Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio
|
|
- Laura Heino
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
2 Ajankohtaista
3 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
4 Johdanto Gravitaatiovoima yksi luonnon perusvoimista Universaali voima eli pätee kaikkien kappaleiden välillä Newtonin vuonna 1687 julkaisema laki aloitti uuden tieteenhaaran! Taivaanmekaniikka (celestial mechanics) ~F g ~F g r
5 Newtonin gravitaatiolaki Kahden pistemäisen kappaleen (1 ja 2) välinen gravitaatiovoima ~F g = G m 1m 2 r 2 ê r tai ~ F g = G m 1m 2 r 2 m 1 ja m 2 ovat kappaleiden massat, r niiden välinen etäisyys, G ns. gravitaatiovakio (gravitational constant) ja ê r yksikkövektori, joka osoittaa kappaleesta toiseen. Gravitaatiovoima suuntautuu aina kohti toista kappaletta! attraktiivinen voima
6 Gravitaatiovakio Verrannollisuuskerroin, joka yhdistää kappaleiden välisen gravitaatiovoiman G = Nm 2 kg 2 Voidaan määrittää Cavendishin vaa alla (Cavendish torsion balance) Gravitaatiovoima aiheuttaa kiertymää lankaan
7 Gravitaatiokenttä Kappaleiden aiheuttamat gravitaatiovoimat lasketaan yhteen vektoreina Gravitaatiovoima on ns. pitkän kantaman voima! Ei edellytä kosketusta (vrt. kontaktivoima!)! Voimakenttä (force field)
8 Paino Kaikkien kappaleeseen vaikuttavien gravitaatiovoimien summa Esimerkiksi maan pinnalla muiden kappaleiden kuin maapallon vaikutus painoon mitätön! Kappaleen paino maan pinnalla M E on maan massa ja R E on maan säde w = Fg = G mm E R 2 E
9 Paino Aiemmin määriteltiin kappaleen paino maan pinnalla vetovoiman kiihtyvyyden g avulla Vertaamalla saadaan g = GM E R 2 E Mittaustuloksista laskettu maapallon massa M E = kg
10 Maapallo Maapallon keskimääräinen tiheys = M E 4 3 R E jolloin saadaan 5500 kg m 3 Arvo kuitenkin keskiarvo Maapallon tiheys pinnan läheisyydessä 3000 kg m 3 Keskipisteessä kg m 3
11 Gravitaatiopotentiaalienergia Kaukana maan pinnasta Massa m liikkuu r 1! r 2 Tehty työ riippuu kappaleen liikkeestä maan säteen suunnassa W grav = Z ~r 2 ~r 1 ~ F g d ~` = = Z r2 Z r2 Tehty työ kahden termin erotus r 1 r 1 F r dr G mm E r 2 dr = GmM E 1 1 r 2 r 1 W grav = U = (U 2 U 1 ), missä U i = G mm E r i
12 Gravitaatiovoima potentiaalienergiasta Gravitaatiovoima ~F = apple G mm E r ê r = G mm E r 2 ê r Maan pinnan lähellä 1 1 U = GmM E r 2 r 1 r1 r 2 = GmM E G mm E r 1 r 2 RE 2 (r 1 r 2 )=mg (r 1 r 2 )
13 Gravitaatiopotentiaalienergian nollakohta Gravitaatiovoiman tekemä työ voidaan esittää potentiaalierotuksena! Konservatiivinen voima Potentiaalienergia negatiivinen ja lähestyy nollaa kun r!1 Yleinen tapa määritellä potentiaalienergian nollakohta
14 Pakonopeus (escape velocity) Nopeus, jolla kappale pakenee isomman kappaleen (esim planeetta) vetovoimasta. Edellyttää että (ei huomioida ilmakehän vastusta) kappaleen kokonaisenergia 0. Rajatapauksena r K + U = 0 =) 1 2 mv 2 e G mm R = 0 =) v e = 2G M R Esimerkiksi maan pinnalla mg = G mm E R 2 E =) v e,maa = r 2g M R E = 11.2 km s 1
15 Kiertoradat Kappale lähetetään maan pinnan yläpuolella vaakasuoraan eri alkunopeuksilla v 0 Ei huomioida ilmakehän vastusta Tarkastellaan kappaleen liikerataa Jos kokonaisenergia E = K + U < 0, kappale ei voi päästä äärettömyyteen, jossa U = 0 Tällöin se jää suljetulle radalle (closed orbit) Muuten se on avoimella radalla (open orbit)
16 Suljettu rata Suljettu rata aina muodoltaan ellipsi Toisessa polttopisteessä maan keskipiste Erikoistapauksena rata on ympyrä Liian pienillä alkunopeuksilla kappale ei voi kiertää täyttä kierrosta, vaan törmää maan pintaan
17 Avoin rata Jos kokonaisenergia E 0, rata avoin Kappale etääntyy koko ajan maasta eikä palaa Jos E > 0, rata muodoltaan hyperbeli Jos E = 0, paraabelirata
18 Ympyrärata Koska ~ F g? ~v, niin a T = 0 ja v on vakio Liike tällöin tasaista ympyräliikettä Liikeyhtälöstä saadaan ratanopeus Ei riipu satelliitin massasta ma N = F g =) m v 2 r r = G mm E =) r 2 v = G M E r
19 Kiertoaika ja kokonaisenergia Lasketaan satelliitin kiertoaika T Satelliitin kiertonopeus ympyräradalla v = 2 r/t T = 2 r r = 2 r v Ympyräradalla satelliitin kokonaisenergia E = K = U /2 E = K + U = 1 2 m GME r r GM E = G mm E r 2 r 3/2 p GME = G mm E 2r
20 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
21 Konseptitesti 1 Tehtävänanto Satelliitti kiertää Maata ympyräradalla. Maan gravitaatio tekee satelliitille 1. Tekee positiivista työtä 2. Tekee negatiivista työtä 3. Tekee positiivista työtä osalla radasta ja negatiivista työtä loppuosalla 4. Ei tee työtä satelliittia vastaan
22 Konseptitesti 1 Tehtävänanto Satelliitti kiertää Maata ympyräradalla. Maan gravitaatio tekee satelliitille 1. Tekee positiivista työtä 2. Tekee negatiivista työtä 3. Tekee positiivista työtä osalla radasta ja negatiivista työtä loppuosalla 4. Ei tee työtä satelliittia vastaan
23 N-II:n analogia Otetaan liikemäärämomentin aikaderivaatta d~ L dt = d~r dt ~p + ~r d~p dt = ~v m~v + ~r d~p dt = ~r d~p dt Jos hiukkaseen vaikuttaa nettovoima ~ F net = d~p/dt d~ L dt = ~r d~p dt = ~r ~ F net = ~! Liikemäärämomentti ja vääntömomentti laskettava saman pisteen suhteen
24 Liikemäärämomentin säilyminen Kun nettovääntömomentti on nolla, niin d~ L/dt = 0 eli ~ L on vakio = Liikemäärän säilymislaki Ehto toteutuu ainakin kun P F ~ ext = 0 Toisaalta liikemäärämomentti säilyy kun ~r k F ~
25 Keskeisvoima = Voima, jonka suunta aina jotain kiinteää pistettä kohti Keskeisvoiman piirissä liikkuvan hiukkasen liikemäärämomentti vakio Esim. gravitaatiovoima tai sähköstaattinen voima Liikemäärämomentin säilymistä voidaan käyttää hyväksi avaruuslennoilla ns. gravitaatiolingon avulla, toisaalta sirontatehtäviä voidaan hyvin ratkaista sen avulla
26 Liike tasossa kulmasuureilla esitettynä Yksittäisen hiukkasen liikemäärämomentti origon O suhteen Kulmasuureilla esitettynä ~ L = ~r ~p = ~r m~v ~ L = m~r ~v = m~r (~! ~r) =mr 2! Jos rata tasossa muttei ympyrärata, hiukkasella sekä radiaalista että tangentiaalista nopeutta origon O suhteen Liikemäärämomenttiin vaikuttaa vain nopeuden tangentiaalikomponentti v = d /dt! ja d /dt ei tarvitse olla vakioita =) L = m 2 d dt
27 Liike keskeisvoiman piirissä Tapaus ympyrärata Keskeisvoiman vaikuttaessa ympyräradalla liikkuvaan kappaleeseen, täytyy olla ~F g? ~v, niin a T = 0 ja v on vakio Liike tällöin tasaista ympyräliikettä Liikeyhtälöstä saadaan ratanopeus ma N = F g =) m v 2 r r = G mm E =) r 2 v = G M E r Ei riipu kappaleen (esim satelliitti) massasta
28 Kiertoaika ympyräradalla Lasketaan satelliitin kiertoaika T Satelliitin kiertonopeus ympyräradalla v = 2 r/t T = 2 r r = 2 r v Ympyräradalla satelliitin kokonaisenergia E = K = U /2 E = K + U = 1 2 m GME r r GM E = G mm E r 2 r 3/2 p GME = G mm E 2r
29 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
30 Keplerin lait Nikolaus Kopernikus esitti vuonna 1543, että maa on planeetta, joka muiden planeettojen tavoin kiertää aurinkoa. Johannes Kepler vuosina osoitti, että planeettojen radat voidaan laskea niiden näennäisestä liikkeestä. Hän havaitsi kolme empiiristä lakia: 1. Jokainen planeetta kiertää aurinkoa elliptisellä radalla, jonka toisessa polttopisteessä on aurinko 2. Auringon ja planeetan välinen jana peittää saman pinta-alan samassa ajassa 3. Planeettojen kiertoajat ovat verrannolliset ellipsin pääakselin pituuden potenssiin 3/2.
31 Konseptitesti 2 Tehtävänanto Planeetta kiertää Aurinkoa elliptisellä radalla. Planeetan liikkuessa radallaan aphelista periheliin, aurinko tekee sille 1. Positiivista työtä 2. Negatiivista työtä 3. Tekee positiivista työtä osalla radasta ja negatiivista työtä loppuosalla 4. Ei tee työtä satelliittia vastaan
32 Konseptitesti 2 Tehtävänanto Planeetta kiertää Aurinkoa elliptisellä radalla. Planeetan liikkuessa radallaan aphelista periheliin, aurinko tekee sille 1. Positiivista työtä 2. Negatiivista työtä 3. Tekee positiivista työtä osalla radasta ja negatiivista työtä loppuosalla 4. Ei tee työtä satelliittia vastaan
33 Konseptitesti 3 Tehtävänanto Planeetta kiertää Aurinkoa elliptisellä radalla. Planeetan liikkuessa radallaan aphelista periheliin, planeetan liikemäärämomentti 1. Kasvaa osalla radasta ja pienenee loppuosalla 2. Kasvaa jatkuvasti 3. Pienenee jatkuvasti 4. Ei muutu
34 Konseptitesti 3 Tehtävänanto Planeetta kiertää Aurinkoa elliptisellä radalla. Planeetan liikkuessa radallaan aphelista periheliin, planeetan liikemäärämomentti 1. Kasvaa osalla radasta ja pienenee loppuosalla 2. Kasvaa jatkuvasti 3. Pienenee jatkuvasti 4. Ei muutu
35 Elliptinen rata Elliptisen radan polttopisteet ne pisteet, joiden yhteenlaskettu etäisyys SP + S 0 P vakio mihin tahansa ellipsin pisteeseen P Pääakselin pituus 2a Aurinko pisteessä S Ellipsin eksentrisyys e = SO /a Radan aurinkoa lähin piste periheli Kauimmainen piste apheli S y 2ea Periheli 2a Apheli P S 0 x
36 Keplerin toinen laki Newton johti Keplerin lait liikeyhtälöstä ja gravitaatiolaista Jana SP peittää alan da aikayksikköä kohden da dt (Sektorinopeus) = 1 2 r rd dt
37 Keplerin toinen laki Jaetaan nopeusvektori säteittäiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin v? = v sin = ds? dt jolloin = r d dt da dt = 1 2 rv sin = 1 ~r ~v = 2 1 ~r m~v = L 2m 2m
38 Liikemäärämomentti säilyy Gravitaatiovoima keskeisvoima! Liikemäärämomentin muutos d~ L dt = ~ = ~r ~ F = 0 koska ~r k ~ F Tällöin siis: liikemäärämomentti säilyy joten sektorinopeus vakio ~ L vakiovektori joka liiketasoon nähden kohtisuorassa! Planeettojen liikkeen oltava samassa tasossa
39 Keplerin kolmas laki Kiertoaika elliptisellä radalla T = 2 p GM a 3 2 M auringon massa T ei riipu radan eksentrisyydestä Elliptisellä radalla planeetan kokonaisenergia ei riipu radan eksentrisyydestä, ainostaan pääakselin pituudesta E = G mm 2a
40 Eksentrisyyden vaikutus Sen sijaan liikemäärämomentti riippuu e:stä q L = m GMa(1 e 2 ) Samaa kokonaisenergiaa vastaa joukko erilaisia L:n arvoja! Erilaiset radat Todellisuudessa planeetat kiertävät systeemin massakeskipistettä = Lähellä auringon keskipistettä
41 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
42 Konseptitesti 4 Tehtävänanto Oletetaan, että Aurinko kutistuu säteeltään puolikkaaksi, mutta sen massa pysyy samana. Mitä tapahtuu Maan kiertoradalle? 1. Kiertorata ja -aika pienentyvät 2. Kiertorata ja -aika kasvavat 3. Ei muutu 4. Jotain muuta
43 Konseptitesti 4 Tehtävänanto Oletetaan, että Aurinko kutistuu säteeltään puolikkaaksi, mutta sen massa pysyy samana. Mitä tapahtuu Maan kiertoradalle? 1. Kiertorata ja -aika pienentyvät 2. Kiertorata ja -aika kasvavat 3. Ei muutu 4. Jotain muuta
44 Esimerkki 1000 kg painoinen satelliitti halutaan lähettää ympyräradalle 300 km maan pinnan yläpuolelle. a) Määritä satelliitin tarvitsema nopeus, kiertoaika ja radiaalinen kiihtyvyys, b) Paljonko työtä pitää tehdä satelliitin saattamiseksi kiertoradalle? c) Kuinka paljon lisätyötä pitää tehdä, että satelliitti karkaisi maan vetovoimakentästä? Maan säde R E = 6380 km ja massa M E = kg.
45 Esimerkki: Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatio Väite Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatiokenttä sen ulkopuolella samanlainen, kuin pistemäisen kappaleen kenttä Todistus Tarkastellaan onton pallonkuoren aiheuttama gravitaatiokenttä Kentän voimakkuus saadaan joko integroimalla pallonkuoren osien aiheuttama kenttä tai laskemalla pallonkuoren gravitaatiopotentiaali, jonka gradientti haluttu kenttä on Gravitaatiopotentiaali = gravitaatiopotentiaalienergia per massayksikkö
46 Onton siivun gravitaatiopotentiaali Etsitään gravitaatiopotentiaali pisteessä P onton pallonkuoren ulkopuolella etäisyydellä r keskipisteestä C R-säteinen pallonkuori jaettu siivuihin joiden keskipiste janalla CP Siivun säde R sin, pituus 2 R sin ja paksuus Rd =) da = 2 R 2 sin d Kuoren massa m / pinta-alayksikkö = m A = m 4 R 2 P Siivun massa dm = da = m A da = m 2 sin d Siivun gravitaatiopotentiaali dv pisteessä P s r dv = G dm s Rd R sin
47 Gravitaatiopotentiaali pallonkuoren ulkopuolella Kosinilauseesta s 2 = R 2 + r 2 2rR cos =) 2s ds = 2rR sin d =) sin d = s r ds rr Siivun gravitaatiopotentiaaliksi saadaan P dv = G dm s = G m sin d 2s = Gm 2rR ds s r Pallonkuoren ulkopuolella Z V = dv = r r+r Z R Gm 2rR ds = G m r =) Rd R sin R d C ~G = rv = G m r 2 êr
48 Gravitaatiopotentiaali pallonkuoren sisäpuolella Sisäpuolella analyysi muuten sama, mutta integrointirajat R r! r + R Z V = dv = R R+r Z r Gm 2rR ds = G m R Vakio! Ei riipu sijainnista. Gravitaatiovoima sisäpuolella siten ~G = rv 0
49 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon ulkopuolella Umpinainen homogeeninen pallo koostuu sisäkkäisistä pallonkuorista Gravitaatiopotentiaali pisteessä P V = G M r missä M on koko pallon massa Kentän voimakkuus ~G = rv = G m r 2 êr
50 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon sisäpuolella Gravitaatiokenttään vaikuttaa ainoastaan tarkastelupisteen etäisyyden sisäpuolella olevien pallonkuorien massa ~G = G m 4 in r 2 êr 3 missä m in = m r 3 4 = m r 3 3 R3 R =) ~ 3 G = G mr R 3 êr tästä edelleen gravitaatiopotentiaali V = Z G dr = G mr 2 2R 3 + C
51 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon sisäpuolella Integroimisvakio C saadaan potentiaalin jatkuvuudesta pallon pinnalla Joten V (R) = G m R =) G m 2R + C = G m R V (r) =G mr 2 2R 3 3Gm 2R = Gm 2R 3 r 2 =) C = 3Gm 2R 3R 2
52 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali epähomogeeninen pallo Mikäli pallon tiheys riippuu ainoastaan etäisyydestä pallon keskipisteestä, = (r), pallon ulkopuolella tilanne sama kuin homogeenisen pallon tapauksessa Sisäpuolella gravitaatiokenttä lasketaan jakamalla pallon massa tarkastelupisteen etäisyyttä kauempana ja lähempänä oleviin alueisiin Vain sisäpuolinen alue vaikuttaa gravitaatiokenttään Gravitaatiokentän muoto riippuu tiheysfunktion muodosta
53 Esimerkki keskeisvoimasta Partikkelin sironta Hiukkanen siroaa repulsiivisesta keskeisvoimasta Törmäysparametri b, sirontakulma ~v 0 y b ~v 0 b x
54 Ratkaisu Repulsiivinen keskeisvoima: F = k r 2 Y-suunnassa F y = ma y = F sin( ) = k r 2 sin Liikemäärämomentti säilyy (alussa = lopussa) mr 2 d dt = mv 0 b =) r 2 = v 0b d /dt =) F y = k r 2 sin = k d sin v 0 b dt = ma y = m dv y dt
55 Ratkaisu Integroidaan... k v 0 b sin d = m dv y =) k mv 0 b Z 0 sin d = v 0 sin = k 1 + cos mv 0 b Z v0 sin 0 ] =) mv 2 0 b k dv y =) = 1 + cos sin = cot 2
56 Simuloidaan
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja
LisätiedotLuento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio
Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki
2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka
LisätiedotKeskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!
Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi
LisätiedotCopyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden
Lisätiedot5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat
5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat Muistellaan menneitä Jo peruskoulussa lienee opetettu tämä Newtonin gravitaatiolaki kahden kappaleen välisestä gravitaatiovoimasta: Tässä yhtälössä G on gravitaatiovakio
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
Lisätiedot6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen
6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition
LisätiedotEnergia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotLUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA
LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA Kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö: R m 2 R = µ R r 3 jossa µ = G(m 1 + m 2 ) Liikeyhtälön integraalit m 1 R 1 R 2 k = R R suhteellisen liikkeen imp.mom/massayksikkö
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotTähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi
Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotNyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi
Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
Lisätiedot766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012
766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika
LisätiedotLuento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta
LisätiedotGravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike
Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa
LisätiedotLuento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi
Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet 2017
Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit
Lisätiedot:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)
'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotFysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotAnalyyttinen mekaniikka
Maanantai 1.9.2014 1/17 Analyyttinen mekaniikka Luennoitsija: Niko Jokela Syyslukukausi 2014 4h/vko luentoja+2h/vko harjoituksia Maanantai 1.9.2014 2/17 Yleistä Luennot ma & to klo 10-12 (E204) sekä viikoilla
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotTaivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt
Taivaanmekaniikkaa Liikeyhtälöt Olkoot kahden kappaleen (esim. Auringon ja planeetan) massat m 1 ja m 2 ja paikkavektorit jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa r 1 ja r 2. Merkitään r:llä planeetan
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
LisätiedotLuku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.
Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotPAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE
PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen
LisätiedotMuunnokset ja mittayksiköt
Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotLuvun 13 laskuesimerkit
Luvun 13 laskuesimerkit Esimerkki 13.1 Olkoon Cavendishin vaa'an pienen pallon massa m 1 = 0.0100 kg ja suuren pallon m 2 = 0.500 kg (molempia kaksi kappaletta). Miten suuren gravitaatiovoiman F g pallot
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
Lisätiedot6. Taivaanmekaniikka. Vektorin r suuntainen yksikkövektori puolestaan on ˆr = r/r.
6. Taivaanmekaniikka Taivaanmekaniikka tutkii taivaankappaleiden liikkeitä. Lähdemme liikkeelle Newtonin laeista ja johdamme niistä liikelait. Planeettojen liikettä kuvaavat Keplerin lait tosin määritettiin
Lisätiedot6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)
6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Ajankohtaista FuksiProffaBuffa Järjestetään
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
LisätiedotLuento 5: Voima ja Liikemäärä
Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton
LisätiedotMekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot
Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 7. maaliskuuta 2016 Osa V Luku 13: Gravitaatio
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Ajankohtaista Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
Lisätiedot1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotTAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ
TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ ARKIPÄIVÄISTEN ASIOIDEN TÄHTITIETEELLISET AIHEUTTAJAT, FT Metsähovin Radio-observatorio, Aalto-yliopisto KOPERNIKUKSESTA KEPLERIIN JA NEWTONIIN Nikolaus Kopernikus
Lisätiedot2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki
Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2
Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä
LisätiedotLiike keskeisvoimakentässä
Luku 2 Liike keskeisvoimakentässä Keskeisvoimat ja keskeisliike ovat olleet varsin keskeisessä osassa klassisen mekaniikan kehityksessä ja sovellutuksissa. Newton johti mekaniikkansa suurelta osin selittääkseen
Lisätiedot