Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ yön taoitteet ässä työssä tutustut asolliseen, äärätyin aiaälein toistuaan edestaaiseen ärähdysliieeseen. Värähdysliie syntyy, un tasapainoaseastaan poieutettuun appaleeseen aiuttaa palauttaa oia. ällainen oia pyrii palauttaaan appaleen tasapainoaseaan, olloin appale alaa ärähdellä edestaaisin tasapainoasean olein puolin. Jos oian suuruus on suoraan errannollinen appaleen poieaaan tasapainoaseastaan, syntyää liiettä utsutaan haronisesi liieesi a liieessä oleaa appaletta niitetään haronisesi ärähteliäsi. Monissa fysiaalisesti erittäissä ärähteleissä systeeeissä palauttaa oia on liiain errannollinen poieaaan, un poieaa on pieni. Sisi oniutaisiain systeeeitä, uten ärähteleiä oleyyleä tai aihtoirtapiireä oidaan approsioida haronisen ärähteliän allin aulla. Esierinä haronisesta ärähteliästä tutit ierreousessa ärähteleää punnusta. ällaista systeeiä oidaan tarastella aientuattoana haronisena ärähteliänä, os siihen aiuttaia itaoiia ei oteta huoioon. aroitusenasi on äärittää ousen ousiaio ahdella eri enetelällä. Ensinnäin tutit ousen enyää sen päähän ripustetun punnusen assan funtiona a toisesi saatat ousen punnusineen haroniseen ärähdysliieeseen a ittaat tään liieen asonaiaa punnusen assan funtiona. Jasonaiaittausista saat selille yös ousen assan. yön taoitteena on opetella ittaustulosten äsittelyä tauluouodossa a esittäistä graafisesti. Venyäittausista äärität ousiaion graafista soitusta äyttäen. Jasonaiaittausia analysoidessasi tutustut pieniän neliösuan enetelään. Menetelän aulla soitetaan iliöitä uaaia allea ittaustulosiin erityisesti silloin, un itattaat suureet riippuat lineaarisesti ittausissa uunneltaissa oleista suureista. Piirrät heilahdusaiaittausen haaintopisteet a soitat niihin pieniän neliösuan suoran äyttäen apuna Ecel-tauluolasentaohelaa. Suoran ulaertoien a aioterin perusteella saat selille tutiasi ousen ousiaion a assan. Lisäsi tutustut siihen, iten saat Ecelin aulla selille ulaertoien a aioterin irheraat. Mittaustulosia analysoitaessa yös tulosten taruuden ariointi on täreää. Jasonaiaittausten luotettauutta arioidessasi tutustut logaritiseen oonaisdifferentiaalienetelään, ona aulla oidaan äärittää suureen suhteellisen irheen yläraa. ätä enetelää soeltaen saat pieniän neliösuan suoran ulaertoien a aioterin irheraoen aulla selille ousiaion a ousen assan irheet.
HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ eoria. Venyäittauset Periaateua työssä äytettäästä, seinällä riippuasta Hooen laia noudattaasta ierreousesta, ona pituus on l a ousiaio on, on esitetty uassa. (a). Kuassa (b) ouseen on ripustettu -assainen punnus. Punnus enyttää ousta oialla, ona suuruus on F a oa on suoraan errannollinen ousen enyään l. Jousi-punnus-systeein ollessa leossa tasapainoaseassaan ousi ohdistaa punnuseen oian, oa on yhtä suuri, utta astaaissuuntainen uin punnusen paino g, ts. F l g. (.) Yhtälössä (.) g on aan etooian iihtyyys, olle Oulun oreudella oidaan äyttää liiaroa 9,8 /s. Huoataan, että ousen enyän l a punnusen assan älinen riippuuus on uotoa g l, ossa a oat alitun ousen ohdan paiat ilan punnusta a sen anssa. Nyt ohdan a punnusen assan älillä on yhteys g a b, (.) oa on suoran yhtälö, ossa ulaerroin b antaa suureen g aron a aioteri a antaa alitun ohdan paian ilan punnusta. Kua.. Pystysuora ousi (a) apaasti roiuassa, (b) leossa, un ouseen on ripustettu punnus a (c) edestaaisessa ärähdysliieessä.
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt. Heilahdusaiaittauset arastellaan uan. (c) tilannetta. Kiinnitetään pystysuora aseli siten, positiiinen suunta on ylöspäin. Pannaan ousi punnusineen ärähteleään tasapainoasean ypärillä. Kuassa (c) punnusen yläreuna on ohdassa, olloin sen etäisyys tasapainoaseasta on. Jousen enyäsi saadaan tässä tilanteessa l l. Jousen punnuseen ohdistaa oia on nyt F l ( l ), olloin punnuseen aiuttaasi oonaisoiasi tällä aanhetellä saadaan yhtälöä (.) apuna äyttäen F ( l ) g l g g g, ona suunta on alaspäin. Jos punnusen yläreuna olisi ohdassa tasapainoasean alapuolella, siten että etäisyys tasapainoaseasta olisi ( ), ousen enyäsi saataisiin l l. Koonaisoia olisi tälläin aanhetellä, utta suunta olisi nyt ylöspäin. Punnuseen aiuttaan oian suuruus on siten oleissa tapausissa suoraan errannollinen poieaaan tasapainoaseasta a oian suunta on sellainen, että se pyrii palauttaaan punnusen tasapainoaseaan. Soeltaalla dynaiian peruslaia saae nyt d d F a. (.) dt dt Koeillaan yhtälön (.) rataisusi yritettä ( t) Acos t, (.4) issä A on liieen aplitudi eli punnusen suurin poieaa tasapainoaseasta, f on ulataauus, f on taauus, on asonaia a on aiheula. Derioialla yhtälöä (.4) aan suhteen punnusen nopeudesi a iihtyyydesi a saadaan a d dt d dt d d dt dt d d dt dt Acost Asin t Asin t Acost Sioittaalla iihtyyydelle a ohdettu lausee yhtälöön (.) saadaan,
4 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ osta nähdään, että yhtälö (.4) toteuttaa yhtälön (.), un ulataauuden, ousiaion a punnusen assan älillä on yhteys. (.5) ällöin yhteen edestaaiseen heilahduseen ulua aia eli asonaia on. (.6) Kua. esittää punnusen assan, ousiaion a liieen aplitudin A aiutusta yhtälön (.4) uaisesti ärähteleän systeein asonaiaan. utittaessa saaa ousta oidaan uan. (a) aulla päätellä, että ousen heilahdusaia asaa punnusen assan asaessa a uasta (c) nähdään, että aplitudilla ei ole aiutusta heilahdusaiaan. ässä työssä äytäe sellaisia ousia a punnusia, että ee oi olettaa ousen assaa eritysettöän pienesi punnusen assaan errattuna. Voidaan osoittaa (atso työoheen lopussa oleaa esieriä), että tällöin yhtälössä (.6) on punnusen assan siaan äytettäää assaa, issä on ousen assa. Näin ollen asonaasi saadaan Kua. (a) Punnusen assan, (b) ousiaion a (c) aplitudin aiutus haronisen ärähteliän asonaiaan.. (.7) Yhtälöstä (.7) saadaan punnusineen ärähteleän ousen heilahdusaan neliön punnusen assan a ousen assan älisesi yhteydesi 4 oordinaatistossa uaaan suoran aio- ossa a a b oat ittaustulosia teri a ulaerroin., 4 eli a, b, (.8)
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 5 Mittauset Punnitse äytettäissäsi oleat punnuset digitaaliaa alla. Valitse sitten, inä ousen osan paiaa luet ittausissa asteiolta a iraa tarastusen uosi ylös alitun osan paia ( ) ilan punnusta. Ripusta ensiäinen punnus ouseen, iraa ylös punnusen assa a sitä astaaa ousen uusi paia ( ) asteiolla. Pane sitten ousi punnusineen heilahteleaan a ittaa perääisen heilahdusen aia ole ertaa. Ripusta tään äleen ennaotehtään suunnitelan uaan seuraaa punnus tai punnusyhdistelä ouseen a toista edellä uatut enyä- a heilahdusaiaittauset. oista tätä, unnes olet tehnyt uatin ittauset äyttäen yentä erilaista punnusyhdistelää, oiden assat oat liipitäen älillä,-, g. 4 Mittaustulosten äsittely a tulosten luotettauuden ariointi 4. Jousiaion äärittäinen enyäittausista Piirrä Liitteen a ohaaan antaien oheiden uaisesti, oordinaatistoon illietripaperille uaaa, oa esittää alitseasi ousen osan paiaa punnusen assan funtiona. Soita graafisesti haaintopisteisiin Liitteestä löytyän alliuaaan uaisesti suora a ääritä sen ulaerroin. Lase ulaertoien a aan etooian iihtyyyden liiaron 9,8 /s aulla ousen ousiaio. Määritä yös suoran a aselin leiausohta, oa astaa paiaa ilan punnusta. Vertaa saaaasi tulosta ittauspöytäirasta löytyään haaitseaasi aroon. 4. Jousiaion a ousen assan äärittäinen heilahdusaiaittausista yöuorolla: Yhtälöstä (.8) huoataan, että un ärähteleän ousen asonaia on itattu punnusen assan funtiona, annattaa ittaustuloset esittää (, ) oordinaatistossa. Lase haaitseistasi heilahdusaoista utain punnusen assaa astaaat yhden heilahdusen aan neliöt Eceliä äyttäen a piirrä näin saadut pisteparit (, ) oordinaatistoon. Soita pistepareihin yhtälön (.8) uainen suora pieniän neliösuan enetelällä, olloin saat selille suoran aioterin a a ulaertoien b arot irheraoineen. Piirrä suora näyiin uaaaan a ata sitä ittausalueen ulopuolelle niin, että pystyt lueaan uaaasta yös suoran a aselin leiauspisteen.
6 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ Selostuseen: Lase ousen ousiaio a assa ennaotehtäässä ohtaistasi lauseeista (.9) suoran aioiden a a b aulla. Määritä ousiaion a assan suhteellisten irheiden yläraat yhtälöä (.) a irheraoa a a b äyttäen. Lase niiden aulla yös ousiaion a assan absoluuttisten irheiden yläraat assa suoran a a. Määritä ousen aselin leiauspisteen aulla. (Vihe: Johda ousen assan riippuuus arosta äyttäen tietoa 4 4 4 4.) 5 Lopputuloset a pohdintaa Iloita lopputulosina seä enyä- että heilahdusaiaittausten perusteella laseasi ousiaion arot. Anna yös enyäittausten uaaan aulla saatu aro alitun ousen osan paialle ilan punnusta. Iloita heilahdusaiaittausten aulla lasealla a uaaasta ääritetyt ousen assan arot. Kiinnitä huoiota siihen, että annat heilahdusaiaittausista saadut ousiaion a ousen assan arot irheraoineen oiealla taruudella 5 ysiön sääntöä soeltaen uodoissa, ( ), a ). Vertaa eri taalla saaiasi ousiaion aroa. Miä ( oisi selittää niiden ahdollisen poieaisen toisistaan?
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 7 Esieri: Jousen assan aiutus ousi-punnus-systeein heilahdusaiaan arastellaan oheisen uan uaista, toisesta päästään iinnitettyä hoogeenista assaista, l pituista ousta, ona apaa pää ärähtelee pystysuorassa suunnassa nopeudella. Valitaan uan uaisesti etäisyydellä l ousen iin- nitetystä päästä siaitsea pituusalio dl. Kosa hoogeenisen ousen assa on tasaisesti aautunut, alitun pituusalion assa on d dl l ). Aatellaan, että ousen ärähdel- ( lessä ousen osasten nopeudet riippuat lineaarisesti siitä. uina auana ne siaitseat ousen iinnitetystä päästä, olloin alitseae pituusalion nopeus on l / l ). Pituusalion liie-energia on siten dl ( l dl l dk dl l d dl l dl, l l l osta saadaan oo ousen liie-energiasi K l l dl l l. l 6 Jousi-punnus-systeein ärähdellessä sen oonaisenergia E on ousen potentiaalienergian U a punnusen seä ousen liie-energioitten K a K sua eli E 6 U K K. Vaia seä potentiaalienergia että oleat liie-energiat oat aan funtioita, niiden sua on oo aan aio, ts. de dt d d dt dt d d ( dt dt ) 6 d dt. Sioittaalla tähän paian, nopeuden a iihtyyyden a äliset yhteydet a d d dt dt saadaan tulos
8 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ ) (. yöoheen yhtälöihin (.5) a (.6) ertaaalla huoataan, että asonaia on nyt.