PRO GRADU -TUTKIELMA. Eeva Mäkelä. Hiloista ja Boolen algebroista

Transkriptio

1 PRO GRADU -TUTKIELMA Eev Mäkelä Hiloist j Boolen lgeroist TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden tiedekunt Mtemtiikk Mrrskuu 2017

2 Tmpereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunt MÄKELÄ, EEVA: Hiloist j Boolen lgeroist Pro grdu -tutkielm, 33 s. Mtemtiikk Mrrskuu 2017 Tiivistelmä Tämän tutkielmn iheen ovt hilt sekä Boolen lgert. Yksinkertistetusti Boolen lgert ovt erikoistpus hiloist, jotk puolestn ovt erikoistpus osittin järjestetyistä joukoist. Täten myös tutkielmn rkenne seur kyseistä esittelyjärjestystä. Luvuss 2 esitellään ensin osittin järjestetyt joukot sekä pienimmän ylärjn sekä suurimmn lrjn käsitteet j niiden yksikäsitteisyys. Tämän jälkeen nnetn hiln määritelmä sekä trkstelln hiln ehdot täyttäviä rkenteit. Luvuss 3 kootn Boolen lgern määritelmää trkstelemll ensin suurimmn j pienimmän lkion sekä komplementin käsitteitä. Seurvksi perehdytään distriutiivisuuteen j tutkitn kyseistä ominisuutt hiemn syvemmin, kuin mitä Boolen lgern määritteleminen vtisi. Tämän jälkeen nnetn määritelmä Boolen lgerlle sekä todistetn rkenteen olennisimpi ominisuuksi. Luvun lopuksi tehdään vielä ktsus äärellisiin Boolen lgeroihin j määritellään niiden välinen isomorfismi. Tutkielmn lopuss luvuss 4 tutustutn Boolen lgeroiden sovelluslueisiin esittelemällä virtpiirejä sekä niiden yhteyttä iemmiss luvuiss esitettyyn teorin esimerkkien kutt. Tutkielmn tärkeimpinä lähdeteoksin toimivt Ppntonopouloun teos Alger: Pure nd Applied sekä Judsonin teos Astrct Alger Theory nd Applictions. 2

3 Sisältö 1 Johdnto 4 2 Hiloist Osittin järjestetyt joukot Pienin ylärj j suurin lrj Hilt Boolen lgeroist Suurin j pienin lkio Distriutiivisuus Boolen lgert Äärelliset Boolen lgert Sovelluksi: virtpiirit Perusominisuuksi Kytkentöjen yksinkertistminen Lähteet 33 3

4 1 Johdnto Englntilinen mtemtikko George Boole ( ) vstusti vhvsti siihen ikn vllinnutt käsitystä, jonk mukn mtemtiikk olisi vin suureiden ti lukujen tiedettä. Hänen näkemyksensä mtemtiikst oli, että sisältöä tärkeämpää on muoto: symolit j täsmällinen operoiminen niiden vull. Boolen vuonn 1854 julkisem teos Investigtion of the Lws of Thought on mtemtiikn historin klssikko, jok esitteli formlin logiikn lisäksi muun muss uuden lgern suuntuksen, jost nykyisin käytetään nimitystä Boolen lger. [3, s ]. Teorin vull voidn konstruoid lgerllisi rkenteit, jotk tunnetn nykyisin hiloin j Boolen lgeroin. Ne esimerkiksi yleistävät toisen tyyppisiä loogisi opertioit, kuten unionin j leikkuksen. Kuten usein käy, mtemttisell perustutkimuksell on myöhemmin runssti sovelluskohteit. Näin on käynyt myös Boolen lgerojen kohdll. Ensimmäiset Boolen lgeroiden sovelluslueet liittyivät virtpiirien j kytkentöjen yksinkertistmiseen. Nykyisin esimerkiksi tietokonesirujen suunnitteluss Boolen lgeroill on keskeinen rooli. Rkenteet ovt hyödyllisiä myös kukisemmill tieteenloill, kuten esimerkiksi sosiologiss j iologiss. [5, s. 240]. Yksinkertistetusti Boolen lgert ovt erikoistpus hiloist, jotk puolestn ovt erikoistpus osittin järjestetyistä joukoist. Tästä syystä myös tutkielmn rkenne noudtt kyseistä järjestystä. Luvuss 2 esitellään ensin osittin järjestetyt joukot esimerkkien sekä Hssen digrmmien vull. Ennen hiln määritelmää käydään esimerkkien vull läpi pienimmän ylärjn sekä suurimmn lrjn käsitteet. Smll osoitetn, että jos pienin ylärj j suurin lrj ovt olemss, ovt ne yksikäsitteisiä. Kun trvittv pohjtieto on ksss, voidn seurvksi lluvuss 2.3 nt hiln määritelmä. Määritelmän jälkeen trkstelln hiln ehdot täyttäviä rkenteit j esitetään hilojen dulisuusperite sekä muit jtkon knnlt olennisi ominisuuksi. Luvuss 3 lähdetään rkentmn Boolen lgern määritelmää trkstelemll ensin suurimmn j pienimmän lkion sekä komplementin käsitteitä. Tämän jälkeen tehdään lyhyt ekskursio distriutiivisuuteen j tutkitn kyseistä ominisuutt hiemn enemmän, kuin mitä Boolen lgern määritteleminen vtisi. Määritelmän lisäksi esitetään muun muss luse semidistriutiivisuudest sekä trkstelln hiloj, jotk eivät täytä distriutiivisuuden settmi ehtoj. Alluvuss 3.3 päästään viimein käsiksi Boolen lgern määritelmään. Määritelmän lisäksi nnetn esi- 4

5 merkkejä tyypillisistä Boolen lgeroist sekä esitetään j todistetn olennisimpi ominisuuksi, kuten suurimmn j pienimmän lkion yksikäsitteisyys sekä dulisuusperite Boolen lgeroille. Alluvuss 3.4 tehdään ktsus äärellisiin Boolen lgeroihin. Alluvun trkoitusperänä on tutustu Boolen lgeroiden väliseen isomorfismiin. Tutkielmn lopuss luvuss 4 tehdään vielä ktsus Boolen lgeroiden sovelluslueisiin esittelemällä virtpiirejä j niiden yhteyttä iemmiss luvuiss esitettyyn teorin. Virtpiireihin liittyvän termistön lisäksi esitetään usempi esimerkki sekä käydään läpi virtpiirien yksinkertistmiseen liittyvä tekniikk. Tutkielmss seurtn päälähteinä sekä Ppntonopouloun teost Alger: Pure nd Applied että Judsonin teost Astrct Alger Theory nd Applictions. Kyseisiä teoksi on lähinnä täydennetty muiden lähteiden vull. Lisäksi etenkin suomenkielisen terminologin tuken on ollut Erosen pro grdu tutkielm Hilteori. Tutkielmn lukijn oletetn tuntevn lgern perusteet sekä omvn mtemttisen päättelykyvyn j kehittyneen todistustekniikn. 5

6 2 Hiloist Tässä luvuss määritellään Boolen lgeroiden knnlt kksi olennist käsitettä: osittin järjestetyt joukot sekä hilt. Määritelmien lisäksi käydään läpi muutm luse j dulisuuden perite hiloille sekä nnetn esimerkkejä j hvinnollistetn ihett Hssen digrmmien vull. 2.1 Osittin järjestetyt joukot Määritelmä 2.1. Olkoon S joukko j reltio joukoss S. Pri (S, ) on osittin järjestetty joukko (prtilly ordered set, poset), jos seurvt kolme ksioom täyttyvät in, kun x, y, z S. 1. x x (refleksiivisyys), 2. jos x y j y x, niin x = y (symmetrisyys), 3. jos x y j y z, niin x z (trnsitiivisuus). Kun osittin järjestettyyn joukkoon liittyvä reltio ei ole siyhteydestä tunnettu ti puhutn yleisellä tsoll, käytetään reltiost yleistä merkintää. Muutoin esimerkiksi esimerkkien yhteydessä pyritään käyttämään siyhteydestä tunnettuj reltiomerkintöjä. Käydään seurvksi läpi muutm hvinnollistv esimerkki osittin järjestetyistä joukoist. Esimerkki 2.1. Kokonislukujen joukko Z vrustettun tvnomisell järjestysreltioll on osittin järjestetty joukko (Z, ). Esimerkki 2.2. Olkoon S joukko, joss lkioin ovt kikki luvun 12 positiiviset jkjt. Määritellään järjestysreltio siten, että x y, jos j vin jos x jk luvun y, eli x y. Nyt (S, ) on osittin järjestetty joukko. Esimerkki 2.3. Merkitään joukon S potenssijoukko, eli joukon S kikkien osjoukkojen joukko, merkinnällä P(S). Olkoot nyt A, B P(S), j olkoon A B, jos j vin jos A on joukon B osjoukko, eli A B. Nyt (P(S), ) on osittin järjestetty joukko. Jokinen äärellinen osittin järjestetty joukko voidn kuvt Hssen digrmmin muodoss. Olkoon (S, ) äsken määritelty osittin järjestetty joukko. Kuvioss 2.1 on hvinnollistettu kyseistä joukko Hssen digrmmin vull. 6

7 Kuvio 2.1. Joukon S Hssen digrmmi. Esimerkki 2.4. Olkoon X = {,,c}. Nyt joukon X potenssijoukko P(X) koostuu seurvist joukoist: {} {} {c} {, } {,c} {,c} {,,c}. Tätä osittin järjestettyä joukko (P(X), ) voidn hvinnollist Hssen digrmmill, kuten kuvioss 2.2 on tehty. {,,c} {, } {,c} {,c} {} {} {c} Kuvio 2.2. Joukon P(X) Hssen digrmmi. 7

8 2.2 Pienin ylärj j suurin lrj Ennen vrsinist hiln määritelmää käydään vielä läpi pienimmän ylärjn j suurimmn lrjn käsitteet. Määritelmä 2.2. Olkoon (S, ) osittin järjestetty joukko j X joukon S osjoukko. Nyt y S on joukon X ylärj, jos x y in, kun x X. Vstvsti z S on joukon X lrj, jos z x in, kun z X. Lisäksi u S on joukon X pienin ylärj (lest upper ound, lu), jos u on joukon X ylärj j u y in, kun y on joukon X ylärj. Smoin v S on joukon X suurin lrj (gretest lower ound, gl), jos v on joukon X lrj j z v in, kun z on joukon X lrj. Esimerkki 2.5. Trkstelln edelleen esimerkkiä 2.2 j vlitn joukon S osjoukoksi X = {1,2,3}, jolloin joukon X ylärjt ovt 6 j 12, joist pienin ylärj on 6, j ino sekä smll suurin lrj on 1. Luse 2.1. Olkoon (S, ) osittin järjestetty joukko j olkoon X joukon S epätyhjä osjoukko. Nyt jos joukoll X on pienin ylärj, niin se on yksikäsitteinen. Smoin jos joukoll X on suurin lrj, niin se on yksikäsitteinen. Todistus (vrt. [7, s. 508]). Olkoot u 1 j u 2 molemmt joukon X pienimpiä ylärjoj. Määritelmän mukn u 1 u kikill joukon X ylärjoill u. Tästä seur myös, että u 1 u 2. Smoin kosk u 2 on pienin ylärj, tulee oll u 2 u 1. Nyt ntisymmetrisyyden nojll pätee u 1 = u 2, mistä seur ylärjn yksikäsitteisyys. Smnkltisell päättelyketjull sdn todistettu vstv tulos myös joukon X suurimmille lrjoille. 2.3 Hilt Nyt kooss ovt kikki hiln määritelmään vdittvt esitiedot. Seurvksi käydään läpi hiln määritelmä sekä muutmi olennisi luseit. Määritelmä 2.3. Hil on osittin järjestetty joukko (H, ), joss seurvt ominisuudet pätevät in, kun, H. 1. Pienin ylärj joukolle {, } on olemss. Sitä merkitään symolill j kutsutn nimellä sup ti join. 2. Suurin lrj joukolle {, } on olemss. Sitä merkitään symolill j kutsutn nimellä inf ti meet. 8

9 f g e e c d d c (X) (Y) Kuvio 2.3. Joukkojen X j Y Hssen digrmmit. Esimerkki 2.6. Olkoon X joukko, jolloin sen potenssijoukko P(X) muodost hiln (P(X), ). Olkoot lisäksi A j B joukkoj siten, että A,B P(X). Nyt pienin ylärj joukoille A j B on A B, sillä selvästi A B on joukkojen ylärj, kosk A A B j B A B. Olkoon nyt joukko C jokin muu ylärj. Tällöin C sisältäisi sekä joukon A että B, jolloin se sisältäisi täten myös joukon A B. Siis A B on pienin ylärj eli A B = A B. Smn tpn osoittutuu, että A B on joukkojen A j B suurin ylärj, eli A B = A B. Esimerkki 2.7. Olkoon Z + positiivisten kokonislukujen joukko j olkoot x, y Z +. Määritellään järjestysreltio siten, että x y, jos j vin jos x jk luvun y, eli x y. Nyt (Z +, ) on osittin järjestetty joukko. Huomtn, että määrittelemällä = pyj(, ) j = syt(, ), kyseessä on myös hil. Esimerkki 2.8. Olkoot X j Y kuvioss 2.3 esitettyjä osittin järjestettyjä joukkoj. Joukko X ei kuitenkn ole hil, sillä pienintä ylärj lkioille f j g ei ole olemss. Myöskään joukko Y ei ole hil, sillä suurint lrj lkioille c j d ei ole olemss. Esimerkiksi joukko-opiss on tiettyj dulisi ehtoj, kuten De Morgnin lit. Seurvksi todetn, että tällisi peritteit löytyy myös hiloille. Jos (H, ) on hil, niin huomtn, että reltion olless sekä refleksiivinen, ntisymmetrinen j trnsitiivinen, myös reltioll on nämä ominisuudet. Lisäksi kun korvtn reltioll, niin pienin ylärj ensimmäisellä reltioll muuttuu suurimmksi lrjksi toisell reltioll j päinvstoin. Täten myös (H, ) on hil. Tämä trkstelu joht seurvn peritteeseen. 9

10 Luse 2.2. (Dulisuusperite) Jos väite pitää pikkns jokisess hilss, niin silloin myös dulinen väite pitää pikkns jokisess hilss. Dulisess väitteessä vihdetn siis j keskenään j vstvsti j vihdetn keskenään. Dulisuusperitteeseen nojtn esimerkiksi ll olevn luseen 2.3 todistuksess. Luse 2.3. Olkoon (H, ) hil, j olkoot, j c H. Tällöin inäärisillä opertioill j on seurvt ominisuudet: 1. (vihdnnisuus) = j =, 2. (liitännäisyys) ( c) = ( ) c j ( c) = ( ) c, 3. (idempotenssi) = j =, 4. (sorptio) ( ) = j ( ) =. Todistus (vrt. [5, s. 232]). Dulisuuden peritteen nojll jokisest kohdst trvitsee todist vin ensimmäinen os. (1) Määritelmän nojll joukon {, } pienin ylärj on j smoin joukon {, } pienin ylärj on. Kosk {, } = {, }, niin on oltv myös =. (2) Tvoitteen on osoitt, että ( c) j ( ) c ovt molemmt joukon {,,c} pienimpiä ylärjoj. Olkoon d =. Nyt c d c = ( ) c. Tiedetään myös, että = d d c = ( ) c. Smnlisell päättelyketjull sdn osoitettu myös, että ( ) c. Täten tiedetään, että ( ) c on joukon {,, c} ylärj. Olkoon nyt u kyseisen joukon jokin toinen ylärj. Tällöin siis u j u, eli d = u. Lisäksi c u, joten ( ) c = d c u. Täten ( ) c on oltv joukon {,, c} pienin ylärj. Smll päättelyllä voidn todet, että ( c) on joukon {,, c} pienin ylärj. Siis luseen 2.1 perusteell ( ) c = ( c). (3) Selvästi on pienin ylärj joukolle {}, smoin on pienin ylärj kyseiselle joukolle. Täten =. (4) Olkoon d =. Selvästi d. Toislt d =, joten d. Täten d = eli ( ) =. Kun vlitn mielivltinen joukko H vrustettun opertioill j, herää kysymys, onko kyseessä hil. Seurv luse todist, että näin todell on. Luse 2.4. Olkoon H joukko vrustettun opertioill j, jotk täyttävät luseen 2.3 ehdot. Olkoon lisäksi sellinen joukoss H määritelty reltio, että, jos j vin jos = ti =, kun, H. Nyt H on hil. 10

11 Todistus (vrt. [7, s. 510]). Huomtn luksi, että ehdot = j = ovt yhtäpitäviä, sillä jos =, niin vihdnnisuuden j sorption nojll = ( ) = ( ) =. Toislt ts jos oletetn, että =, niin = ( ) = ( ) =. Osoitetn seurvksi, että reltio on osittinen järjestys. Olkoot,,c H. Idempotenssin nojll =, joten j reltio on refleksiivinen. Todistetn sitten ntisymmetrisyys. Jos j niin = j =. Vihdnnisuuden nojll = = =, joten = j reltio on ntisymmetrinen. Lisäksi jos j c, niin = j c = c. Liitännäisyyden nojll c = ( c) = ( ) c = c = c, joten c j trnsitiivisuus on todistettu. Täten (H, ) on osittin järjestetty joukko. Nyt tulee vielä osoitt, että (H, ) on myös hil näyttämällä, että on pienin ylärj j on suurin lrj joukolle {, }. Todistukset suurimmlle ylärjlle j pienimmälle lrjlle ovt smnkltiset, joten näytetään todistus vin pienimmälle ylärjlle. Huomtn ensin, että käyttämällä vihdnnisuutt j sorptiot sdn ( ) = ( ) = j ( ) = ( ) = ( ) =. Täten siis j j on joukon {, } ylärj. Osoitetn vielä, että on pienin ylärj. Olkoon c H siten, että c j c. Nyt c = c j c = c. Liitännäisyyttä käyttämällä sdn ( ) c = ( c) = c = c, joten c. Siis on joukon {, } pienin lrj. Luse 2.4 on näin todistettu. 11

12 3 Boolen lgeroist Ennen Boolen lgeroihin siirtymistä määritellään vielä muutm olenninen käsite esimerkkien vull. Vrsinisen määritelmän jälkeen ljennetn ihetietämystä luseiden j esimerkkien vull. 3.1 Suurin j pienin lkio Trkstelln jälleen hil (P(S), ), missä P(S) on joukon S potenssijoukko. Potenssijoukon määritelmän nojll selvästi suurin lkio joukoss P(S) on S j pienin lkio ts on tyhjä joukko. Olkoon nyt A P(S) joukko. Nyt tiedetään, että A A = S j A A =, missä A on joukon A komplementti. Tämä hvinto joht seurviin määritelmiin. Määritelmä 3.1. Olkoon (H, ) hil. 1. Alkiot I H kutsutn suurimmksi lkioksi (unity), jos I in, kun H. 2. Alkiot O H kutsutn pienimmäksi lkioksi (zero), jos O in, kun H. Määritelmä 3.2. Olkoon (H, ) hil, jok sisältää sekä suurimmn lkion I että pienimmän lkion O. Nyt lkion H komplementti on H, jos 1. = I j 2. = 0. Snotn, että hil (H, ) on komplementoitu, jos jokiselle lkiolle H on olemss komplementti H. Esimerkki 3.1. Esimerkissä 2.2 kuvttu joukko S voidn nyt kuvt käyttämällä pun sekä suurimmn että pienimmän lkion symoleit. Seknnusten välttämiseksi myös muut lkiot on kuvttu kirjinsymoleill, kuten kuviost 3.1 näkyy. Lisäksi joukon S lkiot voidn tulukoid pienimpien ylärjojen j suurimpien lrjojen mukisesti, kuten tulukoiss 3.1 j 3.2 on tehty. Tulukoist huomtn esimerkiksi, että lkio on lkion d komplementti j lkio O ts on lkion I komplementti. Alkioill c j ei kuitenkn ole komplementtej, joten kikille 12

13 I c d O Kuvio 3.1. Joukon S Hssen digrmmi, joss merkittynä suurin j pienin lkio. O c d I O O c d I c c I I c c d I c c c c c I I d d I d I d I I I I I I I I Tulukko 3.1. Pienimmät ylärjt. O c d I O O O O O O O O O O O O c O c c d O O d d I O c d I Tulukko 3.2. Suurimmt lrjt. joukon S lkioille ei löydy komplementti. Hvinto herättää kysymyksen siitä, millinen joukko on komplementoitu. 3.2 Distriutiivisuus Jott Boolen lgeroille voidn nt määritelmä, trvitn vielä tieto distriuriivisuudest. Ominisuuten distriutiivisuus on vrsin mielenkiintoinen, joten tässä lluvuss käsitellään ihett hiemn ljemmin, kuin Boolen lgern määrittelyn knnlt olisi trpeellist. Määritelmä 3.3. Olkoon (H, ) hil. Hiln snotn olevn distriutiivinen, jos seurvt ehdot ovt voimss kikill,, c H: ( c) = ( ) ( c) j ( c) = ( ) ( c). 13

14 Luse 3.1. Yllä olevss distriutiivisuuden määritelmässä implikoi toisen. 3.3 toinen ehdoist Todistus (vrt. [1, s. 268]). Oletetn ensin, että ensimmäinen ehto on voimss, eli ( c) = ( ) ( c) pätee. Osoitetn, että tällöin myös toinen ehdoist pätee. Nyt oletuksen nojll sdn ( ) ( c) = [( ) ] [( ) c]. Luseess 2.3 esitetyn sorption nojll pätee [( ) ] [( ) c] = [( ) c]. Käyttämällä seurvksi oletust j luseess 2.3 esitettyä vihdnnisuutt, sdn [( ) c] = [( c) ( c)]. Nyt liitännäisyyden j sorption nojll [( c) ( c)] = [ ( c)] ( c) = ( c). Täten on siis stu johdettu, että ( ) ( c) = ( c), joten ensimmäisestä ehdost seur toinen. Todistuksen toinen suunt on dulinen ensimmäisen knss, joten väite on todistettu. Luse 3.2. Kikill distriutiivisill hiloill H pätee: jos x = y j x = y, niin x = y, missä, x, y H. Todistus (vrt. [1, s. 268]). Luseess 2.3 esitetyn sorption sekä kommuttiivisuuden nojll pätee x = (x ) x = x (x ) = x ( x). Käyttämällä luseen oletust sekä kommuttiivisuutt j sen jälkeen distriutiivisuutt sekä jälleen kommuttiivisuutt, sdn x ( x) = x ( y) = x (y ) = (x y) (x ) = (y x) (x ). Käyttämällä nyt oletust sekä sen jälkeen distriutiivisuutt, sdn (y x) (x ) = (y x) (y ) = y (x ). Nyt oletuksen j sorption nojll pätee y (x ) = y (y ) = (y ) y = y, j väite on todistettu. Esimerkki 3.2. Kikki hilt eivät välttämättä ole distriutiivisi. Kksi tyyppiesimerkkiä kyseisestä tilnteest on esitetty kuvioss 3.2. Hil M 3 ei ole distriutiivinen, sillä ( c) = O = ( ) ( c). Hil N 5 ts ei ole distriutiivinen, sillä c ( ) = c = (c ) (c ). Distriutiivisuus ei siis ole voimss kikill hiloill. All olev luse kuitenkin osoitt, että kikki hilt ovt semidistriutiivisi. Luse 3.3. Olkoon (H, ) hil, j olkoot,,c H. Nyt voimss ovt semidistriutiiviset lit ( c) ( ) ( c) j ( c) ( ) ( c). 14

15 I O c I O c M 3 N 5 Kuvio 3.2. Hilojen M 3 j N 5 Hssen digrmmit. Todistus (vrt. [1, s. 268]). Kosk yllä olevt ehdot ovt duliset, trvitsee hilojen dulisuusperitteen nojll todist, että toinen ehdoist on voimss kikiss hiloiss. Todistetn niistä ensimmäinen. Nyt selvästi on on ylärj sekä lkiolle että lkiolle c, joten on myös ylärj niiden pienimmälle ylärjlle ( ) ( c), eli ( ) ( c). Smoin kosk on ylärj lkiolle j c on ylärj lkiolle c, joten lkio c on ylärj myös lkioiden j c pienimmälle ylärjlle ( ) ( c), eli c ( ) ( c). Tästä seur, että ( ) ( c) on lrj sekä lkiolle että c, eli se on lrj myös niiden pienimmälle lrjlle ( c). Siis ( c) ( ) ( c) j väite on todistettu. 3.3 Boolen lgert Aiemmss lluvuss 3.2 määriteltiin distriutiivisuus, mutt todettiin myös, että kikki hilt eivät ole distriutiivisi. Seurv luonnollinen kysymys on, milliset hilt täyttävät distriutiivisuuden ehdot. Tähän vsttnkin nyt määrittelemällä Boolen lgern käsite sekä ntmll esimerkkejä ehdot täyttävistä rkenteist. Määritelmä 3.4. Boolen lger on hil (B,,, ), joss on sekä suurin lkio että pienin lkio j joss seurvt ehdot täyttyvät: 1. Distriutiivisuus pätee kikill,, c B, 2. Kikille lkioille B on olemss komplementti B. Esimerkki 3.3. Rkenne (P(S),,, ) on tyypillinen Boolen lger, missä P(S) on minkä thns joukon S potenssijoukko. Kyseisessä Boolen lgerss joukko S on suurin lkio j on pienin lkio sekä on joukkojen unioni j leikkus. Myöhemmin selviää, että potenssijoukko on yksi tärkeimmistä Boolen lgeroist. 15

16 Luse 3.4. Olkoon (B,,, ) Boolen lger. Nyt kikill B pätee I = j O =. Todistus. Määritelmän 3.2 j vihdnnisuuden nojll I = ( ) = ( ). Nyt voidn suorn sovelt sorptiot, mistä sdn ( ) = j ensimmäinen osuus on todistettu. Smll päättelyllä sdn O = ( ) = ( ) = j luse on todistettu. Luse 3.5. Olkoon (B,,, ) Boolen lger. 1. Suurin lkio I j pienin lkio O ovt yksikäsitteisiä. 2. Alkion B komplementti B on yksikäsitteinen. Todistus (vrt. [7, s. 512]). (1) Olkoot e 1 j e 2 identiteettilkioit opertion suhteen joukoss B. Tällöin e 1 = e 1 e 2 = e 2. Näin ollen lkiot I j O ovt yksikäsitteisiä luseen 3.4 perusteell. (2) Olkoon B j olkoot,c B molemmt lkion komplementtej. Nyt edellisen luseen 3.4 j komplementtien määritelmän 3.2 nojll = O = ( c). Nyt sorption, vihdnnisuuden j komplementtien määritelmän nojll ( c) = ( ) ( c) = ( ) ( c) = I ( c) = ( c), joten = c. Smn tpn sdn, että c = c. Täten = c = c = c. Siis lkion komplementti on yksikäsitteinen. Luse 3.6. (Dulisuusperite Boolen lgeroille) Jos väite pitää pikkns jokisess Boolen lgerss, niin silloin myös dulinen väite pitää pikkns jokisess Boolen lgerss. Boolen lgeroill on pljon mielenkiintoisi ominisuuksi. Alle on listttu muutmi niistä. Luse 3.7. Olkoon (B,,, ) Boolen lger. Nyt kikill, B pätee 1. O = O j I = I 2. ( ) = j ( ) = (De Morgnin lit) 3. ( ) = 4. O = I j I = O. 16

17 Todistus (vrt. [7, s. 513]). Dulisuuden peritteen nojll kohdist (1),(2) j (4) trvitsee todist vin ensimmäinen osuus. (1) Komplementin määritelmän j liitännäisyyden nojll O = ( ) = ( ) = = O. (2) Huomtn luksi, että käyttämällä distriutiivisuutt, vihdnnisuutt j liitännäsyyttä sdn, että ( ) ( ) = [( ) ] [( ) ] = [( ) ] [ ( )]. Nyt komplementin määritelmän nojll [( ) ] [ ( )] = (O ) ( O) = O O = O. Lisäksi smn tpn huomtn, että ( ) ( ) = [ ( )] [ ( )] = [( ) ] [ ( )] = (I ) ( I) = I I = I. Tästä seur, että on lkion komplementti. (3) Kosk = = 0 j = = 1, niin on lkion komplementti. Kosk komplementti on yksikäsitteinen, niin oltv ( ) =. (4) Luseen 3.4 nojll O I = I j O I = O. Tästä seur, että O j I ovt toistens komplementtej, eli O = I j I = O. Esimerkki 3.4. Olkoon S = {1,2,3,5,6,10,15,30} joukko, joss lkioin ovt kikki luvun 30 positiiviset kokonislukujkjt j olkoon, jos luku jk luvun, eli. Silloin (S, ) on osittin järjestetty joukko, jok voidn esittää Hssen digrmmin muodoss, kuten kuvss 3.3. Kikill, S pätee, että suurin yhteinen tekijä syt(, ) j pienin yhteinen jettv pyj(, ) kuuluvt joukkoon S. Huomtn, että = pyj(, ) j = syt(, ), joten (S, ) on hil. Todistetn seurvksi distriutiivisuus. Jos,,c S, niin ne ovt muoto = 2 r 2 3 r 3 5 r 5 = 2 s 2 3 s 3 5 s 5 c = 2 t 2 3 t 3 5 t 5, missä eksponentit ovt joko 0 ti 1. Esimerkiksi luku 6 on tällöin muoto Alkuluku p on tässä tpuksess joko 2, 3 ti 5. Väite syt(, pyj(, c)) = pyj(syt(, ), syt(, c)) sdn muotoon min(r p,mx(s p,t p )) = mx(min(r p, s p ),min(r p,t p )), mikä on helppo todet tpuksittin. Siis ( c) = ( ) ( c). Luseen 3.1 nojll distriutiivisuuden todistmiseksi riittää osoitt vin toinen ehdoist, joten distriutiivisuus on täten todistettu kokonisuudessn. 17

18 Kuvio 3.3. Joukon S Hssen digrmmi. Jott sdn osoitettu rkenne Boolen lgerksi, tulee vielä näyttää, että jokisell lkioll on komplementti. Vlitn nyt kikill S komplementiksi = 30/. Nyt = pyj(,30/) = 30 j = syt(,30/) = 1, joten todell on luvun komplementti. Joukon S suurin lkio on selvästi 30 j pienin lkio on 1. Täten rkenne (B,, syt, pyj) on Boolen lger. Esimerkki 3.5. Olkoon S = {1,2,3,4,6,12} kuten esimerkissä 2.2 j olkoon, jos luku jk luvun. Selvästi joukon S suurin lkio on 12 j pienin lkio on 1. Trkstelln nyt luku 6 j oletetn, että syt(6, ) = 1 Kun käydään läpi kikki muut viisi lkiot joukoss S huomtn, että tulee oll = 1. Kuitenkin tällöin pyj(6,1) = Alkiolle 6 ei siis löydy lkiopri, jok täyttäisi molemmt komplementit ehdot. Tästä syystä hil (S, ) ei ole Boolen lger. Tämän j iksemmn esimerkin 3.4 ero on siinä, että luvun 12 lkulukuhjotelm on muoto 12 = 2 2 3, joss on toistuv tekijä, kun ts luvull 30 = mikään tekijä ei toistu. Esimerkki 3.6. Olkoon B = {0, 1} joukko, jok sisältää inäärinumerot eli itit. Määritellään, että 0 1, jolloin lkiot muodostvt niin kutsutun 2-ketjun. Tätä on hvinnollistettu kuvioss 3.4. Kyseisille lkioille on olemss myös komplementit sekä suurimmt ylärjt j pienimmät lrjt, jotk on lskettu tulukoss 3.3. Myös distriutiivisuus pätee, sillä joukko voidn verrt khden lkion potenssijoukkoon P( A) = {, {}}, missä A = {}. Kyseisen potenssijoukon tiedetään muodostvn Boolen lgern, jonk Hssen digrmmi on täsmälleen smnlinen kuin joukon B. Kosk P(A) on distiutiivinen, täten myös B on distriutiivinen j näin myös Boolen lger. 18

19 1 0 Kuvio 3.4. Joukon B Hssen digrmmi. x y x y x y x y Tulukko 3.3. Joukon B ominisuuksi tulukoitun. Edellisessä esimerkissä vedottiin osittin Boolen lgeroiden väliseen isomorfismiin. Tähän perehdytään trkemmin seurvss lluvuss. 3.4 Äärelliset Boolen lgert Aluksi määritellään äärellisen Boolen lgern käsite j siihen liittyvä isomorfismi. Tvoitteen on lopult osoitt, että jos B on Boolen lger, niin tällöin on olemss sellinen joukko X, että B on isomorfinen potenssijoukost P(X) muodostetun Boolen lgern knss.tämän todistmiseksi täytyy kuitenkin ensin esittää muutm määritelmä sekä puluse. Jtkoss Boolen lgerst käytetään lyhyttä merkintää B merkinnän (B,,, ) sijst. Tällöin Boolen lger ei pidä sekoitt pelkkään joukkoon B. Asiyhteydestä selviää, kump trkoitetn. Määritelmä 3.5. Boolen lgern B snotn olevn äärellinen Boolen lger, jos joukoss B on äärellinen määrä lkioit. Määritelmä 3.6. Olkoot B j C äärellisiä Boolen lgeroit. Bijektiivinen kuvus φ : B C on isomorfismi, jos 1. φ( B ) = φ() C φ() 2. φ( B ) = φ() C φ() in, kun, B. Tämä trkoitt siis sitä, että kuvus on ijektiivisyyden lisäksi pienimmän ylärjn j suurimmn lrjn säilyttävä. Jos tällinen isomorfismi on olemss, niin snotn, että joukot B j C ovt keskenään isomorfiset. Yllä olevss määritelmässä 3.6 merkintöjä j käytettiin khdess eri merkityksessä, mutt ne erotettiin toisistn lindeksin vull. Jtkoss näin ei kuitenkn tehdä, joten sin on syytä kiinnittää huomiot. 19

20 Esimerkki 3.7. Olkoon B = P(X), missä X on jokin kolmen lkion joukko. Nyt B on isomorfinen esimerkissä 2.4 esitellyn Boolen lgern knss. Kyseisessä esimerkissä X on itse siss kolmen lkion joukko {,, c}. Smoin esimerkissä 3.4 esitetty Boolen lger j B ovt keskenään isomorfiset. Määritelmä 3.7. Olkoon B äärellinen Boolen lger. Alkio B on joukon B tomi, jos O j =, kun B j O. Toisin snoen, ei ole olemss lkiot siten, että O. Esimerkki 3.8. Esimerkissä 3.4 tomit ovt 2,3 j 5. Hvinnollistmisen tueksi kuvioss 3.5 joukon S tomit on korostettu. Esimerkiksi lkio 6 ei tässä tpuksess voi oll tomi, sillä O 2 6. Smll tehdään hvinto, että 2,3 j 5 ovt kikki lkulukuj Kuvio 3.5. Joukon B Hssen digrmmi, joss tomit on korostettu. Esimerkki 3.9. Olkoon S = { 1, 2,..., n }. Nyt Boolen lgerss P(S) tomej ovt kikki yhden lkion joukot { 1 }, { 2 },..., { n }. Tämä tilnne on hvinnolistettu kuvioss 3.6. { 1 } { 2 }... { n } O = Kuvio 3.6. Joukon P(S) tomit Hssen digrmmin vull. Luse 3.8. Olkoon B äärellinen Boolen lger. Nyt jos B j O, niin on olemss tomi B siten, että. 20

21 Todistus (vrt. [5, s. 236]). Jos on tomi, niin vlitn = j väite on selvä. Jos ts ei ole tomi, niin on olemss lkio 1 B siten, että 1 O j O 1. Jos nyt 1 on tomi, on väite todistettu. Jos näin ei kuitenkn ole, vlitn jälleen lkio 2 B siten, että 2 O j O 2 1. Jälleen jos 2 on tomi, väite on todistettu. Jos näin ei vieläkään ole, jtketn vstvnlist prosessi, kunnes sopiv lkio löytyy. Tällä menettelyllä sdn ikiseksi lkioiden ketju, jok näyttää seurvlt: O Kosk B on äärellinen Boolen lgrer, niin myös kyseinen ketju on päättyvä. Tämä trkoitt, että jollkin kokonisluvull n, n on tomi. Vlitn siis = n. Apuluse 3.9. Olkoon B Boolen lger j olkoot, B. Nyt seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: = O 3. = I. Todistus (vrt. [5, s. 237]). (1) (2) Oletetn siis ensin, että, mistä seur, että =. Tällöin = ( ). Nyt luseen 3.7 kohdn 2 sekä liitännäisyyden nojll sdn ( ) = ( ) = ( ). Lisäksi käyttämällä komplementtien määritelmää 3.2 sekä luseen 3.7 koht 1 sdn ( ) = O = O. Siis = O. (2) (3) Oletetn, että = O. Huomtn, että luseen 3.7 kohdn 2 nojll = ( ). Nyt käyttämällä oletust j luseen 3.7 koht 4 sdn ( ) = O = I, eli = I. (3) (1) Oletetn, että = I. Nyt luseen 3.4 j oletuksen perusteell sdn, että = I = ( ). Käyttämällä distriutiivisuutt j komplementin määritelmää sdn ( ) = ( ) ( ) = O ( ) =. Siis =, eli on oltv. 21

22 Apuluse Olkoon B äärellinen Boolen lger j olkoot, c B lkioit siten, että c. Nyt on olemss tomi B siten, että j c. Todistus (vrt. [7, s. 515]). Kosk c, niin puluseen 3.9 nojll c O. Nyt puluseen 3.8 nojll on olemss tomi siten, että c. Tästä seur suorn, että j c. Todistetn vielä, että c. Tehdään vstoletus, että pätisi c. Tällöin tulisi siis oll c c = O, eli tulisi oll = O. Tässä on ristiriit, sillä on tomi. Täten siis c j luse on todistettu. Apuluse Olkoon B on äärellinen Boolen lger j olkoon B, O. Olkoot lisäksi 1,..., n B kikki ne tomit, jotk toteuttvt ehdon i kikill i {1,...,n}. Nyt = 1 2 n. Jos, 1,..., n B ovt sellisi tomej, että, i (i = 1,2,...,n) j = 1 2 n, niin = i jollkin indeksin i {1,...,n} rvoll. Todistus (vrt. [5, s. 237]). Olkoon c = 1 2 n. Kosk i kikill i, niin on oltv c. Nyt tvoitteen on osoitt, että c, jolloin ntisymmetrisyyden nojll c =. Tehdään vstoletus, että c. Tällöin puluseen 3.10 mukn olisi olemss tomi siten, että j c. Nyt kosk olisi tomi j, voidn olett, että = i jollkin i. Tämä on kuitenkin mhdotont, sillä i c. Täten c eli = c. Todistetn sitten luseen toinen koht. Oletetn siis, että = n j on tomi siten, että. Tällöin pätee = = ( n ) = ( 1 ) ( 2 )... ( n ). Kosk, 1,..., n ovt tomeit, niin jokisell termillä ( i ) pätee ( i ) = O ti ( i ) =. Jott yllä olev ehto pätee, niin inkin yhdellä termillä on kuitenkin oltv ( i ) =. Tämä on mhdollist vin, jos = i. Nyt kooss on kikki trvittv tämän luvun pääluseen todistmiseksi. Luse Olkoon B äärellinen Boolen lger. Nyt B on isomorfinen potenssijoukon P(X) knss, missä X on jokin äärellinen joukko. Todistus (vrt. [5, s. 238]). Trkstetn ensin erikoistpus B = 1. Olkoon tällöin B joukon B ino lkio. Olkoon nyt X =, jolloin myös P(X) = { } j voidn määritellä trivili isomorfismi φ() =, missä B j väite on todistettu. Oletetn sitten, että B > 1. Osoitetn, että B on isomorfinen joukon P(X) knss, missä X on joukon B kikkien tomien joukko. Olkoon nyt B, O. Apuluseen 3.11 nojll voidn kirjoitt = 1 n, missä 1,..., n 22

23 ovt tomeit, joten ne kuuluvt joukkoon X. Tällöin voidn määritellä kuvus φ : B P(X) siten, että φ() = φ( 1 n ) = { 1,..., n }, missä lkio kuvutuu siis tomiens joukolle. Lisäksi määritellään, että φ(o) =. Osoitetn, että kuvus φ on surjektio. Todistetn, että jokist joukko y P(X) kohti on olemss sellinen x B, että φ(x) = y. Kosk φ(o) =, niin väite pätee, kun y =. Olkoon nyt y, jolloin y P(X) on joukko tomeit, eli y = { 1,..., y }. Olkoon nyt x = 1 y, x B. Nyt kikki i y ovt puluseen 3.11 nojll lkion x tomeit, eli i x, kun i y. Lisäksi pätee, että k x, kun k y. Täten φ(x) = φ( 1 y ) = { 1,..., y } = y j surjektiivisuus on todistettu. Osoitetn sitten, että kyseessä on injektio. Todistetn, että kikill, B pätee, että jos φ() = φ(), niin =. Trkstetn ensin erikoistpukset. Olkoon = O j olkoon φ() = φ(). Tällöin pätee φ() =, joten = φ(). Täten on oltv myös = O, joten väite pätee. Smn tpn jos luksi pätee = O, niin päädytään tulokseen, että oltv myös = O. Trkstetn nyt tpus, O. Olkoot = 1 n, = 1 m B, missä i j j ovt tomeit. Jos φ() = φ(), niin { 1,..., n } = { 1,..., m }, joten = j kuvus on injektio j täten ijektio. Osoitetn vielä, että kuvus φ täyttää määritelmän 3.6 ehdot. Olkoot j lkioit, kuten yllä. Todistetn ensin määritelmän 3.6 ehto 1. Trkstetn luksi erikoistpukset. Olkoon = O. Nyt φ( ) = φ(o ) = φ(). Tällöin kuvuksen määritelmän j joukkojen ominisuuksien nojll sdn φ() = { 1,..., m } = { 1,..., m }. Nyt käyttämällä kuvuksen määritelmää toiseen suuntn, sdn lopult { 1,..., m } = φ() φ() j opertion säilyvyys on todistettu. Jos olisi = O, niin todistusketju olisi smnkltinen. Olkoon vielä, = O, jolloin smn tpn sdn φ( ) = φ(o O) = φ(o) = = = φ(o) φ(o) = φ() φ(). Trkstetn lopuksi yleinen tpus, O. Opertion liitännäisyyden perusteell sdn, että φ( ) = φ(( 1 n ) ( 1 m )) = φ( 1 n 1 m ). Nyt kuvuksen φ määritelmän perusteell sdn φ( 1 n 1 m ) = { 1,..., n, 1,..., m }. Kun käytetään joukkojen unionin määritelmää, niin luseke sdn muotoon { 1,..., n, 1,..., m } = { 1,..., n } { 1,..., m }. Käyttämällä kuvuksen määritelmää toiseen suuntn, 23

24 sdn lopult { 1,..., n } { 1,..., m } = φ( 1 n ) φ( 1 m ) = φ() φ(), j ensimmäinen ehto määritelmästä on 3.6 todistettu. Todistetn sitten ehto 2. Trkstetn jälleen erikoistpukset ensin. Olkoon = O. Tällöin φ( ) = φ(o ) = φ(o) =. Nyt joukkojen ominisuuksien j kuvuksen määirtelmän nojll sdn = { 1,..., m } = φ(o) φ() = φ() φ() j väite on todistettu. Smn tpn jos = O, niin todistusketju on sm. Olkoon vielä, = O. Nyt φ( ) = φ(o O) = φ(o) = = = φ(o) φ(o) = φ() φ() j väite on todistettu. Trkstetn vielä yleinen tpus, eli olkoon, O. Käyttämällä kuvuksen φ määritelmää sdn, että φ( ) = φ(( 1 n ) ( 1 m )). Nyt käyttämällä distriutiivisuutt usen kertn sdn lopult luseke muotoon φ(( 1 1 ) ( 1 2 ) ( n m )), joss esiintyy siis jokinen pri i j, missä i {1,...,n} j j {1,...,m}. Kosk jokinen lusekkeen lkio on tomi, yksittäisten prien suurin lrj on joko O ti prin tomit ovt smt, jolloin lrj on tomi itse. Merkitään näitä lkoiden yhteisiä tomeit kirjimell c j lindeksillä. Tällöin luseke sdn muotoon φ(o O O c 1 c 2 c k ) = φ(c 1 c 2 c k ). Kuvuksen φ määritelmän nojll pätee φ(c 1 c 2 c k ) = {c 1,...,c k }. Soveltmll joukkojen ominisuuksi j kuvuksen määritelmää toiseen suuntn sdn lopult {c 1,...,c k } = { 1,..., n } { 1,..., m } = φ() φ() j ehto 2 on todistettu. Täten kuvus on siis isomorfismi j väite on kokonisuudessn todistettu. Luse Olkoon B äärellinen Boolen lger. Nyt B = 2 n jollkin n N, missä N = {0, 1, 2...} on luonnollisten lukujen joukko. Todistus (vrt. [1, s. 278] j [7, s. 517]). Trkstetn ensin erikoistpukset. Jos B = 1, niin n = 0, sillä B = 2 0 = 1 j väite on selvä. Oletetn nyt, että B > 1. Lisäksi oletetn tunnetuksi, että jos S = n, missä n on positiivinen kokonisluku, niin P(S) = 2 n (kts. esim. [7, s. 11]). Aikisemmin esitetyn luseen 3.12 nojll jos B on Boolen lger, niin on olemss ijektiivinen kuvus φ : B P(S). missä S on jokin äärellinen joukko. Kosk kyseessä on ijektio, niin on oltv B = P(S). Nyt jos S = n, niin P(S) = 2 n, eli B = 2 n. 24

25 Esimerkki Pltn esimerkin 2.4 Boolen lgern P(X), missä X = {,,c} sekä esimerkin 3.4 Boolen lgern S, missä S = {1,2,3,5,6,10,15,30}. Kuvioss 3.7 näkyvien Hssen digrmmien perusteell on ilmeistä, että nämä kksi Boolen lger ovt keskenään isomorfiset. Esimerkiksi yksi mhdollinen isomorfismi φ : P(X) S on seurv: φ({}) = 2 φ({}) = 3 φ({c}) = 5 φ({, }) = 6 φ({,c}) = 10 φ({,c}) = 15 φ({,,c}) = 30 φ( ) = 1. Lisäksi huomtn, että luseen 3.13 mukisesti kummnkin esimerkissä esitellyn äärellisen Boolen lgern koko on 2 n, missä n = 3. {,,c} 30 {, } {,c} {,c} {} {} {c} P(X) 1 S Kuvio 3.7. Boolen lgerojen P(X) j S Hssen digrmmit vierekkäin. Esimerkki Olkoon P(X) Boolen lger, jolloin luseen 3.13 mukisesti P(X) = 2 n j lisäksi X = n. Nyt kikki joukon P(X) liryhmät voidn esittää nollist j ykkösistä koostuvin ittijonoin, joiden pituus on n. Tätä on hvinnollistettu kuvioss 3.8, missä esimerkin 3.10 Boolen lgern P(X) lkiot on nyt esitetty kolmen merkin mittisin ittijonoin. 25

26 Kuvio 3.8. Boolen lgern P(X) Hssen digrmmi, joss lkiot on esitetty ittijonoin. Esimerkki Trkstelln joukko Z2 m, jok sisältää kikki mhdolliset m- mittiset ittijonot, missä m on äärellinen positiivinen kokonisluku. Määritellään osittinen järjestys joukoss Z 2 siten, että 0 1. Olkoot nyt = ( 1 2 m ) Z2 m j = ( 1 2 m ) Z2 m. Määritellään, että, jos i i kikill i {1,2,...,m}. Nyt osittin järjestetyn joukon ehdot pätevät. Osoitetn, että joukko (Z m 2, ) on myös Boolen lger. Osoitetn, ensin että kyseessä on hil. Huomtn seurvksi, että lkioiden j pienin ylärj muodostuu vlitsemll ( ) i = mx( i, i ) kikill i {1,2,...,m}. Smn tpn lkioiden j suurin ylärj sdn vlitsemll ( ) i = min( i, i ) kikill i {1,2,...,m}. Täten rkenne on myös hil. Osoitetn sitten, että kyseinen hil on Boolen lger. Selvästi I = (111 1) j O = (000 0), joten suurin j pienin lkio ovt yksikäsitteiset j olemss. Alkion komplementti on lkio, joss toisin vstvt itit ovt vstkkiset: jos lkion itti i on 0, lkioll pätee i = 1 j päinvstoin. Algerllisesti tämä voidn ilmist merkinnällä = I. Selvästi myös lkion komplementti on yksikäsitteinen. Osoitetn vielä distriutiivisuus. Huomtn, että Z2 m on isomorfinen joukon P(X) knss, missä X = {1,2,...,m}. Nyt kun A P(X), on A muoto A = { j, k,...,l}, missä joukkoon A kuuluvt lkiot ovt mielivltisi lkioit joukost X. Määritellään nyt isomorfismi siten, että kun j A, niin j = 1, missä j on lkion Z2 m j. itti. Esimerkiksi jos Zm 2 = Z5 2, niin vlitn X = {1,2,3,4,5}. Nyt jos esimerkiksi A = {2,4,5}, niin vstvsti = (01011). Näin sdn muodostettu ijektio joukkojen Z m 2 lger j joukot ovt isomorfiset, niin myös Z m 2 j P(X) välille. Kosk tiedetään, että P(X) on Boolen on täten Boolen lger. 26

27 4 Sovelluksi: virtpiirit Boolen lgeroiden hyödyllisyys modernin teknologin kehityksessä on viime vuosikymmenien ikn ksvnut merkittävästi. Tässä luvuss hvinnollistetn lyhyesti Boolen lgeroiden yhtä sovellusluett tutustumll kytkentöihin j virtpiireihin. Boolen lgeroit voidn käyttää pun esimerkiksi virtpiirien yksinkertistmisess j hvinnollistmisess. Luvun lähdekirjllisuuten on käytetty sekä Ppntonopouloun teost Alger: Pure nd Applied että Judsonin teost Astrct Alger Theory nd Applictions. 4.1 Perusominisuuksi Tutustutn seurvksi yksinkertisiin kytkentöihin esimerkkien vull. Kytkin on lite, jok voi oll khdess sennoss: joko uki ti kiinni. Kun kytkin on uki, sähkövirt ei pääse läpäisemään sitä. Vstvsti kytkimen olless kiinni, pääsee sähkövirt läpi. Nämä tilt ovt toisens poissulkevt, eli kytkin ei voi oll sekä uki että kiinni smnikisesti. Lisäksi jos usempi eri kytkin on in smss tilss toisen kytkimen knss, merkitään niitä jtkoss smll kirjimell. Esimerkki 4.1. Kuvioss 4.1 on esitetty kksi esimerkkiä kytkennöistä. Kummsskin kytkennässä on kksi kytkintä, jotk on nimetty kirjimill j. Ensimmäisessä digrmmiss kytkimet on kytketty srjn. Tämä trkoitt, että kummnkin kytkimen on oltv kiinni, jott sähkövirt pääsee kulkemn. Kyseinen srjkytkentä voidn ilmist merkinnän vull. Toisess digrmmiss kytkimet ts on kytketty rinnkkin. Tässä tilnteess riittää, että inkin toinen kytkimistä on kiinni, jott sähkövirt pääsee kulkemn. Kyseinen rinnkkiskytkentä voidn ilmist merkinnän vull. Kuvio 4.1. Kytkennät j vierekkäin. 27

28 Määritellään, että kksi kytkentää ovt keskenään ekvivlentit, jos ne käyttäytyvät yhdenmukisesti.tämä trkoitt, että jos kytkimet setetn kummsskin virtpiirissä täsmälleen smn sentoon, niin tulos on sm. Esimerkiksi virtpiiri on täsmälleen sm kuin virtpiiri. Kyseinen esimerkki on itse siss Boolen lgeroillekin pätevä kommuttiivisuussääntö. Kytkentöjä esittäviä digrmmej voidn käyttää hvinnollistmn myös muit hilojen j Boolen lgerojen ominisuuksi. Näin on tehty myös ll oleviss esimerkeissä. Esimerkki 4.2. Kuvioss 4.2 hvinnollistetn hiloille j Boolen lgeroille voimss olev liitännäisyyttä. Digrmmeist huomtn, että virtpiirit ovt toiminnltn täysin smt. Tässä tpuksess riittää, että jokin kytkimistä, ti c on kiinni, jolloin virt pääsee kulkemn. ( c) c ( ) c c Kuvio 4.2. Liitännäisyys ( c) = ( ) c pätee. Esimerkki 4.3. Kuvioss 4.3 ts on hvinnollistettu distriutiivisuutt kytkentöjen vull. Lopputulos kummsskin virtpiirissä on sm: jott virt päsee kulkemn, on kytkimen oltv kiinni. Tässä tpuksess riittää kuitenkin, että ti c on kiinni. ( c) c ( ) ( c) c Kuvio 4.3. Distriutiivisuus ( c) = ( ) ( c) pätee. 28

29 Esimerkki 4.4. Kytkimen, jonk toimint on päinvstist kytkimeen verrttun, snotn olevn kytkimen komplementti, j sitä merkitään nottioll. Jälleen symoleill sekä voidn trkoitt usemp kytkintä, joiden toimint on täsmälleen sm. Kuvioss 4.4 on hvinnollistettu komplementtien toimint kytkennöissä. Huomtn, että kun komplementit on kytketty rinnkkin, virt pääsee kulkemn in. Kun ts kytkimet on kytketty srjn, virrn kulkeminen on mhdotont. Symolill I trkoitetnkin tässä tpuksess kytkentää, jok on in suljettu, j symolill O kytkentää, jok on in voin. = I = O Kuvio 4.4. Komplementtien määritelmä pätee. Tulukoss 4.1 pyritään hvinnollistmn Boolen lgeroihin liittyvien käsitteiden välistä yhteyttä. Tulukkoon on koottu yleisten merkintöjen lisäksi tutkielmn esimerkeissä esiintyvien joukkojen merkintöjä, kuten potenssijoukkoon j kytkentöihin liittyvät merkinnät. Merkinnällä B(n) trkoitetn tässä yhteydessä joukko, jok sisältää kikki kokonisluvun n jkvt positiiviset kokonisluvut, j jok täyttää Boolen lgern määritelmän. Boolen lger P(X) B(n) kytkentä syt srj pyj rinnkkinen S\{} n/ komplementti O 1 voin I S n suljettu = = = ekvivlentti suljettu suljettu Tulukko 4.1. Boolen lgern liittyvää terminologi. 29

30 4.2 Kytkentöjen yksinkertistminen Virtpiirien joukon määritteleminen Boolen lgerksi j sen trkk todistminen sivuutetn vetomll lähdekirjllisuuteen [5] j [7]. Boolen lgeroille voimss olevi sääntöjä voidn käyttää pun virtpiirien yksinkertistmisess, kuten tässä lluvuss oleviss esimerkeissä on tehty. Esimerkki 4.5 ( vrt. hrjoitustehtävä 10 [5, s. 241]). Yksinkertistetn seurvksi kuvioss 4.5 näkyvää kytkentää käyttämällä pun Boolen lgeroille esitettyjä sääntöjä. Digrmmin perusteell kytkennän lusekkeeksi sdn ( ) [( ) ( )]. Käyttämällä ensin vihdnnisuutt, sdn luseke muotoon ( ) [( ) ( )] = ( ) [( ) ( ) ]. Nyt käyttämällä distriutiivisuutt j sen jälkeen komplementin määritelmää sdn ( ) [( ) ( ) ] = ( ) [( ( )) ] = ( ) [( I) ] = ( ) ( ). Jälleen käyttämällä vihdnnisuutt j distriutiivisuutt ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ). Nyt komplementin määritelmän nojll ( ) = I =. Kyseinen kytkentä on siis stu yksinkertistettu merkittävästi kttmn vin yhden kytkimen. Lopputulos on esitetty kuvioss 4.6. Kuvio 4.5. Yksinkertistettvn olev kytkentä. Kuvio 4.6. Lopputulos yksinkertistmisen jälkeen. 30

31 Esimerkki 4.6. Yksinkertistetn nyt kuvioss 4.7 näkyvää kytkentää Boolen lgeroille esitettyjen sääntöjen nojll. Huomtn ensin, että kytkentä muodostuu khdest osst, kuten kuvioss 4.8 on esitetetty. Yksinkertistetn kumpkin os ensin erikseen, jott käsittely on helpomp. c c c c Kuvio 4.7. Yksinkertistettvn olev kytkentä. A B Kuvio 4.8. Apukuvio yksinkertistmisen tueksi. Aloitetn ensimmäisestä osst A. Digrmmin perusteell kytkennän lusekkeeksi sdn ( ) ( c). Käyttämällä ensin distriutiivisuutt j komplementin määritelmää sdn ( ) ( c) = [( ) ( )] ( c) = ( ) ( c). Käyttämällä sitten liitännäisyyttä j sen jälkeen jälleen distriutiivisuutt sdn ( ) ( c) = ( ) [( ) c] = [( ) ( )] [( ) c]. Nyt De Morgnin lkien nojll pätee [( ) ( )] [( ) c] = [( ) ( ) ] [( ) c]. Komplementin määritelmän nojll luseke sdn lopult yksinkertiseen muotoon [( ) ( ) ] [( ) c] = I [( ) c] = ( ) c = c. Käsitellään sitten smn tpn os B. Digrmmin perusteell lusekkeeksi sdn c (c ) (c ). Huomtn, että luseke on täsmälleen sm, kuin osss A, mutt nyt = c, = j c =. Tällä perusteell luseke sdn osion A nojll muotoon c. 31

32 Yhdistetään vielä lusekkeet yhdeksi kokonisuudeksi. Tällöin siis A B = ( c) (c ). Vihdnnisuuden nojll ( c) (c ) = ( c) ( c). Nyt idempotenssin nojll ( c) ( c) = c. Täten kytkentä on stu yksinkertistettu kuvioss 4.9 näkyvän digrmmin muotoon. c Kuvio 4.9. Lopputulos yksinkertistmisen jälkeen. 32

33 Lähteet [1] Birkhoff, G., Brtee, T. C., Modern Applied Alger, Interntionl Student Edition, McGrw Hill, [2] Bloch, N. J., Astrct Alger with Applictions, Prentice-Hll, Stte University of New York, [3] Boyer, C., Tieteiden kuningtr, Mtemtiikn histori os 2, Art House, [4] Eronen, M., Hilteori, Pro grdu tutkielm, Tmpereen yliopisto, [5] Judson, T. W., Astrct Alger Theory nd Applictions, Stephen F. Austin Stte University, [6] Kolmn, B., Busy, R., Ross, S., Discrete Mthemticl Structures, sixth edition, Person Prentice-Hll, Upper Sddle River, [7] Ppntonopoulou, A., Alger: Pure nd Applied, Prentice-Hll, Upper Sddle River,