Itseopiskeluohje to

Transkriptio

1 Itseopiskeluohje to Yleistä Torstin luennoitsijnne on Mtemtiikn päivillä Joensuuss vetämässä sessiot mtemtiikn opetuksest. Näin ollen luento ei pietä, vn trkoitus on itse käyä läpi kksi tulost käyrien krenpituuest j kerrt yhen muuttujn ifferentililskent j vektorilskent. Ensi viikoll sitten loitmme usemmn muuttujn funktioien käsittelyn, jolloin yhen muuttujn tpus on hyvä oll tuoreess muistiss. Käy sit läpi pienellä porukll, jos mhollist, tällöin pääsette myös keskustelemn hvinnoistnne! Luentosli U1 on käytettävissänne klo Käyrät Tiistin luennoll määriteltiin käyrän krenpituus seurvsti: Avruuskäyrän r(t) krenpituus välillä t [, b] on b r t (t) t. Osoitetn nyt, että krenpituus ei ole riippuvinen vlitust prmetrisoinnist, j että käyrät voin prmetrisoi käyttämällä prmetrin krenpituutt lkupisteestä mitttun. Nämä väitteet toistetn seurvill khell tehtävällä (Ams-Essex 11.3 ex 27 j 28): Tehtävä 1 Let r r 1 (t), ( t b), n r r 2 (u), (c u ), be two prmetriztions of the sme curve C, ech one-to-one on its omin n ech giving C the sme orienttion (so tht r 1 () r 2 (c) n r 1 (b) r 2 ()). Then for ech 1

2 2 t in [, b] there is unique u u(t) such tht r 2 (u(t)) r 1 (t). Show tht b t r 1(t) t u r 2(u) u, n thus tht the lenght of C is inepenent of prmetriztion. c Tehtävä 2 If the curve r r(t) hs continuous, nonvnishing velocity v(t) on the intervl [, b], n if t 0 is some point in [, b], show tht the function s g(t) t t 0 v(u) u is n incresing function on [, b] n so hs n inverse: t g 1 (s) s g(t). Hence, show tht the curve cn be prmetrize in terms of rc lenght mesure from r(t 0 ). Yritä ensin toist väitteet itse j käy sen jälkeen läpi eräät rtkisut tämän monisteen lopust. Yhen muuttujn funktiot Trkist, että ost j ymmärrät seurvt sit: yhen muuttujn funktion jtkuvuuen määritelmä yhen muuttujn funktion erivtn määritelmä tvllisimmt erivointisäännöt yhen muuttujn funktioille Löyät kikki määritelmät esim. Ams-Essexistä ti Clculus Fennicuksest (ti vikk wikipeist). Kirjoit ne itsellesi muistiin j mieti smll, mitä määritelmissä toell snotn. Miksi sit olikn määritelty juuri näin? Milliset funktiot eivät ole jtkuvi? Milloin funktioll ei ole erivtt, vikk se olisikin jtkuv? Derivointiosmisesi voit testt seurvll tehtävällä:

3 3 Tehtävä 3 Derivoi seurvt funktiot, jos mhollist. Älä käytä lskint ti tietokonett, trkoitus on kerrt erivointisääntöjä. ) (x) ln(3x + 2) b) b(x) e sin(3x2 x) c) c(x) sin(x 3 1) cos(x 5 ) ) (x) x3 2x x 2 +x+1 ( e) e(x) tn ) e x2 3x 4 +x 2 Voit toki trkist mtemtiikkohjelmll vstuksesi. Anlyyttinen geometri Trkist, että ost j ymmärrät seurvt sit: Eukliisen vruuen (R 2 j R 3 ) vektorit, kntvektorit i, j j k j koorintit sklritulo (eli sisätulo eli pistetulo) vektoritulo (eli ristitulo) vruuen R 3 suort j tsot, erityisesti: Miten löyetään luseke khen nnetun pisteen kutt kulkevlle suorlle? Miten löyetään luseke kolmen nnetun pisteen kutt kulkevlle tsolle? Jos tson yhtälö x+by+cz on nnettu, mikä on sen normli? Kertmist vrten lue luentomonisteen luvut trvittvin osin. Asit löytyvät myös niin Ams-Essexistä kuin Clculus Fennicuksestkin. Jos olet juuri ollut mtriisilskennn kurssill j käsitellyt siis viimeksi ennen joulu vektoreit, tsoj j suori, lienevät sit vrsin hyvin muistiss. Vektoreist on pri tehtävää 2. viikon hrjoituksiss.

4 4 Tehtävän 1 rtkisu As clime in the sttement of the problem, r 1 (t) r 2 (u(t)), where u is function from [, b] to [c, ], hving u() c n u(b). We ssume u is ifferentible. Since u is one-to-one n orienttion-preserving, u/t 0 on [, b]. By the Chin Rule t r 1(t) u r 2(u) u t, n so b t r b 1(t) t u r 2 (u(t)) u t t u r 2(u) u. c Tehtävän 2 rtkisu If r r(t) hs nonvnishing velocity v r/t on [, b], then for ny t 0 in [, b], the function s g(t) t t 0 v(u) u, which gives the (signe) rc lenght s mesure from r(t 0 ), is n incresing function: s t g (t) v(t) > 0 on [, b], by the Funmentl Theorem of Clculus. Hence g is invertible, n efines t s function of rc length s: Then t g 1 (s) s g(t). r r 2 (s) r ( g 1 (s) ) is prmetriztion of the curve r r(t) in terms of rc length. Tehtävän 3 rtkisu ) Tässä trvitn yhistetyn funktion erivointikv f(g(x)) x g (x)f (g(x)), logritmin erivointikv ln(x) 1 sekä polynomifunktion erivointikv n x x x i0 ix i n i1 i ix i 1. (x) x ln(3x + 2) (3x + 2) x 3x x + 2.

5 5 b) Eellisen tehtävän kvojen lisäksi trvitn kvt x ex e x j sin(x) x cos(x). b (x) x esin(3x2 x) x (sin(3x2 x))e sin(3x2 x) x (3x2 x) cos(3x 2 x)e sin(3x2 x) (6x 1) cos(3x 2 x)e sin(3x2 x) c) Tätä tehtävää vrten lisätään kv-rsenliin tulon erivointisääntö (f(x)g(x)) f (x)g(x) + f(x)g (x) j kv cos(x) sin(x). x x c (x) x (sin(x3 1) cos(x 5 )) x (sin(x3 1)) cos(x 5 ) + sin(x 3 1) x (cos(x5 )) x (x3 1) cos(x 3 1) cos(x 5 ) + sin(x 3 1) x (x5 )( sin(x 5 )) 3x 2 cos(x 3 1) cos(x 5 ) 5x 4 sin(x 3 1) sin(x 5 ) ) Nyt trvitn tulon erviointisäännöstä helposti johettviss olev osmäärän erivointikv. x ( ) f(x) g(x) x (f(x)(g(x)) 1 ) f (x)(g(x)) 1 + f(x) x (g(x)) 1 g(x)f (x)(g(x)) 2 f(x)g (x)(g(x)) 2 g(x)f (x) f(x)g (x) (g(x)) 2

6 6 Sitten vin lskemn. (x) x ( x 3 2x x 2 + x + 1 ) (x2 + x + 1) x (x3 2x) (x 3 2x) x (x2 + x + 1) (x2 + x + 1)(3x 2 2) (x 3 2x)(2x + 1) 3x4 + 3x 3 + x 2 2x 2 (2x 4 + x 3 4x 2 2x) x4 + 2x 3 + 5x 2 2 e) Aloitetn johtmll tngentin erivointikv (hiemn yleisemmässä muooss kuin totuttu). x tn(f(x)) ( ) sin(f(x)) x cos(f(x)) (sin(f(x))) cos(f(x)) sin(f(x)) x x (cos(f(x))) cos 2 (f(x)) (f(x)) cos(f(x)) cos(f(x)) sin(f(x)) (f(x))( sin(f(x))) x x cos 2 (f(x)) f (x) cos 2 (f(x)) + f (x) sin 2 (f(x)) cos 2 (f(x)) f (x)(1 + tn 2 (f(x))) Lsketn sitten sisäfunktion erivtt. ( ) e x2 x (ex2 )(3x 4 + x 2 ) (e x2 ) x (3x4 + x 2 ) x 3x 4 + x 2 (3x 4 + x 2 ) 2 x (x2 )(e x2 )(3x 4 + x 2 ) (e x2 )(12x 3 + 2x) (3x 4 + x 2 ) 2 2xex2 (3x 4 + x 2 ) e x2 (12x 3 + 2x) 9x 8 + 6x 6 + x 4 (6x5 10x 3 2x)e x2 9x 8 + 6x 6 + x 4 6x4 10x 2 2 9x 7 + 6x 5 + x 3 ex2

7 7 Lopputulos on siis e (x) 6x4 10x 2 2 9x 7 + 6x 5 + x 3 (1 + tn 2 ( )) e x2 e x2. 3x 4 + x 2