73035 Insinöörimatematiikka 2

Transkriptio

1 7335 Insinöörimtemtii Kesä 5 Tmpereen tenillinen yliopisto Risto Silvennoinen. Luusrjt. Funtiosrjt 8 3. Relifuntioiden määräämätön integrli 5 4. Relifuntioiden määrätty integrli 6 5. Integrointi n-ulotteisess vruudess 7 6. Mtriisilsennn perusteit Alivruudet. Lineriset yhtälöryhmät 7 8. Ortogonliprojetiot Ominisrvot. Digonlisointi 55. Neliömuodot. Definiittisyys 68. Vetorifuntion derivtt. Ketjusääntö 7. Hessen mtriisi. Äärirvoteori Ensimmäisen j toisen ertluvun differentiliyhtälöistä Vioertoiminen linerinen normliryhmä Differentiliyhtälösysteemien ldullist teori 6

2 . Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teori. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess luonnollisten luujen jouo N={,, 3,...} on lähtöohtn, j sen lioiden luumäärä on ilmeisen ymmärrettävästi ääretön. Joist jouo, joss on yhtä mont liot uin luonnollisiss luvuiss, snotn numeroituvsi. Kii jouot eivät uitenn ole numeroituvi, uten reliluujen jouo R esimerinä osoitt. Tällisi jouoj snotn ylinumeroituvisi. Jono (sequence) on tässä yhteydessä in päättymätön, ääretön jono. Sm termiä äytetään suomenielessä myös äärellisestä jonost (esim. hviln jono), englnnisi queue, mutt siyhteydestä yleensä ilmenee, ump troitetn. Seurvss ertmme j täydennämme reliluujonojen teori, jot urssiss Lj mtemtii jo oli esillä. Jono oostuu luvuist x, x,,x n,..., joss joist indesiä n vst ysi jonon luu. Mtemttisesti jtellen yseessä on siis funtio luonnollisilt luvuilt reliluujen jouoon: Reliluujono on funtio N R. Jos siis joist luonnollist luu n ohti setetn vstmn reliluu x n, syntyy luujono eli lyhyesti (x n ). x, x,..., x n,...

3 Tässä mielessä jonoss on siis in ääretön määrä termejä x n (joisell n:llä ysi). Toislt jonoll ei trvitse oll ääretöntä määrää rvoj x n, esimerisi viojonoll x n = c, n=,, on vin ysi rvo, c. Siis jono (x n ) j sen rvojouo {x n : n N} ovt eri sioit. Jonoj äytetään usein iterointimenetelmissä, joiss jotin ongelm rtistn toistuvsti niin, että tulosen on yhä trentuv pprosimoivien rtisujen jono. Tällöin ihnnetpusess jonon rvot lähestyvät hettu ongelmn rtisu, un n eli iterointien luumäärää sv. Tämä jttelu perustuu jonon rj-rvon äsitteeseen. Rj-rvo on rvo, jot yleensä ei trn svutet, vn sitä lähestytään yhä lähemmäsi j lähemmäsi n:n svess rjttomn suuresi. Trvittv "läheisyyden" äsite voidn muotoill täsmälliseen suun seurvsti: Oloon x R j ε >. Avoint väliä ( x - ε, x +ε) utsutn luvun x ympäristösi ti ε- ympäristösi, j meritään U(x;ε). Luujono ( x n ) suppenee j sen rj-rvo on = x, jos joist x:n ympäristöä U(x;ε) vst luu n ε N siten, että x n U(x;ε), un n > n ε. Luujono ( x n ) siis suppenee, jos joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε N siten, että x n - x < ε, un n > n ε. Tällöin meritään lim x n = x ti ysinertisesti x n x. All on uvttu si tpust luujonost ( n ), jo suppenee ohti rjrvo L. V-seli on indesiseli, joss indesi n ulee,, 3,... j pystyselill ovt vstvt jonon rvot n.

4 3 Kun jono suppenee ohti rj-rvo x, niin jonon termit ovt hlutun lähellä (ε-tolernssill mitten) rj-rvo, unhn indesi n on riittävän suuri (n>n ε ). Jos termit hlutn lähemmäsi (ε-luu pienennetään), riittää mennä jonoss trvittvn mont termiä eteenpäin eli svtt indesiä n. Oheisess uvss jonon ( n ) rj-rvo on L, j termien rvot ovt y- selill. Puniset pisteet ovt pisteitä (n, n ). Jos luujono ei suppene, se hjntuu. Hjntuminen voi oll meno ohti ääretöntä (meritään myös x n ti x n -) ti sitten termit voivt "pouoill" hden ti usemmn rvon välillä ti äyttäytyä vielä epäsäännöllisemmin.

5 4 Esim. Jono n =r n suppenee täsmälleen silloin, un -<r. Teht. Osoit, että viojono ( x n), missä x n = c = vio iill rvoill n N, suppenee.

6 5 Teht. Osoit (määritelmän perusteell), että lim ( /n) =. Teht. 3 Osoit (määritelmään nojutuen), että lim 3n + 4 4n + 5 = 3. 4 Suppenevn jonon termit "htutuvt" jonoss pitemmälle mentäessä: Luse. Jos jono ( x n) suppenee, niin joist positiiviluu ε ohti on olemss luu n ε N siten, että n > n ε xn+ p xn < ε p N. Tod.: Jos x=lim x n, niin olmioepäyhtälön perusteell x n+p -x n x n+p -x + x n -x <ε/+ε/=ε, un n riittävän suuri j p N. Miään luujono ei voi supet ht ti usemp rj-rvo ohti: Luse. Luujonon rj-rvo on ysiäsitteinen. Tod.: Jos x j y ovt jonon (x n ) rj-rvoj, niin x-y = x-x n +x n -y x-x n + y-x n, un n.

7 6 Teht. 4 Osoit, että jono,,,,,,,, hjntuu. Teht. 5 Osoit, että jono,,,3,4,5,6,7, hjntuu. Reliluujono ( x n) on rjoitettu, jos on olemss vio M siten, että x M n N. n Luse 3. Suppenev luujono on rjoitettu. Tod.: Jos x=lim x n, niin x n x n -x + x <+ x =:M, un n>n.

8 7 Epäyhtälöt "säilyvät rjll": Luse 4. Oloon xn M n N j lim x n = x. Silloin x M. Tod.: Oloon ε>. Silloin on olemss sellinen n ε, että x n -x <ε, un n> n ε. Siis x = x-x n +x n x-x n +x n <ε+x n ε+m. Kos tämä pätee mielivltiselle ε>, on x M. Rj-rvojen lsennss voidn äyttää seurvi yhteenlsun, ertolsun, violl ertomisen j jolsun sääntöjä: Luse 5. Oloot ( x n) j ( y n) suppenevi reliluujonoj, joiden rj-rvot ovt vstvsti x j y. Silloin ) lim ( xn+ yn) = x + y = lim x n +lim y n b) lim ( x y ) n n = x y = lim x n lim y n c) lim ( cx n) = c x = c lim x n c R x d) lim n y n = x y = lim x lim y n n, edellyttäen että yn n N j että y. Tod.: ) Oloon ε>. Silloin on olemss n j n siten, että x n -x <ε/ j y n -y <ε/, un n>n j n>n. Siis (x n +y n )-(x+y) = (x n -x)+(y n -y) x n -x + y n -y < ε/+ε/=ε, un n>mx{n, n }.

9 8 Muut ohdt menevät vstvsti (s. Insinöörimtemtii ). Erittäin hyödyllinen rj-rvojen lsennss on myös oheinen "uristusperite": Jos jonot ( n ) j (c n ) suppenevt ohti sm rj-rvo L j on voimss epäyhtälö n b n c n, niin myös jono (b n ) suppene ohti rj-rvo L. Esim. lim ( /n) = lim (/n) = =. Esim. 3 lim 3n + 4 4n + 5 = 3+ 4/ n lim 4 + 5/ n = lim(3+ 4/ n) lim(4 + 5/ n) = 3 4 Esim. 4 lim n + 7n n n + n = lim 3 / n+ 7/ n + 3/ n 5 / n+ / n / n 3 =.

10 9 Esim. 5 lim ( n + n + ) = ( n + n + )( n + + n + ) lim n + + n + =lim n + + n + =. Käytännön lsent tehdään in lopult rtionliluvuill. Näin sdn uitenin miä hyvänsä reliluu esitettyä mielivltisen trsti pprosimoitun: Luse 6. Oloon x R. Silloin on olemss rtionliluujono, jo suppenee ohti pistettä x. Tod.: Otetn in väliltä (x-/n, x+/n) join rtionliluu x n. Se on mhdollist, os joisell voimell välillä on in (jop ääretön määrä) rtionliluu(j). (Tämä vtii omn todistusens, joss joudutn äyttämään reliluujen perusominisuusi. Trvitn sitä, että joisell epätyhjällä reliluujouoll on supremum, j Arhimedeen lusett, jon mun joiselle reliluvulle löytyy sitä suurempi oonisluu. Käsitellään urssill Mtemttinen nlyysi.)

11 Jos jonost poimitn eteenpäin mentäessä vin os termeistä, mutt uitenin äärettömän mont, sdn osjono. Tällöin siis indeseistä poimitn svvss järjestysessä os, tsepäin ei s mennä. Esim. 6 Jonoll (,,,,,,,, ) on esimerisi osjonot (,,,,, ) j (,,,,, ). Mitä muit osjonoj sillä on? Esim.7 Jono (,,4,3,5,6, ) ei ole jonon (,,3,4,5,6, ) osjono, os lioiden järjestys ei ole sm. Luse 7. Oloon (x n ) jono, jo suppenee ohti reliluu x. Silloin joinen jonon (x n ) osjono suppenee myös ohti luu x. Tod.: Oloon ( x n ) osjono j ε>. On siis olemss n siten, että x n -x < ε, un n>n. On olemss siten,että un >, niin n >n. Silloin >. xn x <ε, un Esim. 8 Esimeri 5:n osjonoill (,,,,, ) j (,,,,, ) on eri rj-rvot: j, joten jono (,,,,,,,, ) on hjntuv.

12 Reliluujono ( x n) on svv ( vstvsti, idosti svv ), jos xn x n + (vstvsti xn < x n + ) n N. Reliluujono ( x n) on vähenevä ( vstvsti, idosti vähenevä), jos xn x n (vstvsti + xn > x n ) + n N. Reliluujono ( x n) on monotoninen, jos se on svv ti vähenevä. Jos svv jono on ylhäältä rjoitettu, se ei voi rt äärettömyyteen, j ylärj ennen sen rvot väisin putuvt yhteen, os edestinen osillointi estyy monotonisuuden ti. Vstv pätee lhlt rjoitetulle vähenevälle jonolle. Luse 8. Rjoitettu monotoninen reliluujono suppenee. Tod.: Hrj.teht. Edellä riittää svvn jonon tpusess selvittää jono ylhäältä rjoitetusi, os svv jono on utomttisesti lhlt rjoitettu. Vstv pätee vähenevälle jonolle.

13 Usein voidn luujonon suppenemistrstelu muunt vstvn relifuntion rj-rvon tutimisesi: Luse 9. Jono ( n ) suppenee ohti rj-rvo L, jos lim f ( x) = L, x missä f(n) = n. Tämä mhdollist esimerisi L Hospitlin säännön äytön myös luujonojen rj-rvoj lsettess.

14 3 Srjt Srj on "summ, joss on äärettömän mont yhteenlsettv". Täsmällisempi määritelmä on seurv: Trstelln luujono ( n ), n=,...,. Liitetään siihen toinen luujono (S n ), n=,..., seurvsti: S =, S = +,..., S n = n. Srj muodostuu silloin näistä hdest jonost. Srjn n:s termi on n j srjn n:s ossumm on S n. Srj meritään ti. = Tällöin siis n:s ossumm on S n n =. = Srjn suppeneminen määritellään ossummien jonon suppenemisen vull: Srj suppenee j sen summ on S, jos ossummien jono (S = n ) suppenee j lim S n = S. Silloin meritään n = S. = (Siis merintä = voi troitt ht si, srj sinänsä j toislt suppenevn srjn tpusess srjn summ. Yhteydestä ilmenee, ump troitetn.)

15 4 Jos srj ei suppene, se hjntuu. Erityisesti jos lim S n = ti n lim S n =, niin snotn, että srj hjntuu ohti (plus ti miinus) n ääretöntä. Tällöin voidn myös meritä = ti = =. = Esim. 9 Geometrinen srj = 3 = q q q q n n q Sn = + q+ q + q =, un q. q S n = n, un q=. Siis geometrinen srj suppenee täsmälleen silloin, un q <. Silloin q =. q = Srjn suppenemiselle on välttämätöntä, että yleinen termi lähestyy noll: Luse Jos srj suppenee, niin lim =. = Tod.: = S S S S =.

16 5 Käänteinen tulos ei päde. Eli siitä, että yleinen termi lähestyy noll ei välttämättä seur, että srj suppenisi. Tämän näyttää seurv vstesimeri: Esim. ; = = S = > = =. Mutt tulost voidn äyttää hjntumistestinä: Jos, niin srj = hjntuu. Kos srjn suppeneminen on määritelty ossummien jonon rj-rvon, eivät lupään termit viut linn srjn suppenemiseen (summn rvoon ylläin). Toisin snoen, srjn voidn liittää, viht toisisi ti siitä poist äärellisen mont termiä ilmn, että srjn suppeneminen muuttuu hjntumisesi ti hjntuminen suppenemisesi. Erityisesti jos = suppenee, niin myös niin srjn n:s jäännöstermi on R n = = n+ = n+ täsmälleen silloin, un jäännöstermit ovt äärellisiä j lim R =. n n suppenee. Jos = =S, =S-S n. Srj on suppenev

17 6 Luse Jos suppenevn srjn termit yhdistetään ryhmisi (järjestystä muuttmtt) j jo ryhmässä termit lsetn yhteen, niin stu srj suppenee j sillä on sm summ uin luperäisellä srjll. Tod.: = S ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) = S + ( S S ) + ( S S ) + 3 Tämän srjn n:s ossumm sn = S n S, un n, os se on luperäisen srjn ossummien osjono. Tulos ei päde ääntäen. Jos srjst sdn termejä ryhmittelemällä suppenev srj, niin siitä ei välttämättä seur, että luperäinen srj suppenisi. Esimerinä srj , jo ei suppene, vi (-)+(-)+(-)+... suppenee. Seurvt luseet ovt välittömiä seurusi luujonojen vstvist tulosist: Luse Jos srjt j = b = ovt vstvsti A j B, niin summsrj ovt suppenevi j niiden summt ( + b) on suppenev j = = ( + b ) =A+B. Jos c R, niin srj ( c ) on suppenev j = = ( c ) =ca.

18 7 Luse 3 Jos srj summsrj ( + b) hjntuu. = suppenee j srj = b = hjntuu, niin Todettoon vielä, että hden hjntuvn srjn summ voi oll suppenev ti hjntuv. Positiivitermiset srjt Srj snotn positiivitermisesi, jos,. Silloin = ossummien jono on monotonisesti svv: Sn Sn+, n, joten se suppenee täsmälleen silloin, un se on ylhäältä rjoitettu: Luse 4 Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos on olemss M> siten, että ossummien jonolle pätee S M, n. n Jos ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, niin Sn, un n. Positiiviterminen srj siis joo suppenee ohti äärellistä summ S ti hjntuu ohti ääretöntä.

19 8 Seurvss esitetään positiivitermisten srjojen suppenemistestejä. Srjt = j b = ovt luseiss 5- siis positiivitermisiä. Luse 5 (Vertilutesti: mjornttiperite) Jos eräästä indesistä len on voimss b = suppenee,niin myös = suppenee. b, j Luse 6 (Vertilutesti: minornttiperite) Jos eräästä indesistä len on voimss b, j niin myös = hjntuu. b = hjntuu, Luse 7 (Vertilutestin limesmuoto) Jos rj-rvo lim = m on olemss j m,, niin srjt = b b joo molemmt suppenevt ti molemmt hjntuvt. j =

20 9 Luse 8 (Juuritesti) Jos eräästä indesistä len on voimss < r, missä r on vio, < r <, niin suppenee. = Jos eräästä indesistä len on voimss, niin srj hjntuu. = Luse 9 (Juuritestin limesmuoto) Jos lim Jos lim = r>, niin = r on olemss j r <, niin hjntuu. = = suppenee. Luse (Suhdetesti) Jos eräästä indesistä len on voimss < q, missä q on vio, < q <, niin suppenee. = Jos eräästä indesistä len on voimss, niin srj hjntuu. + + = Luse (Suhdetestin limesmuoto) Jos lim = q on olemss j q <, niin + Jos lim = q >, niin hjntuu. + = = suppenee.

21 Luse (Integrlitesti) Jos on olemss sellinen välillä [,) jtuv positiivinen vähenevä funtio f, että = f( ), =,,, niin suppenee täsmälleen = silloin un f ( xdx ) suppenee. (Luseet todistetn hiemn tuonnempn.) Esim. Srj (p-srj) = p suppenee, jos p > j hjntuu, jos p. Tämä nähdään integrlitestillä, os silloin, un p >. x p dx suppenee täsmälleen Tämä p-srj on ysi täreimpiä vertilusrjoj. Tpusess p= yseessä on hjntuv srj, niin snottu hrmoninen srj. Kun = p >, p-srj snotn myös ylihrmonisesi srjsi. Esim. Tutitn, suppeneeo srj. 3 = Kos suurill :n rvoill srjn termit ovt liimin = 3 3/ j 3/>, näyttää ilmeiseltä, että srj olisi suppenev. Tämä voidn osoitt trsti vertilutestillä. = < = = / ½ + ½ ½.

22 Srj suppenee, os se on vio ert suppenev p-srj, p=3/<. 3/ = Siis mjornttiperitteen mun tutittv srj on suppenev. Smn tuloseen päästään myös limesmuotoisell vertilutestillä: 3 3/ lim = lim = lim =. 3 3/ 3 (Vertilusrj esittiin lustvss trsteluss, un tutittiin termin luseett suurill.) Tehtäviä Tuti, suppeneeo srj =, un = 6) + 7) e 8) 4 ln (=,3,...) (3 ) 9) 3/ ) + ln ) 3 )! 3) /3 e 4) (ln ) (=,3,...) 5) 3 +.

23 Luseiden 5- todistuset: Kos lupään termit eivät viut srjn suppenemiseen, voimme luseiss 5, 6, 8, j 9 olett, että =. = n n n = = Jos b = B<j b, niin S = b B<. Siis Luse 5 on todistettu. Niin on myös luse 6, os se on loogisesti evivlentti luseen 5 nss. Jos lim = m,, niin eräästä indesistä len m/ m. b b Siis m/ b mb, un. Tästä seur luseen 7 tulos mjorntti- j minornttiperitteen nojll. Jos r, missä violle r pätee r <, niin r,. Siis suppenev geometrinen srj on mjornttin, joten = suppenee. Jos ts, niin,, jolloin lim j srj hjntuu. Tästä seur luse 8. Jos +, missä q on vio, q <,niin q q( q ) q. + Siis srjll on suppenevn mjornttisrjn vio ert geometrinen srj, joten srj = suppenee. Luse on näin todistettu. Luseet 9 j seurvt luseist 8 j, os niiden oletuset ovt silloin voimss eräästä indesistä len.

24 3 Jäljellä on vielä luse. Jos = f( ), j f :[, ) R on jtuv positiivinen vähenevä funtio, niin + f ( + ) f( x) dx f( ),. (Ks. oheinen uvio, suorulmioiden nt on in, joten l on oreus eli funtion rvo.) Yhteen lsemll sdn Tästä nähdään, että n+ n n = = f( x) dx, n. n lim f ( xdx ) on äärellinen ti ääretön sen mun, n ono srj suppenev vi hjntuv. =

25 4 Positiivisten srjojen lopusi minittoon, että positiivitermisessä srjss s termien järjestystä muutt ilmn, että tämä viutt srjn suppenemiseen ti summn. (Hnl todist, sivuutetn.) Vuorottelevt srjt Srj, jon termit ovt vuorotellen positiivisi ti negtiivisi, snotn vuorottelevsi eli lternoivsi. Jtoss oletmme, että ensimmäinen termi on in positiivinen (tähän päästään trvittess ertomll srj (-):llä). Merinvihtelu ilmistn (-):n potenssein: prillinen potenssi nt ertoimesi + j priton -. Vuorottelevn srjn yleinen muoto on siis: () ( ) = , = missä >,. Luse 3 (Leibnizin luse) Jos vuorottelevn srjn () termien itseisrvot muodostvt monotonisesti vähenevän ohti noll lähestyvän jonon: & lim =, 3 niin srj suppenee. Lisäsi jos jono on idosti monotoninen j srj tistn termin ( ) n n jäleen, niin jäännöstermi R n on smnmerinen uin ensimmäinen poisjätetty termi (eli meri on ( ) n ) j itseisrvoltn sitä pienempi: Rn < n +. (Todistus urssill Mtemttinen nlyysi.)

26 5 Itseinen suppeneminen Srj = on itseisesti suppenev (bsoluuttisesti suppenev), jos termien itseisrvoist muodostettu srj suppenee. = Luse 4 Itseisesti suppenev srj on suppenev. (Todistus urssill Mtemttinen nlyysi.) Joinen suppenev srj ei uitenn ole itseisesti suppenev, uten srj ( ) esimerinä osoitt. = Jos srj suppenee, mutt ei itseisesti, niin srj snotn ehdollisesti suppenevsi. Voidn osoitt, että itseisesti suppenevss srjss sdn termien järjestystä muutt j silti srj pysyy itseisesti suppenevn j summ smn. Sen sijn ehdollisesti suppenevn srjn termien järjestystä muutettess suppenemisominisuudet j summ voivt muuttu. Ehdollisesti suppenevn srjn termit voidn järjestää jop niin, että uuden srjn summ on miä hyvänsä hluttu rvo, ti myös niin, että uusi srj hjntuu.

27 6 Srjojen tulo Khden srjn ertosäännöllä: j = b tulo määritellään Cuchyn = ( )( b ) = = = c, missä c = b + b + + b. = Osoittutuu, että riittävää tulosrjn suppenemiselle on, että molemmt tulon teijänä olevt srjt suppenevt j inin toinen niistä itseisesti: Luse 5 Jos () (b) (c) suppenee itseisesti, = = A j = b = =B, niin silloin srj c = =AB. c suppenee j = (Todistus sivuutetn.) Itseisen suppenemisen vtimusest ei void luopu, uten seurv esimeri osoitt:

28 7 Esim. 3 Srj = ( ) on Leibnizin luseen mun = = + suppenev, mutt itseisrvoist muodostettu srj on p-srj, p=½, eli hjntuu. Srj on siis ehdollisesti suppenev. Jos se errotn itsensä nss, sdn ( )( ) = = = ( + ) + ( + + ) ( ) Yleinen termi tuloss on siis c n n n = ( ). ( n + )( + ) = Arvioimll resti ( n + )( + ) = (( n + ) + ( n ))(( n + ) ( n )) = ( n + ) ( n ) ( n + ) sdn c n n ( n + ) =, n+ n+ = joten cn, un n. Siis tulosrj hjntuu. Tehtäviä Tuti vuorottelevn srjn ( ) itseistä suppenemist, un = = suppenemist j 6) 5 4 7)! 3 8) + 3 ( + ) 9) 4 ( + ).

29 8. Funtiosrjt Edellä srjt olivt luusrjoj, joiden termit ovt (tässä urssiss) reliluuj. Jos termit ovt smst muuttujst riippuvi funtioit, päädytään funtiotermisiin srjoihin. Näiden äyttö mtemtiiss on hyvin lj, esimerisi erilisten funtioiden rvot lsetn yleensä srjehitelmien vull. Trvitsemme ensin vstvien jonojen eli funtiojonojen perustiedot. Funtiojonot Trstelln välillä I määriteltyjä funtioit f, =,,3,. Funtiojono ( f) = jos suppenee välillä I pisteittäin ohti rjfuntiot f, lim f ( x) = f( x), x I. Pisteittäinen suppeneminen on siitä huono suppenemismuoto, että se ei välttämättä siirrä jonon funtioiden hyviä ominisuusi (uten jtuvuus) rjfuntioon. Voimmpi j tässä mielessä prempi suppeneminen on tsinen suppeneminen. Funtiojono ( f) = suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f, jos j vin jos joist luu ε > ohti on olemss sellinen indesi ε, että un, niin ε f ( x) f ( x) < ε, x I. Tämä meritsee geometrisesti, että funtioiden f uvjt sijitsevt indesistä ε len funtioiden f ε j f + ε uvjien välissä oo välillä I.

30 9 Tsisen suppenemisen määritelmässä on oleellist, että ε ei riipu x:stä. Määritelmä voidn ilmist myös muodoss: Funtiojono ( f) = j vin jos suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f, jos lim sup f( x) f( x) =. x I Esim. ( ) + f x = x, I = [,]. f ( ), x x x I Siis jono ( f ) suppenee välillä I (inin) pisteittäin ohti rjfuntiot f, f ( x) = x. + Suppeneminen on myös tsist, os mx x x =, un x I. Esim. f( x) = x, I=(-,) Pisteittäinen rjfuntio on. Suppeneminen ei ole tsist, os sup f ( x) =. x I Luse (Rjfuntion jtuvuus) Jos f on välillä I jtuv iill j f f tsisesti välillä I, niin myös rjfuntio f on jtuv välillä I.

31 3 Tod.: Oloon y välin I join piste j ε >. Jos ε on tsisen suppenemisen määritelmässä minittu indesi positiiviluvulle ε /3, niin silloin ε, x I : f ( x) f( y) = f( x) f ( x) + f ( x) f ( y) + f ( y) f( y) f ( x) f ( x) + f ( x) f ( y) + f ( y) f( y) < ε /3 + f( x) f( y) + ε /3. Kiinteällä, ε, on jtuvuuden perusteell olemss δ > siten, että f( x) f( y) < ε /3, un x y < δ j x I. Näin sdn f( x) f( y) < ε /3 + ε/3 + ε/3= ε, un x y < δ j x I. Siis f on jtuv pisteessä y. Seurv tulos mhdollist rj-rvon j integroinnin järjestysen vihtmisen: Luse välillä I=[,b], niin Jos f on välillä I jtuv iill j f x x x lim f ( tdt ) = lim f( tdt ) = f( tdt ) iill x I. Suppeneminen on tsist välillä I. f tsisesti Tod.: Oloon ε >. Silloin on olemss ε siten, että iille välin I pisteille t pätee indesistä ε len ε f () t f() t < b Silloin x x x x ε f() tdt f() tdt f() t f() t dt dt ε b, un ε, x I.

32 3 Luse 3 Oletetn, että () funtiot f ovt jtuvsti derivoituvi välillä I=[,b], =,,3, (b) derivttjono ( f ) suppenee tsisesti välillä I ohti rjfuntiot g (c) jono ( f ) suppenee inin yhdessä välin I pisteessä c Silloin jono ( f ) suppenee välillä I tsisesti ohti rjfuntiot f j x I : lim f '( x) = g( x) = f '( x). Tod.: Edellisen luseen nojll x x x g( t) dt = lim f '( t) dt = lim f '( t) dt = lim( f ( x) f ( c)) c c c tsisesti I:ssä. Siis f ( x) = lim f ( x) = g( t) dt+ lim f ( c) x c on olemss j suppeneminen on tsist, seä f '( x) = g( x) = lim f ( x).

33 3 Funtiosrjt Funtioist muodostettu srj määritellään smll tvll uin luusrjin, nyt vin termit ovt funtioit. Suppeneminen plutetn ossummfuntioiden jonon suppenemiseen: Funtiosrj = f x = f x + f x + ( ) ( ) ( ) suppenee välillä I pisteittäin ohti summfuntiot f ( x ), jos ossummien jono ( Sn( x )) suppenee pisteittäin ohti funtiot f ( x ). Funtiosrj f ( ) x suppenee tsisesti välillä I ohti funtiot f ( x ), = jos S ( x) f( x) tsisesti välillä I eli jos n lim sup Rn ( x) =, n x I missä R ( x ) on n:s jäännöstermi n R ( x) = f ( x). n = n+ Oheisiss uviss ylempi esittää tsisen suppenemisen tilnnett, joss N:s ossumm on "ε-putess". Alemmss on ts tilnne, joss ossummi tn ( x ) ei sd millään ε-puteen, j suppeneminen ei ole tsist.

34 33 Luse 4 (Srjn summn jtuvuus) Jos srjn f ( ) x termit ovt jtuvi välillä I j srj suppenee = tsisesti välillä I, niin summ f ( x ) on välillä I jtuv funtio. Tod.: Seur funtiojonoj osevst luseest sovellettun ossummien jonoon ( Sn( x )).

35 34 Luse 5 (Srjn integrointi termeittäin) Jos srjn f ( ) ( ) x = f x termit ovt jtuvi välillä I = [ b, ] = j srj suppenee tsisesti välillä I, niin x x x f () t dt= f () t dt= f () t dt = = iill x I j stu srj suppenee tsisesti välillä I. Tod.: x x x f ( tdt ) = lim S( tdt ) = lim S( tdt ) n n n = n n x x n = =. = lim f () tdt= f() tdt Luse 6 (Srjn derivointi termeittäin) Jos srj f ( ) ( ) x = f x suppenee välillä I = [ b, ] j srj = suppenee tsisesti välillä I, niin myös j d f '( x) = f( x) = f'( x) dx = =. = = f '( x) f ( ) x suppenee siellä tsisesti Tod.: x x f '( tdt ) = f '( tdt ) = ( f ( x) f ( )) = = = x f () t = f '() t dt+ f ( ) = = = d f( x) = f'( x) dx = =.

36 35 Seurv tulos on usein ätevä tsisen suppenemisen osoittmisess: Luse 7 (Weierstrssin testi) Jos on olemss luusrj funtiosrjn = = M f ( ) x termien ylärjoj: f ( x) M,, x I,, jon termit ovt välillä I niin srj f ( ) x suppenee tsisesti välillä I. = Tod.: Mjornttiperitteen nojll f ( ) x suppenee itseisesti välillä I = pisteittäin. Kolmioepäyhtälön vull sdn jäännöstermeille f ( x) f ( x) M, x I. = n+ = n+ = n+ Siis lim sup R ( x ) = lim sup f ( x ) =. n n x I n x I = n+ sinx Esim. 3 3, I = = sin x, 3 3 :ssä. 3 suppenee (p-srj, p>), joten 3 = = sinx suppenee tsisesti

37 36 Tehtäviä n e ) Osoit, että funtiosrjn summ määrittelee jtuvn n= + nx funtion joisell reliselin välillä. ) Voidno seurvi srjoj integroid ti derivoid termeittäin välillä [-,] muuttujn x suhteen? 3 e sin( nx) b). n x ) n= ( n+ x ) n= +

38 37 Potenssisrjt Potenssisrj on funtiosrj, joss termit ovt potenssifuntioit. Sen yleinen muoto on () ( x x ) = + ( x x ) + ( x x ) +, = missä,, 3, j x ovt vioit. Luse 8 Jos potenssisrj () suppenee jollin x = x x, niin se suppenee itseisesti iill x, joille x x < x x. Jos potenssisrj hjntuu rvoll x = x, niin se hjntuu iill x, joille x x > x x. Tod.: Jos ( ) x x suppenee, niin sen yleinen termi lähenee noll: = ( x x ), un. Siis erityisesti yleisten termien jono on rjoitettu, joten on olemss sellinen M>, että ( x x ) M, eli x M x,. Silloin x x ( ), x x x x M.

39 38 Jos x x < x x, on srjll ( ) x x siis mjornttisrjn = suppenev geometrinen srj, joten srj ( ) x x suppenee silloin = itseisesti. Jos ( ) x x hjntuu, niin myös ( ) x x hjntuu iill = x, joill x x > x x. Jos nimittäin ( ) x x suppenisi, niin edellisen = nojll myös ( x x ) suppenisi. = = Edellisestä luseest seur, että in on olemss x -esinen ljin väli, joss srj () suppenee. Sillä jos R = sup{ r srj () suppenee rvoll x + r}, niin () suppenee välillä x x < x+ R x = R. Luu R on srjn suppenemissäde j väli ( x Rx, + R) sen suppenemisväli. Näin nähdään seurv tulos: Luse 9 Potenssisrjn ( ) x x suppenemiselle on voimss = ysi seurvist mhdollisuusist: () Srj suppenee vin rvoll x. Silloin suppenemissäde on R =. () Srj suppenee itseisesti välillä x R< x< x+ R, mutt hjntuu, un x x > R. Suppenemissäde on R. (3) Srj suppenee itseisesti iill x. Silloin suppenemissäde on R =.

40 39 Potenssisäteen lsemisesi sdn vt srjn ertoimien vull seurvsti: Luse Potenssisrjn ( ) x x suppenemissäde R sdn voist ) R = lim ti b) R = lim, + = edellyttäen, että yseiset rj-rvot ovt olemss. Tod.: ) Kos x x = x x, sdn juuritestin limesmuoto äyttäen lim x x = lim x x ti > < x x < lim ti x x > lim. Siis srj ( ) x x suppenee, un = x x < lim j hjntuu, un x x > lim, joten suppenemissäde R = lim.

41 4 b) Vstvsti suhdetestin limesmuodon vull. Potenssisrjn suppeneminen on seurvss mielessä tsist: Luse Potenssisrj ( ) x x, jon suppenemissäde on R, = suppenee tsisesti joisell suppenemisväliin sisältyvällä suljetull välillä [ b, ] ( x Rx, + R). Tod.: Oloon r> sellinen, että [, b] [ x r, x + r] [ x R, x + R]. Kun x [ b, ], on siis ( x x) r j srj r suppenee, = os r< R. Weierstrssin testin mun srj ( ) x x suppenee siis tsisesti välillä [ b, ]. = Tsisest suppenemisest seur potenssisrjn summn jtuvuus: Luse Potenssisrjn summ on srjn suppenemisvälillä jtuv funtio. Tod.: Jos x ( x R, x+ R), niin on olemss < r< R siten, että x [ x r, x+ r]. Kos edellisen luseen mun potenssisrj suppenee tsisesti välillä [ x rx, + r] j funtiot ( ) x x ovt jtuvi, on summin jtuv välillä [ x rx, + r] j erityisesti siis pisteessä x.

42 4 Tsisest suppenemisest seur myös, että potenssisrj voidn integroid j derivoid termeittäin. Voidn osoitt (todistus sivuutetn), että näin sduill potenssisrjoill on sm suppenemissäde uin luperäisellä. Luse 3 Potenssisrj ( x x) = S( x), jon suppenemissäde = on R >, voidn ) integroid termeittäin: x ( ) + ( ), un x = = + t x dt= x x x x < R b) derivoid termeittäin: d dx ( ) ( ), un = = x x = x x x x < R. Stujen srjojen suppenemissäde on R. Kos potenssisrjst derivoimll stu funtiosrj on itsein potenssisrj, on potenssisrjll siis iien ertluujen derivtt. Tylorin srjt Jos potenssisrj ( x x) = S( x) derivoidn n ert sdn = ( n) ( n+ )! ( n+ )! S ( x) = n! n + n+ ( x x) + n+ ( x x) +,!! jo on voimss potenssisrjn suppenemisvälillä. Sijoittmll x = x sdn ertoimelle n lusee ( n) S ( x) n =, n=,,,, n!

43 4 missä on äytetty sopimust!=. Tästä seur, että jos funtio f ( x ) voidn esittää jollin välillä x x < R suppenevn srjn, = f ( x) = ( x x ) niin tämä esitys on ysiäsitteinen, sillä ertoimet ovt välttämättä ( ) f ( x) =, =,,,.! Nämä ovt smt uin funtion f Tylorin polynomin ertoimet: Funtion f n. steen Tylorin polynomi ohdss x on polynomi ( n) f '( x) f ''( x) f ( x) Tn ( x; x) = f( x) + ( x x) + ( x x) + +.!! n! Tylorin v ertoo, että jos funtio f on n ert jtuvsti derivoituv välillä ( x hx, + h), niin iill x ( x hx, + h) on voimss esitys f ( x) = T ( x; x ) + R ( x; x ), missä jäännöstermi n n f ( ξ ) Rn ( x; x ) ( x x ) ( n + )! ( n+ ) n+ =, jollin ξ ( x, x) ti ξ ( x, x). Oheisess uvioss on funtioiden x j x e hden limmn steen Tylorin polynomit ohdss j :

44 43 Jos funtioll f on iien ertluujen derivtt pisteen x ympäristössä ( x hx, + h) j lim R ( x) =, niin f:lle on voimss srjehitelmä, funtion f n n Tylorin srj pisteessä x : f ( x ) f x x x x x h x h. ( ) ( ) = ( ), (, + ) =! Tämä esitys on ysiäsitteinen. Toisin snoen, jos funtioll f on pisteen x ympäristössä potenssisrjehitelmä ( x x):npotenssien mun, se on funtion f Tylorin srj. Tylorin srj ohdss x = snotn myös Mclurin'in srjsi: ( ) f () f( x) =.! =

45 44 Seurvss äydään läpi täreimpien funtioiden Tylorin (Mclurin'in) srjoj. Esponenttifuntio e x 3 x x x = + x+ + +! 3! =, x.! = Tod.: Tylorin vn mun 3 n ξ x x x e n+, jollin (, ) ti (,) x e = + x x ξ x ξ x.! 3! n! ( n+ )! x Toislt potenssisrjn suppenemissäde =! ( )! lim + R= = lim = lim( + ) =,! + x joten suppenee iill. Tällöin sen yleinen termi lähestyy =! noll. Silloin Tylorin vn jäännöstermille sdn: ξ x e n+ e n+ Rn ( x;) = x < x, un n tpusess x> ( n+ )! ( n+ )! j ξ e n+ e n+ Rn ( x;) = x < x, un n tpusess x<. ( n+ )! ( n+ )! x Siis srj suppenee iill x j sen summ on e. x Yleinen esponenttifuntio (>) voidn muunt yllä olevsi: x lnx xln = e = e, joten sen Tylorin srjsi sdn x = + ( ln) x+ x + = x, (ln ) (ln )! =! jo myös suppenee iill.

46 45 Binomisrj rr ( ) rr ( ) ( r + ) + x = + rx + x + = x! + =! < x <. r ( ), un Tod.: Tässä tpusess ei nnt menetellä uten esponenttifuntion srj ehitelmän todistusess tehtiin, os nyt Tylorin vn jäännöstermin rvioiminen on hnl. Todetn ensisi, että oiell puolell olevn srjn suppenemissäde R on : lim + R = = lim =. r + Siis potenssisrj suppenee, un < x <. On vielä osoitettv, että sen summ on ( + x) r. Derivoimll funtio f ( x) = ( + x) r sdn f ( x) = r( + x) r. Todetn siis, että funtio on lurvoprobleemn ( + x) f ( x) = rf( x), f() = rtisu. Derivoimll srj termeittäin sdn srjn summlle Sx: ( ) rr ( ) ( r + ) S ( x) = rx! jost = r rr ( ) ( r + ) ( + x) S ( x) = ( + x) x =! rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = x + x!! = =,

47 46 rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = + + r x x! = =! r( r ) ( r n) n r( r ) ( r n+ ) = r+ ( n+ ) x + nx ( n+ )! n! n= n= r( r ) ( r n+ )( r n+ n) n = r+ x n= n! rr ( ) ( r n+ ) n = r+ r x = rs( x). n! n= Kos lisäsi S()=, on siis myös S(x) lurvotehtävän rtisu. Differentiliyhtälöiden olemssolo- j ysiäsitteisyysluseen (s. urssin loppuos) nojll on siis Sx ( ) = f( x) = ( + x) r. n Jos r on positiivinen oonisluu: r mm ( )( m ) ( m n+ ) = n! = m, niin iill n> m. Silloin binomisrj on päättyvä, stett m olev polynomi, j v on nimeltään binomiv: m mm ( ) mm ( ) m ( + x) = + mx + x + + x! m! m m n m mm ( ) ( m n+ ) m! = x, missä = =. n= n n n! n!( m n)! Seurvss ovt myös erioistpuset r= ½ j r= ½ : x x x x x = x x x x + x = + +.

48 47 Logritmifuntio 3 x x x ln( + x) = x + = ( ), < x 3 = Tod.: Geometrinen srj t t t t + t = + + < < 3, nt termeittäin integroitun x 3 x x ln( + x) = dt= x +, un < x<. + t 3 Pisteessä x = srj hjntuu, os se on hrmoninen srj errottun (-):llä. Pisteessä x = srj suppenee Leibnizin luseen perusteell. Sen summ on silloin väitteen muinen ln( + ) = ln, sillä: n dt n n n t ln ( ( ) ( ) ) = = t+ t + t + dt + t + t n n 3 ( ) n t = + + n + ( ) dt + t missä jäännöstermi lähestyy noll: n n n t t n ( ) dt dt < t dt =, un n + t + t n+.

49 48 Kun funtion ln( + x) srjehitelmään sijoitetn x:n pille -x, sdn 3 x x ln( x) = x. 3 Vähentämällä srjt toisistn sdn 3 5 ln + x x x = ( x ), < x <. x 3 5 Tämän srjn vull voidn mm. lse minä hyvänsä positiivisen luvun logritmin liirvo. Trigonometriset funtiot x x x sin x= x + = ( ), x 3! 5! ( + )! = x x x cos x = + = ( ), x! 4! ( )! 4 = Tod.: Derivoimll toistuvsti nähdään, että (4) f() =, f () =, f () =, f () =, f () =, jne. Siis Tylorin vn mun 3 5 n x x n x sin( x) = x + + ( ) + Rn, 3! 5! (n )! ± sinξ n+ ± cosξ n+ missä jäännöstermi on muoto x ti x. Siis (n+ )! (n+ )! jäännöstermit lähestyvät noll iill x, un n lähestyy ääretöntä. Kosinin ehitelmä todistetn vstvll tvll.

50 49 Oheisess uvioss on osinin j sinintylorin srjoist lupään ossummi: Tehtäviä 3) Johd srjehitelmät funtioille tn x j rctn x. xcot x 4) Lse srjehitelmiä hyväsiäyttäen rj-rvo lim x. x

51 5 3. Relifuntioiden määräämätön integrli Integrlifuntio Derivoinnin äänteistoimitusen on vstt ysymyseen "Miä on se funtio, jon derivtt on f?" Kos vion derivtt =, hvitn heti, että vstus ei voi oll ysiäsitteinen. Funtion f : S integrlifuntio (määräämätön integrli, primitiivi, ntiderivtt) on funtio F, jon derivtt on f: F ( x) = f( x), jollin välillä I funtion f määrittelyjouoss S. Jos F on funtion f integrlifuntio, niin myös F(x) + C on sitä iill vioill C (integroimisvio). Integrlifuntiolle äytetään yleisesti merintää F( x) = f( x) dx, joss integrlimeri tulee tyylitellystä S-irjimest snst summ. Tämä yhteys selittyy tuonnempn ns. määrätyn integrlin utt. Smoin symbolin dx sisältö trentuu silloin, nyt se voidn tso lähinnä merinnäsi, jo on josus hyödyllinen, esim. sijoittmismenettelyssä.

52 5 Seurvt perussäännöt oletetn tunnetusi luion ursseilt ti muilt iisemmilt opinnoilt. (Ne on helppo myös todist derivoimissääntöjen pohjlt.) Merintä F troitt funtion f integrlifuntiot: F( x) = f( x) dx. f x bg x dx f x dx b g x dx (linerisuus). ( ) + ( ) = ( ) + ( ) f xg xdx F x g x F x g xdx (osittisintegrointi). ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) f tdt= f( g x) g ( x) dx, t= g( x) (sijoitus) 3. () ( ) ( ) ( ) = ( ( )) f g x g x dx F g x 4. ( ) f x + b dx = F( x + b) 4. ( ) 4b. ( ) ( ) f x dx = ln f x f x ( ) 5. f ( x ) priton ( ) 5b. f ( x ) prillinen ( ) F x prillinen F x priton (jos vio C on vlittu siten, että ( ) F = )

53 5 Aleisfuntioiden integrointivoist edellytetään tunnetuisi seurvt. Ne ovt ii vstvien derivoimissääntöjen "äänteisvoj". (Oielle puolelle in lisättävä integroimisvio C on jätetty voiss meritsemättä.) + x + 6. xdx= ( ) dx 7. ln x = x edx= e 8. x x 9. sin xdx = cosx. cos xdx = sin x dx. cot x sin x = dx. tn x cos x = dx x 3. rctn ( ) + x = dx x x = > 4. rcsin ( ) dx 5. ln x x x + = sinh xdx = cosh x 7. cosh xdx = sinh x

54 53 Vrsinisi integroimisteniioj ei nyyisin symbolisten ohjelmistojen (Mple, Mtlb Symbolic Mthemtics Toolbox, Mthemtic, MthCd, ) stvuuden ti enää hrjoitell rutiinisi sti. Ohjelmistot eivät in uitenn selviä iist tilnteist ilmn pu, joten perustpuset on syytä tunte. Ohess on lueteltu täreimmät perusmenetelmät. Rtionlifuntioiden integrointi Rtionlifuntiot ovt polynomien osmääriä j niillä on yhteysiä moniin tenisiin sovellusiin, mm. siirtofuntioiden j integrlimuunnosten utt. Joinen rtionlifuntio on integroitviss j integrlifuntio esitettävissä leisfuntioiden vull ("suljetuss muodoss"). (Näin ei ole sinlit yleisesti funtioille. On pljon funtioit, joiden integrlej ei void esittää luseein ysinertisimmist funtioist. Tällisi ovt mm. useimmt fysiin "erioisfuntiot", uten Besselin funtiot.) Rtionlifuntio f( x) = Px ( ) Qx ( ) missä P j Q ovt polynomej, voidn j muotoon f( x) = K( x) + R( x) Qx ( ) missä K(x) on polynomi j rtionlifuntion R(x)/Q(x) osoittjn olevn polynomin R(x) ste on lempi uin nimittäjän Q(x). 3 Esim. x 3 x + 9 x+ 5 8 = x + x+, miä nähdään äsin lsien x x+ 3 x x+ 3 esimerisi joulm äyttäen:

55 54 x x+ x 3 3 x 3x + 9x+ 5 3 (x x + 6 x) x + 3x+ 5 ( x + x 3) x + 8 Oletmme jtoss, että näin on trvittess tehty, j siis polynomin R( x ) ste on pienempi uin Qx:n ( ) eli deg R( x) < deg Q( x). R( x) Tällöin on hjotettviss Q:n teijöiden suhteen Qx ( ) osmurtoehitelmäsi. (prtil frctions) Polynomi Q( x ) voidn j relisiin teijöihin, joiden steluu tyyliin m n ( ) = ( ) ( )...( + + ) ( + + )..., ( b, c d, ) Q x C x r x s x x b x cx d < < p q missä rs,, ovt ertluu m, n olevi relisi juuri, j toisen steen teijät jottomi, eli vstvt omplesijuuriprej. Silloin osmurtoehitelmän yleinen muoto on ( ) ( ) ( x r) ( ) R x R R R = + m Q x x r + + m + x r S S S x s ( x s) ( x s) Ax + B A px+ Bp p + x + x+ b x + x+ b n n + + ( ) ( ) Cx + + D Cx q + Dq + + q +, x + cx+ d x + cx+ d ( )

56 55 Esim. A B Cx+ D = + + = + x + ( x + )( x+ ) x ( x+ ) + ( x + )( x ) + B( x + ) + ( Cx + D)( x + ) ( x + ) ( x + ) A = A + C = 3 ( ) x + ( A + B + C + D) x + ( A + C + D) x + ( A + B + D) ( x + ) ( x + ) A + C =, A + B + C + D =, A + C + D =, A + B + D = A = B = C =, D =. x = + x + x + x + x + x + ( )( ) ( ) ( ) ( ) = Osmurtoehitelmässä olevt integrlit voidn lse seurvsti: 8. Adx ( x ) n Aln x, n= = A n, n ( n )( x ) 9. Ct n ( t + ) dt ( ) C ln t +, n= = C n, n ( n )( t + ). D D dt rctn t = ( t + )

57 56. I n = I D n dt lsetn reursiivisesti: ( t + ) Dt n = + I n t n ( + ) n+ n n ( n ). Ax+ B n dx ( b) ( x + x+ b) < plutetn edellisiin täydentämällä nimittäjässä olev toisen steen polynomi neliösi. Irrtionlifuntioiden integrointi Käsittelemme lyhyesti vin eräitä erityistpusi. Jos funtio on rtionlinen lusee R juuriluseeest, yseisen juuriluseeen sijoitus voi joht tuloseen. 3. R x, x b n + n dx, sijoitus t= x + b n, x= dt b cx d n + cx + d ct integrlin rtionlifuntiosi muuttujn t suhteen. muunt dx Neliösi täydentäminen 4. ( ) x + bx + c b b x bx c x c b t= x+ johtvt + + = + + j sijoitus 4 funtioihin rcsin ti logritmi vion etumeristä riippuen vojen 4 j 5 muisesti.

58 57 Sijoittmll sopiv trigonometrinen funtio voidn neliöjuurest päästä eroon: R x x dx x = sint, dx =, x = cost 5. (, ) R x x dx dt x = tnt, dx =, x + = cos t 6. (, + ) Vstvsti mereistä riippuen voidn hyödyntää hyperbolisi funtioit sijoitusin: R x x dx x = cosht, dx = sinhtdt, x = sinht 7. (, ) cos t Esponentti- j logritmifuntiot integroituvt myös josus sopivll sijoitusell ti osittisintegroinnill. x dt dx Sijoitus e = t, x = ln t, dx = t plutt rtionlifuntion integroinnisi. x 8. R ( e ) Rtionlifuntio luseeist sin j cos plutuu sijoitusell rtionlifuntion integroinnisi R x x dx x t t dt tn = t, sin x=, cos x=, dx= + t + t + t 9. ( cos,sin )

59 58 Tehtäviä Lse oheisten funtioiden integrlit:. sin x. e x 3. x/(x +) 4. x/(x 4 +) 5. x cosx 6. ln x 7. rctn x 8. x( x ) 9.. x 3x x x + x x + x x + Rtisuj. sin x dx = sin t t dt (sij. x = t, d( x)=d(x ½ )=½x -½ dx=dt dx=x ½ dt ) = t sint dt (ositt. int. u=t, v'=sint, u'=, v=-cost) = (-tcost + cost dt) = -t cost + sint = - x cos x + sin x + C.. e x dx = / e x dx = / e x + C

60 59 3. x/(x +) dx = ½ x/(x +) dx = ½ ln(x +) + C 4. x/(x 4 +) dx = ½ /(t +) dt (sij. x =t, x dx = dt, x dx = ½dt) =½rctn(t) = ½rctn(x ) + C 5. x cosx dx = xsinx - sinx dx (ositt. int. u=x, v'=cosx, u'=, v=sinx ) =x sinx +cosx + C 6. lnx dx = x lnx - /x x dx (ositt. int. u=lnx, v'=, u'=/x, v=x ) =x lnx - x + C 7. rctnx dx = x rctnx - /+x ) x dx (ositt. int. u=rctnx, v'=, u'=/(+x ), v=x ) =x rctnx -½ln(+x ) + C (Teht. 3) 8. I = /(x(x -))dx = (A/x + B/(x+) + C/(x-))dx /(x(x+)(x-)) = (A/x + B/(x+) + C/(x-) = A(x -) +Bx(x-) + Cx(x+) =(A+B+C)x + (-B+C)x -A A=-, B=C=½ I= (-/x + ½/(x+) + ½/(x-))dx = -ln x +½ln x+ +½ln x- +C 9. I = (x -3x+3)/(x 3 -x +x)dx (x -3x+3)/(x 3 -x +x) = (x -3x+3)/(x(x-) ) = A/x +B/(x-) + C/(x-) x -3x+3 = A(x-) + Bx + Cx(x-) x -3x+3 = (A+C)x + (-A+B-C)x +A A+C=, -A+B-C=-3, A=3 A=3, B=, C=- I= (3/x + /(x-) - /(x-))dx = 3 ln x -/(x-) -ln x- +C

61 6. I = (x+)/(x -x+)dx (nimittäjä joton) = ½ (x-)/(x -x+)dx + 3/ /(x -x+)dx = I + I I = ½ ln(x -x+) I = 3/ /((x-½) +3/4) dx (nimittäjä täydennettiin neliösi) dx = (3/) (4/3) (muunnettiin rctn mielessä) x ½ + 3/ = 3/ /(t +) dt, tehtiin sijoitus t=(x-½)/( 3/), dt=dx/( 3/) = 3 rctn t I=I +I = ½ ln (x x ½ -x+) + 3 rctn( 3/ + C

62 6 4. Relifuntioiden määrätty integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätystä integrlist, jo on läheistä suu summmiselle. Yhteys derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot snotnin differentili- j integrlilsennn ("nlyysin") perusluseesi. Tästä eteenpäin troitmme termillä "integrli" in määrättyä integrli, ellei toisin nimenomn snot. Integrlin esiintyminen liittyy usein umultiivisiin ilmiöihin. Esimerisi, jos yhden muuttujn funtio uv nopeutt v j i etenee hetestä t i välin t i, niin v(t i ) t i ertoo ivälillä t i edetyn mtn, liimin tosin, os v voi muuttu välillä t i. Kun jo i-selill tihennetään j mtplset summtn yhteen, tulln uljetun oonismtn liirvoon. Trstelln si geometrisesti. Jos positiivisen jtuvn rjoitetun funtion f(x) uvjn j x-selin välisen lueen pint-l hlutn määrittää välillä [,b], niin voidn äyttää suorulmioit ln pprosimoimiseen. Suorulmion oreudesi vlitn funtion suurin j vstvsti pienin rvo ntn olevll osvälillä. Jos osvälejä lyhennetään eli välin [,b] jo tihennetään, niin ilmeisesti ummtin pprosimtiot trentuvt. Edellisessä tpusess sdn pint-llle A yläpprosimtio S D j vstvsti jälimmäisessä l-pprosimtio s D. Kirjimell D on meritty pprosimtioon liittyvää jo, jo ll olevss uvss on tsvälinen. Jon D määrittelevät sen jopisteet = x< x< x < xn = b. Snomme, että S D j s D ovt funtion f joon D liittyvät ylä- j lsummt välillä [,b]. n Jos funtio on välillä [,b] svv, niin suurin rvo svutetn unin osvälin oiess päätepisteessä j pienin vsemmss oheisen uvion muisesti.

63 6 Viutt ilmeiseltä, että sillä ei ole meritystä, ono jo tsvälinen vi ei. Kos yläsummill (un joj D vihdelln mielivltisesti) on in lrjn miä hyvänsä lsumm, on niitten jouoll infimum eli suurin lrj inf S D D. Vstvsti lsummill on supremum eli pienin ylärj sups D. D Funtiot f snotn välillä I=[,b] integroituvsi (tremmin Riemnnintegroituvsi), jos yläsummien suurin lrj j lsummien pienin ylärj ovt smt: b sup sd = f( x) dx= inf S D D. D Tämä yhteinen rvo on funtion f (Riemnn-)integrli "yli välin [,b]" eli määrätty integrli. Voidn osoitt, että (inin) ii rjoitetut ploittin jtuvt funtiot ovt Riemnn-integroituvi.

64 63 Toinen tp on vlit välin [ b, ] jon D: = x< x< xn < xn = b osväleiltä [x i-, x i ] mielivltinen piste x * i j määrittää suorulmion oreudesi f(x * i ). Silloin l pprosimoi Riemnnin summ n i= f(x i * ) x i missä x i = x i - x i- on i:nnen osvälin pituus. Meritään suurimmn osvälin pituutt eli jon normi D = mx( xi xi ). Snomme, että jo tihenee rjtt, jos D, un i. Silloin siis osvälien määrä sv rjtt j niiden pituudet lähestyvät noll. i Funtion f määrätty integrli (Riemnn-integrli) on silloin b n f ( xdx ) = lim f( x ) x n n D i n = i n i missä rj-rvo troitt mitä hyvänsä Riemnnin summien jono, joss jot rjtt tihenevät. (Täsmälliset todistuset, s. urssit Mtemttinen nlyysi seä Mitt- j integrliteori.)

65 64 y o x x x3 x i f * ( x i ) xi x n b x * x * x * x 3 * x i * x n Määrätylle integrlille voidn joht seurvt perusominisuudet b. f ( xdx ) = f ( xdx). f ( x) dx= b c c 3. ( ) + ( ) = ( ) b b f xdx f xdx f xdx (dditiivisuus) b b b f x g x dx f xdx g xdx (linerisuus) 4. α ( ) + β ( ) = α ( ) + β ( ) b b 5. ( ) ( ) = / ( ) ( ) ( ) ( ) b f xg xdx F x g x F xg xdx (osittisintegrointi)

66 65 b f ( g x ) g ( x) dx= f ( t) dt ( t g( x) ) 6. ( ) gb ( ) ( ) g 7. ( ) ( ) ( ) ( ) b f x g x f xdx g xdx b b b = (Sijoitus) 8. f ( xdx ) f ( xdx ) Mb ( ), M= mx f ( x) b, Voidn osoitt, että välillä [,b] jtuvlle funtiolle f löytyy in piste c voimelt väliltä (,b) siten, että pint-l sdn yhdellä suorulmioll: b f(x)dx = f(c)(b-). Tämä yhtälö pätee myös muille uin ei-negtiivisille funtioille (siis ilmn em. geometrist tulint). (Integrlilsennn välirvoluse.) y y=f(x) f(c) c b x

67 66 Jos määrätyn integrlin ylärj otetn jtuvn funtion f integrliss muuttujsi: x G(x) = f(t)dt, niin stu funtio on differentioituv: x+h G(x+h) - G(x) = x f(t)dt - x+h f(t)dt = x f(t)dt = f(c) h = f(x) h + (f(c) -f(x)) h = f(x) h + ε(h) h missä x<c<x+h j ε(h) = f(c)-f(x), un h. Sdn siis tulos: Jos f on jtuv välillä [,b], niin funtion x G(x) = f(t)dt derivtt välillä (,b) on G '(x) = f(x). Siis erityisesti todetn, että G(x) on funtion f (x) integrlifuntio (primitiivi). Jos F on toinen f:n integrlifuntio, niin se ero G:stä vin vion verrn: F(x) = G(x) + C.

68 67 Kos G() =, on tämä vio C = F(). Siis mille hyvänsä f:n integrlifuntiolle F pätee x F(x) = f(t)dt + F(). Tästä sdn sijoittmll x = b yhteys, joll määrätyt integrlit voidn lse integrlifuntion vull: b f(x)dx = / b F(x) = F(b) -F() (Differentili- j integrlilsennn perusluse)

69 68 Epäoleelliset integrlit Jos integroimisväli ulottuu äärettömyyteen ti funtio on rjoittmton, edellä esitetty määrätyn integrlin määritelmä Riemnnin summn ei sellisenn toimi. Näistäin tpusist uitenin selvitään, un lähestytään tilnteit sopivill rj-rvoill. Yhteisellä nimellä näin syntyviä integrlej utsutn "epäoleellisisi integrleisi" (improper integrls). Integrointi yli äärettömän välin Iden on, että integroidn rjoitetun välin yli j nnetn muuttuvn päätepisteen (ti molempien) lähestyä ääretöntä. Jos näin stu lusee suppenee, yseinen rj-rvo sovitn integrlin rvosi j integrlin snotn suppenevn, muuten integrli hjntuu: b b f(x) dx = lim f(x)dx y y=f(x) S x b b f(x)dx = lim f(x)dx c f(x)dx = f(x)dx + c f(x)dx Viimeisessä tpusess on jouduttu äyttämään pun välipistettä c, jo voi oll miä hyvänsä äärellinen reliluu (usein c = ).

70 69 Huomttoon, että rj-rvo CPV r r r f(x)dx = lim f(x)dx, joss l- j ylärjt menevät "yhti" äärettömyyteen, ei välttämättä nn sm rvo uin sitä edeltävä määritelmä. Näin määriteltyä integrli snotn Cuchyn päärvosi. Jos integrli f(x)dx suppenee, se j Cuchyn päärvo ovt smt. Mutt toisin päin voi äydä niin, että Cuchyn päärvo on olemss, vi yo. integrli ei suppene. Srjteoriss hyödynsimme seurv tulost: Esim. Integrli Tpusess p sdn ntmll b (b>): /x p dx suppenee täsmälleen silloin, un p>: b /x p dx = /(-p) (b -p - ) /(p-), un p> j, un p<. Jos p=, niin (b>) b /x dx = ln b - ln = ln b, un b. y y y = x y = x x x

71 7 Integroitv funtio rjoittmton Jos funtio lähestyy (mhdollisesti toispuoleisen rj-rvon) plus ti miinus ääretöntä välin [,b] jossin pisteessä c, yseinen piste c (singulriteetti) eristetään, j integrlit määritellään ts rj-rvoin. Jos rj-rvo on olemss, integrli suppenee, muuten hjntuu: c = : b b t + s f(x)dx = lim f(x)dx c = b: b s t b f(x)dx = lim f(x)dx <c<b: b c f(x)dx = b f(x)dx + c f(x)dx y y y y=f(x) x = b t b x t b x c b x Esim. Integrli /x p dx suppenee täsmälleen silloin, un p<: Singulriteetti on nyt ilmeisesti ohdss. Jos s>, s +, niin silloin tpusess p on s /x p dx = /(-p) (-s -p ) /(-p), un p<, j, un p>. Jos p=, niin (s>) s /x dx = ln - ln s = -ln s, un s +.

72 7 5. Integrointi n-ulotteisess vruudess Tso-integrli Yleistetään edellä esitetty määrätyn integrlin äsite ensin tsoon, 3 n sitten olmiulotteiseen vruuteen j lopusi yleiseen :ään. Kiiss tpusiss yhteisenä ominisuuten on integrlin liittyminen umultiivisiin ilmiöihin. Esimerisi tsolueen (region) R pinttiheyden ρ(x,y) j pienten pintlioiden i tulojen ρ(x,y) i summist sdn R:n mss. Ajtusen on j integroitv tson jouo pieniin plsiin, uten yhden muuttujn tpusess väli [,b] jettiin osväleihin. Nyt jouot voivt uitenin oll huomttvsti monimutisempi uin yhden muuttujn tpusess. Oheisiss uviss lue R on jettu smnooisiin (miä ei yleisesti ole välttämätöntä) plsiin R sisältäpäin.

73 7 Avruudess snomme väleisi sellisi suorulmioit, jot ovt sivuiltn oordinttiselien suuntisi. Krteesist tulo hyväsi äyttäen suljetun välin muoto on siis I = [,b] [c,d] = {(x,y) x b, c y d}. Vstvsti määritellään voimet välit. Suljetun välin pint-l tsotn selviösi j sovitn, että se on (I) = (b-)(d-c). Avoimen välin pint-l on sm. (Tämä voitisiin todist ll olevn pint-lmitn määritelmän vull.)

74 73 Suljetut välit ovt sisäosiltn erillisiä, jos niiden sisäost eivät lei. (Reunoiss s oll yhteisiä pisteitä.) Oloon R tson rjoitettu jouo. Jouo R voidn pprosimoid sisältäpäin suljettujen sisäosiltn erillisten välien R R äärellisillä yhdisteillä: R R. Vstvsti ulopuolelt: R S. Näillä välien yhdisteillä on äärellisinä summin pint-lt: ( R )=(R )+ (R )+..., ( S )=(S )+ (S )+.... Jouon R sisäl on iien minitun tyyppisten sisäpuolelt pprosimoivien väliyhdisteiden pint-lojen pienin ylärj, j vstvsti ulol ulopuolelt pprosimoivien väliyhdisteiden pintlojen suurin lrj. Jouo R on (Jordn-)mitllinen, jos sisäl j ulol ovt smt. Silloin yhteinen rvo on jouon R l (Jordn-mitt, pint-l, pintmitt,...), meritään (R). Jouo R on nollmittinen, jos sen l on. Jonin ominisuuden snotn olevn voimss melein iill X:ssä, jos se on voimss iill X:ssä, pitsi mhdollisesti nollmittisess X:n osjouoss. Voidn osoitt, että rjoitettu tsojouo R on Jordn-mitllinen täsmälleen silloin, un sen reun on nollmittinen. Siis ei-mitlliset jouot ovt siinä mielessä melo "ptologisi", että niillä on pljon reun: Reunn pint-l on ei-mitllisill jouoill positiivinen.

75 74 Nyt voidn tsointegrli jouon R yli määritellä nlogisesti yhden muuttujn tpusen nss Riemnnin summill. Kun integroimisjouon jo pienempiin osiin tehdään, joisen joon uuluvn osjouon pint-l on määritelty, miäli ost ovt Jordn-mitllisi. Kos Jordn mitllisill jouoill pint-l on sm uin sisäl, voidn jo ilmeisesti orvt pprosimtiivisesti välien yhdisteellä. Funtion f: Riemnnin integrli yli tsojouon R määritellään Riemnnin summien rj-rvon, un jo tihennetään: R f ( xyd, ) = lim f( x, y) D i i i i Jo tässä määritelmässä voidn in sd in siten, että R sijoitetn yhteen väliin I = [,b] [c,d] j jetn ysiulotteiset välit [,b] j [c,d] uin osväleihin. Kun näiden osvälien joj tihennetään, tihenee välin I jo j smll R:n jo. Merintä D troitt jon normi, jo voidn lse osvälien jojen normien D j D vull muodoss D = (D,D ). Pint-l i uv jon yleisen välin R i pint-l j piste (x i,y i ) on väliltä R i vlittu join piste.

76 Voidn todist, että funtio f on Jordn-mitllisess jouoss R Riemnn-integroituv täsmälleen silloin, un se on siellä rjoitettu j melein iill jtuv. (Lebesguen integroituvuusehto Riemnnintegrlille) 75

77 76 Erityisesti siis jos R on suljettu (rjoitettuhn se on jo iisemmn oletusen mun) niin joinen jtuv funtio on omptiss jouoss R rjoitettu j siis Riemnn-integroituv. Jos funtio f(x,y)= jouoss R, niin integrli nt R:n pint-ln (Jordn mitn): R ( ) = d. R Toisin ilmistun: Jouon R rteristisen funtion χ R (x) =, un x R, χ R (x) = muuten, integrli yli oo tson on jouon R pint-l: (R) = χ R d. Kytentä tsointegrlin j tilvuuden välille sdn, un todetn, että hden muuttujn funtion f(x,y) uvjn j xy-tson välisen ppleen tilvuus on {(x,y,z) R 3 (x,y) R, z f(x,y)} f ( xyd, ). R (Vert yhden muuttujn funtion tilnteeseen: Kuvjn j x-selin väliin jäävän lueen pint-l on määrätty integrli.)

78 77 Oheisess uvioss on pint z=f(x,y) j sitä on pprosimoitu ohdss ( x, y ) tson plsell T, jo on ( x, y) -tson suuntinen j jon projetio tälle on R. Pylvään tilvuus on silloin f ( x, y) x y. Tilvuus sdn siis Riemnnin summn. (Jälimmäisessä uvss pylvään mittsuhteit on liioiteltu suuremmisi.)

79 Pylväiden tihentämistä j summmist hvinnollist myös seurv uv: 78

80 Tällinen integrli voidn lse sinertisen integrlin edellyttäen, että pohj R on esitettävissä hden funtion välissä olevn tsolueen, jon voi "mlt" ordinttiselien suuntisin vedoin, uten seurvss uvss: 79

81 8 Integrli voidn esittää iteroitun integrlin, jolloin lsent plutuu hdesi yhden muuttujn perääisesi integroinnisi: b g ( x ) ( ) mer. b g x f ( xyd, ) = ( f( xydydx, ) ) = f( xydydx, ). R g( x) g( x) Sisempi integrli nt yllä olevss uvss näyvän pint-ln A( x ): g( x) A( x) = f( x, y) dy. g( x) Tätä lsettess muuttuj x on siis prmetrin vion rooliss. Jos lueen R muoto sllii, niin integrliss on mhdollist viht integroimisjärjestystä. Kun edellä "mlttiin" R pystysuorin vedoin eli y- selin suuntisesti, niin silloin mltn vsuorin vedoin eli x- selin suuntisesti. Helpoin tilnne on, jos R on suorulmio [,b] [c,d]: b d d b f ( x, y) d = ( f ( x, y) dy) dx = ( f ( x, y) dx) dy. R c c Muuttujn vihto tsointegrliss edellyttää ns. Jcobin determinntin äsitettä, j siihen pltn myöhemmin differentililsennn yhteydessä. Minitn uitenin tärein tpus, eli siirtyminen npoordintistoon x = rcos ϕ, y= rsinϕ : f ( x, y) d = f ( rcos ϕ, rsin ϕ) rdrdϕ. R S Huom luseeeseen ilmntunut teijä r (jo nyt on se minittu Jcobin determinntti). Integroimislue R on tässä muuntunut (, ) r ϕ -tson lueesi S. All olevss uvss on esimeri tilnteest, joss npoordintteihin siirtyminen on järevää:

82 8 3 π / f ( xyd, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ) rdϕdr. R

83 8 Avruusintegrli 3 Integrointi 3-ulotteisen vruuden osjouon Ω yli snotn usein vruusintegroinnisi, vi sitä usempiulotteisetn integrlit eivät ole hrvinisi. Yleistys -ulotteisest tpusest on suorviivist. Väli on nyt 3- ulotteinen suorulminen särmiö, jon särmät ovt oordinttiselien suuntiset: I = [, b ] [, b ] [ 3, b 3 ]. Välin I mitt on tilvuus j vstvnlisell onstrutioll uin tsoss sdn mielivltisen rjoitetun jouon Ω sisä- j ulotilvuus. Jouo on Jordn-mitllinen, jos sisä- j ulotilvuus ovt smt, j silloin niiden yhteinen rvo on jouon Ω tilvuus (3-ulotteinen Jordn-mitt, tilvuusmitt). Nollmittinen jouo on sellinen, jon tilvuus on. Rjoitetun jouon voidn osoitt olevn Jordn-mitllinen täsmälleen silloin, un sen reunn tilvuus on. Riemnnin integrli määritellään Riemnnin summien rj-rvon. Rjoitettu jouo Ω, jon yli integroidn, sijoitetn riittävän isoon väliin ("ltioon"), jon oordinttiselien suuntiset särmät jetn ysiulotteisen välin jojen muisesti. Kun unin särmän jo tihennetään, tihenee ltion jo j Riemnnin summn edellyttämä tihennys sdn in. Avruusintegrli yli jouon Ω meritään f ( x ) dv. Ω Lebesguen integroituvuusehto on voimss vruusintegrleillein. Oheisess uvss on olmiulotteisen vruuden pple j sen sisällä näyvillä ysi väli eli suorulminen särmiö Q, ns. tilvuuselementti.

84 83 Funtion f ( xyz=,, ) integrli nt nyt jouon tilvuuden: v(ω) = dv. Ω Myös vruusintegrlit voidn lse iteroituin integrlein, jos lue Ω on sopiv muoto. Kpple Ω on silloin rennettv olmiulotteisist tilvuuselementeistä oordinttiseleiden suuntisesti. Helpoin tilnne on, jos Ω on suorulminen särmiö [, b ] [, b ] [ 3, b 3 ]: Ω b b b3 f ( xyzdv,, ) = ( ( f( xyzdzdydx,, ) ) ) 3 mer. b b b3 3 f ( xyzdzdydx,, ) =. Siirtyminen sylinterioordintistoon x = rcos ϕ, y= rsin ϕ, z= z tphtuu smn tpn uin tsoss npoordintteihin: f ( xyzdv,, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ, zrdrd ) ϕdz, Ω Ωrϕ z missä Ω on muunnettu sylinterioordintein ilmistusi lueesi Ω rϕ z.

85 84 Siirtyminen pllooordintistoon: Pllooordintit ovt x = ρ sinφcos θ, y= ρsinφsin θ, z= ρcosφ, jot selittyvät oheisest uviost. Alemmss uvss on esitetty pisteen (, 6,4 ) pllooordintit. Muunnosv integrlille on nyt f ( xyzdv,, ) = f( ρ sinφcos θρ, sinφsin θρ, cos φρ ) sinφdρφθ d d. Ω Ωrφθ

86 85 n Integrli vruudess määritellään täysin nlogisesti edellisten nss: Korvtn vin dimensiot ti 3 yleisellä n:llä, väli on n:n relivälin rteesinen tulo. Al j tilvuus orvutuvt yleisellä Jordnin mitll. n Lopusi todettoon Jordnin mitst: Se täyttää ii :n mitlle yleensä setetut vtimuset (tyhjän jouon mitt on, ei-negtiivinen, siirto-invrintti, äärellisesti dditiivinen) pitsi numeroituvsti dditiivisuutt. Erillisten jouojen yhdisteen mitt on jouojen mittojen summ äärellisen monelle jouolle, mutt Jordn-mitn tpusess ei välttämättä äärettömän monen. Tämä iheutt ongelmi moniss rjrvoysymysissä, jost syystä Jordn-mitt ei ole ovin yleisessä äytössä pitemmälle menevissä mtemttisiss trsteluiss (sen j Riemnnin integrlin on orvnnut mm. Lebesguen mitt j integrli).

87 86 Esimerejä. I= olmio. R xyd, missä R on suorien y=x j x=4 seä x-selin rjm 4 x Silloin I = xydydx = x x dx = x dx = 4 = 3 8 Sm tulos sdn myös integroimll toisess järjestysessä eli 44 xydxdy. y

88 87. Lsetn sen nelithon tilvuus, jot rjoittvt tso x + y+ z= j oordinttitsot. Piirtämällä uvio nähdään, että tilvuus sdn funtion z= f( x, y) = x y integrlin yli xy-tson lueen R. V= R x ( x yd ) = ( x ydydx ) (( x ) x ( x ) ( x ) ) dx = /3. =

89 88 3. Lsetn sen vruuden R 3 ei-negtiivisess otntiss olevn ppleen tilvuus, jot rjoittvt oordinttitsot, tso x + y = j pint z= 4 x. y 3 V= (4 x ) d= (4 x ) dxdy= =. R

90 89 4. Lsetn sen ppleen tilvuus, jon sylinteri x + y = y lei pllost x + y + z = 4. π sinθ (siirryttiin npoordintistoon) V = 4 x y d = 4 r rdrdθ R π /sinθ π 4 rrdrd d d / π / 3/ 3/ θ = 4 = ((4 4sin θ ) 4 ) θ = (cos θ ) θ tul. = + π

91 9 5. Lsetn funtion f ( xy, ) = xyvruusintegrli yli nelithon, jot rjoittvt oordinttitsot j tso x + y+ z= 4. 4 x 4 x y 5 3 xydv = xydzdydx = =. Ω Sm integrli voitisiin lse myös esimerisi järjestysessä 4 4 y(4 y z)/ xydxdzdy (Ktso ll olev uv.)

92 9

93 9 6. Lsetn pinnn z = 4 y j tsojen x + z= 4, x=, z= rjoittmn ppleen tilvuus. V= 4 y 4 z 8 dv = dxdzdy = =. 5 Ω

94 93 6. Mtriisilsennn perusteit Mtriisit Mtemtiiss ysi äytetyimmistä numeerisen tiedon esitysmuodoist on mtriisi. Se on sinällään ysinertinen tietorenne, joss esitetään jouo dtoj tuluomuodoss. Yleisistä tuluoist poieten mtriiseihin uitenin liitetään mtemttisi ominisuusi, uten lsutoimitusi, jot teevät niistä monipuolisi työluj sovellettuun mtemtiin. Mtriisi on m-rivinen j n-sreinen tuluo: A =.. m.. m n n.. mn Mtriisin liot ovt ij, i =,,m, j =,,n. Siinä on m riviä eli vriviä j n srett eli pystyriviä. Mtriisin oo on tällöin m n eli A on m n-mtriisi. Erityisesti n-mtriisi on vvetori j m - mtriisi on pystyvetori. Mtriisi meritään pitsi yllä olevn tpn luettelemll sen liot h- ti risuluill ympäröityinä, myös lyhyemmin A = ( ij ) = [ ij ]. Myös äytetään merintää ( A) ij ohdss (i,j) olev lio on ij. = ertomn, että mtriisin A ij

95 94 Mtriisi voidn jtell myös rennetusi vvetoreistn A i : A = A A : A m ti pystyvetoreistn j : A = [ n ]. Nämä ovt esimeritpusi yleisemmistä lohomtriiseist, joiss lohot voivt oll muitin osmtriisej uin pysty- ti vrivejä. Mtriisit A j B ovt smt, A = B, jos ne ovt smnooiset j niiden ii liot ovt smt: A = ( ij ), B = (b ij ), ij = b ij, iill i,j. Eri ooisi mtriisej ei voi verrt toisiins tässä mielessä. Mtriisi on neliömtriisi, jos siinä on yhtä mont v- j pystyriviä eli m=n. Neliömtriisin (pää)lävistäjä oostuu lioist,, nn. Lävistäjämtriisi on sellinen, joss ii lävistäjälle uulumttomt liot ovt =. Erityismtriiseist täreimpiä ovt ysiömtriisi I n = I = : : : jo on in neliömtriisi oo n n (n jätetään usein meritsemättä, jos se on siyhteydestä selvä) j

96 95 nollmtriisi O = : : , : jon oo voi oll miä hyvänsä m n. Mtriiseille määritellään olme lsutoimitust, yhteenlsu (summ), slrill ertominen j mtriisitulo. Yhteenlsu on määritelty smnooisille mtriiseille A = ( ij ) j B = (b ij ) : A + B = ( ij + b ij ) eli vstinliot lsetn yhteen. Slrill ertominen troitt mtriisin A ertomist reliluvull c eli slrill: ca = (c ij ) eli joinen A:n lio errotn luvull c. Sm mtriisi on myös Ac. Vähennyslsu on yhdistelmä yhteenlsust j slrill ertomisest: A B = A+ ( ) B. Mtriisitulo on monimutisempi opertio, jon perustelun on lineriuvusien yhdistämisen mtriisiesitys.

97 96 Tulo on määritelty, un ertojn A = ( ij ) on m p-mtriisi j errottvn B = (b ij ) on p n-mtriisi, eli A:ss on oltv yhtä mont srett uin B:ssä on vrivejä. Silloin missä AB = C =(c ij ), c ij = p b i j. = Siis tulon C i:nnen rivin j j:nnen sreen lio sdn ertomll A:n i:nnellä rivillä B:n j:s sre pistetulon mielessä eli vstinliot errotn esenään j näin sdut tulot lsetn yhteen. Kvion tulo on 3 - j -mtriisien tpusess: AB = b + b b + b b b b b b b b b b b = b b Siis tulomtriisi voidn lse rivi i errlln, un A:n rivillä i errotn (pistetulon) B:n joinen sre järjestysessä ensimmäisestä viimeiseen. Ti tulo sdn myös sre j errlln, un B:n sre j errotn vuoronperään joisell A:n rivillä järjestysessä ensimmäisestä viimeiseen. Seurvt lsusäännöt ovt voimss:. A + O = A. A = O 3. A + B = B + A 4. (A + B) + C = A + (B + C) 5. c(a + B) = ca + cb 6. A = A

98 97 7. A(BC) = (AB)C 8. c(ab) = (ca)b = A(cB) 9. A(B + C) = AB + AC. (A + B)C = AC + BC. IA = AI = A. OA = O & AO = O Tässä on mtriisin oo in tilnteen mun sellinen, että meritty lsutoimitus on määritelty (c, j ovt slrej). Todistuset: Säännöt - 6, 8 j - seurvt välittömästi määritelmistä j reliluujen vstvist ominisuusist. 7. Oloot A= ( i ), B = ( bl ), C = ( clj ) oo m p, p q, q n vstvsti. Silloin p p q p q ( ABC ( )) = ( BC) = bc = bc = ij i j i l lj i l lj = = l= = l= q p q p q bc = ( b) c = ( AB) c = (( ABC ) ). i l lj i l lj il lj ij l= = l= = l= 9. p ( AB ( + C)) = ( B+ C) = ( b + c ) = ij i j i j j = = p p p p ( b + c) = b + c = ( AB) + ( AC). i j i j i j i j ij ij = = =. Menee vstvll tvll uin 9. Usein -mtriisi pidetään slrin: [c] orvtn slrill c. (Kertolsun oovtimusien ti tämä ei in ole mhdollist. Esimerisi c(ab) = (ca)b = A(cB) pitää pins slrille c, mutt ei yleensä -mtriisille [c].) Verrttun tuttuun reliluujen lgebrn todetn, että mtriisitulo ei ole vihdnninen eli yleensä AB BA.

99 98 Mtriiseille omininen opertio, jo "slrimilmss" ei näy, on trnsponointi eli v- j pystyrivien vihtminen esenään. Koo m n olevn mtriisin A =( ij ) trnspoosi on n m-mtriisi eli jos A T = ( ji ) A =.. m.. m n n.. mn niin A T =.. n.. n m m... mn Nähdään siis, että (A T ) ij = ji. Neliömtriisin tpusess trnsponointi meritsee peilust lävistäjän suhteen. Usein äytetään myös merintää A t ti A'. Mtriisi, jo ei muutu trnsponoinniss, on symmetrinen. Se on siis välttämättä neliömtriisi (mutt joinen neliömtriisi ei ole symmetrinen). Symmetrisyyden ehto on siis A T = A. Neliömtriisi A on vinosymmetrinen, jos lävistäjän suhteen symmetrisessä semss olevt liot ovt toistens vstluuj: ji = - ij. Tällöin siis lävistäjäliot erityisesti ovt =. Vinosymmetrisyyden ehdon voi ilmist myös muodss A T = -A.

100 99 Trnsponointi toteutt seurvt lsusäännöt (jtetn numerointi): 3. (A + B) T = A T + B T 4. (ca) T = ca T 5. (AB) T = B T A T 6. (A T ) T = A Tod.: Kohdt 3, 4 j 6 helppoj seurusi määritelmistä. 5. p p p T T T T T T T = = ij ji = j i = j i = i j ij = = = (( AB) ) ( AB) ( A) ( B) ( A ) ( B ) ( B ) ( A ) ( B A ) Erityisesti todetn, että trnsponointi "nost" vvetorin pystyvetorisi j päinvstoin: y = [y y y n ], y T = y y y n x = x x x n, x T = [x x x n ]. Avruuden R n vetoreit tulln jtoss pääsääntöisesti pitämään pystyvetorein. Tällöin vetori x on n -mtriisi j vetorien lsuopertiot sdn utomttisesti mtriisien lsutoimitusist.

101 Pistetulo s silloin muodon u T v = [u u u n ] v v v n = u v + u v + +u n v n. Tästä syystä nimitysin on R n :ssä useimmiten pistetulon sijst slriti sisätulo. Mtriisiertolsu voidn nyt esittää myös muodoiss AB = A [b b b n ] = [Ab Ab Ab n ], missä b j on mtriisin B j:s pystyrivi j siis Ab j on tulon AB j:s pystyrivi ti AB = A A A m B = A B A B A B m, missä A i on A:n i:s vrivi, j siis A i B on tulon AB i:s vrivi. Lsutoimitusist puuttui yllä jolsu. Oslle mtriiseist on uitenin olemss äänteismtriisi, j silloin tällisill mtriiseill voidn "j" sopivnooisi mtriiseit. Neliömtriisi A on ääntyvä, jos on olemss sellinen smnooinen mtriisi B, että AB= BA= I. Tällöin mtriisi B snotn mtriisin A äänteismtriisisi j meritään B= A. (Kuten snmuodot ntvt ymmärtää, äänteismtriisi on ysiäsitteinen, miäli se on olemss. Jos nimittäin C olisi myös A:n äänteismtriisi, niin C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B.)

102 Myöhemmin osoitetn, että yllä olevst vtimusest AB= BA= I riittää äänteismtriisin olemssololle trist vin toinen (AB=I ti BA=I), jolloin toinenin ehdoist toteutuu. Jos A on ääntyvä j mtriisien dimensiot ovt sopivt, niin yhtälön AX = C rtisu on X = A C. Tämä stiin ertomll yllä olev yhtälö puolittin vsemmlt. Vstvsti yhtälön YA = F rtisu on Y = FA. Huomttoon, että vi edelliset rtisut muistuttvtin jolsu, niitä ei meritä muodoss X C F = ti Y =, A A sillä nämä ovt epämääräisiä, niistä ei äy ilmi ummlt puolelt A :lläerrotn. Käänteismtriisi noudtt seurvi lsusääntöjä: (A j B oletetn ääntyvisi smnooisisi neliömtriiseisi) 7. ( A ) = A ( AB) = B A ( T A ) = ( A ) T Tod.: 7. Jos C=A -, niin CA=AC=I, joten määritelmän nojll C - =A ( B A )( AB) = B A AB = B IB = B B = I j vstvsti toisin päin. T T T T T T T T ( ) ( ), ( ) ( ) A A = AA = I = I A A = A A = I = I Käänteismtriisin muodostmiseen j lsemiseen plmme myöhemmin.

103 Esim. Osoit, että iill mtriiseill A on A T A symmetrinen. M : = AA T, M T = ( AA T ) T = A T ( A T ) T = AA T = M. Esim. Rtise mtriisi X yhtälöstä AX A = B. AX A B AX A A B A = = AX B A A AX A B A = = ( ) X = A B A X = A B A = A BA. Determinntit Determinnttien määritelmä esitettiin Lm:ssä permuttioiden vull. Ktsomme tässä determinntti lähinnä sen "ehittämisen" nnlt. Historillisesti on yllättävää, että determinnttien oppi ehittyi pitälle huomttvsti ennen mtriisej. Leibniz oli ilmeisesti ensimmäisiä, jo äytti determinnttej yhtälöryhmän rtisuiss. Tämä tphtui ivn 6-luvun lopuss, j vst 85-luvull Jmes Sylvester otti äyttöön termin "mtriisi" erottseen determinntin (jo on luu) siitä luuviost, jost determinntti lsetn. Neliömtriisin A determinntti det(a) on luu, jo voidn määritellä reursiivisesti mtriisin oon n suhteen. Determinntist äytetään myös merintää det( A) = A. (Tässä ei ole siis yse itseisrvost, vn pystysuorien väliin irjoitetn mtriisin A liot.) Determinntti määräytyy oon n mun lupäästä luien seurvsti: n=: A = [ ], det( A) =. n=: A =, det( A) =

104 3 n=3: 3 A = 3, det( A) = = C C 3C3 Tämä viimeisin muoto yleistyy yleiselle n:lle, jolloin yseessä on determinntin "ehittäminen. vrivin mun". Trstelln mtriisi, jo on stu mtriisist A poistmll siitä rivi i j sre j (eli se rivi j sre, joll lio ij on). Näin stu mtriisin A limtriisi A ij on A:n (i,j)-minori. Esimerisi: 3 3 A = 4 5 6, (3,)-minori on A3 = Minorin A ij determinntti det( A ij) on mtriisin A (i,j)-lideterminntti. Kun lideterminnttiin "otetn merinvihtelu mun", sdn mtriisin A (i,j)-oftori eli (i,j)-omplementti: C ij i+ j = ( ) det( A ). ij Näiden vull sdn n n-mtriisin A determinntti määriteltyä yhtä pienempien eli ( n ) ( n ) -mtriisien determinnttien vull: det( ) n n A = = C + C + + ncn n n nn

105 4 Tämä lusee on determinntin lseminen ehittämällä. vrivin mun. Voidn osoitt, että sm tulos sdn, jos determinntti lsetn ehittämällä minä hyvänsä vrivin ti minä hyvänsä pystyrivin mun. Esim. 3 A 3 =, jost ehittämällä. vrivin mun: = + ( ) = 7 ( 5) + ( )3 ( 6) = 6. Tässä oo 3 3 olevt lideterminntit lsettiin edelleen sivun vll. Kun determinntti ehitetään i:nnen vrivin mun, sdn vsi det( ) n n A = = C i i+ C i i+ + C in in n n nn j ehitettynä j:nnen pystyrivin mun det( ) n n A = = jcj+ jcj+ + njcnj n n nn

106 5 Helpoimmt mtriisit determinntin lsemisen nnlt ovt olmiomtriisit. Mtriisi U = ( u ij ) on yläolmiomtriisi, jos sen lävistäjän lpuolell olevt liot ovt nolli: uij =, un i> j. Mtriisi L = ( l ij ) on lolmiomtriisi, jos sen lävistäjän yläpuolell olevt liot ovt nolli: lij =, un i< j. Yläolmiomtriisiss nollst poievt luvut voivt oll siis vin lävistäjällä ti sen yläpuolell, j lolmiomtriisiss vstvsti lävistäjällä ti sen lpuolell. Kun yläolmiomtriisin determinntti ehitetään ensimmäisen pystyrivin mun, j seurvss viheess ts smoin, huomtn, että determinntisi sdn lävistäjälioiden tulo. Smoin lolmiomtriisill determinntti on lävistäjälioiden tulo. Kos lävistäjämtriisi on umpin yllä minittu tyyppiä, on siis erityisesti lävistäjämtriisin determinntti in lävistäjälioiden tulo. Determinntin perusominisuusi Seurvss A j B ovt smnooisi neliömtriisej j c slri. (Kunin ominisuuden ohdll on esimeritilnne.). Jos mtriisin A join v- ti pystyrivi sisältää pelästään nolli, niin det(a)=. 3 3 = 4 6 = Jos mtriisin A jonin v- ti pystyrivin ii liot errotn luvull c, niin det(a) tulee errottu c:llä =

107 6 3. Jos mtriisiss A vihdetn esenään hden vrivin ti hden pystyrivin pi, niin det(a):n meri vihtuu = Jos mtriisiss A on si smnlist vriviä ti si smnlist pystyriviä, niin det(a)= = 3 5. Jos mtriisin A v(pysty)rivi on vio ert toinen v(pysty)rivi, niin det(a)= = Oloon mtriiseill A j B on ero vin yhden v- ti pystyrivin lioiss. Silloin determinnttien summ det( A) + det( B) = det( C), missä C:n liot ovt smt uin A:n j B:n, pitsi minituss erovss rivissä, jon liot ovt nyt A:n j B:n vstinlioiden summt =

108 7 7. Determinntin rvo ei muutu, jos mtriisin johonin (v- ti pystyriviin) lisätään toinen (smnsuuntinen) rivi jollin violl errottun = 4 + ( 4) 5 + ( 4) 6 + ( 4) 3 = = = 3 6 = Mtriisin A trnspoosin A T determinntti on sm uin A:n: T det( A ) = det( A) = Tulon determinntti on determinnttien tulo: det( AB) = det( A)det( B) 8 = = 3 8. Jos mtriisist muodostetn jonin v- ti pystyrivin mun ehitelmä uten determinntti lsettess, mutt oftorit

109 8 poimitn joltin toiselt (smnsuuntiselt) riviltä, niin tulos on in noll: C + C + + C in jn = δij det( ) i j i j A C + C + + nicnj = δij det( ) i j i j A missä δ ij, i= =, i j j. A = 5 3, ( ) + + ( )( ) = 3 3 Ominisuusist voidn useimmt todist määritelmien perusteell "suorll lsull". Vieimpi ovt ohdt 8 (indutioll oon n suhteen) j 9, mutt sivuutmme niiden todistuset tässä urssiss. Seurvss trstelemme determinnttien yhteyttä äänteismtriiseihin. Alusi nähdään perusyhteys: Jos A on ääntyvä, niin det( A ) =. det( A) ) Tämä seur yhtälöstä det( I ) det( AA = = ) = det( A)det( A ). Erityisesti nähdään siis, että ollseen ääntyvä, mtriisill on determinntin oltv nollst erov. Koht nähdään, että tämä ehto on myös riittävä mtriisin ääntyvyydelle. Muodostetn oftoreist C ij mtriisi ( C ij). Sdun mtriisin trnspoosi on mtriisin A djungoitu mtriisi 9

110 9 T dj( A) = ( C ) = ij C C C C C C C C C n n n n nn. Käyttämällä ominisuutt sdn nyt äänteismtriisin lusee determinnttien vull: A = dj( A). det( A) Tämä seur suorll ertolsull: C C C n n n C C C n Adj( A) = n n nn C C Cnn n n = C + C + + C C + C + + C C + C + + C n n n n n n n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + C n n n n n n n nn C + C + + C C + C + + C C + C + + n n nn n n n nn n n n n n nn C nn det( A) det( A) = = det( A) = det( A) I det( A). Siis A( dj( A)) = I, j smll tvll nähdään tulo toisess järjestysessä. det( A)

111 Todettoon, että yllä olev v ei ole numeerisesti sovelis tp lse äänteismtriisi. Myöhemmin esitetään muit, lsennllisesti prempi einoj. Käänteismtriisin vst nähdään, että äänteismtriisi on olemss, jos det(a). Näin stiin perustulos: Mtriisi A on ääntyvä det(a). Mtriisi A, jolle det(a) =, snotn singulrisesi. Tästä syystä ääntyvää mtriisi hyvin usein utsutn ei-singulrisesi. Siis: Mtriisi on ääntyvä täsmälleen silloin, un se on ei-singulrinen. Redusoitu riviporrsmuoto Lineristen yhtälöiden ryhmiä rtistess on jo ouluss opittu muomn yhtälöitä niin, että yhtälöryhmän rtisu lopult on luettviss suorn jäljelle jääneestä muotust ryhmästä. Käytettäviin opertioihin uului yhtälöiden ertominen ti jminen sopivll luvull, yhtälöiden järjestysten vihtminen j muuttujien eliminoiminen lisäämällä join yhtälö violl errottun toiseen yhtälöön. Mtriisej äytettäessä linerinen yhtälöryhmä s ysinertisen j tiiviin muodon:

112 Yhtälöryhmä x + x + + nxn = b x + x + + x = b n n x + x + + x = b m m on erroinmtriisi mn n m A = n n m m mn, muuttuj x = x x x n j oie puolt b = b b b m äyttämällä esitettävissä mtriisiyhtälönä Ax = b. Kii oleellinen dt on mtriisiss A j oien puolen vetoriss b. Sisi yhtälöryhmän rtisutoimenpiteissä voidnin operoid pelästään niillä, muuttujien xi symbolien uljettminen mun lsutoimitusiss on turh. Aluss minitut yhtälöryhmän leelliset rtisutoimenpiteet näyvät mtriisiss A vriveihin (jtoss lyhyesti "riveihin") ohdistuvin opertioin. Näitä elementrisi vrivimuunnosi (leisriviopertioit, ysinertisi riviopertioit,...) on olme tyyppiä: - rivin i ertominen nollst erovll luvull c: Ei( c ) - riviin i lisätään rivi j ( i) luvull c errottun : Eij() c - rivien i j j vihto (permutointi) : E ij. Yllä näille toimitusille on omt merinnät ullein. Kun leisriviopertioit tehdään perääin, sdn yleisesti vrivimuunnosi. (Pystyriveillä voidn myös operoid, mutt se on pljon hrvinisemp, joten emme äsittele niitä linn.)

113 Voidn osoitt (Lm), että uin elementrinen vrivimuunnos mtriisiin A sdn in ertomll A vsemmlt tietyllä mtriisill, muunnosen elementrimtriisill eli ysinertisell mtriisill. Näille elementrimtriiseille äytetään sm merintää uin vstville muunnosillein, j ne ovt ooluossn ysiäsitteisiä. Kuin n n-elementrimtriisi sdn teemällä vstvnooiselle ysiömtriisille yseinen leisrivimuunnos. All on esimerinä ysi joisest ljist: I =, E3 () =, E ( 5) = 5, E3 =. Esim. 4 Muunnetn mtriisi M 3 = seurvsti: E( 4) E3( 7) E ( /3) E3 (6) E ( ). Eij ( c) Merintä troitt, että vsemmll puolell olevn mtriisiin on sovellettu nuolen yläpuolell olev leisrivimuunnost j tulosen on nuolen oiell puolell olev mtriisi.

114 3 Sm si mtriisiertolsull elementrimtriisien vull toteutettun on silloin: E( ) E3(6) E( /3) E3( 7) E( 4) M =. Huom yllä olevss elementrimtriisien järjestys: Koo jn errotn vsemmlt, joten ensimmäinen muunnos on ensimmäisenä mtriisist M luien vsemmlle, sitten siitä vsemmlle toinen muunnos eli sitä vstv elementrimtriisi, jne. Ksi mtriisi A j B, jot sdn vrivimuunnosill toisistn, ovt vrivievivlenttej, mer. A B ti A B. Tvllisimmin vrivimuunnosill pyritään sttmn mtriisi redusoituun riviporrsmuotoon. Se on muoto, joss: - Mhdolliset nollrivit ovt limpn ("pohjll"). - Nollrivistä erovien rivien ensimmäinen nollst erov lio on, ns. rivien johtv yönen. - Johtvt yöset ovt porrsmisesti siten, että ylemmän rivin johtv yönen on sreell, jo on ennen lemmn rivin johtvn yösen srett. - Johtvn yösen sreell ovt sen yläpuolell olevt luvut nolli. Kolme ensimmäistä ehto määrittelevät riviporrsmuodon (ref) j jos neljäsin ehto on voimss, yseessä on redusoitu riviporrsmuoto eli noninen muoto. Usein mtriisin A redusoitu riviporrsmuoto meritään rref(a) (engl. reduced row echelon form), jost syystä äytetään myös puhetp "mtriisin A rref".

115 4 Edellisessä esimerissä mtriisi M muutettiin riviporrsmuodon 3 utt redusoidusi riviporrsmuodosi. Redusoitu riviporrsmuoto on joiselle mtriisille olemss j se on ysiäsitteinen. (Mutt pelä (redusoimton) riviporrsmuoto ei välttämättä ole ysiäsitteinen.) Käytämme redusoitu riviporrsmuoto ensisi äänteismtriisin lsemiseen. Todetn lusi, että ii elementrimtriisit ovt ääntyviä j E () c E(/), c E () c E ( c), E E = = =. i i ij ij ij ji Tämän vull nähdään, että jos neliömtriisi A sdn muunnettu vrivimuunnosill ysiömtriisisi, A on ääntyvä: E E E E A= I A= E E E E A E E E E = Tässä E i meritsee yleensä jotin elementrimtriisi. Toislt jos neliömtriisi ei sd muunnettu ysiömtriisisi, niin rref ( A ) sisältää "pohjll" inin yhden nollrivin, jolloin det(a)= j A on siis singulrinen eli ei-ääntyvä. Siis: Mtriisi A on ääntyvä täsmälleen silloin, un se on vrivievivlentti ysiömtriisin I nss. Sm si toisin snoin: Mtriisi on ääntyvä täsmälleen silloin, un se on esitettävissä elementrimtriisien tulon.

116 5 Käänteismtriisin lseminen (silloin un se lsetn vrivimuunnosill) on ätevintä järjestää seurvsti: [ A I] [ I B] B= A Eli jos lohomtriisi [ A I ] sdn muunnettu vrivimuunnosill mtriisisi [ I B ], niin B on A:n äänteismtriisi. (Ysiömtriisi "siirtyy oiest lohost vsempn".) Tämä nähdään ertomll [ A I ] vsemmlt A : llä : A [ A I] = [ A A A I] = [ I A ] j totemll, että vsemmlt ertominen ääntyvällä mtriisill on sm uin vrivimuunnosten teeminen. Tässä ei ole trpeen tietenään tietää, miä on A :n esitys elementrimtriisien tulon (silloinhn ei olisi enää mitään lsettv), vn yseiset muunnoset tehdään sel errlln päämääränä sd vsempn lohoon I. Se mitä oien lohoon sitten ilmntuu, on A. Kos [ I B ] on ilmeisesti redusoiduss riviporrsmuodoss, voidn edellä esitetty ilmist myös muodoss rref [ A I] [ I B] B A = =. Esim. 5 3 A = 3 3 [ A I] = E3( ) E3( )

117 6 3 3 E3( ) E (/ ) 3 3 / / E ( ) E ( ) /3 /3 /3 / = [ I A ] Esim. 6 3 A = [A I] = , nollrivi vsemmll, ei 3 3 äänteismtriisi.

118 7 7. Alivruudet. Lineriset yhtälöryhmät Alivruudet Hvinnollisen milmn geometrisin mllein voidn pitää suor, tso j olmiulotteist vruutt, jot ovt oordinttivruusin R, R j R 3. Kos sovellusiss esiintyy muuttuji luontevsti "mielivltinen" määrä n, on huomttu edullisesi trstell sioit silloin "n-ulotteisess vruudess" R n. Tämä trjo mhdollisuuden uvitell ilmiöitä hvinnollisin geometrisin äsittein, jot on linttu, ti 3-ulotteisest hvintomilmst. Tiettyjen olioiden väliset suhteet säilyvät smnltisin iiss ulottuvuusiss j pystymme ymmärtämään niitä premmin hvinnollisten mielleuvien vull. Tästä syystä linmme j yleistämme vruusist R, R j R 3 geometrisi äsitteitä j siirrämme ne yleiseen n-ulotteiseen vruuteen R n. Tällisi äsitteitä ovt piste, vetori, suor, tso, pituus, etäisyys, ulm, pistetulo, ohtisuoruus, projetio, ulottuvuus jne. Kii äsitteet eivät yleisty, esimerisi vetoritulo eli ristitulo on sellinen, joll ei ole vstinett yleisessä R n :ssä. Algebrllisell puolell otmme mtriisit äyttöön perusolioin. Avruus R n eli n-ulotteinen eulidinen vruus määritellään tässä urssiss n -mtriisien ("vetorien") jouosi, joss on mtriisilgebrst periytyvät lsutoimituset: vetorien yhteenlsu j slrill ertominen, seä vetorien välinen sisätulo. R n T = { xx = [ x, x,, xn], xi R, i=,, n} Lsutoimituset noudttvt seurvi lej, jot seurvt jo todennetuist mtriisilgebrn säännöistä. Luettelemme ne uitenin uudestn tässä, os stujen ehtojen ooelm määrittelee yleisemmän äsitteen vetorivruus. Avruus R n on siis esimeri vetorivruudest. Muit vetorivruusi ovt mm. eriliset funtioist oostuvt funtiovruudet.

119 8 Avruudess R n toteutuvt seurvt (relisen) vetorivruuden sioomt: VA. Jouoss R n on määritelty vetoreiden xy, yhteenlsu: n n x + y R x, y R n VA. ( x + y) + z= x+ ( y + z), x, y R n VA3. On olemss nollvetori: x+ = + x= x, x R n VA4. Joisell vetorill on vstvetori: x+ ( x) =, x R n VA5. x + y= y+ x, x R VA6. Jouoss R n on määritelty slrill ertominen: n n x R, x R, R n VA7. ( x + y) = x + y, x, y R, R n VA8. ( + b) x= x+ bx, x R,, b R n VA9. b ( x) = ( b) x, x R, b, R VA. x= x, x R n Nämä otetn yleisessä tpusess siis sioomisi vetorivruudelle, nyt ne ovt seurusi mtriisilgebrst. Lisäominisuusi (jot sitten ovt yleisessä tpusess lusein johdettviss yllä olevist sioomist) ovt mm. seurvt: - =, R - n x=, x R - x= = ti x=, n x R, R - n ( ) x= x, x R.

120 9 Sisätulo osevi ominisuusi trstelemme myöhemmin ortogonlisuuden yhteydessä. Yleisesti vetorivruusi, joiss on määritelty sisätulo, snotn sisätulovruusisi, joist R n on siis ysi esimeri. Kolmiulotteisess vruudess R 3 on osjouoin tsoj j suori, jot muistuttvt geometrisesti hyvin pljon vruusi R j R. Jos tso ulee origon utt, huomtn, että sen vetoreiden yhteenlsu j slrill ertominen joht vetoreihin, jot edelleen ovt smll tsoll. Siis nämä vetorit toteuttvt vetorivruuden sioomt VA j VA6, j os vetorit ovt toislt R 3 :n vetoreit, lsulit VA-VA5, VA7-VA toteutuvt myös. Siis origon utt ulev R 3 :n tso on itsein vetorivruus. Avruuden R n osjouo H on livruus, jos seurvt ehdot ovt voimss iille, xy j iille slreille : AA. xy, H x+ y H AA. AA3. R& x H x H H. Ksi ensimmäistä ehto vtivt, että lsutoimitusten lopputulos pysyy H:ss, eli että yhteenlsu j slrill ertominen "eivät vie ulos H:st". Ehdot AA-AA3 voidn esittää myös tiivistetyssä muodoss ehton: xy, R,, R: xy, x+ y n b H b H j lisäsi on vdittv, että H on epätyhjä. Avruus R n itse j {} ovt trivilej livruusi. Tpusess R ei muit livruusi olen. Tsoss R epätrivilej livruusi ovt origon utt ulevt suort. Avruudess R 3 epätrivilej livruusi ovt origon utt ulevt suort j origon utt ulevt tsot. Yleisessä R n :ssä eri tyyppisiä livruusi on sitten enemmän.

121 Huomttoon, että esimerisi olmiulotteisen vruuden tsot, jot eivät ulje origon utt, eivät voi oll livruusi (vtimus AA3). Ne voidn jtell uitenin livruusien siirtoin eli trnsltioin. Esim. H = x R x + x = on R :n livruus. { } H = x R x + x = ei ole R :n livruus. 3 { 4} H = x R x x + x = on R 3 :n livruus. 3 { 3 3 } Khden tson leius on suor (unhn tsot eivät ole yhdensuuntisi) j ulee origon utt, jos tsotin teevät niin. Näyttää siis ilmeiseltä, että livruusien yhteisistä osist muodostuu livruusi: Alivruusien H, H leius H H on livruus. Edellä on ollut moness ohdin jo puhett "ulottuvuudest", mutt äsitettä ei ole vielä trsti määritelty. Esimerisi R 3 on olmiulotteinen, os sillä on olme ntvetori i, j,. Mutt mitä troitetn esimerisi edellä olevn livruuden H 3 nnll? Knnll i, j, on seurvt si ominisuutt. ) Vetorit i, j, "virittävät" oo vruuden R 3 : x 3 x= x = xi+ xj+ x3, x R. x 3 ) Vetoreiden i, j, jouoss ei ole yhtään turh, jos yhdenin jättää pois, niin loput eivät enää pysty virittämään oo vruutt R 3.

122 Tästä sdn mlli yleiseen tpuseen. Vetori v on vetoreiden v, v,, v lineriombintio, jos v= cv + c v + + c v joillin ertoimill (reliluvuill) c, c,, c. Vetorit v, v,, v virittävät vruuden H, jos joinen H:n vetori v voidn esittää lineriombintion näistä vetoreist joillin ertoimill c, c,, c. Esim. Vetorit i j j virittävät R :n. Vetori v=[,3] T on lineriombintio v=i+3j. Vetorijouo S = { v, v,, v }, jo virittää H:n snotn vruuden H virittäjistösi j meritään H = spns = spn{ v, v,, v }. Ilmeisesti joiseen virittäjistöön voidn lisätä vetoreit, j näin ljennettu jouoin on edelleen smn ti ljemmn vruuden virittäjistö. Mutt voidno virittäjistöstä poist vetoreit, niin että jouo säilyy edelleen smn vruuden virittäjistönä? Jos voidn, niin silloin tällinen ylimääräisten vetorien rsint yleensä tehdäänin. Virittämisen nnlt trpeettomi S:n vetoreit ovt ilmeisesti selliset, jot ovt itse joidenin muiden S:n vetoreiden lineriombintioit. Jos vetorijouoss S on tällisi (edes ysi), niin vetorijouo S = { v, v,, v }snotn linerisesti riippuvsi (eli sen vetoreit v, v,, v linerisesti riippuvisi). Jos vetorit v, v,, v ovt linerisesti riippuvi, niin siis inin ysi niistä, esimeriis v m, on muiden lineriombintio: v = v + + v + v + v. m m m m+ m+

123 Siirtämällä ii vsemmlle puolelle sdn yhtälö cv + + c v =, missä ertoimist c i inin ysi on nollst erov (sillä nyt inin c = ). Tämä otetn usein linerisen riippuvuuden määritelmäsi. m Edelleen voidn todet, että vetorijouo S on linerisesti riippuv, jos j vin jos sillä on sellinen ito osjouo S', että spn( S') = spn( S). Toivottv ominisuus virittäjistölle on, että siellä ei ole turhi vetoreit mun, eli että se ei ole linerisesti riippuv. Vetorijouo S = { v, v,, v } on linerisesti riippumton (eli vetorit v, v,, v linerisesti riippumttomi), jos j vin jos S ei ole linerisesti riippuv. Lineriselle riippumttomuudelle sdn siis seurvi rterisointej: Jouon S = { v, v,, v } vetorit ovt linerisesti riippumttomi täsmälleen silloin, un ll olevt esenään yhtäpitävät ehdot ovt voimss: - Miään vetoreist v, v,, v ei ole muiden lineriombintio. - Ehto c v + + c v = toteutuu vin iien ertoimien c i olless nolli. - cv+ + c v = c= = c =. - S' S, S' S spn( S') spn( S).

124 3 Erityisesti nähdään, että -vetori ei voi oll mun missään linerisesti riippumttomss vetorijouoss. Kos linerist riippumttomuutt pidetään toivottun ilmiönä, on hyvä oll lsennllinen eino, joll riippumttomuus ti riippuvuus voidn selvittää. Tällisen trjo redusoituun riviporrsmuotoon muuntminen. Ajtelln vetorit v, v,, v litetusi mtriisin A pystyvetoreisi: Silloin [,,, ] A = v v v A T = v T T v v T, jo on muottviss vrivimuunnosill. Oloon vetoreist join, esimerisi v m, muiden lineriombintio: v = v + + v + v + v. T T T T T m m m m+ m+ T Silloin sdn muunnosill Em ( ),, Em( ) rivi v m nollttu. Kääntäen, jos rref(a T ):ssä on nollrivi, se on stu i minitun ltisill muunnosill, joten yseinen rivi on muiden lineriombintio. Siis vetorit v, v,, v ovt linerisesti riippumttomi täsmälleen T T silloin, un mtriisin A = [ v, v,, v ] redusoitu riviporrsmuoto rref(a T ) ei sisällä nollrivejä. Jos n mtriisiss on > n eli vrivejä on enemmän uin pystyrivejä, niin mtriisin redusoiduss riviporrsmuodoss on ilmeisesti porrsmisuuden ti po oll nollrivejä:

125 4 Tästä nähdään, että R n :ssä joinen vetorijouo, joss on enemmän uin n vetori, on linerisesti riippuv. Esimerisi R 3 :ss joinen neljän vetorin jouo on linerisesti riippuv. Esim. 3 Tutitn, ovto R 4 :n vetorit u=, v =, w = linerisesti riippuvi vi riippumttomi. A =, T A = T Kos mtriisiss rref ( A ) on nollrivi, vetorit ovt siis linerisesti riippuvi. J todell näin on, sillä w = u v.

126 5 n Huomttoon vielä, että si nollst erov vetori uv, R ovt linerisesti riippuvi täsmälleen silloin, un toinen sdn toisest violl ertomll: uv, linerisesti riippuvi c R: u= cv. Vetorijouo S on vruuden H nt, jos S on H:n linerisesti riippumton virittäjistö. Silloin siis H = spn(s) j S:n vetorit ovt linerisesti riippumttomi eli siellä ei ole trpeettomi vetoreit mun. Joisell vruuden H vetorill v on silloin ysiäsitteinen esitysmuoto nnss S= { v, v,, v }: v = c v + + c v. Jos nimittäin olisi v = cv+ + cv = c' v+ + c' v, niin siirtämällä ii vsemmlle puolelle stisiin ( c c' ) v+ + ( c c ' ) v =, jost seur vetoreiden linerisen riippumttomuuden nojll ( c c' ) = = ( c c ' ) = eli c = c ',, c = c '. Nämä ysiäsitteiset luvut c i ovt vetorin v oordintit nnss S. Silloin vetori v voidn esittää oordinttivetorin c c v= v S = c S, missä S orost, että on yse nnst S. Kos vetori v on tässä urssiss in myös jonin R n :n vetori, sillä on oletusrvon esitys R n :n luonnollisess nnss { e,, e n }:

127 6 v v v e e vn = = v + vn n missä e =,, e n =. Avruuden H joisess nnss on yhtä mont vetori. Tämä seur siitä, että jos jossin nnss on vetori, niin joinen jouo, joss on enemmän uin vetori, on linerisesti riippuv. Päättely on sm uin R n :n yhteydessä tehtiin redusoidun riviporrsmuodon vull. Nyt mtriisi rennetn yseisen nnn oordinttivetoreist. Knnn lioiden luumäärä on siis vruudelle omininen vio. Avruuden H ulottuvuus eli dimensio dim(h) on nnn vetorien luumäärä. Avruuden R n dimensio on siis n. Trivilin vruuden {} dimensiosi sovitn. (Se on siäli luontev, että {} on ino vruus, joll ei ole nt, os -vetori on linerisesti riippuv. Siis ntvetoreiden luumäärä on.) Tsot vruudess R 3 ovt -ulotteisi j suort -ulotteisi livruusi (silloin un ulevt :n utt). Oheisess uvss tson nnn muodostvt vetorit v, v j niiden vull tsolle muodostuu oordintisto.

128 7 Kntoj on vruudell erilisi, ääretön määrä. Joinen linerisesti riippumton vetorijouo, joss on dimension ilmoittm määrä vetoreit, äy nnsi: Jos dimh =, niin joinen :n vetorin linerisesti riippumton H:n osjouo elp H:n nnsi. Tämän todistmisesi oletetn, että U = { u,, u } on H:n linerisesti riippumton osjouo. Knnn vtimusist linerinen riippumttomuus on siis jo unnoss, joten on näytettävä vielä, että U virittää H:n. Oloon v mielivltinen H:n vetori. Silloin jouo {, vu,, u } on linerisesti riippuv, os siinä on lioit enemmän uin pplett. Siis on olemss selliset ertoimet c, c,, c, että c v+ cu + + c u =, j ertoimet eivät ii ole nolli. Myösään ei voi oll c =, os vetorit ui ovt linerisesti riippumttomi. Siis c c v = u u, joten v on esitettävissä U:n vetoreiden c c lineriombintion.

129 8 Lineriset yhtälöryhmät Mtriisilsennn eseisimpiä äyttöohteit ovt lineriset yhtälöryhmät. Sellisi esiintyy sovellusiss runssti, esimerisi elementtimenetelmä (FEM) j reunelementtimenetelmä (BEM) lujuus-, virtus-, ustii- j mgneettienttälsennss pluttvt lsentongelmt lopult suurten lineristen yhtälöryhmien numeeriseen rtisemiseen. Myös tilstotieteessä j optimoinniss äytetään pljon linerisi yhtälöryhmiä. Jop epälineristen yhtälöryhmien numeerinen rtisu perustuu lineristen yhtälöryhmien iterointiin. Linerisen yhtälöryhmän yleinen muoto on x + x + + nxn = b x + x + + x = b n n x + x + + x = b m m mn n m missä muuttujt ovt x,, xn j ertoimet,, mn j seä oien puolen luvut b,, b m. Muuttujien luumäärällä n j yhtälöiden luumäärällä m osoittutuu jtoss olevn täreä rooli. Mtriisimuodoss linerinen yhtälöryhmä on Ax = b,, n n missä erroinmtriisi on A =, m m mn x b x muuttujvetori x =, j oie puoli b = b. xn bm

130 9 Yhtälöryhmä Ax = b on homogeeninen, jos b = j epähomogeeninen, jos b. Trstelln ensin lineristen yhtälöryhmien geometri. Alusi todetn, että homogeenisen yhtälöryhmän rtisujen jouo V={ x R n Ax= } on vruuden R n livruus: AA. xy, V A( x+ y) = Ax+ Ay= + = x+ y V AA. R& x V A( x) = A( x) = = x V AA3. V. Tätä livruutt snotn mtriisin A noll-vruudesi j meritään N(A) ti N A : N(A) = { x R n Ax= }. Voidn osoitt, että muit livruusi ei sitten olen: Avruuden R n livruusi ovt m n-mtriisien noll-vruudet (m=,, 3,...) j vin ne. Epähomogeenisen yhtälön Ax = b, missä siis b, rtisujouo ei ole livruus, os ei uulu siihen. Mutt se voidn jtell nollvruuden N(A) siirrosi eli trnsltiosi vetorin x p verrn: { x R Ax= b} = N( A) + x p, missä x p on join epähomogeenisen yhtälön rtisujouon piste eli join ysityisrtisu. Jos siis x h on homogeenisen yhtälön yleinen rtisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen rtisu x on x= x + x. h p

131 3 Esim. 4 Linerisen yhtälön x x = rtisujouo eli mtriisin A=[ -] noll-vruus on R :n suor x = x. Epähomogeenisen yhtälön x x = rtisujouo on suor x = + x. Vetorimuodoss esitettynä: xh = t, p, t. x = = + x Toinen mtriisiin A liittyvä vruus on sen rvovruus eli uvvruus eli srevruus R(A): m n RA ( ) = { y R y = Ax, x R }. Se oostuu siis nimensä muisesti rvoist Ax un x äy läpi ii R n :n vetorit. Arvovruus on vruuden R m livruus, uten helposti todetn. Nimitys srevruus selittyy yhteydellä x x y= Ax y= [,,, ] = x + x + + x xn n n n Tästä näyy, että mtriisin A sreet virittävät rvovruuden R(A): RA= ( ) spn{,,, n}.. Linerisell yhtälöllä Ax = b on siis olemss rtisuj täsmälleen silloin, un b RA ( ) eli un on olemss selliset luvut x i, että x + x + + x. b= n n Srevruuden dimensio on täreä mtriisiin liittyvä luu: Mtriisin A ste eli rngi on rn( A) = dim RA ( ).

132 3 Mtriisin ste rn(a) ertoo sen, uin mont linerisesti riippumtont srett A:ll on. Jos esimerisi rn(a)=<n, niin jouost {,,, n} löytyy :n vetorin osjouo, jo riittää virittämään R(A):n j äy siis sen nnsi. Voidn osoitt, että ste ilmoitt myös linerisesti riippumttomien vrivien luumäärän. Siis m n-mtriisin A steelle pätee rn(a) m j rn(a) n. Esimerisi 3 5-mtriisin ste voi oll oreintn 3. Mtriisin ste rn(a) nähdään redusoidust riviporrsmuodost rref(a) nollst erovien rivien luumääränä eli siis johtvien yösten luumääränä. Esim. 5 Mtriisin M 3 = ste rn(m)=. Jos A on neliömtriisi oo n n, niin sen rngi on täysi eli n täsmälleen silloin, un deta eli un se on ääntyvä. Linerisen yhtälöryhmän Ax=b rtiseminen perustuu oonismtriisin [A b] äsittelyyn. Kuten yllä todettiin, yhtälöllä on olemss rtisu(j) täsmälleen silloin, un oie puoli b uuluu srevruuteen. Koonismtriisi on sreittin esitettynä [ A b] = [,,, n b]. Jos siis b uuluu srevruuteen, se on vetoreiden,,, n lineriombintio, eiä linerisesti riippumttomien sreiden luumäärä sv siitä, mitä se on A:ss. Siis rn[a b]=rna. Jos ts b ei uluu srevruuteen, se on linerisesti riippumton A:n sreist, j rngi sv yhdellä. Linerisell yhtälöryhmällä Ax = b on olemss rtisuj, jos j vin jos rn[a b]=rna.

133 3 Tätä ehto snotn myös lyhyesti "rngiehdosi". Trstelln sitten rtisujen hemist, homogeeninen j epähomogeeninen tpus eriseen. Homogeenisen yhtälön rtiseminen Rngiehdost nähdään heti, että homogeenisell yhtälöryhmällä on in rtisu, sillä ei pysty muuttmn rngi. Tämä on tietysti itsestään selvää, os trivili rtisu eli on in homogeenisen yhtälön rtisu. Vrivimuunnoset oonismtriisiin [A ] eivät ilmeisesti muut yhtälöryhmän rtisujen jouo, toisin snoen yhtälöryhmillä Ax= j (rrefa)x= on smt rtisut. Jos rna=n, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on vin trivili rtisu. Tämä seur siitä, että silloin A:n sreet ovt linerisesti riippumttomi, joten yhtälö Ax= eli x+ x+ + xnn= ei voi toteutu uin muuttujien xi olless=. Redusoidust riviporrsmuodost tsomll si on myös selvä: rref [A ]=, jo vst yhtälöä x = x =. x3 = Kos neliömtriisin tpusess täyden rngin tilnne voidn ilmist determinntill, sdn: Jos A on neliömtriisi j deta, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on vin trivili rtisu.

134 33 Tämä nähdään myös äänteismtriisill ertomll: x= & ääntyvä x= x= =. A A A A A Redusoitu riviporrsmuoto on nyt seurvnnäöinen:. Jos sitten rna <n, niin mtriisin A sreet ovt linerisesti riippuvi, joten yhtälö x+ x+ + xnn= toteutuu nollst erovillin ertoimill. Kos yhtälö voidn erto mielivltisell luvull, rtisuj on siis ääretön määrä. Kos redusoiduss riviporrsmuodoss on johtvi yösiä rna= pplett, voidn niitä vstvt muuttujt rtist muiden olless prmetrein. Näitä vpit prmetrej on silloin n- pplett. Jos rna=<n, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on äärettömän mont rtisu. Rtisujouoss on n- vpt prmetri. Erityisesti näin äy in, un m<n. Jos m<n eli yhtälöitä on vähemmän uin muuttuji, niin homogeenisell yhtälöllä Ax= on äärettömän mont rtisu.

135 34 Redusoidust riviporrsmuodost tsottun (rna==<n=3, n-=) b, eli x x x =, jost + bx = 3 3 x = t x = bt x3 = t eli x = t b, t R Tpus m<n (m=, n=3): b, eli sm rtisu uin yllä. Edellä minittu prmetrien luumäärä troitt myös sitä, että yhtälöryhmän erroinmtriisin A noll-vruuden dimensio on n-. Tämä tosisi tunnetn nimellä Dimensioluse: Jos A on m n-mtriisi, niin sen noll-vruuden dimension j steen summ on n: dim N( A) + rn( A) = n. Epähomogeenisen yhtälöryhmän rtiseminen Nytin rtiseminen perustuu oonismtriisin [A b] äsittelyyn. Vrivimuunnoset eivät muut rtisujouo, joten yhtälöillä Ax=b j (rrefa)x=b on smt rtisut. Tässä b on oonismtriisin redusoidun riviporrsmuodon rref[a b] viimeinen sre eli se vetori, josi b on muuttunut. (Tässä oht on ero homogeeniseen yhtälöön, siellähän oie puoli on eiä muutu vrivimuunnosiss.) Rngiehdon muisesti sdn: Jos rna<rn[a b], niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b ei ole rtisu.

136 35 Redusoidun riviporrsmuodon utt tilnne on esimerisi seurv: b rref[a b]=[rrefa b ]= c d, eli näyy. x x3 = b x + cx3 = d x3 = jost ristiriit = Geometrisesti tilnne on oheisen uvn ltinen. Kuin tso edust yhtä ryhmän yhtälöä, j tsoill ei ole yhteistä pistettä. Toinen mhdollisuus on, että b ei nost rngi, eli että rna=rn[a b]. Silloin rtisuj siis on olemss, j tilnne jntuu hteen eri tpuseen: rtisuj on tsn ysi ti sitten rtisuj on äärettömän mont. (Linerisill yhtälöryhmillä ei siis voi esiintyä tilnteit, joiss rtisuj olisi esimerisi ti 3. Tämä on ysi huomttv ero lineristen j epälineristen yhtälöiden välillä.) Jos rna=rn[a b]=n, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on täsmälleen ysi rtisu.

137 36 Sillä A:n pystyrivit ovt nyt ii linerisesti riippumttomi, joten ne muodostvt R n :n nnn, joss b:n esitys x+ x+ + xnn=b on ysiäsitteinen. Redusoidun riviporrsmuodon vull: Tpus, joss m>n: b rref[a b]=[rrefa b ]=, eli c x = x = b. x3 = c Tpus, joss m=n: rref[a b]=[rrefa b ]= b, eli c x = x = b. x3 = c Geometrisesti: Tsot leivt yhdessä pisteessä:

138 37 Jos A on neliömtriisi eli m=n, niin silloin rna=n meritsee, että deta eli mtriisi on ääntyvä. Silloin yllä olev luse voidn ilmist myös seurvsti: Jos A on neliömtriisi j deta, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on täsmälleen ysi rtisu x= A b. Jäljellä on tpus, joss rna=rn[a b]<n. Silloin b on mtriisin A sreist linerisesti riippuv, mutt nämä sreet,,, n eivät ole linerisesti riippumttomi. Siis esitys b= x + x + + x n n ei ole ysiäsitteinen. Jos rna=<n, niin A:ll on linerisesti riippumtont srett, jolloin loput ovt näiden lineriombintioit. Esimerisi jos A=[,, 3 ] j 3 = +, niin b= x+ x+ x3( + ) = ( x+ x3) + ( x+ x3) = b + b.tässä b j b ovt ysiäsitteisiä. Siis jos x3 otetn prmetrisi t, niin yhtälön rtisuj ovt ii vetorit x, joill x = b t, x = b t, t R. Helpommin rtisujen äärettömän määrän näee homogeenisen yhtälön utt. Tpusess rna<n homogeenisell yhtälöryhmällä on äärettömän mont rtisu. Silloin myös vstvll epähomogeenisell on, os x= xh + x p on epähomogeenisen yhtälön rtisu in, un x h on homogeenisen yhtälön rtisu j x p on epähomogeenisen yhtälön rtisu: Ax= A( x + x ) = A( x ) + A( x ) = + b= b. h p h h On siis voimss: Jos rna=rn[a b]=<n, niin epähomogeenisell yhtälöllä Ax=b on äärettömän mont rtisu. Rtisujouoss on n- vpt prmetri.

139 38 Prmetrien luumäärä j rtisun renne selviää redusoidust riviporrsmuodost: b c d rref[a b ]=, eli x + x3 = b x + cx3 = d eli x = b t x = c dt, jost sdn x3 = t b x = c + t d, t R. (Kyseessä on siis suor vruudess R 3.) Geometrisesti tilnne näyttää seurvnltiselt: Tsoill on yhteisenä leiusen suor. Esim. 6 Yhtälöryhmä on x+ x = x+ x = 3x+ 3x =

140 39 Viimeisestä mtriisist nähdään jo, että yhtälöryhmä on ristiriitinen, os toinen j olms rivi vstvt yhtälöitä -3x = j -3x =. Siis rtisu ei ole. (Redusoituun riviporrsmuotoon littminen voitiin myös eseyttää.) Esim. 7 x+ y = x + y + z = 3x y+ z = 3 /3 / /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 /3 /3 3/. /3 /3 / / Siis ysiäsitteinen rtisu on x=-3/, y=3/, z=/. Esim. 8 x x3 = x 3x3 = x 3x3 = 3 3, jot vst yhtälöryhmä 3 x x3 =. x 3x3 = x = + t Siis rtisu on x = + 3t x3 = t Kyseessä suor. eli vetorimuodoss x = + t 3, t prmetri.

141 4 Esim Ax = b, A= 3, b = =rref[a b]. 3 3 Tästä nähdään, että yhtälö voidn esittää muodoss x - x3 x5 = x + x3 x5 = 4 x4 + x5 = 3 Siis x 3 j x 5 voidn ott prmetreisi j loput rtevt niiden vull. Siitä nähdään rtisu myös vetorimuodoss. x = + s -t x = -4 - s + t x3 = s x4 = 3 - t x5 = t x = s + t, s,t R.

142 4 Lopusi yhteenveto, joss eri tpuset on luoiteltu muuttujien luumäärän n j yhtälöiden luumäärän m muisesti: Linerisen yhtälöryhmän rtisujen luumäärä: yhteenveto Linerinen yhtälöryhmä Ax = b, A = m m n n mn x b x b, x =, b = x n b m on homogeeninen, jos b = j epähomogeeninen, jos b. Rtisujen luumäärät määräytyvät silloin oheisen tuluon muisesti muuttujien luumäärän n j yhtälöiden luumäärän m perusteell. Neliömtriisin tpusess (n = m) ehto rn(a) =n voidn ilmist determinnttiehdoll det(a) j vstvsti rn(a) < n ehdoll det(a) =. Kun rtisuj on määrä, ne riippuvt vpist muuttujist (prmetreist), joiden luumäärä on n - rn(a). Homogeeninen yhtälöryhmä Muuttujt yhtälöt Rngiehto Rtisujen luumäärä. n < m rn(a) = n. n < m rn(a) < n 3. n = m rn(a) = n 4. n = m rn(a) < n 5. n > m (ei ehto) Yllä rtisujen luumäärä troitt, että yhtälöllä on vin trivili rtisu x =.

143 4 Epähomogeeninen yhtälöryhmä Muuttujt yhtälöt Rngiehto Rtisujen luumäärä 6. n < m rn(a) < rn[a b] 7. n < m rn(a) = rn[a b] = n 8. n < m rn(a) = rn[a b] < n 9. n = m rn(a) = rn[a b] = n. n = m rn(a) = rn[a b] < n. n = m rn(a) < rn[a b]. n > m rn(a) = rn[a b] 3. n > m rn(a) < rn[a b] Yllä rtisujen luumäärä troitt, että yhtälöllä on täsmälleen ysi eli ysiäsitteinen rtisu. Hrjoitustehtävä Mihin tpusiin sivuill -3 lsetut esimerit. -4 uuluvt?

144 43 Esimeritilnteet joisest tpusest -3: Homogeenisen yhtälön tpusiss oletetn noninen muoto rref(a) lsetusi (oien puolen nollsrett ei ole meritty) Epähomogeenisen yhtälön tpusiss oletetn rref [A b] lsetusi:

145 44 8. Ortogonliprojetiot Avruus R n on enemmänin uin pelä vetorivruus, os siinä on mhdollisuus määritellä vetoreiden pituus, välinen ulm j erityisesti ohtisuoruus. Tähän päästään ottmll äyttöön vetoreiden välinen sisätulo (pistetulo, slritulo) T xy = xy i = x y + x y. n n Sisätulo toteutt seurvt lsusäännöt, jot nyt ovt seurusi n mtriisilgebrst: Kiill x, y R j iill c R on voimss ST T T xy= yx ST ( x+ y) T z= x T z+ y T z ST3 T T ( cx) y= c( x y ) ST4 T T xx, j xx= x= Yleisesti, jos vetorivruudess on määriteltynä yo. ehdot toteuttv sisätulo, niin vruutt utsutn sisätulovruudesi. Avruus R n on siis eräs sisätulovruus, j sitä snotn usein myös n- ulotteisesi eulidisesi vruudesi. Neljäs ominisuus nt mhdollisuuden määritellä äsitteen vetorin x pituus eli normi: x x x. T =+ =+ x + x n Normin neliö on siis x T = x x, jo on usein hyödyllinen lähtöoht normiluseeiden "puruun" (s. ll olevi epäyhtälöiden todistusi).

146 45 Vetorin x suuntinen ysiövetori on u = x x, jolloin snotn myös, että vetori x on normeerttu. n Normille on voimss seurvt ominisuudet: Kiill x, y R j iill c R N x, j x = x= N cx = c x N3 x+ y x + y (olmioepäyhtälö). Näistä si ensimmäistä seurvt suorn sisätulon ominisuusist. Kolmioepäyhtälön todistmisesi trvitsemme toist nimeltä tunnettu epäyhtälöä: n Cuchy-Schwrzin epäyhtälö Kiill x, y R on voimss T x y x y j yhtäsuuruus pätee, jos j vin jos x= ti y = cx, jollin c R. Cuchy-Schwrzin epäyhtälön todistus: Osoitetn väite oiesi ensin ysiövetoreille u, v: T ( ) ( ) T T T T T u± v = u± v u± v = u u± u v+ v v = u ± u v+ v eli ± uv T +, jost seur uv T eli uv T. Yhtäsuuruus on täsmälleen tpusess u± v = eli un u= ± v. Yleinen tpus: Oloot x = u, y = bv, = x, b= y. Silloin T T T x y = ( u) ( bv) = b u v b = x y. Yhtäsuuruus on voimss, un b= ti T (jmll b:llä) un uv = eli un u= ± v. Silloin x = ti y = ( = x) ti y= ± b x. Kolmioepäyhtälön todistus: x + y = ( x + y) T ( x + y) = xx T + xy T + y T y = x + x T y+ y T x + x y + y x + x y + y = ( x + y ). Tässä äytettiin epäyhtälöä, R j Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä.

147 46 Sisätulon vull voidn nyt määritellä nollst erovien vetorien x j y välinen ulm: θ = rccos T x y x y. Kun ulm on π /, niin vetorit x j y ovt ohtisuorss toisin vstn eli ortogonliset, meritään x y. Ortogonlisuusehto on siis x y x T y = xi y =. Jos vetorien välinen ulm on, vetorit ovt smnsuuntiset j jos se on π, vetorit ovt vstissuuntiset. Yhteisnimitys näille on yhdensuuntiset. Merinnät ovt x y, x y, x y. Ortogonlisille vetoreille pätee (yleistetty) Pythgorn luse: x y x + y = x + y. Tämä seur olmioepäyhtälön todistusest, un huomtn, että nyt T x y =. Jos vetorijouon { u,, u } vetorit ovt esenään ii T ortogonlisi eli ui uj = i j, niin vetorijouo on ortogonlinen. Jos lisäsi ii vetorit ovt ysiövetoreit, niin vetorijouo on ortonormli eli ortonormeerttu. Smoin snotn, että vetorit u, u ovt silloin ortonormlej eli ortonormeerttuj., Ortonormlisuusehto voidn siis esittää muodoss T, i= j { u,, u} on ortonormli ui uj = δij =., i j Huomtn, että tunnetut nnt {i, j} j {i, j, } ovt ortonormlej. Yleisemminin tämä on nnoille toivottv ominisuus.

148 47 Ortogonlisuus pitää sisällään jo linerisen riippumttomuuden, sillä joinen ortogonlinen jouo on utomttisesti linerisesti riippumton. (Todistus hrjoitustehtäväsi.) Ortonormliss nnss ntvetorit ovt lisäsi ysiövetoreit, jo helpott oordinttien tulint. Vetorin oordintit on helppo selvittää ortonormlin nnn olless yseessä. Jos W on vruuden R n livruus j { u,, u } niin vetorin v W esitys tässä nnss on sen ortonormli nt, = ( + + ( T T v v u ) u v u ) u Tämä seur siitä, että vetorill on ysiäsitteinen esitys v = cu+ + cu, jost T T T T T vu= ( cu+ + c u) u= cu u+ c u u= cu u= c. Näin tuli äyttöön i i i i i i i i T T seä ortogonlisuus u j u i =, j i että normeerus ui u i =. Alivruuden W ortogonlinen omplementti W on niiden vetoreiden jouo R n :ssä, jot ovt ohtisuorss joist W:n vetori vstn: n T W = { x R x w=, w W}. Silloin myös W on R n :n livruus, W W = { } j dimw = n dimw. Avruus R n voidn nyt hjott livruuden W nnlt hteen osn siinä mielessä, että joinen vetori v on esitettävissä ysiäsitteisesti summn v= w+ p, w W, p W. Tässä esitysessä w on vetorin v ortogonliprojetio (lyh. projetio) T livruudelle W j p vstvsti v:n projetio livruudelle W.

149 48 Vetorin v ortogonliprojetiost livruudelle W äytetään merintää vˆ = proj W v. Projetiost ortogonliselle omplementille W äytetään myös merintää proj v perp W v j yllä minittu hjotelm s muodon W = v= proj v+ proj v= proj v+ perp v. W W W W Jos livruudess W on ortonormli nt { u,, u } projetiolle sdn esitys, niin vetorin y proj y= ( y u u + + ( y u u. T T W ) ) T T Tämä nähdään suorll lsull: Jos u = ( y u) u+ + ( y u) u j w = u+ + u, niin ( y u) T w = ( y ( y T u) u+ + ( y T u ) ) T u ( u+ + u) = T T T T ( yu+ + yu) ( yu+ + yu) =. Siis y u w w W, joten y u W eli u=proj W y.

150 49 Yllä on siis edellytysenä, että { u,, u } on livruuden W ortonormli nt. Jos nt on ortogonlinen, mutt ei välttämättä ortonormli, projetion v s muodon proj W T = T u u + + T yu T u u yu y u u. Usein puhumme jtoss ortogonliprojetion sijn lyhyesti projetiost. Oheisiss uviss si on hvinnollistettu olmeulotteisess vruudess:

151 5 Erityisesti, jos W on ysiulotteinen livruus, W = spn{ u }, missä u on ysiövetori, niin äytetään snont vetorin y ortogonliprojetio ysiövetorille u j meritään proj u y : T proj uy= ( y uu. ) Jos vetori v, jolle projisioidn, ei ole ysiövetori, niin se on normeerttv, jolloin vsi sdn sijoittmll u:n pille v/ v : Vetorin y ortogonliprojetio vetorille v on proj v y = T y v T v vv. Kun u on ysiövetori, pätee vetorien y j u väliselle ulmlle T cosθ = y u y, jost seur projuy= y cosθ u. Tästä nähdään yhteys leisgeometrin projetioon, un trstelln suorulmist (vetori)olmiot, joss vetori y on hypotenuusn j proj u y ulmn θ viereisenä teettin. Korostettoon vielä, että projetio yllä määritellyssä mielessä on vetori. Josus sitä pinotetn puhumll "ortogonlisest vetoriprojetiost". Silloin slriprojetio on vetoriprojetion pituus eli normi proj u y.

152 5 Esim. Projisioidn piste [,, 3] T suorlle x = t. Nyt y =, suorn 3 ysiösuuntvetori (eli vstvn livruuden ortonormlin nnn ino vetori) on u =. Siis 6 T 6 6 ½ proj = ( ) = [ 3] T uy y u u = 6 3 = ½. Esim. Projisioidn piste y=[,, 3] T tsolle H: x x x3 + =. Tson normli on siis edellisen esimerin vetori [, -, ] T, joten perp H y = sdn projhy = y perphy = ½ = ½. 3 ½ ½ ½. Tästä ½ Ortogonliprojetion proj W y täreimpiin ominisuusiin uuluu, että se on projisioitv vetori y lähinnä olev W:n vetori (miniminormiluse): y proj y = min y v. W v W Jos nimittäin v W, yˆ = proj W y, niin y v = y yˆ + yˆ v j y yˆ W, yˆ v W. Kohtisuoruuden j Pythgorn luseen mun sdn siis y v = y yˆ + yˆ v y y ˆ.

153 5 Tällä seill on pljon äyttöä mm. numeerisess pprosimoinniss j tilstotieteessä. Vetorin y projetio nnetulle livruudelle W voidn siis lse vll proj y= ( y u u + + ( y u u, T T W ) ) jos W:n ortonormli nt tunnetn. Jos yleisemmin vruudelle W tunnetn nt {,, }, jo ei välttämättä ole ortonormli, niin projetio voidn lse seurvsti: Avruus W on silloin mtriisin A = [,, ] srevruus eli rvovruus R( A ). Oloon vetorin y projetio nnss {,, } lusuttun yˆ = c + + c = Ac. Silloin ohtisuoruusvtimusest seur ( A ) A, n y c x x R eli ( A ) T ( A ) =, x y c x R n eli T ( ) T T A A A =, y c x R n, jost seur x