Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Transkriptio

1 Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi

2 Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus O se todeäköisyys, että yksikkö suorittaa tarkoitetulla tavalla sille kuuluvat tehtävät tarkasteltavaa ajajaksoa täsmeettyje ympäristöolosuhteide vallitessa. Huomioita Tarkasteltava yksikkö riippuu tilateesta» Toisiaa kyse kompoetista, toisiaa koko järjestelmästä vrt. vikapuut ja tapahtumapuut Tarkoitettu suorittamie kuvattava yksiselitteisesti» Tarpee esimerkiksi vahigokorvausvaatimuste ja viraomaisvaatimuste tulkitsemiseksi sopimus-juridiikka ja säädökset (direktiivit je.)» Tolerassirajat yleisiä esim. vaa a tarkkuude oltava 0 ± 0.00 kg Tarkoitettu yksikkö ja tehtävä kuvattava myös» Esim. auto hads free hajoamie ei estä kuljetustehtävä suorittamista, mutta työpuhelut jäävät soittamatta Ajajakso ohella voidaa käyttää muitaki suureita» Esim. ajokilometrit, virtakytkime kytkemiskerrat Olosuhteet rajattava myös» Esim. vuoristorajoitukset autovuokraajalle Islaissa Laatu vs. luotettavuus» Laatu staattie käsite viittaa omiaisuuksii joaki hetkeä, luotettavuus huomioi aja ja olosuhteet» Luotettavuus implikoi laadu, ei välttämättä toisi päi Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg

3 Koheretit järjestelmät (/) Kompoeti x i, i =,, tila 0, jos kompoetti ei toimi x i = ቊ, jos kompoetti toimii :stä kompoetista koostuva järjestelmä tilavektori o x = (x,, x ) Järjestelmä rakeefuktio 0, jos järjestelmä ei toimi tilavektorilla x φ(x) = ቊ, jos järjestelmä toimii tilavektorilla x Huom! sama muuttujie loogiste arvoje tulkita kui logiikkakaavioissa, se sijaa vikapuissa tarkoitti via esiitymistä! Esimerkkejä Sarjajärjestelmä - kompoetit peräkkäi» Kaikkie toimittava, jotta virta meisi läpi φ x = mi x,, x = x i i= Riakkaisjärjestelmä kompoetit ria» Yhdeki toimimie riittää φ x = max x,, x k/-järjestelmä φ x = 0,, = i= i= i= x i < k x i k x i Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg

4 Koheretit järjestelmät (/) Kompoetti o irrelevatti, jos sillä ei ole vaikutusta rakeefuktioo Esim. kompoetti o alla olevassa järjestelmässä irrelevatti φ x = x ( x )( x ) Järjestelmä o koheretti joss siiä ei ole irrelevatteja kompoetteja ja φ x,, x i, 0, x i+,, x φ x,, x i,, x i+,, x Ts. rakeefuktio o jokaise kompoeti osalta eiväheevä Yksittäise kompoeti muuttamie viallisesta toimivaksi voi tehdä järjestelmä toimivaksi, mutta ei toisi päi Yleesä pyritää raketamaa koheretteja järjestelmiä, koska äissä kompoetteja voidaa korjata ilma, että tämä voi aiheuttaa vikoja Kaikki järjestelmät eivät ole koheretteja: esimerkiksi yksikompoettie rakeefuktio o ei-koheretti φ x = x Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 4

5 Kompoettie kahdetamie (/) Luotettavuutta voidaa parataa kahdetamalla joko koko järjestelmä tai se osat mutta kumpi o parempi? a b a a b b Lause. Jos järjestelmä o koheretti ja x ja y ovat tilavektoreita, ii φ x y,, x y φ x φ y. Epäyhtälö pätee yhtäsuuruutea, ku φ x = i=? a b x i = ሡ x i i= a b a b Ts. kaattaa kahdetaa kompoetteja, ei järjestelmiä! Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 5

6 Kompoettie kahdetamie (/) Todistus. Kaikille i =,, pätee x i y i x i Järjestelmä o koheretti, jote rakeefuktio o argumettiesa suhtee ei-väheevä ja φ x y,, x y φ(x) Vastaavasti pätee φ x y,, x y φ(y) Saadaa siis φ x y,, x y max φ x, φ y = [ φ(x)][ φ(y)] Rakeefuktiolle pätee Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg φ x = i= x i Toisaalta φ x y,, x y = i= x i y i Tämä vastaa riakkaisjärjestelmää, jossa kahdetamistavalla ei siis väliä φ x φ y = i= x i y i 6

7 Raketeellie tärkeys (/) Kompoeti merkitys luotettavuude kaalta riippuu se sijaiista Esim. järjestelmässä kompoetti äyttää tärkeämmältä, koska se hajoamie väistämättä vikaauttaa koko järjestelmä; äi ei ole kompoettie ja osalta Kompoetti o toimivaa kolmessa tilavektorissa (,,), (,0,), (,,0), (,0,0) Järjestelmä toimii äistä kolmessa Jos x tilavektori, ii ( i, x i ) o tilavektori, jossa kompoetti i o toimii ja muut kompoetit saavat samat arvot kui mitä iillä o tilavektorissa x Vastaavasti (0 i, x i ) o tilavektori, jossa kompoetti i ei toimi, mutta muut saavat tilavektori x mukaiset arvot Määritelmä. Kompoeti i raketeellie tärkeys koheretissa järjestelmässä o I φ i = φ i, x i φ(0 i, x i ) x x i = Tämä o suhteellie osuus iistä muide kompoettie tiloista, joissa kompoeti vikaatumie vikaauttaa koko järjestelmä Myös todeäköisyys, jos muut kompoetit vikaatuvat riippumattomasti yhtä isolla t:llä Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 7

8 Raketeellie tärkeys (/) Esimerkkijärjestelmä Kompoetti toimivaa mukaa tilavektoreissa (,,), (,0,), (,,0), (,0,0) Järjestelmä toimii äistä kolmessa esimmäisessä Kompoeti vikaatumie johtaa tilavektoreihi (0,,), (0,0,), (0,,0), (0,0,0) Järjestelmä ei toimi äistä missää I φ = = 4 Vastaavasti kompoetille saadaa tilavektorit (,,),(,0,),(0,,),(0,0,) (kaksi toimii) (,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,0) (yksi toimii) I φ = = 4 Symmetriasyistä kompoeti raketeellie tärkeys sama kui kompoeti Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 8

9 Miimitoimitapolut ja -katkosjoukot Merkitää x < y joss x i y i kaikille i =,, ja x i < y i jolleki i:lle Tarkastellaa seuraavassa koherettia järjestelmää Tilavektori x o toimitapolku, joss φ x = (joss = jos ja vai jos) Toimitapolku x o miimitoimitapolku, joss φ y = 0, y < x So. yhdeki miimitoimitapolulla oleva kompoeti hajoamie vikaauttaa järjestelmä Tilavektori x o katkosjoukko, joss φ x = 0 Katkosjoukko x o miimikatkosjoukko, joss φ y =, y > x So. yhdeki miimikatkosjoukkoo kuuluva kompoeti korjaamie palauttaa järjestelmä toimivaksi Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 9

10 Esimerkki Järjestelmä Vikapuu T + + Lasketaa huipputapahtuma Boole algebralla saadaa katkosjoukot {}, {,} ja {,}, {,} Miimikatkosjoukot (,0,0) ja (0,,) Miimitoimitapolut (,,0) ja (,0,) Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 0

11 Rakeefuktio ja toimitapolut Olkoot P,, Ps kohereti järjestelmä miimitoimitapolut ja α j (x) = jos kaikki P j: kompoetit toimivat 0, jos joki P j : kompoetti ei toimi Pätee α j (x) = mi i P j x i = i P j x i Järjestelmä toimii, jos joki toimitapolu kompoetit toimivat φ x = jos α j(x)= jolleki toimitapolulle 0, jos α j (x)=0 kaikille toimitapoluille Saadaa siis φ x = max α j (x) = max x i = x i j j i P j j= i P j Rakeefuktio o siis yksikäsitteisesti esitettävissä miimitoimitapolkuje riakkaisjärjestelmää Ks. esim. miimitoimitapolut (,,0), (,0,) s φ x = ( x x )( x x ) = x x + x x x x x Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg

12 Rakeefuktio ja katkosjoukot Olkoot C,, C k kohereti järjestelmä miimikatkosjoukot ja β j (x) =, jos aiaki yksi kompoetti C j:ssä toimii 0, jos mikää kompoetti C j :ssä ei toimi Pätee β j x = max i C j x i = i C j x i Järjestelmä ei toimi, jos joki miimikatkosjouko kaikki kompoetit pettävät φ x = jos β j(x)= kaikille katkosjoukoille 0, jos β j (x)=0 jolleki katkosjoukoille Tällöi φ x = mi j k β j (x) = β j (x) = j= k j= i C j x i Rakeefuktio siis yksikäsitteisesti esitettävissä miimikatkosjoukkoje sarjajärjestelmää Ks. esim. miimikatkosjoukot (,0,0,), (0,,) φ x = ( x ) ( x )( x ) = x x + x x x = x x + x x x x x Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg

13 Järjestelmä luotettavuus Kompoeti i tila o satuaismuuttuja 0, jos kompoetti i ei toimi X i = ቊ, jos kompoetti i toimii Kompoeti i luotettavuus p i = P X i = Tilavektorista vastaavasti saadaa siis t-vektori p i = (p,, p ) Huom! Tarkasteluajakohta täsmeettävä, muute ei mielekäs määritelmä Järjestelmä luotettavuus r p = P[ φ(x) = ] Käytetää myös termiä luotettavuusfuktio Voidaa määrittää odotusarvoa r p = E φ(x) koska φ(x) o biäärimuuttuja Esimerkkejä Sarjajärjestelmä toimii, jos se kaikki kompoetit toimivat (oletetaa ämä riippumattomiksi) r p = P φ(x) = = P = i= P[X i = ] = Riakkaisjärjestelmälle r p = i= p i i= p i i= X i = Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg

14 Luotettavuude laskeasta (/) Toimitapolut Järjestelmä toimii, jos joki toimitapolku kuossa Luotettavuus o siis t sille, että tilavektoria o toimitapolku Järjestelmä luotettavuus = toimitapolkuje t:ie summa Esim. /-järjestelmä toimitapolut (0,,), (,0,), (,,0), (,,) r p = p p p + p p p + p p p + p p p = p p + p p + p p p p p T:ie p i sijoittamie X i :ide paikalle rakeefuktiossa φ X = ( X X )( X X )( X X ) ei aa oikeaa odotusarvoa, koska tällöi tulee vääriä tulotermejä (p ). Ts. biäärimuuttujille pätee E X i = E X i = p i Sama luotettavuus saadaa odotusarvoa E[φ X ] = E[ ( X X )( X X )( X X )] = E[X X + X X + X X X X X X X X X X X + X X X ] = E X X + X X + X X X X X = r(p) Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 4

15 Luotettavuude laskeasta (/) Katkosjoukot Järjestelmä ei toimi, jos joku katkosjoukko toteutuu Luotettavuus saadaa siis vähetämällä yhdestä t sille, että tilavektori o katkosjoukko» Katkosjoukot (0,0,0,0), (0,0,0,), (0,0,,0), (0,0,,) ja (0,,0,0)» Näi luotettavuudeksi saadaa r p = p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 Ehdollistamie Järjestelmä toimita voidaa ehdollistaa joku avaikompoeti toimialle r p = P φ i, x i P x i = + P φ 0 i, x i P x i = 0 = r i, p i p i + r 0 i, p i ( p i ) 4 Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 5

16 Luotettavuude laskeasta (/) Ehdollistamie (jatk.) Tarkastellaa järjestelmää 4 Ehdollistetaa järjestelmä kompoetille A: Kompoetti toimii B: Ei toimi 4 A: luotettavuus r p A = p p 4 B: luotettavuus r p B = p p p 4 Koko järjestelmä luotettavuus siis r p = ( p p 4 )p + ( p p p 4 )( p ) 4 Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 6

17 Luotettavuude tärkeys Koheretissa järjestelmässä kompoeti luotettavuude tärkeyttä kuvaa I r i = r(p), i =,, p i Ts. mite paljo järjestelmä luotettavuus muuttuu, jos yksittäiste kompoeti luotettavuus muuttuu? Luotettavuude ehdollistamiskaavaa käyttäe tämä voidaa kirjoittaa muodossa I r i = r i, p i r 0 i, p i Kuossapito kaattaa pyrkiä kohdetamaa luotettavuudeltaa tärkeimpii kompoetteihi Esim. sarjajärjestelmässä i:e kompoeti luotettavuus r p = j= I r i = r(p) p j p i = j i p j Ts. tärkeys suuri kompoetille, joka luotettavuus piei (tällöi muide tulo suuri) ketju o yhtä vahva kui se heikoi lekki Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 7

18 Lasketa-approksimoieista (/) Huomioita Rakeefuktio käyttöö perustuvat em. laskutavat atavat tarka luotettavuusarvo Kompoettie oletetaa kuiteki oleva toisistaa riippumattomia vailla yhteisiä vikaatumissyitä Isoissa järjestelmissä tarkka lasketa tulee raskaaksi tarvitaa approksimaatioita Koherettie järjestelmie approksimaatioide ääripäiä sarja- ja riakkaisjärjestelmät, jote i= p i r p i= ( p i )» Ei kuitekaa kovi käyttökelpoie jos esim. eljä kompoettia yhteisellä t:llä p = 0.9, ii rajoiksi saadaa = ja -(-0.9) 4 = , mitkä ovat liia väljät Miimitoimitapolut ja -katkosjoukot Järjestelmä voidaa kuvata sarjaakytkettyiä miimikatkosjoukkoia tai riakkaikytkettyiä miimitoimitapolkuia Näistä saadaa luotettavuusrajat k j= i C j ( p i ) r p s j= i P j p i Kompoetit voivat olla useilla toimitapoluilla ja useissa katkosjoukoissa, kyse approksimaatiosta A B Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 8

19 Lasketa-approksimoieista (/) Esimerkki Miimitoimitapolut {}, {,},{,4} Miimikatkosjoukot {,},{,,4} Miimitoimitapoluista saadaa luotettavuudelle yläraja r p = p p p p p 4 Miimikatkosjoukoista saadaa luotettavuudelle alaraja r p = p p p p p 4 Jos kaikkie kompoettie t:t samoja, ii p p r p ( p)( p ) 4 Tarkka arvo voidaa laskea seuraavista toisesa poissulkevista katkosvektoreista (0,0,0,0),(0,0,,0),(0,0,0,),(0,0,,),(0,,0,0) Mat-.7 Riskiaalyysi / Ahti Salo, Ja-Erik Holmberg 9