10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.

Transkriptio

1 Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä. Kun palkkien normaalivoimista aiheutuvat pituudenmuutokset oletetaan nolliksi, on kehä nurkistaan siirtymätön. Kuvassa (b) on ratkaisussa käytettävä elementtiverkko numerointeineen. Elementtejä on 5 ja solmuja 6, joista on tuettu kiertymättömiksi. Laskujen lyhentämiseksi ratkaisussa käytetään vain vapaita solmujen rotaatioita, joten tuetut vapausasteet on numeroitu yhteisellä numerolla. Elementteihin, ja kohdistuvat niiden alueessa olevat kuormitukset, jotka käsitellään ekvivalenttisina solmukuormituksina. Lisäksi kuormituksena on solmussa 6 pistemomentti. Kirjoitetaan elementtien jäykkyysmatriisit ja ekvivalenttiset solmukuormitusvektorit ja merkitään niiden yhteyteen osoitteet sijoittelusummausta varten. Laskut ovat yksikköjärjestelmässä (kn,m), mutta yksiköitä ei välivaiheisiin merkitä näkyviin. E L = = 667,8 E = 5,6 L [ ] k 5,6 k 667,8 k = 5,6

2 Elementtimenetelmän perusteet [ ] k 667,8 k 5 = 667,8 {} r = { 5 5 } {} r = { 5 / 5 / } { r} = { 5 / 5 / } Suoraan solmuihin vaikuttavien kuormitusten vektori on { F } = { 5 / } Elementtiverkon perusyhtälö saadaan sijoittelusummaamalla edellä olevat jäykkyysmatriisit ja kuormitusvektorit 5,6 8 / 5 / 6 = 5 / Perusyhtälöstä ratkeavat tuntemattomat rotaatiot solmuissa, yksikkö on radiaani. =,988 =,6 =,77 Lasketaan solmuvoimavektorit elementin perusyhtälöstä { f} [ k] { u} { r} huomioon ekvivalenttiset solmukuormitukset m = 5,6, =, =, joka ottaa m = 667,8,988,99 =,798 m = 5,6,988,6 5 / 5 /,66 =,8 m = 667,8,6 5 / 5 /,7 =,8 5 m = 667,8,66,7697,8 =,66667

3 Elementtimenetelmän perusteet,,66,8,,667 N Q Q N N Q Q N N 5 Q 5 5 Q 6 N 6, Q Q,66,8 Q Q 5, N N N N5 N 8,798 Q 8 N,8 Q,667 N 6 Q 6,667 T,798 Q 8 N 8,8 Q N N Q 7 7,99 N Q 9 9,7 Kuva. Elementtien ja solmujen vapaakappalekuvat. Kuvassa on elementtien ja solmujen vapaakappalekuvat, joista voidaan todeta solmujen momenttitasapaino. Vapaakappalekuvissa on momenttien lisäksi solmun tukireaktio T ja leikkausvoimat QK Q, joita kahden vapausasteen palkkielementti ei ratkaise. Ne saadaan selville elementtien tasapainoehdoista. Kuvissa on myös normaalivoimat NK N, koska ne saadaan tämän esimerkin tuentatapauksessa ratkaistua tasapainoehdoista. Yleiselle hyperstaattiselle tuennalle normaalivoimien ratkaiseminen ei kahden vapausasteen palkkielementillä onnistu, koska palkkien pituudenmuutokset oletetaan nolliksi. Elementtien momenttitasapainosta ja solmujen ja elementtien vaaka ja pystytasapainosta seuraa tuntemattomille voimille tulokset Q =,9 kn Q = 7,6 kn Q =, kn Q = Q = Q6 =, kn Q7 = Q8 =, kn Q9 = Q 5 = N = N = 5, kn N = N =, kn N5 = N6 = N = N8 = 8, kn N9 = N =,58 kn T 7 =, kn 9,58 kn, kn

4 Elementtimenetelmän perusteet Laskettujen arvojen perusteella voidaan piirtää kuvan kehän vapaakappalekuva, josta voidaan todeta voima ja momenttitasapaino. Kuvasta näkyy, että palkkeihin syntyy normaalivoimia, joten palkit muuttavat hieman pituuksiaan. Tästä seuraa kehän nurkkapisteiden lievää siirtymistä, joka muuttaa hieman edellä saatuja tuloksia. Jos nurkkien siirtymät otetaan huomioon, täytyy solmumittausta täydentää tältä osin. Kuva. Kehän vapaakappalekuva. Edellä esitetystä seuraa, että palkkien leikkausvoimat saadaan aina elementtien poikittaisesta voimatasapainosta ja momenttitasapainosta, kun niiden päissä vaikuttavat momentit ovat elementtimenetelmäratkaisusta tunnetut. Tästä seuraa, että nurkistaan siirtymättömän tasokehän leikkausvoima ja taivutusmomenttikuva saadaan aina selville kahden vapausasteen palkkielementtiverkolla. Edelleen taivutusmomenttikuvan ollessa tunnettu voidaan tarvittaessa määrittää palkkien taipumaviivojen lausekkeet kimmoviivan differentiaaliyhtälöstä. Kuvassa on esitetty edellä tutkitun kehän rasituskuvat. Mukana on myös normaalivoimakuva, joka tällä kertaa saatiin selville. Huomattakoon, että jos esimerkiksi solmussa olisi ollut vaakasuuntainen voimatukireaktio, tasapainoyhtälöt eivät olisi riittäneet normaalivoimien määritykseen.

5 Elementtimenetelmän perusteet 5 5,, 8,,58 N,9 7,6,5 m, 9,58,,, Q 5,99,,66,798,,8,,8,667 5,6,86 M t,99,7 Kuva. Kehän rasituskuvat.