Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C

Transkriptio

1 Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, =, C s protonin varaus on, C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, C s kpl = 9 05, s b) di = Jd = J2πrdr, = 2πr 2, d dr = 2πrdr) r di = J R R 2πrdr = 2πJ R R I = 2πJ R R 3 R3 = 2πJ RR 2 3 J R = 3I 2πR 2 = r 2 dr, rajat 0 R 3, π 2, m) 2 = 5 m 2

2 Kuva : Virrat ja niiden arvatut suunnat merkitty mustilla nuolilla. Sininen ja punainen katkoviiva ovat Kirchhoffin lenkit joita laskuissa on käytetty. Tehtävä 2 Piirissä on kolme eri osaa joissa voi esiintyä eri virta. Nämä virrat on merkitty kuvaan. Virtojen suuntia ei tarvitse tietää etukäteen, ja ei aina voikkaan. Jos arvaus on eri kuin virran suunta saadaan vastaukseksi virta joka on negatiivinen. Käytetyillä merkinnöillä virran jatkuvuus Kirchhoffin ensimmäinen laki) saa muodon: I = I 2 + I 3 ) Eli ylhäällä, keskellä, virta I haarautuu kahteen osaan. Potentiaaliero suljetun silmukan yli täytyy olla nolla Kirchhoffin toinen laki). Lenkit voi valita useammalla tavalla, mutta käytetään kuvan mukaisia lenkkejä. Muistetaan jos ylitetään vastus jossa virta kulkee lenkkiä vastaan niin tämä on huomioitava miinus merkillä. V I R I 3 R 4 I R 2 = 0 punainen 2) V 2 I 2 R 3 I 3 )R 4 = 0 sininen 3) Merkitään R 2 = R + R 2. Kolme yhtälöämme voidaan kirjoittaa yhdeksi matriisiyhtälöksi. Jälkimmäisessä on jätetty yksiköt pois): R 2 0 R 4 I I 2 = 0 V I = 0 3 4) 0 R 3 R 4 I 3 V Tämä voidaan ratkaista Gaussin eliminointimenetelmällä tai alkuperäiset yhtälöt suoraan pyörittelemällä kannattaa sijoittaa mahdollisimmat pian numeroarvot, analyyttisissä vastauksissa ei ole mitään fysikaalisesti mielenkiinntoista). Koneellisesti saamme: 0.5 I = I I 2 I 3 50 = 450 m 5) 300 Joten virrat I ja I 2 kulkevat kuvan osoittamiin suuntiin ja virta I 3 vastakkaiseen suuntaan.

3 Tehtävä 3 Käytetään vasemmanpuoleisen vastuksen suuruudesta merkintää R 5Ω) ja toisesta 0Ω). Kytkin auki virta ei kulje läpi) Kirchoffin toisen lain mukaan suljetulla silmukalla jännite-ero on nolla. Kun kytkin on auki saadaan laki seuraavaan muotoon: V = E ri R I = 0 Kytkin kiinni virta kulkee läpi) Kun kytin on suljettu, virta haarautuu kahteen johtoon. Kirchoffin ensimmäisen lain perusteella virtaa ei häviä, joten tuleva virta I 2 on yhtä suuri kuin lähtevien virtojen summa I + I B. Pitää muistaa, että virtamittari mittaa virran I. I 2 = I + I B Nyt virta kulkee kahta suljettua silmukkaa pitkin. Niiden kummankin kautta kuljettaessa potentiaalin muutos on nolla, joten - ja B-vastuksissa pitää tapahtua sama jännitehäviö. Tämän avulla saamme niiden läpi kulkevien virtojen suhteen. R I = I B I = I B = I 2 I ) R R I 2 = + R ) I Potentiaalin muutos suljetulla silmukalla on nolla, joten kun kytkin on kiinni, niin vastuksen silmukan jännitemuutoksesta saadaan: V = E ri 2 R I = E r + R ) I R I = 0 Saamme yhtälöistä yhtälöparin, josta voimme ratkaista smv:n ja sisäisen resistanssin. E = ri + R I E = r + R ). I + R I r = I I )R ) 0.50Ω + R I I. E = ri + R I 9.0V

4 Tehtävä 4 a) Kuvaajasta nähdään, että Vt=0) = 30 V, ja V4ms) = 0 V. RC-piirin ratkaisusta, saattiin yhtälö ) V = V 0)e t RC = ln = 4 ms 3 50 µfr = R = 4 ms 50 µf ln3) Ω b) Varaukset, jotka kuljevat resistorin läpi, tulevat kondensaattorista, eli I = dq dt = d ) Q 0 e t RC = Q 0 dt RC e t V 0 RC = t 30 V R e RC = Ω e c) Huomataan, että kun kondensaattori on täysin purkautunut, Q 0 :n verran varaukset ovat kuljenneet resistorin läpi. Näin ollen N = Q 0 e = V 0C e = ln3)t 4 ms

5 5. a) lussa varatulla kondensaattorilla on varaus Q = CV. Lopussa molempien kondensaattoreiden yli on sama jännite V. Koska kondensaattorien kapasitanssit ovat samat, on niillä molemmilla myös sama varaus Q = CV. Varaus säilyy, joten Q = Q = V C, ja 2 2 b) V = Q C = 2 V janhetkellä t alkuperäisessä kondensaattorissa on varaus q, ja toisessa kondensaattorissa on varaus Q q. Nyt piirin komponentien yli olevista jännitteistä saadaan yhtälö q C Q q RI = 0, C missä piirissä kulkeva virta on I = dq dt. Varaukselle saadaan siis differentiaaliyhtälö dq dt + 2q Q RC = 0, jonka ratkaisu on qt) = Q + exp 2t )), 2 RC kun alkuehdoksi on asetettu q0) = Q. Virta on siis It) = dq dt = Q RC exp 2t ) = V RC R exp 2t ) RC

6 Tehtävä 6. Laskataan ensin kondensaattoreiden energia alkutilanteessa. Vain toinen kondensaattoreista on varautunut, joten saadaan energiaksi suoraan: E alku = 2 CV 2 ) Lopussa, edellisen tehtävän perusteella, on kaksi kondensaattoria, joiden jännite on V = /2V, joten saadaan yhteenlaskutuksi energiaksi: Näin ollen systeemin energianmuutos: E loppu = 2 CV CV 2 = 2 2 C 2 V ) 2 = 4 CV 2 2) E loppu E alku = 4 CV 2 2 CV 2 = 4 CV 2 3) Lasketaan nyt vastuksessa kulkeneen virran avulla vastuksessa lämmöksi muuttunut energia. Vastuksen lämpöteho on: P = RI 2 4) Edellisestä tehtävästä voidaan napata virralle saatu kaava, ja sijoittaa se tähän: V P t) = R R exp 2t )) 2 V 2 = RC R exp 4t ) RC Nyt vapautunut lämpöenergia on vastuksen tekemää työtä, joka on helppo laskea integraalista: 5) W = E = T 0 P t)dt 6) Koska halutaan tietää tasapainotilanteeseen mennessä vapautunut lämpö, lasketaan integraali: Sijoitetaan tulos 5) integraaliin: T E = lim T 0 P t)dt 7) T V 2 E = lim T 0 R exp 4t ) dt = lim RC T 4 CV 2 exp 4T ) ) = RC 4 CV 2 8) Jos tätä tulosta vertaa tuloksen 3) kanssa huomaa, että tulokset ovat samat, eli väite on todistettu.