puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
|
|
- Sofia Anja Korpela
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille x R. Lämmönjohtumisyhtälöllä on eräänä ratkaisuna (HT) ns. lämpöydin (tai lämmönjohtumisyhtälön perusratkaisu) k(x, t) 1 4πt e x2 /(4t). Vastaavasti, n-ulotteisella lämmönjohtumisyhtälöllä on ainakin ratkaisu (x, t) 1 (4πt) n/2 e x 2 /(4t). Tällöin myös (x, t) k(x ξ, t) on ratkaisu kaikille ξ R, joten yhtälön lineaarisuuden nojalla tällaisten ratkaisujen lineaarikombinaatiot ovat ratkaisuja. Kun f : R R on annettu funktio, niin sen avulla rakennettu lineaarikombinaatio on (8.2) (K t f)(x) k(x ξ, t)f(ξ) dξ 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) f(ξ) dξ. Tässä funktioista k t : x k(x, t) ja x f(x) muodostettu funktio K t f on nimeltään funktioiden k t ja f konvoluutio, ja sitä merkitään tavallisesti (k t f)(x) Funktiolla k t on seuraavat tärkeät ominaisuudet: k t (x) ja k t (x ξ)f(ξ) dξ. k t (x) dx 1. Jälkimmäinen seuraa muuttujanvaihdolla x 4t y, kun muistetaan, mitä Sir William Thomson on lausunut (ks. kuvaa 5; vrt. [27, Problem 3 41]). Lisäksi k t lähestyy varsin nopeasti nollaa, kun x. Yksinkertaisempi konvoluutio saadaan, kun k t :n sijasta käytetään funktiota { 1/δ, kun x δ/2, g(x), kun x > δ/2. Tällöin nimittäin (g f)(x) g(x ξ)f(ξ) dξ 1 δ x+δ/2 x δ/2 f(ξ) dξ. Tässä tapauksessa konvoluutio on siis funktion f liikkuva keskiarvo. Lisäksi tämäkin konvoluutio on hieman sileäpi kuin f: jos f on integroituva, on g f jatkuva, ja 1 Viimeksi muutettu
2 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 47 WHAT EVERY YOUNG MATHEMATICIAN SHOULD KNOW LORD K. ELVIN The purpose of this paper is to call attention to a result of which many mathematicians seem to be ignorant. Theorem 1. The value of e x2 dx is Proof. We have ( 2 ( e dx) x2 2π 2π 2π 2π π. e x2 dx π. ) ( e x2 dx e x2 e y2 dx dy e (x2 +y 2) dx dy e r2 r dr dθ [ ] e r2 r dr dθ [ r ] e r2 dθ 2 r [ ] 1 dθ 2 e y2 dy ) by Fubini using polar coordinates Remark 2. A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Date: April 1, Kuva 5
3 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 48 jos f on jatkuva, on g f jatkuvasti derivoituva. Lisäksi, koska g(x) dx 1 ja (g f)(x) g(ξ)f(x ξ) dξ, on jatkuvalle funktiolle f (g f)(x) f(x) g(ξ) f(x ξ) f(x) dξ sup{ f(x ξ) f(x) ξ δ/2}, kun δ. Kun konvoluutiossa käytetään lämpöydintä, saadaan seuraava tulos: Lause 8.1. Olkoon f : R R jatkuva ja rajoitettu. Tällöin kaavan (8.2) avulla määritelty funktio u: R [, ) R, { u(x, t) Kt f(x), kun t >, ja u(x, ) f(x), on jatkuva ja rajoitettu, kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva joukossa R (, ), ja toteuttaa alkuarvotehtävän (8.1). Todistus. Rajoitetulle funktiolle g : R R olkoon Funktiolle ξ k(x ξ, t)f(ξ) on joten epäoleellinen integraali suppenee itseisesti, ja g sup{ g(x) x R}. k(x ξ, t)f(ξ) k(x ξ, t) f, K t f(x) Siis x K t f(x) on rajoitettu, ja k(x ξ, t)f(ξ) dξ K t f(x) f k(x ξ, t) dξ f. K t f f. Seuraavat aputulokset, jatkuvuuslemma ja derivointilemma, on differentiaali- ja integraalilaskennan kursseilla todistettu tapauksessa, missä integroimisjoukko on kompakti. Tapauksessa, missä integroimisjoukko ei ole kompakti tai missä integraali on epäoleellinen, tulokset on helpointa todistaa Lebesguen integraalin avulla. Klassisempia, epäoleelliseen Riemannin integraaliin pohjautuvia tuloksia löytyy mm. kirjasta [14, II/1, 4.12]. Lause 8.2 (Jatkuvuuslemma). Olkoot X R n ja Y R m avoimia joukkoja sekä f : X Y R jatkuva funktio siten, että (i) kaikille y Y funktio x f(x, y) on (itseisesti) integroituva X:ssä, t.s. f(x, y) dx < ; ja X (ii) on olemassa funktio h: X R siten, että h on (itseisesti) integroituva ja f(x, y) h(x) kaikille x X, y Y.
4 Tällöin funktio ϕ: Y R, on jatkuva. 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 49 ϕ(y) X f(x, y) dx Lause 8.3 (Derivointilemma). Olkoot X R n ja Y R m avoimia joukkoja sekä f : X Y R jatkuva funktio siten, että (i) kaikille y Y funktio x f(x, y) on (itseisesti) integroituva X:ssä, t.s. f(x, y) dx < ; X (ii) kaikille x X ja kaikille y Y funktiolla y f(x, y) on osittaisderivaatta f (x, y); ja y j (iii) on olemassa funktio h: X R siten, että h on (itseisesti) integroituva ja f (x, y) h(x) kaikille x X, y Y. y j Tällöin funktiolla ϕ: Y R, on osittaisderivaatta ϕ y j (x, y) ja Koska ϕ(y) ϕ y j (y) X X f(x, y) dx f y j (x, y) dx. Jatketaan lauseen 8.1 todistusta. Kiinnitetään < t < t 1 <. Tällöin k(ξ, t) 1 e ξ2 /(4t) 1 e ξ2 /(4t 1 ) kaikille ξ R ja t (t, t 1 ). 4πt 4πt K t f(x) 1 4πt e ξ2 /(4t) f(x ξ) dξ. toteutuvat jatkuvuuslemman oletukset (valitaan h(ξ) 1 4πt e ξ2 /(4t 1 ) f, X R ja Y R (t, t 1 )). Funktio u(x, t) K t f(x) on siis jatkuva joukossa R (t, t 1 ). Koska t ja t 1 ovat mielivaltaiset, on u jatkuva joukossa R (, ). Derivoituvuus: Arvioidaan derivaattaa k 1 (ξ, t) t 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t) + 1 ξ 2 /(4t) 4πt 4t 2 e ξ2 vastaavaan tapaan kuin edellä funktiota k: Kiinnitetään < t < t 1 <. Tällöin kaikille x R ja t (t, t 1 ) on 1 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t) 1 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t 1 )
5 ja Siis 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 5 1 ξ 2 /(4t) 4πt 4t 2 e ξ2 1 ξ 2 e ξ2 /(4t 1 ). 4πt 4t 2 k 1 (ξ, t) t 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t 1 ) + 1 ξ 2 e ξ2 /(4t 1 ) : h(ξ). 4πt 4t 2 Käyttämällä kuvan 5 tietoa apuna on helppo näyttää, että h on integroituva. Derivointilemman nojalla joukossa R (t, t 1 ) on on Derivaatalle u (x, t) t k (ξ, t)f(x ξ) dξ. t k 1 2ξ /(4t) (ξ, t) x 4πt 4t e ξ2 k x (x ξ, t) 1 x ξ e (x ξ)2 /(4t 1 ) 4πt 2t 1 4πt x + ξ 2t e x2 /(4t 1 ) e 2xξ/(4t 1) e ξ2 /(4t 1 ) 1 A + ξ e 2A ξ]/(4t1) e ξ2 /(4t 1 ) : h(ξ) 4πt 2t kun x < A, ξ R ja t (t, t 1 ). Koska h on integroituva, on derivointilemman nojalla joukossa ( A, A) (t, t 1 ) u (x, t) x k (x ξ, t)f(ξ) dξ. x Toisen kertaluvun derivaattojen olemassaolo ja integraalin derivoitavuus integraalin sisällä osoitetaan vastaavalla tavalla (HT). Derivaattojen jatkuvuus saadaan jatkuvuuslemmasta. Koska funktio k toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön, on funktiolle u u (x, t) t k (ξ, t)f(x ξ) dξ t 2 k x (x ξ, t)f(ξ) dξ 2 u (x, t). 2 x2 2 k (ξ, t)f(x ξ) dξ x2 Funktion u jatkuvuus pisteissä (x, ), x R: Edellä käytetty menetelmä (jatkuvuuslemma) ei sovellu tässä tapauksessa, joten jatkuvuus pitää todeta suoraan määritelmästä. Olkoon x R. Osoitetaan, että Koska lim u(x, t) f(x ). (x,t) (x,) k(x ξ, t) dξ 1,
6 on Siis 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 51 u(x, t) f(x ) k(x ξ, t)(f(ξ) f(x ) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x )) dξ + ξ x η u(x, t) f(x ) + ξ x η ξ x η ξ x η k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x )) dξ. k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ : I 1 + I 2. Olkoon ε >. Koska f on jatkuva pisteessä, on olemassa δ(ε) > siten, että f(ξ) f(x ) ε/2, kun ξ x < δ(ε). Valitaan η δ(ε)/2. Tällöin I 1 k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ on ξ x η ξ x η Olkoon nyt x x < η/2. Koska I 2 ξ x η/2 ξ x η k(x ξ, t)ε/2 dξ ε/2 k(x ξ, t) dξ ε/2. R {ξ R ξ x η} {ξ R ξ x η/2}, k(x ξ, t)( f(ξ) + f(x ) ) dξ 2 f ξ x η/2 Muuttujanvaihdolla (x ξ)/(2 t) u saadaan k(x ξ, t) dξ 1 e (x ξ)2 /(4t) dξ 1 4πt π Siis I 2 2 f π ξ x η/2 u η/(4 t) e u2 du. k(x ξ, t) dξ. u η/(4 t) Koska u η/(4 t) e u2 du, kun t +, on olemassa t(ε) > siten, että I 2 ε/2, Siis, kun x x < η/2 ja < t < t(ε), on Väite seuraa tästä. kun < t < t(ε). u(x, t) f(x ) I 1 + I 2 ε. e u2 dξ. Lause 8.4. Olkoon u: R [, ) R jatkuva ja rajoitettu funktio, jolla joukossa R (, ) on jatkuvat osittaisderivaatat u, u ja 2 u. t x x 2 Oletetaan, että joukossa R (, ) funktio u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön u t 2 u x. 2 Jos u(x, ) kaikille x R, niin u(x, t) kaikille x R ja t.
7 Todistus. Asetetaan 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 52 g(x, t) e t cosh x. Tällöin g toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön g 2 g koko tasossa R 2. t x 2 Olkoon ε >. Tällöin on olemassa N N siten, että missä u(x, t) + εg(x, t) joukossa R [, ) \ Q N, Q N {(x, t) R 2 x N, t N 2 }. Nimittäin, (x, t) R [, ) \ Q N, jos ja vain jos x > N tai t > N 2. Koska u on rajoitettu ja g(x, t), jos x, tai jos t, seuraa väitetty epäyhtälö välittömästi. Sovelletaan lausetta 5.1 funktioon u + εg ja joukkoon Q N. Lauseen 5.1 nojalla on u(x, t) + εg(x, t) joukossa Q N, kun näytetään, että u(x, t) + εg(x, t) joukon Q N reunan osalla Γ. Kun t ja x N, on u(x, ) + εg(x, ) u(x, ) + ε cosh x. Muilla reunan Γ osilla voidaan käyttää edellä todistettua epäyhtälöä ja funktion u + εg jatkuvuutta. Siis u(x, t) + εg(x, t) joukossa Q N. Toisaalta, u(x, t) + εg(x, t) joukossa R [, ) \ Q N, joten u(x, t) + εg(x, t) koko puolitasossa R [, ). Koska tämä on voimassa kaikille ε >, on u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Toistamalla päättely funktiolle u + εg, saadaan u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Siis u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Seuraus 8.5. Olkoon u: R [, ) R jatkuva ja rajoitettu funktio, jolla joukossa R (, ) on jatkuvat osittaisderivaatat u, u ja 2 u. t x x 2 Oletetaan, että joukossa R (, ) funktio u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön u t 2 u x. 2 Tällöin kaikille x R ja t > on voimassa niin u(x, t) 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) u(ξ, ) dξ. Huomautus 8.6. Lämpöyhtälön ratkaisuun läheisesti liittyy virhefunktio Esimerkiksi, jos erf x 2 x e ξ2 dξ. π f(x) K t f(x) 1 x/ 4t π { 1, kun x, ja, kun x <, e ξ2 dξ erf ( x 4t ). Tästä nähdään, että alkuehdolla f lämpöyhtälön ratkaisu u(x, t) K t f(x) > kaikille t >. Tämä voidaan tulkita esimerkiksi niin, että lämmön etenemisnopeus on ääretön.
8 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 53 Kuva 6. Lämpöyhtälön ratkaisu välillä 2 x 2, < t 3, kun alkuehtona on f(x) 1, kun x, ja f(x), kun x <. Vasemmassa kuvassa aika-akseli on kuvasta poispäin kulkeva akseli, oikeassa kuvassa vasemmalta oikealla kulkeva akseli. Toisaalta, jos tarkastellaan lämpötilan u(x, t) tasa-arvokäyriä, voidaan esittää toisenkinlainen tulkinta. Nimittäin, funktiolla u(x, t) erf( x 4t ) on vakioarvo jokaisella käyrällä x/ 4t vakio c. Olkoon u c funktion u arvo käyrällä x c 4t. Funktion u lausekkeesta nähdään, että u c on c:n aidosti kasvava funktio. Lisäksi jokaiselle t > käyrällä u(x, t) u c on täsmälleen yksi piste x X(t). Tämä piste liikkuu nopeudella X (t) c t. Tämä nopeus on äärellinen, ja se kuvaa lämpötilan tasa-arvokäyrät liikkumisnopeutta pisteessä (X(t), t) Operaattoripuoliryhmä. Olkoon C b (R) kaikkien rajoitettujen, jatkuvien funktioiden f : R R muodostama vektoriavaruus. Funktion f C b (R) supremumnormi on f sup{ f(x) x R}. Lauseen 8.1 todistuksen alussa näytettiin, että K t f on hyvinmääritelty kaikille f C b (R), ja että K t f f. Funktion K t f määritelmän (K t f)(x) k(x ξ, t)f(ξ) dξ 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) f(ξ) dξ nojalla on selvää, että K t on riippuu funktiosta f lineaarisesti, t.s. K t : C b (R) C b (R) on lineaarikuvaus (eli K t (αf + βg) αk t f + βk t g). Edellisestä normiepäyhtälöstä seuraa helposti, että K t on jatkuva: On luonnollista asettaa vielä K t f K t g K t (f g) f g. K f f. Siis kaikille t kuvaus K t : C b (R) C b (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Yleensä tällaisia nimitetään operaattoreiksi.
9 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 54 Osoitetaan, että operaattoriperheellä (K t ) t on seuraava ominaisuus: kaikille s, t ja f C b (R) on K s+t f K s (K t f) ja K f f. Operaattoriperhettä (K t ) t, jolla on yllä kuvattu ominaisuus, kutsutaan operaattoripuoliryhmäksi. Jälkimmäinen ominaisuus on selvä. Ensimmäisen toteamiseksi olkoot u(x, t) K t f(x) ja u s (x, t) u(x, t + s) K t+s f. Funktio u s toteuttaa alkuehdon u s (x, ) u(x, t) ja, kuten on helppo todeta, lämpöyhtälön u s 2 u s t x. Koska myös funktio v(x, s) K sg(x), missä g(x) 2 u(x, t) toteuttaa lämpöyhtälön ja saman alkuehdon, on yksikäsitteisyyslauseen nojalla u s (x, t) v(x, s) K s g(x). Siis K t+s f K s g K s (K t f). Lauseen 8.1 todistuksessa osoitettiin, että Osoitetaan, että K t f f pisteittäin, kun t +. K t f f normin suhteen, kun t +, kun rajoitutaan tasaisesti jatkuviin funktioihin. Olkoot f : R R rajoitettu ja tasaisesti jatkuva ja u(x, t) K t f(x). Todistus on enimmiltä osiltaan saman kuin lauseen 8.1 todistus. Olkoon ε >. Koska f on tasaisesti jatkuva, on olemassa δ > siten, että Nyt ξ x <δ f(x) f(ξ) < ε/2, kaikille x, ξ R, joille x ξ < δ. u(x, t) f(x) k(x ξ, t)(f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x)) dξ + k(x ξ, t)(f(ξ) f(x)) dξ. Siis u(x, t) f(x) Normille saadaan + ε 2 ξ x <δ ξ x δ ξ x <δ ε f π ξ x δ k(x ξ, t) f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t) f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t) dξ + 2 f u δ/ 4t e u2 du. ξ x δ K t f f sup{ u(x, t) f(x) x R} ε f e u2 du. π u δ/ 4t k(x ξ, t) dξ
10 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 55 Koska u δ/ 4t e u2 du, kun t +, on olemassa t(ε) > siten, että K t f f ε 2 + ε 2 ε, kun < t < t(ε). Huomautus 8.7. Lauseen 8.1 todistuksesta ilmenee, että K t f(x) on hyvinmääritelty, jos f on mitallinen ja oleellisesti rajoitettu eli jos f L (R). Tällöin K t f C b (R) kaikille t > ja K t f f, kun oikealla puolella normi f tulkitaan L -normiksi. Tästä epäyhtälöstä seuraa, että K t : L (R) C b (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi funktiolle u(x, t) K t f(x) on u C (R (, )). Lauseen 8.1 todistuksesta nähdään myös, että jos f L (R) ja f on jatkuva pisteessä x R, niin K t f(x) f(x), kun t +. Vastaavankaltaiset tulokset ovat voimassa myös funktioille f L p (R), kun 1 p <. Ensinnäkin K t f(x) on hyvinmääritelty, jos f L (R), ja K t f L p (R) kaikille t > sekä K t f p f p, missä f p ( R f(x) p dx ) 1/p. Tästä epäyhtälöstä seuraa, että Kt : L p (R) L p (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi funktiolle u(x, t) K t f(x) on u C (R (, )). Alkuehto toteutuu tässä tilanteessa L p -normin mielessä: K t f f p, kun t Matriisin eksponenttifunktio. Olkoot a, u R. Alkuarvotehtävän { u (t) a u(t) reaaliakselilla R, u() u, ratkaisu on tavallinen eksponenttifunktio u(t) e at u. Vastaava alkuarvotehtävä vektoriarvoiselle funktiolle u (u 1,..., u n ) on differentiaaliiyhtälöryhmä u 1(t) a 1,1 u 1 (t) + + a 1,n u n (t). u n(t) a n,1 u 1 (t) + + a n,n u n (t) u 1 () u,1. u n () u,n Merkitään A (a i,j ) n i,j1 ja u (u,1,..., u,n ). Tällöin alkuarvotehtävä voidaan esittää vektorimuotoisena yhtälönä, missä A u(t) on tavallinen matriisin ja vektorin
11 tulo 11 : (8.3) 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 56 { u (t) A u(t), u() u. Neliömatriisille A voidaan määritellä eksponenttifunktio asettamalla exp(a) e A 1 j! Aj, missä A I on yksikkömatriisi ja matriisiin A potenssit määritellään normaaliin tapaan rekursiivisesti A j+1 A j A (matriistulo). Jotta määritelmä olisi hyvä, pitäisi osoittaa, että sarja suppenee. Sarjan suppenevuus tulkitaan suppenevuudeksi euklidisessa avaruudessa R n2. Suppenevuuden toteaminen käy vastaavaan tapaan kuin reaalimuuttujan eksponenttifunktion, kun huomataan käyttää lineaarikuvausnormia apuna, Lineaarikuvausnormille on voimassa j A sup{ Ax x R n, x 1}. AB A B, kun A ja B ovat samankokoisia neliömatriiseja. Erityisesti neliömatriisin A potensseille on A j A j. Matrisin eksponenttifunktion sarjalla on näin majoranttina lukusarja j 1 j! Aj j 1 j! A j e A. Tästä seuraa, että matrisin eksponenttifunktion sarja suppenee itseisesti. Matrisin eksponenttifunktion avulla voidaan määritellä reaalimuuttujan funktio t e ta 1 j! tj A j. j Tämä sarja voidaan derivoida termeittäin (perustelu kuten reaalimuuttujan eksponenttifunktiolle), jolloin saadaan d 1 d dt eta j! dt tj A j 1 j! jtj 1 A j 1 A (j 1)! tj 1 A j 1 A e ta. j1 j1 Kun tätä sovelletaan funktioon u(t) e ta u, missä u R n on annettu vektori, saadaan j1 u (t) d dt eta u A e ta u A u(t). Lisäksi u() e A u I u u. Matriisin eksponenttifunktion avulla siis saadaan ratkaisu alkuarvotehtävälle (8.3). Matriisin eksponenttifunktiolla vielä seuraavaa operaattoriryhmäominaisuus e (s+t)a e sa e ta kaikille s, t R. 11 Banachin avaruuksia tunteva lukija huomaa, että vastaava ongelma Banachin avaruudessa E on: Kun A: E E on jatkuva lineaarikuvaus, niin määrää derivoituva funktio u: R E siten, että u (t) A u(t) ja u() u.
12 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 57 Matriisin eksponenttifunktion avulla on helppo ratkaista myös epähomogeeninen alkuarvotehtävä { v (t) A v(t) + f(t), v() v, missä f : R R on annettu jatkuva funktio. Käytetään apuna vakion variointia: Koska homogeenisella yhtälölla ratkaisuna on v(t) e ta v, tehdään yrite v(t) e ta u(t), missä u(t) on nyt tuntematon funktio. Derivoimalla saadaan v (t) A e ta u(t) + e ta u (t) A v(t) + e ta u (t). Sijoittamalla tämä v differentiaaliyhtälöön, saadaan A v(t) + f(t) v (t) A v(t) + e ta u (t) joten e ta u (t) f(t). Matriisilla e ta on käänteismatriisi e ta (vrt. operaattoriryhmäominaisuuteen), joten u (t) e ta f(t). Integroimalla puolittain välin [, s] yli, saadaan u(s) u() + s e ta f(t) dt. Koska v() v, on u() v, ja ratkaisuksi v(t) saadaan t v(t) e ta u(t) e ta v + e ta e sa f(s) ds e ta v + t e (t s)a f(s) ds. Lämpöyhtälön ratkaisun u(x, t) K t f(x) operaattoriperhe (K t ) t käyttäytyy monessa kohtaa samalla tavalla kuin matriisin eksponenttifunktio. Kuitenkin operaattoriperhe muodostaa vain operaattoripuoliryhmän ja derivaattayhtälönä saadaan d dt K tf 2 x 2 K tf kun t >. Matriisin A tilalla on siis nyt osittaisdifferentiaalioperaattori 2. Analogia on muuten x 2 hyvä, mutta operaattori 2 ei ole jatkuva juuri minkään hyvän normin suhteen, eikä x 2 operaattori 2 eksponettifunktiota voi määrätä sarjan avulla kuten yllä. x 2 Sen sijaan edellä löydetty tulos toimii myös epähomogeeniselle lämpöyhtälölle u t 2 u + f(x, t) x puolitasossa 2 R2 + R (, ), u(x, ) u (x) kaikille x R. Tämän ratkaisu on u(x, t) K t u (x) + t K t s f(x, s) ds. Matriisiin eksponenttifunktiosta ja operaattoripuoliryhmistä lisätietoa löytyy mm. seuraavista kirjoista: [11, 14 2], [12, Ch. 3], [13, Ch. VII], [32, Ch. Nine], [34, Ch. X], [38, Ch. IX].
13 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II Ratkaisun monotonisuudesta. Olkoon R n rajoitettu alue, jonka reuna on riittävän sileä. Olkoon u lämpöyhtälön u n t u 2 u x 2 j ratkaisu alueessa Q (, ) siten, että se toteuttaa jommankumman seuraavista reunaehdoista u(x, t) j1 kaikille x ja t >, tai n u(x, t) kaikille x ja t >. Tässä n u on u:n suuntaisderivaatta reunan yksikkönormaalin n suuntaan. Ratkaisusta u oletetaan, että u C 2 (). Kaikille k Z + asetetaan I k (t) u(x, t) 2k dx. Väite 8.8. Funktio I k : [, ) R on vähenevä. j1 Todistus. Koska funktio u ja alue ovat sileitä, voidaan I k :n derivaatta laskea derivoimalla integrandi. Kun lisänä käytetään divergenssilausetta, saadaan I k(t) t u(x, t)2k 2k 1 u dx 2k u(x, t) (x, t) dx t n 2k u 2k 1 u dx 2k u 2k 1 2 u dx x 2 j1 j n ( 2k 1 u ) n ( u ) 2 2k u dx 2k(2k 1) u 2k 2 dx x j x j x j 2k u 2k 1 n u dx 2k(2k 1) n j1 j1 u 2k 2 ( u x j ) 2 dx Koska reunaehtojen nojalla reunaintegraali on nolla, saadaan n ( u ) 2 I k(t) 2k(2k 1) u 2k 2 dx. x j Väite seuraa tästä. Lause 8.9. Kun t, olkoon Tällöin M : [, ) R on vähenevä. j1 M(t) max{ u(x, t) x }. Todistus. Olkoot s < t. Edellisen väitteen nojalla kaikille k Z + on (I k (t)) 1/(2k) (I k (s)) 1/(2k). Riittää siis osoittaa, että lim k (I k (t)) 1/(2k) M(t).
14 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 59 Lemma 8.1. Olkoon v : R jatkuva funktio. Tällöin ( 1/(2k). max{ v(x) x } lim v(x) dx) 2k k Todistus. Olkoon M max{ v(x) x }. Tällöin ( ) 1/(2k) ( 1/(2k) v(x) 2k dx M dx) 2k M 1/(2k), missä on joukon tilavuus. Olkoon x 1 piste, jolle v(x 1 ) M. Olkoon ε > siten, että ε < M. Funktion v jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > siten, että v(x) v(x 1 ) < ε, kun x x 1 < δ, joten v(x) > M ε kun x x 1 < δ. Olkoon 1 {x x x 1 < δ}. Tällöin ( ) 1/(2k) ( ) 1/(2k) ( ) 1/(2k) v(x) 2k dx v(x) 2k dx (M ε) 2k dx (M ε) 1 1/(2k). 1 1 Siis ( 1/(2k) (M ε) 1 1/(2k) v(x) dx) 2k M 1/(2k). Kun k, saadaan ( 1/(2k) M ε lim v(x) dx) 2k M k Koska ε > on mielivaltainen, väite seuraa.
MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotMellin-muunnos ja sen sovelluksia
Mellin-muunnos ja sen sovelluksia LuK-tutkielma Eetu Leinonen 25645 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 28 Sisältö Johdanto 2 Esitiedot 2 2 Mellin-muunnos 3 2. Muunnoksen perusominaisuuksia................
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedot= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.
6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
Lisätiedot= 0 y oleva yhtälö. Vastaavasti yhtälö. x, u
1. Määritelmiä Ensimmäisen ja toisen kertaluvun ratkaisemattomassa muodossa olevat tavalliset differentiaaliyhtälöt ovat tuntemattomalle funktiolle y = y(x) muotoa F (x, y, y ) = 0 ja G(x, y, y, y ) =
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot