Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
|
|
- Helmi Kähkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi
2 Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus O se todeäköisyys, että yksikkö suorittaa tarkoitetulla tavalla sille kuuluvat tehtävät tarkasteltavaa ajajaksoa täsmeettyje ympäristöolosuhteide vallitessa. Huomioita Tarkasteltava yksikkö riippuu tilateesta» Toisiaa kyse kompoetista, toisiaa koko järjestelmästä vrt. vikapuut ja tapahtumapuut Tarkoitettu suorittamie kuvattava yksiselitteisesti» Tarpee esimerkiksi vahigokorvausvaatimuste ja viraomaisvaatimuste tulkitsemiseksi sopimus-juridiikka ja säädökset (direktiivit je.)» Tolerassirajat yleisiä esim. vaa a tarkkuude oltava 0 ± 0.00 kg Tarkoitettu yksikkö ja tehtävä kuvattava myös» Esim. auto hads free hajoamie ei estä kuljetustehtävä suorittamista, mutta työpuhelut jäävät soittamatta Ajajakso ohella voidaa käyttää muitaki suureita» Esim. ajokilometrit, virtakytkime kytkemiskerrat Olosuhteet rajattava myös» Esim. vuoristorajoitukset autovuokraajalle Islaissa Laatu vs. luotettavuus» Laatu staattie käsite viittaa omiaisuuksii joaki hetkeä, luotettavuus huomioi aja ja olosuhteet» Luotettavuus implikoi laadu, ei välttämättä toisi päi
3 Koheretit järjestelmät (/) Kompoeti x i, i =,, tila 0, jos kompoetti ei toimi x i = ቊ, jos kompoetti toimii :stä kompoetista koostuva järjestelmä tilavektori o x = (x,, x ) Järjestelmä rakeefuktio 0, jos järjestelmä ei toimi tilavektorilla x φ(x) = ቊ, jos järjestelmä toimii tilavektorilla x Huom! sama muuttujie loogiste arvoje tulkita kui logiikkakaavioissa, se sijaa vikapuissa tarkoitti via esiitymistä! Esimerkkejä Sarjajärjestelmä - kompoetit peräkkäi» Kaikkie toimittava, jotta virta meisi läpi φ x = mi x,, x = x i i= Riakkaisjärjestelmä kompoetit ria» Yhdeki toimimie riittää φ x = max x,, x k/-järjestelmä φ x = 0,, = i= i= i= x i < k x i k x i
4 Koheretit järjestelmät (/) Kompoetti o irrelevatti, jos sillä ei ole vaikutusta rakeefuktioo Esim. kompoetti o alla olevassa järjestelmässä irrelevatti φ x = x ( x )( x ) Järjestelmä o koheretti joss siiä ei ole irrelevatteja kompoetteja ja φ x,, x i, 0, x i+,, x φ x,, x i,, x i+,, x Ts. rakeefuktio o jokaise kompoeti osalta eiväheevä Yksittäise kompoeti muuttamie viallisesta toimivaksi voi tehdä järjestelmä toimivaksi, mutta ei toisi päi Yleesä pyritää raketamaa koheretteja järjestelmiä, koska äissä kompoetteja voidaa korjata ilma, että tämä voi aiheuttaa vikoja Kaikki järjestelmät eivät ole koheretteja: esimerkiksi yksikompoettie rakeefuktio o ei-koheretti φ x = x 4
5 Kompoettie kahdetamie (/) Luotettavuutta voidaa parataa kahdetamalla joko koko järjestelmä tai se osat mutta kumpi o parempi? a b a a b b Lause. Jos järjestelmä o koheretti ja x ja y ovat tilavektoreita, ii φ x y,, x y φ x φ y. Epäyhtälö pätee yhtäsuuruutea, ku φ x = i=? a b x i = ሡ x i i= a b a b Ts. kaattaa kahdetaa kompoetteja, ei järjestelmiä! 5
6 Kompoettie kahdetamie (/) Todistus. Kaikille i =,, pätee x i y i x i Järjestelmä o koheretti, jote rakeefuktio o argumettiesa suhtee ei-väheevä ja φ x y,, x y φ(x) Vastaavasti pätee φ x y,, x y φ(y) Saadaa siis φ x y,, x y max φ x, φ y = [ φ(x)][ φ(y)] Rakeefuktiolle pätee φ x = i= x i Toisaalta φ x y,, x y = i= x i y i Tämä vastaa riakkaisjärjestelmää, jossa kahdetamistavalla ei siis väliä φ x φ y = i= x i y i 6
7 Raketeellie tärkeys (/) Kompoeti merkitys luotettavuude kaalta riippuu se sijaiista Esim. järjestelmässä kompoetti äyttää tärkeämmältä, koska se hajoamie väistämättä vikaauttaa koko järjestelmä; äi ei ole kompoettie ja osalta Kompoetti o toimivaa kolmessa tilavektorissa (,,), (,0,), (,,0), (,0,0) Järjestelmä toimii äistä kolmessa Jos x tilavektori, ii ( i, x i ) o tilavektori, jossa kompoetti i o toimii ja muut kompoetit saavat samat arvot kui mitä iillä o tilavektorissa x Vastaavasti (0 i, x i ) o tilavektori, jossa kompoetti i ei toimi, mutta muut saavat tilavektori x mukaiset arvot Määritelmä. Kompoeti i raketeellie tärkeys koheretissa järjestelmässä o I φ i = φ i, x i φ(0 i, x i ) x x = Tämä o suhteellie osuus iistä muide kompoettie tiloista, joissa kompoeti vikaatumie vikaauttaa koko järjestelmä Myös todeäköisyys, jos muut kompoetit vikaatuvat riippumattomasti yhtä isolla t:llä 7
8 Raketeellie tärkeys (/) Esimerkkijärjestelmä Kompoetti toimivaa mukaa tilavektoreissa (,,), (,0,), (,,0), (,0,0) Järjestelmä toimii äistä kolmessa esimmäisessä Kompoeti vikaatumie johtaa tilavektoreihi (0,,), (0,0,), (0,,0), (0,0,0) Järjestelmä ei toimi äistä missää I φ = = 4 Vastaavasti kompoetille saadaa tilavektorit (,,),(,0,),(0,,),(0,0,) (kaksi toimii) (,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,0) (yksi toimii) I φ = = 4 Symmetriasyistä kompoeti raketeellie tärkeys sama kui kompoeti 8
9 Miimitoimitapolut ja -katkosjoukot Merkitää x < y joss x i y i kaikille i =,, ja x i < y i jolleki i:lle Tarkastellaa seuraavassa koherettia järjestelmää Tilavektori x o toimitapolku, joss φ x = (joss = jos ja vai jos) Toimitapolku x o miimitoimitapolku, joss φ y = 0, y < x So. yhdeki miimitoimitapolulla oleva kompoeti hajoamie vikaauttaa järjestelmä Tilavektori x o katkosjoukko, joss φ x = 0 Katkosjoukko x o miimikatkosjoukko, joss φ y =, y > x So. yhdeki miimikatkosjoukkoo kuuluva kompoeti korjaamie palauttaa järjestelmä toimivaksi 9
10 Esimerkki Järjestelmä Vikapuu T + + Lasketaa huipputapahtuma Boole algebralla saadaa katkosjoukot {}, {,} ja {,}, {,} Miimikatkosjoukot (,0,0) ja (0,,) Miimitoimitapolut (,,0) ja (,0,) 0
11 Rakeefuktio ja toimitapolut Olkoot P,, P s kohereti järjestelmä miimitoimitapolut ja α j (x) = jos kaikki P j: kompoetit toimivat 0, jos joki P j : kompoetti ei toimi Pätee α j (x) = mi i P j x i = i P j x i Järjestelmä toimii, jos joki toimitapolu kompoetit toimivat φ x = jos α j(x)=0 jolleki toimitapolulle 0, jos α j (x)= kaikille toimitapoluille Saadaa siis φ x = max α j (x) = max x i = x i j j i P j j= i P j Rakeefuktio siis yksikäsitteisesti esitettävissä miimitoimitapolkuje riakkaisjärjestelmää Ks. esim. miimitoimitapolut (,,0), (,0,) s φ x = ( x x )( x x ) = x x + x x x x x
12 Rakeefuktio ja katkosjoukot Olkoot C,, C k kohereti järjestelmä miimikatkosjoukot ja β j (x) = jos aiaki yksi kompoetti C j:ssä toimii 0, jos mikää kompoetti C j :ssä ei toimi Pätee β j x = max i C j x i = i C j x i Järjestelmä ei toimi, jos joki miimikatkosjouko kaikki kompoetit pettävät φ x = jos β j(x)= kaikille toimitapolulle 0, jos β j (x)=0 jolleki toimitapoluille Tällöi φ x = mi j k β j (x) = β j (x) = j= k j= i C j x i Rakeefuktio siis yksikäsitteisesti esitettävissä miimikatkosjoukkoje sarjajärjestelmää Ks. esim. miimikatkosjoukot (,0,0,), (0,,) φ x = ( x ) ( x )( x ) = x x + x x x = x x + x x x x x
13 Järjestelmä luotettavuus Kompoeti i tila o satuaismuuttuja 0, jos kompoetti i ei toimi X i = ቊ, jos kompoetti i toimii Kompoeti i luotettavuus p i = P X i = Tilavektorista vastaavasti saadaa siis t-vektori p i = (p,, p ) Huom! Tarkasteluajakohta täsmeettävä, muute ei mielekäs määritelmä Järjestelmä luotettavuus r p = P[φ(x) =
14 Luotettavuude laskeasta (/) Toimitapolut Järjestelmä toimii, jos joki toimitapolku kuossa Luotettavuus o siis t sille, että tilavektoria o toimitapolku Järjestelmä luotettavuus = toimitapolkuje t:ie summa Esim. /-järjestelmä toimitapolut (0,,), (,0,), (,,0), (,,) r p = p p p + p p p + p p p + p p p = p p + p p + p p p p p T:ie p i sijoittamie X i :ide paikalle rakeefuktiossa φ X = ( X X )( X X )( X X ) ei aa oikeaa odotusarvoa, koska tällöi tulee vääriä tulotermejä (p ). Ts. biäärimuuttujille pätee E X i = E X i = p i Sama luotettavuus saadaa odotusarvoa E[φ X ] = E[ ( X X )( X X )( X X )] = E[X X + X X + X X X X X X X X X X X + X X X ] = E X X + X X + X X X X X = r(p) 4
15 Luotettavuude laskeasta (/) Katkosjoukot Järjestelmä ei toimi, jos joku katkosjoukko toteutuu Luotettavuus saadaa siis vähetämällä yhdestä t sille, että tilavektori o katkosjoukko» Katkosjoukot (0,0,0,0), (0,0,0,), (0,0,,0), (0,0,,) ja (0,,0,0)» Näi luotettavuudeksi saadaa r p = p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 Ehdollistamie Järjestelmä toimita voidaa ehdollistaa joku avaikompoeti toimialle r p = P φ i, x i P x i = + P φ 0 i, x i P x i = 0 = r i, p i p i + r 0 i, p i ( p i ) 4 5
16 Luotettavuude laskeasta (/) Ehdollistamie (jatk.) Tarkastellaa järjestelmää 4 Ehdollistetaa järjestelmä kompoetille A: Kompoetti toimii B: Ei toimi 4 A: luotettavuus r p A = p p 4 B: luotettavuus r p B = p p p 4 Koko järjestelmä luotettavuus siis r p = ( p p 4 )p + ( p p p 4 )( p ) 4 6
17 Luotettavuude tärkeys Koheretissa järjestelmässä kompoeti luotettavuude tärkeyttä kuvaa I r i = r(p), i =,, p i Ts. mite paljo järjestelmä luotettavuus muuttuu, jos yksittäiste kompoeti luotettavuus muuttuu? Luotettavuude ehdollistamiskaavaa käyttäe tämä voidaa kirjoittaa muodossa I r i = r i, p i r 0 i, p i Kuossapito kaattaa pyrkiä kohdetamaa luotettavuudeltaa tärkeimpii kompoetteihi Esim. sarjajärjestelmässä i:e kompoeti luotettavuus r p = j= I r i = r(p) p j p i = j i p j Ts. tärkeys suuri kompoetille, joka luotettavuus piei (tällöi muide tulo suuri) ketju o yhtä vahva kui se heikoi lekki 7
18 Lasketa-approksimoieista (/) Huomioita Rakeefuktio käyttöö perustuvat em. laskutavat atavat tarka luotettavuusarvo Kompoettie oletetaa kuiteki oleva toisistaa riippumattomia vailla yhteisiä vikaatumissyitä Isoissa järjestelmissä tarkka lasketa tulee raskaaksi tarvitaa approksimaatioita Koherettie järjestelmie approksimaatioide ääripäiä sarja- ja riakkaisjärjestelmät, jote i= p i r p i= ( p i )» Ei kuitekaa kovi käyttökelpoie jos esim. eljä kompoettia yhteisellä t:llä p = 0.9, ii rajoiksi saadaa = ja -(-0.9) 4 = , mitkä ovat liia väljät Miimitoimitapolut ja -katkosjoukot Järjestelmä voidaa kuvata sarjaakytkettyiä miimikatkosjoukkoia tai riakkaikytkettyiä miimitoimitapolkuia Näistä saadaa luotettavuusrajat k j= i C j ( p i ) r p s j= i P j p i Kompoetit voivat olla useilla toimitapoluilla ja useissa katkosjoukoissa, kyse approksimaatiosta A B 8
19 Lasketa-approksimoieista (/) Esimerkki Miimitoimitapolut {}, {,},{,4} Miimikatkosjoukot {,},{,,4} Miimitoimitapoluista saadaa luotettavuudelle yläraja r p = p p p p p 4 Miimikatkosjoukoista saadaa luotettavuudelle alaraja r p = p p p p p 4 Jos kaikkie kompoettie t:t samoja, ii p p r p ( p)( p ) 4 Tarkka arvo voidaa laskea seuraavista toisesa poissulkevista katkosvektoreista (0,0,0,0),(0,0,,0),(0,0,0,),(0,0,,),(0,,0,0) 9
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Otantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
Luento 6 Yhteisvikojen analyysi PSA:n sovelluksia
Luento 6 Yhteisvikojen analyysi PSA:n sovelluksia Jan-Erik Holmberg Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto jan-erik.holmberg@riskpilot.fi 1 Katkosjoukkojen
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Tilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu
****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä PSA:sta
Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä S:sta hti Salo Teknillinen korkeakoulu L 1100, 0015 TKK 1 Toisistaan riippuvat vikaantumiset Riippuvuuksien huomiointi erustapahtumien taustalla voi olla yhteisiä
Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
Insinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi
Luento 5 Yhteisvikojen analyysi PSA:n sovelluksia
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Luento 5 Yhteisvikojen analyysi S:n sovelluksia hti Salo Systeemianalyysin laboratorio alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu L 11100, 00076 alto ahti.salo@aalto.fi
Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
S Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia
Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.
Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä PSA:sta
Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä S:sta hti Salo L 1100, 0015 TKK 1 Toisistaan riippuvat vikaantumiset Riippuvuuksien huomiointi erustapahtumien taustalla voi olla yhteisiä syitä Nämä on pyrittävä
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Parametrien oppiminen
38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee
Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää
Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus
TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä
TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
Luento 4 Vikapuuanalyysit
Luento 4 Vikapuuanalyysit Ahti Salo Teknillinen korkeakoulu PL 1100, 02015 TKK 1 Vikapuuanalyysin vaiheet Ongelman ja reunaehtojen määrittely Vikapuun rakentaminen Minimikatkosjoukkojen tunnistaminen Kvalitatiivinen
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien
Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
Kokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia
Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008 Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla
Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji
n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Luento 5 Vikapuuanalyysit
Luento 5 Vikapuuanalyysit Jan-Erik Holmberg Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto jan-erik.holmberg@riskpilot.fi 1 Influenssarokotus (1/3) Rokotuskampanja
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot
Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Kompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
j = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =
764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
Pistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.
S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat
2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä
Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä.
Vaasa yliopisto julkaisuja 71 4 MATRIISIT JA MATRIISILASKUT Ch:Matrix Sec:MatLaskut 4.1 Matriisi ja matriisilaskut Matriisi o suorakulmaie lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: 2 0.4 8 0 a b,, x1 x
Luento 4 Vikapuuanalyysit
Luento 4 Vikapuuanalyysit Ahti Salo Teknillinen korkeakoulu PL 1100, 02015 TKK 1 Vikapuuanalyysin vaiheet ❶ Ongelman ja reunaehtojen määrittely ❷ Vikapuun rakentaminen ❸ Minimikatkosjoukkojen tunnistaminen
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan