VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT

Transkriptio

1 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32

2 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein! Voidaan havaita ainoastaan sekundaarisia ilmiöitä. Esim. magneettinen hiomapöly asettuu kuvioksi hitsauskoneen johtimen läheisyyteen. 2/32

3 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Skalaarikenttä Tarkastellaan huoneistossa tapahtuvaa vetoa. Lämpötilajakauma Lämpötila on skalaarisuure Skalaarikenttä Lämpötilajakauman funktiot jatkuvia ja differentioitavia. Derivaatalla ei epäjatkuvuuskohtia. o 20.5 C o 20 C o 19.5 C Lämpötilan isotermipinta o 19 C Lämpötilan jakauma huoneessa 3/32

4 Vektorikenttä Huoneistossa tapahtuvan vedon muodostama virtauskenttä on vektorikenttä. Vektorikentän funktiot ovat luonnossa jatkuvia ja differentioitavia. Vedon aiheuttama virtauskentän vuoviivoja 4/32

5 Maxwell otti käyttöön teoriarakennelman. Vektori- ja skalaarikentät kenttäkuvaajien avulla. Teoriarakennelma sisälsi lähteen, nielun, virtausvuon, painegradientin, virtausfunktion, jne. Vedon aiheuttama virtauskentän vuoviivoja 5/32

6 2.1 GRADIENTTI Kertoo suurimman muuttumisnopeuden suunnan ja suuruuden. Lämpötilan muutos on nopeinta siirryttäessä isotermipinnan normaalin suunnassa. Gradientti normaalin suuntainen Lämpötilamuutoksen virtausviivat voidaan piirtää gradientin suuntaan. ϕ Vektorikenttä on skalaarikentän gradientti ϕ ϕ gradϕ = A tai ϕ = A 20.5 o C 20.0 o C 19.5 o C 19.0 o C 6/32

7 2.1 GRADIENTTI grad ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ A tai = A = i + j + k, x y z ϕ ϕ ϕ ϕ = i + j + k x y z ϕ on skalaarikentän pistefunktio, joka kuvaa kentän ominaisuutta piste pisteeltä o C 20.0 o C 19.5 o C 19.0 o C A on skalaarikentästä johdetun vektorikentän arvo samassa pisteessä. Sisältää jokaisessa pisteessä muuttumisnopeuden itseisarvon ja suunnan. 7/32

8 2.1 GRADIENTTI gradφ = E tai φ = E gradψ = H tai ψ = H ϕ ϕ Sähkötekniikassa φ on tuttu sähköinen skalaaripotentiaali, jota mitataan volteilla Magnetismissa ψ on magneettinen skalaaripotentiaali, jota mitataan ampeereilla ϕ 20.5 o C 20.0 o C 19.5 o C 19.0 o C Viereinen kuva voisi siis esittää lämmönvirtauksen asemesta sähkövuota tai magneettivuota 8/32

9 2.2 VEKTORIKENTÄN DIVERGENSSI Vektorikentän virtausviivat voivat lähteä jostakin lähteestä ja kadota nieluun. Virtausviivat lähtevät avaimenreiästä ja kynnyksen raosta ja päätyvät esimerkiksi tuuletushormiin. 9/32

10 2.2 VEKTORIKENTÄN DIVERGENSSI (ja konvergenssi) Kun lähde ympäröidään suljetulla pinnalla ja lasketaan pinnasta tulevien ja siihen menevien vuoviivojen lukumäärä, saadaan vektorikentän lähteen voimakkuus. ssa sähkökenttä on tällainen varauksesta divergoituva kenttä. +Q -Q 10/32

11 Mitattaessa lähteestä alkunsa saavien vuoviivojen lukumäärää tilavuusyksikköä kohti saadaan vektorikentän divergenssi divd = ρ tai D = ρ D [As/m 2 ] sähkövuontiheys ja ρ [As/m 3 ] varaustiheys. D mittaa sitä, kuinka nopeasti sähkövuontiheys D ilmestyy tilavuusyksikköä kohti tietyssä pisteessä, eli kuinka konsentroitunut vektorikentän synnyttävä lähde on juuri tässä pisteessä. 11/32

12 divd = ρ tai D = ρ Kappaleesta lähtevien ja siihen tulevien vuoviivojen erotus kuvaa divergenssiä. Esimerkki Jos suljetun pinnan sisällä on tilavuus 1m 3 ja siinä on tasainen varaustiheys ρ = 1 C/m 3, on pinnan lävistävä sähkövuo ψ e = 1 C ja sähkövuontiheys halutulla pinnalla voidaan laskea divergenssin avulla. Yhden tilavuusyksikön sisäänsä sulkevasta pinnasta lähtevä vuo. 12/32

13 2.3 VEKTORIKENTÄN ROOTTORI Tuuletin pyörittää ilmaa huoneessa synnyttäen täysin suljettuja virtausviivoja. Vektorikenttä, jossa ei ole lähteitä ja nieluja. Divergenssi on nolla. Pyörteet pyörivät tasoissa. 13/32

14 2.3 VEKTORIKENTÄN ROOTTORI Voidaan piirtää kuvitteellinen nuoli jokaisen tason läpi sen mukaan, miten voimakas pyörre pinta-alayksikköä kohti on juuri siinä pisteessä. Oikeakätisen ruuvin etenemissuunta. Vektorikenttä tai H J pinta-alayksikkö pinta-alayksikkö Roottorimittari animaatio rot A rot H Tuuletin esimerkkinä havainnollinen, mutta ontuu sähkömagnetismin suhteen. Ilmapyörrettä ei synnytä pyörretasoa vastaan kohtisuora vektori. Puhallin korvattava pystysuoralla vektorikentällä. 14/32

15 Vektori mittaa kentän A pyörteisyyttä pinta-alayksikköä kohti curla = tai rota = tai A = Vektorikentät A ja ovat kaikkialla kohtisuorassa toisiaan vastaan. A = 0 Puhdas pyörrekenttä alkaa ja loppuu itseensä. Ei lähteitä eikä nieluja Divergenssi on nolla A 15/32

16 tuttu esimerkki on, kun virrantiheysvektori J mittaa kentän H pyörteisyyttä pinta-alayksikköä kohti curlh = J tai roth = J tai H = J Vektorikentät J ja H ovat kaikkialla kohtisuorassa toisiaan vastaan. H = 0 Puhdas magneettikentänvoimakkuuden pyörrekenttä alkaa ja loppuu itseensä. Ei lähteitä eikä nieluja Divergenssi on nolla J 16/32

17 curla = tai rota = tai A = A Skalaari- ja vektorioperaattoreilla on voimassa vaihdantalaki, joten sama saadaan seuraavasti A = 0 ( ) ( ) A = A = 0 A = 0 Vastaavasti divergenssikentillä ja skalaarikenttien gradienteilla ei koskaan ole sulkeutuvia vuoviivoja ja ϕ 0 D 0 17/32

18 2.4 VEKTORIDIFFERENTIOINTIOPERAATTORI Differentiointioperaattori operoi aina jäljessä olevaa vektoria. Karteesisessa koordinaatistossa = i + j + x y k z 18/32

19 2.4 VEKTORIDIFFERENTIOINTIOPERAATTORI Esim. skalaarikentän gradientti ϕ muodostuu vektoriksi ϕ = ϕ ϕ i + j + x y k ϕ z Divergenssiä laskettaessa saadaan skalaari = + + ( + + ) A A x y Az A i j k iax jay kaz = + + x y z x y z 19/32

20 20/32 VEKTORIKENTÄT, ROTAATIO JA DIVERGENSSI Hyödyllisiä operaatioita sähkömagnetismissa ( ) = A A A 2 ( ) ( ) ( ) = E H H E E H Roottoria laskettaessa saadaan vektori ( ) + + = = = y x x z z y z y x z y x x y z x y z z y x z y x k j i k j i k j i k j i 2.4 VEKTORIDIFFERENTIOINTIOPERAATTORI

21 2.5 MAXWELLIN YHTÄLÖT Muuttujat Sähkökentänvoimakkuus E synnyttää sähkövuontiheyden D D E [ = ε Cm 2 ] Sähkövuontiheys, "sähköinen siirtymä" Sähkökentänvoimakkuuden ja sähkövuontiheyden välillä vaikuttaa eräänlainen jännitys, jota kuvataan permittiviteetillä ε. Magneettikentänvoimakkuus H synnyttää "venymän", magneettivuontiheyden = µh ε ja µ näyttävät eräänlaisilta "jännitys- ja venymäkertoimilta" Tyhjössä 1 C ε = 8, pf/m, 9 36π 10 Vm 0 µ 0 = 4π 10 7 H m Vs Am 21/32

22 Avoimen pinnanosan lävistävä vuo, tässä tapauksessa magneettivuo Φ Φ = Jos pinta S sulkee sisäänsä tilavuuden ds S, avoin Φ = ds = 0 S, sulj. ds ds ds Magneettinen vektoripotentiaali A määritellään rotaatioyhtälöllä A = Vektoripotentiaalin A pyörteestä seuraa magneettivuontiheys. Käytetään monesti laskuissa apuna. Vektoripotentiaalin määritteleminen tarkasti vaatii lisäksi esim. ns. Coulombin ehdon. A = 0 A 22/32

23 Gaussin lait Sähkövaraus synnyttää sähkökentän, jonka vuontiheys on D Sähkövuolla on lähde. C D = ρ 3 m ρ Toistaiseksi ei ole löydetty magneettivarausta, joten Magneettivuo on lähteetön. = 0 N Magneettivuoviivat ovat aina sulkeutuvia. S Ainoa mahdollinen 'magneettivirta' on 'magneettinen siirrosvirta' / t 23/32

24 Ampèren laki VEKTORIKENTÄT, ROTAATIO JA DIVERGENSSI Lähdetään liikkeelle iot-savart-laista: Tyhjössä sijaitsevassa tarkastelupisteessä, jonka paikka on dl, syntyy differentiaalinen magneettivuontiheys d, kun johdinalkiossa dl kulkee virta I d = µ 4π 0 Id l 2 R r R r dl' d R on johdinalkion ja tarkastelupisteen välinen etäisyys. r on vastaava yksikkövektori, joka osoittaa Idl:stä tarkastelupisteeseen dl. dl I 24/32

25 Kun Idl on äärettömän pieni osa virtasilmukkaa, saadaan dl :uun vaikuttava kokonaismagneettivuontiheys summaamalla kaikkien Idl:ien aiheuttamat pienet d:t. Tämä summaus voidaan suorittaa integraalilla: dl' r Idl = l µ 0 Idl 4π R 2 r r Idl l virtasilmukka 25/32

26 Silmukkaa kutsutaan Ampèren tarkastelusilmukaksi. Laskemalla pistetulo dl' ratkaistuksi virran I suuruudesta riippuva magneettikentänvoimakkuus. saadaan Ampèren silmukan kokonaisrotaatio saadaan summaamalla kaikki pistetulot eli laskemalla viivaintegraali l :a pitkin. dl' d dl' d r r Idl eräs virtasilmukan synnyttämä vuoviiva Idl virtasilmukka d l' = µ I 0 l' l' Soveltamalla Stokesin lausetta saadaan H dl' = I suljettu silmukka (Ampèren silmukka) l ' d l' = ds' = µ 0I S eräs virtasilmukan synnyttämä vuoviiva 26/32

27 Derivoimalla lausekkeen l ' d l' = ds' = µ S 0 I oikea puoli pinta-alan S :n suhteen saadaan lauseke muotoon = µ 0dI ds' = µ J 0 jakamalla permeabiliteetilla (=µ 0 µ r H) saadaan tuttu Ampèren lauseke sekä differentiaali että integraalimuodossa [ ] H = J Am 2 H dl' = l I 27/32

28 Ampèren differentiaalimuotoinen laki, josta tosin puuttuu vielä dynaamisten kenttien siirrosvirtatermi, [ ] H = J Am 2 tarkoittaa, että virrantiheys J synnyttää itseään ympäröivän magneettikentänvoimakkuuden Magneettikentänvoimakkuuden rotaatio Magneettikentänvoimakkuuden roottori minkä tahansa pinnan ympäri on yhtä suuri kuin pinnan lävistävä virrantiheys. H Virrantiheys J 28/32

29 Ampèren lain siirrosvirta Sähkövirran jatkuvuuslaki J ρ C = 3 t m s ( J ) Virta pulppuaa varaustiheyslähteestä ρ. Varaustiheyden määrä pienenee nopeudella d ρ /dt. otetaan Ampèren laista divergenssi ρ H = J = t RISTIRIITA!!! 29/32

30 ampere.avi H = J + D t [ ] Am 2 Maxwell lisäsi magneettikentänvoimakkuuden rotaatioyhtälöön erillisen vuon muutostermin, jota kutsutaan sähköiseksi siirrosvirraksi. D / t Siirrosvirtatermin lisääminen Ampèren lakiin teki rakennelman täydelliseksi. 30/32

31 Faradayn laki VEKTORIKENTÄT, ROTAATIO JA DIVERGENSSI Faraday löysi päinvastaisen ilmiön. Jos pintaa lävistävän magneettivuon tiheys muuttuu, syntyy sähkökentänvoimakkuus E = t [ Vm 2 ] faraday.avi 31/32

32 Energian säilyvyyden perusteella sähkökentänvoimakkuuden rotaation suunta on päinvastainen kuin magneettikentänvoimakkuuden rotaatiolla. Magneettikentänvoimakkuuden rotaatio H Sähkökentänvoimakkuuden rotaatio E t > 0 Virrantiheys J Magneettivuontiheys ja sen muutos Mikäli sähkökentän pyörre kerättäisiin johtimella talteen ja johdin oikosuljettaisiin, saataisiin virta, joka pyrkisi Ampéren lain mukaisesti vastustamaan magneettivuontiheyden muutosta. Päinvastaisessa tapauksessa syntyvä virta vahvistaisi magneettivuontiheyden muutosta, ja magneettivuontiheys lähenisi ääretöntä. Ei ole mahdollista energian säilymisperiaatteen kannalta. Faradayn lain havainnollistaminen 32/32

33 Yhtälöiden vastavuoroisuus / t Kun magneettivuontiheyden muutos aiheuttaa sähkökentänvoimakkuuden E rotaation, niin sähkökentänvoimakkuuden muutos E / t vastaavasti magneettikentänvoimakkuuden H rotaation. aiheuttaa Induktiolaissa esiintyy magneettinen siirrosvirta / t Ampèren laissa esiintyy sähköinen siirrosvirta E = [ Vm 2 ] t + J + [ Am 2 ] H = [ Am 2 ] D / t D t 33/32