luse (Rjfuntion jtuvuus) Jos f on välillä I jtuv iill j f f tsisesti välillä I, niin myös rjfuntio f on jtuv välillä I.

31 3 Tod.: Oloon y välin I join piste j ε >. Jos ε on tsisen suppenemisen määritelmässä minittu indesi positiiviluvulle ε /3, niin silloin ε, x I : f ( x) f( y) = f( x) f ( x) + f ( x) f ( y) + f ( y) f( y) f ( x) f ( x) + f ( x) f ( y) + f ( y) f( y) < ε /3 + f( x) f( y) + ε /3. Kiinteällä, ε, on jtuvuuden perusteell olemss δ > siten, että f( x) f( y) < ε /3, un x y < δ j x I. Näin sdn f( x) f( y) < ε /3 + ε/3 + ε/3= ε, un x y < δ j x I. Siis f on jtuv pisteessä y. Seurv tulos mhdollist rj-rvon j integroinnin järjestysen vihtmisen: Luse välillä I=[,b], niin Jos f on välillä I jtuv iill j f x x x lim f ( tdt ) = lim f( tdt ) = f( tdt ) iill x I. Suppeneminen on tsist välillä I. f tsisesti Tod.: Oloon ε >. Silloin on olemss ε siten, että iille välin I pisteille t pätee indesistä ε len ε f () t f() t < b Silloin x x x x ε f() tdt f() tdt f() t f() t dt dt ε b, un ε, x I.

32 3 Luse 3 Oletetn, että () funtiot f ovt jtuvsti derivoituvi välillä I=[,b], =,,3, (b) derivttjono ( f ) suppenee tsisesti välillä I ohti rjfuntiot g (c) jono ( f ) suppenee inin yhdessä välin I pisteessä c Silloin jono ( f ) suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f j x I : lim f '( x) = g( x) = f '( x). Tod.: Edellisen luseen nojll x x x g( t) dt = lim f '( t) dt = lim f '( t) dt = lim( f ( x) f ( c)) c c c tsisesti I:ssä. Siis f ( x) = lim f ( x) = g( t) dt+ lim f ( c) x c on olemss j suppeneminen on tsist, seä f '( x) = g( x) = lim f ( x).

33 3 Funtiosrjt Funtioist muodostettu srj määritellään smll tvll uin luusrjin, nyt vin termit ovt funtioit. Suppeneminen plutetn ossummfuntioiden jonon suppenemiseen: Funtiosrj = f x = f x + f x + ( ) ( ) ( ) suppenee välillä I pisteittäin ohti summfuntiot f ( x ), jos ossummien jono ( Sn( x )) suppenee pisteittäin ohti funtiot f ( x ). Funtiosrj f ( ) x suppenee tsisesti välillä I ohti funtiot f ( x ), = jos S ( x) f( x) tsisesti välillä I eli jos n lim sup Rn ( x) =, n x I missä R ( x ) on n:s jäännöstermi n R ( x) = f ( x). n = n+ Oheisiss uviss ylempi esittää tsisen suppenemisen tilnnett, joss N:s ossumm on "ε-putess". Alemmss on ts tilnne, joss ossummi tn ( x ) ei sd millään ε-puteen, j suppeneminen ei ole tsist.

34 33 Luse 4 (Srjn summn jtuvuus) Jos srjn f ( ) x termit ovt jtuvi välillä I j srj suppenee = tsisesti välillä I, niin summ f ( x ) on välillä I jtuv funtio. Tod.: Seur funtiojonoj osevst luseest sovellettun ossummien jonoon ( Sn( x )).

35 34 Luse 5 (Srjn integrointi termeittäin) Jos srjn f ( ) ( ) x = f x termit ovt jtuvi välillä I = [ b, ] = j srj suppenee tsisesti välillä I, niin x x x f () t dt= f () t dt= f () t dt = = iill x I j stu srj suppenee tsisesti välillä I. Tod.: x x x f ( tdt ) = lim S( tdt ) = lim S( tdt ) n n n = n n x x n = =. = lim f () tdt= f() tdt Luse 6 (Srjn derivointi termeittäin) Jos srj f ( ) ( ) x = f x suppenee välillä I = [ b, ] j srj = suppenee tsisesti välillä I, niin myös j d f '( x) = f( x) = f'( x) dx = =. = = f '( x) f ( ) x suppenee siellä tsisesti Tod.: x x f '( tdt ) = f '( tdt ) = ( f ( x) f ( )) = = = x f () t = f '() t dt+ f ( ) = = = d f( x) = f'( x) dx = =.

36 35 Seurv tulos on usein ätevä tsisen suppenemisen osoittmisess: Luse 7 (Weierstrssin testi) Jos on olemss luusrj funtiosrjn = = M f ( ) x termien ylärjoj: f ( x) M,, x I,, jon termit ovt välillä I niin srj f ( ) x suppenee tsisesti välillä I. = Tod.: Mjornttiperitteen nojll f ( ) x suppenee itseisesti välillä I = pisteittäin. Kolmioepäyhtälön vull sdn jäännöstermeille f ( x) f ( x) M, x I. = n+ = n+ = n+ Siis lim sup R ( x ) = lim sup f ( x ) =. n n x I n x I = n+ sinx Esim. 3 3, I = = sin x, 3 3 :ssä. 3 suppenee (p-srj, p>), joten 3 = = sinx suppenee tsisesti

37 36 Tehtäviä n e ) Osoit, että funtiosrjn summ määrittelee jtuvn n= + nx funtion joisell reliselin välillä. ) Voidno seurvi srjoj integroid ti derivoid termeittäin välillä [-,] muuttujn x suhteen? 3 e sin( nx) b). n x ) n= ( n+ x ) n= +

38 37 Potenssisrjt Potenssisrj on funtiosrj, joss termit ovt potenssifuntioit. Sen yleinen muoto on () ( x x ) = + ( x x ) + ( x x ) +, = missä,, 3, j x ovt vioit. Luse 8 Jos potenssisrj () suppenee jollin x = x x, niin se suppenee itseisesti iill x, joille x x < x x. Jos potenssisrj hjntuu rvoll x = x, niin se hjntuu iill x, joille x x > x x. Tod.: Jos ( ) x x suppenee, niin sen yleinen termi lähenee noll: = ( x x ), un. Siis erityisesti yleisten termien jono on rjoitettu, joten on olemss sellinen M>, että ( x x ) M, eli x M x,. Silloin x x ( ), x x x x M.

39 38 Jos x x < x x, on srjll ( ) x x siis mjornttisrjn = suppenev geometrinen srj, joten srj ( ) x x suppenee silloin = itseisesti. Jos ( ) x x hjntuu, niin myös ( ) x x hjntuu iill = x, joill x x > x x. Jos nimittäin ( ) x x suppenisi, niin edellisen = nojll myös ( x x ) suppenisi. = = Edellisestä luseest seur, että in on olemss x -esinen ljin väli, joss srj () suppenee. Sillä jos R = sup{ r srj () suppenee rvoll x + r}, niin () suppenee välillä x x < x+ R x = R. Luu R on srjn suppenemissäde j väli ( x Rx, + R) sen suppenemisväli. Näin nähdään seurv tulos: Luse 9 Potenssisrjn ( ) x x suppenemiselle on voimss = ysi seurvist mhdollisuusist: () Srj suppenee vin rvoll x. Silloin suppenemissäde on R =. () Srj suppenee itseisesti välillä x R< x< x+ R, mutt hjntuu, un x x > R. Suppenemissäde on R. (3) Srj suppenee itseisesti iill x. Silloin suppenemissäde on R =.

40 39 Potenssisäteen lsemisesi sdn vt srjn ertoimien vull seurvsti: Luse Potenssisrjn ( ) x x suppenemissäde R sdn voist ) R = lim ti b) R = lim, + = edellyttäen, että yseiset rj-rvot ovt olemss. Tod.: ) Kos x x = x x, sdn juuritestin limesmuoto äyttäen lim x x = lim x x ti > < x x < lim ti x x > lim. Siis srj ( ) x x suppenee, un = x x < lim j hjntuu, un x x > lim, joten suppenemissäde R = lim.

41 4 b) Vstvsti suhdetestin limesmuodon vull. Potenssisrjn suppeneminen on seurvss mielessä tsist: Luse Potenssisrj ( ) x x, jon suppenemissäde on R, = suppenee tsisesti joisell suppenemisväliin sisältyvällä suljetull välillä [ b, ] ( x Rx, + R). Tod.: Oloon r> sellinen, että [, b] [ x r, x + r] [ x R, x + R]. Kun x [ b, ], on siis ( x x) r j srj r suppenee, = os r< R. Weierstrssin testin mun srj ( ) x x suppenee siis tsisesti välillä [ b, ]. = Tsisest suppenemisest seur potenssisrjn summn jtuvuus: Luse Potenssisrjn summ on srjn suppenemisvälillä jtuv funtio. Tod.: Jos x ( x R, x+ R), niin on olemss < r< R siten, että x [ x r, x+ r]. Kos edellisen luseen mun potenssisrj suppenee tsisesti välillä [ x rx, + r] j funtiot ( ) x x ovt jtuvi, on summin jtuv välillä [ x rx, + r] j erityisesti siis pisteessä x.

42 4 Tsisest suppenemisest seur myös, että potenssisrj voidn integroid j derivoid termeittäin. Voidn osoitt (todistus sivuutetn), että näin sduill potenssisrjoill on sm suppenemissäde uin luperäisellä. Luse 3 Potenssisrj ( x x) = S( x), jon suppenemissäde = on R >, voidn ) integroid termeittäin: x ( ) + ( ), un x = = + t x dt= x x x x < R b) derivoid termeittäin: d dx ( ) ( ), un = = x x = x x x x < R. Stujen srjojen suppenemissäde on R. Kos potenssisrjst derivoimll stu funtiosrj on itsein potenssisrj, on potenssisrjll siis iien ertluujen derivtt. Tylorin srjt Jos potenssisrj ( x x) = S( x) derivoidn n ert sdn = ( n) ( n+ )! ( n+ )! S ( x) = n! n + n+ ( x x) + n+ ( x x) +,!! jo on voimss potenssisrjn suppenemisvälillä. Sijoittmll x = x sdn ertoimelle n lusee ( n) S ( x) n =, n=,,,, n!

43 4 missä on äytetty sopimust!=. Tästä seur, että jos funtio f ( x ) voidn esittää jollin välillä x x < R suppenevn srjn, = f ( x) = ( x x ) niin tämä esitys on ysiäsitteinen, sillä ertoimet ovt välttämättä ( ) f ( x) =, =,,,.! Nämä ovt smt uin funtion f Tylorin polynomin ertoimet: Funtion f n. steen Tylorin polynomi ohdss x on polynomi ( n) f '( x) f ''( x) f ( x) Tn ( x; x) = f( x) + ( x x) + ( x x) + +.!! n! Tylorin v ertoo, että jos funtio f on n ert jtuvsti derivoituv välillä ( x hx, + h), niin iill x ( x hx, + h) on voimss esitys f ( x) = T ( x; x ) + R ( x; x ), missä jäännöstermi n n f ( ξ ) Rn ( x; x ) ( x x ) ( n + )! ( n+ ) n+ =, jollin ξ ( x, x) ti ξ ( x, x). Oheisess uvioss on funtioiden x j x e hden limmn steen Tylorin polynomit ohdss j :

44 43 Jos funtioll f on iien ertluujen derivtt pisteen x ympäristössä ( x hx, + h) j lim R ( x) =, niin f:lle on voimss srjehitelmä, funtion f n n Tylorin srj pisteessä x : f ( x ) f x x x x x h x h. ( ) ( ) = ( ), (, + ) =! Tämä esitys on ysiäsitteinen. Toisin snoen, jos funtioll f on pisteen x ympäristössä potenssisrjehitelmä ( x x):npotenssien mun, se on funtion f Tylorin srj. Tylorin srj ohdss x = snotn myös Mclurin'in srjsi: ( ) f () f( x) =.! =

45 44 Seurvss äydään läpi täreimpien funtioiden Tylorin (Mclurin'in) srjoj. Esponenttifuntio e x 3 x x x = + x+ + +! 3! =, x.! = Tod.: Tylorin vn mun 3 n ξ x x x e n+, jollin (, ) ti (,) x e = + x x ξ x ξ x.! 3! n! ( n+ )! x Toislt potenssisrjn suppenemissäde =! ( )! lim + R= = lim = lim( + ) =,! + x joten suppenee iill. Tällöin sen yleinen termi lähestyy =! noll. Silloin Tylorin vn jäännöstermille sdn: ξ x e n+ e n+ Rn ( x;) = x < x, un n tpusess x> ( n+ )! ( n+ )! j ξ e n+ e n+ Rn ( x;) = x < x, un n tpusess x<. ( n+ )! ( n+ )! x Siis srj suppenee iill x j sen summ on e. x Yleinen esponenttifuntio (>) voidn muunt yllä olevsi: x lnx xln = e = e, joten sen Tylorin srjsi sdn x = + ( ln) x+ x + = x, (ln ) (ln )! =! jo myös suppenee iill.

46 45 Binomisrj rr ( ) rr ( ) ( r + ) + x = + rx + x + = x! + =! < x <. r ( ), un Tod.: Tässä tpusess ei nnt menetellä uten esponenttifuntion srj ehitelmän todistusess tehtiin, os nyt Tylorin vn jäännöstermin rvioiminen on hnl. Todetn ensisi, että oiell puolell olevn srjn suppenemissäde R on : lim + R = = lim =. r + Siis potenssisrj suppenee, un < x <. On vielä osoitettv, että sen summ on ( + x) r. Derivoimll funtio f ( x) = ( + x) r sdn f ( x) = r( + x) r. Todetn siis, että funtio on lurvoprobleemn ( + x) f ( x) = rf( x), f() = rtisu. Derivoimll srj termeittäin sdn srjn summlle Sx: ( ) rr ( ) ( r + ) S ( x) = rx! jost = r rr ( ) ( r + ) ( + x) S ( x) = ( + x) x =! rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = x + x!! = =,

47 46 rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = + + r x x! = =! r( r ) ( r n) n r( r ) ( r n+ ) = r+ ( n+ ) x + nx ( n+ )! n! n= n= r( r ) ( r n+ )( r n+ n) n = r+ x n= n! rr ( ) ( r n+ ) n = r+ r x = rs( x). n! n= Kos lisäsi S()=, on siis myös S(x) lurvotehtävän rtisu. Differentiliyhtälöiden olemssolo- j ysiäsitteisyysluseen (s. urssin loppuos) nojll on siis Sx ( ) = f( x) = ( + x) r. n Jos r on positiivinen oonisluu: r mm ( )( m ) ( m n+ ) = n! = m, niin iill n> m. Silloin binomisrj on päättyvä, stett m olev polynomi, j v on nimeltään binomiv: m mm ( ) mm ( ) m ( + x) = + mx + x + + x! m! m m n m mm ( ) ( m n+ ) m! = x, missä = =. n= n n n! n!( m n)! Seurvss ovt myös erioistpuset r= ½ j r= ½ : x x x x x = x x x x + x = + +.

48 47 Logritmifuntio 3 x x x ln( + x) = x + = ( ), < x 3 = Tod.: Geometrinen srj t t t t + t = + + < < 3, nt termeittäin integroitun x 3 x x ln( + x) = dt= x +, un < x<. + t 3 Pisteessä x = srj hjntuu, os se on hrmoninen srj errottun (-):llä. Pisteessä x = srj suppenee Leibnizin luseen perusteell. Sen summ on silloin väitteen muinen ln( + ) = ln, sillä: n dt n n n t ln ( ( ) ( ) ) = = t+ t + t + dt + t + t n n 3 ( ) n t = + + n + ( ) dt + t missä jäännöstermi lähestyy noll: n n n t t n ( ) dt dt < t dt =, un n + t + t n+.

49 48 Kun funtion ln( + x) srjehitelmään sijoitetn x:n pille -x, sdn 3 x x ln( x) = x. 3 Vähentämällä srjt toisistn sdn 3 5 ln + x x x = ( x ), < x <. x 3 5 Tämän srjn vull voidn mm. lse minä hyvänsä positiivisen luvun logritmin liirvo. Trigonometriset funtiot x x x sin x= x + = ( ), x 3! 5! ( + )! = x x x cos x = + = ( ), x! 4! ( )! 4 = Tod.: Derivoimll toistuvsti nähdään, että (4) f() =, f () =, f () =, f () =, f () =, jne. Siis Tylorin vn mun 3 5 n x x n x sin( x) = x + + ( ) + Rn, 3! 5! (n )! ± sinξ n+ ± cosξ n+ missä jäännöstermi on muoto x ti x. Siis (n+ )! (n+ )! jäännöstermit lähestyvät noll iill x, un n lähestyy ääretöntä. Kosinin ehitelmä todistetn vstvll tvll.

50 49 Oheisess uvioss on osinin j sinintylorin srjoist lupään ossummi: Tehtäviä 3) Johd srjehitelmät funtioille tn x j rctn x. xcot x 4) Lse srjehitelmiä hyväsiäyttäen rj-rvo lim x. x

51 5 3. Relifuntioiden määräämätön integrli Integrlifuntio Derivoinnin äänteistoimitusen on vstt ysymyseen "Miä on se funtio, jon derivtt on f?" Kos vion derivtt =, hvitn heti, että vstus ei voi oll ysiäsitteinen. Funtion f : S integrlifuntio (määräämätön integrli, primitiivi, ntiderivtt) on funtio F, jon derivtt on f: F ( x) = f( x), jollin välillä I funtion f määrittelyjouoss S. Jos F on funtion f integrlifuntio, niin myös F(x) + C on sitä iill vioill C (integroimisvio). Integrlifuntiolle äytetään yleisesti merintää F( x) = f( x) dx, joss integrlimeri tulee tyylitellystä S-irjimest snst summ. Tämä yhteys selittyy tuonnempn ns. määrätyn integrlin utt. Smoin symbolin dx sisältö trentuu silloin, nyt se voidn tso lähinnä merinnäsi, jo on josus hyödyllinen, esim. sijoittmismenettelyssä.

52 5 Seurvt perussäännöt oletetn tunnetusi luion ursseilt ti muilt iisemmilt opinnoilt. (Ne on helppo myös todist derivoimissääntöjen pohjlt.) Merintä F troitt funtion f integrlifuntiot: F( x) = f( x) dx. f x bg x dx f x dx b g x dx (linerisuus). ( ) + ( ) = ( ) + ( ) f xg xdx F x g x F x g xdx (osittisintegrointi). ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) f tdt= f( g x) g ( x) dx, t= g( x) (sijoitus) 3. () ( ) ( ) ( ) = ( ( )) f g x g x dx F g x 4. ( ) f x + b dx = F( x + b) 4. ( ) 4b. ( ) ( ) f x dx = ln f x f x ( ) 5. f ( x ) priton ( ) 5b. f ( x ) prillinen ( ) F x prillinen F x priton (jos vio C on vlittu siten, että ( ) F = )

53 5 Aleisfuntioiden integrointivoist edellytetään tunnetuisi seurvt. Ne ovt ii vstvien derivoimissääntöjen "äänteisvoj". (Oielle puolelle in lisättävä integroimisvio C on jätetty voiss meritsemättä.) + x + 6. xdx= ( ) dx 7. ln x = x edx= e 8. x x 9. sin xdx = cosx. cos xdx = sin x dx. cot x sin x = dx. tn x cos x = dx x 3. rctn ( ) + x = dx x x = > 4. rcsin ( ) dx 5. ln x x x + = sinh xdx = cosh x 7. cosh xdx = sinh x

54 53 Vrsinisi integroimisteniioj ei nyyisin symbolisten ohjelmistojen (Mple, Mtlb Symbolic Mthemtics Toolbox, Mthemtic, MthCd, ) stvuuden ti enää hrjoitell rutiinisi sti. Ohjelmistot eivät in uitenn selviä iist tilnteist ilmn pu, joten perustpuset on syytä tunte. Ohess on lueteltu täreimmät perusmenetelmät. Rtionlifuntioiden integrointi Rtionlifuntiot ovt polynomien osmääriä j niillä on yhteysiä moniin tenisiin sovellusiin, mm. siirtofuntioiden j integrlimuunnosten utt. Joinen rtionlifuntio on integroitviss j integrlifuntio esitettävissä leisfuntioiden vull ("suljetuss muodoss"). (Näin ei ole sinlit yleisesti funtioille. On pljon funtioit, joiden integrlej ei void esittää luseein ysinertisimmist funtioist. Tällisi ovt mm. useimmt fysiin "erioisfuntiot", uten Besselin funtiot.) Rtionlifuntio f( x) = Px ( ) Qx ( ) missä P j Q ovt polynomej, voidn j muotoon f( x) = K( x) + R( x) Qx ( ) missä K(x) on polynomi j rtionlifuntion R(x)/Q(x) osoittjn olevn polynomin R(x) ste on lempi uin nimittäjän Q(x). 3 Esim. x 3 x + 9 x+ 5 8 = x + x+, miä nähdään äsin lsien x x+ 3 x x+ 3 esimerisi joulm äyttäen:

55 54 x x+ x 3 3 x 3x + 9x+ 5 3 (x x + 6 x) x + 3x+ 5 ( x + x 3) x + 8 Oletmme jtoss, että näin on trvittess tehty, j siis polynomin R( x ) ste on pienempi uin Qx:n ( ) eli deg R( x) < deg Q( x). R( x) Tällöin on hjotettviss Q:n teijöiden suhteen Qx ( ) osmurtoehitelmäsi. (prtil frctions) Polynomi Q( x ) voidn j relisiin teijöihin, joiden steluu tyyliin m n ( ) = ( ) ( )...( + + ) ( + + )..., ( b, c d, ) Q x C x r x s x x b x cx d < < p q missä rs,, ovt ertluu m, n olevi relisi juuri, j toisen steen teijät jottomi, eli vstvt omplesijuuriprej. Silloin osmurtoehitelmän yleinen muoto on ( ) ( ) ( x r) ( ) R x R R R = + m Q x x r + + m + x r S S S x s ( x s) ( x s) Ax + B A px+ Bp p + x + x+ b x + x+ b n n + + ( ) ( ) Cx + + D Cx q + Dq + + q +, x + cx+ d x + cx+ d ( )

56 55 Esim. A B Cx+ D = + + = + x + ( x + )( x+ ) x ( x+ ) + ( x + )( x ) + B( x + ) + ( Cx + D)( x + ) ( x + ) ( x + ) A = A + C = 3 ( ) x + ( A + B + C + D) x + ( A + C + D) x + ( A + B + D) ( x + ) ( x + ) A + C =, A + B + C + D =, A + C + D =, A + B + D = A = B = C =, D =. x = + x + x + x + x + x + ( )( ) ( ) ( ) ( ) = Osmurtoehitelmässä olevt integrlit voidn lse seurvsti: 8. Adx ( x ) n Aln x, n= = A n, n ( n )( x ) 9. Ct n ( t + ) dt ( ) C ln t +, n= = C n, n ( n )( t + ). D D dt rctn t = ( t + )

57 56. I n = I D n dt lsetn reursiivisesti: ( t + ) Dt n = + I n t n ( + ) n+ n n ( n ). Ax+ B n dx ( b) ( x + x+ b) < plutetn edellisiin täydentämällä nimittäjässä olev toisen steen polynomi neliösi. Irrtionlifuntioiden integrointi Käsittelemme lyhyesti vin eräitä erityistpusi. Jos funtio on rtionlinen lusee R juuriluseeest, yseisen juuriluseeen sijoitus voi joht tuloseen. 3. R x, x b n + n dx, sijoitus t= x + b n, x= dt b cx d n + cx + d ct integrlin rtionlifuntiosi muuttujn t suhteen. muunt dx Neliösi täydentäminen 4. ( ) x + bx + c b b x bx c x c b t= x+ johtvt + + = + + j sijoitus 4 funtioihin rcsin ti logritmi vion etumeristä riippuen vojen 4 j 5 muisesti.

58 57 Sijoittmll sopiv trigonometrinen funtio voidn neliöjuurest päästä eroon: R x x dx x = sint, dx =, x = cost 5. (, ) R x x dx dt x = tnt, dx =, x + = cos t 6. (, + ) Vstvsti mereistä riippuen voidn hyödyntää hyperbolisi funtioit sijoitusin: R x x dx x = cosht, dx = sinhtdt, x = sinht 7. (, ) cos t Esponentti- j logritmifuntiot integroituvt myös josus sopivll sijoitusell ti osittisintegroinnill. x dt dx Sijoitus e = t, x = ln t, dx = t plutt rtionlifuntion integroinnisi. x 8. R ( e ) Rtionlifuntio luseeist sin j cos plutuu sijoitusell rtionlifuntion integroinnisi R x x dx x t t dt tn = t, sin x=, cos x=, dx= + t + t + t 9. ( cos,sin )

59 58 Tehtäviä Lse oheisten funtioiden integrlit:. sin x. e x 3. x/(x +) 4. x/(x 4 +) 5. x cosx 6. ln x 7. rctn x 8. x( x ) 9.. x 3x x x + x x + x x + Rtisuj. sin x dx = sin t t dt (sij. x = t, d( x)=d(x ½ )=½x -½ dx=dt dx=x ½ dt ) = t sint dt (ositt. int. u=t, v'=sint, u'=, v=-cost) = (-tcost + cost dt) = -t cost + sint = - x cos x + sin x + C.. e x dx = / e x dx = / e x + C

60 59 3. x/(x +) dx = ½ x/(x +) dx = ½ ln(x +) + C 4. x/(x 4 +) dx = ½ /(t +) dt (sij. x =t, x dx = dt, x dx = ½dt) =½rctn(t) = ½rctn(x ) + C 5. x cosx dx = xsinx - sinx dx (ositt. int. u=x, v'=cosx, u'=, v=sinx ) =x sinx +cosx + C 6. lnx dx = x lnx - /x x dx (ositt. int. u=lnx, v'=, u'=/x, v=x ) =x lnx - x + C 7. rctnx dx = x rctnx - /+x ) x dx (ositt. int. u=rctnx, v'=, u'=/(+x ), v=x ) =x rctnx -½ln(+x ) + C (Teht. 3) 8. I = /(x(x -))dx = (A/x + B/(x+) + C/(x-))dx /(x(x+)(x-)) = (A/x + B/(x+) + C/(x-) = A(x -) +Bx(x-) + Cx(x+) =(A+B+C)x + (-B+C)x -A A=-, B=C=½ I= (-/x + ½/(x+) + ½/(x-))dx = -ln x +½ln x+ +½ln x- +C 9. I = (x -3x+3)/(x 3 -x +x)dx (x -3x+3)/(x 3 -x +x) = (x -3x+3)/(x(x-) ) = A/x +B/(x-) + C/(x-) x -3x+3 = A(x-) + Bx + Cx(x-) x -3x+3 = (A+C)x + (-A+B-C)x +A A+C=, -A+B-C=-3, A=3 A=3, B=, C=- I= (3/x + /(x-) - /(x-))dx = 3 ln x -/(x-) -ln x- +C

61 6. I = (x+)/(x -x+)dx (nimittäjä joton) = ½ (x-)/(x -x+)dx + 3/ /(x -x+)dx = I + I I = ½ ln(x -x+) I = 3/ /((x-½) +3/4) dx (nimittäjä täydennettiin neliösi) dx = (3/) (4/3) (muunnettiin rctn mielessä) x ½ + 3/ = 3/ /(t +) dt, tehtiin sijoitus t=(x-½)/( 3/), dt=dx/( 3/) = 3 rctn t I=I +I = ½ ln (x x ½ -x+) + 3 rctn( 3/ + C

62 6 4. Relifuntioiden määrätty integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätystä integrlist, jo on läheistä suu summmiselle. Yhteys derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot snotnin differentili- j integrlilsennn ("nlyysin") perusluseesi. Tästä eteenpäin troitmme termillä "integrli" in määrättyä integrli, ellei toisin nimenomn snot. Integrlin esiintyminen liittyy usein umultiivisiin ilmiöihin. Esimerisi, jos yhden muuttujn funtio uv nopeutt v j i etenee hetestä t i välin t i, niin v(t i ) t i ertoo ivälillä t i edetyn mtn, liimin tosin, os v voi muuttu välillä t i. Kun jo i-selill tihennetään j mtplset summtn yhteen, tulln uljetun oonismtn liirvoon. Trstelln si geometrisesti. Jos positiivisen jtuvn rjoitetun funtion f(x) uvjn j x-selin välisen lueen pint-l hlutn määrittää välillä [,b], niin voidn äyttää suorulmioit ln pprosimoimiseen. Suorulmion oreudesi vlitn funtion suurin j vstvsti pienin rvo ntn olevll osvälillä. Jos osvälejä lyhennetään eli välin [,b] jo tihennetään, niin ilmeisesti ummtin pprosimtiot trentuvt. Edellisessä tpusess sdn pint-llle A yläpprosimtio S D j vstvsti jälimmäisessä l-pprosimtio s D. Kirjimell D on meritty pprosimtioon liittyvää jo, jo ll olevss uvss on tsvälinen. Jon D määrittelevät sen jopisteet = x< x< x < xn = b. Snomme, että S D j s D ovt funtion f joon D liittyvät ylä- j lsummt välillä [,b]. n Jos funtio on välillä [,b] svv, niin suurin rvo svutetn unin osvälin oiess päätepisteessä j pienin vsemmss oheisen uvion muisesti.

63 6 Viutt ilmeiseltä, että sillä ei ole meritystä, ono jo tsvälinen vi ei. Kos yläsummill (un joj D vihdelln mielivltisesti) on in lrjn miä hyvänsä lsumm, on niitten jouoll infimum eli suurin lrj inf S D D. Vstvsti lsummill on supremum eli pienin ylärj sups D. D Funtiot f snotn välillä I=[,b] integroituvsi (tremmin Riemnnintegroituvsi), jos yläsummien suurin lrj j lsummien pienin ylärj ovt smt: b sup sd = f( x) dx= inf S D D. D Tämä yhteinen rvo on funtion f (Riemnn-)integrli "yli välin [,b]" eli määrätty integrli. Voidn osoitt, että (inin) ii rjoitetut ploittin jtuvt funtiot ovt Riemnn-integroituvi.

64 63 Toinen tp on vlit välin [ b, ] jon D: = x< x< xn < xn = b osväleiltä [x i-, x i ] mielivltinen piste x * i j määrittää suorulmion oreudesi f(x * i ). Silloin l pprosimoi Riemnnin summ n i= f(x i * ) x i missä x i = x i - x i- on i:nnen osvälin pituus. Meritään suurimmn osvälin pituutt eli jon normi D = mx( xi xi ). Snomme, että jo tihenee rjtt, jos D, un i. Silloin siis osvälien määrä sv rjtt j niiden pituudet lähestyvät noll. i Funtion f määrätty integrli (Riemnn-integrli) on silloin b n f ( xdx ) = lim f( x ) x n n D i n = i n i missä rj-rvo troitt mitä hyvänsä Riemnnin summien jono, joss jot rjtt tihenevät. (Täsmälliset todistuset, s. urssit Mtemttinen nlyysi seä Mitt- j integrliteori.)

65 64 y o x x x3 x i f * ( x i ) xi x n b x * x * x * x 3 * x i * x n Määrätylle integrlille voidn joht seurvt perusominisuudet b. f ( xdx ) = f ( xdx). f ( x) dx= b c c 3. ( ) + ( ) = ( ) b b f xdx f xdx f xdx (dditiivisuus) b b b f x g x dx f xdx g xdx (linerisuus) 4. α ( ) + β ( ) = α ( ) + β ( ) b b 5. ( ) ( ) = / ( ) ( ) ( ) ( ) b f xg xdx F x g x F xg xdx (osittisintegrointi)

66 65 b f ( g x ) g ( x) dx= f ( t) dt ( t g( x) ) 6. ( ) gb ( ) ( ) g 7. ( ) ( ) ( ) ( ) b f x g x f xdx g xdx b b b = (Sijoitus) 8. f ( xdx ) f ( xdx ) Mb ( ), M= mx f ( x) b, Voidn osoitt, että välillä [,b] jtuvlle funtiolle f löytyy in piste c voimelt väliltä (,b) siten, että pint-l sdn yhdellä suorulmioll: b f(x)dx = f(c)(b-). Tämä yhtälö pätee myös muille uin ei-negtiivisille funtioille (siis ilmn em. geometrist tulint). (Integrlilsennn välirvoluse.) y y=f(x) f(c) c b x

67 66 Jos määrätyn integrlin ylärj otetn jtuvn funtion f integrliss muuttujsi: x G(x) = f(t)dt, niin stu funtio on differentioituv: x+h G(x+h) - G(x) = x f(t)dt - x+h f(t)dt = x f(t)dt = f(c) h = f(x) h + (f(c) -f(x)) h = f(x) h + ε(h) h missä x<c<x+h j ε(h) = f(c)-f(x), un h. Sdn siis tulos: Jos f on jtuv välillä [,b], niin funtion x G(x) = f(t)dt derivtt välillä (,b) on G '(x) = f(x). Siis erityisesti todetn, että G(x) on funtion f (x) integrlifuntio (primitiivi). Jos F on toinen f:n integrlifuntio, niin se ero G:stä vin vion verrn: F(x) = G(x) + C.

68 67 Kos G() =, on tämä vio C = F(). Siis mille hyvänsä f:n integrlifuntiolle F pätee x F(x) = f(t)dt + F(). Tästä sdn sijoittmll x = b yhteys, joll määrätyt integrlit voidn lse integrlifuntion vull: b f(x)dx = / b F(x) = F(b) -F() (Differentili- j integrlilsennn perusluse)

69 68 Epäoleelliset integrlit Jos integroimisväli ulottuu äärettömyyteen ti funtio on rjoittmton, edellä esitetty määrätyn integrlin määritelmä Riemnnin summn ei sellisenn toimi. Näistäin tpusist uitenin selvitään, un lähestytään tilnteit sopivill rj-rvoill. Yhteisellä nimellä näin syntyviä integrlej utsutn "epäoleellisisi integrleisi" (improper integrls). Integrointi yli äärettömän välin Iden on, että integroidn rjoitetun välin yli j nnetn muuttuvn päätepisteen (ti molempien) lähestyä ääretöntä. Jos näin stu lusee suppenee, yseinen rj-rvo sovitn integrlin rvosi j integrlin snotn suppenevn, muuten integrli hjntuu: b b f(x) dx = lim f(x)dx y y=f(x) S x b b f(x)dx = lim f(x)dx c f(x)dx = f(x)dx + c f(x)dx Viimeisessä tpusess on jouduttu äyttämään pun välipistettä c, jo voi oll miä hyvänsä äärellinen reliluu (usein c = ).

70 69 Huomttoon, että rj-rvo CPV r r r f(x)dx = lim f(x)dx, joss l- j ylärjt menevät "yhti" äärettömyyteen, ei välttämättä nn sm rvo uin sitä edeltävä määritelmä. Näin määriteltyä integrli snotn Cuchyn päärvosi. Jos integrli f(x)dx suppenee, se j Cuchyn päärvo ovt smt. Mutt toisin päin voi äydä niin, että Cuchyn päärvo on olemss, vi yo. integrli ei suppene. Srjteoriss hyödynsimme seurv tulost: Esim. Integrli Tpusess p sdn ntmll b (b>): /x p dx suppenee täsmälleen silloin, un p>: b /x p dx = /(-p) (b -p - ) /(p-), un p> j, un p<. Jos p=, niin (b>) b /x dx = ln b - ln = ln b, un b. y y y = x y = x x x

71 7 Integroitv funtio rjoittmton Jos funtio lähestyy (mhdollisesti toispuoleisen rj-rvon) plus ti miinus ääretöntä välin [,b] jossin pisteessä c, yseinen piste c (singulriteetti) eristetään, j integrlit määritellään ts rj-rvoin. Jos rj-rvo on olemss, integrli suppenee, muuten hjntuu: c = : b b t + s f(x)dx = lim f(x)dx c = b: b s t b f(x)dx = lim f(x)dx <c<b: b c f(x)dx = b f(x)dx + c f(x)dx y y y y=f(x) x = b t b x t b x c b x Esim. Integrli /x p dx suppenee täsmälleen silloin, un p<: Singulriteetti on nyt ilmeisesti ohdss. Jos s>, s +, niin silloin tpusess p on s /x p dx = /(-p) (-s -p ) /(-p), un p<, j, un p>. Jos p=, niin (s>) s /x dx = ln - ln s = -ln s, un s +.

72 7 5. Integrointi n-ulotteisess vruudess Tso-integrli Yleistetään edellä esitetty määrätyn integrlin äsite ensin tsoon, 3 n sitten olmiulotteiseen vruuteen j lopusi yleiseen :ään. Kiiss tpusiss yhteisenä ominisuuten on integrlin liittyminen umultiivisiin ilmiöihin. Esimerisi tsolueen (region) R pinttiheyden ρ(x,y) j pienten pintlioiden i tulojen ρ(x,y) i summist sdn R:n mss. Ajtusen on j integroitv tson jouo pieniin plsiin, uten yhden muuttujn tpusess väli [,b] jettiin osväleihin. Nyt jouot voivt uitenin oll huomttvsti monimutisempi uin yhden muuttujn tpusess. Oheisiss uviss lue R on jettu smnooisiin (miä ei yleisesti ole välttämätöntä) plsiin R sisältäpäin.

73 7 Avruudess snomme väleisi sellisi suorulmioit, jot ovt sivuiltn oordinttiselien suuntisi. Krteesist tulo hyväsi äyttäen suljetun välin muoto on siis I = [,b] [c,d] = {(x,y) x b, c y d}. Vstvsti määritellään voimet välit. Suljetun välin pint-l tsotn selviösi j sovitn, että se on (I) = (b-)(d-c). Avoimen välin pint-l on sm. (Tämä voitisiin todist ll olevn pint-lmitn määritelmän vull.)

74 73 Suljetut välit ovt sisäosiltn erillisiä, jos niiden sisäost eivät lei. (Reunoiss s oll yhteisiä pisteitä.) Oloon R tson rjoitettu jouo. Jouo R voidn pprosimoid sisältäpäin suljettujen sisäosiltn erillisten välien R R äärellisillä yhdisteillä: R R. Vstvsti ulopuolelt: R S. Näillä välien yhdisteillä on äärellisinä summin pint-lt: ( R )=(R )+ (R )+..., ( S )=(S )+ (S )+.... Jouon R sisäl on iien minitun tyyppisten sisäpuolelt pprosimoivien väliyhdisteiden pint-lojen pienin ylärj, j vstvsti ulol ulopuolelt pprosimoivien väliyhdisteiden pintlojen suurin lrj. Jouo R on (Jordn-)mitllinen, jos sisäl j ulol ovt smt. Silloin yhteinen rvo on jouon R l (Jordn-mitt, pint-l, pintmitt,...), meritään (R). Jouo R on nollmittinen, jos sen l on. Jonin ominisuuden snotn olevn voimss melein iill X:ssä, jos se on voimss iill X:ssä, pitsi mhdollisesti nollmittisess X:n osjouoss. Voidn osoitt, että rjoitettu tsojouo R on Jordn-mitllinen täsmälleen silloin, un sen reun on nollmittinen. Siis ei-mitlliset jouot ovt siinä mielessä melo "ptologisi", että niillä on pljon reun: Reunn pint-l on ei-mitllisill jouoill positiivinen.

75 74 Nyt voidn tsointegrli jouon R yli määritellä nlogisesti yhden muuttujn tpusen nss Riemnnin summill. Kun integroimisjouon jo pienempiin osiin tehdään, joisen joon uuluvn osjouon pint-l on määritelty, miäli ost ovt Jordn-mitllisi. Kos Jordn mitllisill jouoill pint-l on sm uin sisäl, voidn jo ilmeisesti orvt pprosimtiivisesti välien yhdisteellä. Funtion f: Riemnnin integrli yli tsojouon R määritellään Riemnnin summien rj-rvon, un jo tihennetään: R f ( xyd, ) = lim f( x, y) D i i i i Jo tässä määritelmässä voidn in sd in siten, että R sijoitetn yhteen väliin I = [,b] [c,d] j jetn ysiulotteiset välit [,b] j [c,d] uin osväleihin. Kun näiden osvälien joj tihennetään, tihenee välin I jo j smll R:n jo. Merintä D troitt jon normi, jo voidn lse osvälien jojen normien D j D vull muodoss D = (D,D ). Pint-l i uv jon yleisen välin R i pint-l j piste (x i,y i ) on väliltä R i vlittu join piste.

76 Voidn todist, että funtio f on Jordn-mitllisess jouoss R Riemnn-integroituv täsmälleen silloin, un se on siellä rjoitettu j melein iill jtuv. (Lebesguen integroituvuusehto Riemnnintegrlille) 75

77 76 Erityisesti siis jos R on suljettu (rjoitettuhn se on jo iisemmn oletusen mun) niin joinen jtuv funtio on omptiss jouoss R rjoitettu j siis Riemnn-integroituv. Jos funtio f(x,y)= jouoss R, niin integrli nt R:n pint-ln (Jordn mitn): R ( ) = d. R Toisin ilmistun: Jouon R rteristisen funtion χ R (x) =, un x R, χ R (x) = muuten, integrli yli oo tson on jouon R pint-l: (R) = χ R d. Kytentä tsointegrlin j tilvuuden välille sdn, un todetn, että hden muuttujn funtion f(x,y) uvjn j xy-tson välisen ppleen tilvuus on {(x,y,z) R 3 (x,y) R, z f(x,y)} f ( xyd, ). R (Vert yhden muuttujn funtion tilnteeseen: Kuvjn j x-selin väliin jäävän lueen pint-l on määrätty integrli.)

78 77 Oheisess uvioss on pint z=f(x,y) j sitä on pprosimoitu ohdss ( x, y ) tson plsell T, jo on ( x, y) -tson suuntinen j jon projetio tälle on R. Pylvään tilvuus on silloin f ( x, y) x y. Tilvuus sdn siis Riemnnin summn. (Jälimmäisessä uvss pylvään mittsuhteit on liioiteltu suuremmisi.)

79 Pylväiden tihentämistä j summmist hvinnollist myös seurv uv: 78

80 Tällinen integrli voidn lse sinertisen integrlin edellyttäen, että pohj R on esitettävissä hden funtion välissä olevn tsolueen, jon voi "mlt" ordinttiselien suuntisin vedoin, uten seurvss uvss: 79

81 8 Integrli voidn esittää iteroitun integrlin, jolloin lsent plutuu hdesi yhden muuttujn perääisesi integroinnisi: b g ( x ) ( ) mer. b g x f ( xyd, ) = ( f( xydydx, ) ) = f( xydydx, ). R g( x) g( x) Sisempi integrli nt yllä olevss uvss näyvän pint-ln A( x ): g( x) A( x) = f( x, y) dy. g( x) Tätä lsettess muuttuj x on siis prmetrin vion rooliss. Jos lueen R muoto sllii, niin integrliss on mhdollist viht integroimisjärjestystä. Kun edellä "mlttiin" R pystysuorin vedoin eli y- selin suuntisesti, niin silloin mltn vsuorin vedoin eli x- selin suuntisesti. Helpoin tilnne on, jos R on suorulmio [,b] [c,d]: b d d b f ( x, y) d = ( f ( x, y) dy) dx = ( f ( x, y) dx) dy. R c c Muuttujn vihto tsointegrliss edellyttää ns. Jcobin determinntin äsitettä, j siihen pltn myöhemmin differentililsennn yhteydessä. Minitn uitenin tärein tpus, eli siirtyminen npoordintistoon x = rcos ϕ, y= rsinϕ : f ( x, y) d = f ( rcos ϕ, rsin ϕ) rdrdϕ. R S Huom luseeeseen ilmntunut teijä r (jo nyt on se minittu Jcobin determinntti). Integroimislue R on tässä muuntunut (, ) r ϕ -tson lueesi S. All olevss uvss on esimeri tilnteest, joss npoordintteihin siirtyminen on järevää:

82 8 3 π / f ( xyd, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ) rdϕdr. R

83 8 Avruusintegrli 3 Integrointi 3-ulotteisen vruuden osjouon Ω yli snotn usein vruusintegroinnisi, vi sitä usempiulotteisetn integrlit eivät ole hrvinisi. Yleistys -ulotteisest tpusest on suorviivist. Väli on nyt 3- ulotteinen suorulminen särmiö, jon särmät ovt oordinttiselien suuntiset: I = [, b ] [, b ] [ 3, b 3 ]. Välin I mitt on tilvuus j vstvnlisell onstrutioll uin tsoss sdn mielivltisen rjoitetun jouon Ω sisä- j ulotilvuus. Jouo on Jordn-mitllinen, jos sisä- j ulotilvuus ovt smt, j silloin niiden yhteinen rvo on jouon Ω tilvuus (3-ulotteinen Jordn-mitt, tilvuusmitt). Nollmittinen jouo on sellinen, jon tilvuus on. Rjoitetun jouon voidn osoitt olevn Jordn-mitllinen täsmälleen silloin, un sen reunn tilvuus on. Riemnnin integrli määritellään Riemnnin summien rj-rvon. Rjoitettu jouo Ω, jon yli integroidn, sijoitetn riittävän isoon väliin ("ltioon"), jon oordinttiselien suuntiset särmät jetn ysiulotteisen välin jojen muisesti. Kun unin särmän jo tihennetään, tihenee ltion jo j Riemnnin summn edellyttämä tihennys sdn in. Avruusintegrli yli jouon Ω meritään f ( x ) dv. Ω Lebesguen integroituvuusehto on voimss vruusintegrleillein. Oheisess uvss on olmiulotteisen vruuden pple j sen sisällä näyvillä ysi väli eli suorulminen särmiö Q, ns. tilvuuselementti.

84 83 Funtion f ( xyz=,, ) integrli nt nyt jouon tilvuuden: v(ω) = dv. Ω Myös vruusintegrlit voidn lse iteroituin integrlein, jos lue Ω on sopiv muoto. Kpple Ω on silloin rennettv olmiulotteisist tilvuuselementeistä oordinttiseleiden suuntisesti. Helpoin tilnne on, jos Ω on suorulminen särmiö [, b ] [, b ] [ 3, b 3 ]: Ω b b b3 f ( xyzdv,, ) = ( ( f( xyzdzdydx,, ) ) ) 3 mer. b b b3 3 f ( xyzdzdydx,, ) =. Siirtyminen sylinterioordintistoon x = rcos ϕ, y= rsin ϕ, z= z tphtuu smn tpn uin tsoss npoordintteihin: f ( xyzdv,, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ, zrdrd ) ϕdz, Ω Ωrϕ z missä Ω on muunnettu sylinterioordintein ilmistusi lueesi Ω rϕ z.

85 84 Siirtyminen pllooordintistoon: Pllooordintit ovt x = ρ sinφcos θ, y= ρsinφsin θ, z= ρcosφ, jot selittyvät oheisest uviost. Alemmss uvss on esitetty pisteen (, 6,4 ) pllooordintit. Muunnosv integrlille on nyt f ( xyzdv,, ) = f( ρ sinφcos θρ, sinφsin θρ, cos φρ ) sinφdρφθ d d. Ω Ωrφθ

86 85 n Integrli vruudess määritellään täysin nlogisesti edellisten nss: Korvtn vin dimensiot ti 3 yleisellä n:llä, väli on n:n relivälin rteesinen tulo. Al j tilvuus orvutuvt yleisellä Jordnin mitll. n Lopusi todettoon Jordnin mitst: Se täyttää ii :n mitlle yleensä setetut vtimuset (tyhjän jouon mitt on, ei-negtiivinen, siirto-invrintti, äärellisesti dditiivinen) pitsi numeroituvsti dditiivisuutt. Erillisten jouojen yhdisteen mitt on jouojen mittojen summ äärellisen monelle jouolle, mutt Jordn-mitn tpusess ei välttämättä äärettömän monen. Tämä iheutt ongelmi moniss rjrvoysymysissä, jost syystä Jordn-mitt ei ole ovin yleisessä äytössä pitemmälle menevissä mtemttisiss trsteluiss (sen j Riemnnin integrlin on orvnnut mm. Lebesguen mitt j integrli).

87 86 Esimerejä. I= olmio. R xyd, missä R on suorien y=x j x=4 seä x-selin rjm 4 x Silloin I = xydydx = x x dx = x dx = 4 = 3 8 Sm tulos sdn myös integroimll toisess järjestysessä eli 44 xydxdy. y

88 87. Lsetn sen nelithon tilvuus, jot rjoittvt tso x + y+ z= j oordinttitsot. Piirtämällä uvio nähdään, että tilvuus sdn funtion z= f( x, y) = x y integrlin yli xy-tson lueen R. V= R x ( x yd ) = ( x ydydx ) (( x ) x ( x ) ( x ) ) dx = /3. =

89 88 3. Lsetn sen vruuden R 3 ei-negtiivisess otntiss olevn ppleen tilvuus, jot rjoittvt oordinttitsot, tso x + y = j pint z= 4 x. y 3 V= (4 x ) d= (4 x ) dxdy= =. R

90 89 4. Lsetn sen ppleen tilvuus, jon sylinteri x + y = y lei pllost x + y + z = 4. π sinθ (siirryttiin npoordintistoon) V = 4 x y d = 4 r rdrdθ R π /sinθ π 4 rrdrd d d / π / 3/ 3/ θ = 4 = ((4 4sin θ ) 4 ) θ = (cos θ ) θ tul. = + π

91 9 5. Lsetn funtion f ( xy, ) = xyvruusintegrli yli nelithon, jot rjoittvt oordinttitsot j tso x + y+ z= 4. 4 x 4 x y 5 3 xydv = xydzdydx = =. Ω Sm integrli voitisiin lse myös esimerisi järjestysessä 4 4 y(4 y z)/ xydxdzdy (Ktso ll olev uv.)

92 9

93 9 6. Lsetn pinnn z = 4 y j tsojen x + z= 4, x=, z= rjoittmn ppleen tilvuus. V= 4 y 4 z 8 dv = dxdzdy = =. 5 Ω

94 93 6. Mtriisilsennn perusteit Mtriisit Mtemtiiss ysi äytetyimmistä numeerisen tiedon esitysmuodoist on mtriisi. Se on sinällään ysinertinen tietorenne, joss esitetään jouo dtoj tuluomuodoss. Yleisistä tuluoist poieten mtriiseihin uitenin liitetään mtemttisi ominisuusi, uten lsutoimitusi, jot teevät niistä monipuolisi työluj sovellettuun mtemtiin. Mtriisi on m-rivinen j n-sreinen tuluo: A =.. m.. m n n.. mn Mtriisin liot ovt ij, i =,,m, j =,,n. Siinä on m riviä eli vriviä j n srett eli pystyriviä. Mtriisin oo on tällöin m n eli A on m n-mtriisi. Erityisesti n-mtriisi on vvetori j m - mtriisi on pystyvetori. Mtriisi meritään pitsi yllä olevn tpn luettelemll sen liot h- ti risuluill ympäröityinä, myös lyhyemmin A = ( ij ) = [ ij ]. Myös äytetään merintää ( A) ij ohdss (i,j) olev lio on ij. = ertomn, että mtriisin A ij

95 94 Mtriisi voidn jtell myös rennetusi vvetoreistn A i : A = A A : A m ti pystyvetoreistn j : A = [ n ]. Nämä ovt esimeritpusi yleisemmistä lohomtriiseist, joiss lohot voivt oll muitin osmtriisej uin pysty- ti vrivejä. Mtriisit A j B ovt smt, A = B, jos ne ovt smnooiset j niiden ii liot ovt smt: A = ( ij ), B = (b ij ), ij = b ij, iill i,j. Eri ooisi mtriisej ei voi verrt toisiins tässä mielessä. Mtriisi on neliömtriisi, jos siinä on yhtä mont v- j pystyriviä eli m=n. Neliömtriisin (pää)lävistäjä oostuu lioist,, nn. Lävistäjämtriisi on sellinen, joss ii lävistäjälle uulumttomt liot ovt =. Erityismtriiseist täreimpiä ovt ysiömtriisi I n = I = : : : jo on in neliömtriisi oo n n (n jätetään usein meritsemättä, jos se on siyhteydestä selvä) j

96 95 nollmtriisi O = : : , : jon oo voi oll miä hyvänsä m n. Mtriiseille määritellään olme lsutoimitust, yhteenlsu (summ), slrill ertominen j mtriisitulo. Yhteenlsu on määritelty smnooisille mtriiseille A = ( ij ) j B = (b ij ) : A + B = ( ij + b ij ) eli vstinliot lsetn yhteen. Slrill ertominen troitt mtriisin A ertomist reliluvull c eli slrill: ca = (c ij ) eli joinen A:n lio errotn luvull c. Sm mtriisi on myös Ac. Vähennyslsu on yhdistelmä yhteenlsust j slrill ertomisest: A B = A+ ( ) B. Mtriisitulo on monimutisempi opertio, jon perustelun on lineriuvusien yhdistämisen mtriisiesitys.

97 96 Tulo on määritelty, un ertojn A = ( ij ) on m p-mtriisi j errottvn B = (b ij ) on p n-mtriisi, eli A:ss on oltv yhtä mont srett uin B:ssä on vrivejä. Silloin missä AB = C =(c ij ), c ij = p b i j. = Siis tulon C i:nnen rivin j j:nnen sreen lio sdn ertomll A:n i:nnellä rivillä B:n j:s sre pistetulon mielessä eli vstinliot errotn esenään j näin sdut tulot lsetn yhteen. Kvion tulo on 3 - j -mtriisien tpusess: AB = b + b b + b b b b b b b b b b b = b b Siis tulomtriisi voidn lse rivi i errlln, un A:n rivillä i errotn (pistetulon) B:n joinen sre järjestysessä ensimmäisestä viimeiseen. Ti tulo sdn myös sre j errlln, un B:n sre j errotn vuoronperään joisell A:n rivillä järjestysessä ensimmäisestä viimeiseen. Seurvt lsusäännöt ovt voimss:. A + O = A. A = O 3. A + B = B + A 4. (A + B) + C = A + (B + C) 5. c(a + B) = ca + cb 6. A = A

98 97 7. A(BC) = (AB)C 8. c(ab) = (ca)b = A(cB) 9. A(B + C) = AB + AC. (A + B)C = AC + BC. IA = AI = A. OA = O & AO = O Tässä on mtriisin oo in tilnteen mun sellinen, että meritty lsutoimitus on määritelty (c, j ovt slrej). Todistuset: Säännöt - 6, 8 j - seurvt välittömästi määritelmistä j reliluujen vstvist ominisuusist. 7. Oloot A= ( i ), B = ( bl ), C = ( clj ) oo m p, p q, q n vstvsti. Silloin p p q p q ( ABC ( )) = ( BC) = bc = bc = ij i j i l lj i l lj = = l= = l= q p q p q bc = ( b) c = ( AB) c = (( ABC ) ). i l lj i l lj il lj ij l= = l= = l= 9. p ( AB ( + C)) = ( B+ C) = ( b + c ) = ij i j i j j = = p p p p ( b + c) = b + c = ( AB) + ( AC). i j i j i j i j ij ij = = =. Menee vstvll tvll uin 9. Usein -mtriisi pidetään slrin: [c] orvtn slrill c. (Kertolsun oovtimusien ti tämä ei in ole mhdollist. Esimerisi c(ab) = (ca)b = A(cB) pitää pins slrille c, mutt ei yleensä -mtriisille [c].) Verrttun tuttuun reliluujen lgebrn todetn, että mtriisitulo ei ole vihdnninen eli yleensä AB BA.

99 98 Mtriiseille omininen opertio, jo "slrimilmss" ei näy, on trnsponointi eli v- j pystyrivien vihtminen esenään. Koo m n olevn mtriisin A =( ij ) trnspoosi on n m-mtriisi eli jos A T = ( ji ) A =.. m.. m n n.. mn niin A T =.. n.. n m m... mn Nähdään siis, että (A T ) ij = ji. Neliömtriisin tpusess trnsponointi meritsee peilust lävistäjän suhteen. Usein äytetään myös merintää A t ti A'. Mtriisi, jo ei muutu trnsponoinniss, on symmetrinen. Se on siis välttämättä neliömtriisi (mutt joinen neliömtriisi ei ole symmetrinen). Symmetrisyyden ehto on siis A T = A. Neliömtriisi A on vinosymmetrinen, jos lävistäjän suhteen symmetrisessä semss olevt liot ovt toistens vstluuj: ji = - ij. Tällöin siis lävistäjäliot erityisesti ovt =. Vinosymmetrisyyden ehdon voi ilmist myös muodss A T = -A.

100 99 Trnsponointi toteutt seurvt lsusäännöt (jtetn numerointi): 3. (A + B) T = A T + B T 4. (ca) T = ca T 5. (AB) T = B T A T 6. (A T ) T = A Tod.: Kohdt 3, 4 j 6 helppoj seurusi määritelmistä. 5. p p p T T T T T T T = = ij ji = j i = j i = i j ij = = = (( AB) ) ( AB) ( A) ( B) ( A ) ( B ) ( B ) ( A ) ( B A ) Erityisesti todetn, että trnsponointi "nost" vvetorin pystyvetorisi j päinvstoin: y = [y y y n ], y T = y y y n x = x x x n, x T = [x x x n ]. Avruuden R n vetoreit tulln jtoss pääsääntöisesti pitämään pystyvetorein. Tällöin vetori x on n -mtriisi j vetorien lsuopertiot sdn utomttisesti mtriisien lsutoimitusist.

101 Pistetulo s silloin muodon u T v = [u u u n ] v v v n = u v + u v + +u n v n. Tästä syystä nimitysin on R n :ssä useimmiten pistetulon sijst slriti sisätulo. Mtriisiertolsu voidn nyt esittää myös muodoiss AB = A [b b b n ] = [Ab Ab Ab n ], missä b j on mtriisin B j:s pystyrivi j siis Ab j on tulon AB j:s pystyrivi ti AB = A A A m B = A B A B A B m, missä A i on A:n i:s vrivi, j siis A i B on tulon AB i:s vrivi. Lsutoimitusist puuttui yllä jolsu. Oslle mtriiseist on uitenin olemss äänteismtriisi, j silloin tällisill mtriiseill voidn "j" sopivnooisi mtriiseit. Neliömtriisi A on ääntyvä, jos on olemss sellinen smnooinen mtriisi B, että AB= BA= I. Tällöin mtriisi B snotn mtriisin A äänteismtriisisi j meritään B= A. (Kuten snmuodot ntvt ymmärtää, äänteismtriisi on ysiäsitteinen, miäli se on olemss. Jos nimittäin C olisi myös A:n äänteismtriisi, niin C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B.)

102 Myöhemmin osoitetn, että yllä olevst vtimusest AB= BA= I riittää äänteismtriisin olemssololle trist vin toinen (AB=I ti BA=I), jolloin toinenin ehdoist toteutuu. Jos A on ääntyvä j mtriisien dimensiot ovt sopivt, niin yhtälön AX = C rtisu on X = A C. Tämä stiin ertomll yllä olev yhtälö puolittin vsemmlt. Vstvsti yhtälön YA = F rtisu on Y = FA. Huomttoon, että vi edelliset rtisut muistuttvtin jolsu, niitä ei meritä muodoss X C F = ti Y =, A A sillä nämä ovt epämääräisiä, niistä ei äy ilmi ummlt puolelt A :lläerrotn. Käänteismtriisi noudtt seurvi lsusääntöjä: (A j B oletetn ääntyvisi smnooisisi neliömtriiseisi) 7. ( A ) = A ( AB) = B A ( T A ) = ( A ) T Tod.: 7. Jos C=A -, niin CA=AC=I, joten määritelmän nojll C - =A ( B A )( AB) = B A AB = B IB = B B = I j vstvsti toisin päin. T T T T T T T T ( ) ( ), ( ) ( ) A A = AA = I = I A A = A A = I = I Käänteismtriisin muodostmiseen j lsemiseen plmme myöhemmin.

103 Esim. Osoit, että iill mtriiseill A on A T A symmetrinen. M : = AA T, M T = ( AA T ) T = A T ( A T ) T = AA T = M. Esim. Rtise mtriisi X yhtälöstä AX A = B. AX A B AX A A B A = = AX B A A AX A B A = = ( ) X = A B A X = A B A = A BA. Determinntit Determinnttien määritelmä esitettiin Lm:ssä permuttioiden vull. Ktsomme tässä determinntti lähinnä sen "ehittämisen" nnlt. Historillisesti on yllättävää, että determinnttien oppi ehittyi pitälle huomttvsti ennen mtriisej. Leibniz oli ilmeisesti ensimmäisiä, jo äytti determinnttej yhtälöryhmän rtisuiss. Tämä tphtui ivn 6-luvun lopuss, j vst 85-luvull Jmes Sylvester otti äyttöön termin "mtriisi" erottseen determinntin (jo on luu) siitä luuviost, jost determinntti lsetn. Neliömtriisin A determinntti det(a) on luu, jo voidn määritellä reursiivisesti mtriisin oon n suhteen. Determinntist äytetään myös merintää det( A) = A. (Tässä ei ole siis yse itseisrvost, vn pystysuorien väliin irjoitetn mtriisin A liot.) Determinntti määräytyy oon n mun lupäästä luien seurvsti: n=: A = [ ], det( A) =. n=: A =, det( A) =

104 3 n=3: 3 A = 3, det( A) = = C C 3C3 Tämä viimeisin muoto yleistyy yleiselle n:lle, jolloin yseessä on determinntin "ehittäminen. vrivin mun". Trstelln mtriisi, jo on stu mtriisist A poistmll siitä rivi i j sre j (eli se rivi j sre, joll lio ij on). Näin stu mtriisin A limtriisi A ij on A:n (i,j)-minori. Esimerisi: 3 3 A = 4 5 6, (3,)-minori on A3 = Minorin A ij determinntti det( A ij) on mtriisin A (i,j)-lideterminntti. Kun lideterminnttiin "otetn merinvihtelu mun", sdn mtriisin A (i,j)-oftori eli (i,j)-omplementti: C ij i+ j = ( ) det( A ). ij Näiden vull sdn n n-mtriisin A determinntti määriteltyä yhtä pienempien eli ( n ) ( n ) -mtriisien determinnttien vull: det( ) n n A = = C + C + + ncn n n nn

105 4 Tämä lusee on determinntin lseminen ehittämällä. vrivin mun. Voidn osoitt, että sm tulos sdn, jos determinntti lsetn ehittämällä minä hyvänsä vrivin ti minä hyvänsä pystyrivin mun. Esim. 3 A 3 =, jost ehittämällä. vrivin mun: = + ( ) = 7 ( 5) + ( )3 ( 6) = 6. Tässä oo 3 3 olevt lideterminntit lsettiin edelleen sivun vll. Kun determinntti ehitetään i:nnen vrivin mun, sdn vsi det( ) n n A = = C i i+ C i i+ + C in in n n nn j ehitettynä j:nnen pystyrivin mun det( ) n n A = = jcj+ jcj+ + njcnj n n nn

106 5 Helpoimmt mtriisit determinntin lsemisen nnlt ovt olmiomtriisit. Mtriisi U = ( u ij ) on yläolmiomtriisi, jos sen lävistäjän lpuolell olevt liot ovt nolli: uij =, un i> j. Mtriisi L = ( l ij ) on lolmiomtriisi, jos sen lävistäjän yläpuolell olevt liot ovt nolli: lij =, un i< j. Yläolmiomtriisiss nollst poievt luvut voivt oll siis vin lävistäjällä ti sen yläpuolell, j lolmiomtriisiss vstvsti lävistäjällä ti sen lpuolell. Kun yläolmiomtriisin determinntti ehitetään ensimmäisen pystyrivin mun, j seurvss viheess ts smoin, huomtn, että determinntisi sdn lävistäjälioiden tulo. Smoin lolmiomtriisill determinntti on lävistäjälioiden tulo. Kos lävistäjämtriisi on umpin yllä minittu tyyppiä, on siis erityisesti lävistäjämtriisin determinntti in lävistäjälioiden tulo. Determinntin perusominisuusi Seurvss A j B ovt smnooisi neliömtriisej j c slri. (Kunin ominisuuden ohdll on esimeritilnne.). Jos mtriisin A join v- ti pystyrivi sisältää pelästään nolli, niin det(a)=. 3 3 = 4 6 = Jos mtriisin A jonin v- ti pystyrivin ii liot errotn luvull c, niin det(a) tulee errottu c:llä =

107 6 3. Jos mtriisiss A vihdetn esenään hden vrivin ti hden pystyrivin pi, niin det(a):n meri vihtuu = Jos mtriisiss A on si smnlist vriviä ti si smnlist pystyriviä, niin det(a)= = 3 5. Jos mtriisin A v(pysty)rivi on vio ert toinen v(pysty)rivi, niin det(a)= = Oloon mtriiseill A j B on ero vin yhden v- ti pystyrivin lioiss. Silloin determinnttien summ det( A) + det( B) = det( C), missä C:n liot ovt smt uin A:n j B:n, pitsi minituss erovss rivissä, jon liot ovt nyt A:n j B:n vstinlioiden summt =

108 7 7. Determinntin rvo ei muutu, jos mtriisin johonin (v- ti pystyriviin) lisätään toinen (smnsuuntinen) rivi jollin violl errottun = 4 + ( 4) 5 + ( 4) 6 + ( 4) 3 = = = 3 6 = Mtriisin A trnspoosin A T determinntti on sm uin A:n: T det( A ) = det( A) = Tulon determinntti on determinnttien tulo: det( AB) = det( A)det( B) 8 = = 3 8. Jos mtriisist muodostetn jonin v- ti pystyrivin mun ehitelmä uten determinntti lsettess, mutt oftorit

109 8 poimitn joltin toiselt (smnsuuntiselt) riviltä, niin tulos on in noll: C + C + + C in jn = δij det( ) i j i j A C + C + + nicnj = δij det( ) i j i j A missä δ ij, i= =, i j j. A = 5 3, ( ) + + ( )( ) = 3 3 Ominisuusist voidn useimmt todist määritelmien perusteell "suorll lsull". Vieimpi ovt ohdt 8 (indutioll oon n suhteen) j 9, mutt sivuutmme niiden todistuset tässä urssiss. Seurvss trstelemme determinnttien yhteyttä äänteismtriiseihin. Alusi nähdään perusyhteys: Jos A on ääntyvä, niin det( A ) =. det( A) ) Tämä seur yhtälöstä det( I ) det( AA = = ) = det( A)det( A ). Erityisesti nähdään siis, että ollseen ääntyvä, mtriisill on determinntin oltv nollst erov. Koht nähdään, että tämä ehto on myös riittävä mtriisin ääntyvyydelle. Muodostetn oftoreist C ij mtriisi ( C ij). Sdun mtriisin trnspoosi on mtriisin A djungoitu mtriisi 9

110 9 T dj( A) = ( C ) = ij C C C C C C C C C n n n n nn. Käyttämällä ominisuutt sdn nyt äänteismtriisin lusee determinnttien vull: A = dj( A). det( A) Tämä seur suorll ertolsull: C C C n n n C C C n Adj( A) = n n nn C C Cnn n n = C + C + + C C + C + + C C + C + + C n n n n n n n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + C n n n n n n n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + n n nn n n n nn n n n n n nn C nn det( A) det( A) = = det( A) = det( A) I det( A). Siis A( dj( A)) = I, j smll tvll nähdään tulo toisess järjestysessä. det( A)

111 Todettoon, että yllä olev v ei ole numeerisesti sovelis tp lse äänteismtriisi. Myöhemmin esitetään muit, lsennllisesti prempi einoj. Käänteismtriisin vst nähdään, että äänteismtriisi on olemss, jos det(a). Näin stiin perustulos: Mtriisi A on ääntyvä det(a). Mtriisi A, jolle det(a) =, snotn singulrisesi. Tästä syystä ääntyvää mtriisi hyvin usein utsutn ei-singulrisesi. Siis: Mtriisi on ääntyvä täsmälleen silloin, un se on ei-singulrinen. Redusoitu riviporrsmuoto Lineristen yhtälöiden ryhmiä rtistess on jo ouluss opittu muomn yhtälöitä niin, että yhtälöryhmän rtisu lopult on luettviss suorn jäljelle jääneestä muotust ryhmästä. Käytettäviin opertioihin uului yhtälöiden ertominen ti jminen sopivll luvull, yhtälöiden järjestysten vihtminen j muuttujien eliminoiminen lisäämällä join yhtälö violl errottun toiseen yhtälöön. Mtriisej äytettäessä linerinen yhtälöryhmä s ysinertisen j tiiviin muodon:

112 Yhtälöryhmä x + x + + nxn = b x + x + + x = b n n x + x + + x = b m m on erroinmtriisi mn n m A = n n m m mn, muuttuj x = x x x n j oie puolt b = b b b m äyttämällä esitettävissä mtriisiyhtälönä Ax = b. Kii oleellinen dt on mtriisiss A j oien puolen vetoriss b. Sisi yhtälöryhmän rtisutoimenpiteissä voidnin operoid pelästään niillä, muuttujien xi symbolien uljettminen mun lsutoimitusiss on turh. Aluss minitut yhtälöryhmän leelliset rtisutoimenpiteet näyvät mtriisiss A vriveihin (jtoss lyhyesti "riveihin") ohdistuvin opertioin. Näitä elementrisi vrivimuunnosi (leisriviopertioit, ysinertisi riviopertioit,...) on olme tyyppiä: - rivin i ertominen nollst erovll luvull c: Ei( c ) - riviin i lisätään rivi j ( i) luvull c errottun : Eij() c - rivien i j j vihto (permutointi) : E ij. Yllä näille toimitusille on omt merinnät ullein. Kun leisriviopertioit tehdään perääin, sdn yleisesti vrivimuunnosi. (Pystyriveillä voidn myös operoid, mutt se on pljon hrvinisemp, joten emme äsittele niitä linn.)

113 Voidn osoitt (Lm), että uin elementrinen vrivimuunnos mtriisiin A sdn in ertomll A vsemmlt tietyllä mtriisill, muunnosen elementrimtriisill eli ysinertisell mtriisill. Näille elementrimtriiseille äytetään sm merintää uin vstville muunnosillein, j ne ovt ooluossn ysiäsitteisiä. Kuin n n-elementrimtriisi sdn teemällä vstvnooiselle ysiömtriisille yseinen leisrivimuunnos. All on esimerinä ysi joisest ljist: I =, E3 () =, E ( 5) = 5, E3 =. Esim. 4 Muunnetn mtriisi M 3 = seurvsti: E( 4) E3( 7) E ( /3) E3 (6) E ( ). Eij ( c) Merintä troitt, että vsemmll puolell olevn mtriisiin on sovellettu nuolen yläpuolell olev leisrivimuunnost j tulosen on nuolen oiell puolell olev mtriisi.

114 3 Sm si mtriisiertolsull elementrimtriisien vull toteutettun on silloin: E( ) E3(6) E( /3) E3( 7) E( 4) M =. Huom yllä olevss elementrimtriisien järjestys: Koo jn errotn vsemmlt, joten ensimmäinen muunnos on ensimmäisenä mtriisist M luien vsemmlle, sitten siitä vsemmlle toinen muunnos eli sitä vstv elementrimtriisi, jne. Ksi mtriisi A j B, jot sdn vrivimuunnosill toisistn, ovt vrivievivlenttej, mer. A B ti A B. Tvllisimmin vrivimuunnosill pyritään sttmn mtriisi redusoituun riviporrsmuotoon. Se on muoto, joss: - Mhdolliset nollrivit ovt limpn ("pohjll"). - Nollrivistä erovien rivien ensimmäinen nollst erov lio on, ns. rivien johtv yönen. - Johtvt yöset ovt porrsmisesti siten, että ylemmän rivin johtv yönen on sreell, jo on ennen lemmn rivin johtvn yösen srett. - Johtvn yösen sreell ovt sen yläpuolell olevt luvut nolli. Kolme ensimmäistä ehto määrittelevät riviporrsmuodon (ref) j jos neljäsin ehto on voimss, yseessä on redusoitu riviporrsmuoto eli noninen muoto. Usein mtriisin A redusoitu riviporrsmuoto meritään rref(a) (engl. reduced row echelon form), jost syystä äytetään myös puhetp "mtriisin A rref".

115 4 Edellisessä esimerissä mtriisi M muutettiin riviporrsmuodon 3 utt redusoidusi riviporrsmuodosi. Redusoitu riviporrsmuoto on joiselle mtriisille olemss j se on ysiäsitteinen. (Mutt pelä (redusoimton) riviporrsmuoto ei välttämättä ole ysiäsitteinen.) Käytämme redusoitu riviporrsmuoto ensisi äänteismtriisin lsemiseen. Todetn lusi, että ii elementrimtriisit ovt ääntyviä j E () c E(/), c E () c E ( c), E E = = =. i i ij ij ij ji Tämän vull nähdään, että jos neliömtriisi A sdn muunnettu vrivimuunnosill ysiömtriisisi, A on ääntyvä: E E E E A= I A= E E E E A E E E E = Tässä E i meritsee yleensä jotin elementrimtriisi. Toislt jos neliömtriisi ei sd muunnettu ysiömtriisisi, niin rref ( A ) sisältää "pohjll" inin yhden nollrivin, jolloin det(a)= j A on siis singulrinen eli ei-ääntyvä. Siis: Mtriisi A on ääntyvä täsmälleen silloin, un se on vrivievivlentti ysiömtriisin I nss. Sm si toisin snoin: Mtriisi on ääntyvä täsmälleen silloin, un se on esitettävissä elementrimtriisien tulon.

116 5 Käänteismtriisin lseminen (silloin un se lsetn vrivimuunnosill) on ätevintä järjestää seurvsti: [ A I] [ I B] B= A Eli jos lohomtriisi [ A I ] sdn muunnettu vrivimuunnosill mtriisisi [ I B ], niin B on A:n äänteismtriisi. (Ysiömtriisi "siirtyy oiest lohost vsempn".) Tämä nähdään ertomll [ A I ] vsemmlt A : llä : A [ A I] = [ A A A I] = [ I A ] j totemll, että vsemmlt ertominen ääntyvällä mtriisill on sm uin vrivimuunnosten teeminen. Tässä ei ole trpeen tietenään tietää, miä on A :n esitys elementrimtriisien tulon (silloinhn ei olisi enää mitään lsettv), vn yseiset muunnoset tehdään sel errlln päämääränä sd vsempn lohoon I. Se mitä oien lohoon sitten ilmntuu, on A. Kos [ I B ] on ilmeisesti redusoiduss riviporrsmuodoss, voidn edellä esitetty ilmist myös muodoss rref [ A I] [ I B] B A = =. Esim. 5 3 A = 3 3 [ A I] = E3( ) E3( )

117 6 3 3 E3( ) E (/ ) 3 3 / / E ( ) E ( ) /3 /3 /3 / = [ I A ] Esim. 6 3 A = [A I] = , nollrivi vsemmll, ei 3 3 äänteismtriisi.

118 7 7. Alivruudet. Lineriset yhtälöryhmät Alivruudet Hvinnollisen milmn geometrisin mllein voidn pitää suor, tso j olmiulotteist vruutt, jot ovt oordinttivruusin R, R j R 3. Kos sovellusiss esiintyy muuttuji luontevsti "mielivltinen" määrä n, on huomttu edullisesi trstell sioit silloin "n-ulotteisess vruudess" R n. Tämä trjo mhdollisuuden uvitell ilmiöitä hvinnollisin geometrisin äsittein, jot on linttu, ti 3-ulotteisest hvintomilmst. Tiettyjen olioiden väliset suhteet säilyvät smnltisin iiss ulottuvuusiss j pystymme ymmärtämään niitä premmin hvinnollisten mielleuvien vull. Tästä syystä linmme j yleistämme vruusist R, R j R 3 geometrisi äsitteitä j siirrämme ne yleiseen n-ulotteiseen vruuteen R n. Tällisi äsitteitä ovt piste, vetori, suor, tso, pituus, etäisyys, ulm, pistetulo, ohtisuoruus, projetio, ulottuvuus jne. Kii äsitteet eivät yleisty, esimerisi vetoritulo eli ristitulo on sellinen, joll ei ole vstinett yleisessä R n :ssä. Algebrllisell puolell otmme mtriisit äyttöön perusolioin. Avruus R n eli n-ulotteinen eulidinen vruus määritellään tässä urssiss n -mtriisien ("vetorien") jouosi, joss on mtriisilgebrst periytyvät lsutoimituset: vetorien yhteenlsu j slrill ertominen, seä vetorien välinen sisätulo. R n T = { xx = [ x, x,, xn], xi R, i=,, n} Lsutoimituset noudttvt seurvi lej, jot seurvt jo todennetuist mtriisilgebrn säännöistä. Luettelemme ne uitenin uudestn tässä, os stujen ehtojen ooelm määrittelee yleisemmän äsitteen vetorivruus. Avruus R n on siis esimeri vetorivruudest. Muit vetorivruusi ovt mm. eriliset funtioist oostuvt funtiovruudet.

119 8 Avruudess R n toteutuvt seurvt (relisen) vetorivruuden sioomt: VA. Jouoss R n on määritelty vetoreiden xy, yhteenlsu: n n x + y R x, y R n VA. ( x + y) + z= x+ ( y + z), x, y R n VA3. On olemss nollvetori: x+ = + x= x, x R n VA4. Joisell vetorill on vstvetori: x+ ( x) =, x R n VA5. x + y= y+ x, x R VA6. Jouoss R n on määritelty slrill ertominen: n n x R, x R, R n VA7. ( x + y) = x + y, x, y R, R n VA8. ( + b) x= x+ bx, x R,, b R n VA9. b ( x) = ( b) x, x R, b, R VA. x= x, x R n Nämä otetn yleisessä tpusess siis sioomisi vetorivruudelle, nyt ne ovt seurusi mtriisilgebrst. Lisäominisuusi (jot sitten ovt yleisessä tpusess lusein johdettviss yllä olevist sioomist) ovt mm. seurvt: - =, R - n x=, x R - x= = ti x=, n x R, R - n ( ) x= x, x R.

120 9 Sisätulo osevi ominisuusi trstelemme myöhemmin ortogonlisuuden yhteydessä. Yleisesti vetorivruusi, joiss on määritelty sisätulo, snotn sisätulovruusisi, joist R n on siis ysi esimeri. Kolmiulotteisess vruudess R 3 on osjouoin tsoj j suori, jot muistuttvt geometrisesti hyvin pljon vruusi R j R. Jos tso ulee origon utt, huomtn, että sen vetoreiden yhteenlsu j slrill ertominen joht vetoreihin, jot edelleen ovt smll tsoll. Siis nämä vetorit toteuttvt vetorivruuden sioomt VA j VA6, j os vetorit ovt toislt R 3 :n vetoreit, lsulit VA-VA5, VA7-VA toteutuvt myös. Siis origon utt ulev R 3 :n tso on itsein vetorivruus. Avruuden R n osjouo H on livruus, jos seurvt ehdot ovt voimss iille, xy j iille slreille : AA. xy, H x+ y H AA. AA3. R& x H x H H. Ksi ensimmäistä ehto vtivt, että lsutoimitusten lopputulos pysyy H:ss, eli että yhteenlsu j slrill ertominen "eivät vie ulos H:st". Ehdot AA-AA3 voidn esittää myös tiivistetyssä muodoss ehton: xy, R,, R: xy, x+ y n b H b H j lisäsi on vdittv, että H on epätyhjä. Avruus R n itse j {} ovt trivilej livruusi. Tpusess R ei muit livruusi olen. Tsoss R epätrivilej livruusi ovt origon utt ulevt suort. Avruudess R 3 epätrivilej livruusi ovt origon utt ulevt suort j origon utt ulevt tsot. Yleisessä R n :ssä eri tyyppisiä livruusi on sitten enemmän.

121 Huomttoon, että esimerisi olmiulotteisen vruuden tsot, jot eivät ulje origon utt, eivät voi oll livruusi (vtimus AA3). Ne voidn jtell uitenin livruusien siirtoin eli trnsltioin. Esim. H = x R x + x = on R :n livruus. { } H = x R x + x = ei ole R :n livruus. 3 { 4} H = x R x x + x = on R 3 :n livruus. 3 { 3 3 } Khden tson leius on suor (unhn tsot eivät ole yhdensuuntisi) j ulee origon utt, jos tsotin teevät niin. Näyttää siis ilmeiseltä, että livruusien yhteisistä osist muodostuu livruusi: Alivruusien H, H leius H H on livruus. Edellä on ollut moness ohdin jo puhett "ulottuvuudest", mutt äsitettä ei ole vielä trsti määritelty. Esimerisi R 3 on olmiulotteinen, os sillä on olme ntvetori i, j,. Mutt mitä troitetn esimerisi edellä olevn livruuden H 3 nnll? Knnll i, j, on seurvt si ominisuutt. ) Vetorit i, j, "virittävät" oo vruuden R 3 : x 3 x= x = xi+ xj+ x3, x R. x 3 ) Vetoreiden i, j, jouoss ei ole yhtään turh, jos yhdenin jättää pois, niin loput eivät enää pysty virittämään oo vruutt R 3.

122 Tästä sdn mlli yleiseen tpuseen. Vetori v on vetoreiden v, v,, v lineriombintio, jos v= cv + c v + + c v joillin ertoimill (reliluvuill) c, c,, c. Vetorit v, v,, v virittävät vruuden H, jos joinen H:n vetori v voidn esittää lineriombintion näistä vetoreist joillin ertoimill c, c,, c. Esim. Vetorit i j j virittävät R :n. Vetori v=[,3] T on lineriombintio v=i+3j. Vetorijouo S = { v, v,, v }, jo virittää H:n snotn vruuden H virittäjistösi j meritään H = spns = spn{ v, v,, v }. Ilmeisesti joiseen virittäjistöön voidn lisätä vetoreit, j näin ljennettu jouoin on edelleen smn ti ljemmn vruuden virittäjistö. Mutt voidno virittäjistöstä poist vetoreit, niin että jouo säilyy edelleen smn vruuden virittäjistönä? Jos voidn, niin silloin tällinen ylimääräisten vetorien rsint yleensä tehdäänin. Virittämisen nnlt trpeettomi S:n vetoreit ovt ilmeisesti selliset, jot ovt itse joidenin muiden S:n vetoreiden lineriombintioit. Jos vetorijouoss S on tällisi (edes ysi), niin vetorijouo S = { v, v,, v }snotn linerisesti riippuvsi (eli sen vetoreit v, v,, v linerisesti riippuvisi). Jos vetorit v, v,, v ovt linerisesti riippuvi, niin siis inin ysi niistä, esimeriis v m, on muiden lineriombintio: v = v + + v + v + v. m m m m+ m+

123 Siirtämällä ii vsemmlle puolelle sdn yhtälö cv + + c v =, missä ertoimist c i inin ysi on nollst erov (sillä nyt inin c = ). Tämä otetn usein linerisen riippuvuuden määritelmäsi. m Edelleen voidn todet, että vetorijouo S on linerisesti riippuv, jos j vin jos sillä on sellinen ito osjouo S', että spn( S') = spn( S). Toivottv ominisuus virittäjistölle on, että siellä ei ole turhi vetoreit mun, eli että se ei ole linerisesti riippuv. Vetorijouo S = { v, v,, v } on linerisesti riippumton (eli vetorit v, v,, v linerisesti riippumttomi), jos j vin jos S ei ole linerisesti riippuv. Lineriselle riippumttomuudelle sdn siis seurvi rterisointej: Jouon S = { v, v,, v } vetorit ovt linerisesti riippumttomi täsmälleen silloin, un ll olevt esenään yhtäpitävät ehdot ovt voimss: - Miään vetoreist v, v,, v ei ole muiden lineriombintio. - Ehto c v + + c v = toteutuu vin iien ertoimien c i olless nolli. - cv+ + c v = c= = c =. - S' S, S' S spn( S') spn( S).

124 3 Erityisesti nähdään, että -vetori ei voi oll mun missään linerisesti riippumttomss vetorijouoss. Kos linerist riippumttomuutt pidetään toivottun ilmiönä, on hyvä oll lsennllinen eino, joll riippumttomuus ti riippuvuus voidn selvittää. Tällisen trjo redusoituun riviporrsmuotoon muuntminen. Ajtelln vetorit v, v,, v litetusi mtriisin A pystyvetoreisi: Silloin [,,, ] A = v v v A T = v T T v v T, jo on muottviss vrivimuunnosill. Oloon vetoreist join, esimerisi v m, muiden lineriombintio: v = v + + v + v + v. T T T T T m m m m+ m+ T Silloin sdn muunnosill Em ( ),, Em( ) rivi v m nollttu. Kääntäen, jos rref(a T ):ssä on nollrivi, se on stu i minitun ltisill muunnosill, joten yseinen rivi on muiden lineriombintio. Siis vetorit v, v,, v ovt linerisesti riippumttomi täsmälleen T T silloin, un mtriisin A = [ v, v,, v ] redusoitu riviporrsmuoto rref(a T ) ei sisällä nollrivejä. Jos n mtriisiss on > n eli vrivejä on enemmän uin pystyrivejä, niin mtriisin redusoiduss riviporrsmuodoss on ilmeisesti porrsmisuuden ti po oll nollrivejä:

125 4 Tästä nähdään, että R n :ssä joinen vetorijouo, joss on enemmän uin n vetori, on linerisesti riippuv. Esimerisi R 3 :ss joinen neljän vetorin jouo on linerisesti riippuv. Esim. 3 Tutitn, ovto R 4 :n vetorit u=, v =, w = linerisesti riippuvi vi riippumttomi. A =, T A = T Kos mtriisiss rref ( A ) on nollrivi, vetorit ovt siis linerisesti riippuvi. J todell näin on, sillä w = u v.

126 5 n Huomttoon vielä, että si nollst erov vetori uv, R ovt linerisesti riippuvi täsmälleen silloin, un toinen sdn toisest violl ertomll: uv, linerisesti riippuvi c R: u= cv. Vetorijouo S on vruuden H nt, jos S on H:n linerisesti riippumton virittäjistö. Silloin siis H = spn(s) j S:n vetorit ovt linerisesti riippumttomi eli siellä ei ole trpeettomi vetoreit mun. Joisell vruuden H vetorill v on silloin ysiäsitteinen esitysmuoto nnss S= { v, v,, v }: v = c v + + c v. Jos nimittäin olisi v = cv+ + cv = c' v+ + c' v, niin siirtämällä ii vsemmlle puolelle stisiin ( c c' ) v+ + ( c c ' ) v =, jost seur vetoreiden linerisen riippumttomuuden nojll ( c c' ) = = ( c c ' ) = eli c = c ',, c = c '. Nämä ysiäsitteiset luvut c i ovt vetorin v oordintit nnss S. Silloin vetori v voidn esittää oordinttivetorin c c v= v S = c S, missä S orost, että on yse nnst S. Kos vetori v on tässä urssiss in myös jonin R n :n vetori, sillä on oletusrvon esitys R n :n luonnollisess nnss { e,, e n }:

127 6 v v v e e vn = = v + vn n missä e =,, e n =. Avruuden H joisess nnss on yhtä mont vetori. Tämä seur siitä, että jos jossin nnss on vetori, niin joinen jouo, joss on enemmän uin vetori, on linerisesti riippuv. Päättely on sm uin R n :n yhteydessä tehtiin redusoidun riviporrsmuodon vull. Nyt mtriisi rennetn yseisen nnn oordinttivetoreist. Knnn lioiden luumäärä on siis vruudelle omininen vio. Avruuden H ulottuvuus eli dimensio dim(h) on nnn vetorien luumäärä. Avruuden R n dimensio on siis n. Trivilin vruuden {} dimensiosi sovitn. (Se on siäli luontev, että {} on ino vruus, joll ei ole nt, os -vetori on linerisesti riippuv. Siis ntvetoreiden luumäärä on.) Tsot vruudess R 3 ovt -ulotteisi j suort -ulotteisi livruusi (silloin un ulevt :n utt). Oheisess uvss tson nnn muodostvt vetorit v, v j niiden vull tsolle muodostuu oordintisto.

128 7 Kntoj on vruudell erilisi, ääretön määrä. Joinen linerisesti riippumton vetorijouo, joss on dimension ilmoittm määrä vetoreit, äy nnsi: Jos dimh =, niin joinen :n vetorin linerisesti riippumton H:n osjouo elp H:n nnsi. Tämän todistmisesi oletetn, että U = { u,, u } on H:n linerisesti riippumton osjouo. Knnn vtimusist linerinen riippumttomuus on siis jo unnoss, joten on näytettävä vielä, että U virittää H:n. Oloon v mielivltinen H:n vetori. Silloin jouo {, vu,, u } on linerisesti riippuv, os siinä on lioit enemmän uin pplett. Siis on olemss selliset ertoimet c, c,, c, että c v+ cu + + c u =, j ertoimet eivät ii ole nolli. Myösään ei voi oll c =, os vetorit ui ovt linerisesti riippumttomi. Siis c c v = u u, joten v on esitettävissä U:n vetoreiden c c lineriombintion.

129 8 Lineriset yhtälöryhmät Mtriisilsennn eseisimpiä äyttöohteit ovt lineriset yhtälöryhmät. Sellisi esiintyy sovellusiss runssti, esimerisi elementtimenetelmä (FEM) j reunelementtimenetelmä (BEM) lujuus-, virtus-, ustii- j mgneettienttälsennss pluttvt lsentongelmt lopult suurten lineristen yhtälöryhmien numeeriseen rtisemiseen. Myös tilstotieteessä j optimoinniss äytetään pljon linerisi yhtälöryhmiä. Jop epälineristen yhtälöryhmien numeerinen rtisu perustuu lineristen yhtälöryhmien iterointiin. Linerisen yhtälöryhmän yleinen muoto on x + x + + nxn = b x + x + + x = b n n x + x + + x = b m m mn n m missä muuttujt ovt x,, xn j ertoimet,, mn j seä oien puolen luvut b,, b m. Muuttujien luumäärällä n j yhtälöiden luumäärällä m osoittutuu jtoss olevn täreä rooli. Mtriisimuodoss linerinen yhtälöryhmä on Ax = b,, n n missä erroinmtriisi on A =, m m mn x b x muuttujvetori x =, j oie puoli b = b. xn bm

130 9 Yhtälöryhmä Ax = b on homogeeninen, jos b = j epähomogeeninen, jos b. Trstelln ensin lineristen yhtälöryhmien geometri. Alusi todetn, että homogeenisen yhtälöryhmän rtisujen jouo V={ x R n Ax= } on vruuden R n livruus: AA. xy, V A( x+ y) = Ax+ Ay= + = x+ y V AA. R& x V A( x) = A( x) = = x V AA3. V. Tätä livruutt snotn mtriisin A noll-vruudesi j meritään N(A) ti N A : N(A) = { x R n Ax= }. Voidn osoitt, että muit livruusi ei sitten olen: Avruuden R n livruusi ovt m n-mtriisien noll-vruudet (m=,, 3,...) j vin ne. Epähomogeenisen yhtälön Ax = b, missä siis b, rtisujouo ei ole livruus, os ei uulu siihen. Mutt se voidn jtell nollvruuden N(A) siirrosi eli trnsltiosi vetorin x p verrn: { x R Ax= b} = N( A) + x p, missä x p on join epähomogeenisen yhtälön rtisujouon piste eli join ysityisrtisu. Jos siis x h on homogeenisen yhtälön yleinen rtisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen rtisu x on x= x + x. h p

131 3 Esim. 4 Linerisen yhtälön x x = rtisujouo eli mtriisin A=[ -] noll-vruus on R :n suor x = x. Epähomogeenisen yhtälön x x = rtisujouo on suor x = + x. Vetorimuodoss esitettynä: xh = t, p, t. x = = + x Toinen mtriisiin A liittyvä vruus on sen rvovruus eli uvvruus eli srevruus R(A): m n RA ( ) = { y R y = Ax, x R }. Se oostuu siis nimensä muisesti rvoist Ax un x äy läpi ii R n :n vetorit. Arvovruus on vruuden R m livruus, uten helposti todetn. Nimitys srevruus selittyy yhteydellä x x y= Ax y= [,,, ] = x + x + + x xn n n n Tästä näyy, että mtriisin A sreet virittävät rvovruuden R(A): RA= ( ) spn{,,, n}.. Linerisell yhtälöllä Ax = b on siis olemss rtisuj täsmälleen silloin, un b RA ( ) eli un on olemss selliset luvut x i, että x + x + + x. b= n n Srevruuden dimensio on täreä mtriisiin liittyvä luu: Mtriisin A ste eli rngi on rn( A) = dim RA ( ).

132 3 Mtriisin ste rn(a) ertoo sen, uin mont linerisesti riippumtont srett A:ll on. Jos esimerisi rn(a)=<n, niin jouost {,,, n} löytyy :n vetorin osjouo, jo riittää virittämään R(A):n j äy siis sen nnsi. Voidn osoitt, että ste ilmoitt myös linerisesti riippumttomien vrivien luumäärän. Siis m n-mtriisin A steelle pätee rn(a) m j rn(a) n. Esimerisi 3 5-mtriisin ste voi oll oreintn 3. Mtriisin ste rn(a) nähdään redusoidust riviporrsmuodost rref(a) nollst erovien rivien luumääränä eli siis johtvien yösten luumääränä. Esim. 5 Mtriisin M 3 = ste rn(m)=. Jos A on neliömtriisi oo n n, niin sen rngi on täysi eli n täsmälleen silloin, un deta eli un se on ääntyvä. Linerisen yhtälöryhmän Ax=b rtiseminen perustuu oonismtriisin [A b] äsittelyyn. Kuten yllä todettiin, yhtälöllä on olemss rtisu(j) täsmälleen silloin, un oie puoli b uuluu srevruuteen. Koonismtriisi on sreittin esitettynä [ A b] = [,,, n b]. Jos siis b uuluu srevruuteen, se on vetoreiden,,, n lineriombintio, eiä linerisesti riippumttomien sreiden luumäärä sv siitä, mitä se on A:ss. Siis rn[a b]=rna. Jos ts b ei uluu srevruuteen, se on linerisesti riippumton A:n sreist, j rngi sv yhdellä. Linerisell yhtälöryhmällä Ax = b on olemss rtisuj, jos j vin jos rn[a b]=rna.

133 3 Tätä ehto snotn myös lyhyesti "rngiehdosi". Trstelln sitten rtisujen hemist, homogeeninen j epähomogeeninen tpus eriseen. Homogeenisen yhtälön rtiseminen Rngiehdost nähdään heti, että homogeenisell yhtälöryhmällä on in rtisu, sillä ei pysty muuttmn rngi. Tämä on tietysti itsestään selvää, os trivili rtisu eli on in homogeenisen yhtälön rtisu. Vrivimuunnoset oonismtriisiin [A ] eivät ilmeisesti muut yhtälöryhmän rtisujen jouo, toisin snoen yhtälöryhmillä Ax= j (rrefa)x= on smt rtisut. Jos rna=n, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on vin trivili rtisu. Tämä seur siitä, että silloin A:n sreet ovt linerisesti riippumttomi, joten yhtälö Ax= eli x+ x+ + xnn= ei voi toteutu uin muuttujien xi olless=. Redusoidust riviporrsmuodost tsomll si on myös selvä: rref [A ]=, jo vst yhtälöä x = x =. x3 = Kos neliömtriisin tpusess täyden rngin tilnne voidn ilmist determinntill, sdn: Jos A on neliömtriisi j deta, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on vin trivili rtisu.

134 33 Tämä nähdään myös äänteismtriisill ertomll: x= & ääntyvä x= x= =. A A A A A Redusoitu riviporrsmuoto on nyt seurvnnäöinen:. Jos sitten rna <n, niin mtriisin A sreet ovt linerisesti riippuvi, joten yhtälö x+ x+ + xnn= toteutuu nollst erovillin ertoimill. Kos yhtälö voidn erto mielivltisell luvull, rtisuj on siis ääretön määrä. Kos redusoiduss riviporrsmuodoss on johtvi yösiä rna= pplett, voidn niitä vstvt muuttujt rtist muiden olless prmetrein. Näitä vpit prmetrej on silloin n- pplett. Jos rna=<n, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on äärettömän mont rtisu. Rtisujouoss on n- vpt prmetri. Erityisesti näin äy in, un m<n. Jos m<n eli yhtälöitä on vähemmän uin muuttuji, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on äärettömän mont rtisu.

135 34 Redusoidust riviporrsmuodost tsottun (rna==<n=3, n-=) b, eli x x x =, jost + bx = 3 3 x = t x = bt x3 = t eli x = t b, t R Tpus m<n (m=, n=3): b, eli sm rtisu uin yllä. Edellä minittu prmetrien luumäärä troitt myös sitä, että yhtälöryhmän erroinmtriisin A noll-vruuden dimensio on n-. Tämä tosisi tunnetn nimellä Dimensioluse: Jos A on m n-mtriisi, niin sen noll-vruuden dimension j steen summ on n: dim N( A) + rn( A) = n. Epähomogeenisen yhtälöryhmän rtiseminen Nytin rtiseminen perustuu oonismtriisin [A b] äsittelyyn. Vrivimuunnoset eivät muut rtisujouo, joten yhtälöillä Ax=b j (rrefa)x=b on smt rtisut. Tässä b on oonismtriisin redusoidun riviporrsmuodon rref[a b] viimeinen sre eli se vetori, josi b on muuttunut. (Tässä oht on ero homogeeniseen yhtälöön, siellähän oie puoli on eiä muutu vrivimuunnosiss.) Rngiehdon muisesti sdn: Jos rna<rn[a b], niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b ei ole rtisu.

136 35 Redusoidun riviporrsmuodon utt tilnne on esimerisi seurv: b rref[a b]=[rrefa b ]= c d, eli näyy. x x3 = b x + cx3 = d x3 = jost ristiriit = Geometrisesti tilnne on oheisen uvn ltinen. Kuin tso edust yhtä ryhmän yhtälöä, j tsoill ei ole yhteistä pistettä. Toinen mhdollisuus on, että b ei nost rngi, eli että rna=rn[a b]. Silloin rtisuj siis on olemss, j tilnne jntuu hteen eri tpuseen: rtisuj on tsn ysi ti sitten rtisuj on äärettömän mont. (Linerisill yhtälöryhmillä ei siis voi esiintyä tilnteit, joiss rtisuj olisi esimerisi ti 3. Tämä on ysi huomttv ero lineristen j epälineristen yhtälöiden välillä.) Jos rna=rn[a b]=n, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on täsmälleen ysi rtisu.

137 36 Sillä A:n pystyrivit ovt nyt ii linerisesti riippumttomi, joten ne muodostvt R n :n nnn, joss b:n esitys x+ x+ + xnn=b on ysiäsitteinen. Redusoidun riviporrsmuodon vull: Tpus, joss m>n: b rref[a b]=[rrefa b ]=, eli c x = x = b. x3 = c Tpus, joss m=n: rref[a b]=[rrefa b ]= b, eli c x = x = b. x3 = c Geometrisesti: Tsot leivt yhdessä pisteessä:

138 37 Jos A on neliömtriisi eli m=n, niin silloin rna=n meritsee, että deta eli mtriisi on ääntyvä. Silloin yllä olev luse voidn ilmist myös seurvsti: Jos A on neliömtriisi j deta, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on täsmälleen ysi rtisu x= A b. Jäljellä on tpus, joss rna=rn[a b]<n. Silloin b on mtriisin A sreist linerisesti riippuv, mutt nämä sreet,,, n eivät ole linerisesti riippumttomi. Siis esitys b= x + x + + x n n ei ole ysiäsitteinen. Jos rna=<n, niin A:ll on linerisesti riippumtont srett, jolloin loput ovt näiden lineriombintioit. Esimerisi jos A=[,, 3 ] j 3 = +, niin b= x+ x+ x3( + ) = ( x+ x3) + ( x+ x3) = b + b.tässä b j b ovt ysiäsitteisiä. Siis jos x3 otetn prmetrisi t, niin yhtälön rtisuj ovt ii vetorit x, joill x = b t, x = b t, t R. Helpommin rtisujen äärettömän määrän näee homogeenisen yhtälön utt. Tpusess rna<n homogeenisell yhtälöryhmällä on äärettömän mont rtisu. Silloin myös vstvll epähomogeenisell on, os x= xh + x p on epähomogeenisen yhtälön rtisu in, un x h on homogeenisen yhtälön rtisu j x p on epähomogeenisen yhtälön rtisu: Ax= A( x + x ) = A( x ) + A( x ) = + b= b. h p h h On siis voimss: Jos rna=rn[a b]=<n, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on äärettömän mont rtisu. Rtisujouoss on n- vpt prmetri.

139 38 Prmetrien luumäärä j rtisun renne selviää redusoidust riviporrsmuodost: b c d rref[a b ]=, eli x + x3 = b x + cx3 = d eli x = b t x = c dt, jost sdn x3 = t b x = c + t d, t R. (Kyseessä on siis suor vruudess R 3.) Geometrisesti tilnne näyttää seurvnltiselt: Tsoill on yhteisenä leiusen suor. Esim. 6 Yhtälöryhmä on x+ x = x+ x = 3x+ 3x =

140 39 Viimeisestä mtriisist nähdään jo, että yhtälöryhmä on ristiriitinen, os toinen j olms rivi vstvt yhtälöitä -3x = j -3x =. Siis rtisu ei ole. (Redusoituun riviporrsmuotoon littminen voitiin myös eseyttää.) Esim. 7 x+ y = x + y + z = 3x y+ z = 3 /3 / /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 /3 /3 3/. /3 /3 / / Siis ysiäsitteinen rtisu on x=-3/, y=3/, z=/. Esim. 8 x x3 = x 3x3 = x 3x3 = 3 3, jot vst yhtälöryhmä 3 x x3 =. x 3x3 = x = + t Siis rtisu on x = + 3t x3 = t Kyseessä suor. eli vetorimuodoss x = + t 3, t prmetri.

141 4 Esim Ax = b, A= 3, b = =rref[a b]. 3 3 Tästä nähdään, että yhtälö voidn esittää muodoss x - x3 x5 = x + x3 x5 = 4 x4 + x5 = 3 Siis x 3 j x 5 voidn ott prmetreisi j loput rtevt niiden vull. Siitä nähdään rtisu myös vetorimuodoss. x = + s -t x = -4 - s + t x3 = s x4 = 3 - t x5 = t x = s + t, s,t R.

142 4 Lopusi yhteenveto, joss eri tpuset on luoiteltu muuttujien luumäärän n j yhtälöiden luumäärän m muisesti: Linerisen yhtälöryhmän rtisujen luumäärä: yhteenveto Linerinen yhtälöryhmä Ax = b, A = m m n n mn x b x b, x =, b = x n b m on homogeeninen, jos b = j epähomogeeninen, jos b. Rtisujen luumäärät määräytyvät silloin oheisen tuluon muisesti muuttujien luumäärän n j yhtälöiden luumäärän m perusteell. Neliömtriisin tpusess (n = m) ehto rn(a) =n voidn ilmist determinnttiehdoll det(a) j vstvsti rn(a) < n ehdoll det(a) =. Kun rtisuj on määrä, ne riippuvt vpist muuttujist (prmetreist), joiden luumäärä on n - rn(a). Homogeeninen yhtälöryhmä Muuttujt yhtälöt Rngiehto Rtisujen luumäärä. n < m rn(a) = n. n < m rn(a) < n 3. n = m rn(a) = n 4. n = m rn(a) < n 5. n > m (ei ehto) Yllä rtisujen luumäärä troitt, että yhtälöllä on vin trivili rtisu x =.

143 4 Epähomogeeninen yhtälöryhmä Muuttujt yhtälöt Rngiehto Rtisujen luumäärä 6. n < m rn(a) < rn[a b] 7. n < m rn(a) = rn[a b] = n 8. n < m rn(a) = rn[a b] < n 9. n = m rn(a) = rn[a b] = n. n = m rn(a) = rn[a b] < n. n = m rn(a) < rn[a b]. n > m rn(a) = rn[a b] 3. n > m rn(a) < rn[a b] Yllä rtisujen luumäärä troitt, että yhtälöllä on täsmälleen ysi eli ysiäsitteinen rtisu. Hrjoitustehtävä Mihin tpusiin sivuill -3 lsetut esimerit. -4 uuluvt?

144 43 Esimeritilnteet joisest tpusest -3: Homogeenisen yhtälön tpusiss oletetn noninen muoto rref(a) lsetusi (oien puolen nollsrett ei ole meritty) Epähomogeenisen yhtälön tpusiss oletetn rref [A b] lsetusi:

145 44 8. Ortogonliprojetiot Avruus R n on enemmänin uin pelä vetorivruus, os siinä on mhdollisuus määritellä vetoreiden pituus, välinen ulm j erityisesti ohtisuoruus. Tähän päästään ottmll äyttöön vetoreiden välinen sisätulo (pistetulo, slritulo) T xy = xy i = x y + x y. n n Sisätulo toteutt seurvt lsusäännöt, jot nyt ovt seurusi n mtriisilgebrst: Kiill x, y R j iill c R on voimss ST T T xy= yx ST ( x+ y) T z= x T z+ y T z ST3 T T ( cx) y= c( x y ) ST4 T T xx, j xx= x= Yleisesti, jos vetorivruudess on määriteltynä yo. ehdot toteuttv sisätulo, niin vruutt utsutn sisätulovruudesi. Avruus R n on siis eräs sisätulovruus, j sitä snotn usein myös n- ulotteisesi eulidisesi vruudesi. Neljäs ominisuus nt mhdollisuuden määritellä äsitteen vetorin x pituus eli normi: x x x. T =+ =+ x + x n Normin neliö on siis x T = x x, jo on usein hyödyllinen lähtöoht normiluseeiden "puruun" (s. ll olevi epäyhtälöiden todistusi).

146 45 Vetorin x suuntinen ysiövetori on u = x x, jolloin snotn myös, että vetori x on normeerttu. n Normille on voimss seurvt ominisuudet: Kiill x, y R j iill c R N x, j x = x= N cx = c x N3 x+ y x + y (olmioepäyhtälö). Näistä si ensimmäistä seurvt suorn sisätulon ominisuusist. Kolmioepäyhtälön todistmisesi trvitsemme toist nimeltä tunnettu epäyhtälöä: n Cuchy-Schwrzin epäyhtälö Kiill x, y R on voimss T x y x y j yhtäsuuruus pätee, jos j vin jos x= ti y = cx, jollin c R. Cuchy-Schwrzin epäyhtälön todistus: Osoitetn väite oiesi ensin ysiövetoreille u, v: T ( ) ( ) T T T T T u± v = u± v u± v = u u± u v+ v v = u ± u v+ v eli ± uv T +, jost seur uv T eli uv T. Yhtäsuuruus on täsmälleen tpusess u± v = eli un u= ± v. Yleinen tpus: Oloot x = u, y = bv, = x, b= y. Silloin T T T x y = ( u) ( bv) = b u v b = x y. Yhtäsuuruus on voimss, un b= ti T (jmll b:llä) un uv = eli un u= ± v. Silloin x = ti y = ( = x) ti y= ± b x. Kolmioepäyhtälön todistus: x + y = ( x + y) T ( x + y) = xx T + xy T + y T y = x + x T y+ y T x + x y + y x + x y + y = ( x + y ). Tässä äytettiin epäyhtälöä, R j Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä.

147 46 Sisätulon vull voidn nyt määritellä nollst erovien vetorien x j y välinen ulm: θ = rccos T x y x y. Kun ulm on π /, niin vetorit x j y ovt ohtisuorss toisin vstn eli ortogonliset, meritään x y. Ortogonlisuusehto on siis x y x T y = xi y =. Jos vetorien välinen ulm on, vetorit ovt smnsuuntiset j jos se on π, vetorit ovt vstissuuntiset. Yhteisnimitys näille on yhdensuuntiset. Merinnät ovt x y, x y, x y. Ortogonlisille vetoreille pätee (yleistetty) Pythgorn luse: x y x + y = x + y. Tämä seur olmioepäyhtälön todistusest, un huomtn, että nyt T x y =. Jos vetorijouon { u,, u } vetorit ovt esenään ii T ortogonlisi eli ui uj = i j, niin vetorijouo on ortogonlinen. Jos lisäsi ii vetorit ovt ysiövetoreit, niin vetorijouo on ortonormli eli ortonormeerttu. Smoin snotn, että vetorit u, u ovt silloin ortonormlej eli ortonormeerttuj., Ortonormlisuusehto voidn siis esittää muodoss T, i= j { u,, u} on ortonormli ui uj = δij =., i j Huomtn, että tunnetut nnt {i, j} j {i, j, } ovt ortonormlej. Yleisemminin tämä on nnoille toivottv ominisuus.

148 47 Ortogonlisuus pitää sisällään jo linerisen riippumttomuuden, sillä joinen ortogonlinen jouo on utomttisesti linerisesti riippumton. (Todistus hrjoitustehtäväsi.) Ortonormliss nnss ntvetorit ovt lisäsi ysiövetoreit, jo helpott oordinttien tulint. Vetorin oordintit on helppo selvittää ortonormlin nnn olless yseessä. Jos W on vruuden R n livruus j { u,, u } niin vetorin v W esitys tässä nnss on sen ortonormli nt, = ( + + ( T T v v u ) u v u ) u Tämä seur siitä, että vetorill on ysiäsitteinen esitys v = cu+ + cu, jost T T T T T vu= ( cu+ + c u) u= cu u+ c u u= cu u= c. Näin tuli äyttöön i i i i i i i i T T seä ortogonlisuus u j u i =, j i että normeerus ui u i =. Alivruuden W ortogonlinen omplementti W on niiden vetoreiden jouo R n :ssä, jot ovt ohtisuorss joist W:n vetori vstn: n T W = { x R x w=, w W}. Silloin myös W on R n :n livruus, W W = { } j dimw = n dimw. Avruus R n voidn nyt hjott livruuden W nnlt hteen osn siinä mielessä, että joinen vetori v on esitettävissä ysiäsitteisesti summn v= w+ p, w W, p W. Tässä esitysessä w on vetorin v ortogonliprojetio (lyh. projetio) T livruudelle W j p vstvsti v:n projetio livruudelle W.

149 48 Vetorin v ortogonliprojetiost livruudelle W äytetään merintää vˆ = proj W v. Projetiost ortogonliselle omplementille W äytetään myös merintää proj v perp W v j yllä minittu hjotelm s muodon W = v= proj v+ proj v= proj v+ perp v. W W W W Jos livruudess W on ortonormli nt { u,, u } projetiolle sdn esitys, niin vetorin y proj y= ( y u u + + ( y u u. T T W ) ) T T Tämä nähdään suorll lsull: Jos u = ( y u) u+ + ( y u) u j w = u+ + u, niin ( y u) T w = ( y ( y T u) u+ + ( y T u ) ) T u ( u+ + u) = T T T T ( yu+ + yu) ( yu+ + yu) =. Siis y u w w W, joten y u W eli u=proj W y.

150 49 Yllä on siis edellytysenä, että { u,, u } on livruuden W ortonormli nt. Jos nt on ortogonlinen, mutt ei välttämättä ortonormli, projetion v s muodon proj W T = T u u + + T yu T u u yu y u u. Usein puhumme jtoss ortogonliprojetion sijn lyhyesti projetiost. Oheisiss uviss si on hvinnollistettu olmeulotteisess vruudess:

151 5 Erityisesti, jos W on ysiulotteinen livruus, W = spn{ u }, missä u on ysiövetori, niin äytetään snont vetorin y ortogonliprojetio ysiövetorille u j meritään proj u y : T proj uy= ( y uu. ) Jos vetori v, jolle projisioidn, ei ole ysiövetori, niin se on normeerttv, jolloin vsi sdn sijoittmll u:n pille v/ v : Vetorin y ortogonliprojetio vetorille v on proj v y = T y v T v vv. Kun u on ysiövetori, pätee vetorien y j u väliselle ulmlle T cosθ = y u y, jost seur projuy= y cosθ u. Tästä nähdään yhteys leisgeometrin projetioon, un trstelln suorulmist (vetori)olmiot, joss vetori y on hypotenuusn j proj u y ulmn θ viereisenä teettin. Korostettoon vielä, että projetio yllä määritellyssä mielessä on vetori. Josus sitä pinotetn puhumll "ortogonlisest vetoriprojetiost". Silloin slriprojetio on vetoriprojetion pituus eli normi proj u y.

152 5 Esim. Projisioidn piste [,, 3] T suorlle x = t. Nyt y =, suorn 3 ysiösuuntvetori (eli vstvn livruuden ortonormlin nnn ino vetori) on u =. Siis 6 T 6 6 ½ proj = ( ) = [ 3] T uy y u u = 6 3 = ½. Esim. Projisioidn piste y=[,, 3] T tsolle H: x x x3 + =. Tson normli on siis edellisen esimerin vetori [, -, ] T, joten perp H y = sdn projhy = y perphy = ½ = ½. 3 ½ ½ ½. Tästä ½ Ortogonliprojetion proj W y täreimpiin ominisuusiin uuluu, että se on projisioitv vetori y lähinnä olev W:n vetori (miniminormiluse): y proj y = min y v. W v W Jos nimittäin v W, yˆ = proj W y, niin y v = y yˆ + yˆ v j y yˆ W, yˆ v W. Kohtisuoruuden j Pythgorn luseen mun sdn siis y v = y yˆ + yˆ v y y ˆ.

153 5 Tällä seill on pljon äyttöä mm. numeerisess pprosimoinniss j tilstotieteessä. Vetorin y projetio nnetulle livruudelle W voidn siis lse vll proj y= ( y u u + + ( y u u, T T W ) ) jos W:n ortonormli nt tunnetn. Jos yleisemmin vruudelle W tunnetn nt {,, }, jo ei välttämättä ole ortonormli, niin projetio voidn lse seurvsti: Avruus W on silloin mtriisin A = [,, ] srevruus eli rvovruus R( A ). Oloon vetorin y projetio nnss {,, } lusuttun yˆ = c + + c = Ac. Silloin ohtisuoruusvtimusest seur ( A ) A, n y c x x R eli ( A ) T ( A ) =, x y c x R n eli T ( ) T T A A A =, y c x R n, jost seur x

154 53 T T A Ac= A y ( "normliryhmä"), T A A:n tpusess rtist ( T ) T c = A A A y. jost voidn ääntyvän Silloin projetiolle yˆ = Ac sdn lusee proj W y= Py, T T missä P= A( A A) A on projetiomtriisi. T Mtriisi A A on tässä in symmetrinen neliömtriisi (mtriisi A itse ei välttämättä ole neliömtriisi). Se on myös ääntyvä, jos A:n sreet ovt riippumttomt (todistus sivuutetn), uten nyt on sinlit. Tämä nt mhdollisuuden rtist ns. ylimäärättyjä yhtälöryhmiä (overdetermined liner equtions), joiss on enemmän yhtälöitä uin tuntemttomi: x + x + + nxn = b x + x + + x = b x + x + + x = b n n m m mn n m missä m>n. Näillä on äytännössä epähomogeenisess tpusess lähes in rna < rn[a b] eli ei rtisu. Mutt rtisu on olemss pienimmän neliösummn mielessä siten, että vsemmn j oien puolen erotusen (eulidisen) normin erotus b Ax = ( b x x ) + + ( b x x ), n n m m mn n on mhdollisimmn pieni. Näin on täsmälleen silloin, un Ax on oien puolen b projetio mtriisin A rvovruudelle R(A). Silloin rtisu x LS sdn edellisellä sivull minitust normliryhmästä ATAx = ATb. LS

155 54 Jos mtriisin A ste rna=n, niin sen sreet ovt linerisesti riippumttomt, jolloin LS ( ATA) x = ATb. Esim.3 Hetn pienimmän neliösummn suor tson pisteiden (,4), (-,5), (3,-) j (4,) utt. Silloin yseessä on suor y=+bx, jo toteutt ylimäärätyn yhtälöryhmän + b = 4 + b ( ) = 5 + b 3= + b 4= pienimmän neliösummn mielessä. Mtriisimuodoss 4 5 = 3 b 4 eli 4 5 Au= y, A=, u=, 3 = b y. 4 Normliryhmä on T AA T u = Ay eli b = = b 5, jost oonismtriisin vull Suorn ertoimet ovt siis = 3.57, b=

156 55 9. Ominisrvot. Digonlisointi Joiseen mtriisiin liittyy jouo sille ominisi luuj, ns. ominisrvoj, joist oostuu mtriisin "spetri". Tämä vtii uitenin luulueen ljentmist omplesiluuihin. Jtoss mtriisit j vetorit voivt oll (ellei toisin minit) omplesiertoimisi. Mtriisilgebr säilyy smnlisen uin relitpusessin, pitsi että uuten opertion tulee mun omplesiluujen onjugointi. Avruus C n oostuu n -omplesivetoreist x = x x x n, missä ertoimet xi C. Vetorin x onjugtti on x = x x x n. (Komplesiluvun + bi onjugtti eli liittoluu on z = bi.) T Sisätulo on nyt muoto xy i = x y= xy+ + xnyn. Silloin vetorin pituus eli normi on T =+ =+ x + + x n x x x. i = + + = = 7 + i. Esim. i i ( ) ( ) Slrit, esimerisi lineriombintioiden ertoimet, ovt C n :n tpusess omplesiluuj, j siitä syystä esimerisi R n :n luonnollinen nt äy myös C n :n nnsi. Pääsiss trstelemme tässä urssiss relimtriisej, mutt omplesivetoreihin joudutn omplesisten ominisrvojen ti.

157 56 Slri λ on neliömtriisin A ominisrvo, jos on olemss join sellinen x, että Ax= λx. Silloin vetori x on ominisrvo λ vstv ominisvetori. Englnninieliset termit ovt eigenvlue j eigenvector. Ominisrvon määrittely-yhtälö sdn siirtämällä ii termit vsemmlle puolelle muotoon Ax λx= eli ( A λi) = x. Kyseessä on siis homogeeninen linerinen yhtälöryhmä, jon erroinmtriisi on A λi. Kos yseessä on neliömtriisi, sillä on eitrivilej rtisuj (x= ei elp ominisvetorisi) täsmälleen silloin, un erroinmtriisin determinntti =. Yhtälöä p( λ) = det( A λi) = snotn mtriisin A rteristisesi yhtälösi j polynomi p( λ ) sen rteristisesi polynomisi. Mtriisin ominisrvot ovt siis sen rteristisen polynomin juuret. Näitä on lgebrn perusluseen nojll ertluvut mun luien n pplett (jot voivt oll omplesisi). (Tässä on syy siihen, että relisenin mtriisin ominisrvot voivt oll omplesisi, j sitä utt myös ominisvetorit.) Ominisrvoj on n n-mtriisill siis ertluvut mun luien n pplett. Ominisrvon λ lgebrllinen ertluu on, jos λ on rteristisen polynomin -ertinen juuri. Algebrllisest ertluvust äytetään merintää lg(λ ). Kuhunin ominisrvoon λ liittyvät ominisvetorit j nollvetori muodostvt livruuden, ominisrvon λ ominisvruuden E λ : E λ n { A λ } = x R x= x = N( A λi).

158 57 Ominisvruus todell on livruus, sillä: E λ j x, y Eλ,, b R A( x+ by) = Ax + bay = λx + bλy = λ( x + by ) x+ by E λ. Ominisvruuden dimensio on ominisrvon λ geometrinen ertluu geom(λ ) = dim E = dim N( A λi). λ Voidn osoitt, että geometrinen ertluu on in oreintn lgebrllisen ertluvun suuruinen: geom(λ ) lg(λ ). Mtriisin A ominisrvotehtävä äsittää mtriisin iien ominisrvojen j vstvien ominisvetorien muodostmist. Ominisvetoreist hetn silloin jotin ominisvruuden ntvetorit. Menettely oostuu seurvist viheist:. Muodostetn rteristinen polynomi p( λ) = det( A λi).. Hetn rteristisen polynomin juuret λ,, λn. 3. Rtistn ullein ominisrvolle λ i homogeeninen yhtälöryhmä ( A λ i ) x=, jon rtisust poimitn "linerisesti riippumttomt ominisvetorit" eli noll-vruuden N( A λi) ntvetorit.

159 58 Esim. 6 3 A = det( A λi) = 6 λ 3 = λ 7λ + = λ = 4& λ = 3 λ ovt ominisrvot. Ominisrvolle λ =4: 3 3/ [ A 4 I ] = x 3/x = 3, 3 3 x = t, t x = x = t, vlitn esim. t=: ominisvetori v = /3. Vstvsti ominisrvolle λ = 3: v =. Kummnin ominisrvon lgebrllinen j geometrinen ertluu ovt =. Esim. 3. A= λ 6 5 λ = (5 λ)(( 7 λ)( λ) 36) = 6 λ λ = 5, λ =, 3 Ominisvetorit ominisrvolle λ, = 5 : 6 ½ [ A 5 I ] = x ½x3 =, 6 3 ½ x = ½, tx = sx, 3 = t, x = t+ s, omin. vetorit esim. (vlit. t=, s=): v =, v =. Vstvsti ominisrvolle λ 3 =-: v 3 =. lg(5)= geom(5)=, lg(-)=geom(-)=.

160 59 Esim A = 5 4 Ominisrvot: 4 λ 5 = (4 λ)( 4 λ) + 5 = λ + 9 = λ, = ± 3i 5 4 λ Ominisvetorit ominisrvolle λ = 3i : 4 3i 4 3i i x x i + =, i x = t 5 5, vlitn esim. t = 4 3i: v = 4 3i. x = t 5 Ominisrvon λ = 3i = λominisvetori on v = v = 4+ 3i. Kummnin ominisrvon lgebrllinen j geometrinen ertluu ovt =. Esim A = 5 Ominisrvot: 5 λ 4 = (5 )( (5 ) 4) ( 4)(5 ) = (5 )( 5 ) = λ λ λ λ λ λ λ λ 5 λ λ = 5, λ =, 3 Ominisvetorit ominisrvolle λ, = 5 : 4 5 5

161 6 x + x =, x =, 3 x = t x = x3 = t x = t, vlitn esim. t=: v = Ominisrvon λ 3 = ominisvetorisi sdn vstvsti Nyt lg(5)=, geom(5)=, lg()=geom()=. 4 u = 5. Kuten esimerissä 4 nähtiin, reliselle mtriisille omplesiset ominisvetorit esiintyvät onjugttiprein: Jos relisell mtriisill A on omplesinen ominisrvo λ j vstv ominisvetori v, niin λ on myös ominisrvo j v on sitä vstv ominisvetori: Av= λv Av= Av= ( Av) = ( λv) = λv. Kos mtriisin ominisrvo λ on rteristisen polynomin p( λ) = det( A λi) juuri, sille nähdään seurvt ominisuudet: Mtriisi A on ääntyvä, jos j vin jos ei ole sen ominisrvo. Jos λ on ääntyvän mtriisin A ominisrvo, niin λ on äänteismtriisin A ominisrvo. Kolmiomtriisin ominisrvot ovt sen lävistäjäliot. Mtriisin determinntti on yhtä uin sen ominisrvojen tulo: det A = λ λ λ n Mtriisin A = ( ij ) lävistäjälioiden summ eli jäli on yhtä uin sen ominisrvojen summ: = λ + λ + λ. nn n (Todistuset hrjoitustehtävisi.)

162 6 b Esim. 6 A=,, b Yläolmiomtriisi, joten ominisrvot ovt λ = λ = λ3 = λ4 = eli on ino ominisrvo, lg()=4. b =, jo vst yhtälöä x =. [ A I ] Siis muut muuttujt svt oll vpsti mitä thns, joten x x x x 3 4 = r = = = s t eli x = r + s + t, r, s, t R. Ominisvetoreit löytyy siis olme linerisesti riippumtont, eli v =, v =, v 3 =. Nyt siis geometrinen ertluu geom()=3. Osoitetn seurvsi hyödyllinen ominisuus eri ominisvruusien esinäisestä suhteest: Erisuuri ominisrvoj vstvt ominisvetorit ovt linerisesti riippumttomi. Todistus: Oloot λ,, λr mtriisin A erisuuri ominisrvoj j v,, vr niihin vstvsti liittyviä ominisvetoreit. Osoitetn, että jos v,,, v < r ovt linerisesti riippumttomi, niin näin ovt myös v,, v, v+. Ellei olisi, niin v + olisi muiden lineriombintio: v = c v. + i i i=

163 6 Tässä ii ertoimet c i eivät voi oll =, os v. + Silloin ertomll mtriisill A puolittin: A v = Ac v λ v = cλ v. + i i + + i i i i= i= Toislt ertomll v+ = civ i luvull λ + sdn myös esitys λ v = λ c v i i i= i= Vähentämällä nämä toisistn sdn = ci( λi λ + ) v i, jost vetorien v,, v i= linerisen riippumttomuuden ti ci( λi λ + ) =, i. Kos ominisrvot ovt erisuuri, ovt c i = iill i, miä on ristiriit. Nyt siis loittmll vetorist v, jo nollst erovn on ysinään linerisesti riippumton, nähdään että v, v ovt linerisesti riippumttomi, jne. Mtriisit A j B ovt similriset, jos on olemss sellinen ääntyvä mtriisi S, että S AS = B. Similrisill mtriiseill on nimensä muisesti jotin yhteistä: Similristen mtriisien A j B rteristiset polynomit ovt smt, j niillä on siis smt ominisrvot. Tämä nähdään suorll lsull: p λ B λi S AS λi S AS S λis B ( ) = det( ) = det( ) = det( ) = det( S ( AS λis)) = det( S ( A λi) S) = det( S ( A λi) S) = det( S ) det( A λi) det S = det( A λi) det( S ) det S = det( A λi) det( S S) = det( A λi) = p A ( λ).

164 63 Mtriisi A on digonlisoituv, jos se on similrinen jonin lävistäjämtriisin D nss. Digonlisoituvuus meritsee siis sitä, että löytyy ääntyvä mtriisi S, jo digonlisoi mtriisin A: S AS = D. Lävistäjämtriisin D lävistäjäliot ovt silloin A:n ominisrvot. Koo n n olev mtriisi on digonlisoituv täsmälleen silloin, un A:ll on täysi määrä eli n pplett linerisesti riippumttomi ominisvetoreit. Silloin digonlisoivn mtriisin S pystyrivit ovt tälliset A:n linerisesti riippumttomt ominisvetorit. Vetorit v, vn ovt A:n linerisesti riippumttomi ominisvetoreit, jos j vin jos niistä rennettu mtriisi S = [ v,, vn ] on ääntyvä (rns=n) j Avi = λiv i, i =,..., n. Siis A on digonlisoituv lävistäjämtriisisi D = dig( λ,, λ n ) D = S AS SD = AS λ λ [ v,, v ] n = A[ v,, vn] = [ Av,, Avn] λn [ ] [ ] λ v,, λ v = Av,, Av Av = λv, i =,..., n. n n n i i i Ehto linerisesti riippumttomien ominisvetorien täydelle määrälle on ertluujen vull ilmistun: Joisell ominisrvoll on oltv lgebrllinen ertluu yhtä uin geometrinen ertluu: lg(λ)=geom(λ). Erityisesti mtriisi on silloin digonlisoituv, un sen ii n ominisrvo ovt erisuuri. Kun A on digonlisoituv, niin yhtälö S AS = D tulee pääsiss äyttöön muodoss A = SDS. Silloin esimerisi A = ( SDS )( SDS ) = SDDS = SD S j yleisemmin A = SD S. Lävistäjämtriisin potenssit ovt helppoj muodost:

165 64 D = λ λ λ n. Potenssien utt päästään Tylorin srjoihin, j näin voidn digonlisoituville mtriiseille määritellä nlyyttisten funtioiden f(x) vstineet mtriisifuntioin: f ( λ ) f ( ) f ( A) Sf( D) S S λ = = S f ( λ ) n. Esim. 7 A= Aiisemmin äsitellyn esimeri 3:n mun ominisrvot ovt λ, = 5, λ3 =. Ominisvetorit ominisrvolle λ, = 5 : v =, v =. Vstvsti ominisrvolle λ 3 =-: v 3 =. Linerisesti riippumttomi ominisvetoreit on nyt täysi 3 pplett. Siis smme esitysen A SDS 5 5 = =

166 65 = 5 /5 /5 5. /5 /5 Symmetrisen relisen mtriisin tpus on iein selein ominisrvojen j digonlisoinnin nnlt. Symmetrisen relimtriisin A ominisrvot ovt reliset j vstvt ominisvetorit voidn vlit relisisi. Jos x on symmetrisen relimtriisin A ominisrvo λ vstv ysiövetorisi normeerttu ominisvetori, niin T T T λ A λ λ λ λ Ax = x x x = x x = x x = x =, jost sdn onjugoimll T T ( ) T T T T λ = λ = x Ax = x A x = x Ax = λ, joten λ on relinen. Silloin relisell yhtälöllä ( A λi) x = on relisi ei-trivilej rtisuj, eli ominisvetoritin voidn vlit relisisi. Symmetrisen relimtriisin erisuuri ominisrvoj vstvt ominisvetorit ovt ortogonliset. x λ x x λ x λ λ, niin Jos A = & A =, λx = x A = x A λx x = x Ax = x λ x = λ x x, joten T T T T T T T T T ( λ λ ) x x = j siis x x =. T Neliömtriisi Q on ortogonlinen, jos sen sreet muodostvt ortonormlin jouon. Silloin se on ääntyvä, j äänteismtriisi on lsettviss ysinertisesti trnsponoimll: T, i= j Q = [ q,, qn], qi q j = δij =, i j

167 66 q T QQ= [ q,, q ] [ q,, q ] = [ q,, q ] T T n n n T q n T T q q q q n = = = I T T qn q qn qn T Q = Q. Ortogonlisen neliömtriisin ominisuudet ovt siis Q ortogonlinen Q :n sreet ortonormlej T T QQ= QQ = I T Q = Q. Esim. 8 /3 /3 /3 Q = /3 /3 /3 /3 /3 /3 on ortogonlinen, uten tristmll miä hyvänsä yllä olevist yhtäpitävistä ehdoist osoitt. Jos mtriisi A on symmetrinen j sen ominisrvot ovt ii erisuuri, on silloin edellisen nojll sen ominisvetoreist muodostettviss ortogonlinen mtriisi. Tällöin mtriisi digonlisoituu siis ortogonlisell mtriisill. Tämä pätee myös yleisesti symmetriselle relimtriisille (tulos on syvällisempi, todistus sivuutetn): Symmetrinen relimtriisi A voidn in digonlisoid ortogonlisell mtriisill Q: A = QDQ T. Mtriisi Q oostuu A:n ortogonlisist ominisvetoreist.

168 Esim. 9 A= 5 6 Esimerissä 7 tämä digonlisoitiin. Ominisvetorit olivt ominisrvolle λ, = 5 : v =, v = j ominisrvolle λ 3 =-: v 3 =. Nyt vetorit v j v sttuvt olemn / 5 v ortogonliset, joten riittää normeert ne: q = =, q = v =. v / 5 Ominisrvoon λ 3 liittyvän ominisvetorin tuleein oll ortogonlinen näiden nss, joten normeermll se sdn olms trvittv ominisvetori q v / 5 / = = v 3. Silloin digonlisoiv mtriisi on Q / 5 / 5 [ q, q, q ] j A:n "spetrliesitys" on / 5 / 5 = 3 = / 5 / 5 5 / 5 / 5 T A= QDQ = 5. / 5 / 5 / 5 / 5

169 68. Neliömuodot. Definiittisyys n T Relirvoinen funtio F: R R, F( x) = x Ax on neliömuoto. Nimitys johtuu siitä, että ui irjoitetuss luseeess esiintyy vin muuttujien x i toisen steen termejä: n n xt Ax = xx ij i j, i= j= missä neliömuodon mtriisi on A = ( ij ). Kyseessä on siis toisen steen polynomi muuttujist x,, x n (ilmn ensimmäisen steen j viotermiä). Vihdnnisuuden xixj = xjxi ti tämä esitys on tehtävissä monell tvll, esimerisi: F( x, x ): = x + 4x x + 5x = x + 3x x + x x + 5x = x + x x + x x + 5x. Niinpä ysiäsitteisyyden insmisesi onin yleensä sovittu, että neliömuodon mtriisi A on symmetrinen. Silloin siis ertoimet tvlln jetn tsn teijöiden xixj, xjx i esen: ij = ji. Mtriisin A symmetrisyydestä sdn sitten toi muutin hyötyä, uten viime luvuss todettiin. Yllä olevn esimerin oletusrvoinen muoto on siis: x F( x, x): = x + 4xx+ 5 x = [ x x] 5 x. Neliömuoto voidn in digonlisoid muuttujn vihdoll digonlimuotoon: n T T x Ax= y Dy = λiyi, i=

170 69 jost siis puuttuvt "ristiäistermit" yy i j, i j. Tämä perustuu siihen, että symmetrisellä mtriisill A on reliset ominisrvot j A voidn digonlisoid ortogonlisell mtriisill Q: Kos jolloin A x = Q y : T T = QDQ, sdn vlitsemll uudesi muuttujsi = Q y x, T T T T T x Ax= ( Qy) A( Qy) = y Q AQy= y Dy. Tässä esitysessä mtriisi Q rentuu mtriisin A ortonormleist ominisvetoreist j lävistäjämtriisin D lävistäjällä ovt A:n ominisrvot. Muunnosen vull voidn neliömuodon x T Ax määrittelemiä ilmiöitä tuti seleämmästä "pääselioordintistoss" esitetystä muodost y T Dy. Tällä tvll voidn esimerisi selvittää toisen steen äyrien j pintojen tyypit. Tämä ns. pääseliprobleem oli iisemmin yliopistojen perusursseill perusteellisesti läpiäytävää luett, mutt tietoonegrfiin ohjelmistojen myötä sen meritys on huomttvsti vähentynyt. Esim. Mitä tyyppiä on yhtälön 6x + 5x x 6x = 7 esittämä äyrä? Käyrän yhtälö on muoto x T A x = 7, missä neliömuodon mtriisi on A 6 5/ = 5/ 6. Krteristinen yhtälö on 6 λ 5/ 69 3 = λ 4 =, jost ominisrvot λ =±. 5/ 6 λ Digonlimuodoss yhtälö on siis 3 3 y y 7 =, joten yseessä on hyperbeli.

171 7 Symmetrinen n n mtriisi A on positiivisesti semidefiniitti, jos iill n x R on voimss x T Ax, j positiivisesti definiitti, jos iill x on voimss x T Ax >. Vstvsti määritellään negtiivisesti (semi)definiitti mtriisi toisensuuntisill epäyhtälöillä. Jos mtriisi ei ole mitään näistä neljästä tyypistä, se on indefiniitti. Smoj termejä äytetään myös vstvst neliömuodost. Huomttoon, että tällä tvll määriteltynä positiivisesti definiitti mtriisi on myös positiivisesti semidefiniitti j negtiivisesti definiitti myös negtiivisesti semidefiniitti. (Josus irjllisuudess si on toisin, eli niissä semidefiniittisyys sulee pois definiittisyyden. Esittämämme äytäntö näyttää olevn uitenin yleisempi, j mhdollist merintöjen >, j <, johdonmuisen äytön.) Positiivisesti semidefiniittiä mtriisi meritään usein A, smoin positiivisesti definiittiä A>, j vstvsti negtiivisesti semidefiniittiä j negtiivisesti definiittiä A j A<. Määritelmän epäyhtälöistä definiittisyysominisuusi on hnl päätellä (mutt minitut epäyhtälöt ovt sitten hyödynnettävissä, un mtriisin luonne tunnetn). Asi nähdään uitenin helposti symmetrisen mtriisin ominisrvojen vull vstvn neliömuodon digonlimuodost ( λ, λ ovt A:n ominisrvot), n n T x Ax = λiyi. i= Mtriisi A on - positiivisesti definiitti ominisrvot ovt positiivisi - positiivisesti semidefiniitti ominisrvot ovt ei-negtiivisi - negtiivisesti definiitti ominisrvot ovt negtiivisi - negtiivisesti semidefiniitti ominisrvot ovt ei-positiiviisi - indefiniitti ominisrvoj on seä positiivisi että negtiiviisi

172 7 Käyttämällä epäyhtälömerejä sdn yllä olev si esitettyä tiiviisti: - A > λi >, i - A λi, i - A < λ i <, i - A λi, i - A indefiniitti i: λ > & j: λ <. i j Mtriisin definiittisyystyyppi voidn määrittää tpusess n=3 helposti myös seurvist determinnttiehdoist (todistus sivuutetn): Mtriisi A = on positiivisesti semidefiniitti, jos j vin jos lävistäjäliot,, 33 ovt j seurvt determinnttiehdot ovt voimss, , , det(a). Negtiivisen semidefiniittisyyden ehdot ovt smt, pitsi että lävistäjäliot j det(a). Positiivisen definiittisyyden ehdot ovt >, >, det(a) > (siis riittää tuti vin olme rvo) j negtiivisen definiittisyyden ehdot <, >, det(a) <.

173 7. Vetorifuntion derivtt. Ketjusääntö Täydennämme j ertmme seurvss differentililsennn teori urssilt Insinöörimtemtii. Plutetn mieliin derivtn määritelmä relifuntiolle: Funtion f : R R derivtt f ( x ) pisteessä x on, jos erotusosmäärän rj-rvo f x+ h f x lim h ( ) ( ) h on olemss j =. Tämä voidn irjoitt muotoon f ( x+ h) f( x) = h+ ε( h) h, missä ε( h), un h. Kun muuttuj s lisäysen h, funtion muutos on siis h:n linerinen lusee h plus h:n mun nolln menevä jäännöstermi. Tällöin snotn myös, että funtio f on pisteessä x differentioituv. Funtion f derivtt on siis muutosen h erroin. Tämä ominisuus voitisiin ott erotusosmäärän rj-rvon semst derivtn määritelmäsi. Kos differentioituvuuden äsite ei äytä jolsu, se on mhdollist yleistää vetorimuuttujien funtioille. n Funtio f : R R on differentioituv pisteessä x, jos f:lle on siinä voimss ehitelmä eli h h f( x+ h) f( x) = n + ε( h) h h n f( x+ h) f( x) = T h+ ε( h) h.

174 73 Silloin f ( x) x f ( ) x x = = f ( x), funtion f grdientti pisteessä x. n f ( x) xn Differentiliehitelmän linerisess osss h:n ertojn on nyt mtriisi n. Tätä snotn vstvsti uten relifuntioillin funtion f derivtsi pisteessä x j meritään f ( x ). Siis f ( x) = f ( x ) T. Funtion differentioituvuudest seursi siis osittisderivttojen olemssolo j yllä olev yhteys grdientin j derivtn välille. Kääntäen, jos funtioll on jtuvt osittisderivtt pisteessä x, niin f on siinä differentioituv. Epäjtuvien osittisderivttojen tpusess funtio ei välttämättä ole differentioituv. Yleinen tpus on vetorimuuttujn vetorirvoinen funtio, lyhyesti snoen vetorifuntio. f( x) n m f( ) Funtion :, ( ) x f R R f x =, rj-rvo, un x x fm( x) määritellään normi äyttäen seurvsti: lim fx ( ) = c lim fx ( ) c =. x x x x m Vetorin y R normin j sen omponenttien itseisrvojen välillä on epäyhtälöt y y, i =,, m & y m mx y. i i=,, m i

175 74 Näistä nähdään, että lim i lim fx ( ) = c f ( x) = c, i=,, m x x x x i eli rj-rvot voidn lse omponenteittin. Tästä puolestn seur, että f on jtuv, jos j vin jos joinen omponenttifuntio f, i=,..., m on jtuv. i Edelleen voidn päätellä, että vetorifuntio on differentioituv täsmälleen silloin, un sen omponenttifuntiot ovt sitä. n m Jos funtion f: R R omponenttifuntiot f i ovt differentioituvi, niin ( ) ( ) f f n ε ( ) x+ h x h+ h h f( ) f( ) n ε( ) ( ) ( ) x+ h x h+ h h fx+ h fx= = fm( ) fm( ) x+ h x m m mn h+ εm( h) h ε ( h) n n ε( h) = h+ h = f ( x) h+ m m mn ε m( h) ε( h) h, missä f ( x) = f ( x) T n T n f( x) T m m mn fm( x) = eli

176 75 f ( x) = f( x) f( x) f( x) x x xn f( x) f( x) f( x) x x xn fm( x) fm( x) fm( x) x x xn. Silloin snomme siis, että funtio f on differentioituv pisteessä x j sen derivtt pisteessä x on f ( x ). Derivtlle äytetään perinteisesti myös nimeä Jcobin mtriisi j silloin meritään Jf ( x ). Myös merintää f x esiintyy. Riittävä ehto funtion f differentioituvuudelle on, että ii f osittisderivtt i ovt jtuvi pisteen x ympäristössä. x j xy Esim. f ( x, y) = x+ 3y, x / y y x f ( xy, ) = 3. x y y Esim. fx ( ) = Ax, x R n, A m n mtriisi. fx ( + h) fx ( ) = A( x+ h) Ax= Ah= Ah+ h f ( x ) = A. Differentiliehitelmää fx ( + h) fx ( ) = f ( x) h+ ε( h) h äytetään usein funtion f linerisen pprosimtion pisteen x ympäristössä meritsemällä x= x+ h, h= x x, ε( h) h : fx ( ) fx ( ) + f ( x)( x x ).

177 76 xy Esim. 3 Muodostetn funtion f ( x, y) = x+ 3y linerinen pprosimtio x / y pisteen [,] T ympäristössä. Esimeri :n mun f (,) = 3, joten f( xy, ) f(,) + f (,)( x ) eli x + y x+ y x f ( xy, ) = 3 + x + 3( y ) y = x+ 3y. x y+ x y+ Yhdistetyn funtion derivtt eli etjusääntö. n m p Oloon f: R R differentioituv pisteessä x j g : R m R differentioituv pisteessä fx. ( ) Silloin yhdistetty funtio p g f: R n R, ( g f)( x) = g( fx ( )) on differentioituv pisteessä x j ( g f) ( x) = g ( f( x)) f ( x). Huomtn, että sääntö on muodoltn ivn sm, uin relifuntioist tuttu "ulofuntion derivtt ert sisäfuntion derivtt". Tosin ertolsun on nyt mtriisitulo. (Todistus sivuutetn.)

178 77 Esim. 4 t x + y+ z f() t = t+, g ( x, y, z) =, ( g f) () =? x y t f '(t)=[,, t] T, g '(x,y,z)= z x, siis g '(f(t))=g '(t, t+, t )= t t ( g f) () = g '(f())f '() = = 7. Esim. 5 x y + y fx gy g f ( ) =, ( ) =, ( ) (3,)? x = y y x 9 f ( x) =, ( ), (3,) x g y = = f 4 ( g f) (3,) = g ( f(3,)) f (3,) = g (9,4) f (3,) = Klssinen merintätp etjusäännöissä on useimmiten "uiirjoitettu" muoto. Esimerisi luseeen ust (,) = gxst ((,), yst (,),(,)) zst osittisderivtt irjoitettisiin muodoss u g x g y g z = + + s x s y s z s u g x g y g z = + + t x t y t z t. Näiden renne selittyy mtriisiertolsust:

179 78 x(,) st ust (,) = ( g f)(,), st f(,) st = yst (,) zst (,) x x s t g g g y y g ( x, y, z), ( s, t) = f = x y z s t z z s t s t u u g g g y y = s t x y z s t z z s t u ( s, t ) = g ( f( s, t ) f ( s, t ) = x x g x g y g z g x g y g z x s y s z s x t y t z t. =

180 79. Hessen mtriisi. Äärirvoteori Trstelemme tässä luvuss usemmn muuttujn (eli vetorimuuttujn) n relirvoisi funtioit f : R R. Edellisessä luvuss todettiin, että riittävän säännöllisellä funtioll (osittisderivtt jtuvi) f on silloin linerinen eli ensimmäisen ertluvun pprosimtio f ( x) = f( x ) + f ( x )( x x ) + ε( h) h. Tämä on silloin myös funtion f. steen Tylorin polynomi pisteessä x. Trempi pprosimtio sdn. steen Tylorin polynomill f( x) = f( x ) + f ( x )( x x ) + ( x x ) x )( x x ) + ε( h) h, T f ( missä f ( x ) on funtion f toinen derivtt, ns. Hessen mtriisi: Jos funtioll f on toisen ertluvun osittisderivtt olemss, niin niistä oostuv Hessen mtriisi H f on H f = D f D f D n f D f D f Dn f D f D f D f n n nn, missä on meritty D f ij f =. x x i j Pisteessä x lsetun Hessen mtriisin H f (x) (i,j)-lio on siis D ij f(x) = f x x i j ( x ).

181 8 Jtoss oletmme, että funtion f ii toisenin ertluvun derivtt ovt jtuvi. Silloin sederivtt voidn lse missä järjestysessä hyvänsä, joten D ij f = D ji f eli Hessen mtriisi on symmetrinen. Hessen mtriisin vull funtiolle f sdn siis vdrttinen pprosimtio eli toisen ertluvun pprosimtio: f(x+h) - f(x) = f(x) T h + h T H f (x)h + ε( h) h. Yhteenveton derivtoist relirvoiselle funtiolle sdn näin: funtion grdientti on trnsponoitun derivtt j Hessen mtriisi toinen derivtt eli: f '(x) = f(x) T f ''(x) = H f (x), jot ovt n j n n mtriisej. Sovellmme sitten ensimmäisen j toisen ertluvun pprosimtioit funtion äärirvojen tutimiseen. Äärirvotehtävien yleistä teori, rtisumenetelmiä j soveltmist snotn myös optimoinnisi, jo on ysi sovelletun mtemtiin oslueist. Näiden tehtävien yleinen muoto on min f(x) x S R n,

182 8 joss minimoinnin sijst voidn myös msimoid. Minimoitv ti msimoitv funtio on ns. ohdefuntio j muuttuj x sitovt jouon S määrittelevät ehdot ovt rjoitusehtoj. Muuttujt, jot toteuttvt rjoitusehdot, ovt äypiä rtisuj j jouo S äypä jouo. Jos rjoitusehtoj ei ole, muuttuj x s vpsti liiu oo vruudess R n, jost syystä näitä ongelmi utsutn vpisi optimointitehtävisi. Ne ovt helpompi äsitellä, uin rjoitusehdoill vrustetut, os rjoitusehtojen noudttminen vtii omn työnsä. Optimointiprobleemoiss hetn ohdefuntion minimi- ti msimiohti. Nämä ovt globlej ti lolej sen mun, ntvto ne ohdefuntiolle pienimmän (suurimmn) rvon verrttun iiin äypiin muuttujiin vi vin jossin ympäristössä oleviin. Vpt äärirvotehtävät Oletmme, että relirvoinen ohdefuntio f on määritelty oo vruudess R n j on siellä ensimmäisen ertluvun osittisderivttoineen jtuv j siis differentioituv. Silloin sille on voimss linerinen pprosimtio eli ensimmäisen ertluvun pprosimtio: f(x+h) - f(x) = f(x) T h + ε( h) h. Jos x on funtion f loli minimioht, niin riittävän lähellä : olevill h on voimss f(x+h) - f(x). Tällöin on välttämättä oltv f(x) =, os muuten sisimme sijoittmll yllä olevn pprosimtioyhtälöön h = -t f(x), t>, j jmll luvull h yhtälön, joss vsemmll puolell on einegtiivinen luu j oiell negtiivinen (t riittävän pieni). Sm todetn lolille msimiohdlle.

183 8 Välttämätön ensimmäisen ertluvun ehto lolille äärirvolle. Jos x on jtuvsti differentioituvn funtion f: R n R loli minimi- ti msimioht, niin f(x) =. Tämä ehto on sm minimille j msimille. Niiden erottmisesi trvitn toisen ertluvun derivttoj. Yhden muuttujn funtioist muistettneen, että lolin minimin välttämätön ehto hdesti jtuvsti derivoituvlle funtiolle on f '(x) = j f ''(x). Tämä ehto yleistyy Hessen mtriisi äyttäen n:n muuttujn funtioille. Jos x on f:n loli minimioht, niin f:n Hessen mtriisin on oltv positiivisesti semidefiniitti. Jos nimittäin on join v, joll v T H f (x)v <, niin vlitsemll h = tv, t>, sdn f:n vdrttisen pprosimtion yhtälöstä puolittin h :ll jmll j ottmll t riittävän pienesi vsemmlle puolelle ei-negtiivinen luu j oielle puolelle idosti negtiivinen (linerinen termi f(x) T h =, os f:n grdientti on ). Välttämätön toisen ertluvun ehto lolille äärirvolle. Oloot funtio f: R n R j sen osittisderivtt toiseen ertluuun sti jtuvi. Jos x on f:n loli minimioht, niin f:n grdientti ohdss x häviää j Hessen mtriisi on siinä positiivisesti semidefiniitti: f(x) = j H f (x). Jos x on f:n loli msimioht, niin f:n grdientti ohdss x häviää j Hessen mtriisi on siinä negtiivisesti semidefiniitti: f(x) = j H f (x).

184 83 Käyttämällä derivttmerintöjä sdn ehdot tutun näöisisi ehdoisi f '(x) = j f ''(x) loliss minimiohdss x f '(x) = j f ''(x) loliss msimiohdss x. Nämä ehdot ovt siis välttämättömiä, eli niiden on po oll voimss joisess loliss minimi/msimiohdss. Mutt ne eivät ole riittäviä, eli niiden voimssolo ei t sitä, että yseinen piste x on optimioht. Siis voi oll olemss pisteitä, joiss välttämättömät ehdot ovt voimss, mutt jot eivät ole optimiohti. Snomme funtion f riittisisi pisteisi ii niitä pisteitä x, joiss funtion grdientti on noll. Josus myös mhdolliset funtion ti sen osittisderivttojen epäjtuvuusohdt otetn mun riittisiin pisteisiin (niissähän eivät äärirvoehdot ole voimss). Ne riittiset pisteet, joiss grdientti on noll, mutt jot eivät ole lolej minimejä ti msimej, ovt stulpisteitä. Optimirtisuj hetn etsimällä ensin ii riittiset pisteet, jot sitten tutitn uin eriseen. Kriittisten pisteiden "ldun" tutimisesi (eli ovto lolej minimejä, msimej jne.) voidn äyttää riittäviä ehtoj. Näistä tunnetuin on yhden muuttujn funtioiden ehdon f '(x)= & f ''(x)> x loli minimioht yleistävä ehto: (todistus perustuu vdrttiseen pprosimtioon, joss oiell puolell olev neliömuoto on positiivisen definiittisyyden voimss olless positiivinen; ysityisohdt sivuutetn)

185 84 Riittävä ehto lolille minimille j msimille. Oloot funtio f: R n R j sen osittisderivtt toiseen ertluuun sti jtuvi seä f(x) =. Jos lisäsi f:n Hessen mtriisi H f (x) on positiivisesti definiitti, niin x on loli minimioht, j jos negtiivisesti definiitti, niin x on loli msimioht: f ''(x) > x loli minimioht f ''(x) < x loli msimioht. Esim. (,, ) f xyz = x + xy y + z x y+ z f(x,y,z)=[x+4y-8, 4x-y-6, z+] T =, jost rte z=-½ j yhtälöprist x:lle j y:lle x=, y=. Siis vin ysi riittinen piste: (x,y,z)=(,,-½). 4 Hessen mtriisi: H f ( x, y, z) = 4, joss >, mutt 4 4 <, joten indefiniitti. Kyseessä stulpiste. 3 3 Esim. (, ) = f xy x y xy f(x,y)=[3x -y,-3y -x] T =, jost sdn y=3x / j se sijoittmll toiseen yhtälö x=-3(3x /) = -7x 4 /4. Tästä seur x= ti x 3 =-8/7 eli x=-/3. Sijoittmll nämä y:n luseeeseen y=3x / sdn y= ti y=/3. Siis riittisiä pisteitä on si: (,) j (-/3,/3). Hessen mtriisi on nyt

186 85 H f 6x ( x, y) = 6y Pisteessä (,) ominisrvot ovt j-, joten Hessen mtriisi on indefiniitti, yseessä stulpiste. Pisteessä (-/3,/3) ominisrvot ovt - j-6, joten Hessen mtriisi on negtiivisesti definiitti, yseessä loli msimioht. Rjoitusehdoill vrustetut äärirvotehtävät Jos äypä jouo S on voin eli reun ei uulu siihen, niin edellä minitut luseet soveltuvt sellisenn. Smoin on, jos pisteen x tiedetään olevn sisäpiste. (Avoimess jouoss ii pisteet ovt sisäpisteitä.) Tämä johtuu siitä, että sisäpisteellä on ympäristö (voin x-esinen ieo ti yleisemmin uul), jo oonn sisältyy jouoon S. Tällöin lolisti tilnne on sm uin rjoitusehtoj ei olisin. Jos piste x sen sijn on äyvän jouon reunpiste, si on pljon monimutisempi. Tällä urssill trstelemme vin yhtälömuotoisi rjoitusehtoj, eli jouo S on määritelty yhtälörjoitusill g (x) =,, g m (x) = missä funtiot g i ovt jtuvsti differentioituvi. Silloin tehtävä voidn plutt vpsi tehtäväsi ottmll äyttöön Lgrngen funtio L(x, λ) = f(x) -λ g (x) - -λ m g m (x) missä vetori λ oostuu Lgrngen ertoimist λ,, λ m. Jos x on funtion f loli minimi- ti msimioht jouoss S, on silloin välttämättä

187 86 x L(x, λ) =. Silloin siis on voimss yhtälöryhmä f(x) = λ g (x) + +λ m g m (x) g (x) = g m (x) = jost yritetään rtist x j Lgrngen ertoimet λ,, λ m. Tässä on siis n+m tuntemtont, j yleensä yhtälöryhmä on epälinerinen j sellisen vie rtist. Esim. 3 Hettv ympyrän f xy x y y x + y = ehältä ne pisteet, joiss funtio (, ) = s msimins. L(x,y)=x -y -y-λ(x +y -). Silloin L x =x-λx=, L y =-y--λy=. Näistä j ympyrän yhtälöstä rtistn x, y j λ. Jos x=, niin y=±, jolloin λ=-3/ ti λ=-/. Jos x, niin λ=, jolloin y=-/4 j ympyrän yhtälöstä siis x=± 5 /4. Siis riittiset pisteet ovt (, ±) j (± 5 /4,-/4). Lsemll f:n rvot näissä todetn, että suurimmn rvon se s pisteissä (± 5 /4,-/4), jolloin f(± 5 /4,-/4)=5/4.

188 87 3. Ensimmäisen j toisen ertluvun differentiliyhtälöistä Ysi tvllisimmist luonnontieteissä j teniiss esiintyvistä mtemttisist mlleist on differentiliyhtälö. Se on yleisessä muodossn yhtälö, joss esiintyy tuntemttomi funtioit j niiden derivttoj. Jos derivtoiss on osittisderivttoj, yseessä on osittisdifferentiliyhtälö, jos vin tvllisi derivttoj, tvllinen differentiliyhtälö. Tällä urssill äsittelemme vin jälimmäisiä, j niitäin lyhyesti. Differentiliyhtälön ertluu on siinä esiintyvän oreimmn derivtn ertluu. Differentiliyhtälö on linerinen, jos tuntemton funtio j sen yhtälössä esiintyvät derivtt esiintyvät siinä linerisesti eli steluvull. Jos silloin tuntemttomn funtion j derivttojen ertoimet ovt vioit, yseessä on vioertoiminen linerinen differentiliyhtälö. Tuntemton funtio j sen derivtt litetn pääsääntöisesti yhtälön vsemmlle puolelle. Jos silloin oielle puolelle jää, yseessä on homogeeninen yhtälö, muuten yhtälö on epähomogeeninen. Esim. Trstelln seurvi differentiliyhtälöitä: ) y'''( x) + x y''( x) + y( x) = sin x (4) b) ( y ( x)) + y( x) = x c) x''( t) + x'( t) + 4 x( t) = Näistä j c ovt linerisi, b on epälinerinen. Yhtälön ertluu on 3, yhtälön b ertluu on 4 j c on toisen ertluvun vioertoiminen linerinen homogeeninen yhtälö. Yhtälöt j b ovt epähomogeenisi. Differentiliyhtälön rtisuj ovt funtiot, jot sijoitettun yhtälöön toteuttvt sen jollin voimell välillä. Yleiseen rtisuun sisältyy ertluvun ilmoittm määrä toisistn riippumttomi vioit eli prmetrej. Prmetrit ti os niistä voidn iinnittää luehdoill ti reunehdoill, jolloin yseessä on lurvoprobleem ti reunrvoprobleem.

189 88 Esim. Yhtälön y''( x) + y( x) = yleinen rtisu on ( ) sin cos missä c, c R ovt prmetrej. Alurvoprobleemn y''( x) + y( x) =, y() =, y'() = rtisu (ysiäsitteinen) on yx ( ) = sin x. yx = c x+ c x, Reun-rvoprobleemn y''( x) + y( x) =, y() =, y( π ) = rtisuj ovt ii funtiot yx ( ) = csin x, c R. Reun-rvoprobleemll y''( x) + y( x) =, y() =, y'( π ) = ts ei ole rtisu linn. Kuten esimeristä näyy, differentiliyhtälöllä ei välttämättä trvitse oll olemss rtisu, j jos sellisi on, niiden ei trvitse oll ysiäsitteisiä. Tähän ysymyseen plmme myöhemmin differentiliyhtälösysteemien yhteydessä. Käymme seurvss läpi ysinertisimpi perustpusi. j. ertluvun differentiliyhtälöistä. Yleisempi teori esitetään sitten myöhemmin. Totuttelemme uitenin yleiseen differentilisysteemien merintätpn jo nyt meritsemällä tuntemtont funtiot useimmiten x:llä j muuttuj t:llä ("i"). ) Ensimmäisen ertluvun linerinen homogeeninen vioertoiminen yhtälö: x'( t) x( t) = eli x'( t) = x( t), jo voidn esittää muodoss x'( t) =. xt () Kun tämä integroidn puolittin, sdn ln x( t) = t + d, missä d on integroimisvio. Ottmll tästä edelleen esponenttifuntio exp puolittin tulln muotoon

190 89 t+ d t d x( t) = exp( t+ d) = e = e e Kos joinen luu c R on esitettävissä luseeen ±e d jollin d, sdn itseisrvomerit poistettu j yleinen rtisu on t x( t) = e c missä c on mielivltinen vio. Aluehdon x()=x toteuttvss rtisuss on silloin c=x : x() t = e t x. ) Ensimmäisen ertluvun linerinen epähomogeeninen vioertoiminen yhtälö: x'( t) x( t) = b( t) eli x'( t) = x( t) + b( t) Yhtälön x'(t)=x(t) eli homogeenisen yhtälön yleinen rtisu on edellisen nojll x h (t)=e t c. Epähomogeenisen yhtälön x'(t)=x(t)+b(t) ysityisrtisu sdn ns. vion vrioinnill eli etsimällä rtisu muodoss x(t)=e t c(t). Silloin sdn derivoimll j sijoittmll epähomogeeniseen yhtälöön: jost sievenee yhtälö e t c(t)+e t c'(t)=e t c(t) + b(t) c'(t)=e -t b(t), eli eräs ysityisrtisu on

191 9 x p (t)=e t e t b(t)dt. Silloin yleinen rtisu epähomogeeniselle yhtälölle on homogeenisen yhtälön yleinen rtisu plus epähomogeenisen ysityisrtisu: x(t)=e t c + e t e -t b(t)dt Aluehdon x()=x toteuttv rtisu on silloin t x(t)=e t ( t s) x + e b() s ds. Jos edellä vio vihtuu funtiosi (t), niin rtisujen johto menee lähes smll tvll, un termi t orvtn integrlill tdt ( ) : 3) Ensimmäisen ertluvun linerinen homogeeninen yhtälö: x'( t) ( t) x( t) = eli x'( t) = ( t) x( t). Yleinen rtisu on () xt () = e tdt c j luehdon x()=x toteuttv rtisu t () xt () e tdt = x.

192 9 4) Ensimmäisen ertluvun linerinen epähomogeeninen yhtälö: x'( t) ( t) x( t) = b( t) eli x'( t) = ( t) x( t) + b( t). Yleinen rtisu on tdt () tdt () tdt () x() t = e c+ e e b() t dt. Esim. 3 '( ) (tn ) ( ) cos π π x t + t x t = t, < t <. sin t Kos tdt ( ) = ( tn tdt ) = dt= ln(cos t) cost yleinen rtisu on, niin e () t dt = cost, joten x( t) = (cos t) c+ cost cos tdt = (cos t) c+ costsin t. cost Epälineriset differentiliyhtälöt ovt yleensä rtistviss oreintn numeerisesti. Mutt dimensioss eli. ertluvun differentiliyhtälöissä tietyt erityistpuset rtevt peritteess helposti. Erioistemppuihin perehtyminen ei nyyisin uitenn enää ole trpeellist (ohjelmistot Mple etc.), pitsi seurv, jo on niin tvllinen, että esiintyy eri lojen oppiirjoiss "luonnonlien" yms. johtmisiss: 5) Ensimmäisen ertluvun seproituv differentiliyhtälö: x'( t) = h( t) g( x( t)),

193 9 Tämä on siis muoto, missä oiell puolell muuttujt t j x ovt "seproituneet". Silloin yhtälö voidn irjoitt muotoon (vsemmlle seproituneet x, oielle pelästään t:stä riippuvt.) x'( t) / g( x( t)) = h( t), jost puolittin integroitun x '( t ) / g ( x ( t )) dt = h ( t ) dt. Tämä integrointi onnistuessn nt yhtälön yleisen rtisun. Edellä olemme jo äyttäneetin tätä menettelyä ensimmäisen ertluvun linerisen homogeenisen differentiliyhtälön rtisujen johtmisess. Esim. 4 x '( t) t x( t) = t (epälinerinen, epähomogeeninen) x'( t) x'( t) x '( t) = t ( + x( t) ) = t dt = t dt + xt ( ) + xt ( ) Sijoitetn vsempn integrliin u = x( t), du = x'( t) dt, jolloin sdn du tdt rctn u t c. Siis yleinen rtisu on u = = + 3 () tn( 3 ) x t = t + c. Esim. 5 x '( t) = x( t)(- sin( t)) x'( t) x'( t) = sin( t) dt = ( sin( t)) dt xt () xt () puolille yhtälöä) (eli x j t seproitiin eri t+ cos( t) + d d t+ cos( t) = + + = =, mer. ln xt ( ) t cos( t) d xt ( ) e ee xt () ce + t cos( t) =, c on mielivltinen vio. c d =± e :

194 93 6) Toisen ertluvun linerinen homogeeninen vioertoiminen yhtälö: y''( t) + y'( t) + by( t) = Kos esponenttifuntio on ino funtio, jo derivoitess nt tisin smn funtion violl errottun, voidn rtisu he rt sijoittmll yt ( ) = e. Jmll sijoitusen jäleen nollst rt poievll luseeell e sdn, että yhtälö toteutuu, jos r on rteristisen yhtälön r + r+ b= juuri. Tilnne jntuu juurten ominisuusien mun olmeen tpuseen (ei todistett tässä tremmin, os seur myöhemmästä differentiliyhtälöryhmien teorist): Oloot rteristisen yhtälön r + r+ b= juuret λ j µ. Silloin yllä olevn differentiliyhtälön yleinen rtisu on yt () = ce t + ce µ, jos juuret ovt relisi j λ µ = +, jos λ=µ yt () = ce sin( αt t) + ce cos( βt), jos λ=α+iβ, µ=α-iβ, β.. λ t. yt () λt λt ce cte 3. αt β Esim. 6 He differentiliyhtälön y''- y'- y = yleinen rtisu Krteristinen yhtälö r r =, juuret j -. Siis tpus. Yleinen t t rtisu yt () = ce + ce. Esim. 7 Rtise lurvoprobleem π y'' + y' + 5y =, y( π) = e, y '( π) = 3e π Krteristinen yhtälö r + r+ 5=, juuret omplesiset: -+i j --i. Siis tpus 3. Yleinen rtisu

195 94 t yt () = ce sint+ ce cost. t π π π Aluehdot: y( π ) = e ce = e c = ; t t t t y'( t) = ce sin t+ ce cost e cost e sin t, π π π π y'( π ) = 3e ce e = 3e c =. Siis lurvoprobleemn rtisu on t t yt () = e sint+ e cost. Tpusess 3 rtisu on usein hyödyllistä esittää yhtenä siniluseeen (ti osini-). Siihen päästään äyttämällä ns. hrmonisi identiteettejä cosωt+ bsinωt= Asin( ωt+ φ) b missä A = + b j cos φ =, sinφ =, seä A A cosωt+ bsinωt= Acos( ωt δ), b missä A = + b j cos δ =, sinδ =. A A Esim. 8 Edellisen esimerin rtisufuntiolle sdn muoto t t t yt ( ) = e (cos t+ sin t) = e + 4 cos( t δ ) = 5e cos( t δ ), missä π cos δ =, sinδ =, joten < δ < eli δ = rctn

196 95 4. Vioertoiminen linerinen normliryhmä Todetn ensin ilmn todistusi (tulos on syvällinen) rtisujen olemssolo j ysiäsitteisyyttä osev perustulos: Alurvotehtävän olemssolo- j ysiäsitteisyysluse Oletetn, että funtio f: R n R R n on jtuv pisteen (x, t ) ympäristössä U I j että derivttmtriisi f on olemss j jtuv x siellä (derivointi muuttujn x suhteen). Silloin lurvotehtävällä x'(t) = f(x(t),t), x(t )=x on olemss ysiäsitteinen rtisu jollin välillä J I, t J. Jos lisäsi mtriisin f x olemss oo välillä I. liot ovt rjoitettuj, niin tämä rtisu on Lineriset systeemit. Seurvss trstelln ns. utonomisten vioertoimisten homogeenisten differentilisysteemien rtisemist nlyyttisesti (numeerisiin menetelmiin ei tässä nyt puutut). Systeemi on muoto () x'(t) = Ax(t) j hettvn on yleinen rtisu ti luehdon x()=x toteuttv rtisu. Mtriisi A on oo n n olev viomtriisi (siis jst t riippumton) j tilvetori x(t) R n. Kos nyt oien puolen derivtt on viomtriisi A, olemssolo- j ysiäsitteisyysluse on voimss oo vruudess (U=R n, I=R).

197 96 Kun n= eli systeemi on ysiulotteinen x'( t) = x( t), yleisesi rtisusi t stiin luvuss 3 x( t) = e c j luehdon x() = x toteuttvsi rtisusi x() t = e t x. Osoittutuu, että tämä muoto rtisuille pätee myös oremmiss dimensioiss n. Silloin :n tilll on mtriisi A j e At on mtriisin At (=ta) mtriisirvoinen funtio. Mtriisiesponenttifuntio e A voidn määritellä e x :n srjehitelmän vull sijoittmll luvun x pille neliömtriisi A (s. srjteorin osuus). Mutt tässä viheess tyydymme ysinertisempn tpuseen j oletmme A:n olevn relisen digonlisoituvn mtriisin. Digonlisoituvlle mtriisille A on olemss ei-singulrinen mtriisi Q =[v,...,v n ] siten, että () A = QDQ -, missä lävistäjämtriisin D=dig(λ,..., λ n ) lävistäjällä on A:n ominisrvot. Aiisemmin olemme osoittneet, että tällöin A = QD Q -. Edelleen tämä vull voidn osoitt, että vstv pätee joiselle polynomille p: p(a) = Qp(D)Q -, missä p(d) = dig(p(λ ),...,p(λ n )). Kuten srjteoriss todetn, srjt ovt polynomien (ossummien) rj-rvoj. On siis luontev määritellä digonlisoituvn mtriisin A esponenttifuntio yhteydellä (3) e A = Qe D Q -, missä e D = dig(exp(λ ),...,exp(λ n )). Tämä määritelmä voidn osoitt srjteorin vull esitettävissä olevn yleisempään määritelmään yhteensopivsi.

198 97 Alurvotehtävän (4) x'(t) = Ax(t), x() = x rtisusi sdn nyt vetorifuntio (5) x(t) = e At x. Derivoimll todetn, että yseessä on rtisu: x'(t) = d/dt (Qe Dt Q - )x = Q(d/dte Dt )Q - x = Q(De Dt )Q - x = QDQ - Qe Dt Q - x =Ae At x =Ax(t). Kos tämä toteutt myös luehdon x()=x, on se olemssolo- j ysiäsitteisyysluseen mun lurvotehtävän ysiäsitteinen rtisu. Lähdetään sitten toist utt hemn yleistä rtisu. Todetn ensin, että jos x,..., x ovt linerisen systeemin x'(t)=ax(t) rtisuj, niin myös niiden joinen lineriombintio x(t) = c x (t) c x (t) on sitä. (Operttori L(x)=x'-Ax on linerinen.) Funtioit x,..., x snotn välillä I linerisesti riippumttomisi, jos yhtälö c x () t + cnxn() t = toteutuu välillä I vin, un c = = c n =. Jos funtiot x i ovt linerisen systeemin rtisuj, riippumttomuutt selvitettäessä ei uitenn trvitse tuti joist t, vn ysiin t

199 98 riittää. Jos nimittäin vetorit x (t),..., x (t) ovt riippuvi hetellä t, niin silloin on joillin ertoimill c i voimss yhtälö c x (t ) c x (t ) = (t ) jolloin molemmill puolill esiintyy lurvotehtävän x'(t)=ax(t), x(t )= rtisu. Ne ovt siis smt iill t, joten funtiot x,..., x ovt linerisesti riippuvi. Linerisen systeemin x'(t)=ax(t) yleinen rtisu muodostuu mistä hyvänsä n:stä linerisesti riippumttomst rtisust x,..., x n niiden lineriombintion: (6) x(t) = c x (t) c n x n (t). Tämä seur olemssolo- j ysiäsitteisyysluseest j siitä, että mielivltinen lutil x sdn sopivill ertoimill c i yhtälöstä c x () c n x n () =x. (Vetorit x (),, x n () ovt linerisesti riippumttomi j niitä on n pplett, joten ne muodostvt vruuden R n nnn.) Kerroinyhtälö on mtriisimuodoss [x (),...,x n ()]c =x, missä c=[c,...,c n ] T. Kerroinmtriisi on ei-singulrinen, os sen sreet ovt linerisesti riippumttomi. Siis erroinyhtälöllä on ysiäsitteinen rtisu c. Tästä sdn sen lineriombintion c x (t) c n x n (t) ertoimet, jo on lutiln x määräämää rtisu differentiliyhtälösysteemille.

200 99 Mtriisi X(t) = [x (t),...,x n (t)] snotn differentiliyhtälösysteemin fundmentlimtriisisi. Sitä äyttäen yleinen rtisu(6) voidn esittää muodoss (7) x(t) = X(t)c. Fundmentlimtriisi ei ole ysiäsitteinen, sehän rentuu vlituist n:stä linerisesti riippumttomst rtisust. Usein uitenin setetn ehto X()=I. Silloin luehdon x()=x toteuttv rtisu on (8) x(t) = X(t)x. Näemme siis, että digonlisoituvn mtriisin tpusess ysiäsitteisyysluseen nojll e At on fundmentlimtriisi: (9) X(t) = e At, X()=I. Yleinen rtisu (7) voidn siis esittää myös muodoss () x(t) = e At c. Jos A on digonlisoituv j Q =[v,...,v n ] rentuu sen linerisesti riippumttomist ominisvetoreist (joit siis on täysi määrä n), niin lurvotehtävän rtisusi stiin x(t) = e At x = Qe Dt Q - x, jo voidn irjoitt muotoon () x(t) = [exp(λ t)v... exp(λ n t)v n ] T Q - x. Meritsemällä c = Q - x = [c,...,c n ] T sdn () x(t) = c exp(λ t)v c n exp(λ n t)v n,

201 jo on yleisen rtisun (6) muoto, jos ertoimet c i ovt mielivltisi j x i (t) = exp(λ i t)v i. Joinen tällinen x i (t) todell on rtisu: derivoidn j äytetään ominisvetorin ominisuutt Av i =λ i v i x'(t) = d/dt(exp(λ i t)v i ) = λ i exp(λ i t)v i =exp(λ i t)av i = A(exp(λ i t)v i ) =Ax(t). Siis yleinen rtisu () on "uiirjoitettun" lusee (). Aluehdon x()=x toteuttv rtisu vst () sdn, jos c =Q - x eli yhtälön Qc=x rtisu. Esim. x' = 4 x Mtriisin A = 4 ominisrvot ovt 3 j -, seä vstvt ominisvetorit [ ] T j [ -] T. Yleinen rtisu on silloin x(t) = ce t + ce 3t (muoto ) = e e 3t e 3t t e t c (muoto 7 ) 3t t ce + ce = 3t ce ce t (rtisu omponenteittin).

202 Edellä oletettiin, että mtriisi A on digonlisoituv. Tällinen on tilnne täsmälleen silloin, un joisen ominisrvon geometrinen ertluu on sm uin lgebrllinen. Täydennetään teori seurvill tulosill tpusist, joiss moninertisen ominisrvon geometrinen ertluu on ysi: Oloon A:n ominisrvon λ lgebrllinen ertluu, geometrinen ertluu j vetori u λ: vstv ominisvetori. Silloin si λ: vstv linerisesti riippumtont systeemin x' = Ax rtisu ovt (3) e λt u j te λt u + e λt v. missä vetorit u j v rtistn yhtälöistä (4) (A-λI)u =, (A-λI)v = u. (Todistetn sijoittmll (3) yhtälöön x' = Ax. Ensimmäinen yhtälö ilmisee sen, että u on A:n ominisvetori.) Edelleen, jos λ:n lgebrllinen ertluu on 3 j geometrinen ertluu, niin linerisesti riippuvi rtisuj differentiliyhtälösysteemille ovt (5) e λt u, te λt u + e λt v j ½t e λt u + te λt v + e λt w, missä u, v j w rtistn perääin yhtälöistä (6) (A-λI)u =, (A-λI)v = u, (A-λI)w = v. Esim. Rtistn differentiliyhtälösysteemi x'(t) = 5 4 x(t). 5 Ominisrvot: 5 λ 4 = = = λ (5 λ)( λ(5 λ) 4) ( 4)(5 λ) (5 λ)( λ 5 λ) 5 λ λ = 5, λ =, 3

203 Ominisvetorit ominisrvolle 5: x+ x3 =, x =, vin ysi linerisesti riippumton: esim. u =. Toinen rennettv vn (4) vull (yleistetty ominisvetori): 4 5 5/ ( A 5 I) v = u 5 ½ ½ 5/ x+ x3 = 5/, x = ½, v = ½ + s, vlitn esim. s =, jolloin ½ v = ½. 4 Ominisrvon ominisvetorisi sdn vstvsti w = 5. Siis yleinen rtisu on vn (3) muisesti: ½ 4 5t 5t 5t x () t = ce + c( te + e ½) + c 3 5. Yleisemmät tilnteet johtvt mtriisien Jordnin nonisen muodon äyttöön. (Ks. urssi Differentiliyhtälöt.)

204 3 Seurvsi trstelln (ysinertisen) omplesisen ominisrvon λ=α+iβ tpust. Mtriisi A oletetn relisesi j differentiliyhtälösysteemille hetn nimenomn relisi rtisuj. Relisen mtriisin omplesiset ominisrvot esiintyvät liittoluuprein λ, =α±iβ. Silloin yleensä myös vstvt ominisvetorit ovt omplesivetoreit, j relimtriisin tpusess ne ovt toistens liittovetoreit. Suorll sijoitusell todetn, että jos v on vstv ominisvetori, niin (7) e (α+iβ)t v on systeemin rtisu (omplesinen), j sen reli- j imginriost ovt myös. Ne ovt silloin si ominisrvoon λ =α+iβ liittyvää relist rtisu. Kos ominisrvoon λ =α-iβ liittyvät smt reliset rtisut, sdn näitä ht omplesist ominisrvo vstmn lopult si relist rtisu (8) Re(e (α+iβ)t v) j Im(e (α+iβ)t v). Jos meritään v=+ib, sdn silloin yhtälöistä e (α+iβ)t v=e αt e iβ t v = e αt (cos(βt)+isin(βt))(+ib) = e αt (cos(βt)-sin(βt)b +i(cos(βt)b+sin(βt))) rtisujen muodosi (9) x (t) = e αt (cos(βt)-sin(βt)b) j x (t) = e αt (cos(βt)b+sin(βt))). 8 Esim. 3 Trstelln lurvotehtävää x' = x, x()=. Kerroinmtriisin ominisrvot ovt ±i, j vstv ominisvetori v= + i, jost relios = j imginrios b =. Systeemin yleinen rtisu on siis x(t)=c (cost -sint )+c (cost +sint ). Aluehdot toteutuvt, un vioill on rvot c =, c =.

205 4 'Trstelln vielä epähomogeenisen yhtälön lurvoprobleem: () x'(t) = Ax(t) + b(t), x()=x. Tässä A on edelleen viomtriisi j funtio b jtuv. Olemssolo- j ysiäsitteisyysluseen mun ysiäsitteinen rtisu on olemss. Todetn ensin yleinen yhteys homogeenisen j epähomogeenisen lineristen differentiliyhtälösysteemien välille: Epähomogeenisen yhtälön yleinen rtisu on homogeenisen yhtälön yleinen rtisu plus epähomogeenisen yhtälön join ysityisrtisu. Eli jos x h on homogeenisen systeemin x'=ax yleinen rtisu j x p epähomogeenisen systeemin x'=ax+b ysityisrtisu, niin epähomogeenisen systeemin yleinen rtisu on x=x h +x p. Hetn vini rtisun muodolle ts ysiulotteisest tpusest: Yhtälön x'( t) = x( t) + b( t) yleinen rtisu on x(t)=e t c + e t e -t b(t)dt j lurvoprobleemn rtisu luehdoll x() = x t x(t)=e t ( t s) x + e b() s ds. Koeilln siis n-ulotteiselle systeemille lurvotehtävän rtisusi () x(t)=e At x + t ea(t-s) b(s) ds, jo derivoimll j sijoittmll todetn rtisusi. Se on siis olemssolo- j ysiäsitteisyysluseen perusteell probleemn () ysiäsitteinen rtisu. Yleinen rtisu sdn orvmll x yleisellä viovetorill c.

206 5 Esim. 4 Rtistn lurvoprobleem x'(t) = 3 4 x(t)+ 3 t t e, x()= 3. A:n ominisrvot ovt -5 j -, vstvt ominisvetorit v = & = v. Silloin A:n digonlisointi nt esponenttifuntion: e At 5t 5t e 3 3 e = t t e =. e 3 3 Siis lurvotehtävän rtisu on vn () muisesti t () = At A( t s) + ( ) x t e x e b s ds 5t t 5( t s) e e 3 3 3s = + ds t ( t s) s e 3 3 e 3 3 e t 5t 5s 4s e ( e s 5 3 e ) ds 5 t 3 e ( 4 t t ) 3 e t s s e ( e s+ 3 e ) ds = + (mtriisi yhteisenä teijänä) 5 5t t 37 5t 3 e 5 t ( 5 e + 3 e = 4 t t t ) + 3e t + 3e + 6e t 537 5t 5 t 5 ( e + 3 e t 9 t ) t 3e 6e = t 3 t 79 5t 5t 5 + 4e + e + e = 3 t 3 t 79 t. 5t 5 + e + e 5 e

207 6 5. Differentiliyhtälösysteemien ldullist teori. Olemme esittyneet tässä urssiss ensimmäisen ertluvun differentiliyhtälösysteemeihin, jot ovt muoto x '(t) = f(t, x(t)), x(t) R n. Tässä f on jtuv funtio: R R n R. Vetorin x(t) voidn sno esittävän systeemin til jnhetellä t. Geometrisesti x muodost rtäyrän n-ulotteisess vruudess. Systeemin rtisu voimell välillä I on tällä välillä määritelty jtuvsti derivoituv vetorirvoinen funtio x, jo toteutt yllä minitun yhtälön tämän välin joisess pisteessä. Rtisuj on yleensä ääretön määrä. Alurvotehtävässä x '(t) = f(t, x(t)), x(t )=c rtisun määrätään ulevn jnhetellä t pisteen c utt. Edellisessä luvuss olevn luseen mun rtisu on tällöin ysiäsitteinen. Ensimmäisen ertluvun derivttn esittyminen edellä ei ole ovin yleisyyttä rjoittv: Koremp ertluu olevt differentiliyhtälöt voidn plutt ensimmäisen ertluvun systeemisi. Edellytysenä tälle on, että esiintyvä orein derivtt voidn rtist yhtälöstä. Esim. Muutetn seurv differentiliyhtälö ensimmäisen ertluvun systeemisi: y'''( t) - 3 y''( t) + 4 y'( t) - y( t) =. Vlitn x( t) = y( t), x( t) = y'( t), x3( t) = y''( t), jolloin näiden derivtoille sdn

208 7 x '( t) = x ( t) x '( t) = x ( t) 3 x '( t) = / x ( t)- x ( t) + 3/ x ( t). 3 3 Differentiliyhtälösysteemien tspinotilt j stbiilius. Differentiliyhtälön x'(t) = f(t, x(t)), x(t) R n määrittelemän systeemin snotn olevn utonominen, jos oie puoli ei esplisiittisesti riipu jst t: x'(t) = f(x(t)). Jos viotil x(t) x toteutt yhtälön, niin silloin vion sen derivtt x'(t) j snomme, että systeemi on tspinotilss j x on systeemin tspinopiste. Tspinopistettä rterisoi siis yhtälö f(x ) =, jost systeemin tspinopisteet voidn rtist. Esim. Systeemin tspinopisteet ovt (, nπ). f(x) = [sin(x +x ) exp(x )-] T Systeemi on tspinopisteessä x stbiili, jos sen til x(t) ero jn uluess tspinostn hllitun vähän, un poiem tspinopisteestä on riittävän pieni. Eli jos systeemi lähtee poieutetust lutilst x * j etenee lurvoprobleemn x' = f(x), x() = x * rtisun x(t), niin joist ε > ohti on olemss δ > siten,että

209 8 x * - x < δ x(t) - x < ε iill t>. Tällöin snotn myös, että yseinen tspinopiste on stbiili. Voimmpi ominisuus on symptoottinen stbiilius: Systeemi on stbiili j x(t) x, un t. Eli un poieutus tspinopisteestä on riittävän pieni, niin systeemi pl jn uluess lopult tisin tspinotilns rj-rvon. Globliss symptoottisess stbiiliudess poiemn suuruus K s oll miä hyvänsä. Jos systeemi ei ole stbiili, se on epästbiili. Silloin poieutusen vähäisyys ei riitä tmn systeemin tiln pysymistä hllituiss rjoiss. Oheinen uv hvinnollist stbiilin, symptoottisesti stbiilin j epästbiilin tspinopisteen äsitteitä:

210 9 Avruuden R n linerisille systeemeille x' = Ax stbiiliusysymyset voidn selvittää ominisrvojen vull. Oloon det(a), jolloin ino tspinopiste on origo. Origo on systeemin stbiili tspinotil täsmälleen silloin, un sen ominisrvojen reliost ovt j lisäsi niiden ominisrvojen, joill geometrinen ertluu on pienempi uin lgebrllinen, relios on <. Jos lisäsi iien ominisrvojen reliost ovt <, niin origo on globlisti symptoottisesti stbiili tspinotil. Yleisemmän linerisen systeemin x' = Ax + b tspinotil on (A:n olless ääntyvä) yhtälön rtisu Ax + b = x = -A - b. Sen stbiiliusominisuudet määräytyvät A:n ominisrvoist täsmälleen uten origon tpusess yllä. Siis linerisen systeemin x' = Ax + b (det(a) ) tspinotil on globlisti symptoottisesti stbiili, jos A:n ominisrvot λ C ovt idosti vsemmss puolitsoss (ei imginääriselill). Jos ne ovt vsemmss puolitsoss, mutt join on imginääriselill, systeemi on silti stbiili. Jos join ominisrvoist on idosti oiess puolitsoss (Reλ>), systeemi on tspinotilssn epästbiili.

211 Epälinerisen systeemin x' = f(x) tspinotiln x stbiilius selvitetään tutimll pisteen x ympäristössä linerisoitu systeemiä f(x) = f(x ) + f '(x )(x-x ). Kos tspinopisteessä x on f(x ) =, on linerisoitu systeemi x' = Ax +b, missä A = f '(x ) on f:n derivtt eli Jcobin mtriisi pisteessä x j b = - f '(x )x. Jos Jcobin mtriisin ominisrvojen reliost ovt <, niin tspinotil x on epälineriselle systeemille symptoottisesti stbiili. Jos ysiin ominisrvoist on reliosltn positiivinen, tspinotil on epästbiili.

212 Tson R linerisille systeemeille x' = Ax voidn eri tilnteet tspinotillle luoitell seurvsti ominisrvojen λ, λ vull:

213