Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

2 Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suuimmat antapallon kokoisia. Lisäksi Satunusta kietää ainakin 60 kuuta. Niiden liikettä hallitsee gavitaatiovuoovaikutus. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

3 Sisältö Vähän histoiaa Isaac Newton Newtonin gavitaatiolaki Pieni g and Iso G Gavitaation potentiaalienegia Satelliittien adat ja enegiat Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

4 Histoiaa Keplein lait 1. Planeettojen adat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Auinko.. Auingosta planeettaan piietty jana pyyhkii yhtä pitkinä aikaväleinä aina yhtä suuen pinta-alan. 3. Planeetan kietoajan neliö on veannollinen adan ison akselin puolikkaan kolmanteen potenssiin. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

6 Pikkuakseli Polttopiste Isoakseli Ellipsin muodostavat ne pisteet, joille yhteenlaskettu etäisyys kahteen annetuttuun pisteeseen (polttopisteeseen) on sama. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

7 Newtonin painovoimalaki Newton esitti, että jokainen maailmankaikkeuden kappale vetää puoleensa kaikkia muita kappaleita. Massoihin m 1 ja m vaikuttavat gavitaatiovoimat F 1 on ja F on 1 ovat Newtonin III lain mukaan yhtä suuet ja vastakkaissuuntaiset. Niiden suuuus on F 1on F on 1 Gm1m Vakio G on gavitaatiovakio G Nm / kg Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

8 Pieni g ja Iso G Oletetaan, että m-massainen kappale on planeetan pinnalla, planeetan massa on M ja säde R. Kappaleeseen vaikuttava paikallinen gavitaatiovoima on Newtonin gavitaatiolain mukaan F G FG mg suface F M on m GMm R Laki ennustaa vetovoimakiihtyvyydeksi planeetan pinnalla Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

9 Jos kappale on etäisyydellä planeetan keskipisteestä planeetan pinnan yläpuolella ( > R) ja jos ainoa siihen vaikuttava voima on planeetan aiheuttama gavitaatiovoima, kappaleen kiihtyvyys on Maan tapauksessa kokeudella h maanpinnasta g GM GM g e e eath ( Re h ) R ( 1 h / Re ) ( 1 h / R e e eath 1 g ) Huomaa: Avauusaluksessa gavitaatio aiheuttaa lähes yhtä suuen kiihtyvyyden kuin maanpinnalla. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

10 Gavitaation potentiaalienegia Konsevatiivisen voiman kappaleeseen tekemä työ W c (iø f), kun kappale siityy paikasta i paikkaan f, ilmenee kappaleen potentiaalienegian muutoksena ΔU: U U f U i W c ( i f Lasketaan tämä gavitaatiovoimalle siioksessa Ø : ) Konsevatiivinen voima: Työ ei iipu siion eitistä. U U Gm m 1 U dx ( 1 x dx ( F 1on ) x Gm1m ) x dx Gm1m x Gm1m On luonnollista valita potentiaalienegian nollakohdaksi =, koska silloin kappaleiden vuoovaikutus häviää. Silloin massojen m 1 ja m gavitaation potentiaalienegia niiden välisen etäisyyden funktiona on Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Gm1m U g

11 Esimekki Pakonopeus Raketti (massa = 1000 kg) ammutaan suoaan ylös maanpinnalta. Kuinka suui aketin lähtönopeuden telee olla, jotta aketti pakenee Maan gavitaation vaikututpiiistä eikä palaa koskaan takaisin? Voit olettaa, ettei maapallo pyöi. Malli Oletetaan yksinketaistettu tilanne, jossa maailmankaikkeudessa ei ole mitään muuta kuin aketti ja Maa. Jos ylös ammutun aketti hidastuu ja sen nopeus menee nollaan, Maa vetää sen takaisin pinnalleen kuten ylös heitetyn pallon. Raketin pakeneminen siis vaatii, ettei akentin nopeus mene koskaan nollaan. Rajatapaus on se, jossa aketin nopeus lähestyy nollaa, kun ö. Tähän vaadittavaa lähtönopeutta kutsutaan pakonopeudeksi. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

12 Tilannekuva Tilanne alussa ja lopussa. Ratkaisu Mekaanisen enegian säilymislaki K + U = K 1 + U 1 antaa (ääettömyydessä aketin sekä liike-enegia että potentiaalienegia on nolla) Pakonopeus on siten GM mv1 R e e m. v pako v 1 GM R e e 1100 m/s. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

13 Satelliittien adat Oletetaan, että satelliitin ata on likimain ympyä ja vauhti vakio. Gavitaatiovoima on keskeisvoima, joka antaa kappaleelle nopeuden suuntaa muuttavan kiihtyvyyden v a Newtonin II laki antaa silloin GMm mv F M on m ma Tästä saadaan satelliitin nopeudeksi ympyäadalla Huomaa, että tämä ei iipu satelliitin massasta. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

14 Keplein III laki Planeetan kietoaika T on T Radan pituus Nopeus v Sijoitetaan äsken saatu planeetan nopeus tähän ja kootetaan yhtälö toiseen potenssiin: T 4 ( ) GM 3 Jos satelliitin kietoaika Maan ympäi on 4 h, satelliitin sanotaan olevat geostationääisellä adalla. Se on Maasta katsottuna paikallaan päiväntasaajan yläpuolella. Edellisestä kaavasta voi laskea adan säteeksi = m eli satelliitti on noin km maanpinnan yläpuolella. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

15 Planeettojen (satelliittien) enegiat Planeetan nopeus ympyäadalla on v = GM/, joten liike-enegia on Potentiaalienegiaksi saatiin aikaisemmin, joten planeetan liike-enegia on U g GMm Planeetan mekaaninen kokonaisenegia on siten Huomaa, että kokonaisenegia on negatiivinen, koska U g < 0. Tämä on sidottujen systeemien piie: systeemiin pitää tuoda ulkoa enegiaa, jotta osat saadaan ääettömän kauaksi toisistaan, jolloin enegia = 0 (jos eivät liiku). Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

16 Kuvasta nähdään, että esim. satelliitin siityminen suuempisäteiselle ( > 1 ) adalle vaatii enegiaa (DE). Mistä tämä enegia saadaan? Vastaus: Enegia on polttoaineesta vapautuvaa kemiallista enegiaa, joka muuntuu satelliitin ja kaasujen liikeenegiaksi. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

17 Esimekki Satelliitin saattaminen suuemmalle adalle Kuinka paljon työtä tavitaan satelliitin (massa 1000 kg) siitämiseen 300 km:n kokeudella Maasta olevalta ympyäadalta (avauussukkulasta) geostationääiselle adalle? Geostationääisen adan säde on 4.μ10 7 m. Ratkaisu Tavittava työ on sama kuin mekaanisen enegian eo atojen välillä, W ext = DE mek = DU g /. Alkupeäisen adan säde on shuttle = R e + h = 6.67μ10 6 m. Täten Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

18 Seuaavassa esimekkejä potentiaalin laskemisesta. Ei ole kokeessa kysyttävää asiaa, mutta hyödyllistä silti. Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.

19 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley.