Magneettinen induktio

Transkriptio

1 Luku 10 Magneettinen induktio 10.1 Faradayn laki Ajasta riippuvassa tilanteessa sähkö- ja magneettikenttä eivät ole toisistaan riippumattomia. Jos muuttuvaan magneettikenttään asetetaan johdinsilmukka, havaitaan, että silmukassa kulkee sähkövirta. Edellytyksenä sähkövirran kulkemiselle on sähkökenttä, joten ilmeisesti kaikkialla silmukassa vaikuttaa sähkökenttä, jolla on virran suuntainen komponentti. Kokeet osoittavat, että sähkökentän integraali silmukan ympäri noudattaa yhtälöä C E ds = d S B ds = dφ B, (10.1) missä S on pinta, jonka reunakäyrä C on. Tässä yhtälössä pinta-alavektorin suunta ja integrointisuunta pitkin käyrää C on valittu siten, että pintavektorin suuntaan katsottaessa integrointisuunta on oikeakätinen (jos valittaisiin toisin, yhtälössä ei olisi miinusmerkkiä). Siis sähkökentän integraali pitkin suljettua tietä on yhtä suuri kuin tien lävitse kulkevan magneettivuon Φ B muutosnopeus. Soveltamalla Stokesin lausetta yhtälön vasempaan puoleen tämä voidaan kirjoittaa muotoon S E ds = S B t ds. (10.2) Tämän on oltava voimassa kaikilla mahdollisilla suljetuilla käyrillä C ja niiden rajaamilla pinnoilla S. Näinollen välttämättä E = B t. (10.3) Tämä yhtälö tunnetaan nimellä Faradayn induktiolaki. Yhtälöä (10.1) sanotaan Faradayn lain integraalimuodoksi ja yhtälöä (10.3) Faradayn lain differentiaalimuodoksi. c Tuomo Nygrén,

2 120 LUKU 10. MAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettikentän muutoksiin liittyvää sähkökenttää sanotaan induktiosähkökentäksi. Induktiosähkökenttä poikkeaa Coulombin kentästä siinä suhteessa, että sen roottori ei ole nolla. Gaussin laki on yleisesti voimassa. Jos varaustiheys on nolla, on kokonaissähkökenttä pelkästään induktiosähkökenttää, joten Gaussin lain perusteella induktiosähkökentälle on voimassa E = 0. Tämä tarkoitaa sitä, että induktiosähkökentän kenttäviivat ovat suljettuja silmukoita samalla tavoin kuin magneettikentän voimaviivat, ts. induktiosähkökenttä on lähteetön Skalaari- ja vektoripotentiaali Kappaleessa 7.5 pääteltiin, että magneettivuon tiheys voidaan esittää vektoripotentiaalin A avulla muodossa B = A. Päättely on voimasssa myös ajasta riippuvassa tilanteessa. Tällöin Faradayn lain avulla saadaan mistä edelleen E = A A = t t, (10.4) ( E + A ) = 0. (10.5) t Faradayn laista nähdään suoraan, että sähkökenttä ei ole konservatiivinen. Sen sijaan yhtälön (10.5) perustella kenttä E+ A/ t on konservatiivinen, joten se voidaan esittää skalaarikentän gradienttina muodossa E + A t = φ. (10.6) Tässä määritellystä kentästä φ käytetään nimitystä skalaaripotentiaali. Yhtälöstä (10.6) ratkaistuna E = φ A t, (10.7) jonka mukaan sähkökenttä riippuu sekä skalaari- että vektoripotentiaalista. Kun tämä sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan 2 φ + ( A) t Käyttämällä Coulombin mittaa A = 0 päädytään tulokseen = ρ ε 0. (10.8) 2 φ = ρ ε 0. (10.9) Näinollen myös ajasta riippuvassa tapauksessa skalaaripotentiaali voidaan ratkaista Poissonin yhtälöstä. Erona sähköstatiikkaan on vain se, että sekä varaustiheys että skalaaripotentiaali voivat olla ajan funktioita. Yhtälö (10.7) voidaan nyt tulkita siten, että sähkökentän osa φ aiheutuu avaruudessa sijaitsevista sähkövarauksista ja osa A t muuttuvista magneettikentistä. Koska φ = 0, ei skalaaripotentiaalista aiheutuva sähkökenttä näy millään

3 10.3. INDUSOITUNUT JÄNNITE JA LENZIN LAKI 121 tavalla Faradayn laissa. Tästä seuraa, että pelkän Faradayn lain avulla voidaan laskea ainoastaan muuttuvasta magneettikentästä aiheutuva induktiosähkökenttä. Vastaavasti, Gaussin lain tai Poissonin yhtälön avulla voidaan laskea vain konservatiivinen sähkökenttä Indusoitunut jännite ja Lenzin laki Faradayn laki (10.1) voidaan kirjoittaa muotoon missä U = dφ B, (10.10) U = E ds (10.11) C on indusoitunut jänite. Induktiosähkökenttä ja -jännite voidaan havaita asettamalla integrointitietä pitkin kulkemaan johdinsilmukka. Silmukassa alkaa induktiosähkökentän vaikutuksesta kulkea sähkövirta, jota rajoittaa silmukan resistanssi (ja induktanssi, josta puhutaan myöhemmin). Jos kuvan 10.1 a tapauksessa pienennetään ulkoisten virtojen aiheuttamaa kenttää B, pienenee silmukan lävitse kulkeva magneettivuo, jolloin induktiojännite on positiivinen ja virta alkaa kulkea kuvassa 10.1 b esitettyyn suuntaan. Tämä virta aiheuttaa oman indusoituneen magneettikenttänsä ja sen suunta silmukan sisällä on sama kuin ulkoisen magneettikentän suunta. Jos taas ulkoista magneettikenttää voimistetaan, silmukan läpi kulkeva magneettivuo kasvaa ja indusoitunut virta vaihtaa suuntaansa. Tämä aiheuttaa silmukan sisällä magneettikentän, jonka suunta silmukan sisällä on ulkoisen magneettikentän suunnalle vastakkainen. a) b) B!S I ulkoinen kenttä indusoitunut kenttä Kuva 10.1: Sähkömagneettinen induktio.

4 122 LUKU 10. MAGNEETTINEN INDUKTIO Näinollen silmukkaan indusoituneen virran suunta on aina sellainen, että virran aiheuttama magneettikenttä pyrkii vastustamaan silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutosta. Tämä tulos tunnetaan nimellä Lenzin laki. Lenzin laki on suora seuraus Faradayn laista ja erityisesti Faradayn laissa esiintyvästä miinusmerkistä Induktanssi Missä tahansa suljetussa virtapiirissä kulkeva sähkövirta aiheuttaa magneettivuon tiheyden, jonka seurauksena on, että virtapiirin lävitse kulkee jokin magneettivuo vaikka avaruudessa ei muita virtoja kulkisikaan. Jos virtapiiriin sisältyy laite, jonka avulla virtaa voidaan muuttaa, voi sen avulla muuttaa myös piirin läpi kulkeva magneettivuota. Faradayn ja Lenzin lait ovat voimassa riippumatta siitä, mistä syystä magneettivuo muuttuu ja siksi induktio toimii myös tapauksessa, jossa magneettivuon muutokset ovat seurausta siitä, että piirissä kulkevaa virtaa muutetaan. Piirissä kulkeva virta on vapaata virtaa, ja sen aiheuttama magneettikenttä H määräytyy Ampèren laista (8.18) tai tätä vastaavasta Biot-Savartin laista. Näiden lakien lineaarisuudesta seuraa, että magneettikentän ja piirin virran välillä on lineaarinen riippuvuus. Jos virtapiiriä ympäröi lineaarinen väliaine (para- tai diamagneettinen aine), on myös magneettivuon tiheyden B ja magneettikentän H välillä lineaarinen riippuvuus. Tästä seuraa, että piirissä kulkevan virran ja piirin läpi kulkevan magneettivuon välillä on lineaarinen riippuvuus Φ B = LI, (10.12) missä verrannollisuuskerroin L = Φ B I on piirin itseinduktanssi. Induktanssin yksikkö on (10.13) [L] = [φ B] [I] = Vs A = H, (10.14) missä käyttöön otettu uusi yksikkö H on henry. Jos piirin ympäristössä on ferromagneettisia aineita, riippuvuus B:n ja H:n välillä ei ole lineaarinen, jolloin myöskään riippuvuus magneettivuon ja virran välillä ei ole lineaaarinen. Tällöin piirin itseinduktanssi määritellään derivaattana L = dφ B di. (10.15) Käyttämällä Faradayn lain mukaista tulosta U = dφ B / saadaan yhtälön (10.12) perusteella indusoituneeksi jännitteeksi U = L di. (10.16)

5 10.4. INDUKTANSSI 123 toisio I 2 I 1 s ensiö Kuva 10.2: Keskinäisinduktanssi. Pitkän suoran ilmatäytteisen solenoidin tapauksessa B = µ 0 NI, joten yhden johdinkierroksen lävitse kulkeva magneettivuo on Bπr 2 = µ 0 Nπr 2 I. Kun solenoidin pituus on s, on solenoidissa N s kierrosta ja sama vuo kulkee jokaisen kierroksen läpi (tässä on jätetty huomiotta magneettivuon heikkeneminen pitkän solenoidin päissä). Kokonaisvuo on siis Φ B = µ 0 N 2 sπr 2 I, joten solenoidin itseinduktanssi on L = µ 0 N 2 πr 2 s. (10.17) Jos kela on täytetty magnetoituvalla väliaineella, on magneettivuon tiheys ja sen mukana myös magneettivuo tyhjiötilanteeseen verrattuna µ-kertainen, jolloin myös itseinduktanssi on µ-kertainen, eli L = µµ 0 N 2 πr 2 s. (10.18) Tätä yhtälöä voidaan käyttää likimääräisesti myös ferromagneettisen väliaineen tapauksessa, vaikka teorian mukaan tulisikin käyttää määritelmää (10.15). Toroidin muotoisen käämin itseinduktanssi voidaan laskea vastaavalla tavalla. Jos sydämen poikkipinta on S, on käämin (siis kaikkien kierrosten) läpi kulkeva kokonaismagneettivuo Φ B = BSN t = µµ 0Nt 2 S I, (10.19) 2πr mistä L = µµ 0Nt 2 S. (10.20) 2πr Kuvassa 10.2 on saman sydämen ympärille kiedottu kaksi käämiä (ensiö- ja toisiokäämit). Niissä kulkevat virrat ovat I 1 ja I 2 ja kierrosten lukumäärät pituusyksikköä kohti ovat N 1 ja N 2. Ensiöpiirin virrasta aiheutuva magneettivuo sydämessä on Φ B1 ja toisiopiirin virrasta aiheutuva magneettivuo Φ B2. Nämä voivat vahvistaa tai heikentää toisiaan. Tämä voidaan käsitellä matemaattisesti määrittelemällä ensiö- ja toisiokäämien virtojen suunnat esimerkiksi siten, että positiivinen virta aiheuttaa kuvassa oikealle ja negatiivinen virta vasemmalle suuntautuvan magneettivuon tiheyden. Sydämessä vaikuttava magneettivuo on Φ B = Φ B1 + Φ B2 = µµ 0 N 1 πr 2 I 1 + µµ 0 N 2 πr 2 I 2, (10.21)

6 124 LUKU 10. MAGNEETTINEN INDUKTIO joten ensiö- ja toisiopiirien lävitse kulkevat kokonaismagneettivuot ovat Φ B1t = µµ 0 N 2 1 πr 2 si 1 + µµ 0 N 1 N 2 πr 2 si 2 ja (10.22) Φ B2t = µµ 0 N 1 N 2 πr 2 si 1 + µµ 0 N 2 2 πr 2 si 2. (10.23) Kun käytetään itseinduktansseista merkintöjä L 1 = µµ 0 N 2 1 πr 2 s ja L 2 = µµ 0 N 2 2 πr 2 s sekä määritellään M = µµ 0 N 1 N 2 πr 2 s, (10.24) saadaan yhtälöt (10.22) ja (10.23) muotoon Φ B1t = L 1 I 1 + MI 2 ja (10.25) Φ B2t = MI 1 + LI 2. (10.26) Suureesta M käytetään nimitystä keskinäisinduktanssi. Itseinduktanssit L 1 ja L 2 kertovat, millaisen magneettivuon ensiö- ja toisiopiirien virrat aiheuttavat piirien itsensä lävitse. Keskinäisinduktanssi puolestaan kertoo, millaisen magneettivuon ensiöpiirin virta aiheuttaa toisiopiirin lävitse ja päinvastoin. Tulos osoittaa, että verrannollisuuskerroin on kummassakin tapauksessa sama. Virtojen muutosten aiheuttamat induktiojänitteet saadaan nyt derivoimalla. Tulos on U 1 = dφ B1t U 2 = dφ B2t di 1 = L 1 M di 2 = M di 1 L 2 ja (10.27) di 2. (10.28) Tästä nähdään, että kumpaankin piiriin indusoituneet jännitteet aiheutuvat piirissä itsessään kulkevan virran muutoksista sekä toisessa piirissä kulkevan virran muutoksista. Keskinäisiduktanssi välittää induktioefektin käämistä toiseen. Ne jännitteet, jotka indusoituvat ensiö- ja toisiopiireihin toisio- ja ensiöpiireissä kulkevien virtojen muutoksista ovat siis U 12 = M di 2 ja (10.29) U 21 = M di 1. (10.30) Jotta piireissä voisi yleensä kulkea virtoja, täytyy piirien olla jollakin tavalla suljettuja ja ainakin toisessa piirissä on oltava jännitelähde. Jos piireihin kytketään ulkoiset tasajännitteet, virrat asettuvat riittävän pitkän ajan kuluttua vakioarvoihin, jolloin induktioilmiötä ei tapahdu. Edellytyksenä induktiojännitteiden synnylle siis on, että ainakin toiseen piiriin on kytketty ulkoinen ajan mukana vaihteleva jännite. Kun vertaillaan M:n, L 1 :n ja L 2 :n lausekkeita, huomataan, että M = L 1 L 2. (10.31)

7 10.5. MUUNTAJA 125 Vaikka tulokset (10.27) (10.31) laskettiinkin päällekkäin kiedotuille pitkille suorille solenoideille, ne ovat voimassa kaikissa tapauksissa, joissa sama magneettivuo kulkee kummankin solenoidin läpi. Jos taas kaksi virtapiiriä sijaitsee avaruudessa siten, että vain osa toisen aiheuttamasta magneettivuosta kulkee toisen lävitse, ovat tulokset edelleen voimassa paitsi että keskinäisinduktanssin lauseke on M = k L 1 L 2. (10.32) Tässä k on kytkentäkerroin, joka voi saada arvot välillä 0 k Muuntaja Jännitemuuntaja sisältää ensiö- ja toisiokäämit kuten kuvan 10.2 esimerkissä, mutta käämit on saatettu kietoa kuvan 10.3 tapaisen ferromagneettisen sydämen päälle. Ferromagneettinen sydän kykenee pitämään kentän tehokkaasti sydämen alueella. Silloin kummankin käämin läpi kulkee sama magneettivuo Φ B. Jos sydämen poikkipinta S on vakio, on myös magneettikenttä sama koko sydämen pituudella. Silloin Ampèren lain avulla sh = sb µµ 0 = sφ B µµ 0 S = N t1i 1 + I 2. (10.33) Ferromagneettisen aineen tapauksessa µ on hyvin suuri, ja ideaalinen muuntaja saadaan, kun asetetaan µ. Silloin N t1 I 1 = I 2 I 1 I 2 = N t1. (10.34) Tämä tarkoittaa sitä, että piirissä, jossa kierrosluku on pienempi, kulkee suurempi virta. Miinusmerkki yhtälössä (10.34) seuraa ensiö- ja toisiopiirien virtojen positiivisten suuntien valinnasta: suunnat on valittu siten, että positiiviset virrat aiheuttavat sydämessä samansuuntaisen magneettikentän. Jos toisiopiirin virran positiivinen suunta valitaan vastakkaiseksi, miinusmerkki häviää yhtälöstä.! B N t1 µ Kuva 10.3: Muuntaja.

8 126 LUKU 10. MAGNEETTINEN INDUKTIO Koska sama magneettivuo kulkee käämien kaikkien kierrosten läpi, ovat ensiöja toisiopiireihin indusoituneet jännitteet joten U 1 = N t1 dφ B ja (10.35) U 2 = dφ B, (10.36) U 1 U 2 = N t1. (10.37) Tämä taas tarkoittaa sitä, että piirissä, jossa kierrosluku on pienempi, on myös pienempi indusoitunut jännite. Tähän perustuu laitteen kyky toimia jännitemuuntajana. Jos toisiopiirin kierrosluku on suurempi kuin ensiöpiirin kierrosluku, saadaan toisiopiiristä jännite, joka on suurempi kuin ensiöpiiriin syötetty jännite. Jos halutaan käyttää muuntajaa jännitetason laskuun, on toisiopiirin kierrosluku valittava pienemmäksi kuin ensiöpiirin kierrosluku. Kun muuntajan toisiopiiriin kytketään vastus, jonka resistanssi on R 2, on toisiopiirissä voimassa yhtälö U 2 = I 2 R 2. (10.38) Kun ensiöpiiriin syötetään jännite U in, on indusoitunut jännite U 1 = U in. Näinollen U in = N t1 U 2 = N t1 R 2 I 2 = N t1 R 2 N t1 I 1 = ( Nt1 ) 2 R 2 I 1. (10.39) Muuntaja käyttäytyy siis ensiöpiirin navoista katsottuna kuten vastus, jonka resistanssi on ( ) 2 Nt1 R in = R 2. (10.40) Tavallisesti muuntajaa käytetään sinimuotoisten vaihtojännitteiden jännitetasojen muuntamiseen. Edellä oletettu ideaalimuuntajan teoria ei kuitenkaan edellytä, että jännitteiden ja virtojen aikariippuvuus on sinimuotoinen. Tasajännitteellä muuntaja ei tietenkään toimi, koska se perustuu induktioilmiöön. Yhtälöistä (10.34) ja (10.37) seuraa, että I 1 U in I 2 U 2 = I 1U 1 I 2 U 2 = N t1 Nt1 = 1, (10.41) joten ideaalisen muuntajan sisään syötetty teho on yhtä suuri kuin sitä ulos saatu teho. Astetta reaalisempi muuntaja saadaan, kun sallitaan suhteellisen permeabiilisuuden olevan äärellinen. Tällöin jonkin verran magneettivuosta pääsee vuotamaan sydämen ulkopuolelle, jolloin ensiö- ja toisiokäämien välinen kytkentäkerroin on hiukan pienempi kuin yksi. Seurauksena on, että toisiopiiriin indusoituu jännite, joka

9 10.6. LIIKKUVAT PIIRIT JA SÄHKÖMAGNEETTINEN TYKKI 127 on pienempi kuin ideaalisessa muuntajassa. Reaalisessa muuntajassa häviöitä tapahtuu myös muuntajasydämessä. Näitä on kahta lajia: pyörrevirtahäviöt ja hysteresishäviöt. Pyörrevirrat aiheutuvat muuttuvaan magneettikenttään liittyvistä induktiosähkökentistä ja sydämen johtavuudesta. Hysteresishäviöt liittyvät siihen, että ytimen magneettista tilaa kuvaava piste kiertää ympäri hysteresiskäyrää; voidaan nimittäin osoitaa, että hysteresiskäyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin kierroksen aikana ydinmateriaalin tilavuusyksikköä kohti kulunut energia. Näistä häviöistä käytetään yhteisnimitystä rautahäviöt. Lisäksi tietenkin käämien resitanssit kuluttavat energiaa. Näitä häviöitä nimitetään kuparihäviöiksi Liikkuvat piirit ja sähkömagneettinen tykki Tähän mennessä induktiota on tarkasteltu laboratoriokoordinaatistossa paikallaan olevan jäykän johdinsilmukan kannalta. Tällöin silmukkaan indusoitui jännite, jos se oli ajan mukana vaihtelevassa magneettikentässä. On myös mahdollista, että silmukka on liikkeessä stationaarisessa magneettikentässä, jolla on paikkariippuvuus. Tällöin silmukan lepokoordinaatistossa havaitaan ajasta riippuva magneettivuon tiheys, silmukan läpi kulkeva magneettivuo muuttuu ajan funktiona ja silmukkaan indusoituu jännite. Tämä jännite on peräisin induktiosähkökentästä, joka määräytyy silmukan lepokoordinaatistossa kirjoitetusta Faradayn laista. On myös mahdollista, että silmukan koko tai muoto muuttuvat, mikä muuttaa silmukan läpi kulkevaa magneettivuota. Tässäkin tapauksessa silmukkaan indusoituu jännite. Tarkastellaan kuvan 10.4 a mukaista metallisauvaa, joka liikkuu vakionopeudella v kohtisuoraan kenttää B vastaan. Elektroneihin kohdistuvan Lorentz-voiman vaikutuksesta johde-elektroneja siirtyy sauvan toiseen päähän (a), jonne syntyy negatiivinen varaus, samalla kun toiseen päähän (b) jää positiivinen varaus. Tämän varausjakautuman synnyttämä sähkökenttä E kasvaa, kunnes sen aiheuttama voima a) b) F = -evxb v v a b a B L b B I Kuva 10.4: a) Liikkuva sauva magneettikentässä. b) Muuttuva silmukka magneettikentässä.

10 128 LUKU 10. MAGNEETTINEN INDUKTIO kumoaa magneettisen voiman. Siis laboratoriokoordinaatistossa e(e + v B) = 0 E = v B. (10.42) Kuvassa 10.4 b vedetään sauvaa pitkin johtavia toisesta päästään yhdistettyjä raiteita. Tässä tapauksessa elektronit kulkevat Lorentz-voiman vaikutuksesta b:stä a:han, mutta pääsevät palaamaan takaisin pisteeseen b paikallaan olevaa johdinta pitkin. Induktiolain mukaan piiriin syntyy jännite U = dφ B = BLv, (10.43) missä v on nopeus, jolla sauvaa vedetään. Tämä on yhtä suuri kuin sauvan päiden välinen potentiaaliero kuvan 10.4 a tapauksessa. Kun silmukan resistanssi on R, silmukassa kulkee virta I = U/R, ja se lämpenee teholla P = IU = U 2 R = (BLv)2 R. (10.44) Toisaalta magneettikenttä kohdistaa liikkuvaan sauvaan jarruttavan voiman F = BIL = BLU R BL BLv = R = (BL)2 v R. (10.45) Sauvan liikuttamiseen tarvitaan yhtä suuri vastakkaissuuntainen voima. Tämä tekee työtä teholla P F = F v = (BLv)2 R, (10.46) mikä on yhtä suuri kuin virran kuluttama teho. Näinollen lämmöksi muuttunut energia on peräisin sauvan vetämiseen tarvittavasta työstä. Tarkastellaan seuraavaksi kuvan 10.4 b mukaista systeemiä, joka ei ole ulkoisessa magneettikentässä. Asetetaan paikallaan olevaan johtimen osaan jännitelähde, joka ajaa virtaa kuvaan merkityn virran suuntaan. Tämä virta synnyttää magneettikentän, jonka suunta on kuvaan merkityn kentän suunnalle vastakkainen. Sen vaikutuksesta sauvaan kohdistuu magneettinen voima, jonka suunta on edellä esitetylle magneettisen voiman suunnalle vastakkainen. Tämä voima sinkoaa sauvan pitkin raiteita ulos systeemistä. Menetelmää käyttäen on rakennettu magneettisia tykkejä. Tykit vaativat hyvin suuria virtoja, mutta niillä on saatu aikaan lähtönopeuksia jotka ovat olleet noin 11 km/s, kun tavanomaisen tykin lähtönopeus on 1 2 km/s Vaihtojännitegeneraattori ja -moottori Vaihtojännitegeneraattorin toimintaperiaate on esitetty kuvassa 10.5 a. Johdinsilmukka pyörii kulmanopeudella ω magneettikentässä siten, että pyörimisakseli on kohtisuorassa kenttää vastaan. Silmukan läpi kulkeva magneettivuo on Φ B = B S, joten silmukkaan indusoitunut lähdejännite on U = dφ B d(b S) = d cos ωt = BS = BSω sin ωt. (10.47)

11 10.7. VAIHTOJÄNNITEGENERAATTORI JA -MOOTTORI 129 a) b) R b a ω I ωt S B I a F 2 I F 1 ωt S B Kuva 10.5: Vaihtojännitegeneraattorin toimintaperiaate. Näinollen silmukkaan indusoituu sinimuotoinen jännite, jonka kulmataajuus on silmukan kulmanopeuden suuruinen. Jos jännite kytketään resistanssiin R, kulkee piirissä ajasta riippuva virta I = U R + R s = BSω R + R s sin ωt, (10.48) missä R s on silmukan resistanssi. Tämä aiheuttaa ajasta riippuvan tehon Generaattorista saatu keskimääräinen teho on P = I 2 R = R(BSω)2 (R + R s ) 2 sin2 ωt. (10.49) P = R(BSω)2 2(R + R s ) 2, (10.50) sillä sin 2 ωt = 1/2. Virran kulkiessa silmukassa sen sivuihin kohdistuu voimia. Akselia vastaan kohtisuoriin sivuihin kohdistuvat voimat vaikuttavat vastakkaisiin suuntiin ja kumovat toisensa. Myös akselin suuntaisiin sivuihin kohdistuvat voimat ovat yhtä suuria ja vastakkaissuuntaisia, mutta niiden vaikutussuorat eivät ole samat ja siksi ne aiheuttavat vääntömomentin. Kuvassa 10.5 b näistä voimista on käytetty merkintöjä F 1 ja F 2. Voimien itseisarvot ovat ja niiden aiheuttama vääntömomentti on F 1 = F 2 = BIb (10.51) T = F 1 a sin ωt = BabI sin ωt = (BS)2 ω R + R s sin 2 ωt. (10.52)

12 130 LUKU 10. MAGNEETTINEN INDUKTIO Generaattorin pyörittämiseen tarvitaan yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen vääntömomentti. Tämä vääntömomentti tekee työtä mekaanisella teholla Yhtälön (10.48) avulla tämä voidaan esittää muodossa P m = T ω = (BSω)2 R + R s sin 2 ωt. (10.53) P m = (R + R s ) (BSω)2 (R + R s ) 2 sin2 ωt = I 2 (R + R s ). (10.54) Tämä tarkoittaa sitä, että generaattorin pyörittämiseen käytetty mekaaninen teho muuttuu lämmöksi ulkoisessa vastuksessa sekä silmukan itsensä resistanssissa. Vaihtovirtamoottorin toimintaperiaate on generaattorille päinvastainen. Moottorin tapauksessa kuvassa 10.5 olevaa virtaa I ajaa ulkoinen jännitelähde, ja silloin voimat F 1 ja F 2 pyörittävät moottoria. Virtojen suunta täytyy aina asettaa sellaiseksi, että silmukan kiertyminen tapahtuu samaan suuntaan. Tämä edellyttää virran suunnan kääntämistä päinvastaiseksi kaksi kertaa jokaisen täyden kierroksen aikana. Todellisuudessa generaattorit ja moottorit ovat paljon monimutkaisempia laitteita, kuin kuvassa 10.5 on esitetty. Voimakkaan magneettikentän saamiseksi käytetään ferromagneettisia aineita, joista rakennetaan paikallaan oleva staattori, jonka sisällä on pyörivä roottori. Nämä kappaleet on muotoiltu siten, että magneettikentälle saadaan edullinen geometria. Laitteet sisältävät useita eri asennoissa olevia käämejä. Moottorin tapauksessa staattorissa olevat käämit saavat aikaan pyörivän magneettikentän, ja roottorissa oleviin keloihin indusoituvat virrat aiheuttavat voimia, jotka pyörittävät roottoria. Vaihtovirtageneraattori tuottaa kolmivaihejännitettä, jossa jännitteiden välinen vaihe-ero on 2π/3. Tämä jännite välitetään siirtolinjojen kautta käyttäjälle. Eri paikoissa siirtolinjoja käytetään erilaisia korkeita jännitetasoja ja tavallisen käyttäjän matala jännitetaso saadaan aikaan suhteellisen lähellä käyttäjää olevan jakelumuuntajan avulla. Kaikki kolme vaihetta välitetään esimerkiksi jokaiseen omakotitaloon tai kerrostaloasuntoon (tämä on syy, miksi sulaketaulussa on aina kolme pääsulaketta; yksi jokaista vaihetta varten).